ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ - NGUYỄN QUANG HUÂN PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KHUNG DẦM FGM CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG ĐẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ KỸ THUẬT Hà Nội - 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ - NGUYỄN QUANG HUÂN PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KHUNG DẦM FGM CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG ĐẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Ngành: Cơ kỹ thuật Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 8520101.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ HỌC KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH KIÊN Hà Nội - 2018 i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Đình Kiên Tơi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến Thầy, người tận tâm giúp đỡ tơi q trình nghiên cứu Trong q trình thực Luận văn, nhận nhiều giúp đỡ, tạo điều kiện tập thể Lãnh đạo, nhà khoa học, cán bộ, chuyên viên Khoa Cơ học kỹ thuật Tự động hóa, Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội; tập thể Ban lãnh đạo, cán Viện Cơ học Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành giúp đỡ Tơi xin chân thành cảm ơn đến nghiên cứu viên phòng Cơ học vật rắn, Viện Cơ học; anh chị em nhóm Seminar giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm cho trình thực Luận văn Tơi xin bày tỏ biết ơn sâu sắc đến người thân gia đình chia sẻ, động viên, giúp đỡ để tơi hoàn thành Luận văn Tác giả Nguyễn Quang Huân ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu kết trình bày luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Học viên Nguyễn Quang Huân iii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i LỜI CAM ĐOAN ii MỤC LỤC iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT v Danh mục hình vẽ viii Danh mục bảng x MỞ ĐẦU Chương - CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ỨNG XỬ CỦA KẾT CẤU CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG ĐẤT 1.1 Quá trình phát triển phương pháp 1.2 Một số phương pháp tính tốn 1.2.1 Phương pháp tính tốn tĩnh tương đương 1.2.2 Phương pháp tính toán tĩnh phi tuyến 1.2.3 Phương pháp phân tích dạng dao động phổ phản ứng 1.2.4 Phương pháp tích phân trực tiếp phương trình chuyển động 1.3 Kết luận chương Chương - XÂY DỰNG MƠ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỂ TÍNH TỐN ĐÁP ỨNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KHUNG, DẦM 2D-FGM CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG ĐẤT 2.1 Dầm 2D-FGM 2.2 Các phương trình 2.3 Chuyển vị nút nội suy 11 2.4 Ma trận độ cứng 13 2.5 Ma trận khối lượng 14 2.6 Phương pháp tích phân trực tiếp 15 2.7 Kết luận chương 19 Chương - TÍNH TỐN SỐ VÀ THẢO LUẬN 20 3.1 Kiểm tra chương trình tính tốn 20 3.2 Cột 2D-FGM 24 3.3 Khung giản đơn 27 3.4 Khung nhiều tầng 30 iv 3.5 Khung bất đối xứng 33 3.6 Kết luận chương 36 KẾT LUẬN 37 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 PHỤ LỤC 41 v DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Các ký hiệu thông thường A11 Độ cứng dọc trục A12 Độ cứng tương hỗ dọc trục - uốn A22 Độ cứng chống uốn A33 Độ cứng chống trượt b Ec1 Chiều rộng dầm Mô-đun đàn hồi gốm Ec Mô-đun đàn hồi gốm E m1 Mô-đun đàn hồi kim loại Em Mô-đun đàn hồi kim loại E ( x, z ) Mô-đun đàn hồi hữu