BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Lê Thanh Quang XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TOR LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Lê Thanh Quang XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TOR Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng chúng tôi, nội dung nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác HỌC VIÊN PHAN LÊ THANH QUANG MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI NÓI ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 PHỨC VÀ ĐỒNG ĐIỀU §2 HÀM TỬ TENXO 14 §3 PHÉP GIẢI XẠ ẢNH VÀ HÀM TỬ TOR 19 Chương 2: XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TỬ TOR 24 §1 MODUN ĐỐI NGẪU 24 §2 XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TỬ TOR 31 §3 SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA XÂY DỰNG TRỰC TIẾP TOR VÀ XÂY DỰNG NHỜ PHÉP GIẢI XẠ ẢNH 46 KẾT LUẬN 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 LỜI NĨI ĐẦU Đồng điều cơng cụ dùng để đo mức độ không khớp dãy nửa khớp Các hàm tử Hom Tenxo hàm tử nửa khớp Để đo mức độ không khớp hàm tử so với hàm tử khớp, người ta xây dựng hàm tử dẫn xuất tương ứng Tor (hàm tử xoắn ) Ext (hàm tử mở rộng ) Các hàm tử ngày trở thành công cụ trụ cột nhiều lĩnh vực nghiên cứu Hình học, Topo, Đại số, Lý thuyết số… Qua trình nghiên cứu trường Đại học Sư Phạm TPHCM, tiếp cận với phương pháp xây dựng hàm tử Tor thông qua phép giải xạ ảnh Câu hỏi đặt đây: Ngoài cách xây dựng hàm tử Tor nói trên, hàm tử Tor cịn xây dựng phương pháp khác khơng? Điều dẫn đến lý khiến thực đề tài Đề tài thực nhằm mục đích nghiên cứu cách xây dựng hàm tử Tor trực tiếp Sau trình xây dựng, chứng minh hàm tử Tor xây dựng trực tiếp hàm tử Tor xây dựng gián tiếp thông qua phép giải xạ ảnh tương đương đồng luân với Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn trình bày chương: Chương 1: Trình bày kiến thức phức, đồng điều, hàm tử tenxo phép giải xạ ảnh Qua đó, xây dựng hàm tử Tor thông qua phép giải xạ ảnh Chương 2: Xây dựng trực tiếp hàm tử Tor phân hoạch ba, trình bày số tính chất định lý liên quan Cuối cùng, chương này, ta trình bày định lý tương đương hai cách xây dựng Luận văn trình bày hướng dẫn khoa học TS Trần Huyên, người thầy hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tơi suốt q trình hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Trần Hun Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy cô giảng viên giảng dạy, bảo suốt trình nghiên cứu, đặt móng kiến thức vơ q báu với tơi Tơi xin cảm ơn với Ban giám hiệu, thầy cô cơng tác phịng sau đại học trường đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập hoàn thành luận văn Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 PHỨC VÀ ĐỒNG ĐIỀU 1.1 Phức Cho R vành giao hốn có đơn vị Định nghĩa 1.1.1: Phức (phức lùi) dãy modun đồng cấu modun đánh số lùi theo tập số số nguyên có dạng: K : thỏa  n  n1   n1 n  n1  K n 1  K n   K n 1  n , tức Im  n1  Ker n n (1) n Để ngắn gọn ta bỏ số đồng cấu