ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– CHU THỊ THANH HOÀI NGHIÊN CỨU VỀ HỆ ĐIỀU KHIỂN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2019 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– CHU THỊ THANH HOÀI NGHIÊN CỨU VỀ HỆ ĐIỀU KHIỂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Hải Trung ĐÀ NẴNG - NĂM 2019 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Một số khái niệm lý thuyết phương trình vi phân thường 1.1.1 Định nghĩa khái niệm sở 1.1.2 Hệ phương trình vi phân 16 1.2 Một số khái niệm lý thuyết điều khiển 22 1.2.1 Bài toán điều khiển 24 1.2.2 Các định nghĩa 26 CHƯƠNG TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH .27 2.1 Tính điều khiển hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số 27 2.1.1 Nghiệm hệ điều khiển sử dụng ma trận nghiệm 27 2.1.2 Điều kiện để hệ có tính điều khiển 29 2.1.3 Tiêu chuẩn hạng Kalman 32 2.1.4 Tiêu chuẩn điều khiển tối thiểu 41 2.2 Tính điều khiển hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số biến thiên 43 2.2.1 Điều kiện điều khiển hệ vi phân tuyến tính hệ số biến thiên theo ma trận tích phân 43 2.2.2 Điều kiện điều khiển hệ vi phân tuyến tính hệ số biến thiên theo tiêu chuẩn hạng Kalman 47 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết điều khiển toán học lĩnh vực toán học ứng dụng quan trọng xuất phát triển thập kỉ gần Sở dĩ nói lĩnh vực quan trọng tính ứng dụng cao lĩnh vực, xây dựng từ vấn đề đời sống thực tiễn như: Vấn đề phóng tên lửa, điều khiển vệ tinh, điều khiển máy bay; Hệ sinh học: Lượng đường máu; Phòng thủ tên lửa; Điều chỉnh tỉ lệ lạm phát kinh tế; Sinh thái học: Mối tương quan thú săn mồi mồi, vv .Có nhiều vấn đề thực tiễn khoa học, công nghệ, kinh tế, tốn học hóa thành phương trình tốn học điều khiển tuần túy, ta phải cần đến cơng cụ tốn học để tìm lời giải, điều đồng nghĩa với vấn đề thực tiễn nói giải Hệ điều khiển n – chiều thường mô tả phương trình vi phân đại số: x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ∈ [t0 ; +∞) với điều kiện ban đầu: x(t0 ) = x0 , đó, x(t) gọi hàm trạng thái mô tả đối tượng đầu ra, u(t) gọi hàm điều khiển mô tả đối tượng đầu vào, A(t) ma trận vuông cấp n, B(t) ma trận n × m Mục đích tốn điều khiển tìm hàm điều khiển (đầu vào) u(t) cho hệ thống (đầu ra) thỏa mãn điều mong muốn x(t1 ) = x1 Nói cách cụ thể, với hệ thống mô tả hệ điều khiển dạng trên, trạng thái vị trí mong muốn cần điều khiển hệ x0 , x1 cho trước, cần tìm hàm điều khiển u(t), cho tác động hàm điều khiển mà hệ cho điều khiển từ trạng thái x0 trạng thái x1 thời gian Nhận thấy tính hữu ích hệ điều khiển gợi ý TS Lê Hải Trung, mạnh dạn chọn đề tài:“ Nghiên cứu hệ điều khiển ứng dụng” để làm luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu - Hệ thống lại kiến thức về: Đại số tuyến tính, Giải tích thực, Phương trình vi phân - Nghiên cứu hệ điều khiển - Ứng dụng hệ điều khiển Đối tượng nghiên cứu Hệ điều khiển n – chiều có