Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng tính đơn điệu - gtln - gtnn hàm số khảo sát nghiệm phương trình - bất phương trình ***** I CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.Tính đơn điệu hàm số Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm D Nếu f '  x   0, x  D hàm số f ( x ) đồng biến (tăng) D Nếu f '  x   0, x  D hàm số f ( x ) nghịch biến (giảm) D (Dấu “=” xảy số điểm hữu hạn D) Nếu hàm f  x  tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) phương trình f  x   k  k    có khơng nghiệm khoảng (a;b) Nếu hàm f  x  tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) u, v (a,b) ta có f (u )  f  v   u  v Nếu hàm f  x  tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) u, v (a,b) ta có f (u )  f  v   u  v ( f (u )  f  v   u  v ) Nếu hàm f  x  tăng g  x  hàm giảm khoảng (a;b) phương trình f  x   g  x  có nhiều nghiệm thuộc khoảng (a;b) Định lý Bolzano – Cauchy : Nếu hàm số f  x  liên tục  a; b  f  a  f b   tồn điểm x0   a; b  để f  x0   Nếu hàm số f  x  đơn điệu liên tục  a; b  f  a  f b   tồn điểm x0   a; b  để f  x0   Nếu f  x  hàm số đồng biến ( nghịch biến ) y= n f ( x), n  N , n  đồng biến (nghịch biến ), với f ( x) f  x   nghịch biến ( đồng biến), y   f  x  nghịch biến (đồng biến ) Tổng hàm đồng biến ( nghịch biến ) D đồng biến (nghịch biến ) D Tích hai hàm số dương đồng biến (nghịch biến ) D hàm đồng biến (nghịch biến ) D Giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số Cho hàm số y  f ( x) xác định D Số M gọi GTLN hàm số y  f ( x) D f ( x)  M , x  D x0  D cho f ( x0 )  M Kí hiệu M  max f ( x) D Giáo viên: Đinh Cường Trang - - Sáng kiến kinh nghiÖm Số m gọi GTNN hàm số y  f ( x) D f ( x)  m, x  D x0  D cho f ( x0 )  m Kí hiệu m  f ( x) D Quy tắc tìm GTLN GTNN hàm số * Từ việc lập BBT hàm số f ( x) tập xác định ta tìm thấy điểm đồ thị có tung độ lớn ( nhỏ ) giá trị GTLN ( GTNN ) hàm số * Nếu hàm số f ( x) xác định liên tục đoạn  a; b ta tìm GTLN GTNN theo bước sau : - Tìm điểm x1 , x2 , , xn đoạn  a; b mà f ' ( x) f ' ( x) không xác định - Tính giá trị f (a ), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ) - Số lớn ( bé ) số GTLN (GTNN ) hàm số f ( x ) đoạn  a; b Các dạng toán liên quan 3.1 Giải phương trình, bất phương trình khơng chứa tham số Từ tính chất ta có phương án biến đổi sau: Phương án 1: Biến đổi phương trình dạng: f(x) = k, nhẩm nghiệm chứng minh f(x) đồng biến (nghịch biến) để suy phương trình có nghiệm Phương án 2: Biến đổi phương trình dạng: f(x) = g(x), nhẩm nghiệm dùng lập luận khẳng định f(x) đồng biến g(x) nghịch biến hàm suy phương trình có nghiệm Phương án 3: Biến đổi phương trình dạng: f(u) = f(v) chứng minh f đơn điệu ta có: u = v Đối với bất phương trình biến đổi dạng f (u)  f  v  chứng minh f đơn điệu để kết luận 3.2 Giải phương trình, bất phương trình chứa tham số có sử dụng GTLNGTNN Xuất phát từ toán liên quan đến khảo sát hàm số dựa vào đồ thị hàm số y  f ( x) biện luận số nghiệm phương trình f ( x)  g (m) số nghiệm phương trình f ( x)  g (m) số giao điểm đồ thị hàm số y  f ( x) với đường thẳng y  g (m) Ta giải tốn phương trình, bất phương trình chứa tham số theo định hướng sau: Biến đổi phương trình, bất phương trình chứa tham số m dạng : f ( x)  g (m) với hàm số f ( x ) có GTLN - GTNN tập xác định D Khi đó: - Phương trình f ( x)  g (m) có nghiệm D f ( x)  g ( m)  max f ( x) D D - Bất phương trình f ( x)  g ( m) thỏa mãn x  D f ( x)  g (m) D Gi¸o viên: Đinh Cường Trang - - Sáng kiến kinh nghiƯm - Bất phương trình f ( x )  g ( m) thỏa mãn x  D max f ( x)  g ( m) D - Bất phương trình