SKKN: Kinh nghiệm giải tốn Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác THCS PHỊNG GD & ĐT HUYỆN KRƠNG ANA TRƯỜNG THCS BUÔN TRẤP - - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC SỬ DỤNG TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC Ở THCS Họ tên: Nguyễn Thị Kim Thoa Đơn vị cơng tác: Trường THCS Bn Trấp Trình độ đào tạo: Đại học Sư phạm Tốn Mơn đào tạo: Sư phạm Tốn Krơng Ana, tháng 03 năm 2015 Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp SKKN: Kinh nghiệm giải tốn Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác THCS I PHẦN MỞ ĐẦU I.1 Lý chọn đề tài: Trong q trình dạy học Tốn nói chung dạy học Hình học THCS nói riêng, điều quan trọng hình thành cho học sinh hệ thống khái niệm Toán học quan trọng; làm cho học sinh nắm vững chất kiến thức cách sâu rộng Đó sở, tiền đề quan trọng để xây dựng cho học sinh khả vận dụng kiến thức học để giải Tốn Tuy nhiên qua nhiều năm dạy học chương trình Hình học cấp THCS, tơi nhận thấy đa số học sinh sợ học Hình học chưa nắm vững chất kiến thức, chưa có khả vận dụng tốt kiến thức để giải tập vào thực tế Do nắm kiến thức chưa sâu, hiểu vấn đề cách mơ hồ nên học sinh thường gặp nhiều khó khăn thường mắc sai lầm vẽ giải tập hình học Nguyên nhân chủ yếu do: Cách giảng dạy giáo viên chưa phù hợp, cịn khó hiểu, nhàm chán Các tiết học chưa sinh động, chưa gây niềm say mê, hứng thú học Hình học học sinh Khi giảng dạy số giáo viên cịn tổng hợp kiến thức cho học sinh Hơn tiết học ngắn ngủi, giáo viên thường dạy lướt nhanh phần lý thuyết mà không lật lật lại vấn đề để khắc sâu kiến thức cho học sinh Khi dạy HS làm tập Hình học, số giáo viên ý việc rèn kỹ vẽ hình chứng minh cho HS, chưa hướng dẫn HS phân tích tốn để từ HS định hướng cách giải Học sinh thường cảm thấy khó khăn, ngại khơng thích học lý thuyết, có học học vẹt để đối phó với việc kiểm tra cũ dẫn đến ghi nhớ máy móc, khơng nắm vững chất kiến thức nắm kiến thức chưa sâu, chưa biết kết nối kiến thức với kiến thức để giải tập Hơn khơng nắm lý thuyết nên kỹ vẽ hình HS kém, mà khơng vẽ hình khơng thể làm tập Hình học Mặt khác ý thức học tập học sinh chưa cao, chưa thật tập trung ý để hiểu ghi nhớ công thức, quy tắc, định lý, tính chất hệ nên làm Tốn Hình học khơng nhớ kiến thức để vận dụng Vấn đề đặt làm để tạo hứng thú học Hình học cho HS, giúp HS nắm vững kiến thức bản, biết cách vẽ hình vận dụng kiến thức để làm tập nhằm nâng cao chất lượng đại trà chất lượng mũi nhọn? Muốn dạy chương, đó, giáo viên phải giúp HS nắm vững kiến thức trọng tâm học, đưa tập phù hợp với đối tượng học sinh, hướng dẫn để HS vận dụng kiến thức vào làm tập Khi tự làm tập động viên khuyến khích GV, HS tự tin hơn, cảm thấy Hình học khơng khó nghĩ có hứng thú với việc học Hình học Trong trình dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi THCS, tơi nhận thấy có nhiều tốn sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác (Tính chất ba đường trung tuyến, ba đường phân giác, ba đường cao, ba đường trung trực) Tuy nhiên gặp tốn này, nhiều học sinh lúng túng, khơng biết vẽ hình, khơng nhớ tính chất Nhiều học sinh nắm tính chất chưa vững, khơng hiểu chất kiến thức nên khơng biết vận dụng tính chất để làm nào, Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp SKKN: Kinh nghiệm giải tốn Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác THCS cách phân tích tốn để định hướng cách giải Chính việc giúp học sinh nắm vững kiến thức làm tập đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao, đường trung trực tính chất đường tam giác vơ quan trọng từ chương trình Hình học lớp Việc nắm vững kiến thức áp dụng vào tập làm cho học sinh tự tin thấy u thích mơn Hình học hơn, làm cho em khơng cịn cảm giác sợ học Hình học trước, điều khơng có tác dụng nâng cao chất lượng đại trà chất lượng mũi nhọn mơn Tốn lớp mà học lên lớp 8, lớp 9, học sinh làm dạng tập có sử dụng kiến thức tính chất ba đường đồng quy tam giác Để học sinh hiểu sâu nắm vững kiến thức tính chất ba đường đồng quy tam giác từ áp dụng vào giải tập Hình học mà khơng phải học thuộc lịng câu chữ, giúp cho học sinh cảm thấy việc học nhẹ nhàng có hiệu để rèn luyện nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ nên tơi mạnh dạn chọn đề tài: Kinh nghiệm giải tốn hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác THCS” Rất mong góp ý trao đổi chân thành q thầy để kinh nghiệm nhỏ hồn thiện mang lại hiệu cao dạy học Toán trường THCS I.2 Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài: Nghiên cứu phương pháp sử