Một số đề tổng hợp Đề số Bài 1: Cho M = − a −a+6 3+ a a) Rót gọn M b) Tìm a để / M / c) Tìm giá trị lớn M Bài 2: Cho hệ phơng trình x 3y = ⎨ ⎩ −5 x + ay = a) Giải phơng trình b) Tìm giá trị a để hệ có nghiệm âm Bài 3: Giải toán cách lập phơng trình Một đoàn xe dự định chở 40 hàng Nhng thực tế phải chở 14 nên phải điều thêm hai xe xe phải chở thêm 0,5 Tính số xe ban đầu Bài 4: Cho điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự Một đờng tròn (O) thay ®ỉi ®i qua hai ®iĨm M, N Tõ P kẻ tiếp tuyến PT, PT với đờng tròn (O) a) Chøng minh: PT2 = PM.PN Tõ ®ã suy (O) thay đổi qua M, N T, T thuộc đờng tròn cố định b) Gọi giao ®iĨm cđa TT’ víi PO, PM lµ I vµ J K trung điểm MN Chứng minh: Các tứ gi¸c OKTP, OKIJ néi tiÕp c) Chøng minh r»ng: Khi ®−êng trßn (O) thay ®ỉi vÉn ®i qua M, N TT qua điểm cố định d) Cho MN = NP = a Tìm vị trí tâm O để góc TPT = 600 Bài 4: Giải phơng trình x3 x =1 3x x + Đề số Bài 1: Cho biÓu thøc ⎛3+ x 3− x 4x ⎞ ⎛ x +2⎞ − − − ⎟⎟ : ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝3− x 3+ x x −9⎠ ⎝3− x x − x ⎠ C = ⎜⎜ a) Rót gän C b) Tìm giá trị C để / C / > - C c) Tìm giá trị C để C2 = 40C Bài 2: Giải toán cách lập phơng trình Hai ngời xe đạp từ A ®Õn B c¸ch 60km víi cïng mét vËn tèc Đi đợc 2/3 quÃng đờng ngời thứ bị hỏng xe nên dừng lại 20 phút đón ôtô quay A Ng−êi thø hai vÉn tiÕp tơc ®i víi vÉn tốc cũ tới B chậm ngời thứ lóc vỊ tíi A lµ 40 Hái vËn tèc ngời xe đạp biết ôtô nhanh xe đạp 30km/h Bài 3: Cho ba điểm A, B, C đờng thẳng theo thứ tự đờng thẳng d vuông góc với AC A Vẽ đờng tròn đờng kính BC lấy điểm M Tia CM cắt đờng thẳng d D; Tia AM cắt đờng tròn điểm thứ hai N; Tia DB cắt đờng tròn điểm thứ hai P a) Chứng minh: Tứ giác ABMD nội tiếp đợc b) Chứng minh: Tích CM CD không phụ thuộc vào vị trí điểm M c) Tứ giác APND hình gì? Tại sao? d) Chứng minh trọng tâm G tam giác MAB chạy đờng tròn cố định Bài 4: a) Vẽ đồ thị hàm số y = x2 (P) b) Tìm hệ số góc đờng thẳng cắt trục tung điểm có tung độ cho đờng thẳng : ã Cắt (P) hai điểm ã Tiếp xúc với (P) ã Không cắt (P) Đề số Bài 1: Cho biểu thức ⎛ a − 25a ⎞ ⎛ a −5 a +2⎞ 25 − a − 1⎟ : ⎜ − − ⎟⎟ ⎟ ⎜ a + a − 10 − a − a 25 a + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ M = ⎜⎜ a) Rót gän M b) T×m giá trị a để M < c) Tìm giá trị lớn M Bài 2: Giải toán cách lập phơng trình Diện tích hình thang 140 cm2, chiều cao 8cm Xác định chiều dài cạnh dáy nó, cạnh đáy 15cm Bài 3: a) Giải phơng trình x + − x −1 = b)Cho x, y hai số nguyên dơng cho xy + x + y = 71 ⎨ 2 ⎩ x y + xy = 880 T×m x2 + y2 Bài 4: Cho ABC cân (AB = AC) nội