dạng: x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ∈ [t0 ; +∞) với điều kiện đầu: x(t0 ) = x0 Phạm vi nghiên cứu Nội dung luận văn tiến hành nghiên cứu hệ điều khiển không gian hàm biến thực, hàm điều khiển u(t) hàm trạng thái x(t) nằm không gian với số chiều tương ứng Phương pháp nghiên cứu Trong trình thực hoàn thiện luân văn, tác giả khai thác sử dụng kiến thức liên quan thuộc lĩnh vực: Đại số tuyến tính, Giải tích hàm biến thực, Lý thuyết phương trình vi phân, Lý thuyết điều khiển, vv 48 khiển hoàn tồn cho hệ tuyến tính hệ số biến thiên (2.2) theo điều kiện hạng Kalman Định lý 2.9 Giả sử ma trận A(t), B(t) hàm giải tích [t0 , t1 ] Hệ (2.2) điều khiển hoàn toàn khi: ∃t2 ∈ [t0 , t1 ] : rank[M0 (t2 ), M1 (t2 ), , Mn−1 (t2 )] = n, (2.7) M0 (t) = B(t), d Mk+1 (t) = −A(t)Mk (t) + Mk (t), k = 0, 1, , n − dt Chứng minh Điều kiện cần: Trước tiên ta nhận xét hệ thức sau thỏa mãn: dk = Φ(t0 , t)Mk (t), k = 1, 2, , n − dtk Φ(t0 , t) ma trận nghiệm hệ x˙ = A(t)x(t) Từ với t2 ∈ [t0 , t1 ] tùy ý, ta có: Φ(t0 , t2 )[M0 (t2 ), M1 (t2 ), , Mn−1 (t2 )] = d dn−1 = Φ(t0 , t2 )B(t2 ), Φ(t0 , t)B(t)|t=t2 , , n−1 Φ(t0 , t)B(t)|t=t2 dt dt = F (t2 ), F˙ (t2 ), , F (n−1) (t2 ) , (2.8) ký hiệu F (t) = Φ(t0 , t)B(t) Gọi hàng ma trận F (t) hàm {fi (t)}, i = 1, n Bây ta giả sử hệ (2.2) điều khiển hồn tồn, theo Định lý 2.8, ma trận Φ(t0 , t1 ) khơng suy biến với t1 > t0 Từ Bổ đề 2.1 suy hệ {fi (t)} độc lập tuyến tính [t0 , t1 ] Mặt khác, A(t), B(t) hàm giải tích nên hàm {fi (t)} khả vi liên tục cấp vơ hạn, áp dụng Bổ đề 2.2, ta có t2 ∈ [t0 , t1 ] cho (2.6) thỏa mãn Theo đẳng thức (2.8) ta có: rank[Φ(t0 , t2 )[M0 (t2 ), M1 (t2 ), , Mn−1 (t2 )]] = n Vì ma trận Φ(t0 , t2 ) không suy biến, nên (2.7) thỏa mãn, tức điều 49 kiện cần định lý chứng minh Điều kiện đủ: Để chứng minh điều kiện đủ, ta giả thiết có điều kiện (2.7) Từ đẳng thức (2.8) suy ra: rank[F (t2 ), F˙ (t2 ), , F (n−1) (t2 )] = n Áp dụng Bổ đề 2.2, Bổ đề 2.3, ma trận ψ(t0 , t1 ) không suy biến điều khẳng định suy từ Định lý 2.8 Định lý chứng minh Ví dụ 2.9 Xét tính điều khiển hệ x˙ = 2tx2 + 2u1 x˙ = u1 + u2 Ta có A(t) = 2t 0 , Nên M0 (t) = B(t) = B(t) = 1 1 d M0 (t) dt 0 + 1 0 ⇒ M1 (t) = −A(t)M0 (t) + −2t = 0 = −2t −2t 0 −2t −2t Có rank[M0 (t), M1 (t)] = rank 1 0 Theo định lý 2.9 hệ điều khiển Ví dụ 2.10 Xét tính điều khiển hệ x˙ = t2 x1 + x2 + tu1 + t2 u2 x˙ = tx1 + tx2 + u1 + tu2 Ta có A(t) = t2 , t t Nên M0 (t) = B(t) = B(t) = 1t tt t t2 t ⇒ M1 (t) = −A(t)M0 (t) + d M0 (t) dt = với t > t0 50 = − tt 1t = t t2 + 2t 1 t −t3 − −t4 − t 2t + −t − t −t − t −t3 −t4 + t = −t2 − t −t3 − t2 + Có rank[M0 (t), M1 (t)] = rank t t2 −t3 −t4 + t = với t −t2 − t −t3 − t2 + t > t0 Theo định lý 2.9 hệ điều khiển Ví dụ 2.11 Xét tính  điều khiển hệ x˙ = tx1 − x3 + tu1 + u3 x˙ = −tx2 + 2x3 + 2tu3  x˙ = x2 − 2tx3 − tu2 + u3 t −1 t Ta có A(t) = −t , B(t) = 0 2t −2t −t t 0 2t Nên M0 (t) = B(t) = −t d ⇒ M1 (t) = −A(t)M0 (t) + M0 (t) dt 