modun dãy (1) viết đơn giản: K :       K n 1   K n   K n 1   n , tức Im   Ker n n Định nghĩa 1.1.2: Phức (phức tiến ) dãy modun đồng cấu modun đánh số tiến theo tập số số nguyên có dạng: K : thỏa  n1 n   n1 n  n1  K n 1  K n   K n 1  n , tức Im  n  Ker n1 n (2) n Để ngắn gọn ta bỏ số đồng cấu modun dãy (2) viết đơn giản K :       K n 1   K n   K n 1   n , tức Im   Ker n n Như phức đồng cấu dãy nửa khớp đánh số theo tập số nguyên Nếu phức có chiều tăng số chiều với chiều đồng cấu ta gọi phức tiến Ngược lại, phức có chiều tăng số ngược chiều với chiều đồng cấu ta gọi phức lùi Ta chuyển phức tiến thành phức lùi ngược lại cách đặt lại số n '  n Thật vậy, ta xét dãy phức tiến sau: K :  n1 n  n1  K n 1  K n   K n 1  n Bằng cách đặt Kn  L n  n   ' n , ta dãy phức lùi:  L :   n1  n   n1  L n1   L n  L n1   ' ' ' n Trong luận văn này, tập trung vào phức lùi Vì thế, nói phức K hay phức K   K n ,  n  ta ngầm hiểu phức lùi 1.2 Biến đổi dây chuyền Cho hai phức K   K n ,  n  K '  K n' ,  'n  Khi đó, ta có định nghĩa Định nghĩa 1.2.1: Một biến đổi dây chuyền f n f : K  K ' họ đồng cấu : K n  K n'  thỏa mãn đẳng thức  'n f n  f n 1 n với số nguyên n Điều kiện đồng nghĩa với biểu đồ sau giao hoán:  K  :  K ' : K n 1 f n 1  K n' 1  n1  Kn fn   n1  K n' ' n    n1 K n 1  f n 1  n   '  n1 K n' 1  ' Để đơn giản, thường lược bỏ phần số Tuy vậy, gặp hệ thức đồng cấu, ta phải ngầm hiểu đồng cấu với số Mệnh đề 1.2.2: Ta có số tính chất sau:  Tích đồng cấu biến đổi dây chuyền biến đổi dây chuyền  Đồng cấu đồng 1K  1K : Kn  Kn  biến đổi dây chuyền n 1.3 Phạm trù phức Với phức biến đổi dây chuyền định nghĩa trên, ta định nghĩa phạm trù phức sau Định nghĩa : Phạm trù phức phạm trù mà đó:  Vật phức  Cấu xạ biến đổi dây chuyền  Phép hợp thành: phép hợp đồng cấu 1.4 Đồng điều Cho phức K , ta định nghĩa Z n  K   ker  n  K n Bn  K   Im  n 1  Z n ( K ) Định nghĩa: Ta đặt H n  K   Zn  K  Bn  K   Ker  n Im  n 1 Khi đó, ta gọi H n  K  modun đồng điều chiều n phức K Mỗi phần tử H n  K  lớp tương đương có dạng x  x  Im  n 1 x  Ker n Cho phức K  K n ,  n  , K '  K n' ,  'n  f : K  K ' biến đổi dây chuyền Xét sơ đồ sau : Theo định nghĩa biến đổi dây chuyền biểu đồ giao hốn Do đó, f n  Ker  n   Ker  'n f n  Im  n 1   Im  'n 1 Vì thế, f n cảm sinh đồng cấu với n  : f*  H n  f  : H n  K   H n  K '  Với phần tử x  Im   H n  K  , ảnh chúng qua đồng cấu xác định sau f*  x  Im    H n  x  Im    f  x   Im  ' Ta dễ dàng chứng minh đồng cấu cảm sinh f n có tính chất sau:  H n 1K   1Hn  K   H n  gf   H n  g  H n  f  Như vậy, H n hàm tử hiệp biến từ phạm trù phức biến đổi dây chuyền đến phạm trù modun Mỗi phức K ứng với modun đồng điều H n  K  biến đổi dây chuyền f ứng với đồng cấu modun H n  f  Hàm tử ta gọi hàm tử đồng điều 1.5 Đồng luân dây chuyền Bây giờ, ta xét biến đổi dây chuyền f , g : K  K ' Tiếp theo ta xây dựng cấu trúc modun cho Torn  G, C  Để thực điều này, trước hết ta cần xác định phép nhân thỏa tiên đề R-modun trái, phải 2.5 Cấu trúc modun cho