tiếp đờng tròn (O) Điểm M thuộc cung nhỏ AC, Cx lµ tia qua M a) Chøng minh: MA tia phân giác góc tia BMx b) Gọi D điểm đối xứng A qua O Trên tia ®ãi cđa tia MB lÊy MH = MC Chøng minh: MD // CH c) Gäi K vµ I theo thứ tự trung điểm CH BC Tìm ®iĨm c¸ch ®Ịu ®iĨm A, I, C, K d) Khi M chuyển động cung nhỏ AC, tìm tập hợp trung điểm E BM Bài 5: Tìm cặp(a, b) thoả mÃn: a 1.b = b a Sao cho a đạt giá trị lớn Đề số Bài 1: Cho biểu thức ⎛ x x −3⎞ ⎛ x +2 x −4⎞ P=⎜ + :⎜ − ⎟ ⎟⎟ ⎜ x −2 x −x⎟ ⎜ x x − ⎝ ⎠ ⎝ a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P > P c) Tính giá trị nhỏ d) Tìm giá trị m để có giá trị x > thoả mÃn: m ( ) x − p = 12 m x x m Bài 2: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình: y = mx - parabol (P) có phơng trình y = 2 a) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P) b) Tính toạ độ tiếp điểm Bài 3: Cho ABC cân (AB = AC) góc A nhỏ 600; tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC a) Tam gi¸c BCD tam giác ? sao? b) Kéo dài đờng cao CH ABC cắt BD E Vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với CD F Qua C vẽ tiếp tuyến CG đờng tròn Chứng minh: Bốn điểm B, E, C, G thuộc đờng tròn c) Các đờng thẳng AB CG cắt M, tứ giác àGM hình gì? Tại sao? d) Chứng minh: MBG cân Bài 4: Giải phơng trình: (1 + x2)2 = 4x (1 - x2) Đề số Bài 1: Cho biểu thức P= ( ) a −1 a+ ( ) a −1 − 3−2 ( ) a −1 a a −1 + a −1 a) Rót gän P b) So s¸nh P víi biĨu thøc Q = a a Bài 2: Giải hệ phơng trình ⎧⎪ x − y − = ⎨ ⎪⎩ y = + x − Bµi 3: Giải toán cách lập phơng trình Một rạp hát có 300 chỗ ngồi Nếu dÃy ghế thêm chỗ ngồi bớt dÃy ghế rạp hát giảm 11 chỗ ngồi HÃy tính xem trớc có dự kiến xếp rạp hát có dÃy ghế Bài 4: Cho đờng tròn (O;R) điểm A nằm đờng tròn Một góc xAy = 900 quay quanh A thoả mÃn Ax, Ay cắt đờng tròn (O) Gọi giao điểm thứ hai Ax, Ay với (O) tơng ứng B, C Đờng tròn đờng kính AO cắt AB, AC điểm thứ hai tơng ứng M, N Tia OM cắt đờng tròn P Gọi H trực tâm tam giác AOP Chứng minh a) AMON hình chữ nhật b) MN // BC c) Tứ giác PHOB nội tiếp đợc đờng tròn d) Xác định vị trí góc xAy cho tam giác AMN có diện tích lớn Bài 5: Cho a Giả sử b, c nghiệm phơng tr×nh: x − ax − = CMR: b4 + c4 ≥ + 2a2 §Ị sè Bµi 1: 1/ Cho biĨu thøc A= ⎛ m −m−3 ⎞ ⎛ m +1 m −1 m ⎞ − : − − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ m − m − ⎠⎟ m − m − m + ⎝ ⎠ ⎝ a) Rót gọn A b) So sánh A với 2/ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: y = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) Bµi 2: Cho hệ phơng trình mx y = 3x + my = a) Tìm giá trị cđa