TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG KHOA TỐN Nguyễn Trần Quyền PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Ngành: Sư phạm Tốn Giảng viên hướng dẫn: TS Lê Hồng Trí Đà Nẵng - 2019 Lời trước trình bày nội dung khố luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến Sỹ Lê Hồng Trí người tận tình hướng dẫn để em hồn thành khố luận Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến toàn thể giảng viên tận tình dạy bảo em suốt trình học tập trường Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè đặc biệt tập thể bạn lớp 15ST động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khoá luận tốt nghiệp Đà Nẵng, ngày 23 tháng 01 năm 2019 Sinh viên Nguyễn Trần Quyền Mục lục Lời mở đầu CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .7 .7 1.2 Hàm số Gamma Euler 16 1.1 Tích phân suy rộng 19 1.4 Một số vấn đề liên quan đến hàm biến phức 25 1.3 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số CHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN 33 2.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace 33 2.2 Điều kiện tồn phép biến đổi Laplace 36 39 2.4 Đạo hàm tích phân phép biến đổi Laplace 52 2.3 Các tính chất phép biến đổi Laplace 56 2.5.1 Dùng khai triển phân thức 58 2.5 Phép biến đổi Laplace ngược 2.5.2 Dùng tích chập 60 2.5.3 Sử dụng thặng dư tích phân phức 63 2.6 Giá trị đầu giá trị cuối 68 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 70 3.1 Phương trình vi phân tuyến tính 70 73 3.3 Ứng dụng toán dao động 74 3.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 3.3.1 Bài tốn dao động điều hồ khơng có lực cản 74 3.3.2 Bài toán dao động tắt dần với lực cản tỉ lệ bậc với vận tốc 75 3.3.3 Dao động cưỡng lực cản 75 80 82 3.4 Ứng dụng toán mạch điện 3.5 Nghiệm phương trình tích phân 3.6 Nghiệm phương trình sai phân vi sai phân 88 LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phép biến đổi Laplace phép biến đổi tích phân vơ quan trọng tốn học Ứng dụng lớn để giải tốn phương trình vi phân toán liên quan Nguồn gốc ứng dụng chỗ phép biến đổi Laplace cho phép chuyển từ phép tính vi tích phân hàm sang phép tính đại số ảnh hàm qua phép biến đổi Laplace Các phép biến đổi cho phép chuyển gọi chung phép tính tốn tử (operational calculus) Phép biến đổi đặt theo tên nhà toán học thiên văn văn học tiếng người Pháp Pierre Simon Laplace (23/03/1749-05/03/1827) Phép biến đổi Laplace ông nghiên cứu từ năm 1782 Tuy nhiên tính hữu dụng phương pháp không công nhận Các kỹ thuật phép biến đổi Laplace vô hiệu nhà kỹ sư điện người Anh Oliver Heaviside (1850-1925) phát triển khoảng năm sau