Torn  G, C  Mệnh đề 2.5.1: Nếu G T k :G R song modun với phần tử k T ánh xạ G với k  g   kg , g  G trở thành R đồng cấu Chứng minh: Ta dễ dàng kiểm tra tính đồng cấu ánh xạ Thật vậy, ta có: g1 , g  G :k  g1  g   k  g1  g   kg1  kg2  k  g1   k  g  r  R, g  G :k  gr   k  gr    kg  r  k  g  r R Như vậy, ta chứng minh ánh xạ đồng cấu k xác định Mệnh đề 2.5.2: Cho G T R song modun C R modun trái Khi đó, Torn  G, C  trang bị cấu trúc T modun trái với phép nhân xác định sau: k  T , t    , L,   Torn  G , C   kt  k *  t   k  , L,  Mệnh đề ta tự kiểm tra thông qua tiên đề modun trái Tương tự với xây dựng trên, C R S song modun C với  s  c   cs, c  C trở thành R đồng cấu s S , ánh xạ s : C Khi đó, tập Torn  G, C  trang bị cấu trúc S nhân ngồi sau: 42 modun phải với phép s  S , t    , L,   Torn  G, C   t.s   s*  t     , L,  s  Từ mệnh đề trên, ta có định lý: Định lý 2.5.3: Nếu G T R song modun C R đó, Torn  G, C  T S song modun S song modun Chứng minh: Nếu G T R song modun Torn  G, C  T modun trái S song modun Torn  G, C  S modun phải theo mệnh đề Nếu C R theo cách xây dựng Như vậy, ta cần chứng minh với phần tử k T , phần tử s S phần tử t    , L,   Torn  G , C  ta có:  kt  s  k  ts  Thật vậy, ta có:  kt  s  k  , L,  s  k  , L,  s   k *   , L,  s   k *  ts   k  ts  2.6 Hàm tử Torn Với  : G  G ',  : C  C ' đồng cấu R modun phải R modun trai Theo phần trước, , cảm sinh ánh xạ * , * Ta kiểm tra định nghĩa đồng cấu nhóm, ánh xạ cảm sinh đồng cấu nhóm Các đồng cấu nhóm cảm sinh , có tính chất thể mệnh đề sau: Mệnh đề 2.6.1: Với 1, : G G ' R cấu R modun trái đó: modun phải 43 , :C C ' đồng 1  2 *  1*  2*    *   1*   2* Chứng minh: t    , L,   Torn  G , C  Ta có: 1  2  *  t    1  2   , L,   1  2  , L,  Do phần tử Torn có tính cộng tính nên 1  2  *  t   1 , L,   2  , L,   1*  t   2*  t  Từ đó, suy 1   *  1*   2* Thực tương tự, ta chứng minh    *   1*   2* Định lý 2.6.2: Torn hàm tử hiệp biến Chứng minh: Ta cố định biến thứ nhất, ta có Torn  G ,   hàm tử hiệp biến từ phạm trù R tương ứng modun trái vào phạm trù nhóm abel Thật vậy, ta đặt  Mỗi vật C phạm trù phạm trù Ab  Mỗi cấu xạ : C C' R Mod tương ứng với vật Torn  G, C  tương ứng với cấu xạ  * : Torn  G, C   Torn  G , C ' Bây giờ, ta kiểm tra tiên đề hàm tử HT1 HT2:  HT1: Với vật C R Mod , ta có 1C : C 1C *  1Tor G,C  : Torn G, C   Torn G, C  n 44 C tương ứng với  HT2: Với :A B :B C C :A Đồng thời   * : Torn  G, A   Torn  G, C    *  * * Như vậy, Torn  G ,   hàm tử hiệp biến Tương tự ta cố định biến thứ hai Torn  , C  hàm tử hiệp biến từ phạm trù Mod R vào phạm trù nhóm abel Thật vậy, ta đặt tương ứng:  Mỗi vật G phạm trù Mod R tương ứng với vật Torn  G, C  phạm trù Ab  Mỗi cấu xạ :G G' tương ứng với cấu xạ * : Torn  G, C   Torn  G ', C  Bây giờ, ta kiểm tra tiên đề hàm tử HT1 HT2:  HT1: Với vật G ModR , ta có 1G : G 1G *  1Tor G,C  : Torn G, C   Torn G, C  n  HT2: Với : G1 G2 : G2 G tương ứng với G3 :G1 G3 Đồng thời   * : Torn  G1 , A  Torn  G3 , C    *  * * Do đó, Torn hàm tử