Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tô l ân 18 Năm 2019 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn TN(Bài độc lập) Lớp: 12 Thời gian làm bài: 60 phút Câu [2D3-2.1-1] Cho hàm y = f ( x) số liên tục 10 10 3 thỏa ∫ f ( x ) dx = , ∫ f ( x) dx = , ∫ f ( x ) dx = Tính giá trị I = ∫ f ( x ) dx B 10 A C D Lời giải Chọn C Ta có Vậy Câu 6 3 0 0 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ⇔ = ∫ f ( x ) dx + ⇒ ∫ f ( x ) dx = 10 10 0 I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = + = [2D1-4.1-1] Đồ thị hàm số A B y= x + 3− x x − x + 20 x − 16 có đường tiệm cận đứng? C D Lời giải Ta có x − x + 20 x − 16 = ( x − 2) ( x − 4) Khi y= x + 3− x x − ( ) ( x − 4) = ⇔ ( x − 2) ( x − 4) Ta có x = x =  x ≥ 0 ≤ x ≤  ⇔ 3 − x ≥ x ≠  Điều kiện xác định hàm số  x − x + 20 x − 16 ≠ Ta có lim+ x→ x + 3− x = −∞ Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng hàm số ( x − 2) ( x − 4) x = Câu [2H1-3.3-2] [2D2-4.1-1] Tìm tập xác định D hàm số y = e x + log2 x− 1− x mãn Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tô l ân 18 Năm 2019 ( −∞ ;1) ∪ ( 2;+ ∞ ) / { 1;2} ( 1;2) / { 1} A D = B D = C ¡ D ¡ Lời giải Tác giả: NGUYỄN TIẾN LỢI; Fb: NGUYẾN TIẾN LỢI Chọn B x ≥  ⇔ x−2 > Điều kiện xác định hàm số  − x Vậy D = ( 1;2 ) Câu Cho tứ diện x ≥ ⇔ 1< x <  1 < x < trung điểm AB,CD Gọi V1,V2 tập xác định hàm số ABCD tích V với M,N V1 + V2 thể tích MNCB MNDA Tính tỉ lệ V 1 A B C D Lời giải Tác giả: NGUYỄN TIẾN LỢI; Fb: NGUYỄN TIẾN LỢI Chọn B Dựng MK , AH vng góc với mặt phẳng ( BCD) Dựa theo định lý Thales MK = AH ( 1) S∆ BCN = S∆ BCD ( 2) Lại N trung điểm CD nên Từ ( 1) ⇒V= V ( 2) 1 V2 = V Tương tự ta suy Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tơ l ân 18 Năm 2019 1 V+ V V1 + V2 4 =1 = Vậy V V Câu ABCD A′ B ' C ′D′ Gọi O ' giao điểm AC BD Tính tỷ số O.A′ B ' C ′D′ thể tích khối hộp ABCD A′ B ' C ′D′ [2H1-3.3-2] Cho hình hộp thể tích khối chóp A B C D Lời giải Tác giả:Lánh Vũ Thị Ngọc Chọn D Gọi h = d ( ( ABCD ) , ( A′ B′C ′D′ ) ) Khi h = d ( O′, ( A′ B′C ′D′ ) ) (Vì O′ ∈ ( ABCD ) ) VO′ A′B′C ′D′ = h.S A′B′C ′D′ Ta có có VABCD A′ B′C ′D′ = h.S A′ B′C ′D′ ⇒ Câu VO′ A′B′C′D′ = VABCD A′B′C′D′ [1D3-3.3-1] Cho cấp số cộng khẳng định sau? A u5 = B ( un ) có u1 = − , u4 = công sai C d = Hãy u6 = chọn khẳng định D u3 =3 Lời giải Tác giả:Lánh Vũ Thị Ngọc Chọn D Vì Câu un = u1 + ( n − 1) d ⇒ u3 = − + 2.3 = [2D1-5.3-2] Cho hàm số y = f định có bảng biến thiên sau: ( x) xác định Tìm điều kiện cần đủ tham số y = f ( x) hai điểm phân biệt? m D = ¡ \ { − 1;1} để đường thẳng , liên tục khoảng xác d : y = 2m + cắt đồ thị hàm số Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tơ l ân 18 Năm 2019 A m∈ ( −∞ ; − 2) ∪ 1; +∞ ) B m∈ ( − ∞ ; − ) ∪ ( 