Vì phép biến đổi Laplace cịn gọi phép tính Heaviside (Heaviside calculus) Việc tìm hiểu sâu lý thuyết phép biến đổi Laplace ứng dụng có ý nghĩa khơng sinh viên ngành tốn mà cịn với sinh viên ngành vật lý hay kĩ thuật Do đó, giúp đỡ hướng dẫn giảng viên Lê Hồng Trí, em định chọn đề tài "Phép biến đổi Laplace" làm đề tài khố luận tốt nghiệp Mục tiêu đề tài Nhằm hiểu thấu đáo lý thuyết phép biến đổi Laplace định nghĩa, tính chất, biến đổi Laplace ngược số phương pháp biến đổi Laplace thông dụng Ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải số phương trình vi phân thường, phương trình sai phân, vi sai phân toán liên quan thường xuất vật lý khoa học kỹ thuật Đối tượng nghiên cứu Phép biến đổi Laplace ứng dụng liên quan Phạm vi nghiên cứu Các sở lý thuyết vấn đề liên quan đến phép biến đổi Laplace tốn vật lý giải phép biến đổi Laplace Phương pháp nghiên cứu Trong khoá luận em chủ yếu sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết để thực đề tài Trước tiên thu thập báo khoa học, sách liên quan đến đề tài khố luận, tìm hiểu vấn đề Sau trình bày kết đề tài theo hệ thống khoa học với chứng minh chi tiết Đồng thời sử dụng kiến thức kết có Hàm biến phức, Biến đổi tích phân, Phương trình vi phân, Cấu trúc khoá luận CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày, hệ thống số lý thuyết tích phân suy rộng, tích phân suy rộng phụ thuộc tham số số vấn đề hàm biến phức nhằm thuận tiện việc trình bày kiến thức Chương Chương CHƯƠNG 2: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN Chương trình bày, hệ thống định nghĩa, tính chất, định lý bản, điều kiện tồn phép biến đổi Laplace số phương pháp tìm phép biến đổi ngược Laplace số hàm ảnh cho trước CHƯƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Chương trình bày số cách giải phương trình vi phân tuyến tính, hệ phương trình vi phân tuyến tính, phương trình tích phân, phương tình sai phân phương trình vi sai phân cách ứng dụng phép biến đổi Laplace Đồng thời trình bày số tốn học dao động toán mạch điện giải phép biến đổi Laplace CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tích phân suy rộng Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm f hàm số xác định nửa khoảng [a; +∞) khả tích đoạn [a; b] với b > a Nếu b f (x)dx = I lim b→+∞ a I ∈ R, I = +∞, I = −∞ I gọi tích phân suy rộng loại hàm f nửa khoảng [a; +∞) kí hiệu +∞ f (x)dx a +∞ f (x)dx tồn Nếu I nhận giá trị hữu hạn (I ∈ R) Khi ta nói a +∞ f (x)dx hội tụ Tích phân khơng hội tụ gọi phân ta nói a kỳ +∞ +∞ 0 +∞ b −x e dx = lim b→+∞ +∞ b→+∞ b dx = lim + x2 b→+∞ Ta có b −x e dx = lim Ta có dx + x2 e−x dx