hiệp biến theo biến Hơn nữa, Torn cịn hàm tử cộng tính theo hai biến 45 §3 SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA XÂY DỰNG TRỰC TIẾP TOR VÀ XÂY DỰNG NHỜ PHÉP GIẢI XẠ ẢNH Ở mục trên, ta xây dựng hàm tử Torn cách trực tiếp nhờ phân hoạch ba Trong chương 1, ta xây dựng hàm tử Torn nhờ phép giải xạ ảnh Vậy câu hỏi đặt hai hàm tử Torn xây dựng hai có quan hệ với ? Trong phần này, ta trả lời câu hỏi thông qua việc chứng minh đinh lý quan trọng : “ Hai hàm tử Torn xây dựng cách tương đương mđồng luân” Định lý 3.1: Tồn đẳng cấu tự nhiên G  R C  Tor0  G , C  Chứng minh: Mỗi phần tử g G xác định ánh xạ đẳng thức  g  r   gr với r xạ  c g :R R* g :R G R modun phải theo R Tương tự, phần tử c C xác định ánh C R modun trái theo đẳng thức  c 1  c Bộ ba , R , C  thuộc Tor0  G , C  cộng tính theo G , C tuyến tính Như vậy, ánh xạ g  c  g , R , C  đồng cấu nhóm abel từ G Đồng cấu đồng cấu tự nhiên biến phần tử C vào Tor0  G , C   g  c G C i i thành ba   , F ,  Trong đó, F modun tự với phần tử sinh ei Đồng thời , thỏa mãn đẳng thức   ei   gi v  ei   ci 46 Bây giờ, ta xây dựng ánh xạ ngược từ Tor0  G , C  vào G C Mỗi phần tử Tor0  G , C  viết ba   , F ,  Trong đó, F modun tự hữu hạn sinh đồng cấu  : F G , : F  C * Do F modun tự hữu hạn sinh nên ta chọn sở F e1 , e2 , , em m xác định sở đối ngẫu e , e , , e F * Ta đặt:    , F ,      ei    ei   G  C m i 1 Bây giờ, xét s : F F ' ei e j ' sở F F ' Khi đó, ta có: s  ei    e j ' rji j rji  ma trận phần tử thuộc vành hệ tử R Khi đó: s*e ' j   rji ei i ta có:      ' s , F ,      ' s  ei     ei       '  e j ' rji     ei  i i  j        ' e j '   rji ei       ', F ', s*  j  i  Như vậy, ta chứng minh F F ' xác định tốt Đồng thời, không phụ thuộc vào việc chọn sở F Và ngược ánh xạ nên từ suy 47 ánh xạ G  R C  Tor0  G , C  Ta kết thúc chứng minh Hệ : Cho L R modun phải xạ ảnh hữu hạn sinh Khi đó, tồn đẳng cấu tự nhiên  : HomR  L* , C   L R C xác định theo đẳng thức     1L , L ,  Do đó, phần tử t  Tor0  L , C  có biểu diễn dạng 1L , L ,  đồng cấu từ L* đến C Chứng minh: Do tính chất cộng tính nên đồng cấu tự nhiên Bây giờ, ta chứng minh đẳng cấu:   Ta có: L R C  L** R C   Hom  L* , C   Tor0  L , C  Theo mệnh đề modun đối ngẫu, ta có vậy, để chứng minh đẳng cấu, ta chứng minh chứng minh ánh xạ đồng Nếu L đẳng cấu tự nhiên Như R theo định nghĩa ánh xạ, tích đẳng cấu, cụ thể ánh xạ đồng Các hàm tử có tính chất cộng tính nên kết luận với L modun tự hữu hạn sinh Với modun L xạ ảnh hữu hạn sinh L hạng tử trực tiếp modun tự hữu hạn sinh F Các ánh xạ , ánh xạ tự nhiên nên biến 48 hạng tự trực tiếp vào hạng tử trực tiếp Như vậy, kết luận với L xạ ảnh hữu hạn sinh Vậy ta có điều phải chứng minh Định lý 3.2: Đối với phép giải :X G modun G R R modun trái C tồn đồng cấu:  : TornR  G, C   H n  X  R C  , n  0,1, đó, đồng cấu tự nhiên C Hơn nữa, xạ ảnh đẳng cấu tự nhiên G C :X Chứng minh: Với phần tử t  Torn  G , C  t    , L,  Ta có: :LG  : X G Theo định lý so sánh có biến đổi dây chuyền h: L X