0 t t −1 0 2t + 0 = − −t −t −1 0 −2t   −t2 −t −t + 1 0   = 2t 2t − + 0 −1 0 −2t2   −t + −t −t + = 2t 2t2  −2t2 − d ⇒ M2 (t) = −A(t)M1 (t) + M1 (t) dt   −t2 + −t −t + t −1 −2t −1 −1   4t = − −t + 0 2t 2t −2t −4t 0 −2t − 51   2 t − −t − t − t −2t −1 −1  4t = + 6t + 2t −4t 0 −4t − 4t −2t   t3 − 2t − −t2 − t2 − t − = 6t2 + 2t3 + 4t  −4t3 − 8t −2t2  Có rank[M0 (t), M1 (t), M2 (t)] = rank  t −t2 + −t −t + t3 − 2t − −t2 − t2 − t − 0 2t 2t 2t2 6t2 + 2t3 + 4t  −t −2t2 − 0 −4t3 − 8t −2t2 = với t > t0 Vậy hệ cho điều khiển 52 KẾT LUẬN Luận văn “Nghiên cứu hệ điều khiển ứng dụng” sau hoàn thành đạt số kết sau: 1) Hệ thống lại kiến thức phương trình vi phân hệ phương trình vi phân tuyến tính 2) Trình bày khái niệm hệ điều khiển 3) Trình bày ứng dụng hệ phương trình tuyến tính vào xác định tính điều khiển hệ vi phân tuyến tính hệ số hệ vi phân tuyến tính hệ số biến thiên Tuy nhiên suốt trình thực luận văn, cố gắng song thời gian kiến thức có hạn luận văn tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý từ quý thầy cô bạn để luận văn tơi hồn thiện 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2001), Lý thuyết số toán điều khiển tối ưu, NXB ĐHQG [2] Nguyễn Phương Hà (2005), Lý thuyết điều khiển tự động, NXB ĐHQG [3] Lương Văn Lang (2002), Cơ sở tự động, NXB ĐHQG [4] Nguyễn Thế Hoàn - Trần Văn Nhung (2007), Bài tập phương trình vi phân, NXB Giáo dục [5] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển tốn học, NXB ĐHQG [6] Nguyễn Dỗn Phước (2009), Lý thuyết điều khiển tuyến tính, NXB Khoa học Kĩ thuật [7] Nguyễn Mạnh Quý (2007), Giáo trình phương trình vi phân, NXB Đại học Sư phạm Tiếng Anh [8] Ravi P.Agarwal (2000), Difference equations and inequalities theory, Methods and Applications, Marcel Dekker, Inc, NewYork - Basel [9] W.P.M.H.Heemels and M.K.Camlibel (Dec.12-14, 2007) Controllability of Linear System with Input and State Constrains, 46th IEEE CDC, New Orleans, LA, USA [10] Abderrahman Iggidr (2004) , Controllability, Observability and Stability of Mathmatiacl Models, Jerzy A.Filar.Encyclopedia of Life Support System (EOLSS), Mathematical Models, UNESCO, Eolss Publisher 54 [11] M.T.Nair (2012), On Controlllability of Linear Systems, Lectures at IIST Trivandrum on Nov.28-29, 2012 , under the auspices of NPDE TCA ... tài:“ Nghiên cứu hệ điều khiển ứng dụng? ?? để làm luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu - Hệ thống lại kiến thức về: Đại số tuyến tính, Giải tích thực, Phương trình vi phân - Nghiên cứu hệ điều khiển. .. cần điều khiển hệ x0 , x1 cho trước, cần tìm hàm điều khiển u(t), cho tác động hàm điều khiển mà hệ cho điều khiển từ trạng thái x0 trạng thái x1 thời gian Nhận thấy tính hữu ích hệ điều khiển. .. điều khiển - Ứng dụng hệ điều khiển Đối tượng nghiên cứu Hệ điều khiển n – chiều có dạng: x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ∈ [t0 ; +∞) với điều kiện đầu: x(t0 ) = x0 Phạm vi nghiên cứu Nội dung