1; + ∞ ) C m∈ ( −∞ ; − 2] ∪ ( 1; +∞ ) D m ∈ ( − 2;1) Lời giải Tác giả: Nguyễn Phương; Fb: phuongnguyen Chọn B Đường thẳng d : y = 2m + cắt đồ thị hàm số y = f ( x )  2m + < −  2m + > ⇔   m < −2 m >  m∈ ( −∞ ; − ) ∪ ( 1; +∞ ) Vậy Câu hai điểm phân biệt [2D2-5.3-1] Biết phương trình lại x − 3.2x + m = B − A có nghiệm x = Tính nghiệm cịn D C Lời giải Tác giả: Nguyễn Phương; Fb:phuongnguyen Chọn A Phương trình x − 3.2 x + m = có nghiệm x = ⇔ 40 − 3.20 + m = ⇔ m =  2x = − 3.2 + = ⇔  x ⇔ = phương trình có dạng:  x Với m= x x = [2D1-5.6-1] Số tiếp tuyến đồ thị hàm số y = − x + x x = x =  Vậy nghiệm cịn lại phương trình Câu A B C song song với trục hoành là: D Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Tiết Hạnh; Fb: Hạnh Tiết Tiết Chọn D Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tơ l ân 18 Năm 2019 Ta có y = − x + x ⇒ y′ = − x3 + x Gọi điểm M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến với đồ thị hàm số Do tiếp tuyến song song trục hoành: y = − x4 + x2 y = ⇒ f ′ ( x0 ) =  x0 = ⇒ y0 = f ′ ( x0 ) = ⇔ − x03 + x0 = ⇔   x0 = ± ⇒ y0 = Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = (loại tiếp tuyến trùng với trục hồnh) y = (nhận) Vậy có tiếp tuyến đồ thị hàm số y = − x4 + x2 song song với trục hoành y = x4 − x2 + Câu 10 [2D1-2.1-1] Giá trị cực tiểu hàm số là: A B C D Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Tiết Hạnh; Fb: Hạnh Tiết Tiết Chọn B Tập xác định: D= ¡ x = ⇒ y = y′ = ⇔  y′ = x − x ;  x = ±2 ⇒ y = 3 Bảng biến thiên: y = x4 − x2 + Vậy giá trị cực tiểu hàm số y = x3 − x − 3x + 2019 Câu 11 [2D1-1.1-1] Hàm số nghịch biến A ( − 1;3) C ( −∞ ;1) ( 3;+ ∞ ) B ( −∞ ;1) D ( 3;+ ∞ ) Lời giải Tác giả: Trịnh Đình Hiểu; Fb: Trịnh Đình Hiểu Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tơ l ân 18 Năm 2019 Chọn A  x = −1 ⇔ x = Ta có: y ' = x − x − y ' =  Bảng xét dấu y' Vậy: Hàm số nghịch biến ( − 1;3) Câu 12 [1D2-2.1-1] Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau? A 600 B 240 C 720 D 625 Lời giải Tác giả: Trịnh Đình Hiểu; Fb: Trịnh Đình Hiểu Chọn A Gọi số tự nhiên có chữ số khác Số cách chọn chữ số abcdef với a ≠ 0; a, b, c, d , e, f ∈ { 0;1;2;3;4;5} a : có cách Số cách xếp chữ số cịn lại vào vị trí b; c; d ; e; f : có 5! cách 5.5! = 600 số thỏa mãn yêu cầu đề [2H3-1.1-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A, B,C Vậy có tất Câu 13 trung điểm A BC Biết A ( − 1;1; − ) với uuur uuur AB = ( 0;1; − ) , AC = ( −2; − 1;0 ) Tìm tọa độ điểm A B A ( − 2;2; − 3) C A ( 0;2; − 3) D A ( 2; − 2;3) Lời giải Tác giả: Hạ Kim Cương ; Fb: Hạ Kim Cương Chọn D uuuur A x ; y ; z ( ) Gọi tọa độ điểm , suy AM = ( − x ; − − y ;2 − z ) uuur uuur uuuur Ta có, AB + AC = AM  −2 = ( − x )  x=2   ⇒  = ( − − y ) ⇒  y = − ⇒ A ( 2; − 