hiệu Gc1 Mô-đun trượt gốm Gc Mô-đun trượt gốm G m1 Mô-đun trượt kim loại Gm Mô-đun trượt kim loại G ( x, z ) Mô-đun trượt hữu hiệu h I11 Chiều cao dầm Mô-men khối lượng dọc trục I12 Mô-men khối lượng tương hỗ dọc trục-quay I 22 Mô-men khối lượng quay (của thiết diện ngang) l L n nx Chiều dài phần tử dầm Chiều dài dầm Chỉ số mũ (tham số vật liệu) Chỉ số mũ (tham số vật liệu theo chiều dài) nz Chỉ số mũ (tham số vật liệu theo chiều cao) nELE P Pc1 Pc2 Pm1 Pm2 Số lượng phần tử rời rạc khung, dầm Tính chất hữu hiệu FGM Tính chất vật liệu gốm Tính chất vật liệu gốm Tính chất vật liệu kim loại Tính chất vật liệu kim loại vi Vc1 Tỷ phần thể tích gốm Vc Tỷ phần thể tích gốm Vm1 Tỷ phần thể tích kim loại Vm Tỷ phần thể tích kim loại T Te Động khung, dầm Động phần tử u0 Chuyển vị dọc trục điểm nằm mặt U Ue Năng lượng biến dạng đàn hồi Năng lượng biến dạng đàn hồi phần tử w0 Chuyển vị ngang điểm nằm mặt Véc-tơ ma trận d D D D Dg Véc-tơ chuyển vị nút phần tử Véc-tơ chuyển vị nút tổng thể Véc-tơ vận tốc nút tổng thể Véc-tơ gia tốc nút tổng thể Véc-tơ gia tốc tổng thể I kg K K ef mg M Nu Véc-tơ ảnh hưởng Ma trận độ cứng phần tử Ma trận độ cứng tổng thể Ma trận độ cứng hữu hiệu Ma trận khối lượng phần tử Ma trận khối lượng tổng thể Ma trận hàm nội suy cho chuyển vị dọc trục Nw Ma trận hàm nội suy cho chuyển vị ngang N Ma trận hàm nội suy cho góc quay θ S Ma trận chuyển tọa độ Chữ Hy Lạp  xx Biến dạng dọc trục  xz Biến dạng trượt ,   Hệ số cản Rayleigh Tỉ lệ cản vii    t T  xx Góc quay thiết diện ngang Hệ số điều chỉnh trượt Tham số trượt Hệ số (trong thuật toán Newmark) Bước thời gian Tổng thời gian Ứng suất dọc trục  xz Ứng suất trượt ,  viii Danh mục hình vẽ Hình 2.1 Mơ hình dầm 2D-FGM Hình 2.2 Tỉ phần thể Vc1 Vc2 nz, nx thay đổi Hình 2.3 Gia tốc ghi nhận trận động đất El Centro 17 Hình 2.4 Sơ đồ khối thuật tốn 18 Hình 3.1 Kết cấu khung, dầm 2D-FGM nghiên cứu 20 Hình 3.2 Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian đỉnh cột 21 Hình 3.3 Vận tốc theo thời gian đỉnh cột 22 Hình 3.4 Không gian pha chuyển vị ngang tương đối vận tốc đỉnh cột 22 Hình 3.5 Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian đỉnh A khung 23 Hình 3.6 Vận tốc theo thời gian đỉnh A khung 23 Hình 3.7 Gia tốc theo thời gian đỉnh A khung 24 Hình 3.8 Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian đỉnh cột (nz = 0.5) 24 Hình 3.9 Vận tốc theo thời gian đỉnh cột (nz = 0.5) 25 Hình 3.10 Gia tốc theo thời gian đỉnh cột (nz = 0.5) 25 Hình 3.11 Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian đỉnh cột (nx = 0.5) 26 Hình 3.12 Vận tốc theo thời gian đỉnh cột (nx = 0.5) 26 Hình 3.13 Gia tốc theo thời gian đỉnh cột (nx = 0.5) 27 Hình 3.14 Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian đỉnh A khung (nz = 0.5) 27 Hình 3.15 Vận tốc theo thời gian đỉnh A khung (nz = 0.5) 28 Hình 3.16 Gia tốc theo thời gian đỉnh A khung (nz = 0.5) 28 Hình 3.17 Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian đỉnh A khung (nx = 0.5) 29 Hình 3.18 Vận tốc theo thời gian đỉnh A khung (nx = 0.5) 29 Hình 3.19 Gia tốc theo thời gian đỉnh A khung (nx = 0.5) 30 Hình 3.20 Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian đỉnh B khung (nz = 0.5) 30 Hình 3.21 Vận tốc theo thời gian đỉnh B khung (nz = 0.5) 31 Hình 3.22 Gia tốc theo thời gian đỉnh B khung (nz = 0.5) 31 30 sử dụng