Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 β b BÀI TẬP HÌNH KHƠNG GIAN 11 Dạng : Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (α) (β) Phương pháp : • Tìm hai điểm chung phân biệt hai mặt phẳng (α) (β) • Đường thẳng qua hai điểm chung giao tuyến cần tìm Chú ý : Để tìm chung (α) (β) thường tìm đường thẳng đồng phẳng nằm hai mp giao điểm có hai đường thẳng điểm chung hai mặt phẳng a α A Bài tập : Trong mặt phẳng ( α ) cho tứ giác ABCD có cặp cạnh đối không song song điểm S ∉ (α ) a giao tuyến (SAC ) (SBD) S b Xác định giao tuyến (SAB) (SCD) c Xác định giao tuyến (SAD) (SBC) Giải a Xác định giao tuyến (SAC) (SBD) Ta có : S điểm chung (SAC) (SBD) Trong (α), gọi O = AC ∩ BD • O ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) ⇒ O ∈ (SAC) • O ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ O ∈ (SBD) A ⇒ O điểm chung (SAC) (SBD) J Vậy : SO giao tuyến (SAC) (SBD) b Xác định giao tuyến (SAB) (SCD) k Ta có: S điểm chung (SAC) (SBD) O Trong (α) , AB không song song với CD B Gọi I = AB ∩ CD • I ∈ AB mà AB ⊂ (SAB) ⇒ I ∈ (SAB) • I ∈ CD mà CD ⊂ (SCD) ⇒ I ∈ (SCD) ⇒ I điểm chung (SAB) (SCD) Vậy : SI giao tuyến (SAB) (SCD) A c Tương tự câu a, b Cho bốn điểm A,B,C,D không thuộc mặt phẳng Trên đoạn thẳng AB, AC, BD M lấy điểm M, N, P cho MN khơng song song với BC Tìm giao tuyến ( BCD) ( MNP) Giải B • P ∈ BD mà BD ⊂ ( BCD) ⇒ P ∈ ( BCD) • P ∈ ( MNP) N ⇒ P điểm chung ( BCD) ( MNP) Trong mp (ABC) , gọi E = MN ∩ BC • E ∈ BC mà BC ⊂ ( BCD) ⇒ E ∈ ( BCD) C • E ∈ MN mà MN ⊂ ( MNP) ⇒ E ∈ ( MNP) ⇒ E điểm chung ( BCD) ( MNP) Vậy : PE giao tuyến ( BCD) ( MNP) Cho tam giác ABC điểm S không thuộc mp (ABC ) , điểm I thuộc đoạn SA Một đường thẳng a không song song với AC cắt cạnh AB, BC theo thứ tự J , K Tìm giao tuyến cặp mp sau : S a mp ( I,a) mp (SAC ) b mp ( I,a) mp (SAB ) c mp ( I,a) mp (SBC ) I Giải a Tìm giao tuyến mp ( I,a) với mp (SAC ) : Ta có: • I∈ SA mà SA ⊂ (SAC ) ⇒ I ∈ (SAC ) • I∈( I,a) ⇒ I điểm chung hai mp ( I,a) (SAC ) Trong (ABC ), a không song song với AC Gọi O = a ∩ AC D I P A D E O K J Trang C L B Xác định C Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 • O ∈ AC mà AC ⊂ (SAC ) ⇒ O ∈ (SAC ) • O ∈ ( I,a) ⇒ O điểm chung hai mp ( I,a) (SAC ) Vậy : IO giao tuyến hai mp ( I,a) (SAC ) b Tìm giao tuyến mp ( I,a) với mp (SAB) : JI c Tìm giao tuyến mp ( I,a) với mp (SBC ) Ta có : K điểm chung hai mp ( I,a) mp (SBC ) Trong mp (SAC) , gọi L = IO ∩ SC • L ∈ SC mà SC ⊂ (SBC ) ⇒ L ∈ (SBC ) • L ∈ IO mà IO ⊂ ( I,a) ⇒ L ∈ ( I,a ) ⇒ L điểm chung hai mp ( I,a) (SBC ) Vậy: KL giao tuyến hai mp ( I,a) (SBC ) Cho bốn điểm A ,B ,C , D không nằm mp a Chứng minh AB CD chéo b Trên đoạn thẳng AB CD lấy điểm M, N cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BD I Hỏi điểm I thuộc mp Xđ giao tuyến hai mp (CMN) ( BCD) Giải a Chứng minh AB CD chéo : Giả sử AB CD khơng chéo Do có mp (α) chứa AB CD ⇒ A ,B ,C , D nằm mp (α) mâu thuẩn giả thuyết Vậy : AB CD chéo b Điểm I thuộc mp : • I ∈ MN mà MN ⊂ (ABD ) ⇒ I ∈ (ABD ) • I ∈ MN mà MN ⊂ (CMN ) ⇒ I ∈ (CMN ) • I ∈ BD mà BD ⊂ (BCD ) ⇒ I ∈ (BCD ) Xđ giao tuyến hai mp (CMN) ( BCD) CI A M N D B C Cho tam giác ABC nằm mp ( P) a mộtđường thẳng nằm mp ( P) không song song với AB AC S điểm mặt phẳng ( P) A’ S điểm thuộc SA Xđ giao tuyến cặp mp sau a mp (A’,a) (SAB) b mp (A’,a) (SAC) A' c mp (A’,a) (SBC) Giải a Xđ giao tuyến mp (A’,a) (SAB) • A’ ∈ SA mà SA ⊂ ( SAB) ⇒ A’∈ ( SAB) N • A’ ∈ ( A’,a) M A C F ⇒ A’ điểm chung ( A’,a) (SAB ) Trong ( P) , ta có a khơng song song với AB Gọi E = a ∩ AB • E ∈ AB mà AB ⊂ (SAB ) ⇒ E ∈ (SAB ) • E ∈ ( A’,a) B ⇒ E điểm chung ( A’,a) (SAB ) Vậy: A’E giao tuyến ( A’,a) (SAB ) E b Xđ giao tuyến mp (A’,a) (SAC) a P • A’ ∈ SA mà SA ⊂ ( SAC) ⇒ A’∈ ( SAC) • A’ ∈ ( A’,a) ⇒ A’ điểm chung ( A’,a) (SAC ) Trong ( P) , ta có a khơng song song với AC Gọi F = a ∩ AC • F∈ AC mà AC ⊂ (SAC ) ⇒ F ∈ (SAC ) • E ∈ ( A’,a) ⇒ F điểm chung ( A’,a) (SAC ) Vậy: A’F giao tuyến ( A’,a) (SAC ) c Xđ giao tuyến (A’,a) (SBC) Trong (SAB ) , gọi M = SB ∩ A’E • M ∈ SB mà SB ⊂ ( SBC) ⇒ M∈ ( SBC) Trang I Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 • M ∈ A’E mà A’E ⊂ ( A’,a) ⇒ M∈ ( A’,a) ⇒ M điểm chung mp ( A’,a) (SBC ) Trong (SAC ) , gọi N = SC ∩ A’F • N ∈ SC mà SC ⊂ ( SBC) ⇒ N∈ ( SBC) • N ∈ A’F mà A’F ⊂ ( A’,a) ⇒ N∈ ( A’,a) ⇒ N điểm chung mp ( A’,a) (SBC ) Vậy: MN giao tuyến ( A’,a) (SBC ) Cho tứ diện ABCD , M điểm bên tam giác ABD , N điểm bên tam giác ACD Tìm giao tuyến cặp mp sau a (AMN) (BCD) b (DMN) (ABC ) A Giải a Tìm giao tuyến (AMN) (BCD) Trong (ABD ) , gọi E = AM ∩ BD • E ∈ AM mà AM ⊂ ( AMN) ⇒ E∈ ( AMN) P • E ∈ BD mà BD ⊂ ( BCD) ⇒ E∈ ( BCD) M ⇒ E điểm chung mp ( AMN) (BCD ) Trong (ACD ) , gọi F = AN ∩ CD • F ∈ AN mà AN ⊂ ( AMN) ⇒ F∈ ( AMN) • F ∈ CD mà CD ⊂ ( BCD) ⇒ F∈ ( BCD) N Q B ⇒ F điểm chung mp ( AMN) (BCD ) Vậy: EF giao tuyến mp ( AMN) (BCD ) E b Tìm giao tuyến (DMN) (ABC) Trong (ABD ) , gọi P = DM ∩ AB • P ∈ DM mà DM ⊂ ( DMN) ⇒ P∈ (DMN ) • P ∈ AB mà AB ⊂ ( ABC) ⇒ P∈ (ABC) ⇒ P điểm chung mp ( DMN) (ABC ) C Trong (ACD) , gọi Q = DN ∩ AC • Q ∈ DN mà DN ⊂ ( DMN) ⇒ Q∈ ( DMN) • Q ∈ AC mà AC ⊂ ( ABC) ⇒ Q∈ ( ABCA) ⇒ Q điểm chung mp ( DMN) (ABC ) Vậy: PQ giao tuyến mp ( DMN) (ABC ) D F a Dạng : Xác định giao điểm đường thẳng a mặt phẳng (α) Phương pháp : • Tìm đường thẳng b nằm mặt phẳng (α) A • Giao điểm a b giao đt a mặt phẳng (α) Chú ý : Đường thẳng b thường giao tuyến mp (α) mp (β) ⊃ a Cần chọn mp (β) chứa đường thẳng a cho giao tuyến mp (α) mp (β) dể xác định giao tuyến không song song với đường thẳng a Bài tập : Trong mp (α) cho tam giác ABC Một điểm S không thuộc (α) Trên cạnh AB lấy điểm P đoạn thẳng SA, SB ta lấy hai điểm M, N cho MN không song song với AB S a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC ) b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (α) M Giải E a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC ) Cách : Trong (SAB) , gọi E = SP ∩ MN N • E ∈ SP mà SP ⊂ (SPC) ⇒ E ∈(SPC) • E ∈ MN C A Vậy : E = MN ∩ (SPC ) P Cách : • Chọn mp phụ (SAB) ⊃ MN • ( SAB) ∩ (SPC ) = SP B D Trang α β b α Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 • Trong (SAB), gọi E = MN ∩ SP E ∈ MN E ∈ SP mà SP ⊂ (SPC) Vậy : E = MN ∩ (SPC ) b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mp (α) Cách 1: Trong (SAB) , MN không song song với AB Gọi D = AB ∩ MN • D ∈ AB mà AB ⊂ (α) ⇒ D ∈(α) • D ∈ MN Vậy: D = MN ∩ (α) Cách : • Chọn mp phụ (SAB) ⊃ MN • ( SAB) ∩ (α) = AB • Trong (SAB) , MN không song song với AB Gọi D = MN ∩ AB D ∈ AB mà AB ⊂ (α) ⇒ D ∈(α) D ∈ MN Vậy : D = MN ∩ (α) Cho tứ giác ABCD điểm S không thuộc mp (ABCD ) Trên đoạn SC lấy điểm M không trùng với S C Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM ) Giải • Chọn mp phụ (SBD) ⊃ SD • Tìm giao tuyến hai mp ( SBD) (ABM ) −Ta có B điểm chung ( SBD) (ABM ) −Tìm điểm chung thứ hai ( SBD) (ABM ) Trong (ABCD ) , gọi O = AC ∩ BD Trong (SAC ) , gọi K = AM ∩ SO K∈ SO mà SO ⊂ (SBD) ⇒ K ∈( SBD) S N M K D A O C B K∈ AM mà AM ⊂ (ABM ) ⇒ K ∈( ABM ) ⇒ K điểm chung ( SBD) (ABM ) ⇒ ( SBD) ∩ (ABM ) = BK • Trong (SBD) , gọi N = SD ∩ BK N∈ BK mà BK ⊂ (AMB) ⇒ N ∈(ABM) N ∈ SD Vậy : N = SD ∩ (ABM) Cho tứ giác ABCD điểm S không thuộc mp (ABCD ) Trên đoạn AB lấy điểm M , Trên đoạn SC lấy điểm N ( M , N không trùng với đầu mút ) S a Tìm giao điểm đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD) b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD) Giải a Tìm giao điểm đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD) • Chọn mp phụ (SAC) ⊃ AN • Tìm giao tuyến ( SAC) (SBD) I N Trong (ABCD) , gọi P = AC ∩ BD ⇒ ( SAC) ∩ (SBD) = SP • Trong (SAC), gọi I = AN ∩ SP I ∈ AN A I ∈ SP mà SP ⊂ (SBD) ⇒ I ∈ (SBD) Vậy : I = AN ∩ (SBD) b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD) P • Chọn mp phụ (SMC) ⊃ MN • Tìm