m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm x = 1, y = Bài 3: Giải toán cách lập phơng trình Một máy bơm theo kế hoạch bơm đầy n−íc vµo mét bĨ chøa 50 m3 mét thêi gian định Do ngời công nhân đà cho máy bơm hoạt động với công suất tăng thêm m3/h, đà bơm đầy bể sớm dự kiến 1h 40 HÃy tính công suất máy bơm theo kế hoạch ban đầu Bài 4: Cho đờng tròn (O;R) đờng thẳng d đờng tròn Kẻ OA d Từ điểm M di động d ngời ta kẻ tiếp tuyến MP1, MP2 với đờng tròn, P1P2 cắt OM, OA lần lợt N vµ B a) Chøng minh: OA OB = OM ON b) Gọi I, J giao điểm đờng thẳng OM với cung nhỏ P1P2 cung lớn P1P2 Chứng minh: I tâm đờngtròn nội tiếp MP1P2 P1J tia phân giác góc góc MP1P2 c) Chứng minh rằng: Khi M di động d P1P2 qua điểm cố định d) Tìm tập hợp điểm N M di động Bài 5: So sánh hai số: 2005 + 2007 2006 Đề số Bài 1: Cho biểu thøc A= ⎛ 2x + x − 2x x + x − x ⎞ x − x 1+ ⎜ − ⎟⎟ ⎜ 1− x x x − ⎝ ⎠ x −1 a) Rót gän A 6− bất đẳng thức sai b) Tìm x để A = c) Chứng tỏ A Bài 2: Giải toán cách lập phơng trình Có hai máy bơm bơm nớc vào bể Nếu hai máy bơm sau 22h55 phút đầy bể Nếu để máy bơm riêng thời gian máy bơm đầy bể thời gian máy hai bơm đầy bể Hỏi máy bơm riêng đầy bể? Bài 4: Cho nửa đờng tròn đờng tròn đờng kính AB = 2R, góc vuông xOy cắt nửa đờng tròn hai điểm < AD ; E điểm đối xứng A qua Ox C vµ D cho AC a) Chøng minh: Điểm E thuộc nửa đờng tròn (O) E ®iĨm ®èi xøng víi B qua Oy b) Qua E vẽ tiếp tuyến nửa đờng tròn (O), tiếp tuyến cắt đờng thẳng OC, OD thứ tự M N Chứng minh : AM, BN tiếp tuyến đờng tròn (O) c)Tìm tập hợp điểm N M di động Bài 5: Tìm GTLN, GTNN cđa: y= 1+ x + 1− x §Ị sè Bµi 1: Cho biĨu thøc ⎛ x 3− x ⎞ ⎛ x +1 x +2 ⎞ + + ⎟⎟ : ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ x − 2x − ⎠ ⎝ x + x + x x − ⎠ P = ⎜⎜ a) Rót gän P b) Chøng minh r»ng P > c) TÝnh gi¸ trị P, biết x+2 x =3 d) Tìm giá trị x để : (2 ) ( )( x +2 p+5= x +2 2− x−4 ) Bµi 2: Giải toán cách lập phơng trình Một đội công nhân xây dựng hoàn thành công trình với mức 420 ngày công thợ HÃy tính số ngời đội, biết đội vắng ngời số ngày hoàn thành công việc tăng thêm ngày Bµi 3: Cho parabol (P): y = − x2 đờng thẳng (d): y = x+n a) Tìm giá trị n để đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) b) Tìm giá trị n để đờng thẳng (d) cắt (P) hai điểm c) Xác định toạ độ giao điểm đờng thẳng (d) víi (P) nÕu n = Bµi 4: XÐt Δ ABC có góc B, C nhọn Các đờng tròn đờng kính AB AC cát điểm thứ hai H Một đờng thẳng d qua A lần lợt cắt hai đờng tròn nói M, N a) Chøng minh: H thuéc c¹nh BC b) Tø giác BCNM hình gì? Tại sao? c) Gọi P, Q lần lợt trung điểm BC, MN Chứng minh ®iĨm A, H, P, Q thc mét ®−êng tròn d) Xác định vị trí d để MN có độ dài lớn Đề số Bài 1: Cho biÓu thøc P= x (1 − x ) 1+ x ⎡⎛ − x x ⎞ ⎛1+ x x ⎞⎤ + x ⎟.