Ta đặt:    , L,   cls  hn , Ln ,   H n  X  C  Cách đặt hợp lý, hn : Ln X n : L*n  hn , Ln ,   Tor0  X n , C   X n  C 49 C nên: G phép giải Hơn nữa, phần tử  hn , Ln ,  chu trình X C vì:   hn , Ln ,    hn , Ln ,    hn 1, Ln ,    hn 1 , Ln 1 ,*    hn 1 , Ln 1 ,   Lớp đồng điều chu trình phụ thuộc vào h ' : L  X biến đổi dây chuyền khác tồn đồng luân   , L,  s Nếu cho: hn '  hn  sn  sn1 Khi đó,  hn ', Ln ,    hn , Ln ,     sn , Ln ,    s n1 , Ln ,    hn , Ln ,     s n , Ln ,    s n 1 , Ln 1 ,*    hn , Ln ,     s n , Ln ,  Như vậy, chu trình  hn ', Ln ,  có nhờ  hn , Ln ,  cộng với phần tử bờ Nếu t    ' s, L,  t '    ', L ', s*  s : L  L ' đó, phần tử X h ' s : L Torn Nếu h ' : L ' X đồng thời Tor0 Thật vậy, t   hn' s, Ln ,    hn' , Ln ', s*   t ' Bây giờ, ta chứng minh tính đồng cấu Tức chứng minh   t1  t2   t1  t2 , t1 , t2  TornR  G, C  R Với t1 , t2  Torn  G , C  50 t t' t1   1 , L1 ,  , t2   2 , L2 ,  Khi đó, t1  t2     1  2  , L1  L2 ,      Do đó,   t1  t2       1  2  , L1  L2 ,         cls   hn1  hn2  , L1n  L2n ,      t1  t2 đó, hi : Li X sinh biến đổi dây chuyền   h1  h2  : L1  L2  X đồng cấu Vậy Tính tự nhiên nhiên A suy trực tiếp từ định nghĩa.Tính tự G suy từ nhận xét f : X với biến đổi dây chuyền h : L  G ' nhân :G X cho ta biến đổi dây chuyền fh : L X ' toàn cấu Tiếp theo, ta chứng minh Để chứng minh X' toàn cấu, ta cần với phần tử y  H n  X n  C  tồn   , L,   Torn  G, C  cho    , L,   y Vì m y phần tử y   xi  ci  Im   n 1  1 i 1 Hn  X n  C  m  x  c  Ker   i 1 i i n nên y có dạng  1 xi phần tử sở X n ci  C Ta đặt X n ' modun sinh phần tử xi có 51 m tham gia  x  c  Ker   i 1 i i n  1 Khi đó, X n ' modun tự hữu hạn sinh X n đồng thời X n ' hạng tử trực tiếp X n Ta có: X n  X n ' X n '' với X n '' modun sinh phần tử lại sở X n không tham m gia  x  c  Ker   i 1 i i n  1 Do đó, ta có : in : X n '  X n phép nhúng đồng thời dãy  X n '  Xn  X n ''  dãy khớp chẻ nên dãy  X n ' C  X n  C  X n '' C  dãy khớp chẻ in 1: X n ' C  X n  C phép nhúng Ta có X n ' modun hữu hạn sinh nên   X n ' modun hữu hạn sinh Ta đặt X n 1 ' modun tự hữu hạn sinh X n 1 đồng thời chứa   X n ' Tương tự trình ta xây dựng X n2 ' Tiếp tục xây dựng ta có dãy: n ' ' X n '   X n1 '   X '  G Trong  k ' đồng cấu thu hẹp  k X k ' nên  k 1 '  k '  Như vậy, dãy phức G Các phép nhúng ik : X k '  X k cảm sinh phép nhúng ik 1C : X k ' C  X k  C Do đó, i  biến đổi dây chuyền 52 từ phức X ' C vào phức X  C Như y  H n  X n ' C  chu trình m  x  c X i 1 i i n ' C Theo định lý trên, ta có X n ' C  Tor0  X n ', C  Theo hệ chu trình viết dạng 1, X n ',  1: X n '  X n '  : X n '  C Khi đó, ta chọn   G Đặt t   , L,   Torn  G , C  Suy ra, phức L : X n '   X ' L    t   cls  in , X n ',   y Vậy  toàn cấu Cuối cùng, ta chứng minh Giả sử t đơn cấu , tức chu trình  hn , Ln ,  có bờ  hn , Ln ,  có bờ X ' A với X ' X A Do đó, X phức tự hữu hạn sinh X Ta chọn X ' chứa h  L  Khi đó, biến đổi dây chuyền h : L biến đổi dây chuyền h ' : L X sinh X '  hn ', Ln ,   1, X