dụng Tính chất ba đường đồng quy tam giác dạy học Hình học cấp THCS nhằm giúp học sinh khắc sâu nắm vững chất kiến thức để vận dụng vào việc giải tập vào thực tế Khắc phục sai lầm thường gặp học sinh Tạo niềm say mê, hứng thú học Tốn học sinh, đặc biệt mơn Hình học, mơn học mà hầu hết học sinh sợ khơng thích học Nhằm nâng cao chất lượng giáo dục hiệu giảng dạy,chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi phụ đạo học sinh yếu kém; phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo giáo viên học sinh q trình dạy - học mơn Hình học cấp THCS Giúp học sinh nắm vững chất kiến thức Tính chất ba đường đồng quy tam giác cách sâu rộng hơn, biết cách vẽ hình, phân tích tốn để định hướng trình bày cách giải, có hứng thú học tập nhanh nhạy xử lý tình gặp phải trình học Hình học cấp THCS Bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ thân, làm tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp Giúp đồng nghiệp thấy quan trọng việc giải toán sử dụng Tính chất ba đường đồng quy tam giác dạy Hình học THCS I.3 Đối tượng nghiên cứu: Giáo viên học sinh trường THCS Buôn Trấp I.4 Giới hạn phạm vi nghiên cứu: - Dựa nghiên cứu phương pháp dạy học Toán cấp THCS vấn đề thường gặp giảng dạy mơn Tốn trường THCS Bn Trấp Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp SKKN: Kinh nghiệm giải tốn Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác THCS - Phương pháp sử dụng giải toán sử dụng Tính chất ba đường đồng quy tam giáckhi dạy - học Hình học cấp THCS I.5 Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp điều tra, khảo sát - Phương pháp thử nghiệm - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm II PHẦN NỘI DUNG II.1 Cơ sở lý luận: Trong mơn học, Tốn học mơn có nhiều khả việc rèn luyện phương pháp suy luận khoa học, muốn đạt hiệu cao việc dạy học Tốn phải có phương pháp dạy học tốt Khơng có phương pháp tốt, khơng có hiệu cao Biết cách dạy Toán biết cách học Toán, hiệu dạy học tăng gấp nhiều lần Bên cạnh việc giảng dạy giáo viên giải dạng Tốn địi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức bản; biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức từ đơn giản đến phức tạp Làm cho học sinh nắm vững chất kiến thức để tránh sai lầm áp dụng vào tập vơ quan trọng Vì tiết dạy mới, luyện tập hay ôn tập giáo viên cần linh động phối hợp phương pháp dạy học cách hiệu quả, phù hợp với đối tượng tâm sinh lý học sinh Sau học xong em tự hệ thống hóa kiến thức cần nhớ để áp dụng vào tập vào thực tế, việc học nhẹ nhàng có hiệu em giải Tốn nhẹ nhàng nhanh chóng, khơng cịn thụ động trơng chờ vào người khác Việc phát triển tư đồng thời gây hứng thú học tập cho HS, phát triển trí tuệ cho HS qua mơn Hình học vấn đề quan trọng, cần thực khâu việc giảng dạy: cách đặt vấn đề, nội dung câu hỏi gợi mở GV giảng bài, cách GV kiểm tra nội dung câu hỏi, tập kiểm tra, cách yêu cầu HS phân tích, phê phán câu trả lời, làm có tác dụng lớn đến việc giáo dục tư độc lập, sáng tạo, óc phê phán cho HS, giúp em biết thắc mắc, biết lật đi, lật lại vấn đề, dám tìm tịi suy nghĩ Chính giúp học sinh nắm vững chất kiến thức vận dụng kiến thức vào làm tập cách hợp lý điều vơ quan trọng Do dạy dạng tốn sử dụng Tính chất ba đường đồng quy tam giác, giáo viên cần giúp học sinh biết cách vẽ hình, nắm kiến thức đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao, đường trung trực tính chất ba đường trung tuyến, ba đường phân giác, ba đường cao, ba đường trung trực tam giác: Tính chất ba đường trung tuyến tam giác: Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm cách đỉnh khoảng 2/3 độ dài đường trung tuyến qua đỉnh (Giao điểm ba đường trung tuyến gọi trọng tâm tam giác) Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp SKKN: Kinh nghiệm giải tốn Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác THCS Tính chất ba đường phân giác tam giác: Ba đường phân giác tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác (Giao điểm ba đường phân giác tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó) Tính chất ba đường trung trực tam giác: Ba đường trung trực tam giác qua điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác (Giao điểm ba đường trung trực tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó) Tính chất ba đường cao tam giác: Ba đường cao tam giác qua điểm (Giao điểm ba đường cao gọi trực tâm tam giác) Về đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác tam giác cân: * Tính chất tam giác cân: Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời đường