Ví dụ 1.1.2 Tính −x −e = lim b→+∞ b − e−b = dx π = lim arctan b = lim arctan b = b→+∞ + x2 b→+∞ +∞ dx với α số thực cho trước xα Ví dụ 1.1.3 Tính Nếu α = với b ∈ R, b > ta có b dx = ln b → +∞ b → +∞ x +∞ dx = +∞ x Do Giả sử α = với b ∈ R, b > ta có b dx x1−α = xα 1−α b b +∞ dx = +∞ xα dx = lim xα b→+∞ Nếu α < 1 +∞ b dx = lim xα b→+∞ Nếu α > b1−α = − 1−α 1−α dx = xα α−1 Các kết cho định lý sau +∞ dx (với α số thực bất kỳ) xα Định lí 1.1.4 Tích phân suy rộng (i) Phân kỳ α (ii) Hội tụ đến 1 α > α−1 Định lí 1.1.5 Giả sử f hàm số xác định nửa khoảng [a; +∞), khả tích đoạn [a; b] với a < b Nếu f (x) với x ∈ [a; +∞) +∞ f (x)dx ln tồn (hữu hạn +∞) tích phân a b Chứng minh Đặt F (b) = f (x)dx, b a Nếu b b a b F (b ) = b f (x)dx = a b b f (x)dx + f (x)dx = F (b) + a b f (x)dx F (b) b Do hàm số b → F (b) tăng [a; +∞) nên tồn lim F (b) = b→+∞ b lim +∞ f (x)dx, tức tồn b→+∞ a f (x)dx, a b +∞ f (x)dx = sup F (b) = a f (x)dx sup b∈[a;+∞) b∈[a;+∞) a +∞ f (x)dx tồn (hữu hạn +∞) Do tích phân a Nhận xét 1.1.6 Từ định lý 1.1.5 thấy với f hàm số xác định nửa khoảng [a; +∞), khả tích đoạn [a; b] với a < b +∞ với x ∈ [a; +∞) Nếu f (x) a b b f (x)dx < +∞ tức hàm số b → sup b a f (x)dx hội tụ a f (x)dx bị chặn [a; +∞) a Định lí 1.1.7 (Dấu hiệu so sánh) Giả sử f g hai hàm số xác định khoảng [a; +∞) khả tích đoạn [a; b] với b > a Nếu f (x) g(x) với x ∈ [a; +∞) từ suy ra: +∞ (i) Nếu +∞ g(x)dx hội tụ a f (x)dx hội tụ; a Ví dụ 3.4.2 Xét mạch LC thoả mãn phương trình sau t Li + C i(τ )dτ = E với điều kiện đầu i(0) = Tác động phép biến đổi Laplace vào hai vế phương trình ta I(s) E LsI(s) − Li(0) + = Cs s E ⇔I(s) = L s + LC Lấy phép biến đổi Laplace ngược ta có C sin √ t i(t) = E L LC 3.5 Nghiệm phương trình tích phân Thơng thường phương trình tích phân có dạn b f (t) = h(t) + λ k(t, τ )f (τ )dτ a f hàm chưa biết, đại lượng lại biết Nếu a = 0, b = t k(t, τ ) = g(t − τ ) ta nhận phương trình tích phân chập có dạng t g(t − τ )f (τ )dτ f (t) = h(t) + λ Tác động Laplace vào vế phương trình ta F (s) = H(s) + λG(s)H(s) ⇔ F (s) = H(s) − λG(s) Lấy biến đổi Laplace ngược ta nhận nghiệm f (t) = L−1 Ví dụ 3.5.1 Giải phương trình tích phân t f (t) = a + λ f (τ )dτ 82 H(s) − λG(s) Tác động Laplace vào phương trình ta a F (s) a F (s) = + λ ⇔ F (s) s s s−λ Lấy biến đổi Laplace ngược ta thu đợc nghiệm f (t) = ae−λt Ví dụ 3.5.2 Xét phương trình tích phân sau t sin(t − τ )f (τ )dτ = t sin t Tác động Laplace vào vế phương trình ta s F (s) = 2 s +1 (s + 1)2 s ⇔ F (s) = s +1 Lấy phép biến đổi Laplace ngược ta có nghiệm f (t) = cos t Nhận xét 3.5.3 Nếu lấy đạo hàm theo biến t hai phương trình