2;3)  −2 = ( − z )  z =   Câu 14 [2D1-3.1-2] Giá trị lớn hàm số y = − x2 M ( 1; − 2;2 ) Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tơ l ân 18 Năm 2019 A B C D Lời giải Tác giả: Hạ Kim Cương ; Fb: Hạ Kim Cương Chọn A TXĐ: y'= D = [ − 2;2] −2x y'= ⇔ − x2 , −2x − x2 = 0⇔ x= y ( − 2) = y ( 2) = , y ( 0) = , Vậy giá trị lớn hàm số Câu 15 [2H2-1.1-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình trụ có tọa độ hai tâm hai đáy I (1;2;3) thể tích khối trụ J (2;3;4) Biết bán kính đáy hình trụ R = Tính A 3π B π 3π C D 3π Lời giải Tác giả: Phạm Thái; Fb: Phạm Thái Chọn A Chiều cao khối trụ: h = IJ = ( − 1) + ( − ) + ( − 3) 2 Vậy thể tích khối trụ : V = π R h = π ( 3) 2 = 3 = 3π Câu 16 [2D2-4.3-1] Hàm số nghịch biến tập xác định nó? A y = log x B y = logπ x C y = log e x π D y = ln x Lời giải Tác giả: Phạm Thái; Fb: Phạm Thái Chọn C Hàm số y = log e x π e ⇔ x ≠ ± Vậy hàm số không xác định giá trị nguyên x e Câu 18 [2D3-2.1-2] Cho hàm số A I = −2 f ( x ) = cos ( π ln x ) Tính tích phân B I = C I = 2π I = ∫ f ′ ( x ) dx D I = − 2π Lời giải Chọn A e e e I = ∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) = cos ( π ln x ) = −2 1 Ta có: Câu 19 [2H3-3.3-2] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( a ; b ; c ) thuộc mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = thỏa mãn AM = với điểm A ( 1; − 2;3) Tính a + b + c A B C D 12 Lời giải Tác giả: nguyễn Thị Dung FB: dungbt nguyen Chọn B 2+ + 3+ Ta có d ( A, ( P ) ) = ⇒M hình chiếu vng góc điểm ⇒ đường thẳng r r u AM = n ( 2; − 2;1) AM qua = ⇒ d ( A, ( P ) ) = AM A A ( P ) có vectơ phương vectơ pháp tuyến  x = + 2t  ⇒ AM :  y = − − 2t z = 3+ t  M ∈ AM ⇒ M ( + 2t ; − − 2t ;3 + t )  5 ⇔ t = − ⇒ M − ; ; ÷ Mà M ∈ ( P ) ⇒ ( + 2t ) − ( − − 2t ) + + t + =  3 3 ( P) Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tô l ân 18 Năm 2019 5 a+ b+ c = − + + = Khi đó, 3 3 Câu 20 [2H3-2.1-2] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 1;0;0 ) , B ( 0;2;0 ) , C ( 0;0; − ) Biết có ba điểm phân biệt D, E, F thành hình bình hành Tính diện tích tam giác A B cho điểm tạo với A, B, C DEF C D Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Dung; FB: dungbt nguyen Chọn C Theo giả thiết, ta suy A, B, C trung điểm cạnh ∆ DEF ⇒ S DEF = 4S ABC uuur  AB ( − 1; 2;0 ) uuur uuur  uuur   ⇒ Ta có  AC ( − 1;0; − )  AB , AC  = ( − 4; − 2;2 ) uuur uuur 2 ⇒ S ABC =  AB, AC  = ( − ) + ( − ) + 22 = 2 Vậy, S DEF = Câu 21 [2D1-1.5-3] Gọi S tập giá trị nguyên nghịch biến khoảng ( 1;2 ) A 10 B m đồng biến khoảng C Lời giải Chọn C Tập xác định Ta có D= ¡ y′ = x − x + m , ∀ x ∈ ¡ y = x3 − x + mx + 2018 cho hàm số ( 3;4) Tính số phần tử S D Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tơ l ân 18 Năm 2019 Hàm