BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Tú SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL TRONG LÝ THUYẾT TÁN XẠ Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 846 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan luận văn thực hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thành Nhân Các nội dung nghiên cứu kết tham khảo luận văn trích dẫn liệt kê đầy đủ mục Tài liệu tham khảo Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 05 năm 2020 Học viên Nguyễn Thanh Tú Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy TS Nguyễn Thành Nhân, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ để tơi hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn quý thầy cô Hội đồng chấm luận văn đọc góp ý giúp cho luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn quý thầy Khoa Tốn - Tin học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh truyền đạt cho kiến thức quý báu suốt năm học vừa qua, tạo cho tảng vững để thực luận văn Cuối cùng, gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè tập thể lớp Tốn giải tích K28 hết lịng ủng hộ động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập trình thực luận văn Tuy nhiên, thời gian có hạn nên luận văn cịn nhiều hạn chế khơng tránh khỏi sai sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến q thầy bạn để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cám ơn Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 05 năm 2020 Học viên Nguyễn Thanh Tú Một số kí hiệu R Tập số thực C Tập số phức Re a Phần thực a Im a Phần ảo a Ω Miền bị chặn Γ, ∂Ω Biên miền Ω E Cường độ điện trường Ei Sóng tới trường điện Es Sóng tán xạ trường điện H Cường độ từ trường Hi Sóng tới trường từ Hs Sóng tán xạ trường từ F+ Giới hạn từ bên cho trường vectơ hàm F F− Giới hạn từ bên cho trườngvectơ hàm F ε Hằng số điện môi mơi trường µ Hằng số từ mơi mơi trường β Tính chiral mơi trường ∇·, div Tốn tử divergence Trong tọa độ Descartes, ∇·a= ∂ax ∂ay ∂az + + ∂x ∂y ∂z ∇×, curl, rot Tốn tử vectơ mơ tả độ xốy trường vectơ Trong tọa độ Descartes, với i, j , k vectơ đơn vị trục x, y, z, curl a = ∂az ∂ay − ∂y ∂z i+ ∂ax ∂az − ∂z ∂x j+ ∂ay ∂ax − ∂x ∂y k ν (= ν(x)) Vectơ pháp tuyến đơn vị x ∈ Γ hướng ngồi miền Ω k Số sóng (mang giá trị thực) κ Số sóng (mang giá trị phức) κ có giá trị k ik Π Tập hợp số sóng phức Π := {κ ∈ C : κ = 0, Re κ ≥ 0, Im κ ≥ 0} Φκ Nghiệm u Trường sóng tán xạ ∆u Tốn tử Laplace u ∇ Tốn tử Gradient L2 (D) Các hàm có giá trị vô hướng theo cách thông thường, trang bị chuẩn u L2 (D) := |u(x)|2 dx D , với D ⊂ R3 tập đo có độ đo dương C0∞ Khơng gian hàm trơn có giá compact ε0 Độ điện thẩm chân khơng µ0 Độ từ thẩm chân không ρ Mật độ điện tích J Mật độ dịng điện c Vận tốc ánh sáng ω Tần số góc F Tốn tử trường sóng xa QL , QR Các trường Beltrami