BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Bùi Hồi Nhân MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA KHƠNG GIAN LORENTZ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Bùi Hồi Nhân MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA KHƠNG GIAN LORENTZ VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành : Tốn Giải Tích Mã số: 846 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn tơi thực hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thành Nhân Các nội dung nghiên cứu kết tham khảo luận văn trích dẫn liệt kê đầy đủ mục Tài liệu tham khảo Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng năm 2020 Bùi Hoài Nhân Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy TS NGUYỄN THÀNH NHÂN, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ để tơi hồn thành luận văn Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Hội đồng chấm luận văn đọc góp ý giúp cho luận văn hồn chỉnh Xin chân thành cảm ơn q thầy Khoa Tốn - Tin học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh truyền đạt cho tơi kiến thức quý báu suốt năm học vừa qua, tạo cho tảng vững để thực luận văn Cuối cùng, gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè tập thể lớp Tốn Giải tích K28 hết lịng ủng hộ động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập trình thực luận văn Tuy nhiên, thời gian có hạn nên luận văn cịn nhiều hạn chế khơng tránh khỏi sai sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cám ơn Tp.HCM, ngày 30 tháng năm 2020 Tác giả Bùi Hồi Nhân Mục lục Lời nói đầu Bảng ký hiệu Không gian Marcinkiewicz 1.1 Không gian Lebesgue 1.2 Hàm phân phối 10 1.3 Không gian Lp yếu 13 Khơng gian Lorentz 20 2.1 Hàm hốn vị giảm 20 2.2 Hàm cực đại 32 2.3 Không gian Lorentz Lp,q 35 Ứng dụng tồn nghiệm phương trình p-Laplace 45 3.1 Xây dựng ánh xạ T 46 3.2 Sự tồn nghiệm renormalized phương trình (3.1) 50 Tài liệu tham khảo 52 Lời nói đầu Khơng gian Lorentz đưa từ năm 1950 nhà toán học George Lorentz có nhiều ứng dụng lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt tốn tồn tính quy nghiệm Gần đây, nhiều kết đánh giá gradient nghiệm phương trình elliptic dạng divergence thu khơng gian Lorentz, không gian Lp yếu (không gian Marcinkiewicz), thường xem trường hợp đặc biệt không gian Lorentz Nhờ vào đánh giá này, tồn nghiệm số lớp phương trình đạo hàm riêng phương trình p-Laplace, phương trình dạng Ricatti, chứng minh Nội dung luận văn tập trung khảo sát số tính chất không gian Lorentz, định nghĩa chuẩn nửa chuẩn khơng gian Ngồi luận văn khảo sát mối liên hệ tương đương chuẩn nửa chuẩn không gian Lorentz Các kết cơng cụ hữu ích để chứng minh tồn nghiệm phương trình dạng Riccati không gian Lorentz Cụ thể, luận văn xét tồn nghiệm renormalized (tham khảo [8]) phương trình dạng p-Laplace   −∆ u = |∇u|q + µ X, p  u = ∂X, (1) không gian Lorentz Ls,t Các kết tham khảo chủ yếu báo [14], [16], [17] Nội dung luận văn “Một số tính chất khơng gian Lorentz ứng dụng ” tìm hiểu số tính chất quan trọng khơng gian Lorentz tồn nghiệm renormalized phương trình pLaplace không gian Lorentz Nội dung luận văn bao gồm chương: Chương 1: Không gian Marcinkiewicz Nội dung phần hệ thống lại số kiến thức liên quan đến không gian Lp không gian Lp yếu tham khảo sách L Grafakos [4] [3] Chương 2: Không gian Lorentz Nội dung chương gồm định nghĩa không gian Lorentz chuẩn không gian Lorentz với tài liệu tham khảo [7] sách [13] F L Santos Chúng tơi trình bày lại khái niệm không gian Lorentz trường hợp khái quát không gian Lp không gian Lp yếu Đồng thời trình bày hai chuẩn tương đương không gian Lorentz để thuận tiện chương Chương 3: Ứng dụng tồn nghiệm phương trình p- Laplace Nội dung chương trình bày lại kết tồn nghiệm phương trình dạng p- Laplace khơng gian Lorentz Chúng chứng minh kết cách áp dụng định lý điểm bất động Schauder toán tử liên tục xác định tập lồi, đóng có ảnh tập compact Nội dung chương tham khảo báo [14],[16],[15] [17] tác giả M.-P Tran T.-N Nguyen Bảng ký hiệu Lp Không gian Lebesgue Lp,∞ Khơng gian Marcinkiewicz Lp,q Khơng gian Lorentz Lp (X,µ) |||.|||Lp,∞ Lp,q Tựa chuẩn không gian Lp (X, µ) với < p ≤ ∞ Chuẩn không gian Lp yếu với p > Tựa chuẩn không gian Lorentz Lp,q , chuẩn trường hợp ≤ q ≤ p p = q = ∞ µ(E ) Độ đo µ tập E |||.|||Lp,q Chuẩn tương đương không gian Lorentz Lp,q với < p < ∞ ≤ q ≤ ∞ df Hàm phân phối hàm f với độ đo µ mf Hàm phân phối hàm f với độ đo m f∗ Hàm hoán vị giảm hàm f f ∗∗ Hàm cực đại hàm f ∇u Gradient hàm u ∆p Toán tử p-Laplace M0 (X ) Khơng gian độ đo có biến phân bị chặn liên tục tuyệt đối Chương Không gian Marcinkiewicz 1.1 Không gian Lebesgue Định nghĩa 1.1.1 ([3]) Cho X khơng gian độ đo, µ độ đo dương không thiết phải hữu hạn X Cho < p < ∞, Lp (X, µ) tập hàm đo X định nghĩa Lp (X, µ) = p |f | dµ < ∞ f đo X : X Tập L∞ (X, µ) tập tất hàm f đo X cho tồn B > để tập {x : f (x) > B} có độ đo Hai hàm gọi Lp (X, µ) chúng hầu khắp nơi X, nghĩa hai hàm X, ngoại trừ tập có độ đo Kí hiệu Lp (Rn ) nghĩa khơng gian Lp (Rn , |·|), |·| độ đo Lebesgue n chiều Độ đo Lebesgue Rn kí hiệu dx Nếu khơng có nhầm lẫn, ta viết Lp (X, µ) đơn giản Lp Không gian Lp (Z) trang bị độ đo kí hiệu p( Z) đơn giản p Cho < p < ∞, ta định nghĩa tựa chuẩn hàm f Lp   p1 f Lp (X,µ) = p |f (x)| dµ (x) , X (1.1) p = ∞ f L∞ (X,µ) = ess.sup|f | = inf {B > : µ({x : f (x) > B}) = 0} Sau số tính chất · Lp (X,µ) (1.2) với < p Mnh 1.1.2 (Bt ng thc Hăolder [3]) Cho < p, p1 , p2 , , pk ≤ ∞ với k ≥ 2, fj ∈ Lpj = Lpj (X, µ) Giả sử p = p1 + + pk (i) Với f1 , f2 , , fk ∈ LP