Chøng minh tø gi¸c MNCK lµ h×nh b×nh hµnh.. b..[r]
(1)đề thi học sinh giỏi Toán 5
Thêi gian lµm bµi: 120
(khơng k thi gian giao )
Bài : (2đ)
Chøng minh r»ng tæng: A= 71+72+73+74+ +74k
(trong k số tự nhiên) chia hết cho 400
Bài 2: (2đ)
a) Phân tích biểu thức sau nh©n tư: A= x3(x2 – 7)2 – 36x
b) Dựa vào kết hÃy chứng minh biÓu thøc: n3 – (n2 – 7) – 36n
lu«n lu«n chia hÕt cho víi mäi sè nguyên n
Bài 3: (2đ)
Chứng minh nÕu:
) ( ) (
2
xz y
xz y yz x
yz x
víi x y ; xyz 0 ; yz 1 ; xz
1
th× : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z)
Bài 4: (2đ)
a) Tỡm x biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất: x2 + x + 1
b) Tìm giá trị lớn biểu thức: P(x)= 2+x-x2
Bài 5: (2đ)
Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH vuông góc với AC M, K N lần lợt trung điểm cđa AH, CD vµ BH
a Chøng minh tø giác MNCK hình bình hành
b Chứng minh BM MK
-Hết đề
thi -Đáp án đề Toán 5 Bài : (2đ)
Ta nhóm hạng tử tổng theo cách:
A= (71+72+73+74+) + (75+76+77+78+) + +(74k-3+74k-2+74k-1+74k) 0,5®
= (71+72+73+74+) + 74(71+72+73+74) + +74k-4 (71+72+73+74)
= (71+72+73+74)(70+74+78+712+ +74k-4)
= 7(1+7+72+73)(1+74+78+712+ +74k-4)
(2)= 7(1+7+49+343)(1+74+78+712+ +74k-4)
7(1+7+49+343)(1+74+78+712+ +74k-4) 0,5đ
Đặt 1+74+78+712+ +74k-4=M 0,5®
A=7.400.M
VËy A chia hÕt cho 400 0,5đ
Bài 2: (2đ)
a) Ph©n tÝch biĨu thøc sau nh©n tư: A= x3 (x2 – 7)2 – 36x
= x[x2(x4-14x2 + 49) – 36]
= x(x6-14x4 + 49x2 – 36)
= x[(x6- 9x4) – (5x4 - 45x2) + (4x2 - 36)
= x[ x4(x2- 9) – 5x2(x2 - 9) + 4(x2 - 9)]
0,5®
= x(x2- 9)( x4– 5x2+ 4)
= x(x2- 9)( x4– 4x2 - x2+ 4)
= x(x2- 9)( x4– 4x2 - x2+ 4)
= x(x2- 9)[x2( x2– 4) - (x2- 4)]
= x(x2- 9)(x2 – 4)(x2-1)
= x(x+3) (x-3) (x+2) (x-2) (x+1) (x-1) 0,5® b) Theo kết ta có:
n3 (n2 – 7)2 – 36n
= n(n+3) (n-3) (n+2) (n-2) (n+1) (n-1) hay xếp theo thứ tự tăng dần nhân tử nh sau:
(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3) 0,5đ Đây tích số nguyên liên tiếp, sè nguyªn liªn tiÕp bao giê cịng cã mét sè chia hÕt cho 7, nªn tÝch chia hÕt cho 7, tøc lµ biĨu thøc n3 (n2
– 7)2 – 36n chia hÕt cho (®pcm)
0,5®
Bài 3: (2đ)
) ( ) (
2
xz y
xz y yz x
yz x
Ta biến đổi từ ra:
(x2 -yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y2 - xz) 0,5®
x2y- x3yz-y2z+xy2z2 = xy2 -x2z - xy3z +x2yz2
x2y- x3yz - y2z+ xy2z2 - xy2 +x2z + xy3z - x2yz2 = 0
xy(x-y) +xyz(yz +y2- xz - x2)+z(x2 - y2) = 0,5®
(3) (x -y)xy xyz(xyz)xzyz =
Do x - y 0 nªn xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) =
Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (®pcm) 0,5®
Bài 4: (2đ)
a) Tỡm x biu thức sau có giá trị nhỏ nhất: x2 + x + 1
Biến đổi biểu thức thành:
x2 +2 x
2
+ (
2
)2 +
4
0,5® = (x +
2
)2 +
4
Do (x +
2
)2 không âm nên nhỏ (x +
2
)2 = 0
tøc lµ x=
-2
th× biĨu thøc cã giá trị nhỏ
4
0,5đ
b) Tìm giá trị lớn biểu thức: P(x)= 2+x-x2
Biến đổi:
P(x)= 2+x-x2 = - (x2 –x -2)
P(x)= - (x2 –x +
4 - -2) P(x)= - [(x2 –x +
4 ) - -2]
P(x)= - [(x –
2
)2
-4
] 0,5®
Vì biểu thức biến đổi mang dấu (-) nên P(x) lớn [(x –
2
)2 -
4
]
nhá nhÊt tøc lµ x=
2
, lúc P(x)=
4
0,5đ
Bài 5: (2đ) Vẽ hình 0.5 ®
a Chøng minh tø giác MNCK hình bình hành 0,75đ Xét tam gi¸c AHB cã:
NH = NB (gt)
(4)MN =AB/2 mµ AB = CD
AB //CD nªn MN//CK CK=CD MN =CK Suy tứ giác MNCK hình bình hành
b Chứng minh BM MK 0,75đ
Kéo dài MN cắt BC E ta thấy MN//CD CD BC nªn ME BC
Xét tam giác MBC có BH ME đờng cao, nên N trực tõm, ú
CN BM mà CN//KM nên BM MK (®pcm)
-Hết đáp
án -Không phải đáp án:
Đề thi có trang tự động cập nhật (tác giả khơng đa trực tiếp v à
truy cập trang đó), có lỗi q trình biên soạn thầy (cơ) báo giúp
t¹i trang http://yuio.violet.vn
Cám ơn thầy (cô)!
http://yuio.violet.vn