phân giác, đường trung tuyến đường cao xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh * Ngược lại với tính chất ta có: Trong tam giác, hai loại đường (đường phân giác, đường trung tuyến, đường cao xuất phát từ đỉnh đường trung trực ứng với cạnh đối diện đỉnh này) trùng tam giác tam giác cân * Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách ba đỉnh, điểm nằm tam giác cách ba cạnh bốn điểm trùng Trên kiến thức tính chất ba đường đồng quy tam giác mà giáo viên cần giúp học sinh nắm vững, hiểu vận dụng để làm tập Khi dạy giáo viên cần khéo léo chọn lựa toán phù hợp với đối tượng học sinh, làm cho học sinh thấy việc sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác giúp cho việc giải tốn dễ dàng nhanh chóng hơn, qua toán giúp học sinh thấy giải dạng toán ta cần ý điều gì, cách sử dụng tính chất cho hợp lý, ta sử dụng tính chất số trường hợp phải vẽ thêm yếu tố phụ để vận dụng tính chất, Khi học sinh hiểu vận dụng mức độ tương tự giáo viên đưa thêm tập mở rộng, nâng cao nhằm phát triển tư cho học sinh Kinh nghiệm giải tốn hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác THCS” giúp giáo viên trau dồi kiến thức, nâng cao chất lượng hiệu giảng dạy; giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo giải Tốn, đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức, thái độ, lịng say mê học Tốn cho học sinh II.2.Thực trạng: a.Thuận lợi – Khó khăn: *Thuận lợi: Trong q trình thực đề tài, Lãnh đạo trường, Thầy cô, bạn bè đồng nghiệp trường THCS Bn Trấp giúp đỡ tận tình tạo điều kiện thuận lợi cho việc nghiên cứu, dự số giáo viên có nhiều kinh nghiệm giảng dạy, tiếp xúc với nhiều đối tượng học sinh khác nhau, có Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp SKKN: Kinh nghiệm giải tốn Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác THCS số HS giỏi biết cách giải tốn hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác Trường đạt chuẩn quốc gia tiến tới xây dựng mơ hình trường trọng điểm chất lượng cao nên sở vật chất tương đối đầy đủ, đáp ứng nhu cầu dạy học Đa số học sinh có ý thức học tập, hợp tác tốt, tạo điều kiện thuận lợi cho việc trao đổi, nghiên cứu, thực đề tài *Khó khăn: Chưa có nhiều tài liệu viết phương pháp giải tốn hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác dạy học Hình học THCS Việc nghiên cứu thực chủ yếu dựa vào kinh nghiệm ỏi thân trình dạy học Hình học Số tiết dự để học hỏi kinh nghiệm giải tốn sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác giáo viên có trình độ chun mơn cao cịn Trong q trình thực đề tài, nhiều học sinh khơng thích học Hình học nên khơng hứng thú với việc làm tập theo yêu cầu giáo viên, nhiều học sinh không nắm vững kiến thức, cách vẽ hình nên thời gian việc ơn lại kiến thức hướng dẫn học sinh vẽ hình Mặt khác nhiều học sinh chưa biết phân tích toán, chưa biết vận dụng kiến thức để làm b Thành công - hạn chế: * Thành công: Trong q trình vận dụng đề tài, tơi nhận thấy chất lượng học Hình học học sinh nâng cao rõ rệt, nhiều học sinh nắm tính chất ba đường đồng quy tam giác, phân biệt loại đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao, biết vẽ hình theo yêu cầu đề bước đầu biết vận dụng tính chất để làm tập tương tự Các tiết học Hình học trở nên nhẹ nhàng, vui vẻ bớt căng thẳng hơn, thu hút ý vào giảng tạo hứng thú học tập cho HS * Hạn chế: Vẫn nhiều học sinh học yếu mơn Hình học, chưa hiểu chưa vận dụng tính chất vào tập tương tự Chất lượng đại trà mơn Tốn đặc biệt Hình học nâng lên chưa đạt yêu cầu đặt Số học sinh làm tập mở rộng, nâng cao chưa nhiều c Mặt mạnh, mặt yếu: * Mặt mạnh: Mỗi ví dụ đưa đề tài có phân tích đề chi tiết, định hướng cụ thể, dẫn dắt để vẽ thêm yếu tố phụ, kiến thức cần vận dụng để hình thành phương pháp giải Qua đó, củng cố, khắc sâu, mở rộng nâng cao kiến thức cho học sinh, rèn khả sử dụng ngơn ngữ xác, phát triển khả tư học sinh Mặt khác, nội dung, ngơn ngữ cách trình bày ví dụ đơn giản, dễ hiểu nên giáo viên học sinh tham khảo vận dụng đề tài dễ dàng trình dạy học *Mặt yếu: Các giải pháp mang lại hiệu cao trước chưa thực đáp ứng yêu cầu đặt việc nâng cao chất lượng đại trà cịn nhiều học sinh bị Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp SKKN: Kinh nghiệm giải tốn Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác THCS gốc, chưa nắm kiến thức hình học, khả tư duy, kỹ vẽ hình trình bày chưa tốt, nên khó khăn việc vận dụng đề tài Hơn tiết học ngắn ngủi đưa đầy đủ dạng toán phù hợp với đối tượng học sinh Để vận dụng đề tài hiệu địi hỏi giáo