f1 fk ≤ f1 Lp Lp1 fk Lpk (1.3) (ii) Nếu pj hữu hạn, với j = 1, k dấu đẳng thức (i) xảy p1 pk trường hợp c1 |f1 | = = ck |fk | hầu khắp nơi với cj ≥ (iii) Cho < q < Với r < g > hầu khắp nơi, g Lr = g −1 −1 L|r| Khi với f ≥ 0, g > hầu khắp nơi ta có fg với q = L1 ≥ f Lq g Lq , (1.4) q l liờn hp Hăolder ca q q−1 Chứng minh Ta chứng minh (i) phương pháp quy nạp Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức với trường hợp k = Nghĩa với p = p1 + p2 f1 f2 Lp ≤ f1 Lp1 f2 Lp2 Không tính tổng qt ta giả sử p = 1, ta chứng minh p1 Vì f1 f2 L1 ≤ f1 + Lp1 p2 f2 = f1 f2 L∞ f1 f2 L1 L1 ≤ f1 ≤ f1 Lp1 L∞ f2 f2 Lp2 Lp2 với x nên trường hợp p1 = 1, p2 = ∞ p1 = ∞, p2 = dược chứng minh 40 g ∗ (t) = aχ[0,µ(B\A)) (t) + χ[µ(B\A),µ(B)) (t) Do ta có đẳng thức sau 1 f Lp,∞ = max aµ(A) p , µ(B ) p g Lp,∞ = max aµ(B\A) p , µ(B ) p = µ( B ) p , 1 = µ(B ) p Vì f (x) + g (x) = (a + 1) χB nên ta có f + g Lp,∞ = (a + 1) µ(B ) p Từ đánh giá dẫn đến f +g 1 Lp,∞ = (a + 1) µ(B ) p > 2µ(B ) p = f Lp,∞ + g Lp,∞ Như bất đẳng thức tam giác khơng cịn Do trường hợp chứng minh Lấy < p, q < ∞ A, B hai tập đo thỏa A ∩ B = ∅ χA + χB Lp,q q p q = (µ (A) + µ (A)) p χA Lp,q + χB Lp,q p q = q 1 µ(A) p + µ(B ) p Theo bất đẳng thức tam giác 1 (µ (A) + µ (B )) p ≤ µ(A) p + µ(B ) p khơng với < q < ∞ < p < Nếu q = ∞ Lp,∞ p q chuẩn ta xem số = Do trường hợp thứ hai q chứng minh Lấy < p < ∞ < q < 1, ta định nghĩa   < x < 2−p , f (x) =  trường hợp lại 41   < x < 2−2p , g (x) =  trường hợp cịn lại, ta có đánh giá sau f Lp,q = g Lp,q = p q q Từ định nghĩa f (x) g (x) nên   < x < 2−2p , f (x) + g (x) =  2−2p < x < 2−p , hàm hốn vị giảm f + g với f + g hầu khắp nơi Nghĩa (f + g )∗ = f + g hầu khắp nơi Do f +g Lp,q = p q q 22−2q + 21−q q Giả sử bất đẳng thức tam giác đúng, ta có 22−2q + 21−q ≤ 2q ta viết lại ≤ 2q 22q − < 22 − = Điều dẫn đến mâu thuẫn Như trường hợp thứ ba chứng minh Bây ta xét X hợp đếm atoms có độ đo Ta xét trường hợp sau 1 ≤ p < q ≤ ∞ < p < < q ≤ ∞, < q < 1, < p < ∞ Trước hết để chứng minh trường hợp 1, ta lấy phản ví dụ sau Với ≤ p < q ≤ ∞ < p < < q ≤ ∞, ta tìm hai số dương α, β cho α > β > thỏa q α < < p −1 β q−1 Nếu ta áp dụng Định lí giá trị trung bình với hàm xq β, α+β , α ta hai số λ1 , λ2 cho α+β 42 q α+β −β α − = α−β qγ1q−1 Từ ta suy β < γ1 < α+β q−1 = qγ2 α−β αq − q α+β q q α+β q α+β q < γ2 < α, ta có γ2 γ1 = − βq q−1 q−1 α β < q < p −1 Từ đánh giá ta suy q α +2 q p −1 q α+β q β < +2 q α+β q p −1 Lấy a = {α, β, 0, } b = {β, α, } ta có a+b Lp,q q q p −1 q p −1 q = (α + β ) + q >2 α +2 = a Lp,q β + b (α + β ) q q q Lp,q Như ta hoàn thành chứng minh trường hợp Ta tiếp tục chứng minh trường hợp Giả sử < q < < p < ∞ Lấy a = α, 0, b = 0, 1, với α = 1−q − Khi với α > ta có a Lp,q + b Lp,q Ta chứng minh a + b q = + α