số nghịch biến khoảng trình y′ = ( 1;2) có hai nghiệm phân biệt đồng biến khoảng x1 , x2 thỏa mãn 1 − m >   m < 1 − − m ≤ ⇔ ⇔    ≤ + − m ≤ 1 ≤ − m ≤ Suy S = { − 3; − 2; − 1;0} ( 3;4) phương x1 ≤ < ≤ x2 ≤ Điều xảy m <  −3 ≤ m ≤ ⇔ − ≤ m ≤ ( ) ( ) Câu 22 [2H2-4.1-3]Cho hai mặt phẳng P , Q song song với cắt khối cầu tâm O , bán kính R tạo thành hai hình trịn bán kính Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm hai hình trịn, đáy trùng với hình trịn cịn lại Tính khoảng cách quanh hình nón lớn B R A R ( P) , ( Q) 2R C để diện tích xung D R Lờigiải Chọn C Cắt hình nón mặt phẳng qua trục, ta thiết diện hình Khi đó, ta có Đặt OH = x , ta có SH = x , AH = R − x , SA = R + 3x Diện tích xung quanh hình nón S xq = π AH ×SA = π R − x × R + 3x 2R2 2 2 R − x × R + 3x = × 3R − x × R + x ≤ Ta có 3 2 2 Đẳng thức xảy 3R − x = R + 3x ⇔ x = R 3 OA = R Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tơ l ân 18 Năm 2019 Ta có Gọi uuur BC = ( − 2; − 6;2 ) d đường thẳng qua A song song với BC Suy r d có vectơ phương u = ( 1;3; − 1) Phương trình tham số  x = 1+ t  d :  y = − + 3t ; t ∈ ¡  z = −t  Vì MABC hình thang đáy BC nên MA / / BC ⇒ M ∈ d Mặt khác Tọa độ Khi M M ∈ ( P) M = d ∩ ( P)  x = 1+ t  y = −2 + 3t  ⇔   z = −t thỏa mãn:  x + y + 3z − = uuuur AM = ( 1;3; − 1) Suy phải hình thang đáy Vậy khơng có điểm M hai vectơ x = y =1  ⇒ M ( 2;1; −1)   z = −1 t = uuuur uuur AM , BC ngược hướng nên tứ giác MABC khơng BC thỏa mãn tốn Câu 35 [2D2-4.7-2] Với giá trị a > 0, a ≠ A đồ thị hàm số y = log a ( − x ) A B , đồ thị hàm số y = a x− qua điểm cố định B Tính độ dài đoạn thẳng AB C D Lời giải Chọn B Dễ thấy đồ thị hàm số Đồ thị hàm số y = a x− y = log a ( − x ) qua điểm cố định A qua điểm cố định B qua điểm cố định ( 2;1) ( 3;0 ) Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tô l ân 18 Năm 2019 Khoảng cách hai điểm Câu 36 [2D3-2.3-3] Cho hàm số ∫ ( f ′( x) ) AB f ( x) B AB = ( − ) + ( − 1) 2 = có đạo hàm liên tục [ 1;2] f ( x) thỏa mãn d x = − + ln ∫1 ( x + 1) 12 Tính tích phân dx = + ln 12 3 + 2ln A là: ln 3 − 2ln C f ( 2) = , ∫ f ( x ) dx + 2ln D Lời giải Chọn D u = f ( x )  d u = f ′ ( x ) dx   f ( x) ⇒  I =∫ dx dv = dx  v = − + 2  ( x + 1) x +1  Xét Đặt  ( x + 1) 2  1  1 ′ ⇒ I = − + ÷ f ( x) − ∫  − + ÷f ( x ) dx x + 2  x +1    1 ′ ⇒∫ − ÷f ( x ) dx = − + ln x +1  12 (1) 1 Ta có: ∫( 3  1 ′  f ′ ( x ) ) dx = − ln ∫  − ÷ f ( x ) dx =  − + ln ÷ 12 ,  x+1 2 2 ,  12 2  1 − d x = − ln ∫1  x + ÷ 12 2  1  1  ⇒ ∫  f ′ ( x) +  − ÷÷ dx = ⇒ f ′ ( x ) = − + ⇒ ∫ f ′ ( x ) dx = ∫  − + ÷dx x + x + 2      x + 1 ⇒ f ( x ) = − ln ( x + 1) + x + C ( ∀ x ∈ [ 1;2] ) , f ( ) = nên C = ln − f ( x ) = − ln ( x + 1) + x + ln − 1, ∀ x ∈ [ 1;2] Ta có: 2 Vậy: ∫   f ( x ) dx = ∫  − ln ( x + 