viên học sinh phải nắm vững kiến thức Hình học cách sâu rộng, lúc việc sử dụng tính chất ba đường đồng quy để giải tốn hình học có hiệu quả, khơng sử dụng hợp lý làm cho học sinh tiếp nhận kiến thức cách mơ hồ không tự tin học vận dụng kiến thức vào tập vào thực tế d.Các nguyên nhân, yếu tố tác động: *Nguyên nhân thành công: Các tập đưa đề tài từ dễ đến khó, tương đối phù hợp với đối tượng học sinh Mỗi tập có phân tích chi tiết, định hướng phương pháp giải cụ thể, dễ hiểu nên giáo viên học sinh tham khảo vận dụng dễ dàng trình dạy học Để khai thác mở rộng kiến thức theo nhiều khía cạnh khác nhau, từ đưa tốn sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác cách có hiệu quả, kích thích phát triển tư học sinh giúp học sinh nắm vững kiến thức GV phải thường xun tìm tịi, nghiên cứu, bổ sung kiến thức mới, tìm tịi đổi phương pháp dạy học, nhờ mà lực chuyên môn nghiệp vụ nâng lên rõ rệt HS thường có hứng thú học tự làm tập thường khắc sâu kiến thức hơn, nhớ lâu tự tìm tịi kiến thức mắc sai lầm sửa chữa sai lầm *Nguyên nhân hạn chế, yếu kém: Do chất lượng học Hình học học sinh không đồng đều, khả tiếp thu vận dụng kiến thức học sinh chênh lệch lớn Hình học mơn học khó học sinh, đặc biệt học sinh trung bình, yếu, Đa số học sinh sợ học Hình học, khả tư duy, phân tích tổng hợp học sinh cịn hạn chế, nhiều học sinh chưa có khả vận dụng kiến thức vào làm tập không nắm vững kiến thức Khác với Đại số Số học, đọc đề Hình học, khơng vẽ hình ra, học sinh khơng biết tốn dễ hay khó, thuộc dạng tốn quen thuộc nào, có làm hay, học sinh ngại làm sợ khó nên thường để tập hình làm sau bỏ khơng làm q trình kiểm tra, thi cử dẫn tới kết đạt chưa cao Hơn số tiết dạy luyên tập tính chất ba đường đồng quy ít, lại rơi vào cuối học kỳ chương trình lớp 7, đưa nhiều tập mở rộng, nâng cao phát triển tư cho học sinh Mặt khác thời gian dành cho dạng toán sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác lớp không nhiều nên việc vận dụng đề tài cịn gặp nhiều khó khăn, kết chưa thực mong muốn Một số giáo viên chưa thường xuyên chưa có nhiều kinh nghiệm việc giải tốn sử dụng Tính chất ba đường đồng quy tam giác giảng dạy mơn Hình học Ngun nhân giáo viên chưa thực đam mê nghiên cứu, tìm tịi, đào sâu kiến thức, chí chưa nắm vững kiến thức Hình học cách Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp SKKN: Kinh nghiệm giải tốn Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác THCS sâu rộng Do tâm lý học sinh học yếu sợ học mơn Hình học nên dạy giáo viên thường dạy qua kiến thức sách giáo khoa mà không cần phải mở rộng, khai thác kiến thức theo nhiều khía cạnh khác e Phân tích, đánh giá vấn đề thực trạng mà đề tài đặt ra: Trong q trình dạy học tơi nhận thấy phần lớn học sinh bị hổng kiến thức nhiều, nhiều em chưa nắm vững kiến thức cần thiết Chính em cảm thấy thực khó khăn học Tốn, tâm lý e ngại, dẫn đến tư tưởng lười học, lười suy nghĩ, thiếu tự tin, sợ học mơn Tốn, đặc biệt mơn Hình học, điều khơng với học sinh trung bình, yếu, mà học sinh giỏi cảm thấy ngại không thích học Hình học Thậm chí kiểm tra học kỳ thi học sinh giỏi, học sinh thường để Hình học làm sau bỏ qua khơng làm mà khơng cần biết dễ hay khó Khi học khái niệm mới, học sinh chưa phân tích dấu hiệu chất, chưa nhìn thấy mối liên hệ khái niệm với khái niệm khác Do chưa nắm vững kiến thức nên nhiều học sinh khơng biết vẽ hình vẽ hình khơng xác, dẫn đến không làm tập Một số học sinh vẽ hình lại khơng biết đâu, liên kết kiến thức để giải vấn đề đặt Khi nhìn nhận vấn đề, HS nhìn cách phiến diện nên dễ bị mắc sai lầm Chính mà việc giúp HS nắm vững chất kiến thức, hiểu vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, vận dụng kiến thức vào làm tập vào giải vấn đề thực tế sống, tạo niềm say mê, hứng thú học Tốn nói chung Hình học nói riêng cho HS vơ quan trọng Qua vấn đề thực trạng nêu thấy thuận lợi, thành cơng mặt mạnh việc giải tốn sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác dạy học Hình học THCS, ngồi cịn có tác dụng giáo dục học sinh mặt, đặc biệt rèn tính cẩn thận, rèn khả sử dụng ngơn ngữ xác Tuy nhiên bên cạnh mặt tích cực việc giải tốn sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác dạy học Hình học THCS cịn có khó khăn, hạn chế định, giáo viên thực có tâm yêu nghề, ham tìm tịi, nghiên cứu, học hỏi khắc phục khó khăn, hạn chế mặt yếu việc sử dụng phản ví dụ trình dạy học Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp SKKN: Kinh nghiệm giải tốn Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác THCS II.3 