⎜ − x ⎟⎥ : ⎢⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 1+ x ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎣⎢⎝ − x a) Rót gän P b) Xác định giá trị x để (x + 1)P = x -1 c) BiÕt Q = x +3 Tìm x để Q max P x Bài 2: Giải toán cách lập phơng trình Một xe tải ®i tõ tØnh A ®Õn tØnh B víi vËn tèc 40 km/h Sau ®ã giê 30 phót, mét chiÕc xe khởi hành từ A để đến B víi vËn tèc 60 km/h Hai xe gỈp chúng đẫ đợc nửa quÃng đờng Tính quÃng đờng AB Bài 3: Xét đờng tròn (O) dây AB Gọi M điểm cung AB C điểm nằm Avà B Tia MC cắt đờng tròn (O) D a) Chứng minh: MA2 = MC MD b) Chøng minh: MB BD = BC MD c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB B d) Chứng minh M di động AB đờng tròn (O1), (O2) ngoại tiếp tam giác BCD ACD có tổng bán kính không đổi Bài 4: Tìm giá trị x để biểu thức: ( ) M = 2x Bài 5: vẽ đồ thị hàm sè : y = − x − + đạt giá trị nhỏ tìm giá trị nhỏ x2 x + + x2 + x + §Ị sè 10 Bµi 1: Cho biĨu thøc ⎛ xy x + xy y ⎞ ⎛ xy xy :⎜ + + ⎜ ⎟ P= ⎜ ⎟ ⎜ x + xy y + xy x+ y ⎝ ⎠ ⎝ ⎞ ⎟⎟ ⎠ a) Rót gän P b) Tìm m để phơng trình P = m có nghiệm x, y thoả mÃn x+ y =6 Bài 2: Giải toán cách lập phơng trình Một đội công nhân gồm 20 ngời dự đinh hoàn thành công việc đợc giao thời gian định Do trớc tiến hành công việc ngời đội đợc phân công làm việc khác, để hoàn thành công việc ngời phải làm thêm ngày Hỏi thời gian dự kiến ban đầu để hoàn thành công việc biết công suất làm việc ngời nh Bài 3: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB hai điểm C, D thuộc nửa đờng tròn cho cung AC nhỏ 900 góc COD = 900 Gọi M điểm nửa đờng tròn cho C điểm cung AM Các dây AM, BM cắt OC, OD lần lợt E, F a) Tứ giác OEMF hình gì? Tại sao? b) Chứng minh: D điểm cung MB c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờngtròn M cắt tia OC, OD lần lợt I, K Chứng minh tứ giác OBKM OAIM nội tiếp đợc d) Giả sử tia AM cắt tia BD S HÃy xác định vị trí C D cho điểm M, O, B, K, S thuộc đờng tròn Bài 4: Cho Parabol y = x2 (P) Viết phơng trình đờng thẳng ®i qua ®iĨm A(-1; 1) vµ tiÕp xóc víi (P) Bài 5: Tìm giá trị m để phơng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiƯm x ≥ (m + 1) x2 - 2x + (m - 1) = Đề số 11 Bài 1: Cho biểu thức ⎛ 2x x + x − x x + x ⎞ x −1 x − + ⎟⎟ x −1 ⎠ 2x + x −1 x −1 x x −1 ⎝ P = ⎜⎜ a) Rót gän P b) Tìm giá trị lớn A = P x x+ x c) Tìm giá trị m ®Ĩ mäi x > ta cã: ( ) P x + x + − > m ( x 1) + x Bài 2: Giải toán cách lập phơng