CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NHANH ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MƠN TỐN KỲ THI THPT PHẦN I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM QUAN HỆ GIỮA TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ Kiến thức Điều kiện hàm số đơn điệu Giả sử hàm số f ( x ) xác đinh khoảng I thì: a Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng I với x  I ta có f ( x + x ) − f ( x )  x b Hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng I với x  I ta có f ( x + x ) − f ( x ) 0 x Từ kết ta có : Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm khoảng liên thơng I : + Nếu hàm số f ( x ) đồng biến khoảng I f  ( x )  0; x  I + Nếu hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng I f  ( x )  0; x  I Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu Định lý : Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn  a; b có đạo hàm khoảng ( a; b ) tồn số c  ( a; b ) cho : f ( b ) − f ( a ) = f  ( c )( b − a ) hay f  ( c ) = f (b) − f ( a ) b−a Ý nghĩa định lý: Xét cung AB đồ thị hàm số y = f ( x ) với A ( a; f ( a ) ) B ( b; f ( b ) ) Khi ta có: - Hệ số góc tiếp tuyến với cát tuyến AB k = f (b) − f ( a ) b−a f (b) − f ( a ) có nghĩa hệ số góc tiếp tuyến cung AB điểm b−a hệ số góc cát tuyến AB Vậy giả thiết định lý Đẳng thức f  ( c ) = - C ( a; f ( c ) ) Lagrange được thỏa mãn thì tồn tại một điểm C của cung AB cho tiếp tuyến tại đó song song với cát tuyến AB Định lí 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm khoảng I a Nếu f  ( x )  0, x  I thì f ( x ) đồng biến khoảng I b Nếu f  ( x )  0, x  I thì f ( x ) nghịch biến khoảng I c Nếu f  ( x ) = 0, x  I thì f ( x ) không đổi khoảng I Ta có mở rộng của định lí sau: Định lí 3: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm khoảng I a Nếu f  ( x )  0, x  I , và đẳng thức chỉ xảy tại một số hữu hạn điểm khoảng I thì f ( x ) đồng biến khoảng I b Nếu f  ( x )  0, x  I , và đẳng thức chỉ xảy tại một số hữu hạn điểm khoảng I thì f ( x ) nghịch biến khoảng I Ta tóm tắt định lí các bảng biến thiên sau: x − y a b + + y x − y a b − y II CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Hàm số nào sau là hàm số đồng biến ( ) A y = x + − 3x B y = x x2 + ? C y = x − x Lời giải Chọn B ➢ Lời giải tự luận 1: (Thực hiện từ trái qua phải): Ta lần lượt: D y = − cot x + ▪ ( ) Với hàm số y = x2 + − 3x xác định ( thì: ) y = 4x x2 + − = 4x3 + 4x − Hàm số không thể đồng biến ▪ bởi y ( ) = −3  , đó đáp án A bị loại Với hàm số y = x x2 + xác định y = x + + x2 x2 + thì:  , x  Do đó đáp án B là đúng, tới ta dừng lại ➢ Lời giải tự luận 2: (Thực hiện từ phải qua trái): Ta lần lượt: \k , k  ▪ Với hàm số y = − cot x xác định ▪ Với hàm số y = x − ▪ Với hàm số y = x x2 + xác định y = x + + x2 x2 + 1 xác định x  nên đáp án D bị loại \0 nên đáp án C bị loại thì:  , x  Do đó đáp án B là đúng, tới ta dừng lại ➢ Lựa chọn đáp án phép thử: Ta lần lượt đánh giá: ▪ Trước tiên, hàm sớ đờng biến phải xác định D bị loại Tới ta chỉ phải lựa chọn A B Do đó, các đáp án C ▪ Vì A hàm sớ bậc bớn nên có đạo hàm một đa thức bậc ba, mợt đa thức bậc ba khơng thể ln dương (do phương trình bậc ba ln có mợt nghiệm), suy đáp án A không thỏa mãn Do đó, việc lựa chọn đáp án B là đúng đắn  Nhận xét: Như vậy, để lựa chọn được đáp án đúng cho bài toán thì: ▪ Trong cách giải tự luận lần lượt thử từ trái qua phải cho hàm số việc thực hiện theo hai bước: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số Bước 2: Đánh giá y