Giải pháp, biện pháp: a Mục tiêu giải pháp, biện pháp: - Giúp GV nắm bắt cách sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác để giải số tốn thường gặp dạy học Hình học THCS - Giúp HS nắm vững chất kiến thức khắc sâu kiến thức cho HS - Giúp HS tránh sai lầm thường gặp vẽ làm tập Hình học - Tạo tình có vấn đề, khơi dậy trí tị mị, óc sáng tạo, niềm say mê, hứng thú học tập mơn Hình học HS - Tạo tình bất ngờ, thú vị, làm tiết học nhẹ nhàng, vui vẻ hơn, tạo thân thiện GV HS - Giáo dục tư độc lập sáng tạo, biết tìm tịi, suy nghĩ, rèn kỹ vẽ hình khả sử dụng ngơn ngữ xác b Nội dung cách thức thực giải pháp, biện pháp: b.1 Dạng tốn sử dụng Tính chất đồng quy ba đường trung tuyến vị trí trọng tâm tam giác: Khi dạy dạng toán liên quan đến đường trung tuyến tam giác, giáo viên cần giúp học sinh nắm vững kiến thức sau: + Đường trung tuyến tam giác đoạn thẳng nối đỉnh tam giác với trung điểm cạnh đối diện.Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến + Tính chất ba đường trung tuyến tam giác: Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm gặp ba đường trung tuyến gọi trọng tâm tam giác A F B G D E C + Vị trí trọng tâm: Trọng tâm tam giác cách đỉnh khoảng 2/3 độ dài đường trung tuyến qua đỉnh + Hai tam giác có chung đỉnh có chung trung tuyến xuất phát từ đỉnh có trọng tâm + Trung tuyến tam giác chia tam giác thành hai tam giác có diện tích + Ba trung tuyến tam giác chia tam giác thành tam giác nhỏ có diện tích + Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền Ngược lại tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vng Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp SKKN: Kinh nghiệm giải tốn Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác THCS Ví dụ 1: Cho ABC , trung tuyến BM, CN cắt G Cho biết BM = CN, chứng minh AG  BC * Hướng dẫn: Từ tính chất ba đường trung tuyến tam giác qua điểm ta suy đường thẳng qua đỉnh tam giác trọng tâm đường trung tuyến Trong tập này, hai đường trung tuyến BM CN cắt G, suy G trọng tâm tam giác, AG đường trung tuyến Vì tam giác cân, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh ứng với cạnh đáy đường cao nên để chứng minh AG  BC , ta cần chứng minh ABC cân A Giải: A N M G B C BM, CN hai đường trung tuyến, G trọng tâm BG  ABC nên 2 BM ; CG  CN 3 Mà BM = CN (gt) nên BG = CG GM= GN GBN  GCM (c.g.c)  BN  CM  AB  AC  ABC cân A Vì G trọng tâm ABC nên AG đường trung tuyến, AG  BC (tính chất đường trung tuyến tam giác cân) Ví dụ 2: Cho ABC cân A, đường cao AH Trên tia đối tia HA, lấy điểm D cho HD = HA Trên tia đối tia CB lấy điểm E cho CE = CB a) Chứng minh C trọng tâm ADE b) Tia AC cắt DE M Chứng minh AE // HM * Hướng dẫn: Vì trọng tâm tam giác cách đỉnh khoảng 2/3 độ dài đường trung tuyến qua đỉnh ấy, nên để chứng minh điểm C trọng tâm  ADE, cách chứng minh điểm C giao điểm đường trung tuyến  ADE, ta 3 chứng minh CE  EH ; CH  EH CE = 2CH (vì EH đường trung tuyến), ta chứng minh CE = 2CH, suy điểm C trọng tâm  ADE Để chứng minh HM // AE, ta chứng minh hai góc so le băng H1  E2 ( E1 ) Từ tính chất ba đường trung tuyến tam giác qua điểm ta suy đường thẳng qua đỉnh tam giác trọng tâm đường trung tuyến, suy AC hay AM đường trung tuyến  ADE  MD = ME  HM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông DHE  MH = ME  MHE cân M  H1  E1 Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Bn Trấp SKKN: Kinh nghiệm giải tốn Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác THCS  ABC cân A, AK đường phân giác xuất phát từ đỉnh nên AK đường trung tuyến BD CI đường trung tuyến  ABC, mà AK trọng tâm  ABC  K  CI Do C, K, I thẳng hàng BD  K  nên K b.3 Dạng tốn sử dụng Tính chất đồng quy ba đường trung trực tam giác: Khi dạy dạng toán liên quan đến đường trung trực tam giác, giáo viên cần giúp học sinh nắm vững kiến thức sau: + Đường trung trực đoạn thẳng đường vng góc với đoạn thẳng trung điểm + Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai mút đoạn thẳng + Điểm cách hai mút đoạn thẳng nằm đường trung trực đoạn thẳng + Để chứng minh đường thẳng d đường trung trực đoạn thẳng AB, ta chứng minh d chứa hai điểm cách A B, dùng định nghĩa đường trung trực + Trong tam giác, đường trung trực cạnh gọi đường trung trực tam giác Mỗi tam giác có ba đường trung trực + Trong tam giác cân, đường trung trực cạnh đáy đồng thời đường trung tuyến, đường phân giác + Tính chất ba đường trung trực tam giác: Ba đường trung trực tam giác qua điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác Giao điểm ba đường trung trực tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác + Trong tam giác vuông, giao điểm ba đường trung trực trung điểm cạnh huyền + Nếu tam giác có đường trung tuyến đồng thời đường trung trực ứng với cạnh tam giác tam giác cân Ví dụ 1: Cho  ABC, có A  1000 , C  300 Trên cạnh AC lấy điểm D cho CBD  100 Vẽ đường phân giác góc BAD cắt BC E Chứng minh AE đường trung trực đoạn thẳng BD * Hướng dẫn: + Cách 1: Chứng minh A E cách B D Trong toán này, để chứng minh AB = AD, EB = ED, ta chưa thể chứng minh  AEB =  AED chưa đủ yếu tố nhau, trường hợp ta chứng minh  ABD cân A để suy AB = AD cách chứng minh ABD  ADB (tính số đo hai góc dựa vào tính chất tổng ba góc tính chất góc ngồi tam giác so sánh hai góc) Để chứng minh EB = ED, ta chứng minh  AEB =  AED Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp 16 SKKN: Kinh nghiệm giải tốn Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác THCS + Cách 2: Dựa vào tính chất: “Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời đường trung trực tam giác” Tức cần chứng minh  ABD cân A Gọi I giao điểm AE BD Ta chứng minh AI đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BD, từ suy AI hay AE đường trung trực đoạn thẳng BD + Cách 3: Dựa vào định nghĩa: Chứng minh AE vng góc với BD trung điểm BD Tức cần chứng minh  ABD cân A suy AB =AD Gọi I giao điểm AE BD Chứng minh  AIB =  AID, từ suy IB = ID AIB  900 , suy AE đường trung trực đoạn thẳng BD Giải: A B 40  I 40  D 30  10  E C + Cách 1:  ABC, có A  1000 , C  300 nên B  1800  A  C  1800  1000  300  500 Lại có CBD  100  ABD  ABC  CBD  500  100  400 Mặt khác góc ADB góc ngồi đỉnh D  BCD nên ADB  CBD  C  100  300  400  ABD  ADB   ABD cân A  AB = AD Xét  AEB  AED có: AB =AD (cmt), EAB  EAD (gt), AE cạnh chung   AEB =  AED (c.g.c)  EB = ED (2 cạnh tương ứng) Ta có: AB = AD nên A thuộc đường trung trực BD (1) EB = ED nên E thuộc đường trung trực BD (2) Từ (1) (2)  AE đường trung trực đoạn thẳng BD + Cách 2:  ABC, có A  1000 , C  300 nên B  1800  A  C  1800  1000  300  500 Lại có CBD  100  ABD  ABC  CBD  500  100  400 Mặt khác góc ADB góc ngồi đỉnh D  BCD nên ADB  CBD  C  100  300  400  ABD  ADB   ABD cân A  AB = AD Gọi I giao điểm AE với BD Xét  AIB  AID có: AB =AD (cmt), IAB  IAD (gt), AI cạnh chung   AIB =  AID (c.g.c)  IB = ID (2 cạnh tương ứng) Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp 17 SKKN: Kinh nghiệm giải tốn Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác THCS  ABD cân A, có AI đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BD nên AI đường trung trực đoạn thẳng BD Suy AE đường trung trực đoạn thẳng BD Ví dụ 2: Cho  ABC cân A, A  900 Các đường trung trực AB AC cắt O cắt BC D E Chứng minh rằng: a) OA đường trung trực BC; b) BD = CE; c)  ODE tam giác cân * Hướng dẫn: Chứng minh A O cách B C a) Vì O giao điểm đường trung trực  ABC  OB = OC Mặt khác  ABC cân A  AB = AC, ta có A O cách B C, suy AO đường trung trực BC Như qua toán ta thấy tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy qua đỉnh tam giác b) Để chứng minh BD = CE, ta chứng minh  HBD =  KCE (với H trung điểm AB, K trung điểm AC) c) Để chứng minh  ODE cân, ta phải dự đoán tam giác ODE cân đâu để xác định yếu tố cần chứng minh Trong này, nhìn hình vẽ cóa thể dự đốn  ODE cân O, nên ta cần chứng minh ODE  OED dựa vào HDB  ODE (đối đỉnh); KEC  OED ( đối đỉnh) Giải: A K H B D E C O a) O giao điểm đường trung trực  ABC  OB = OC (1)  ABC cân A  AB = AC (2) Từ (1) (2) suy AO đường trung trực BC b) Gọi H trung điểm AB, K trung điểm AC Xét  HBD  KCE, có: B  C (  ABC cân A)   AB  AC    HB = KC   BHD  CKE  900   HBD =  KCE (cgv-gnk)  BD = CE (2 cạnh tương ứng) c)  HBD =  KCE (câu b)  HDB  KEC (2 góc tương ứng) mà HDB  ODE (đđ); KEC  OED (đđ)  ODE  OED   ODE cân O Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp 18 SKKN: Kinh nghiệm giải tốn Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác THCS Ví dụ 3: Cho  ABC cân A Các đường trung trực AB AC cắt O Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC cho BD = CE Chứng minh đường trung trực DE qua O * Hướng dẫn: Dựa vào tính chất: Điểm cách hai mút đoạn thẳng nằm đường trung trực đoạn thẳng Để chứng minh đường trung trực DE qua O, ta cần chứng minh OD = OE Trong toán ta chứng minh  OBD =  OAE để suy OD = OE Tuy nhiên hai tam giác chưa có sẵn yếu tố tương ứng nên ta phải chứng minh yếu tố trước Bài tốn cho O giao điểm hai đường trung trực hai cạnh bên tam giác cân ABC nên AO đường trung trực thứ ba tam giác Mà tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đường