để giải thích ảnh hưởng tham số nz đáp ứng động lực học khung cố định tham số nx 10 a (m/s2) -5 nz = 0.2 nz = (nx = 0.5) -10 10 Time (s) 12 14 16 18 20 Hình 3.19 Gia tốc theo thời gian đỉnh A khung (nx=0.5) 3.4 Khung nhiều tầng Khung 2D-FGM nhiều tầng thể hình 3.1(c) xem xét Phần khung hình thành từ mười hai dầm có chiều dài kích thước mặt cắt ngang, L = m, b = h = 0.25 m 0.03 0.02 u (m) 0.01 -0.01 -0.02 nx = 0.2 nx = (nz = 0.5) -0.03 10 Time (s) 12 14 16 18 Hình 3.20 Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian đỉnh B khung (nz=0.5) 20 31 0.4 0.3 0.2 v (m/s) 0.1 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 nx = 0.2 nx = (nz = 0.5) 10 Time (s) 12 14 16 18 20 Hình 3.21 Vận tốc theo thời gian đỉnh B khung (nz=0.5) 10 a (m/s2) -5 nx = 0.2 nx = (nz = 0.5) -10 10 Time (s) 12 14 16 18 20 Hình 3.22 Gia tốc theo thời gian đỉnh B khung (nz=0.5) Hình 3.20, 3.21 3.22 thể chuyển vị tương đối theo phương ngang, vận tốc gia tốc theo thời gian đỉnh B, góc bên trái khung Các giá trị đáp ứng động lực học khung đa tầng khác so với cột khung giản đơn 2DFGM Với giá trị tham số nz cho trước, vận tốc gia tốc đỉnh B khung nhiều tầng chí cịn tăng tham số nx tăng lên Ảnh hưởng tham số vật liệu nz đến đáp ứng động lực học khung nhiều tầng trường hợp tham 32 số nx cho trước khác so với khung giản đơn Biên độ lớn chuyển vị theo phương ngang vận tốc đỉnh B khung khơng có sai khác nhiều hai trường hợp tham số nz=0.2 nz=3 Do đó, thấy phản ứng địa chấn khung dầm 2D-FGM không phụ thuộc vào tham số vật liệu nz nx mà phụ thuộc vào cấu hình thực kết cấu 0.03 0.02 u (m) 0.01 -0.01 -0.02 nz = 0.2 nz = (nx = 0.5) -0.03 10 Time (s) 12 14 16 18 20 Hình 3.23 Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian đỉnh B khung (nx=0.5) 0.4 0.3 0.2 v (m/s) 0.1 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 nz = 0.2 nz = (nx = 0.5) 10 Time (s) 12 14 16 18 Hình 3.24 Vận tốc theo thời gian đỉnh B khung (nx=0.5) 20 33 10 a (m/s2) -5 nz = 0.2 nz = (nx = 0.5) -10 10 Time (s) 12 14 16 18 20 Hình 3.25 Gia tốc theo thời gian đỉnh B khung (nx=0.5) Khung bất đối xứng 3.5 Cuối cùng, khung bất đối xứng mơ tả hình 3.1(d) xem xét Phần khung hình thành từ hai cột với chiều dài cột dọc L=20 m, kích thước thiết diện ngang b = h = 0.25 m khoảng cách hai chân cột L/4 = m Mười phần tử, năm cho cột sử dụng phân tích khung -4 x 10 u (m) -2 -4 nx = 0.2 nx = (nz = 0.5) 10 Time (s) 12 14 16 18 Hình 3.26 Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian đỉnh C khung (nz=0.5) 20 34 Hình 3.26 đến 3.31 mô tả chuyển vị theo phương ngang, vận tốc gia tốc khung bất đối xứng Có thể thấy rằng, trường hợp với tham số nz cho trước, giảm đáp ứng động lực học đỉnh C khung bất đối xứng tham số nx tăng lên Ngược lại, trường hợp tham số nx cho trước, dễ nhận thấy tăng đáp ứng động lực học đỉnh C khung tham số nz tăng lên Đáng ngạc nhiên, đáp ứng động lực học khung bất đối xứng tốt nhiều so với khung nhiều tầng, hình thành từ hai cột Biên 0.01 v (m/s) 0.005 -0.005 nx = 0.2 nx = (nz = 0.5) -0.01 10 Time (s) 12 14 16 18 20 Hình 3.27 Vận tốc theo thời gian đỉnh C khung (nz=0.5) a (m/s2) 0.5 -0.5 nx = 0.2 nx = (nz = 0.5) -1 10 Time (s) 12 14 16 Hình 3.28 Gia tốc theo thời gian đỉnh C khung (nz=0.5) 18 20 35 độ dịch chuyển, vận tốc gia tốc phía trên, đỉnh C khung bất đối xứng thấp nhiều so với khung 