để xét tính đờng biến của Tới hàm sớ B thấy thỏa mãn nên dừng lại ở đó Trong trường hợp trái lại, tiếp tục hàm số ở C, tại nếu C thỏa mãn lựa chọn đáp án C cịn không khẳng định D là đúng ▪ Trong cách giải tự luận lần lượt thử từ phải qua trái cho hàm số ▪ Trong cách lựa chọn đáp án phép thử loại trừ dần việc thực hiện theo hai bước: Bước 1: Sử dụng điều kiện cần để hàm số đơn điệu D phải xác định D, loại bỏ được các đáp án c và D bởi hàm số này không xác định Bước 2: Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc ba, để loại bỏ được đáp án A Câu Hàm số nào sau là hàm số nghịch biến ? A y = −x3 + 2x2 − x + B y = −x4 + 2x2 + C y = cos 2x − 2x + D y = − x2 Lời giải Chọn C ➢ Lời giải tự luận 1: (Thực hiện từ trái qua phải): Ta lần lượt: ▪ Với hàm số y = −x3 + 2x2 − x + xác định thì: y = −3x2 + 4x − , y   −3x2 + x −   x  hoặc x  Do đó, đáp án A bị loại ▪ Với hàm số y = − x4 + x2 + xác định thì: y = −4x3 + 4x , ( ) y   −4x3 + 4x   −4x x2 −   −1  x  hoặc x  Do đó, đáp án B bị loại ▪ Với hàm số y = cos 2x − 2x + xác định thì: y = −2 sin 2x − = −2 ( sin x + 1)  x  Do đó, đáp án C là đúng, tới chúng ta dừng lại ➢ Lời giải tự luận 2: (Thực hiện từ phải qua trái): Ta lần lượt: ▪ Với hàm số y = − x2 xác định −  1;1 nên đáp án D bị loại ▪ Với hàm số y = cos 2x − 2x + xác định thì: y = −2 sin 2x − = −2 ( sin x + 1)  x  Do đó, đáp án C là đúng, tới chúng ta dừng lại ➢ Lựa chọn đáp án phép thử: Ta lần lượt đánh giá: ▪ Trước tiên, hàm số nghịch biến thì phải xác định loại Tới ta chỉ còn phải lựa chọn A, B và C Do đó, đáp án D bị ▪ Vì B là hàm số bậc bốn nên có đạo hàm là một đa thức bậc ba, và một đa thức bậc ba thì không thể âm (do phương trình bậc ba có ít một nghiệm), suy đáp án B không thỏa mãn ▪ Với hàm số y = −x3 + 2x2 − x + xác định thì: y = −3x2 + 4x − 1, y   −3x2 + x −   x  hoặc x  Do đó, đáp án A bị loại Do đó, việc lựa chọn đáp án C là đúng đắn Câu Hàm số y = x − x2 + 3x + đồng biến các khoảng: A ( −;1) và 3; + ) B ( −;1 và 3; + ) C ( −;1 và ( 3; + ) D ( −;1) và ( 3; + ) Lời giải Chọn B ➢ Lời giải tự luận: Ta lần lượt có: ▪ Tập xác định D = ▪ Đạo hàm: y = x − x + ▪ x  Hàm số đồng biến khi: y   x − x +    x   Vậy, hàm số đồng biến các khoảng ( −;1 và 3; + ) ➢ Lựa chọn đáp án phép thử: Nhận xét hàm đồng biến nửa đoạn (dấu ngoặc vuông “[, ]”) nên các đáp án A, C D bị loại y’  đó có hai Do đó, việc lựa chọn đáp án B là đúng đắn  Nhận xét: Như vậy, để lựa chọn được đáp án đúng cho bài toán thì: ▪ Trong cách giải tự luận thực hiện theo hai bước: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số Bước 2: Thiết lập điều kiện để hàm số đồng biến, từ đó rút được khoảng cần tìm ▪ Trong cách lựa chọn đáp án phép thử loại trừ được các đáp án A, C D thông qua việc đánh giá sự tồn tại của dấu ngoặc vuông Trong trường hợp đáp án được cho dưới dạng khác, có thể đánh giá thông qua tính chất của hàm đa thức bậc ba - Bài toán sau minh họa cho nhận xét Câu Hàm số y = x + x + nghịch biến các khoảng: A ( −; −1 và 0; + ) B ( −;  và 1; + ) C −  1;  D ( 0;1) Lời giải Chọn C ➢ Lời giải tự luận: Ta lần lượt có: ▪ Tập xác định D = ▪ Đạo hàm: y ' = x2 + x ▪ Hàm số nghịch biến khi: y '   x + x   −1  x  Vậy hàm số nghịch biến  −1; 0 ➢ Lựa chọn đáp án phép thử: Nhận xét rằng: ▪ Hàm số nghịch biến y '  đó có hai nửa đoạn ( dấu ngoặc vuông “  ,  ”) nên đáp án D bị loại ▪ Hàm đa thức bậc ba với a  nghịch niến đoạn nằm giữa hai nghiệm của phương trình y = nên các đáp án A và B bị loại Do đó việc lựa chọn đáp án C là đúng đắn  