a + b Lp,q > a Lp,q q + b Lp,q Lp,q aq + p −1 > (α + 1)q hay 1−q − q Vì p −1 > q = α +2 q p −1 q với < p < ∞ Nghĩa q q + p −1 − 1−q > với < p < ∞, ta có 1−q − q q q + p −1 − 1−q > 1−q − 1 = 1−q − q + q − 1−q 2 1−q − q−1 − Từ ta thấy bất đẳng thức tam giác không với < q < < p < ∞ Vậy ta hoàn thành chứng minh định lí 43 Ngồi chuẩn trên, không gian Lorentz với < p < ∞, ≤ q ≤ ∞ ta định nghĩa ∞ |||f |||Lp,q := p t f ∗∗ (t) q q dt t với ≤ t < ∞, |||f |||Lp,∞ := sup t p f ∗∗ (t) t>0 chuẩn không gian Lorentz Thật vậy, từ định nghĩa |||.|||Lp,q định nghĩa hàm cực đại ta cần kiểm tra bất đẳng thức tam giác Áp dụng Định lí 2.2.3 bất đẳng thức Minkowski ta suy điều phải chứng minh Định lý 2.3.4 ([4]) Lấy < p < ∞ ≤ q ≤ ∞, hàm f ∈ Lp,q Lp,q |||.|||Lp,q hai chuẩn tương đương Hơn f Lp,q ≤ |||f |||Lp,q ≤ p f p−1 Lp,q (2.10) Chứng minh Trường hợp q = ∞ chứng minh Mệnh đề 1.3.7 Ta cần chứng minh trường hợp < q < ∞ Áp dụng bất ng thc Hăolder vi q + q = ta có q t ∗ f (λ) dλ q t ∗ f (λ) λ = 1 p − pq λ − p1 + pq dλ 0 t q (f ∗ (λ)) λ ≤ q p−p t dλ λ q ∗ (f (λ)) λ q p−p t dλ dλ q−1 − p1 λ (2.11) dλ q−1 = q q t = q − pq + pq 1− t 1 p t(q−1)(1− p ) q q (f ∗ (λ)) λ p − p dλ với t > Dễ thấy dấu đẳng thức (2.11) xảy q = Áp dụng Định 44 lý Fubini ta ∞ q t p −q−1 |||f |||Lp,q = f ∗ (λ) dλ dt  ≤ q q t q−1 ∞ 1− p p−1 p f = p−1 q t p −2 p q−1  1q t ∞ q (f ∗ (λ)) λ = q (f ∗ (λ)) λ p − p dλdt q ∞ q p−p t p −2 dtdλ λ Lp,q Để hoàn thành chứng minh, ta áp dụng Mệnh đề 2.2.2(ii) f ∗ (t) ≤ f ∗∗ (t) với t > 0, ta suy f Lp,q ≤ |||f |||Lp,q 45 Chương Ứng dụng tồn nghiệm phương trình p-Laplace Ở chương chúng tơi trình bày lại kết tồn nghiệm renormalized phương trình dạng p-Laplace   −∆ u = |∇u|q + µ X, p u =0 ∂X, (3.1) khơng gian Lorentz Ls,t Trong X ⊂ Rn , (n ≥ 2) tập bị chặn phần bù thỏa điều kiện p-capacity uniform thickness [8] µ độ đo n(p − 1) 3n − ,n , q ∈ ,p M0 (X ) , p ∈ 2n − n−1 Phương trình biết đến phương trình Kardar-Parisi-Zhang [6] vật lý dạng ổn định thời gian phương trình JacobiHamilton Để chứng minh kết chúng tơi sử dụng định lí điểm bất động Schauder cách xây dựng ánh xạ T : V → V liên tục với V tập lồi, đóng 45 46 T (V ) tập compact topo mạnh W01,1 (X ) Để thuận tiện nhắc lại định lý điểm bất động Schauder Các định lý tham khảo [2] Định lý 3.0.1 ([2]) Cho A tập lồi, compact khác rỗng không gian Banach X Nếu ánh xạ T : A → A liên tục T có điểm bất động Hệ 3.0.2 ([2]) Cho A tập lồi, đóng, bị chặn khác rỗng không gian Banach X Nếu T : A → A tốn tử compact T có điểm bất động 3.1 Xây dựng ánh xạ T Trong mục chúng tơi trình bày cách xây dựng tập V lồi, đóng ánh xạ T liên tục thông qua bổ đề sau Bổ đề 3.1.1 ([16]) Tập Vε = u ∈ W01,1 (X ) : |||∇u|||Ls,t ≤ ε với > 0, s, t thỏa max n (p − 1) ,p − + n−1 n < q < p (3.2) Và q ≤ t ≤ ∞ max 1, với θ = q < s ≤ p n , q θ , (3.3) n tập lồi đóng theo topo mạnh khơng gian Sobolev W01,1 (X ) s Chứng minh Trước hết ta chứng minh V tập lồi Lấy u, v ∈ V η ∈ [0, 1], ta cần chứng minh w = ηu + (1 − η )v ∈ V Nghĩa |||w|||Ls,t ≤ Thật vậy, với s, t thỏa (3.2) (3.3) |||.