2D-FGM nhiều tầng Các số liệu tính toán lần cho thấy đáp ứng động lực học khung 2D-FGM không phụ thuộc vào tham số vật liệu nz, nx mà phụ thuộc nhiều vào cấu hình thực khung -4 x 10 u (m) -2 -4 nz = 0.2 nz = (nx = 0.5) -6 10 Time (s) 12 14 16 18 20 Hình 3.29 Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian đỉnh C khung (nx=0.5) 0.01 v (m/s) 0.005 -0.005 nz = 0.2 nz = (nx = 0.5) -0.01 10 Time (s) 12 14 16 Hình 3.30 Vận tốc theo thời gian đỉnh C khung (nx=0.5) 18 20 36 a (m/s2) 0.5 -0.5 nz = 0.2 nz = (nx = 0.5) -1 10 Time (s) 12 14 16 18 20 Hình 3.31 Gia tốc theo thời gian đỉnh C khung (nx=0.5) 3.6 Kết luận chương Chương tiến hành thiết lập chương trình tính tốn số để phân tích số kết cấu khung, dầm 2D-FGM với cấu hình khác Việc phân tích dựa sở phần tử xây dựng thuật toán số chương Xem xét ảnh hưởng hai tham số vật liệu tới ứng xử động lực học kết cấu tác động tải trọng động đất khảo sát chi tiết thảo luận chương 37 KẾT LUẬN Luận văn trình bày phương pháp phần tử hữu hạn phân tích địa chấn kết cấu khung, dầm 2D-FGM Tính chất vật liệu giả định thay đổi theo chiều cao chiều dài dầm, theo quy luật hàm lũy thừa Phần tử dầm nút, nút bậc tự do, sử dụng hàm dạng Kosmatka để nội suy chuyển vị theo phương ngang góc xoay thiết diện ngang dùng phân tích xây dựng Luận văn Ma trận độ cứng ma trận khối lượng thiết lập từ biểu thức lượng biến dạng đàn hồi động phần tử Đáp ứng động lực học kết cấu tác động trận động đất El Centro tính tốn với trợ giúp phương pháp tích phân trực tiếp Newmark Khung 2DFGM với dạng hình học khác phân tích ảnh hưởng tham số vật liệu ứng xử động lực học khung tính tốn thảo luận Kết phân tích số nhận Luận văn tóm lược đây: 1) Phần tử dầm 2D-FGM thuật toán số xây dựng Luận văn đủ tin cậy hiệu việc tính tốn đáp ứng động lực học khung, dầm 2D-FGM chịu tải trọng động đất 2) Hai tham số vật liệu xác định phân bố vật liệu theo chiều cao chiều dài dầm có ảnh hưởng khác đến đáp ứng động lực học khung, dầm 2D-FGM chịu tải trọng động đất Chuyển vị ngang, vận tốc gia tốc kết cấu khung, dầm 2D-FGM không phụ thuộc vào hai tham số vật liệu nz nx mà phụ thuộc nhiều vào cấu hình thực kết cấu Như nói phần mở đầu, nghiên cứu ứng xử động đất kết cấu FGM nói chung khung, dầm 2D-FGM thực Luận văn nói riêng nghiên cứu ban đầu ứng xử động đất kết cấu làm từ vật liệu có tính biến thiên Để hiểu rõ ứng xử kết cấu làm từ loại vật liệu tác động tải trọng động đất, cần nghiên cứu 38 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN Nguyen Quang Huan, Bui Manh Cuong, and Nguyen Dinh Kien (2016), “Seismic Analysis of Planar Functionally Graded Beams and Frames Using Direct Integration Method”, Proceedings of the 4th International Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA4), Hanoi August, pp 332-339 Nguyen Quang Huan, Nguyen Dinh Kien (2017), “Finite Element Analysis of Planar 2D-FGM Beam and Frame Structures Excited by Earthquake Loads”, Tuyển tập Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ X, Hà Nội, pp 504511 Dinh Kien Nguyen, Quang Huan Nguyen, Thi Thom Tran, Van Tuyen Bui (2017), “Vibration of bi-dimensional functionally graded Timoshenko beams excited by a moving load”, Acta Mechanica, Vol 228, pp 141–155 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Lê Thị Hà (2015), Phân tích dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi chịu tải trọng di động, Luận án Tiến sĩ Khoa học, Viện Cơ học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, Hà Nội Nguyễn Đình Kiên (2009), Phương pháp phần tử hữu hạn học kết cấu vật rắn biến dạng Nhà xuất Khoa học tự nhiên Công nghệ, Hà Nội Chu Quốc Thắng (1997), Phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội Nguyễn Lê Linh (2011), Cơ sở lý thuyết tính tốn cơng trình chịu động đất Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội Tiếng Anh ANSYS Inc (2013), ANSYS 15.0 release Pittsburgh, PA, USA A.K Chopra (1995), Dynamics of Structures Theories and Applications to Earthquake Engineering Prentice-Hall Inc, Englewood R.D Cook, D.S Malkus, M.E., Plesha, R.J Witt (2002), Concepts and applications of finite element analysis John Wiley & Sons, Inc USA, fourth edition B.S Gan, T.H Trinh, T.H Le, D.K Nguyen (2015), “Dynamic response of non-uniform Timoshenko beams made of axially FGM subjected to multiple moving point loads”, Structural Engineering and Mechanics, 53(5), pp 981995 Jha, D.K., T Kant, R.K Singh (2013), “A critical review of recent research on functionally graded plates”, Composite Structures, 96, pp 833–849 10 Karamanli (2017), “Bending behaviour of two directional functionally graded sandwich beams by using a quasi-3d shear deformation theory”, Composite Structures 174, pp 70–86 11 J.B Kosmatka, “An improved two-node finite element for stability and natural frequencies of axial-loaded Timoshenko beams”, Computer & Structures, 57, pp 141–149 40 12 M Nemat-Alla and N Noda (2000), “Edge crack problem in a semi-infinite fgm plate with a bi-directional coefficient of thermal expansion under twodimensional thermal loading”, Acta Mechanica, 144, pp 211–229 13 M Şimşek (2010), “Vibration analysis of a functionally graded beam under a moving mass by using different beam theories”, Composite Structures, 92(4), pp 904-917 14 M Şimşek (2015), “Bi-directional functionally graded materials (BDFGMs) for free and forced vibration of timoshenko beams with various boundary conditions”, Composite Structures, 133, pp 968–978 15 M Şimşek (2016), “Buckling of timoshenko beams composed of twodimensional functionally graded material (2D-FGM) having different boundary conditions”, Composite Structures, 149, pp 304–313 16 Wang Z., Wang X., Xu G., Cheng S., Zeng T (2016), “Free vibration of twodirectional functionally graded beams”, Composite Structures, 135, pp 191– 198 17.Nguyen Quang Huan, Bui Manh Cuong, and Nguyen Dinh Kien (2016), “Seismic Analysis of Planar Functionally Graded Beams and Frames Using Direct Integration Method”, Proceedings of the 4th International Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA4), pp 334-341 18 Dinh Kien Nguyen, Quang Huan Nguyen, Thi Thom Tran, Van Tuyen Bui (2017), “Vibration of bi-dimensional functionally graded Timoshenko beams excited by a moving load”, Acta Mechanica, 228, pp 141–155 19 Nguyen T.K., Sab K., Bonnet G (2008), “First-order shear deformation plate models for functionally graded materials”, Composite Structures, 83, pp 2536 20 Thai H.T., Vo T.P., Nguyen T.K (2014), “Static and vibration analysis of functionally graded beams using refined shear deformation theory”, Meccanica, 49, pp.155–168 DOI 10.1007/s11012-013-9780-1 41 PHỤ LỤC Chương trình tính tốn số % Maincode.m % BELOW