n' , hn'*  bờ dây chuyền  n  1 chiều X ' A Theo hệ định lý 1, ta viết dây chuyền dạng 1, X n' 1 ,   Trong đó, Khi đó: 1, X ' n , hn'*    1, X n' 1 ,    1, X n' , *  Do tính biểu diễn hệ định lý nên 53 : X n'* A  hn'*  * Giả sử n0 X ' phần từ X 0' đến X n' phức X ' đến X n' n 1 X ' phần từ X 1' phức X ' Khi đó, h ' : L 0n X '  :1n 1 X ' 0n X ' biến đổi dây chuyền Phần tử xuất phát t  Torn  G , A  trở thành:   , L,    ' h ', L,    ', 0n X ', h'*    ', 0n X ', *    ' , n11 X ',     0, n11 X ',    Vậy t Do đó, đơn cấu nên đẳng cấu Ta kết thúc chứng minh Vậy ta chứng minh tồn đẳng cấu tự nhiên từ hàm tử Torn  G, A  vào H n  X  A  với X phép giải xạ ảnh G Trong chương một, ta xây dựng hàm tử Tor dãy đồng điều Định lý ta vừa nêu chứng minh, hàm tử Tor xây dựng chương chương tương đương đồng luân với 54 KẾT LUẬN Luận văn trình bày hai cách xây dựng hàm tử Tor Xây dựng hàm tử Tor phép giải xạ ảnh trình bày chương Xây dựng hàm tử Tor trực tiếp phân hoạch ba trình bày chương Ngồi ra, hai chương, luận văn trình bày tính chất hàm tử Tor Cuối cùng, phần cuối chương 2, luận văn chứng minh tương đương hàm tử Tor xây dựng cách Vì thời gian có hạn kiến thức cịn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi sai sót Tơi mong nhận đóng góp, quan tâm quý thầy cô bạn học viên để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Saunders Mac Lane ( 1975), Homology, Classics in Mathematics [2] Cartan H and Eilenberg S (1956), Homological abgebra, Princeton [3] Trần Huyên, Nguyễn Viết Đông (2003), Đại số đồng điều, Nhà Xuất Bản Đại học Quốc Gia TPHCM, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên [4] Avramov, Luchezar; Halperin, Stephen (1986), Through the looking glass: a dictionary between rational homotopy theory and local algebra, in J.-E Roos (ed.), Algebra, algebraic topology, and their interactions (Stockholm, 1983) [5] Hilton, Peter (1988), A Brief, Subjective History of Homology and Homotopy Theory in This Century, Mathematics Magazine, Mathematical Association of America, 60 (5): 282–291, JSTOR 2689545 [6] Hồng Xn Sính (2005), Đại số đại cương, Nhà Xuất Bản Giáo dục [7] Saunders Mac Lane (1971), Categories for the Working Mathematician [8] William S Massey, Singular homology theory, Springer, 1980 [9] Nguyễn Văn Đồnh – Tạ Mân, Nhập mơn Tơpơ Đại số (Đồng điều đồng luân), Nhà xuất Đại học Sư phạm Hà Nội, 2015 56 ... tài thực nhằm mục đích nghiên cứu cách xây dựng hàm tử Tor trực tiếp Sau trình xây dựng, chứng minh hàm tử Tor xây dựng trực tiếp hàm tử Tor xây dựng gián tiếp thông qua phép giải xạ ảnh tương... Tor0  h , k   h  k Với kết nêu trên, ta nhận thấy Torn hàm tử hiệp biến theo biến với n Hàm tử Tor xây dựng hàm tử Tor xây dựng phép giải xạ ảnh Ở chương sau, xây dựng hàm tử Tor trực tiếp. .. §2 HÀM TỬ TENXO 14 §3 PHÉP GIẢI XẠ ẢNH VÀ HÀM TỬ TOR 19 Chương 2: XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TỬ TOR 24 §1 MODUN ĐỐI NGẪU 24 §2 XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TỬ TOR