phân giác góc đỉnh  A1  A2 Mặt khác O giao điểm ba đường trung trực tam giác nên O cách ba đỉnh tam giác  OA = OB   OAB cân O  B1  A1  B1  A2 Ta chứng minh  OBD =  OAE (c.g.c)  OD = OE Suy đường trung trực DE qua O *Ngoài cách trên, ta gọi H K trung điểm AB AC, sau chứng minh  OHD =  OKE Vì H K trung điểm AB AC  AK = BH mà AE = BD nên EK = DH Theo tính chất “Trong tam giác cân, đường trung trực cạnh đáy đồng thời đường phân giác góc đỉnh”, nên ta có AO tia phân giác góc A, OH = OK (Tính chất: Điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc)   OHD =  OKE (2cgv)  OD = OE Suy đường trung trực DE qua O Giải: A H D E K O B C +Cách 1: O giao điểm đường trung trực  ABC  OA = OB   OAB cân O  B1  A1  ABC cân A suy AO đường trung trực ứng với cạnh đáy nên AO đường phân giác góc A, tức A1  A2  B1  A2 Xét  OBD  OAE, có: 19 Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp SKKN: Kinh nghiệm giải tốn Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác THCS B1  A1 (cmt ) BD = AE (gt) OB = OA (cmt)   OBD =  OAE (c.g.c)  OD = OE (2 cạnh tương ứng) Suy đường trung trực DE qua O + Cách 2: Gọi H K trung điểm AB AC Ta có: AK = BH, AE = BD nên EK = DH  ABC cân A suy AO đường trung trực ứng với cạnh đáy nên AO đường phân giác góc A, OH = OK Xét  OHD  OKE, có: OHD  OKE  900 OH = OK (cmt) DH = EK (cmt)   OHD =  OKE (2cgv)  OD = OE (2 cạnh tương ứng) Suy đường trung trực DE qua O b.4 Dạng tốn sử dụng Tính chất đồng quy ba đường cao tam giác: Khi dạy dạng toán liên quan đến đường cao tam giác, giáo viên cần giúp học sinh nắm vững kiến thức sau: + Trong tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi đường cao tam giác Mỗi tam giác có ba đường cao + Tính chất ba đường cao tam giác: Ba đường cao tam giác qua điểm Điểm gọi trực tâm tam giác + Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực tam giác + Trong tam giác, có hai loại đường (đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực, đường cao) trùng tam giác tam giác cân + Để xác định trực tâm tam giác, ta cần tìm giao điểm hai đường cao tam giác + Nếu H giao điểm hai đường cao kẻ từ B C  ABC AH  BC + Nếu ba đường thẳng ba đường cao tam giác chúng qua điểm Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh AB lấy điểm D, tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AD Chứng minh CD vng góc với BE * Hướng dẫn: Sử dụng tính chất: Ba đường cao tam giác qua điểm Điểm gọi trực tâm tam giác Ta chứng minh D giao điểm hai đường cao kẻ từ B E  BEC (D trực tâm  BEC), CD  BE Trong toán này, ta gọi K giao điểm Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Bn Trấp 20 SKKN: Kinh nghiệm giải tốn Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác THCS ED BC, chứng minh EK đường cao  BEC Vì  ABC vng cân A nên  AED vuông cân A ACK  450 ,  AEK  450  EK  BC mà EK BA  D nên D trực tâm  BCE  CD  BE Giải: E A D B K C Gọi K giao điểm ED BC  ABC vuông cân A nên ACK  450 (1)  AED có AE = AD EAD  900 nên  AED vuông cân A  AEK  450 (2) Từ (1) (2)   EKC vuông cân K  EK  BC  BCE có BA, EK hai đường cao, mà EK BA  D nên D trực tâm  BCE  CD  BE Ví dụ 2: Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH Vẽ điểm D cho AB đường trung trực HD Vẽ điểm E cho AC đường trung trực HE DE cắt AB, AC theo thứ tự I, K a)  IDH tam giác gì? IB đường  IDH? b) Chứng minh HA tia phân giác góc IHK * Hướng dẫn: a) Dựa vào tính chất: Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai mút đoạn thẳng Suy  IDH cân I, đường trung trực IB đường phân giác, đường trung tuyến, đường cao  IDH b) Dùng tính chất ba đường phân giác (hoặc đường thẳng chứa tia phân giác hai góc ngồi tia phân giác góc khơng kề) tam giác qua điểm Vì  IDH  KEH cân I K nên hai đường trung trực IB KC hai đường phân giác hai góc DIH EKH, mà hai góc hai góc ngồi đỉnh I K  IHK Ta lại có IB KC cắt A nên HA tia phân giác góc IHK Giải: Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp 21 SKKN: Kinh nghiệm giải tốn Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác THCS A E K I D B H C a) IB đường trung trực HD nên ID = IH   IDH cân I  IB đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực, đường cao  IDH b) Xét  IHK có IB đường phân giác góc ngồi đỉnh I, tương tự KC đường phân giác góc ngồi đỉnh K, chúng cắt A nên HA tia phân giác góc IHK Ví dụ 3: Cho  ABC vuông A, đường cao AH Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng AH, BH Chứng minh rằng: CM  AN * Hướng dẫn: Sử dụng tính chất: ba đường cao tam giác qua điểm Xét  ABC có AH  BC , có CM  AN , suy M