1) + x + ln − 1÷dx = + 2ln  1 Câu 37 [1H3-4.3-3] Cho hình chóp giác vng cân S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , đáy ABC B , AC = a Gọi G trọng tâm tam giác SAB K tam hình chiếu Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tô l ân 18 Năm 2019 vuông góc đỉnh cos α Tính A cos α = A cạnh SC Gọi α , biết khoảng cách từ điểm B góc hai mặt phẳng A 2 cos α = ( ABC ) ( AGK ) a đến mặt phẳng ( KBC ) C cos α = D cos α = 3 Lời giải Chọn D Cách 1: Theo công thức hình chiếu Gọi M hình chiếu vng góc AM ⊥ ( KBC ) , kết hợp giả thiết suy Do tam giác SAB Do tam giác Gọi N, I phẳng Ta có vng SAB A có AM vng cân ( AGK ) cosα = S ANI S AMK Tam giác SB , ta dễ chứng minh AM ⊥ ( SBC ) d ( A, ( KBC ) ) = AM = a trung điểm SB suy G ∈ AM M , K mặt phẳng ( ABC ) , góc α góc hai mặt phẳng SAC có hay 1 = + ⇒ SA = a đường cao nên AM SA2 AB A nên M hình chiếu ( ABC ) A AK ( ANI ) đường cao nên tính hai mặt ( AMK ) AK = a Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tơ l ân 18 Năm 2019 AKC Tam giác S AIN = 1 AI AN sin 45° = a 2 12 Tam giác ⇒ S AMK AMK vuông vuông M có AM = ⇒ AI = K ⇒ AK = AI AC 2 a , AN = a AB = 2, MK = AK − AM = a a , S ANI 12 a cosα = = = S AMK 3 = AM MK = a a 12 , 12 Cách 2: Tính theo định lý cách xác định góc hai mặt phẳng Các điểm M,K xác định cách 1, kéo dài MK cắt BC J Ta dễ chứng minh ( AGK ) ∩ ( ABC ) = JA   JA ⊥ ( SAC )  ( SAC ) ∩ ( AGK ) = AK  SAC ∩ ABC = AI ⇒ ) ( ) ( AI · = α cosα = = ( ( AGK ) , ( ABC ) ) = ( AK , AI ) = KAI , AK Cách : Theo định nghĩa góc hai mặt phẳng SA ⊥ ( ABC ) , SC ⊥ ( AGK ) suy góc góc hai đường thẳng SA SC Ta dễ chứng minh ( AGK ) SA cosα = cos ·ASC = = Suy SC α hai mặt phẳng ( ABC ) Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tơ l ân 18 Năm 2019 Câu 38 [1D2-5.2-4] Cho tập lập từ cho 2222 X = { 1;2; ;8} Gọi A tập số tự nhiên có chữ số đơi khác X Lấy ngẫu nhiên số từ tập A Tính xác suất để số lấy chia hết C82C62C42 A 8! 192 B 8! 4!4! C 8! 348 D 8! Lời giải Chọn B Ta có Vì n ( Ω ) = 8! Gọi số lấy từ A 2222 = 2.1111 ,  a M2 a M2222 ⇔  ⇔ a M 1111  Từ a1 + a2 + + a8 Lại có có dạng a = a1a2 a8 1111 số nguyên tố nên  a8 M2   a M1111 = + + + = 36M9 nên aM9999 ( a = a1a2 a8 = 10000.a1a2a3a4 + a5a6 a7 a8 = 9999.a1a2a3a4 + a1a2 a3a4 + a5a6 a7 a8 ) suy ( a a a a + a a a a ) M9999 Nhưng 2000 < a1a2 a3a4 + a5a6 a7 a8 < 18000 a1a2 a3a4 + a5a6a7 a8 = 9999 nên hay a1 + a5 = a2 + a6 = a3 + a7 = a4 + a8 = Dễ thấy số tự nhiên Chia số từ a8 X a thỏa mãn điều kiện a8 số chẵn chia hết cho 2222 thành bốn có tổng ( 1;8) , ( 2;7 ) , ( 3;6) , ( 4;5) có cách chọn Mỗi cách chọn a8 ta có cách chọn a4 Ba lại ( a1 ; a5 ) , ( a2 ; a6 ) , ( a3 ; a7 ) hoán vị cho nhau, đồng thời hai phần tử có hốn vị cho nên có tất Tóm lại, ta