|||Ls,t chuẩn khơng gian Lorentz Ls,t Do |||∇w|||Ls,t ≤ η|||∇u|||Ls,t + (1 − η ) |||∇v|||Ls,t ≤ ε, 47 Tiếp theo ta chứng minh V tập đóng Lấy {uk }k∈N dãy V thỏa uk hội tụ u topo mạnh W01,1 (X ) Ta chứng minh u ∈ V Thật vậy, áp dụng bổ đề Fatou ta có λ λ ∗ (∇u) (η ) dη ≤ lim sup k→∞ λ λ (∇uk )∗ (η ) dη, hay ta viết (∇u)∗∗ (λ) ≤ lim sup (∇uk )∗∗ (λ) k→∞ Do ta có |||∇u|||Ls,t ≤ lim sup |||∇uk |||Ls,t ≤ |||∇uk |||Ls,t ≤ k→∞ Bổ đề 3.1.2 ([16]) Tồn δ0 > 0, > cho µ Ls,t ≤ δ0 ánh xạ T : V → V , T (v ) = u với v ∈ V (3.4) định nghĩa tốt Chứng minh Với giả thiết (3.2) (3.3) áp dụng Định lý 2.3 báo [17] tồn số C dương cho nghiệm renormalized u phương trình (3.1) thỏa ∇u Lqs,qt ≤C µ Ls,t (3.5) Trước hết ta chứng minh tồn δ0 > cho µ Ls,t ≤ δ0 tồn số dương y0 thỏa qs Cs s − qs − p−1 p−1 y0 + µ Ls,t = y0 q (3.6) Xét hàm số g : [0, ∞) → R cho θ g (y ) = (cy + ca) θ−1 − y, (3.7) 48 với c = qs qs−1 Cs s−1 p−1 a = µ Ls,t Và với θ > 0, ta chọn θ−1 θ−1 δ0 = cθ cθ > Rõ ràng a ≤ δ0 hàm g cho (3.7) thỏa g (0) > lim g (y ) = ∞ y→∞ Hơn ta có g (y ) = θc ( θ−1 cy + ca) θ−1 − 1, g (y ) = y = y ∗ với ∗ y = θ−1 θ−1 c − a = θδ0 − a > cθ Do giá trị nhỏ hàm g [0, ∞) g (y ∗ ) = (cy ∗ + ca) θ−1 − y ∗ = a − δ0 ≤ cθ Vì ta suy tồn y0 ∈ (0, y ∗ ] thỏa (3.6) Đặt 1,1 = y0q , theo định nghĩa T với v ∈ V , u = T (v ) ∈ W0 (X ) nghiệm renormalized phương trình (3.1) Áp dụng (3.5) Định lý 2.3.4 ta có ∇u p−1 Lqs,qt q q ≤ C |∇v| + µ Ls,t ≤ C||||∇v| + µ|||Ls,t (3.8) Áp dụng bất đẳng thức tam giác Định lý (2.3.4) vào (3.8) ta |||∇u|||Lp−1 qs,qt ≤ p−1 qs qs − ∇u qs ≤C qs − p−1 Lqs,qt p−1 q ||| |∇v| |||Ls,t + |||µ|||Ls,t Cs qs ≤ s − qs − p−1 Cs qs ≤ s − qs − p−1 (3.9) q Lqs,qt ∇v + µ q | ∇v |Lqs,qt + µ q Chú ý | ∇v |Lqs,qt ≤ y0 với y0 thỏa (3.6) p−1 Lqs,qt Ls,t = y q ta viết (3.9) thành |∇u| Ls,t p−1 ≤ y0 q = ε0 , T (v ) = u ∈ V Vậy ánh xạ T định nghĩa tốt 49 Bổ đề 3.1.3 ([16]) Ánh xạ T liên tục T (V ) tập compact topo mạnh W01,1 (X ) Chứng minh Lấy {vk }k∈N dãy V cho vk → v ∈ Vε0 theo topo mạnh W01,1 (X ) Với k ∈ N ta kí hiệu uk = T (vk ) nghiệm renormalized phương trình   −∆ u = |∇v |q + µ X, p k k u =0 ∂X, k (3.10) với ∇vk Lqs,qt ≤ (3.11) Với q < r < qs ta có ∇vk Do tồn dãy vkj j∈N Lr < 0, (3.12) dãy {vk }k∈N cho ∇vkj hội tụ ∇v hầu khắp nơi X Khi từ (3.12) Định lý hội tụ Vitali ∇vk hội tụ ∇v Lq (X ) Theo kết nghiệm renormalized Định lý 3.4 tài liệu [8] tồn dãy ukj j cho {ukj }j hội tụ u hầu khắp nơi X, với u nghiệm renormalized phương trình   −∆ u = |∇v|q + µ X, p u =0 ∂X, Hơn ∇ukj hội tụ ∇u hầu khắp nơi X nên tương tự trên, ta tiếp tục áp dụng Định lý hội tụ Vitali trường hợp qs > ∇ukj Lqs,qt ≤ Từ uk hội tụ u W01,1 (X ) Vậy T ánh xạ liên tục Chứng minh T (V ) tập compact theo topo mạnh W01,1 (X ) thực 50 tương tự Ta lấy {um } = {T (vm )}m∈N dãy T (V ) với {vm } ⊂ Vε0 ta có (3.10) (3.11) Áp dụng Định lý 3.4 tài liệu [8] tồn dãy umj hàm u ∈ W01,1 (X ) cho ∇umj → ∇u hầu khắp nơi X Cuối áp dụng Định lý hội tụ Vitali ta kết luận dãy umj 3.2 hội tụ u W01,1 (X ) Sự tồn nghiệm renormalized phương trình (3.1) Trong mục cuối chúng tơi trình bày kết chương, tồn nghiệm renormalized phương trình (3.1) thông qua định lý sau Định lý 3.2.1 ([16]) Cho n ≥ 2, p ∈ 3n − , n , µ ∈ M0 (X ) X ⊂ Rn 2n − tập bị chặn phần bù thỏa điều kiện p-capacity uniform thickness Giả sử max n (p − 1) ,p − + n−1 n < q < p Và q ≤ t ≤ ∞ max 1, < s ≤ q n Khi tồn δ0 > cho µ s có nghiệm renormalized u thỏa với θ = ∇u q Lqs,qt ≤ θδ0 − µ p n , q θ Ls,t , ≤ δ0 phương trình (3.1) Ls,t (3.13) Chứng minh ([16]) Theo Bổ đề 3.1.1, Bổ đề 3.1.2 Bổ đề 3.1.3, tồn số δ0 > > cho, µ L s, t ≤ δ0 , 51 ánh xạ T : V → V liên tục, tập T (V ) compact theo topo mạnh W01,1 (X ) tập V lồi, đóng Áp dụng Định lý điểm bất động Schauder T có điểm bất động u V Do u nghiệm phương trình (3.1) Hơn áp dụng Định lý 2.3.4 Bổ đề 3.1.2 ta có đánh giá sau ∇u q Lqs,qt ≤ |∇u| Vậy ta hoàn thành chứng minh q Lqs,qt ≤ y ∗ ≤ θδ0 − µ Ls,t 52 Kết luận Trong luận văn tác giả trình bày lại kết chứng minh tồn nghiệm phương trình dạng p-Laplace khơng gian khái qt khơng gian Lebesgue cổ điển, không gian Lorentz Cần ý kết cho định nghĩa loại nghiệm khác với nghiệm yếu, gọi nghiệm renormalized Ngoài luận văn tác giả xét trường 3n − hợp < p < n miền xác định thỏa mãn điều kiện p-capacity 2n − Phương pháp chứng minh dựa kỹ thuật good-λ đưa tác giả Q.-H Nguyen gần Cuối chúng tơi trình bày lại chứng minh tồn nghiệm renormalized phương trình dạng p-Laplace khơng gian Lorentz trường hợp Tuy kết luận văn chưa phải kết mới, trình thực luận văn địi hỏi kiên trì nổ lực tác giả Các kết trình bày lại luận văn tác giả tham khảo nhiều báo mới, có độ khó cao tác giả trình xếp cách chặt chẽ để mang lại kết cuối luận văn 52 51 Tài liệu tham khảo [1] R E Castillo, F A Vallejo Narvaez and J C Ramos Fernández, Multiplication and Composition Operators on Weak Lp Spaces,Bull Malays Math Sci Soc 38, 927–973 (2015), DOI: https://doi.org/10.1007/s40840-014-0081-1 [2] D Gilbarg, N.S Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Springer-Verlag, Berlin, 2001 [3] L Grafakos, Classical Fourier Analysis, Second edition, vol 249, Springer, New York (2008) [4] L Grafakos, Classical and Modern Fourier Analysis, Pearson/Prentice Hall, 2004 [5] Roy A Johnson, Atomic and Nonatomic Measures, American Mathematical Society, Vol 25, No (Jul., 1970), pp 650-655, DOI: https://www.jstor.org/stable/2036664 [6] M Kardar, G Parisi, Y.