trực tâm  ANC  MN  AC mà AB  AC Như phải có MN // AB Điều có M, N trung điểm cạnh HA, HB  AHB Trong ta cần vẽ thêm yếu tố phụ AN MN Giải: B N H M A C Vẽ đường thẳng MN, nối A với N Ta có M, N trung điểm cạnh HA, HB  AHB, suy MN đường trung bình  AHB  MN // AB Mặt khác ta có:  ABC vuông A  AB  AC  MN  AC Xét  ANC có AH  CN ( gt ); MN  AC (cmt ) Mà MN AH  M   M trực tâm  ANC  CM  AN (tính chất ba đường cao tam giác) Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp 22 SKKN: Kinh nghiệm giải tốn Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác THCS Ví dụ 4: Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB, tiếp tuyến Ax Gọi C điểm nửa đường tròn Tia phân giác góc CAx cắt nửa đường trịn E, AE BC cắt K a) Tam giác ABK tam giác gì? Vì sao? b) Gọi I giao điểm AC BE Chứng minh KI //Ax; c) Chứng minh OE //BC * Hướng dẫn: a) Sử dụng tính chất: Trong tam giác, có hai loại đường (đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực, đường cao) trùng tam giác tam giác cân Ta chứng minh BE vừa đường cao vừa đường phân giác  ABK b) Sử dụng tính chất: Ba đường cao tam giác qua điểm Ta chứng minh I giao điểm hai đường cao kẻ từ A B  KAB (I trực tâm  BEC), KI  AB mà Ax  AB  KI // Ax (Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba chúng song song với nhau) c) Sử dụng tính chất: Điểm cách hai mút đoạn thẳng nằm đường trung trực đoạn thẳng Ta chứng minh O E cách A C Từ suy OE đường trung trực AC  OE  AC , mà BC  AC  OE // BC Giải: K x C E A I 2 O B a) AEB  900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O))  BE  AK B1  A1 (cùng Sđ AE ) B2  A2 (hai góc nội tiếp chắn cung EC) Mà A1  A2  B1  B2  BE tia phân giác góc ABK  ABK có BE vừa đường cao vừa đường phân giác nên  ABK cân B b) ACB  900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))  AC  BK I giao điểm hai đường cao  ABK nên I trực tâm  ABK  KI  AB , mà Ax  AB  KI // Ax c) Vì A1  A2  AE  EC  EA  EC Vậy điểm E nằm đường trung trực AC Mặt khác OA = OC nên O nằm đường trung trực AC Do OE đường trung trực AC  OE  AC , mà BC  AC  OE // BC Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp 23 SKKN: Kinh nghiệm giải tốn Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác THCS Ví dụ : Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O ; R) Gọi M, N, P trung điểm BC, AB, AC Tính cạnh tam giác ABC theo góc đối diện R * Hướng dẫn: Sử dụng tính chất : Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời đường cao, đường phân giác, đường trung trực tam giác Giải : A P N O B M C Ta có : BAC  BOC (1) (góc nt góc tâm chắn BC ) BOC cân O  OM vừa đường trung tuyến vừa đường cao vừa đường phân giác  BOC  2O1 (2) Từ (1) (2)  BAC  O1 Áp dụng hệ thức cạnh góc tam giác vuông BOM, ta : BM = OBsin O1 = Rsin BAC  BC = 2RsinA (vì BC = 2BM) Tương tự ta có : AC = 2RsinB ; AB = 2RsinC c Điều kiện thực giải pháp, biện pháp: Để thực tốt giải pháp, biện pháp nêu cần đảm bảo số điều kiện sau: *Đối với giáo viên: Phải khơng ngừng tìm tòi, đổi phương pháp dạy học cho phù hợp với đối tượng học sinh, tạo niềm say mê, hứng thú học tập, lơi học sinh tích cực tham gia vào giảng Phải định hướng có chuẩn bị kỹ hệ thống câu hỏi, tập sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác phù hợp đối tượng học sinh, lường trước tình câu trả lời học sinh để đưa phương án xử lý thích hợp Thường xuyên ý việc rèn kỹ vẽ hình, phân tích trình bày lời giải tốn Hình học cho học sinh học sinh, đặc biệt học sinh yếu Mở rộng nâng cao kiến thức để phát triển tư cho đối tượng học sinh giỏi Phải nắm vững kiến thức đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao; tính chất đồng quy ba đường trung tuyến, ba đường phân giác, ba đường trung trực, ba đường cao tam giác tính chất tam giác cân cách sâu rộng Nắm dấu hiệu chất khái niệm, nhìn nhận vấn đề nhiều khía cạnh khác để dễ dàng tạo tình có vấn 24 Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp ... THCS Buôn Trấp SKKN: Kinh nghiệm giải tốn Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác THCS - Phương pháp sử dụng giải tốn sử dụng Tính chất ba đường đồng quy tam giáckhi dạy - học Hình. .. SKKN: Kinh nghiệm giải tốn Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác THCS Tính chất ba đường phân giác tam giác: Ba đường phân giác tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác (Giao... Trường THCS Buôn Trấp SKKN: Kinh nghiệm giải tốn Hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác THCS số HS giỏi biết cách giải tốn hình học sử dụng tính chất ba đường đồng quy tam giác Trường