trình Một ca nô xuôi tõ bÕn A ®Õn bÕn B, cïng lóc ®ã mét ng−êi ®i bé cịng ®i tõ bÕn A däc theo bờ sôngvề hớng bến B Sau chạy đợc 24 km, ca nô quay chở lại gặp ngời địa điểm D cách bến A khoảng km TÝnh vËn tèc cđa ca n« n−íc yên lặng, biết vận tốc ngời vận tốc dòng nớc km/h Bài 3: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB K điểm cung Ab Trên cung KB lấy điểm M (khác K, B) Trên tia AM lấy điểm N cho AN = BM Kẻ dây BP song song với KM Gọi Q giao điểm đờng thẳng AP, BM a) So s¸nh hai tam gi¸c AKN, BKM b) Chøng minh: Tam giác KMN vuông cân c) d) Gọi R, S lần lợt giao điểm thứ hai QA, QB với đờng tròn ngoại tiếp tam giác Omp Chứng minh M di động cung KB trung điểm I RS nằm đờng tròn cố định Bài 4: Giải phơng trình: 1 2+ x + = 1+ x 1+ x 2x Bµi 5: Cho b, c hai số thoả mÃn hệ thức: 1 + = b c Chøng minh hai phơng trình dới có phơng trình có nghiệm: ax2 + bx + c = vµ x2 + cx + b = Đề số 12 Bài 1: Toán rút gọn Cho biểu thøc ⎛ x+ x −4 x −1⎞ ⎛ ⎟ : ⎜1 − P = ⎜⎜ + ⎟ ⎜ ⎝ x − x −3 3− x ⎠ ⎝ x − 3⎞ ⎟ x − ⎟⎠ a/ Rót gän P b/ Tìm x để P < ; c/ Tìm x để P < Bài 2: Giải toán cách lập phơng trình Một nhóm thợ đặt kế hoạch sản xuất 1200 sản phẩm Trong 12 ngày đầu họ làm theo kế hoạch đề ra, ngày lại họ đà làm vợt mức ngày 20 sản phẩm, nên hoàn thành kế hoạch sớm ngày Hỏi theo kế hoạch ngày cần sản xuất sản phẩm Bài 3: Hình học.( Đề thi tốt nghiệp năm học 1999 2000) Cho đờng tròn (0) điểm A nằm đờng tròn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với đờng tròn (B, C, M, N thuộc đờng tròn AM < AN) Gọi E trung điểm dây MN, I giao điểm thứ hai đờng thẳng CE với đởng tròn a) C/m : Bốn điểm A, 0, E, C thuộc đờng tròn b) C/m : gãc AOC b»ng gãc BIC c) C/m : BI // MN d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn Đề số 13 Bài 1: Toán rút gọn Cho biểu thức a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P < ⎛ ⎞ ⎛ x −2 ⎞ ⎟:⎜ P = ⎜⎜ − − ⎟ ⎝ x − x − ⎟⎠ x + x x − x + x − ⎝ ⎠ ; c/ Tìm x để P đạt giá trị nhỏ 10 ... toán cách lập phơng trình Một đội công nhân gồm 20 ngời dự đinh hoàn thành công việc đợc giao thời gian định Do trớc tiến hành công việc ngời đội đợc phân công làm việc khác, để hoàn thành công... ) Bài 2: Giải toán cách lập phơng trình Một đội công nhân xây dựng hoàn thành công trình với mức 420 ngày công thợ HÃy tính số ngời đội, biết đội vắng ngời số ngày hoàn thành công việc tăng thêm... bơm thứ hai có công suất 10 m3/h Cả hai máy bơm hoạt động để bơm đầy bể thời gian dự kiến Tính công suất máy bơm thứ thời gian máy bơm hoạt động Bài 3: Hình học.( Đề thi tuyển vào trờng Hà Nội