QL := E + iH QR := E − iH E∞ Phổ điện trường trường sóng xa H∞ Phổ từ trường trường sóng xa S2 Hình cầu đơn vị m pm n , qn Các hệ số Fourier Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Một số kí hiệu MỞ ĐẦU 1 Phương trình tích phân Lippmann-Schwinger 1.1 1.2 1.3 Bài toán từ trường 1.1.1 Giới thiệu toán từ trường 1.1.2 Công thức biến phân Bài toán điện trường 1.2.1 Giới thiệu toán điện trường 1.2.2 Công thức biến phân Phương trình vi tích phân 14 Sự tồn nghiệm 19 2.1 Chứng minh tồn nghiệm 19 2.2 Chứng minh tính nghiệm 27 Biểu diễn nghiệm qua chuỗi hàm cầu điều hịa 3.1 32 Phương trình Maxwell hệ vectơ cầu điều hòa 33 3.1.1 Phổ trường sóng xa tốn tử trường sóng xa 33 3.1.2 Vectơ hàm cầu điều hòa 38 3.2 3.1.3 Phương trình Maxwell miền achiral 41 3.1.4 Bài tốn truyền sóng cầu chiral 44 Tốn tử trường sóng xa 47 3.2.1 Chuỗi khai triển sóng phẳng 47 3.2.2 Trường hợp achiral 51 3.2.3 Trường hợp chiral 54 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 MỞ ĐẦU Phương trình Maxwell phương trình có nhiều ứng dụng Vật lý, đặc biệt lý thuyết tán xạ điện từ Phương trình nhận nhiều quan tâm nhà Toán học Cho đến nay, nhiều tốn xung quanh phương trình vấn đề mở Các nghiên cứu phương trình liên quan đến tồn nghiệm, tính chất nghiệm, phương pháp giải tích phương pháp số để giải phương trình Một kết hữu ích gần chứng minh tồn nghiệm phương trình Maxwell cách đưa phương trình tích phân Lippmann-Schwinger Từ đó, thay cho việc nghiên cứu phương trình Maxwell, nhà tốn học tập trung vào phương trình tích phân Lippmann-Schwinger Nghiên cứu phương trình tích phân có số thuận lợi định Luận văn tập trung tìm hiểu việc chứng minh tồn nghiệm phương trình Maxwell tổng quát cách khảo sát phương trình tích phân Lippmann-Schwinger, dựa tài liệu tham khảo [6], [8], [10], [11], [15], [16] Bên cạnh đó, tác giả trình bày lại biểu diễn nghiệm phương trình Maxwell thơng qua chuỗi hàm cầu điều hòa trường hợp achiral chiral Các biểu diễn mang lại giá trị cho người nghiên cứu phương pháp số giải phương trình Maxwell Nội dung luận văn trình bày thành chương: • Trong Chương 1, tác giả giới thiệu số ký hiệu kiến thức phương trình Maxwell lý thuyết tán xạ điện từ, đồng thời mơ tả hai tốn tương ứng với q trình truyền sóng điện trường sóng từ trường Các lớp cơng thức biến phân tương ứng với hai toán đưa sau Tiếp theo, tác giả trình bày kết tương đương dạng biến phân với phương trình tích phân Lippmann-Schwinger • Ở Chương 2, tác giả trình bày kết tồn nghiệm phương trình tích phân Lippmann-Schwinger, từ thu tồn nghiệm tốn ban đầu • Chương luận văn tập trung xây dựng công thức biểu diễn đại lượng sóng tới, sóng tán xạ thông qua chuỗi hàm vectơ cầu điều hịa Cơng thức khai triển cụ thể trường hợp sóng tới sóng phẳng trường hợp achiral chiral đưa phần cuối luận văn