có n ( A ) = 4.3! ( 2!) = 192 3! ( 2!) cách chọn Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tơ l ân 18 Năm 2019 Vậy P ( A) = n ( A ) 192 = n ( Ω ) 8! Câu 39 [2D1-1.4-4] Cho phương trình x2 + + m x2 + x + = x4 + x2 + + m ( x2 − x +1 − ) Biết tập hợp tất giá trị m để phương trình cho có nghiệm ( − a ; b ) Tính P = b + a 26 A 13 B − 13 C 13 D Lời giải Chọn C x2 + + m x2 + x + = x + x + + m ⇔ x2 + − x4 + x2 + = m Đặt t = ( ( x2 − x + − ) x2 − x + − x2 + x + − ) x2 − x + − x2 + x + ⇒ t = x2 − x4 + x2 + + Xét hàm số t = x − x + − x + x + liên tục ¡ t′ ( x ) = ⇔ 2x − x2 − x + − 2x + x2 + x + =0 có t′ ( x ) = 2x −1 ⇔ ( x − 1) x + x + = ( x + 1) x − x +   x ≥  ⇔    x ≤ −   x = (Vô nghiệm) Mặt khác t′ ( 0) < Bảng biến thiên: 2x − x − x+1 2x + x2 − x + x2 + x +  ( x − 1) ( x + 1) ≥ ⇔ 2 2  ( x − 1) ( x + x + 1) = ( x + 1) ( x − x + 1) ⇒ t′ ( x ) = − − 2x + x + x+1 < 0, ∀ x ∈ ¡ Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tô l ân 18 Năm 2019 t + 12 ⇒ t ∈ ( − 1;1) Ta có phương trình: t + 12 = 2m ( t − ) ⇔ t − = 2m t = −2 (l ) t − 4t − 12 t + 12 ′( t ) = f = ⇔  t = (l ) f ( t) = , t ∈ ( − 1;1) ( t − 2)  Xét hàm số , t−2 Bảng biến thiên: 13 13 13 t + 12 t ∈ ( − 1;1) ⇔ − 13 < 2m < − ⇔ − < m < − = 2m có nghiệm Phương trình t − ⇒ a= 13 13 13 ,b = − ⇒ b + a = Câu 40 [2H1-3.3-2] Một khối lập phương tích gấp 24 lần thể tích khối tứ diện Hỏi cạnh khối lập phương gấp lần cạnh tứ diện B A 2 C.1 D Lời giải Tác giả: Vũ Thị Hồng Lê; Fb: Lê Hồng Chọn D Gọi cạnh khối lập phương a , cạnh tứ diện Thể tích khối lập phương là: b V1 = a3 b3 V = Thể tích khối tứ diện là: 12 Theo giả thiết khối lập phương tích gấp 24 lần thể tích khối tứ diện nên ta có: b3 V1 = 24.V2 ⇔ a = 24 ⇔ a = 2.b3 ⇔ a = 2.b 12 Vậy cạnh khối lập phương gấp cạnh tứ diện Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tơ l ân 18 Năm 2019 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: Toán TL (Bài độc lập) Lớp: 12 Thời gian làm bài: 75 phút y= x+ x+ ( C ) điểm O ( 0;0) Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng d : y = x + 3m cắt ( C ) hai điểm phân biệt A B thỏa mãn trọng tâm G Câu Cho hàm số tam giác có đồ thị OAB thuộc đường thẳng ∆ : x − y + m = Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm Đường thẳng d cắt đồ thị nghiệm phân biệt ( C) x+ = x + 3m x+ (với x ẩn số) (1) hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai  x ≠ − (1) ⇔   x + ( m + 1) x + 6m − = Khi x + ( m + 1) x + 6m − = có hai nghiệm phân biệt khác −  ∆ = ( m + 1) − ( 6m − 3) > ⇔ 9m − 30m + 33 >   − ( m + 1) + 6m − ≠ với Ta có O∉ d ⇔ m ≠ Gọi x1 x2 nghiệm phương trình (1) Theo Định lí Vi-ét ta có Giả sử x1 + x2 = − ( m + 1) A ( x1;2 x1 + 3m ) , B ( x2 ;2 x2 + 3m )  x + x ( x + x ) + 6m   m+1  G ; G − ; m − 1÷ ÷ Khi   hay   m∈ ¡ Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tơ l ân 18 Năm 2019 Ta có G ∈ ∆ ⇔ m − 2m = m = ⇔ m = ± m ≠ ta tất giá trị cần tìm m − 2; 1) Có số tự nhiên gồm chữ số thỏa mãn số lặp lại lần Đối chiếu điều kiện Câu 2) Giải phương trình 2log5− x = x Lời giải Tác giả: Trần Công Dũng; Fb: Dung Tran 9.103 = 9000 1) Số số tự nhiên có chữ số là: số chữ số mà số lặp lại lần là: số Số số tự nhiên có chữ số mà số lặp lại lần có: + 9.3 = 35 số Số số tự nhiên có Tương tự cho trường hợp số số tự nhiên có chữ số mà số 2,3, ,9 lặp lại lần 35 số Vậy số số thỏa yêu cầu toán là: 9000 − ( + 35.9 ) = 8676 số x <  2) Điều kiện:  x ≠ Đặt t = log5− x Khi 2t = x (1) Nhận thấy x = khơng phải nghiệm phương trình nên t ≠ 1 log 5− x = t ⇔ log ( − x ) = ⇔ − x = 3t (2) Vậy t Từ (1) (2) ta • Với • Với t + 2t − = (3) t t t < < < + 2t − < − < t t t t > Xét hàm số f ( t ) = + − ⇒ f ′( t) = − ⇒ f ′′ ( t ) = t ln t + ln t2 t t ln 2.3 ln t + + ln > với t4 t3 t > Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tô l ân 18 Năm 2019 ⇒ f ′( t) Mà đồng biến khoảng f ′ ( 1) < Vậy phương trình Nhận thấy Vậy f ′ ( 2) > f ′( t) = Suy phương trình ( 0;+∞ ) có nghiệm khoảng ( 0;+∞ ) f ( t ) = có nhiều hai nghiệm khoảng ( 0;+∞ ) f ( 1) = f ( log 3) = • Với t = x = • Với t = log nên phương trình (3) có hai nghiệm x = S = { 2;3} Câu [2Đ2-5.5-4] Giải hệ phương trình  y2 x + = +  x x   ln ( x − 3) + x2 − 20 x + 12 = ln y + y  Lời giải 2x − >  8 x − 20 x + 12 ≥ ⇔  x ≠ Điều kiện hệ phương trình  y >  x >   y >  y2 x + = +  x x   Xét hệ phương trình  ln ( x − 3) + x − 20 x + 12 = ln y + y ( 1) ( 2)  x − y −1 = (1) ⇔ ( x − 1) = y ⇔ ( x − y − 1) ( x + y − 1) = ⇔  Khi  x + y −1 = x+ y −1> x> ,y> Vì nên 2 Do trường hợp x + y − = không thỏa mãn Với x − y − = ⇔ y = x − phương trình ( ) trở thành ln ( x − 3) + x − 20 x + 12 = ln ( x − 1) + ( x − 1) ( 0;+∞ ) Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tô l ân 18 Năm 2019 1 ln ( x − 3) + x − x + = ln ( x − 1) + ( x − 1) 2 1 ⇔ ln ( x − 3) + ln ( x − 1) + ( 2x − 3) ( x − 1) = ln ( x − 1) + ( x − 1) 2 ⇔ ⇔ ln ( x − 3) ( x − 1) + • Xét hàm số ( 2x − 3) ( x − 1) = ln ( x − 1) + ( x − 1) f ( t ) = ln t + t với t> ( 3) 1  1 ; +∞ ÷ f ′ ( t ) = + > 0, ∀ t >  Ta có  t nên hàm số f ( t ) = ln t + t đồng biến  Nên ( 3) ⇔ f ( ( x − 1) ( x − 3) ) = f ( x − 1) ( x − 3) ( x − 1) = x − ⇔  x = 2 x − x + = ( x − 1)  x − 3x + =      x=2 ⇔ ⇔ ⇔  ⇔ x=2 x > x >       x > • Với x= y = x − = (thỏa mãn) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm Câu Cho hình chóp vng mãn S ABCD có SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , đáy ABCD A B , AD = 3BC = 3a , AB = a , SA = a Gọi M uuur uur AD = AI a Tính thể tích khối tứ diện b Gọi x = 