-C Zhang, Dynamic scaling of growing interfaces, Phys Rev Lett 56 (1986) 889–892 [7] E.Kristiansson, Decreasing Rearrangement and Lorentz L(p,q) Space, 2002, 5-71 [8] G D Maso, F Murat, L Orsina and A Prignet, Renormalized solutions of elliptic equations with general measure data, Ann Scuola Norm Super Pisa (IV) 28 (1999), 741–808 53 54 [9] Q.-H Nguyen, Gradient estimates for singular quasilinear elliptic equations with measure data, arXiv: 1705.07440v2 (submitted for publication) [10] N C Phuc, Nonlinear Muckenhoupt-Wheeden type bounds on Reifenberg flat domains, with applications to quasilinear Riccati type equations, Adv Math 250 (2014), 387–419 [11] N C Phuc, Global integral gradient bounds for quasilinear equations below or near the natural exponent, Ark Mat 52 (2014), 329–354 [12] N C Phuc, Morrey global bounds and quasilinear Riccati type equations below the natural exponent, J Math Pures Appl (9) 102 (2014), 99–123 [13] F L Safont (15-jun-2012) Introduction to Lorentz space, DOI: http://hdl.handle.net/2445/32389 [14] M.-P Tran, Good-λ type bounds of quasilinear elliptic equations for the singular case, Nonlinear Anal 178 (2019), 266-281 [15] M.-P Tran, T.-N Nguyen, An application of global gradient estimates in Lorentz-Morrey Spaces for the existence of stationary solutions to degenerate diffusive Hamilton-Jacobi equations, to appear in Electronic Journal of Differential Equations, vol 2019 (2019), No 118,pp 1-12, DOI: http://ejde.math.unt.edu [16] M.-P Tran, T.-N Nguyen, Existence of a renormalized solution to the quasilinear Riccati type equation in Lorentz spaces, C R Acad Sci Paris, Ser.I 357 (2019), 59-65 [17] M.-P Tran, T.-N Nguyen; Lorentz-Morrey global bounds for singular quasilinear elliptic equations with measure data, in Communications in Contemporary https://doi.org/10.1142/S0219199719500330 Mathematics to (2019), appear DOI: ... (1) không gian Lorentz Ls,t Các kết tham khảo chủ yếu báo [14], [16], [17] Nội dung luận văn ? ?Một số tính chất không gian Lorentz ứng dụng ” tìm hiểu số tính chất quan trọng không gian Lorentz. .. GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Bùi Hồi Nhân MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA KHƠNG GIAN LORENTZ VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành : Tốn Giải Tích Mã số: 846 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN... chứng minh Nội dung luận văn tập trung khảo sát số tính chất khơng gian Lorentz, định nghĩa chuẩn nửa chuẩn khơng gian Ngồi luận văn khảo sát mối liên hệ tương đương chuẩn nửa chuẩn không gian