cho ta t sin t + t cos t cos(t − τ )f (τ )dτ = Tiếp tục lấy đạo hàm hai vế theo biến t ta t f (t) − sin(t − τ )f (τ )dτ = cos t − t sin t Cả hai phương trình có nghiệm f (t) = cos t Ví dụ 3.5.4 Giải phương trình tích phân t f (t) = atn − e−bt − c f (τ )ec(t−τ ) dτ 83 Tác động Laplace vào hai vế phương trình ta c an! − F (s) F (s) = n+1 − s s+b s−c c an! ⇔F (s) + = n+1 − s−c s s+b an! s ⇔F (s) = n+1 − s−c s s+b s − c an! − ⇔F (s) = s sn+1 s + b acn! s−c an! ⇔F (s) = n+1 − n+2 − s s s(s + b) an! acn! c c ⇔F (s) = n+1 − n+2 + − + s s bs b s+b Cuối lấy phép biến đổi Laplace ngược ta nhận nghiệm sau acn! n+1 c c −bt f (t) = atn − t + − 1+ e (n + 1!) b b Ví dụ 3.5.5 Giải phương trình tích phân Abel t f (τ ) dτ = g(t) ; < α < (t − τ )α Tác động Laplace vào phương trình ta F (s)L−1 t−α = G(s) Γ(1 − α) ⇔F (s) 1−α = G(s) s s1−α ⇔F (s) = G(s) Γ(1 − α) Vậy nghiệm phương trình x(t) = L−1 {X(s)} √ Chẳng hạn xét trường hợp α = , g(t) = 1+t+t2 Khi Γ(1−α) = π , 1 G(s) = + + s s s 1 F (s) = √ + + π s s s 52 Vậy f (t) = √ + 2t + t2 π t 84 Ví dụ 3.5.6 Giải phương trình sau t cos(t − τ )f (τ )dτ = sin t Tác động biến đổi Laplace vào vế phương trình ta s F (s) = s2 + s+ 1 ⇔F (s) = s Vậy f (t) = Ví dụ 3.5.7 Giải phương trình tích phân sau t f (t) = e−t + sin(t − τ )f (τ )dτ Tác động phép biến đổi Laplace vào hai vế phương trình ta 1 F (s) = + F (s) s+1 s +1 s2 + 1 ⇔ F (s) = = + 2− s (s + 1) s + s s Vậy f (t) = 2e−t + t − Ví dụ 3.5.8 Giải phương trình vi tích phân sau t f (τ ) sin(t − τ )dτ f (t) = a sin t + với điều kiện đầu f (0) = Lấy phép biến đổi Laplace hai vế phương trình ta a F (s) = + 2L {f (t)} L {sin t} s +1 a sF (s) − f (0) ⇔F (s) = + s +1 s2 + a ⇔F (s) = (s − 1)2 Lấy phép biến đổi Laplace ngược ta f (t) = atet 85 Ví dụ 3.5.9 Xét phương trình tích phân Volterra t et−τ f (τ )dτ = sin t Tác động Laplace vào hai vế phương trình ta 1 F (s) = s−1 s +1 s s−1 = − ⇔F (s) = s +1 s +1 s +1 Lấy phép biến đổi Laplace ngược ta có nghiệm f (t) = cos t − sin t Mặt khác tích phân t et−τ f (τ )dτ = cos t Lấy phép biến đổi Laplace hai vế phương trình ta nhậnc s F (s) = − − s +1 s +1 Do phương trình có nghiệm f (t) = δ(t) − cos t − sin t Ngoài ta cịn có tính chất sau  b    L f (t, τ )dτ =   a b L {f (t, τ )} dτ a Ví dụ 3.5.10 Xét tích phân sau +∞ sin tτ dτ τ (a2 + τ ) f (t) = 86 Tác động Laplace vào hai vế đẳng thức ta +∞ +∞ dτ τ (a + τ ) F (s) = e−st sin τ tdt 0 +∞ dτ (a2 + τ )(s2 + τ ) = +∞ = s − a2 1 − a2 + τ s2 + τ dτ τ τ 1 arctan − arctan = s − a2 a a s s 1 π − = s − a2 a s π − = 2a s s + a Cuối lấy phép biến đổi Laplace ngược π f (t) = − e−at 2a Ví dụ 3.5.11 