2; y = E, F trung điểm CDMI Tính góc hai đường thẳng AM hình chiếu A cạnh SB , SC Gọi H ( ABCD ) Lời giải SD I thỏa SC giao điểm AM Tính thể tích khối nón có đáy hình trịn ngoại tiếp tam giác EFH mặt phẳng hình thang SI đỉnh thuộc Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tơ l ân 18 Năm 2019 S M F K E H A I D M' K' B a Gọi M′ C hình chiếu vng góc điểm M mặt phẳng ( ABCD )  SA//MM ′ a  ⇒ MM ′ = SA = Trong tam giác SAD , có  MS = MD 2  AD // CD   AI = BC = AB  o Trong hình thang ABCD , có  µA = 90 Suy Diện tích tam giác CDI Vậy thể tích khối tứ diện ABCI hình vng SCDI = CI DI = a CDMI 1 a a3 V = SCDI MM ' = a = 3  CI ⊥ AD ⇒ CI ⊥ ( SAD ) ⇒ CI ⊥ AM ( 1)  Ta có:  CI ⊥ SA Trong tam giác vuông SAD , có: · SD = SA2 + AD = 3a ⇒ SM = AM = SA = a ⇒ SAM = 60o tan ·ASI = Suy Từ AI · = ⇒ ASI = 30o SA · = 900 ( H SHA ( 1) ( ) suy giao điểm SI AM ) Do SI ⊥ AM ( ) AM ⊥ ( SIC ) ⇒ AM ⊥ SC Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tơ l ân 18 Năm 2019 Vậy góc hai đường thẳng AM SC  AE ⊥ SB ⇒ AE ⊥ ( SBC ) ⇒  b Ta có  AE ⊥ BC 90o  AE ⊥ SC ( 3)  AE ⊥ EF   AH ⊥ SC SM ⊥ ( SIC ) ⇒ AH ⊥ ( SIC ) ⇒  ( 4)  AH ⊥ HF AF ⊥ SC ( ) ( 3) , ( ) , ( ) Từ suy bốn điểm đường trịn ngoại tiếp tam giác Gọi Vì K′ A, E , F , H EFH trung điểm K trung điểm đoạn AC SC // ( AEFH ) nên KK ′ // FC Trong tam giác đồng phẳng; mặt phẳng KK ′ ⊥ ( EFH ) đoạn hay K′ SC ⊥ ( AEFH ) tâm AF đỉnh hình nón cần xét SAC , có: 1 AS AC a 30 a 30 = 2+ ⇒ AF = = ⇒ KF = 2 AF SA AC 10 AS + AC AC 2a a FC = = ⇒ KK ′ = FC = SC 5 Vậy thể tích V ′ khối nón có đáy đường ngoại tiếp tam giác phẳng EFH đỉnh thuộc mặt ( ABCD ) 1 a 30 a π a V ′ = π KF KK ′ = π = 3 100 50 Câu Cho số thực dương x, y , z giá trị lớn biểu thức thỏa mãn ( x3 + y + z ) = ( x + y + z ) ( xy + yz + zx ) + 15xyz Tìm P = ( x + y + z ) − ( y2 + z2 ) Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Minh; Fb:Minh Văn Nguyễn Khi x, y , z dương ( x3 + y + z ) = ( x + y + z ) ( xy + yz + zx ) + 15xyz Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tơ l ân 18 Năm 2019 ⇔ ( x3 + y + z − 3xyz ) = ( x + y + z ) ( xy + yz + zx ) ⇔ ( x + y + z ) ( x + y + z − xy − yz − zx ) = ( x + y + z ) ( xy + yz + zx ) ⇔ ( x + y + z − xy − yz − zx ) = xy + yz + zx ⇔ ( x + y + z ) = ( xy + yz + zx ) ⇔ x − x ( y + z ) = yz − ( y + z ) 2 Vì yz − ( y + z ) = − ( y − z ) − ( y + z ) ≤ − ( y + z ) 2 nên x − xA ≤ − A2 ⇔ 5x − xA + A2 ≤ ⇔ A ≤ x≤ A ( y + z) ≤ x ≤ y + z hay 5 P = 2( x + y + z) − ( y + z ) ≤ 2 Do (với A= y+ z > 0) ( y + z) y+z − 2 P ≤ t − t Đặt t = y + z , t > f ( t ) = 2t − t Xét hàm số với t > Ta có f ′ ( t ) = − 2t = ⇔ t = Bảng biến thiên Suy maxP = t = ⇔ y + x = y + z =  ⇒ y=z=  z=1  Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tô l ân 18 Năm 2019