Chương Phương trình tích phân Lippmann-Schwinger 1.1 Bài toán từ trường 1.1.1 Giới thiệu toán từ trường Trong luận văn này, khảo sát hệ phương trình Maxwell có dạng sau: curl H = −ikε(E + βcurl E), (1.1) curl E = ikµ(H + βcurl H), (1.2) E s, H s ε = µ = 1, β = E i, H i Ω ε(x), µ(x), β(x) Xây dựng tốn thuận miền Rn \ Γ, Γ ∈ C biên miền bị chặn Ω ⊂ R3 , k > số sóng, hàm ε, µ, β ∈ C (R3 \ Γ) đặc trưng cho số điện môi, số từ môi tính chiral mơi trường Lưu ý đại lượng hàm phức không phụ thuộc thời gian có giá trị số vật liệu đồng Môi trường gọi achiral trường hợp β = 0, 44 Phổ trường sóng xa cho H ∞ (ˆ x) = Re detn (κ) m m [αn Vn (ˆ x) − βnm Unm (ˆ x)] detn (κ) 4π k in+1 Ta áp dụng kết cho trường Beltrami xuất tốn truyền sóng chiral 3.1.4 Bài tốn truyền sóng cầu chiral Các thiết lập tương tự mục trước Nhưng bây giờ, môi trường bên cầu (đồng nhất, khơng tổn hao và) chiral Chính xác hơn, cho số điện môi, số thấm từ tính chiral xác định       c c µ0 B , 0 ε0 B , µ= ε=   εB B, c B , β=  µB B,  βB B với số thực εB , µB , βB Định nghĩa số sóng   k := ω √ε0 µ0 B c ,  κ := ω √εB µB B Khi đó, phương trình Maxwell chiral curl2 U − κ2 κ2 β curl U − U =0 − κ2 β − κ2 β B với U = E U = H trường xuất tốn truyền sóng thỏa mãn phương trình sau curl2 U i − k U i = c B , c curl2 U s − k U s = B , radiating, 2 κ κ curl2 U − β curl U − U = B − κ2 β − κ2 β với U = E U = H Đối với vật liệu đồng nhất, phân tích điện trường, từ trường sử dụng kết từ tốn truyền sóng achiral Đối chiếu [2] Đó phân tích 45 Bohren [4] Định nghĩa κL , κR    κ B, κL := − κβ B  k c κR :=    κ + κβ  k B, c B Khi đó: κL κR = κ2 − κ2 β B Đặt QL := E + iH QR := E − iH Khi QL , QR trường Beltrami, nghĩa curl QL = κL QL curl QR = −κR QR chúng thỏa mãn phương trình Maxwell achiral cho số sóng κL κR : curl2 QL − κ2L QL = curl2 QR − κ2R QR = Do đó, ta áp dụng kết mục trước cho trường QL QR suy chuỗi biểu diễn cho trường E H , từ E = (QL + QR ) H= (QL − QR ) 2i Ta bắt đầu với trường sóng tới H i E i : H i (x) = E i (x) = − curl H i (x) = ik curl Mnm (x, k), ik βnm Mnm (x, k) − αnm curl Mnm (x, k) ik αnm Mnm (x, k) + βnm Ta giới thiệu trường sóng tới: QiL := E i + iH i QiR := E i − iH i : QiL (x) = QiR (x) = curl Mnm (x, k), ik (βnm − iαnm )Mnm (x, k) − (αnm + iβnm ) curl Mnm (x, k) ik (βnm + iαnm )Mnm (x, k) − (αnm − iβnm ) Trường sóng tổng hợp QL , QR phía B cho QL (x) = − i k2 (βnm + iαnm )Mnm (x, κL ) detn (κL ) (αm − iβnm ) curl Mnm (x, κL ), iκL detn (κL ) n i QR (x) = − (β m − iαnm )Mnm (x, κR ) k detn (κR ) n − (αm + iβnm ) curl Mnm (x, κR ) iκR detn (κR ) n − 46 trường sóng tổng hợp E H tính E(x) = (QL + QR ) H(x) = (QL − QR ) 2i Lúc này, ta thấy trường E H nhận từ mở rộng hạng tử hàm sóng vectơ cho số sóng κL κR Các trường sóng tán xạ QsL , QsR có chuỗi khai triển Re detn (κL ) m (βn + iαnm )Nnm (x, k) detn (κL ) Re detn (κL ) m − (αn − iβnm ) curl Nnm (x, k), ik detn (κL ) Re detn (κR ) m (βn − iαnm )Nnm (x, k) detn (κR ) Re detn (κR ) m − (αn + iβnm ) curl Nnm (x, k) ik detn (κR ) QsL (x) = − QsR (x) = − Đặt cL := Re detn (κL ) detn (κL ) cR := Re detn (κR ) detn (κR ) Khi QsL (x) = − QsR (x) = − cL m (α − iβnm ) curl Nnm (x, k), ik n cR cR (βnm − iαnm )Nnm (x, k) − (αnm + iβnm ) curl Nnm (x, k) ik cL (βnm + iαnm )Nnm (x, k) − Do đó, chuỗi khai triển cho trường điện trường từ trường E s (x) = − (cL + cR )βnm + (cL − cR )iαnm Nnm (x, k) − H s (x) = − 2i (cL + cR )αnm − (cL − cR )iβnm curl Nnm (x, k), ik (cL − cR )βnm + (cL + cR )iαnm Nnm (x, k) − (cL − cR )αnm − (cL + cR )iβnm curl Nnm (x, k) ik Cuối cùng, phổ trường sóng xa cho 4π k 4π Q∞ x) = R (ˆ k Q∞ x) = L (ˆ cL (βnm + iαnm )Vnm (ˆ x) + (αnm − iβnm )Unm (ˆ x) , in+1 cR x) (βnm − iαnm )Vnm (ˆ x) + (αnm + iβnm )Unm (ˆ n+1 i 47 E ∞ (ˆ x) = 4π 2k + H ∞ (ˆ x) = 4π 2ik − 3.2 cL n+1 i (βnm + iαnm )Vnm (ˆ x) + (αnm − iβnm )Unm (ˆ x) cR n+1 i (βnm − iαnm )Vnm (ˆ x) + (αnm + iβnm )Unm (ˆ x) , cL n+1 i x) + (αnm − iβnm )Unm (ˆ x) (βnm + iαnm )Vnm (ˆ cR n+1 i (βnm − iαnm )Vnm (ˆ x) + (αnm + iβnm )Unm (ˆ x) Tốn tử trường sóng xa Trong phần này, ta phát triển dạng tường minh toán tử trường sóng xa F cho trường hợp hình cầu Các thiết lập giống mục trước Sự cản trở tán xạ cầu B = B(0, 1) chứa đầy vật liệu chiral đồng nằm chân không Ta suy chuỗi biểu diễn phổ trường sóng xa H ∞ cho trường sóng tới H i cho F chồng lên phổ trường sóng xa H∞ (ˆ x; d, p) gây sóng phẳng Hi (x) = p eik d·x Chúng bắt đầu với chuỗi khai triển sóng phẳng Một ta biết hệ số này, việc biểu diễn phổ trường sóng xa tìm thấy phần trước trực tiếp mang lại dạng tường minh F Một lần nữa, ta nghiên cứu trường hợp achiral trường hợp chiral 3.2.1 Chuỗi khai triển sóng phẳng Đầu tiên, ta phải khai triển sóng phẳng thành chuỗi hàm sóng vectơ Mnm m curl Mnm ; tức là, ta phải xác định hệ số am n bn chuỗi peik d·x = = curl Mnm (x, k) ik 1 m am x ) + bm jn (k|x|) + kjn (k|x|) Unm (ˆ x) n (−1)jn (k|x|)Vn (ˆ n ik |x| m m am n Mn (x, k) + bn 48 với eik|x| yˆ·d (d × p × d) · Vnm (ˆ y ) ds(ˆ y ), −am n jn (k|x|) = S2 m b jn (k|x|) + kjn (k|x|) = ik n |x| eik|x| yˆ·d (d × p × d) · Unm (ˆ y ) ds(ˆ y) S2 ta sử dụng p = d × p × d p · d = |d| = Trong phần tiếp theo, ta tính tốn hệ số Fourier vế phải Chính xác hơn, ta tính tốn phần phức liên hợp: e−ik|x| yˆ·d (d × p × d) · Vnm (ˆ y ) ds(ˆ y ), S2 e−ik|x| yˆ·d (d × p × d) · Unm (ˆ y ) ds(ˆ y) S2 y ) z = |z|d Ta Ở ta nhận phổ trường sóng xa curl2 p Φk (z, |x|ˆ làm việc với công thức Stratton - Chu áp dụng cầu có bán kính R Do đó, ta giới thiệu tốn tử C1 C2 xác định cho trường vectơ tiếp tuyến ϕ: (C1 ϕ)(x) := curl ϕ(y) Φk (x, y) ds(y), |x|=R (C2 ϕ)(x) := curl curl ϕ(y) Φk (x, y) ds(y) |x|=R Khi cơng thức Stratton–Chu 3.2 3.3   E B(0, R), −C1 (ν × E) + −C1 (ν × H) − ik C2 (ν × H) =  0 B(0, R)c ,   H B(0, R), C2 (ν × E) = ik   B(0, R) ,   E s B(0, R) , C1 (ν × E s ) − C2 (ν × H s ) = ik   c B(0, R),   H s B(0, R) , B(0, R) C1 (ν × H ) + C2 (ν × E s ) = ik   s c c 49 Ta áp dụng công thức bên Stratton–Chu cho Mnm , thức bên cho Nnm , c curl Nnm với x ∈ B(0, R) ik curl Mnm công ik C2 (ν × curl Mnm ) + C1 (ν × Mnm ) = 0, k2 C2 (ν × curl Nnm ) + C1 (ν × Nnm ) = Nnm , k C2 (ν × Mnm ) + C1 (ν × curl Mnm ) = 0, C2 (ν × Nnm ) + C1 (ν × curl Nnm ) = curl Nnm Tức là, sử dụng biểu thức cho vết tiếp tuyến (3.5)–(3.8) tìm thấy mục đầu viết tắt jn = jn (kR), hn = hn (kR), yn = yn (kR), 1 C2 jn + kjn k R 1 C hn + khn k2 R jn + kjn C1 R hn + khn C1 R Vnm + C1 [jn Unm ] = 0, Vnm + C1 [hn Unm ] = Nnm , Vnm + C2 [jn Unm ] = 0, Vnm + C2 [hn Unm ] = curl Nnm Dùng hn = jn + iyn ta kết luận 1 C2 jn + kjn k R 1 C2 yn + kyn k R C1 jn + kjn R iC1 yn + kyn R Vnm + C1 [jn Unm ] = 0, Vnm + iC1 [yn Unm ] = Nnm , Vnm + C2 [jn Unm ] = 0, Vnm + iC2 [yn Unm ] = curl Nnm Nhân phương trình thứ với iyn = iyn (kR), phương trình thứ hai với jn , sau trừ cho nhau, đồng thời dùng Công thức Wronski jn yn − jn yn = ta i C2 [Vnm ] k R2 = jn Nnm Tính tốn tương tự cho phương trình thứ ba thứ tư cho ta i m C [U ] = − jn + kjn curl Nnm n kR2 R k R2 cho 50 Từ hai phương trình cuối, ta kết luận cho vectơ p ∈ C3 : y ) · Unm (ˆ y ) ds(ˆ y ) = ik curl2y p Φ(x, Rˆ S2 jn (kR) + kjn (kR) p · curl Nnm (x), R y ) · Vnm (ˆ y ) ds(ˆ y ) = −ik jn (kR)p · Nnm (x) curl2y p Φ(x, Rˆ S2 hay y ) · Unm (ˆ y ) ds(ˆ y) curl2y p Φ(x, Rˆ S2 = ik jn (kR) + kjn (kR) R hn (k|x|) + khn (k|x|) p · Unm (ˆ x) |x| (3.11) curl2y p Φ(x, Rˆ y ) · Vnm (ˆ y ) ds(ˆ y ) = ik jn (kR)hn (k|x|)p · Vnm (ˆ x) (3.12) S2 Các số hạng phụ thuộc vào x |x|, có dáng điệu tiệm cận sau: k ik|x| e (ˆ x × p × xˆ)e−ikR xˆ·ˆy + O(|x|−2 ), 4π|x| hn (k|x|) = n+1 eik|x| + O(|x|−2 ), i k|x| hn (k|x|) = n eik|x| + O(|x|−2 ) i k|x| curl2y p Φ(x, Rˆ y) = Do đó, cho |x| → ∞ phương trình (3.11) (3.12) cho ta i 4π j (kR) + kjn (kR) p · Unm (ˆ x), n R n k i S2 4π e−ikR xˆ·ˆy (ˆ x × p × xˆ) · Vnm (ˆ y ) ds(ˆ y ) = n jn (kR)p · Vnm (ˆ x) i S2 e−ikR xˆ·ˆy (ˆ x × p × xˆ) · Unm (ˆ y ) ds(ˆ y) = Bây ta quay lại khai triển sóng phẳng: peik d·x = m m am n Mn (x, k) + bn curl Mnm (x, k) ik với eik|x| yˆ·d (d × p × d) · Vnm (ˆ y ) ds(ˆ y ), −am n jn (k|x|) = S2 m b jn (k|x|) + kjn (k|x|) = ik n |x| eik|x| yˆ·d (d × p × d) · Unm (ˆ y ) ds(ˆ y ) S2 51 Ta tính tốn y ) ds(ˆ y) e−ik|x| yˆ·d (d × p × d) · Vnm (ˆ eik|x| yˆ·d (d × p × d) · Vnm (ˆ y ) ds(ˆ y) = S2 S2 4π = n jn (k|x|)p · Vnm (d) i e−ik|x| yˆ·d (d × p × d) · Unm (ˆ y ) ds(ˆ y) eik|x| yˆ·d (d × p × d) · Unm (ˆ y ) ds(ˆ y) = S2 S2 = i 4π jn (k|x|) + kjn (k|x|) p · Unm (d) k in |x| Do n m am n = −4πi p · Vn (d), n m bm n = 4πi p · Un (d) Cuối cùng, peik x·d = 4π in p · Unm (d) curl Mnm (x) − p · Vnm (d)Mnm (x) ik Như hệ quả, ta tìm thấy chuỗi khai triển sóng phẳng có dạng (d × p)eik d·x = curl peik d·x , cụ thể ik (d × p)eik x·d = m m am n Mn (x, k) + bn curl Mnm (x, k) ik với n m am n = −4πi p · Un (d), n m bm n = −4πi p · Vn (d) 3.2.2 Trường hợp achiral Đối với tốn ngược, ta coi sóng phẳng trường sóng tới: Hi (x; d, p) = p eik x·d Ta tính tốn chuỗi khai triển sóng phẳng với hướng tới d hướng phân cực p, Hi (x; d, p) = 4π in p · Unm (d) curl Mnm (x, k) − in p · Vnm (d)Mnm (x, k) ik 52 Trường sóng tới bị tán xạ hình cầu B(0, 1) với số sóng κ bên k bên ngồi Phổ trường sóng xa tương ứng H∞ (ˆ x; d, p) trường sóng tán xạ Hi gây cho chuỗi (4π)2 i k Re detn (κ) p · Vnm (d)Vnm (ˆ x) + p · Unm (d)Unm (ˆ x) detn (κ) Nhắc lại định nghĩa tốn tử trường sóng xa: F : L2t (S2 ) → L2t (S2 ), H∞ (ˆ x; θ, p(θ)) ds(θ) p→ S2 Khi Fp = (4π)2 i k Re detn (κ) m m pn Vn + qnm Unm detn (κ) hệ số Fourier pm n := p(θ) · Vnm (θ) ds(θ) qnm := S2 p(θ) · Unm (θ) ds(θ) S2 trường tiếp tuyến p ∈ L2t (S2 ) có khai triển p= m m m pm n Vn + qn Un Cuối cùng, ta xác định hệ riêng F Trong trường hợp achiral, giá trị riêng F cho λn = (4π)2 k Re detn (κ) , detn (κ) n = 0, 1, 2, Chúng có bội số 2n + vectơ cầu điều hòa Unm Vnm hàm riêng Bây giờ, tính tốn chuỗi n n∈N m=−n |(φz , Unm )L2t (S2 ) |2 |λn | n + n∈N m=−n |(φz , Vnm )L2t (S2 ) |2 |λn | (3.13) Với z ∈ R3 , ta chọn φz (ˆ x) := −ik (ˆ x × z × xˆ) + (ˆ x × z) e−ikˆx·z Khi φz = Gradxˆ e−ikˆx·z + xˆ × Gradxˆ e−ikˆx·z ta biết chuỗi đại diện e−ikˆx·z từ khai triển Jacobi–Anger, cụ thể e−ikˆx·z = 4π (−i)n jn (k|z|)Ynm (ˆ z )Ynm (ˆ x) 53 Do đó, φz có chuỗi khai triển φz (ˆ x) = 4π (−i)n jn (k|z|)Ynm (ˆ z ) Grad Ynm (ˆ x) + xˆ × Grad Ynm (ˆ x) Nhắc lại định nghĩa x) = Unm (ˆ n(n + 1) x) Grad Ynm (ˆ x) = xˆ × Unm (ˆ x) Vnm (ˆ Các hệ số Fourier φz cho (φz , Unm )L2t (S2 ) = (φz , Vnm )L2t (S2 ) = 4π(−i)n jn (k|z|)Ynm (ˆ z ) Như trường hợp vô hướng (đối chiếu phần 1.5 [9]) n |(φz , Unm )L2t (S2 ) |2 = 4π(2n + 1) m=−n n |(φz , Vnm )L2t (S2 ) |2 = 4π(2n + 1) m=−n (k|z|)2n 1+O [(2n + 1)!!] n (k|z|)2n 1+O [(2n + 1)!!] n Ở p!! := · · p cho số lẻ p Ta tiếp tục với dáng điệu tiệm cận giá trị riêng λn = (4π)2 i Re detn (κ) k detn (κ) = (4π)2 i k · jn (k) · hn (k) 1 j (κ) jn (k) − + n − κ k jn (κ) jn (k) 1 jn (κ) hn (k) − − + κ k jn (κ) hn (k) jn , hn , jn hn có dáng điệu tiệm cận sau: tn 1+O (2n + 1)!! (2n − 1)!! hn (t) = 1+O itn+1 jn (t) = Thay vào n n , , ntn−1 1+O , (2n + 1)!! n (n + 1)(2n − 1)!! hn (t) = 1+O n+2 it n jn (t) = ta λn (2n + 1)!!(2n − 1)!! = · λn (4π)2 k 2n 1 n n+1 − + + κ k κ k 1 n n − + − κ k κ k 1+O n 54 Đơn giản phân thức thứ hai vế phải ta 1 n n+1 − + + κ κ k κ k =1− 1 n n (n + 1)(k − κ) − + − κ k κ k Do đó, (2n + 1)!!