Xét tích phân sau +∞ f (t) = +∞ sin2 tτ dτ τ2 Trước dễ thấy sin2 tτ = − cos 2tτ Tác động Laplace vào hai vế đẳng thức ta +∞ F (s) = τ2 s − s s + 4τ +∞ = s dτ 4τ + s2 21 τ = arctan s 2s s π = 2s 87 +∞ dτ Cuối lấy phép biến đổi Laplace ngược πt f (t) = Ví dụ 3.5.12 Với a > chứng minh +∞ τ sin tτ π dτ = e−at 2 τ +a Đặt +∞ τ sin tτ dτ τ + a2 f (t) = Tác động Laplace vào hai vế đẳng thức ta +∞ F (s) = τ dτ (τ + a2 )(τ + s2 ) +∞ a2 s2 − a2 − s τ + a2 a2 − s τ + s = dτ s2 π a2 π − = a − s2 2a a2 − s2 2s π = 2(s + a) Cuối lấy phép biến đổi Laplace ngược π f (t) = e−at 3.6 Nghiệm phương trình sai phân vi sai phân Giả sử {uk }+∞ k=1 dãy số Khi tốn tử sai phân ∆, ∆ , ∆ , , ∆n định nghĩa sau ∆uk = uk+1 − uk , ∆2 uk = ∆ (∆uk ) = ∆ (uk+1 − uk ) = uk+2 − 2uk+1 + uk , ∆2 uk = ∆2 (uk+1 − uk ) = uk+3 − 3uk+2 + 3uk+1 − uk Tổng quát ta có n n n−1 ∆ uk = ∆ (−1)i Cni uk+n−i (uk+1 − uk ) = i=0 88 Phương trình sau gọi phương trình sai phân tuyến tính cấp n n ∆i uk = f (n) i=0 (0 i n) số f (n) hàm số với số tự nhiên n Còn phương trình sau gọi phương trình vi sai phân u (t) − u(t − 1) = u (t) − au(t − 1) = f (t) với f (t) hàm số cho Để giải phương trình ta xét hàm số sau sn (t) = un (t) − un+1 (t) , n t n + 1, n tự nhiên ua (t) hàm bước nhảy đơn vị Heaviside Áp dụng phép biến đổi Laplace cho Sn (t) ta +∞ e−st [un (t) − un+1 (t)] dt Sn (s) = n+1 e−st dt = = e−(n+1)s − e−ns s n − e−s Dễ thấy S0 (s) = Do s Sn (s) = S0 (s)e−ns Chúng ta định nghĩa hàm u(t) chuỗi số sau +∞ u(t) = un sn (t), n=0 {un }+∞ n=0 dãy số cho Theo u(t) khoảng n n + Hơn +∞ u(t + 1) = +∞ un [un (t + 1) − un+1 (t + 1)] un sn (t + 1) = n=0 +∞ = n=0 +∞ un sn−1 (t) = n=1 un+1 sn (t) n=0 89 t< Tổng quát hoá ta có +∞ u(t + k) = un+k sn (t) n=0 Áp dụng phép biến đổi Laplace cho u(t) ta +∞ e−st u(t)dt = U (s) = +∞ +∞ 0 e−st sn (t)dt un +∞ un e−ns = S0 (s)ζ(s) = S0 (s) với ζ(s) định nghĩa +∞ un e−ns ζ(s) = Áp dụng biến đổi Laplace ngược ta u(t) = L−1 {S0 (s)ζ(s)} Chẳng hạn xét un = an ta có +∞ ζ(s) = ae −s n n=0 es = s = − ae−s e =a Do L {an } = S0 (s)ζ(s) = S0 (s) hay n a =L −1 es es = a es {} S0 (s) s e =a Bây ta lại xét dãy un = (n + 1)an sau +∞ (n + 1)(ae−s )n = (1 − ae−s )−2 n=0 Để chứng minh điều ta coi ae−s x Tức cần chứng minh +∞ (n + 1)xn = (1 − x)2 n=0 trước hết dễ thấy +∞ xn = n=0 90 1−x Lấy đạo hàm hai vế ta +∞ nxn−1 = n=0 nên +∞ nxn = n=0 (1 − x)2 x (1 − x)2 tóm lại +∞ +∞ n (n + 1)x = n=0 +∞ n xn = nx + n=0 n=0 x 1 + = (1 − x)2 − x (1 − x)2 Trở lại toán ta L {(n + 1)an } = S0 (s)(1 − ae−s )−2 = e2s S0 (s) (es − a)2 hay n (n + 1)a = L −1 e2s S0 (s) (es − a)2 Còn trường hợp thay n + n ta +∞ n(ae−s )n = ae−s (1 − ae−s )−2 n=0 Do aes L {na } = S0 (s) s (e − a)2 n hay n na = L −1 aes S0 (s) s (e − a)2 Định lí 3.6.1 Giả sử U (s) = L {u(t)}, ta có điều sau L {u(t + 1)} = es [U (s) − u(0)S0 (s)] 91 Chứng minh +∞ +∞ e−st u(t + 1)dt = es L {u(t + 1)} =   = es U (s) − eτ u(τ )dτ đặt τ = t + eτ u(τ )dτ   = es U (s) − u(0)  eτ dτ  = es [U (s) − u(0)S0 (s)] Tương tự ta có L {u(t + 2)} = es [L {u(t + 1)} − u(1)S0 (s)] = e2s [U (s) − u(0)S0 (s)] − es u(1)S0 (s) = e2s U (s) − u(0) + u(1)e−s S0 (s) L {u(t + 3)} = e3s U (s) − u(0) + u(1)e−s + u(2)e−2s S0 (s) Một cách tổng quát ta có k L {u(t + k)} = e ks u(i)e−is U (s) − S0 (s) i=0 Ví dụ 3.6.2 Giải phương trình sai phân ∆un − un = với điều kiện đầu u(0) = Phương trình cho tương dương với un+1 − 2un = Tác động Laplace vào hai vế phương trình ta es [U (s) − u(0)S0 (s)] − 2U (s) = es S0 (s) ⇔U (s) = s e −2 Lấy biến đổi Laplace ngược ta có nghiệm un = 2n 92 Ví dụ 3.6.3 Chứng minh phương trình sai phân ∆2 un − 2un = có nghiệm 3u(0) − u(1) u(1) − u(0) n + 2 Phương trình cho tương đương với un = un+2 − 4un+1 + 3un = Tác động phép biến đổi Laplace vào hai vế phương trình ta e2s U (s) − u(0) + u(1)e−s S0 (s) − 4es [U (s) − u(0)S0 (s)] + 3U (s) = u(0) e2s − 4es + u(1)es ⇔ U (s) = S0 (s) e2s − 4es + Aes Bes = S0 (s) s + e − es − với A B thoả mãn u(0) e2s − 4es + u(1)es = A (es − 3) + B (es − 1) u(0) e2s − 4es + u(1)es = (A + B) e2s − (3A + B) es u(1) − u(0) 3u(0) − u(1) B = Đồng hệ số hai vế giải hệ ta A = 2 Như ta (3u(0) − u(1))es (u(1) − u(0))es U (s) = S0 (s) + 2(es − 1) 2(es − 3) Lấy biến đổi Laplace ngược ta có điều cần chứng minh Ví dụ 3.6.4 Giải phương trình vi phân sau un+2 − 2λun+1 + λ2 un với điều kiện u(0) = u(1) = Tác động Laplace vào hai vế phương trình ta e2s U (s) − e−s S0 (s) − 2λU (s)es + λ2 U (s) = từ ta có es S0 (s) U (s) = s (e − λ)2 Áp dụng biến đổi Laplace ngược ta un = nλn = nλn−1 λ 93 Ví dụ 3.6.5 Giải phương trình vi sai phân sau u (t) = u(t − 1) với điều kiện sau u(0) = Tác động biến đổi Laplace ta sU (s) − u(0) = e−s [U (s) − u(0)S0 (s)] e−s −s ⇔(s − e−s )U (s) = + e −1 s U (s) = e−s − s − e−s s(s − e−s ) L e−as sn −1 e−2s e−2s + = + s(s − e−s ) s s e−s 1− s (t − a)n−1 = ua (t) Γ(n) L−1 {tn } = Γ(n + 1) sn+1 lấy biến đổi Laplace ngược ta t − (t − 3) (t − n)n−1 u(t) = + + + + ,t>n 2! (n − 1)! Ví dụ 3.6.6 Giải phương trình vi sai phân sau u (t) − αu(t − 1) = β với điều kiện đầu u(0) = Áp dụng biến đổi Laplace ta sU (s) − u(0) − αe−s [U (s) − u(0)S0 (s)] = β s β s(s − αe−s ) αe−s −1 β = 1− s s αe−s α2 e−2s αn e−ns =β 2+ + + + n + s s s4 s +2 U (s) = Áp dụng biến đổi Laplace ngược ta