giao tuyến ( SMC ) (SBD) M Q Trong (ABCD) , gọi Q = MC ∩ BD ⇒ ( SAC) ∩ (SBD) = SQ B • Trong (SMC), gọi J = MN ∩ SQ J∈ MN J ∈ SQ mà SQ ⊂ (SBD) ⇒ J ∈ (SBD) Trang D C Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 Vậy: J = MN ∩ (SBD) Cho mặt phẳng (α) đường thẳng m cắt mặt phẳng (α) C Trên m ta lấy hai điểm A, B điểm S không gian Biết giao điểm đường thẳng SA với mặt phẳng (α) điểm A’ Hãy xác định giao điểm đường thẳng SB mặt phẳng (α) S m Giải • Chọn mp phụ (SA’C) ⊃ SB A • Tìm giao tuyến ( SA’C ) (α) B Ta có ( SA’C ) ∩ (α) = A’C • Trong (SA’C ), gọi B’ = SB ∩ A’C B’∈ SB mà SB ⊂ (SA’C ) ⇒ B’ ∈ (SA’C) B' B’ ∈ A’C mà A’C ⊂ (α) ⇒ B’ ∈ (α) A' Vậy : B’= SB ∩ (α) α C Cho bốn điểm A, B , C, S không mặt phẳng Gọi I, H trung điểm SA, AB Trên SC lấy điểm K cho : CK = 3KS Tìm giao điểm đường thẳng BC với mặt phẳng ( IHK ) Giải • Chọn mp phụ (ABC) ⊃ BC • Tìm giao tuyến ( ABC ) (IHK) Trong (SAC) ,có IK không song song với AC S Gọi E’ = AC ∩ IK ⇒ ( ABC ) ∩ ( IHK) = HE’ • Trong (ABC ), gọi E = BC ∩ HE’ E ∈ BC mà BC ⊂ ( ABC) ⇒ E ∈ ( ABC) E ∈ HE’ mà HE’ ⊂ ( IHK) ⇒ E ∈ ( IHK) Vậy: E = BC ∩ ( IHK) Cho tứ diện SABC Gọi D điểm SA , E điểm SB F điểm AC ( DE AB không song song ) a Xđ giao tuyến hai mp (DEF) ( ABC ) b Tìm giao điểm BC với mặt phẳng ( DEF ) c Tìm giao điểm SC với mặt phẳng ( DEF ) Giải a Xđ giao tuyến hai mp (DEF) ( ABC ) Ta có : F điểm chung hai mặt phẳng (ABC) (DEF) Trong (SAB) , AB không song song với DE Gọi M = AB ∩ DE • M ∈ AB mà AB ⊂ (ABC) ⇒ M ∈ (ABC) • M ∈ DE mà DE ⊂ (DEF) ⇒ M ∈ (DEF) ⇒ M điểm chung hai mặt phẳng (ABC) (DEF) Vậy: FM giao tuyến hai mặt phẳng (ABC) (DEF) b Tìm giao điểm BC với mặt phẳng ( DEF ) • Chọn mp phụ (ABC) ⊃ BC • Tìm giao tuyến ( ABC ) (DEF) Ta có (ABC) ∩ (DEF) = FM • Trong (ABC), gọi N = FM ∩ BC N∈ BC N ∈ FM mà FM ⊂ (DEF) ⇒ N ∈ (DEF) Vậy: N = BC ∩ (DEF) c Tìm giao điểm SC với mặt phẳng ( DEF ) • Chọn mp phụ (SBC) ⊃ SC • Tìm giao tuyến ( SBC ) (DEF) Ta có: E điểm chung ( SBC ) (DEF) ο N ∈ BC mà BC ⊂ (SBC) ⇒ N ∈ (SBC) ο N ∈ FM mà FM ⊂ (DEF) ⇒ N ∈ (DEF) ⇒ N điểm chung ( SBC ) (DEF) Ta có (SBC) ∩ (DEF) = EN • Trong (SBC), gọi K = EN ∩ SC Trang K I A C E' H E B K S D A C E F B N hình M S D C F A K N E B M Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 K∈ SC K ∈ EN mà EN ⊂ (DEF) ⇒ K ∈ (DEF) hình Vậy: K = SC ∩ (DEF) Cho hình chóp S.ABCD Gọi O giao điểm AC BD M, N, P điểm SA, SB ,SD a Tìm giao điểm I SO với mặt phẳng ( MNP ) b Tìm giao điểm Q SC với mặt phẳng ( MNP ) Giải a Tìm giao điểm I SO với mặt phẳng ( MNP ) • Chọn mp phụ (SBD) ⊃ SO • Tìm giao tuyến ( SBD ) (MNP) Ta có N ∈ MN mà MN ⊂ (MNP) ⇒ N ∈ (MNP) N ∈ SB mà SB ⊂ (SBD) ⇒ N ∈ (SBD) ⇒ N điểm chung ( SBD ) (MNP) P ∈ MP mà MN ⊂ (MNP) ⇒ P ∈ (MNP) P ∈ SD mà SD ⊂ (SBD) ⇒ P ∈ (SBD) ⇒ P điểm chung ( SBD ) (MNP) ⇒ (MNP) ∩ (SBD) = NP • Trong (SBD), gọi I = SO ∩ NP I ∈ SO I ∈ NP mà NP ⊂ (MNP) ⇒ I ∈ (MNP) Vậy: I = SO ∩ (MNP) b Tìm giao điểm Q SC với mặt phẳng ( MNP ) • Chọn mp phụ (SAC) ⊃ SC • Tìm giao tuyến ( SAC ) (MNP) Ta có M ∈ MN mà MN ⊂ (MNP) ⇒ M ∈ (MNP) M ∈ SA mà SA ⊂ (SAC) ⇒ M ∈ (SAC) ⇒ M điểm chung ( SAC ) (MNP) I ∈ MI mà MI ⊂ (MNP) ⇒ I ∈ (MNP) I ∈ SO mà SO ⊂ (SAC) ⇒ I ∈ (SAC) ⇒ I điểm chung ( SAC ) (MNP) ⇒ ( SAC) ∩ (SBD) = MI • Trong (SAC), gọi Q = SC ∩ MI Q∈ SC Q∈ MI mà MI ⊂ (MNP) ⇒ Q ∈ (MNP) Vậy: Q = SC ∩ (MNP) Cho tứ diện ABCD Gọi M,N trung điểm AC BC K điểm BD không trùng với trung điểm BD a Tìm giao điểm CD (MNK ) b Tìm giao điểm AD (MNK ) Giải a Tìm giao điểm CD (MNK ) : • Chọn mp phụ (BCD) ⊃ SC • Tìm giao tuyến ( BCD ) (MNK) Ta có N ∈ (MNK) N ∈ BC mà BC ⊂ (BCD) ⇒ N ∈ (BCD) ⇒ N điểm chung (BCD ) (MNK) K ∈ (MNK) K ∈ BD mà BD ⊂ (BCD) ⇒ K ∈ (BCD) ⇒ K điểm chung (BCD ) (MNK) ⇒ (BCD) ∩ (MNK) = NK • Trong (BCD), gọi I = CD ∩ NK I∈ CD I∈ NK mà NK ⊂ (MNK) ⇒ I ∈ (MNK) Vậy: I = CD ∩ (MNK) b Tìm giao điểm AD (MNK ) • Chọn mp phụ (ACD) ⊃ AD S P M I N A Q D O C B A J M B Trang D K N C I Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 • Tìm giao tuyến (ACD ) (MNK) Ta có: M ∈ (MNK) M ∈ AC mà AC ⊂ (ACD) ⇒ M ∈ (ACD) ⇒ M điểm chung (ACD ) (MNK) I∈ NK mà NK ⊂ (MNK) ⇒ I ∈ (MNK) I ∈ CD mà CD ⊂ (ACD) ⇒ I ∈ (ACD) ⇒ I điểm chung (ACD ) (MNK) ⇒ (ACD) ∩ (MNK) = MI • Trong (BCD), gọi J = AD ∩ MI J∈ AD J∈ MI mà MI ⊂ (MNK) ⇒ J ∈ (MNK) Vậy: J = AD ∩ (MNK) Cho tứ diện ABCD Gọi M,N hai điểm AC AD O điểm bên tamgiác BCD Tìm giao điểm : a MN (ABO ) A b AO (BMN ) Giải a Tìm giao điểm MN (ABO ): M • Chọn mp phụ (ACD) ⊃ MN • Tìm giao tuyến (ACD ) (ABO) Ta có : A điểm chung (ACD ) (ABO) Q Trong (BCD), gọi P = BO ∩ DC P∈ BO mà BO ⊂ (ABO) ⇒ P ∈ (ABO) P∈ CD mà CD ⊂ (ACD) ⇒ P ∈ (ACD) I N ⇒ P điểm chung (ACD ) (ABO) ⇒ (ACD) ∩ (ABO) = AP B • Trong (ACD), gọi Q = AP ∩ MN Q∈ MN O Q∈ AP mà AP ⊂ (ABO) ⇒ Q ∈ (ABO) Vậy: Q = MN ∩ (ABO) b Tìm giao điểm AO (BMN ) : D • Chọn mp (ABP) ⊃ AO • Tìm giao tuyến (ABP ) (BMN) Ta có : B điểm chung (ABP ) (BMN) Q ∈ MN mà MN ⊂ (BMN) ⇒ Q ∈ (BMN) Q ∈ AP mà AP ⊂ (ABP) ⇒ Q ∈ (ABP) ⇒ Q điểm chung (ABP ) (BMN) ⇒ (ABP) ∩ (BMN) = BQ • Trong (ABP), gọi I = BQ ∩ AO I∈ AO I∈ BQ mà BQ ⊂ (BMN) ⇒ I ∈ (BMN) Vậy: I = AO ∩ (BMN) 10 Trong mp (α) cho hình thang ABCD , đáy lớn AB Gọi I ,J, K điểm SA, AB, BC ( K không trung điểm BC) Tìm giao điểm : a IK (SBD) b SD (IJK ) S c SC (IJK ) Giải I N a Tìm giao điểm IK (SBD) • Chọn mp phụ (SAK) ⊃ IK • Tìm giao tuyến (SAK ) (SBD) Ta có : S điểm chung (SAK ) (SBD) Q A Trong (ABCD), gọi P = AK ∩ BD B J P ∈ AK mà AK ⊂ (SAK) ⇒ P ∈ (SAK) M P ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ P ∈ (SBD) P ⇒ P điểm chung (SAK ) (SBD) K ⇒ (SAK) ∩ (SBD) = SP D C • Trong (SAK), gọi Q = IK ∩ SP Trang C P F Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 Q ∈ IK Q ∈ SP mà SP ⊂ (SBD) ⇒ Q ∈ (SBD) Vậy: Q = IK ∩ (SBD) b Tìm giao điểm SD (IJK ) : • Chọn mp phụ (SBD) ⊃ SD • Tìm giao tuyến (SBD ) (IJK) Ta có : Q điểm chung (IJK ) (SBD) Trong (ABCD), gọi M = JK ∩ BD M ∈ JK mà JK ⊂ ( IJK) ⇒ M ∈ (IJK) M ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ M ∈ (SBD) ⇒ M điểm chung (IJK ) (SBD) ⇒ (IJK) ∩ (SBD) = QM • Trong (SBD), gọi N = QM ∩ SD N ∈ SD N ∈ QM mà QM ⊂ (IJK) ⇒ N ∈ (IJK) Vậy: N = SD ∩ (IJK) c Tìm giao điểm SC (IJK ) : • Chọn mp phụ (SAC) ⊃ SC • Tìm giao tuyến (SAC ) (IJK) Ta có : I điểm chung (IJK ) (SAC) Trong (ABCD), gọi E = AC ∩ JK E ∈ JK mà JK ⊂ ( IJK) ⇒ E ∈ ( IJK) E ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) ⇒ E ∈ (SAC) ⇒ E điểm chung (IJK ) (SAC) ⇒ ( IJK) ∩ (SAC) = IE • Trong (SAC), gọi F = IE ∩ SC F ∈ SC F ∈ IE mà IE ⊂ ( IJK) ⇒ F ∈ ( IJK) Vậy : F = SC ∩ ( IJK ) 11.Cho tứ diện ABCD Trên AC AD lấy hai điểm M,N cho MN khôngA song song với CD Gọi O điểm bên tam giác BCD a Tìm giao tuyến (OMN ) (BCD ) b Tìm giao điểm BC với (OMN) N c Tìm giao điểm BD với (OMN) Giải a Tìm giao tuyến (OMN ) (BCD ): Ta có : O điểm chung (OMN ) (BCD ) Q B Trong (ACD) , MN không song song CD Gọi I = MN ∩ CD O ⇒ I điểm chung (OMN ) (BCD ) M Vậy : OI = (OMN ) ∩ (BCD ) P b Tìm giao điểm BC với (OMN): Trong (BCD), gọi P = BC ∩ OI Vậy : P = BC ∩ ( OMN ) S C c Tìm giao điểm BD với (OMN): Trong (BCD), gọi Q = BD ∩ OI Vậy : Q = BD ∩ ( OMN ) I D N 12.Cho hình chóp S.ABCD Trong tam giác SBC lấy điểm M tam giác SCD lấyEđiểm N a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC) O b Tìm giao điểm cạnh SC với mặt phẳng (AMN) Giải a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC) : A • Chọn mp phụ (SMN) ⊃ MN M • Tìm giao tuyến (SAC ) (SMN) Ta có : S điểm chung (SAC ) (SMN) Trong (SBC), gọi M’ = SM ∩ BC I B Trong (SCD), gọi N’ = SN ∩ CD Trang M' D N' C Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 Trong (ABCD), gọi I = M’N’ ∩ AC I ∈ M’N’ mà M’N’ ⊂ (SMN) ⇒ I ∈ ( SMN) I ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) ⇒ I ∈ (SAC) ⇒ I điểm chung (SMN ) (SAC) ⇒ ( SMN) ∩ (SAC) = SI • Trong (SMN), gọi O = MN ∩ SI O ∈ MN O ∈ SI mà SI ⊂ ( SAC) ⇒ O ∈ ( SAC) Vậy : O = MN ∩ ( SAC ) b Tìm giao điểm cạnh SC với mặt phẳng (AMN) : • Chọn mp phụ (SAC) ⊃ SC • Tìm giao tuyến (SAC ) (AMN) Ta có : ( SAC) ∩ (AMN) = AO • Trong (SAC), gọi E = AO ∩ SC E ∈ SC E ∈ AO mà AO ⊂ ( AMN) ⇒ E ∈ ( AMN) Vậy : E = SC ∩ ( AMN ) Dạng : Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp : • Chứng minh ba điểm thuộc hai mp phân biệt • Khi ba điểm thuộc đường thẳng giao tuyến hai mp Bài tập : Cho hình bình hành ABCD S điểm không thuộc (ABCD) ,M N trung điểm S đoạn AB SC a Xác định giao điểm I = AN ∩ (SBD) b Xác định giao điểm J = MN ∩ (SBD) c Chứng minh I , J , B thẳng hàng Giải a Xác định giao điểm I = AN ∩ (SBD ) • Chọn mp phụ (SAC) ⊃ AN I D • Tìm giao tuyến (SAC ) (SBD) ⇒ ( SAC) ∩ (SBD) = SO J • Trong (SAC), gọi I = AN ∩ SO I ∈ AN O A S I ∈ SO mà SO ⊂ ( SBD) ⇒ I ∈ ( SBD) E Vậy: I = AN ∩ ( SBD) M SJ b Xác định giao điểm J = MN ∩ (SBD) • Chọn mp phụ (SMC) ⊃ MN M L • Tìm giao tuyến (SMC ) (SBD) K B S điểm chung (SMC ) (SBD) A Trong (ABCD) , gọi E = MC ∩ BD E I ⇒ ( SAC) ∩ (SBD) = SE C F I • Trong (SMC), gọi J = MN ∩ SE N D A J J∈ MN J∈ SE mà SE ⊂ ( SBD) ⇒ J ∈ ( SBD) M Vậy J = MN ∩ ( SBD) c Chứng minh I , J , B thẳng hàng O O B E Ta có : B điểm chung (ANB) ( SBD) • I ∈ SO mà SO ⊂ ( SBD) ⇒ I ∈ ( SBD) • I ∈ AN mà AN ⊂ (ANB) ⇒ I ∈ (ANB) ⇒ I điểm chung (ANB) ( SBD) • J ∈ SE mà SE ⊂ ( SBD) ⇒ J∈ ( SBD) • J ∈ MN mà MN ⊂ (ANB) ⇒ J ∈ (ANB) ⇒ J điểm chung (ANB) ( SBD) Vậy : B , I , J thẳng hàng Cho tứ giác ABCD S ∉ (ABCD) Gọi I , J hai điểm AD SB , AD cắt BC O Trang N C B D C Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 OJ cắt SC M a Tìm giao điểm K = IJ ∩ (SAC) b Xác định giao điểm L = DJ ∩ (SAC) c Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng Giải a Tìm giao điểm K = IJ ∩ (SAC) • Chọn mp phụ (SIB) ⊃ IJ • Tìm giao tuyến (SIB ) (SAC) S điểm chung (SIB ) (SAC) Trong (ABCD) , gọi E = AC ∩ BI ⇒ (SIB) ∩ ( SAC) = SE • Trong (SIB), gọi K = IJ ∩ SE K∈ IJ K∈ SE mà SE ⊂ (SAC ) ⇒ K ∈ (SAC) Vậy: K = IJ ∩ ( SAC) b Xác định giao điểm L = DJ ∩ (SAC) • Chọn mp phụ (SBD) ⊃ DJ • Tìm giao tuyến (SBD ) (SAC) S điểm chung (SBD ) (SAC) Trong (ABCD) , gọi F = AC ∩ BD ⇒ (SBD) ∩ ( SAC) = SF • Trong (SBD), gọi L = DJ ∩ SF L∈ DJ L∈ SF mà SF ⊂ (SAC ) ⇒ L ∈ (SAC) Vậy : L = DJ ∩ ( SAC) c Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng Ta có :A điểm chung (SAC) ( AJO) • K ∈ IJ mà IJ ⊂ (AJO) ⇒ K∈ (AJO) • K ∈ SE mà SE ⊂ (SAC ) ⇒ K ∈ (SAC ) ⇒ K điểm chung (SAC) ( AJO) • L ∈ DJ mà DJ ⊂ (AJO) ⇒ L ∈ (AJO) • L ∈ SF mà SF ⊂ (SAC ) ⇒ L ∈ (SAC ) ⇒ L điểm chung (SAC) ( AJO) • M ∈ JO mà JO ⊂ (AJO) ⇒ M ∈ (AJO) • M ∈ SC mà SC ⊂ (SAC ) ⇒ M ∈ (SAC ) ⇒ M điểm chung (SAC) ( AJO) Vậy : A ,K ,L ,M thẳng hàng Cho tứ diện SABC.Gọi L, M, N điểm cạnh SA, SB AC cho LM không song song với AB, LN khơng song song với SC a Tìm giao tuyến mp (LMN) (ABC) b Tìm giao điểm I = BC ∩ ( LMN) J = SC ∩ ( LMN) c Chứng minh M , I , J thẳng hàng Giải a Tìm giao tuyến mp (LMN) (ABC) S Ta có : N điểm chung (LMN) (ABC) Trong (SAB) , LM không song song với AB Gọi K = AB ∩ LM K ∈ LM mà LM ⊂ (LMN ) ⇒ K ∈ (LMN ) L K ∈ AB mà AB ⊂ ( ABC) ⇒ K ∈ ( ABC) C b Tìm giao điểm I = BC ∩ ( LMN) N • Chọn mp phụ (ABC) ⊃ BC • Tìm giao tuyến (ABC ) (LMN) ⇒ (ABC) ∩ ( LMN) = NK A I M • Trong (ABC), gọi I = NK ∩ BC I∈ BC I∈ NK mà NK ⊂ (LMN ) ⇒ I ∈ (LMN) B K Vậy : I = BC ∩ ( LMN) Trang 10 J Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 Chứng minh điểm K nằm đường thẳng cố định M di động cạnh BC Giải a Chứng minh : PQ // SA Xét tam giác SCD : Ta có : NP // CD ⇒ Tương tự : ⇒ Tương tự : NP CN = DS CS (1) MN // SB CN CM (2) = CS CB MQ // CD CM DQ (3) = CB DA DP DQ = Từ (1) , (2) (3), suy DS DA ⇒ Vậy : PQ // SA b Chứng minh điểm K nằm đường thẳng cố định M di động cạnh BC  BC // AD  BC ⊂ ( SBC )  Ta có :   AD ⊂ ( SAD) S ∈ ( SBC ) ∩ ( SAD) ⇒ giao tuyến đường thẳng St qua S cố định song song BC AD Mà K ∈ (SBC) ∩ (SAD) ⇒ K ∈ St (cố định ) Vậy : K ∈ St cố định M di động cạnh BC S ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG Dạng : Chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P) : d ⊄ α  Phương pháp : Chứng minh d // a a ⊂ α  ⇒ Q P d // α A Bài tập : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M ,N trung điểm cạnh AB CD a Chứng minh MN // (SBC) , MN // (SAD) b Gọi P trung điểm cạnh SA Chứng minh SB SC song song với (MNP) c Gọi G ,G trọng tâm ∆ABC ∆SBC Trang 16 D N M B C Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 Chứng minh G1G // (SAB) Giải a Chứng minh MN // (SBC): MN ⊄ ( SBC )  Ta có : MN // BC  BC ⊂ ( SBC )  ⇒ MN //( SBC ) MN ⊄ ( SAD)  Tương tự : MN // AD  AD ⊂ ( SAD)  ⇒ MN //( SAD) b Chứng minh SB // (MNP): SB ⊄ ( MNP )  Ta có : SB // MP MP ⊂ ( MNP )  ⇒ SB //( MNP ) Chứng minh SC // (MNP): Tìm giao tuyến (MNP) (SAD) Ta có : P điểm chung (MNP) (SAD) MN // AD Do giao tuyến đường thẳng qua P song song MN cắt SD Q ⇒ PQ = (MNP) ∩ (SAD) Xét ∆ SAD , Ta có : PQ // AD P trung điểm SA ⇒ Q trung điểm SD Xét ∆ SCD , Ta có : QN // SC SC ⊄ ( MNP)  Ta có : SC // NQ  NQ ⊂ ( MNP)  ⇒ G1G2 // (SAB) IG1 IG2 Xét ∆ SAI , ta có : = = IA IS ⇒ G1G2 // SA c Chứng minh G 1G ⊄ ( SAB)  Do :  G 1G // SA SA ⊂ ( SAB)  a b c a ⇒ S Q P N G2 D C SC //( MNP ) : I G1 A B M G 1G //( SAB) Cho hình chóp S.ABCD M,N hai điểm AB, CD Mặt phẳng (α) qua MN // SA SS Tìm giao tuyến (α) với (SAB) (SAC) Xác định thiết diện hình chóp với (α) P Tìm điếu kiện MN để thiểt diện hình thang Giải Tìm giao tuyến (α) với (SAB): M ∈ (α ) ∩ ( SAB)  Ta có : α // SA SA ⊂ ( SAB)  P A Q Q D D A M ⇒ (α) ∩ (SAB) = MP với MP // SA Tìm giao tuyến (α) với (SAC): Gọi R = MN ∩ AC R B B Trang 17 NN R M C C Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11  R ∈ (α ) ∩ ( SAC )  Ta có : α // SA SA ⊂ ( SAC )  ⇒ (α) ∩ (SAC) = RQ với RQ // SA Xác định thiết diện hình chóp với (α): Thiết diện tứ giác MPQN c Tìm điếu kiện MN để thiểt diện hình thang: Ta có : MPQN hình thang ⇒ SA // MP  MP//QN SA // QN Do :  QN ⊂ ( SCD)  MP // QN  MN // PQ  ⇒ Xét (1) ,ta có ⇒ b (1) (2) SA // QN SA //( SCD) ( vơ lí ) BC = (ABCD) ∩ (SBC)  Xét (2) ,ta có MN ⊂ (ABCD) PQ ⊂ (SBC)  ⇒  PQ = α ∩ ( SBC )  Ngược lại, MN // BC MB ⊂ (α )  BC ⊂ ( SBC )  MN // BC ⇒ MN // PQ Vậy để thiết diện hình thang MN // BC Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lẩy trung điểm M , cạnh BC lẩy trung điểm N Gọi ( α ) mặt phẳng chứa đường thẳng MN song song với CD a Hãy xác định thiết diện mặt phẳng ( α ) với tứ diện ABCD b Xác định vị trí N CD cho thiết diện hình bình hành Giải a Hãy xác định thiết diện mặt phẳng ( α ) với tứ diện ABCD (α ) // CD  Ta có : CD ⊂ ( ACD ) M ∈ (α ) ∩ ( ACD)  (α ) // CD  Tương tự : CD ⊂ ( BCD )  N ∈ (α ) ∩ ( BCD)  A ⇒ MP // CD (1) M P ⇒ NQ // CD (2) B S N Từ (1) (2), ta : MP // NQ Vậy: thiết diện hình thang MPNQ b Xác định vị trí N BC cho thiết diện hình bình hành Ta có : MP // NQ MP = CD MPNQ hình bình hành ⇔ D Q C A t P M MP // NQ  MP = NQ ⇔ A MP // NQ   MP = NQ = CD D P B N M B D Q C Do : N trung điểm BC Vậy : N trung điểm BC MPNQ hình bình hành I Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB S điểm mặt phẳng hình thang Gọi M điểm CD ; (α) mặt phẳng qua M song song với SA BC a Hãy tìm thiết diện mặt phẳng ( α ) với hình chóp S.ABCD Thiết diện hình ? b Tìm giao tuyến (α) với mặt phẳng (SAD) Trang 18 N Q C Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 Giải a Hãy tìm thiết diện mặt phẳng ( α ) với hình chóp S.ABCD: (α ) // BC  Ta có :  BC ⊂ ( ABCD ) M ∈ (α ) ∩ ( ABCD)  ⇒ MN // BC (α ) // SA  Tương tự : SA ⊂ ( SAB)  N ∈ (α ) ∩ ( SAB)  ⇒ NP // SA (α ) // BC   BC ⊂ ( SBC )  P ∈ (α ) ∩ ( SBC )  ⇒ (1) PQ // BC (2) Từ (1) (2) , ta : MN // PQ Vậy : thiết diện hình thang MNPQ b Tìm giao tuyến (α) với mặt phẳng (SAD) Trong (ABCD) , gọi I = AD ∩ BC ⇒ I điểm chung (α) (SAD) (α ) // SA  Ta có : SA ⊂ ( SAD )  I ∈ (α ) ∩ ( SAD)  Vậy : giao tuyến đường thẳng qua I song song với SA S Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M điểm cạnh P SC (α) mặt phẳng chứa AM song song với BD a Hãy nêu cách dựng giao điểm E, F mặt phẳng (α) với cạnh SB, SD b Gọi I giao điểm ME CB , J giao điểm MF CD Hãy chứng minh ba điểm I,J, A thẳng hàng Giải N O B a Hãy nêu cách dựng giao điểm E, F mặt phẳng (α) với cạnh SB, SD Giả sử dựng E, F thỏa toán Q (α ) // BD  có :  BD ⊂ ( SBD)  EF = (α ) ∩ ( SBD)  S ⇒ BD // EF M Do điểm E ,F ,A ,M thuộc mặt phẳng (α) Trong (α) , gọi K = EF ∩ AM • K ∈ EF mà EF ⊂ (SBD) ⇒ K ∈ (SBD) • K ∈ AM mà AM ⊂ (SAC) ⇒ K ∈ (SAC) ⇒ K ∈ (SAC) ∩ (SBD) Do (SAC) ∩ (SBD) = SO ⇒ K ∈ SO Cách dựng E, F : Dựng giao điểm K AM SO , qua K dựng EF // BD b.Chứng minh ba điểm I , J , A thẳng hàng : Ta có : ⇒  I ∈ ME   I ∈ BC mà mà C Ta ME ⊂ (α ) BC ⊂ ( ABCD) A α M F D K J C E O A ⇒ I ∈ (α ) ⇒ I ∈ ( ABCD) I ∈ (α) ∩ (ABCD) Trang 19 B I Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 Tương tự , ⇒  A ∈ (α ) ∩ ( ABCD)   J ∈ (α ) ∩ ( ABCD) I , J , A điểm chung (α) (ABCD) Vậy : I , J , A thẳng hàng Trong mặt phẳng (α) cho tam giác ABC vuông A , ˆ = 60 , AB B = a Gọi O trung điểm BC Lấy điểm S mặt phẳng (α) cho SB = a SB ⊥ OA Gọi M mọt điểm cạnh AB , mặt phẳng (β) qua M song song với SB OA , cắt BC ,SC , SA N , P , Q Đặt x = BM ( < x < a ) a Chứng minh MNPQ hình thang vng b Tính diện tích hình thang theo a x Tính x để diện tích lớn Giải a Chứng minh MNPQ hình thang vng : ( β ) // OA  Ta có : OA ⊂ ( ABC ) MN = ( β ) ∩ ( ABC )  ⇒ MN // OA (1) ( β ) // SB  SB ⊂ ( SAB ) MQ = ( β ) ∩ ( SAB )  ⇒ MQ // SB (2) ( β ) // SB  SB ⊂ ( SBC )  NP = ( β ) ∩ ( SBC )  ⇒ NP // SB Từ (2) (3) ,suy MQ // NP // SB ⇒ MNPQ hình thang Từ (1) (4) , ta có : (3) (4) OA ⊥ SB  MN // OA MQ // NP // SB  MN ⊥ MQ  MN ⊥ NP ⇒ Vậy : MNPQ hình thang vng , đường cao MN b Tính diện tích hình thang theo a x Ta có : S MNPQ = ( MQ + NP ).MN Tính MN : Xét tam giác ABC AB AB ⇒ BC = BC cos B ⇒ BC = 2a ⇒ BO = a  Bˆ = 60 ⇒ ∆ABO Do   BA = BO MN BM BN Có MN // AO ⇒ = = AO AB BO ⇒ MN = MB = BN = x Ta có : cos B = Tính MQ : Xét tam giác SAB , ta có : MQ // SB ⇒ MQ AM = SB AB ⇒ MQ = AM SB a = (a − x) = a − x AB a Tính NP : Xét tam giác SBC , ta có : NP // SB Trang 20 Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 ⇒ NP CN = SB CB Do : S MNPQ = ⇒ NP = CN SB a 2a − x = (2a − x ) = CB 2a x ( 4a − x ) = x.( 4a − x) 12 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương 3x 4a − 3x 3x.( 4a − 3x) ≤ ( x + 4a − x ) ≤ 4a² ⇒ S MNPQ a² ≤ a ² = 12 Đẳng thức xảy 3x = 4a – 3x ⇔ x = Vậy : x = 2a 2a S MNPQ đạt giá trị lớn Cho hình vng cạnh a , tâm O Gọi S điểm mặt phẳng (ABCD) cho SB = SD Gọi M điểm tùy ý AO với AM = x mặt phẳng (α) qua M song song với SA BD cắt SO , SB , AB N, P , Q a Tứ giác MNPQ hình ? b Cho SA = a Tính diện tích MNPQ theo a x Tính x để diện tích lớn Giải a Tứ giác MNPQ hình ?: Ta có : SB = SD ⇒∆ SBC = ∆ SDC (c-c-c) Gọi I trung điểm SC Xét ∆ IBC ∆ IDC S Ta có : IC cạnh chung BC = CD DCI = BCI ⇒ ∆ IBC = ∆ IDC ⇒ IB = ID ⇒ ∆ IBD cân I ⇒ IO ⊥ BD Mà OI // SA ⇒ SA ⊥ BD (α ) // BD  Ta có :  BD ⊂ ( ABO) (α ) ∩ ( ABO) = MQ  N I P (*) ⇒ MQ // BD (1) Q B (α ) // BD  ⇒ NP // BD (2) Tương tự :  BD ⊂ ( SBO) (α ) ∩ ( SBO) = NP  Từ (1) (2) , suy MQ // NP // BD (3) (α ) // SA  ⇒ MN // SA ( 4) Mặt khác : SA ⊂ ( SAO) (α ) ∩ ( SAO) = MN  (α ) // SA  ⇒ Tương tự : SA ⊂ ( SAB) (α ) ∩ ( SAB) = PQ  Từ (4) (5) , suy MN // PQ // SA PQ // SA (6) Từ (3) , (6) (*), suy MNPQ hình chữ nhật Vậy : MNPQ hình chữ nhật Trang 21 D A (5) M O C Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 b Tính diện tích MNPQ theo a x: Ta có : S MNPQ = MQ.MN Tính MQ : Xét tam giác AQM : ˆ = 45 Α  ˆ = 45 Ta có : Q  ˆ M = 90 ⇒ ∆AQM cân M ⇒ MQ = AM = x Tính MQ : Xét tam giác SAO : Ta có : MN // SA ⇒ MN OM = AS OA ⇒ S MNPQ = MQ.MN = x.