(2n − 1)!! = 1+O 2n λn (4π) k n n |(φz , Unm )L2t (S2 ) |2 |λn | m=−n n |(φz , Vnm )L2t (S2 ) |2 = |λn | m=−n = |z|2n 1+O 4π n Ta kết luận chuỗi (3.13) hội tụ |z| < 1, nghĩa z nằm cầu B(0, 1) 3.2.3 Trường hợp chiral Trong trường hợp chiral, ta tìm thấy dạng tường minh cho F theo cách tương tự: Cho trường tiếp tuyến p ∈ L2t (S2 ) : p = pm n = p(θ) · Unm (θ) ds(θ) m m m pm n Un + qn Vn với qnm = S2 p(θ) · Vnm (θ) ds(θ) S2 ta ý m m m pm n Un + qn Vn p= = m m m m m m m (pm n − iqn )(Un + iVn ) + (pn + iqn )(Un − iVn ) κ κ κR = xuất − κβ + κβ dạng số sóng cho trường QL QR Ta tính phổ trường sóng xa Trong trường hợp chiral, hai số κL = H ∞ (ˆ x) = 4π 2ik cL n+1 i − x) x) + (αnm − iβnm )Unm (ˆ (βnm + iαnm )Vnm (ˆ cR n+1 i x) (βnm − iαnm )Vnm (ˆ x) + (αnm + iβnm )Unm (ˆ với hệ số αnm = −4πin p · Vnm (d), βnm = 4πin p · Unm (d) số cL = Re detn (κR ) Re detn (κL ) , cR = detn (κL ) detn (κR ) 55 Như trường hợp achiral, ta kết luận Fp = (4π)2 i 2k m m m m m m m cL (pm n − iqn )(Un + iVn ) − cR (pn + iqn )(Un − iVn ) Ta quan sát thấy Unm + iVnm , m = −n, , n, hàm riêng cho giá trị riêng λn = (4π)2 i Re detn (κL ) k detn (κL ) Unm − iVnm , m = −n, , n, hàm riêng cho giá trị riêng λn = − (4π)2 i Re detn (κR ) k detn (κR ) với n ∈ N0 Một lần nữa, giá trị riêng có bội số 2n + Sự ước lượng chuỗi |(φz , ψj )L2t (S2 ) |2 j∈N |λj | cho hàm đặc trưng vật tán xạ hoàn toàn tương tự với trường hợp achiral KẾT LUẬN Trong luận văn này, tác giả tập trung tìm hiểu tồn nghiệm phương trình Maxwell thơng qua biểu diễn tương đương với phương trình tích phân Lippmann-Schwinger Bài tốn khảo sát mơi trường achiral chiral Bên cạnh đó, tác giả cịn tìm hiểu trình bày lại biểu diễn dạng chuỗi cho nghiệm phương trình Maxwell thơng qua hệ sở hàm cầu điều hòa Việc xây dựng chuỗi khai triển trường hợp trường sóng tới sóng phẳng đưa ví dụ Khai triển hỗ trợ nhiều cho việc nghiên cứu phương pháp số để giải phương trình Maxwell, hồn cảnh khó tìm nghiệm giải tích liệu đáng tin cậy để thử kết số, trường hợp đơn giản Các kết tham khảo chủ yếu tài liệu [6], [8], [10], [11], [15], [16] Mặc dù chưa có kết mới, đóng góp luận văn tổng hợp trình bày lại cách chi tiết kết liên quan đến tồn tính nghiệm phương trình Maxwell Đây lớp hệ phương trình có nhiều ứng dụng lý thuyết tán xạ nói riêng Vật lý nói chung Là lớp phương trình có nhiều ứng dụng, tác giả nhận độ phức tạp hệ phương trình suốt trình thực luận văn Do đó, tác giả mong luận văn tài liệu tham khảo tiếng Việt, hữu ích cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh dễ tiếp cận bước đầu tìm hiểu chủ đề 56 Tài liệu tham khảo [1] H Ammari and J C Nédélec, Time-harmonic fields in chiral media, Meth Verf Math Phys., 42 (1997), pp 395–423 [2] C Athanasiadis, P A Martin, and