α(t − 1)2 α2 (t − 2)3 αn (t − n)n+1 u(t) = β t + + + + Γ(3) Γ(4) Γ(n + 2) 94 ,t>n −1 = e− + s s KẾT LUẬN Kết luận Đóng góp khố luận: (i) Trình bày, hệ thống chứng minh lý thuyết xung quanh phép biến đổi Laplace (ii) Đưa cách giải số ví dụ việc sử dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân tuyến tính, hệ phương trình vi phân tuyến tính, phương trình tích phân, phương trình sai phân vi sai phân (iii) Đưa số tốn vật lý thường gặp giải phép biến đổi Laplace (đa phần phương trình vi phân ) Hướng phát triển khố luận Trong thời gian tới, em tìm hiểu thêm cách giải phương trình đạo hàm riêng phép biến đổi Laplace ứng dụng vào việc giải số toán vật lý toán khuếch tán, dao động sợi dây vơ hạn dạng phương trình sóng Đồng thời nghiên cứu toán giá trị biên lý thuyết chuyển vị dầm, hệ thống tuyến tính số tốn liên quan đến vật lý khác 95 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1 ] Nguyễn Xuân Liêm, 2009 Giải tích tập 1, NXB Giáo Dục [2 ] Nguyễn Xuân Liêm, 2007 Giải tích tập 2, NXB Giáo Dục [3 ] Trần Thị Minh Thuỳ, 2009 Biến đổi Fourier biến đổi Laplace Luận văn Thạc sĩ Toán học, Đại học Vinh, TP Vinh, Việt Nam [4 ] Đào Bá Dương, 2000 Cơ sở hàm số biến phức ứng dụng, NXB Học viện kỹ thuật quân Hà Nội [5 ] Lê Thị Thu Hà, 2015 Phương trình tích phân Volterra Luận văn Thạc sĩ Toán học, Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hà Nội, Việt Nam [5 ] Lê Bá Long, 2006 Sách hướng dẫn học tập toán chuyên ngành dùng cho sinh viên ngành Điện tử Viễn thông hệ đào tạo đại học từ xa, Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng [6 ] Erwin Kreyszig, 2011 Advanced Engineering Mathematics, John Wiley Sons Inc [7 ] Alan M.Cohen, 2007 Numerical Methods for Laplace Transform Inversion, Springer [8 ] Wiliam A, Adkins - Mark G.Davidson, 2009 Ordinary Differential Equations, Springer [9 ] Lokenath Debnath - Dambaru Bhatta, 2007 Integral Transforms and Their Applications, Chapman Hall CRC, Taylor Francis Group [10 ] Gustav Doetsch, 1974 Introduction to the Theory and Applicaiton ò the Laplace Transformation, Springer 96 ... chuyển từ phép tính vi tích phân hàm sang phép tính đại số ảnh hàm qua phép biến đổi Laplace Các phép biến đổi cho phép chuyển gọi chung phép tính tốn tử (operational calculus) Phép biến đổi đặt... "Phép biến đổi Laplace" làm đề tài khoá luận tốt nghiệp Mục tiêu đề tài Nhằm hiểu thấu đáo lý thuyết phép biến đổi Laplace định nghĩa, tính chất, biến đổi Laplace ngược số phương pháp biến đổi. .. nghĩa phép biến đổi Laplace 33 2.2 Điều kiện tồn phép biến đổi Laplace 36 39 2.4 Đạo hàm tích phân phép biến đổi Laplace