Chú ý: Như vậy, để lựa chọn được đáp án đúng phép thử em học sinh cần nắm vững kiến thức tính chất của hàm đa thức bậc ba dấu tam thức bậc hai 1 Câu Hàm số y = x4 − x2 − đồng biến khoảng: A ( −;1 1; + ) B  −1; 0 1; + ) C ( −; −1 0;1 D  −1;1 Lời giải Chọn B ➢ Lời giải tự luận 1: Ta lần lượt có: ▪ Tập xác định D = ▪ x = Đạo hàm: y ' = x − x , y ' =  x − x =    x = 1 ▪ Bảng biến thiên: Từ đó suy hàm số đồng biến  −1; 0 1; + ) ➢ Lời giải tự luận 2: Ta lần lượt có: ▪ Tập xác định D = ▪ Đạo hàm: y ' = x3 − x, y '   x3 − x   x  −  1; )  1; + ) Dựa việc xét dấu cách vẽ trục số sau: Từ đó, suy hàm số đồng biến  −1; 0 1; + ) ➢ Lựa chọn đáp án phép thử: Nhận xét hàm đa thức bậc bốn dạng trùng phương với a  thì: ▪ Có khoảng đờng biến chứa + nên các đáp án C và D bị loại ▪ Có khoảng đờng biến chứa − nên các đáp án A bị loại Do đó việc lựa chọn đáp án B là đúng đắn  Nhận xét: Như vậy, để lựa chọn đáp án đúng cho bài toán thì: ▪ Trong cách giải tự luận thực hiện theo hai bước: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm sớ Bước 2: Thay thiết lập điều kiện y '  chúng ta giải phương trình y ' = rồi lập bảng biến thiên cho trực quan (bởi việc giải bất phương trình bậc ba dễ gây nhầm dấu) ▪ Trong cách giải tự luận thực hiện theo hai bước: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số Bước 2: Thiết lập điều kiện y '  chúng ta xác định được nghiệm của bất phương trình việc xét dấu trục sớ ( miền ngồi dấu hệ số a và sau đó đan dấu) ▪ Trong lựa chọn đáp án phép thử, em học sinh cần nắm vững kiến thức tính chất của hàm bậc bớn dạng trùng phương Câu Hàm số y = x − x − nghịch biến khoảng: A ( −; −1 1; + ) B ( −; −1 0;1 C  −1; 0 1; + ) D  −1;1 Lời giải Chọn B ➢ Lời giải tự luận 1: Ta lần lượt có: ▪ Tập xác định D = x = ▪ Đạo hàm: y ' = x − x , y ' =  x − x =    x = 1 ▪ Bảng biến thiên: Từ đó suy hàm số nghịch biến ( −; −1 0;1 ➢ Lời giải tự luận 2: Ta lần lượt có: ▪ Tập xác định D = ▪ Đạo hàm: y ' = x3 − x , y '   x3 − x   x  ( −; −1 0;1 Dựa việc xét dấu cách vẽ trục số sau: Từ đó suy hàm số nghịch biến ( −; −1  0;1 ➢ Lựa chọn đáp án phép thử: Nhận xét hàm đa thức bậc bốn dạng trùng phương với a  thì: ▪ Có khoảng nghịch biến chứa − nên các đáp án C và D bị loại ▪ Có khoảng nghịch biến không chứa + nên các đáp án A bị loại Do đó việc lựa chọn đáp án B là đúng đắn Câu Hàm số y = A ( −;1 2x nghịch biến khoảng: x−2 B 1; + C \1 D Lời giải Chọn C ➢ Lời giải tự luận: Ta lần lượt có : ▪ Tập xác định D = ▪ Đạo hàm: y ' = \1 −2 ( x − 1)2   hàm số nghịch biến D Vậy hàm số nghịch biến \1 ➢ Lựa chọn đáp án phép thử: Nhận xét hàm phân thức bậc bậc đơn điệu (luôn đồng biến ln nghịch biến) tập xác định nó, ta lựa chọn đáp án C cho toán Chú ý: Như vậy, để lựa chọn đáp án phép thử em học sinh cần nắm vững kiến thức tính chất hàm phân thức bậc bậc Câu 8: Hàm số y = x −1 đồng biến khoảng: x +1 A ( −; −1 B  −1; + ) C ( −; −1) ( −1; + ) D Lời giải Chọn C ➢ Lời giải tự luận: Ta có: ▪ Tập xác định D = \ −1 ▪ Đạo hàm y = ( x + 1)  0, x  −1  hàm số đồng biến khoảng TXĐ D Vậy hàm số đồng biến ( −; −1) ( −1; + ) ➢ Lựa chọn đáp án phép thử: Nhận xét hàm phân thức bậc bậc đơn điệu (luôn đồng biến nghịch biến) tập xác định nó, ta lựa chọn đáp án C cho toán Câu 9: Hàm số y = x2 nghịch biến khoảng (nửa khoảng): x −1 Lời giải Chọn C ➢ Lời giải tự luận 1: Gọi n vtpt mặt phẳng ( P ) , ta được: AB ( 0; −1; ) AC ( −1;0;1)  −1 0 0 −1  n =  AB, AC  =  ; ;  = ( −1;0; −1)  1 −1 −1  Mặt phẳng ( P ) cho bởi: qua A (1;1;0 ) ( P ) :   vtpt n ( −1;0; −1) ➢  ( P ) : x + z − = , ứng với đáp án C Lời giải tự luận kết hợp sử dụng máy tính CASIO fx – 570MS: Gọi n vtpt mặt phẳng ( P ) , ta có: AB ( 0; −1; ) AC ( −1;0;1) n =  AB, AC  = ( −1;0; −1) Bằng cách thực theo thứ tự Thiết lập môi trường làm việc với vectơ cho máy tính cách ấn: Để nhập tọa độ cho vec tơ AB vec tơ AC ta ấn: Để tính tọa độcủa n ta ấn: Mặt phẳng ( P ) cho bởi: qua A (1;1;0 ) ( P ) :   vtpt n ( −1;0; −1) ➢  ( P ) : x + z − = , ứng với đáp án C Lời giải tự luận 2: giả sử mặt phẳng ( P ) có phương trình ( P ) : A x + By + Cz + D = với A2 + B + C  A + B + D =  A = −D    B = Vì A, B, C thuộc ( P ) , ta được:  A + D =  B + C + D = C = − D   Từ đó, ta được: ( P ) : − Dx − Cz + D =  ( P ) : x + z − = , ứng với đáp án C ➢ Lựa chọn đáp án phép thử 1: (Từ trái qia phải): Ta đánh giá: Với ( P ) cho đáp án A ta nhận thấy: 2.1 − − =  =  A  ( P ) 2.1 − =  =  B  ( P )  loại đáp án A Với ( P ) cho đáp án B ta thấy : + 2.1 − =  =  A  ( P ) −1 =  =  B  ( P ) 2.1 − =  =  C  ( P )  đáp án B bị loại Với ( P ) cho đáp án C ta thấy : −1 =  =  A  ( P ) −1 =  =  B  ( P ) − =  =  C  ( P )  đáp án C đắn ➢ Lựa chọn đáp án phép thử thứ 2(Từ trái qua phải ): ta đánh giá: -Với ( P ) cho đáp án D ta thấy : 2.1 − − =  =  A  ( P ) 2.1 − =  =  B  ( P ) đáp án D bị loại Với ( P ) cho đáp án C ta thấy : −1 =  =  A  ( P ) −1 =  =  B  ( P ) − =  =  C  ( P )  đáp án C đắn Câu 7: Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm M (1;0;0 ) , N ( 0; 2;0 ) , P ( 0;0;3) Mặt phẳng ( MNP ) có phương trình là: A x + y + z − = C x + y + z − = B x + y + z − = D x + y + z + = Lời giải Chọn A ➢ Lời giải tự luận Vì M , N , P thuộc Ox , Oy , Oz nên ( MNP ) có phương trình là: x y z + + =  6x + 3y + z − = ➢ Ngoài cách giaỉ trên, biết cịn thực toán theo cách (bài tập 6)như sau: a Lời giải tự luận b Lời giải tự luận kết hợp với máy tính cầm tay c Lời giải tự luận d Lựa chọn đáp án phép thử ( Từ trái qua phải) e.Lựa chọn đáp án phép thử ( Từ phải qua trái) Câu 8: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm I (1; 2; −5) Gọi M , N , P hình chiếu I lên Ox , Oy , Oz Mặt phẳng ( MNP ) có phương trình là: A 10 x − y + z − = C 10 x − y − z − = B 10 x + y − z − 10 = D 10 x + y − z + 10 = Lời giải Chọn B ➢ Lời giải tự luận Vì M (1;0;0 ) , N ( 0; 2;0 ) , P ( 0;0; −5) thuộc Ox , Oy , Oz nên ( MNP ) có phương trình là: x y z + + =  10 x + y − z − 10 = −5 ➢ Ngoài cách giaỉ trên, biết cịn thực toán theo cách (bài tập 6)như sau: a Lời giải tự luận b Lời giải tự luận kết hợp với máy tính cầm tay c Lời giải tự luận d Lựa chọn đáp án phép thử ( Từ trái qua phải) e.Lựa chọn đáp án phép thử ( Từ phải qua trái) Câu 9: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = điểm M (1;1;0 ) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( P ) A B C Lời giải Chọn B ➢ Lời giải tự luận Ta có d ( M , ( P ) ) = 2−2+6 22 + ( −2 ) + =2 D Câu 10: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : x + y − 2z + = Khoảng cách từ M ( t; 2; −1) đến mặt phẳng ( P ) khi: t = −14 B   t = −8 A t = −8 t = −20 D   t = −2 C t = −14 Lời giải Chọn B ➢ Lời giải tự luận Ta có : ➢ Lựa chọn đáp án phép thử:- Học sinh tự thực Câu 11: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z + 28 = điểm I ( 0;1; ) Phương trình trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với ( P ) 29 29 = A x + ( y − 1) + ( z − ) = 29 B x + ( y − 1) + ( z − ) = C x2 + ( y + 1) + ( z + ) = 29 D x + ( y + 1) + ( z + ) 2 2 2 2 Lời giải Chọn A ➢ Lời giải tự luận Mặt cầu ( S ) tâm I tiếp xúc với ( P ) nên có bán kính là: R = d ( I, ( P ) ) = −3 + + 28 + ( −3) + 2 = 29 Mặt cầu ( S ) tâm I ( 0;1; ) bán kính R = 29 nên có phương trình là: x + ( y − 1) + ( z − ) = 29 2 ➢ Lựa chọn đáp án trích lược -Mặt cầu ( S ) tâm I ( 0;1; ) nên loại đáp án C, D Mặt cầu ( S ) tâm I tiếp xúc với ( P ) nên có bán kính là: R = d ( I, ( P ) ) = −3 + + 28 42 + ( −3) + 22 = 29 nên loại đáp án D Câu 12: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho ( P ) : 3x + 4z + 12 = ( S ) : x + y + ( z − 2) = Khẳng định sau đúng? A ( P) qua tâm mặt cầu ( S ) B ( P) cắt ( S ) theo đường tròn ( P ) không qua tâm mặt cầu ( S ) C ( P) tiếp xúc mặt cầu ( S ) D ( P) không cắt ( S ) Lời giải Chọn D Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 0;0; 2) bán kính R = 1, từ suy ra: ( ) I ( 0;0; 2)  ( P ) ,d I , ( P ) = + 12 32 + Vậy ta có kết luận ( P ) không cắt ( S ) =  R Câu 13: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng: ( P ) : x + y + = (Q) : −x + z + = Góc hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) là: A 120 B 30 C 90 Lời giải D 60 Chọn D Gọi a góc ( P ) ( Q ) , ta có: cos = −1 1+ 1+ =   = 30 Câu 14: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có phương trình: (S) : x + y + z M ( 0;1; −2) là: A 2 − 4x + 2y + 2z − = Mặt phẳng tiếp diện mặt cầu ( S ) điểm 2x − 2y + z − = C 2x − 3z − = B 2x − y − z = D 2x − 2y + z + = Lời giải Chọn D Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2; −1; −1) bán kính R = Mặt phẳng tiếp diện mặt cầu ( S ) điểm M ( 0;1; −2) là:  qua M ( 0;1; −2) ( P ) :   ( P ) : 2x − ( y − 1) + ( z + 2) =  ( P ) : 2x − 2y + z + =  vtpt MI ( 2; −2;1) Cách 2: lựa chọn đáp án phép thử kết hợp tự luận: mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2; −1; −1) bán kính R = Ta đánh giá: Mặt phẳng ( P ) cho đáp án A không qua M nên đáp án A bị loại Mặt phẳng ( P ) cho đáp án B không qua M nên đáp án B bị loại ( ) Mặt phẳng ( P ) cho đáp án C qua M ta có: d I , ( P ) = + 3− + ( −3) 2 = 13  R nên đáp án C bị loại §3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I KIẾN THỨC CƠ BẢN Vec tơ phương đường thẳng Định nghĩa 1: Một vecto a  gọi vectơ phương (viết tắt vtcp) đường thẳng ( d ) giá a song song trùng với ( d ) Nhận xét: Nếu a vtcp đường thẳng ( d ) vecto k a với k  vtpt ( d ) Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết vtcp điểm mà qua Phương trình tham số đường thẳng  Ta có: ( d ) :   M ( x0 ; y0 ; z0 ) a ( a1; a2 ; a3 )  x = x0 + a1t   ( d ) :  y = y0 + a2t , t  z = z +a t  Phương trình (1) với điều kiện a12 + a22 + a32  gọi phương trình tham số đường thẳng Các trường hợp riêng:  x = x0  Nếu a1 = 0, ta được: ( d ) :  y = y0 + a2t , t  đường thẳng có vtcp a ( 0; a2 ; a3 ) z = z +a t  vng góc với Ox (song song với mặt phẳng Oyz ), cắt Ox điểm có hồnh độ x0  x = x0 + a1t  Nếu a2 = 0, ta được: ( d ) :  y = y0 , t  đường thẳng có vtcp a ( a1 ; 0; a3 ) z = z + a t  vng góc với Oy (song song với mặt phẳng Oxz ), cắt Oy điểm có tung độ y0  x = x0 + a1t  Nếu a1 = 0, ta được: ( d ) :  y = y0 + a2t , t  đường thẳng có vtcp a ( a1 ; a2 ;0 )  z=z  vng góc với Oz (song song với mặt phẳng Oxy ), cắt Oz điểm có cao độ x0 Phương trình tắc đường thẳng M ( x0 ; y0 ; z0 )  x − x0 y − y0 z − z0  Ta có: ( d ) :   (d ) : = = a a a a a ; a ; a ( )   Từ đó, đường thẳng ( d ) qua hai điểm M1 ( x1 , y1 , z1 ) ; M ( x2 , y2 , z2 ) , ta có: M ( x1 ; y1 ; z1 ) x − x1 y − y1 z − z1  (d ) : = = M ( x2 ; y2 ; z2 ) x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1  ( d ) :   Phương trình tổng quát đường thẳng Vì đường thẳng ( d ) khơng gian xem giao tuyến hai mặt phẳng ( P1 ) , ( P2 ) đó, nên phương trình tổng qt ( d ) có dạng:  A1 x + B1 y + C1 z + D1 = (1) với điều kiện A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2  A2 x + B2 y + C2 z + D2 = ( ) ( d ) :  Trong (1) , ( ) theo thứ tự phương trình mặt phẳng ( P1 ) , ( P2 ) Khi đó, vtcp a đường thẳng xác định bởi:  B C1 C1 A1 A1 B1  a= ; ;   B2 C2 C2 A2 A2 B2  Góc hai đường thẳng Gọi  = g ( ( d1 ) , ( d ) ) ,0    90 a, b theo thứ tự vtcp ( d1 ) , ( d ) , đó: cos  = a.b a b Nhận xét ( d1 ) ⊥ ( d )  cos  =  a.b = Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Trong không gian Oxyz , cho điểm M đường thẳng ( d ) có vtcp a Khi khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ( d ) cho bởi: d ( M , ( d )) =  MM , a    , M điểm thuộc ( d ) a Khoảng cách hai đường thẳng chéo Định lý 2: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng chéo ( d1 ) , ( d ) theo thứ tự có vtcp a1 , a2 Khi khoảng cách ( d1 ) , ( d ) cho  a1 , a2  M 1M   , M , M điểm theo thứ tự bởi: d ( ( d1 ) , ( d ) ) =  a1 , a2    thuộc ( d1 ) , ( d ) II Câu CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( d ) có phương trình:  x = − 2t ( d ) :  y = + t , t  Vecto sau vecto phương đường thẳng ( d ) :  z =t+2  A ( −2;1; ) B ( −2;1;1) C ( 2; −1; −1) D ( 2; −1; −2 ) Lời giải Chọn B Tọa độ vectơ phương đường thẳng ( d ) cho dạng tham số hệ số t hệ phương trình Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( d ) có phương trình:  x = −t − ( d ) : 2 y = + 6t , t  Vecto sau vecto phương đường thẳng ( d ) :  z=0  A ( −1;3;0 ) B ( −2;1;0 ) C ( −1;6;0 ) D ( 2; −6;0 ) Lời giải Chọn A Biến đổi phương trình tham số đường thẳng dạng:  x = −t − ( d ) :  y = + 3t , t   vtcp a ( −1;3;0 )  z=0  Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( d ) có phương trình: − x = 3t + ( d ) :  y = − t , t  Vecto sau vecto phương đường thẳng ( d ) :  z =3  A ( 3; −1;3) B ( −3; −1;0 ) C ( 3; −1;0 ) D ( −3;1;3) Lời giải Chọn B Biến đổi phương trình tham số đường thẳng dạng:  x = −2 − 3t ( d ) :  y = − t , t   vtcp a ( −3; −1;0 )  z =3  Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( d ) có phương trình: (d ) : x y−2 = = z + Vecto sau vecto phương đường thẳng ( d ) : −3 A ( 2; −3;0 ) B ( −2;3;0 ) C ( 2; −3;1) D ( −2; −3; −1) Lời giải Chọn C Biến đổi phương trình tham số đường thẳng dạng: x y−2 = z +  vtcp a ( 2; −3;1) (d ) : = −3 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( d ) có phương trình: (d ) : x +1 1− y z − = = Vecto sau vecto phương đường thẳng ( d ) : A ( 2;3;5) B ( −2; −3; −5) C ( −2;3; −5 ) D ( 2; −3;5) Lời giải Chọn D Biến đổi phương trình tham số đường thẳng dạng: x +1 y −1 z − = =  vtcp a ( 2; −3;5 ) (d ) : −3 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( d ) có phương trình: (d ) : 1− x 2z −1 = y +1 = Vecto sau vecto phương đường thẳng ( d ) : −2 A ( 2;1; −2 ) B ( −2;1; −2 )   C  −2; ; −1     D  −2; ; −2    Lời giải Chọn D Biến đổi phương trình tham số đường thẳng dạng: 1 y+ z− x −1 2=  vtcp a  −2; ; −1 = (d ) :   −2 −1   Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( d ) có phương trình:  x − y + 2z − = Vecto sau vecto phương đường thẳng ( d ) : 3x + y − 5z + = (d ) :  A (1; −1; −1) B ( 4;3;3) C ( 3;11; ) Lời giải Chọn C D ( 3; −11; ) Cách 1: Ta có vtcp a đường thẳng ( d ) cho bởi:  −1 2 1 −1  a= ; ;  = ( 3;11; )  −5 −5 3  Cách 2: cách thực theo thứ tự: - Thiết lập môi