I G Stratis, Electromagnetic scattering by a homogeneous chiral obstacle: boundary integral equations and lowchirality approximations, SIAM J Appl Math., 59 (1999), pp 1745–1762 [3] Nikolaos M Berketis and C Athanasiadis, Direct and inverse scattering problems for spherical electromagnetic waves in chiral media, ArXiv eprints, 2008 [4] Craig F Bohren, Light scattering by an optically active sphere, Chemical Physics Letters, 29 (1974), pp 458 – 462 [5] David L Colton and Rainer Kress, Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory, Springer, 2nd ed., 1998 [6] David L Colton and Rainer Kress, Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory, Applied Mathematical Sciences, Volume 93, Third Edition, 2013 [7] Andreas Kirsch, The factorization method for Maxwell’s equations, Inverse Problems, 20 (2004), pp S117–S134 [8] Andreas Kirsch and Frank Hettlich, The Mathematical Theory of Maxwell’s Equations Expansion integral and variational methods, Applied Mathematical Sciences, Volume 190, Springer, 2015 57 58 [9] Andreas Kirsch and Natalia Grinberg, The Factorization Method for Inverse Problems, Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications 36, Oxford University Press, 2008 [10] Andreas Kirsch and Peter Monk, An analysis of the coupling of finiteelement and Nystrăom methods in acoustic scattering, IMA Journal of Numerical Analysis, 14(4), 523-544, 1994 [11] Sven Heumann, The Factorization Method for Inverse Scattering from Chiral Media, PhD thesis, Karlsruhe Institute of Technology, 2012 [12] Rainer Kress, Linear integral equations, Springer, 1989 [13] Peter Monk, Finite Element Methods for Maxwell’s Equations, Oxford Science Publications, Oxford, 2003 [14] William McLean, Strongly Elliptic Systems and Boundary Integral Operators, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2000 [15] Jean Claude Nedelec, Acoustic and Electromagnetic Equations, Springer, New York, 2001 [16] Gennadi Vainikko, Fast Solvers of the Lippmann-Schwinger Equation, Direct and Inverse Problems of Mathematical Physics, Volume of the series International Society for Analysis, Applications and Computation, 423-440, 2000 ... 54 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 MỞ ĐẦU Phương trình Maxwell phương trình có nhiều ứng dụng Vật lý, đặc biệt lý thuyết tán xạ điện từ Phương trình nhận nhiều quan tâm nhà Toán học Cho đến... quanh phương trình vấn đề mở Các nghiên cứu phương trình liên quan đến tồn nghiệm, tính chất nghiệm, phương pháp giải tích phương pháp số để giải phương trình Một kết hữu ích gần chứng minh tồn nghiệm. .. (k|x|)Yn (ˆ nghiệm nguyên cho phương trình Helmholtz vnm (x) = hn (k|x|)Ynm (ˆ x) nghiệm radiating cho phương trình Helmholtz R3 {0} Ta sử dụng chúng để xây dựng nghiệm cho phương trình Maxwell