GEOMETRIC AND MATERIAL DATA clear; n1=3; n2=0; LT=10; h=0.2; b=0.2; psi=5/6; xE=0; % total beam length % beam height Em1=210*10^9; Em2=70*10^9; Ec1=390*10^9; Ec2=200*10^9; % Elastic modulus of metal % Elastic modulus of metal % Elastic modulus of ceramic % Elastic modulus of ceramic nuM1=0.3; nuM2=0.23; nuC1=0.3; nuC2=0.3; % Poisson ratio of metal % Poisson ratio of metal % Poisson ratio of ceramic % Poisson ratio of ceramic Gm1=Em1/(2*(1+nuM1)); Gc1=Ec1/(2*(1+nuC1)); Gm2=Em2/(2*(1+nuM2)); Gc2=Ec2/(2*(1+nuC2)); % Shear modulus of metal % Shear modulus of metal % Shear modulus of ceramic % Shear modulus of ceramic Rm1=7800; % Mass density of metal Rm2=2702; % Mass density of metal Rc1=3960; % Mass density of ceramic Rc2=5700; % Mass density of ceramic % Column % nELE=10; % number of elements L=LT/nELE; nNOD=nELE+1; % number of nodes cNOD=zeros(nNOD,2); zNOD=linspace(0,LT,nNOD); cNOD(:,2)=zNOD'; % coordinates of nodes pre=[1 3]; act=setdiff([1:nDOF]',pre); % Portal_frame % % nELE=3; % number of elements 42 % nNOD=nELE+1; % cNOD=[0 % 05 % 55 % 0]; % number of nodes % coordinates of nodes % ELE(1,1)=1; ELE(1,2)=2; % nodes of elements % ELE(2,1)=2; ELE(2,2)=3; % ELE(3,1)=3; ELE(3,2)=4; % nDOF=(nELE+1)*3; % number of D.O.F % pre=[1 3]; % act=setdiff([1:nDOF]',pre); % Multi_frame % % nELE=12; % nNOD=10; % number of elements % number of nodes % cNOD=[0 % 05 % 10 % 15 % 20 % 20 % 15 % 10 % 55 % 0]; % coordinates of nodes % ELE(1,1)=1; ELE(1,2)=2; % ELE(2,1)=2; ELE(2,2)=3; % ELE(3,1)=3; ELE(3,2)=4; % ELE(4,1)=4; ELE(4,2)=5; % ELE(5,1)=5; ELE(5,2)=6; % ELE(6,1)=4; ELE(6,2)=7; % ELE(7,1)=3; ELE(7,2)=8; % ELE(8,1)=2; ELE(8,2)=9; % ELE(9,1)=6; ELE(9,2)=7; % ELE(10,1)=7; ELE(10,2)=8; % ELE(11,1)=8; ELE(11,2)=9; % ELE(12,1)=9; ELE(12,2)=10; % nodes of elements % nDOF=(nNOD)*3; % number of D.O.F % pre=[1 28 29 30]; % act=setdiff([1:nDOF]',pre); % Assym_frame % % nELE=10; % nNOD=nELE+1; % number of elements % number of nodes 43 % cNOD=[0 % 04 % 08 % 12 % 16 % 20 % 16 % 12 % 38 % 44 % 0]; % coordinates of nodes % ELE(1,1)=1; ELE(1,2)=2; % nodes of elements % ELE(2,1)=2; ELE(2,2)=3; % ELE(3,1)=3; ELE(3,2)=4; % ELE(4,1)=4; ELE(4,2)=5; % ELE(5,1)=5; ELE(5,2)=6; % ELE(6,1)=6; ELE(6,2)=7; % ELE(7,1)=7; ELE(7,2)=8; % ELE(8,1)=8; ELE(8,2)=9; % ELE(9,1)=9; ELE(9,2)=10; % ELE(10,1)=10; ELE(10,2)=11; % nDOF=nNOD*3; % total number of D.O.F % pre=[1 31 32 33]; % act=setdiff([1:nDOF]',pre); % Aij.m Function [Ac1m1,Ac2m2,Bc1m1,Bc2m2,Dc1m1,Dc2m2,Gc1m1,Gc2m2] Aij(Em1,Em2,Ec1,Ec2,Gm1,Gm2,Gc1,Gc2,n1,n2,h,b) syms z V=z/h+1/2; E1=(Ec1-Em1)*V^n1 + Em1; E2=(Ec2-Em2)*V^n1 + Em2; G1=(Gc1-Gm1)*V^n1 + Gm1; G2=(Gc2-Gm2)*V^n1 + Gm2; Ac1m1=b*int(E1,z,-h/2,h/2); Ac2m2=b*int(E2,z,-h/2,h/2); % axial rigidity Bc1m1=b*int(E1*z,z,-h/2,h/2); Bc2m2=b*int(E2*z,z,-h/2,h/2); % bending coupling rigidity Dc1m1=b*int(E1*z^2,z,-h/2,h/2); Dc2m2=b*int(E2*z^2,z,-h/2,h/2); % bending rigidity Gc1m1=b*int(G1,z,-h/2,h/2); Gc2m2=b*int(G2,z,-h/2,h/2); % shear rigidity = 44 % Iij.m function [Ic1m1,Ic2m2,Jc1m1,Jc2m2,Kc1m1,Kc2m2] = Iij(Rm1,Rm2,Rc1,Rc2,n1,n2,h,b) syms z V=z/h+1/2; R1=(Rc1-Rm1)*V^n1 + Rm1; R2=(Rc2-Rm2)*V^n1 + Rm2; % Mass moments Ic1m1=b*int(R1,z,-h/2,h/2); Ic2m2=b*int(R2,z,-h/2,h/2); Jc1m1=b*int(R1*z,z,-h/2,h/2); Jc2m2=b*int(R2*z,z,-h/2,h/2); Kc1m1=b*int(R1*z^2,z,-h/2,h/2); Kc2m2=b*int(R2*z^2,z,-h/2,h/2);