f ( x)  g ( m) có nghiệm x  D max f ( x)  g ( m) D - Bất phương trình x  D f ( x )  g ( m) có nghiệm f ( x)  g (m) D Trong trường hợp hàm số f ( x) khơng có GTLN GTNN tập D ta phải kết hợp với BBT đồ thị để có kết luận thích hợp Nếu bất phương trình có dạng "  " "  " bổ sung thêm dấu "  " cho điều kiện II ỨNG DỤNG Giải phương trình, bất phương trình khơng chứa tham số 1.1 Các ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình: x   x   (1) Nhận xét: Quan sát vế trái phương trình (1), ta thấy x tăng giá trị biểu thức tăng Từ suy vế trái hàm đồng biến ,vế phải hàm hằng, điều kiện thích hợp để sử dụng tính đơn điệu Giải Điều kiện: Đặt x f  x   4x   4x2  Do hàm số f x 1 Ta có f ' x  f  x   4x   4x2  4x 1    0, x   ;   4x  2  4x  đồng biến  ;   , nên phương trình 2  có nghiệm nghiệm Hơn nữa, 1 f   1 2 nên x nghiệm phương trình cho Ví dụ 2: Giải phương trình: x  x   x   x  16  14 Nhận xét: Khi gặp dạng toán chứa căn, thường ta phải khử thức cách bình phương, lập phương nhân lượng liên hợp Trong nhân liên hợp hợp lí Giải Cách 1: Dùng lượng liên hợp Điều kiện: x Khi ú Giáo viên: Đinh Cường Trang - - S¸ng kiÕn kinh nghiƯm x  x   x   x  16  14  x   x    x    x  16   1     x  9     0 x9 x 5  x7 4 x  16    x 3 1 1 Do     0, x  x 3 x5 2 x7 4 x  16  Vậy x  nghiệm phương trình Cách 2: Dùng hàm số Điều kiện: x  Đặt f ( x)  x  x   x   x  16 1    0, x   5;   x x  x  x  16 Do hàm số f ( x)  x  x   x   x  16 đồng biến 5;   Ta có f ( x)   Mà f (9)  14 nên x  nghiệm phương trình Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 2x   2x   2x   (1) Giải Cách 1: 2x   2x   2x    2x   2x    2x    3 2x   2x     2x     x  1 x   x  3  x    x  1 x   x  3   x    x    x  1 Ngược lại với x  1 thay vào (1) thỏa mãn Vậy nghiệm phương trình cho x  1 Cách 2: Đặt f ( x )  Ta có: 2x   2x   2x  f ' ( x)  (2 x  1) 2  (2 x  2) 2  3  ;  x   ,  ,  2 (2 x  3) Do hàm số f  x  đồng biến Mà  3  1 f     1  2; f  1  0; f      2; lim f ( x)   x   2  2 nên suy nghiệm phương trình cho Ví dụ 4: Giải phương trình : 5x   x   x  Giải Điều kiện: x  Đặt f ( x)  5x   x x Giáo viên: Đinh Cường Trang - - x  1 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Ta có f   x   15 x 2 5x     0, x  ( ; ) nên hàm số đồng biến 3 (2 x  1) 2  [ ; ) Mà f 1  nên x  nghiệm phương trình Ví dụ : Giải phương trình : x  x  x  16    x (1) Nhận xét : Bài toán gây khó khăn cho ta từ bước đặt điều kiện  x3  x  x  16  Điều kiện:  4  x  ( x  2)(2 x  x  8)    2  x  4  x  Khi đó, (1)  x  x  x  16   x  Xét hàm số f  x   x3  3x  x  16   x  2; 4 3( x  x  1) Ta có f   x    x  x  x  16  0, x  (2; 4) 4 x Do hàm số f  x   x3  3x  x  16   x đồng biến  2; 4 Mà f 1  nên x  nghiệm phương trình Ví dụ 6: Giải phương trình  x   x  1  x     x   x  1  x  Giải Điều kiện: x  Viết lại phương trình dạng sau  2x     x2  x6 4 Nhận xét: Để phương trình có nghiệm 2x     x  Xét hàm số f  x   g  x  h  x  với g  x   x   3; h  x   x   x  1 Ta có g   x    0, x  5; h  x     0, x  2x  x2 x6 Do hàm số g  x   x   3; h  x   x   x  dương đồng biến  5;   Suy f  x   g  x  h  x  đồng biến  5;   Mà f    nên x  nghiệm phương trình Ví dụ : Giải phương trình x  x   x   Giải Điều kiện: x  Xét hàm số f  x   x  x   x   ;   Ta có f ' ( x )  x  3x    0, x   3x Giáo viên: Đinh Cường Trang - - Sáng kiÕn kinh nghiƯm Do hàm số f  x   x  x   x  đồng biến  ;  Mà f  1  nên 3  x  1 nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình : 3x(2  x  3)  (4 x  2)(1   x  x )  Giải Cách 1: Viết lại phương trình dạng (2 x  1)(2  (2 x  1)2    3 x  (2  (3 x)  3) Nếu phương trình có nghiệm nghiệm thoả mãn 3x(2x+1)