trường làm việc với vecto cho máy tính: - Để nhập tọa độ cho vecto (1; −1; 2) vecto (3;1; −5) ta ấn: - Để tính tọa độ a ta ấn: Vậy ta chọn C Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( d ) có phương trình:  x = − 2t ( d ) :  y = + t , t  Đường thẳng ( d ) qua điểm sau đây:  z =t+2  A ( −2;1;0 ) B ( 2; −1;0 ) C ( 0; −2;0 ) Lời giải Chọn C Câu ➢ Lựa chọn đáp án phép thử (từ trái qua phải): Ta đánh giá: ▪ Với điểm cho đáp án A, ta có: −2 = −t − t =   1 = + 2t   , vô nghiệm  Đáp án A bị loại t = − 0 =   ▪ Với điểm cho đáp án B, ta có: D ( 2;1;0 ) −2 = −t − t = −4   −1 = + 2t   , vô nghiệm  Đáp án B bị loại 0 = t = −  ▪ Với điểm cho đáp án C, ta có: 0 = −t −  −2 = + 2t  t = −2 z =  Do đó, việc lựa chọn đáp án C đắn ➢ Lựa chọn đáp án phép thử (từ phải qua trái): Ta đánh giá: ▪ Với điểm cho đáp án D, ta có: 2 = −t − t = −4   1 = + 2t   , vô nghiệm  Đáp án D bị loại t = − z =   ▪ Với điểm cho đáp án C, ta có: 0 = −t −  −2 = + 2t  t = −2 z =  Do đó, việc lựa chọn đáp án C đắn Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxy ,cho đường thẳng ( d ) có phương trình: ( d ) : Đường thẳng ( d ) qua điểm sau đây: A ( 2; −1;5 ) B ( 4; −1;5 ) C ( 4;1;5 ) x −1 y + z −1 = = D ( 4; −1; −5) Lời giải Chọn B ➢ Lựa chọn đáp án phép thử (từ trái qua phải): Ta đánh giá: ▪ Với điểm cho đáp án A, ta có: − −1 + − 1 = =  = = , vô nghiệm  Đáp án A bị loại ▪ Với đáp án cho đáp án B, ta có: − −1 + − = =  = = , thỏa mãn Do đó, việc lựa chọn đáp án B đắn ➢ Lựa chọn đáp án phép thử (từ phải qua trái) – Học sinh tự thực Bài 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng x − y + z − = Đường thẳng ( d ) qua điểm sau đây: x + y − z + =  (d ) :  (d ) có phương trình A (1; −1;1) B ( 0;0;3) C ( 2;0;1) D ( 3;1;1) Lời giải Chọn A ➢ Lựa chọn đáp án phép thử: Ta đánh giá: ▪ Với điểm cho đáp án A, ta có: 1 + + − = 0 = thỏa mãn   2 − − + = 0 = Do đó, việc lựa chọn đáp án A đắn Bài 11 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ( d )  x = 2t  có phương trình: ( d ) :  y = − t , t  z = + t  Phương trình sau phương trình đường thẳng ( d ) ?  x = − 2t  A  y = −t z = + t   x = + 2t  C  y = − t z = + t   x = 2t  B  y = + t z = + t  D  x = − 2t   y = −1 + t z = − t  Lời giải Chọn D ➢ Lựa chọn đáp án phép thử: Ta đánh giá: ▪ Đường thẳng ( d ) có vtcp a ( 2; −1;1) nên đáp án A B bị loại ▪ Đường thẳng ( d ) qua điểm M ( 0;1; ) ,thay tọa độ M vào phương trình đường thẳng 0 = + 2t t = −2   C ta thấy: 1 = − t  t = , vô nghiệm  Đáp án C bị loại 2 = + t t = −2   Do đó, việc lựa chọn đáp án D đắn Bài 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M ( −2;1;1) đường thẳng ( d ) có phương trình:  x = + 2t ( d ) :  y = −1 − t , t  z = + t  Phương trình mặt phẳng ( P ) qua M vng góc với đường thẳng ( d ) là: A x + y − z + = B x − y + z + = C x − y + z + = D x + y − z + = Lời giải Chọn B ➢ Lời giải tự luận: Gọi a vtcp ( d ) , ta có: a ( 2; −1;1) Khi đó: qua M ( −2;1;1) ( P ) :   ( P ) : ( x + ) − 1( y − 1) + 1( z − 1) =  ( P ) : x − y + z + = vtpt a 2; − 1;1 ( )   Ứng với đáp án B ➢ Lựa chọn đáp án phép thử: Ta đánh giá: ▪ Mặt phẳng cho đáp án A qua M có vtpt n ( 2;1; −1) nên khơng thể vng góc với ( d ) , đáp án A bị loại ▪ Mặt phẳng cho đáp án B qua M có vtpt n ( 2; −1;1) nên vng góc với ( d ) , thỏa mãn Do đóm việc lựa chọn đáp án B đắn Bài 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (1; 2;3) đường thẳng ( d ) : phẳng chứa điểm M đường thẳng ( d ) có phương trình: A x + y − 3z + = B x + y − z = C x + y − z + = D x + y − z = x y z = = Mặt −1 Lời giải Chọn D ➢ Lựa chọn đáp án phép thử: Ta đánh giá: ▪ Mặt phẳng ( P ) chứa ( d ) nên phải qua gốc O ( 0;0;0 ) đáp án A C bị loại ▪ Mặt phẳng ( P ) cho đáp án B không qua điểm M nên đáp án B bị loại Do đó, việc lựa chọn đáp án D đắn Bài 14 Trong không gian tọa độ Oxy , cho mặt phẳng ( ) đường thẳng (  ) có:  x = + 3t ( ) : x + y + z + = (  ) :  y = − t , t   z = − 3t  Tọa độ giao điểm (  ) ( ) là: A ( −2; −1;0 ) B ( −5; 2;3) C (1;3; ) D ( −17;9; 20 ) Lời giải Chọn D ➢ Lời giải tự luận: Thay phương (1 + 3t ) + − t + − 3t + =  t = −6 trình () vào ( ) ta được:  (  )  ( ) = M ( −17;9; 20 ) , ứng với đáp án D ➢ Lựa chọn đáp án phép thử (từ trái qua phải): Ta đánh giá: ▪ Thay tọa độ điểm đáp án A (thuộc ( ) ) vào phương trình đường thẳng (  ) ta thấy:  t = −1 −2 = + 3t   −1 = − t  t = , vô nghiệm  Đáp án A bị loại 0 = − 3t   t =  ▪ Thay tọa độ điểm đáp án B (thuộc ( ) ) vào phương trình mặt phẳng ( ) ta thấy:  t = −2 − = + t    2 = − t  t = , vô nghiệm  Đáp án B bị loại 3 = − 3t   t = −  ▪ Thay tọa độ điểm đáp án C (thuộc (  ) ) vào phương trình mặt phẳng ( ) ta thấy: + + + =  12 = , mâu thuẫn  Đáp án C bị loại Do đó, việc lựa chọn đáp án D đắn ➢ Lựa chọn đáp án phép thử (từ phải qua trái): Ta đánh giá: ▪ Thay tọa độ điểm đáp án D vào phương trình mặt phẳng ( ) đường thẳng (  ) ta thấy: −17 = + 3t   t = −6 , có nghiệm 9 = − t 20 = − 3t  −34 + + 20 + =  = , đúng; Do đó, việc lựa chọn đáp án D đắn Bài 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ( d ) : điểm ( d ) ( P ) có tọa độ là: 1 7 A  ; 2;  2 2 x y −1 z − = = ( P ) : x − y + z − = Giao B ( 0;1; ) C (1; −1;0 ) Lời giải Chọn B ➢ Lời giải tự luận: Xét hệ phương trình tạo ( d ) ( P ) : 2 x − y = −1 x =  x y −1 z − =  =    3x − z = −2   y =  ( d )  ( P ) = M ( 0;1; ) 1  x − y + z − = x − y + z = z =   D (1; 4;0 ) Bài 16 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 3;3;0 ) mặt phẳng ( P ) : x + y − z − = Tọa độ hình chiếu vng góc điểm A ( 3;3;0 ) ( P) có phương trình: M ( P ) là: B ( −2;0;1) C ( 2;1;1) D ( 0;5; −2 ) Lời giải Chọn C Lời giải tự luận 1: Mặt phẳng ( P ) có vtpt n (1; 2; −1) ➢ Gọi ( d ) đường thẳng qua M vng góc với ( P ) , ta được: x = + t qua M ( 3;3;0 )   ( d ) :  y = + 2t , t  (d ) :  vtcp u (1; 2; −1)  z = −t  Hình chiếu vng góc H A lên ( P ) giao điểm ( d ) ( P ) , đó: + t + ( + 2t ) + t − =  t = −1  H ( 2;1;1) Lời giải tự luận 2: Mặt phẳng ( P ) có vtpt n (1; 2; −1) ➢ Giả sử H ( x; y; z ) hình chiếu vng góc H A lên ( P ) , suy ra: x + y − z − =   H  ( P ) H  ( P )     x − y − z  H ( 2;1;1)  = = AH ⊥ P ( ) AH / / n      −1  Lựa chọn đáp án phép thử (từ trái qua phải): Ta đánh giá: ➢ ▪ Với điểm H đáp án A, ta kiểm tra: Thay vào phương trình mặt phẳng ( P ) ta thấy: + − =  = , mâu thuẫn  Đáp án A bị loại ▪ Với điểm H đáp án B, ta kiểm tra: Thay vào phương trình mặt phẳng ( P ) ta thấy: −2 −1 − =  = , Ta có: HM ( 5;3; −1)  HM khơng vng góc với ( P )  Đáp án B bị loại ▪ Với điểm H đáp án C, ta kiểm tra: Thay vào phương trình mặt phẳng ( P ) ta thấy: + −1 − =  = , Ta có: HM (1; 2; −1)  HM ⊥ ( P ) , thỏa mãn Do đó, việc lựa chọn đáp án C đắn ➢ ▪ Lựa chọn đáp án phép thử (từ phải qua trái): Ta đánh giá: Với điểm H đáp án D, ta kiểm tra: Thay vào phương trình mặt phẳng ( P ) ta thấy: 10 + − =  = , mâu thuẫn  Đáp án D bị loại ▪ Với điểm H đáp án C, ta kiểm tra: Thay vào phương trình mặt phẳng ( P ) ta thấy: + −1 − =  = , Ta có: HM (1; 2; −1)  HM ⊥ ( P ) , thỏa mãn Do đó, việc lựa chọn đáp án C đắn