(a − x ) = ⇒ a −x OM MN = AS = a = a − x OA a 2 x (a − x ) x a − x x + a − x ) x (a − x ) ≤ ( ) a² ≤ a² a² a² S MNPQ ≤ = ⇒ S MNPQmã = ⇒ 4 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương Đẳng thức xảy Vậy : x= x = a − x a a = 2 ⇔ x= ⇔ M trung điểm AO a S MNPQ đạt giá trị lớn Cho tứ diện ABCD có AB = a , CD = b Gọi I , J trung điểm AB CD Giả sử AB ⊥ CD , mặt phẳng (α) qua M nằm đoạn IJ song song A với AB CD a Tìm giao tuyến (α) với ( ICD ) (JAB) b Xác định thiết diện (ABCD) với mặt phẳng (α) Chứng minh thiết diện hình chữ nhật G c Tính diện tích thiết diện hnh chữ nhật biết IM = IJ P I Giải F a Tìm giao tuyến (α) với mặt phẳng ( ICD ): N (α ) // CD M  L Ta có : CD ⊂ ( ICD ) B M ∈ (α ) ∩ ( ICD)  H ⇒ giao tuyến đt qua M song song Q E với CD cắt IC L ID N Tương tự : ⇒ (α ) // AB   AB ⊂ ( JAB) M ∈ (α ) ∩ ( JAB)  D J C giao tuyến đt qua M song song Trang 22 Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 với AB cắt JA P JB Q Xác định thiết diện (ABCD) với mặt phẳng (α): b (α ) // AB  Ta có :  AB ⊂ ( ABC )  L ∈ (α ) ∩ ( ABC )  ⇒ EF // AB Tương tự : (1) (α ) // AB   AB ⊂ ( ABD)  N ∈ (α ) ∩ ( ABD)  ⇒ HG // AB Từ (1) (2) , suy (2) EF // HG // AB (3) (α ) // CD  Ta có : CD ⊂ ( ACD )  P ∈ (α ) ∩ ( ACD)  ⇒ FG // CD Tương tự : (4) (α ) // CD  CD ⊂ ( BCD) Q ∈ (α ) ∩ ( BCD)  ⇒ EH // CD Từ (4) (5) , suy Từ (3) (6) , suy Mà AB ⊥ CD Từ (3) , (6) (*), suy c (5) FG // EH // CD EFGH hình bình hành (*) EFGH hình chữ nhật Tính diện tích thiết diện hnh chữ nhật biết IM = Ta có : S EFGH = EF FG Tính LN : Xét tam giác ICD : Ta có : LN // CD (6) = PQ.LN ⇒ IJ : LN IN = CD ID (7) Xét tam giác IJD : IN IM = ID IJ LN IM Từ (7) (8), suy = = CD IJ PQ JM Tương tự : ⇒ = = AB JI 2ab Vậy : S EFGH = Ta có : MN // JD ⇒ (8) CD b = α3 M 2 PQ = AB = a 3 ⇒ LN = a b β HAI MẶT THẲNG SONG SONG Dạng : Chứng minh (α) // (β) : Sử dụng cách sau : a ⊂ (α ), b ⊂ (α )  – a ∩ b = M a //( β ), b //( β )  ⇒ (α ) //( β ) α a M b hình N1 Trang 23 β c d Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 a ⊂ (α ), b ⊂ (α ) a ∩ b = M  – c ⊂ ( β ), d ⊂ ( β ) c ∩ d = N  a // c, b // d (α ) //( β ) ⇒ hình – (α ) //(γ )  ( β ) //(γ ) α (α ) //( β ) ⇒ β γ hình Bài tập : 1.Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA ,SD a Chứng minh : (OMN) // (SBC) b Gọi P, Q , R trung điểm AB ,ON, SB Chứng minh : PQ // (SBC), (MOR) // (SCD) Giải S a Chứng minh : (OMN) // (SBC): Xét tam giác SAC SDB : Ta có : b OM // SC  ON // SB ⇒ OP // AD   AD // MN ⇒ (OMN ) //( SBC ) R M Chứng minh : PQ // (SBC) Ta có : ⇒ ⇒ N OP // MN M, N, P, O đồng phẳng PQ ⊂ (MNO)  PQ ⊂ ( MNO) Mà  ( MNO) // (SBC) P A B Q O ⇒ PQ //( SBC ) D C Vậy : PQ // (SBC) Chứng minh : PQ // (SBC), (MOR) // (SCD) : Ta có : MR // AB   AB // DC Xét tam giác SDB : ta có ⇒ MR // DC OR // SD (1) (2) MR // DC OR // SD  Từ (1) (2) , ta MR ⊂ ( MOR) OR ⊂ ( MOR)   DC ⊂ ( SCD) SD ⊂ ( SCD ) ⇒ ( MOR) //( SCD) Cho hai hình bình hành ABCD ABEF có chung cạnh AB không đồng phẳng I , J , K trung điểm cạnh AB , CD, EF Chứng minh : a (ADF) // (BCE) b (DIK) // (JBE) F K Giải a (ADF)//(BCE):  AD // BC  Ta có :  AD ⊄ ( BCE )  BC ⊂ ( BCE )  ⇒ AD //( BCE ) (1) Trang 24 D A E I J B C Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11  AF // BE  Tương tự :  AF ⊄ ( BCE )  BE ⊂ ( BCE )  ⇒ AF //( BCE ) (2) Từ (1) (2) , ta :  AD //( BCE )   AF //( BCE )  AD ⊂ ( ADF ) AF ⊂ ( ADF )  ⇒ ( ADF ) //( BCE ) Vậy : ( ADF ) //( BCE ) b (DIK)//(JBE) :  DI // JB   IK // BE Ta có : ⇒ ( DIK ) //( JBE ) Vậy : (DIK)//(JBE) Cho hình bình hành ABCD , ABEF nằm hai mặt phẳng khác Trên đường chéo AC, BF theo thứ tự lấy điểm M,N cho MC = 2AM , NF = 2BN Qua M, N kẻ đường thẳng song song với cạnh AB, cắt cạnh AD, AF theo thứ tự M , N Chứng minh : a MN // DE b c M N //( DEF ) ( MNM N ) //( DEF ) Giải a MN // DE : Giả sử EN cắt AB I Xét ∆ NIB ∼ ∆ NEF ⇒ I trung điểm AB Tương tự : Xét Ta có : IN = (1) NE N1 ∆ MAI ∼ ∆ MCD M1 MA MI = = MC MD ⇒ IM = (2) MD IM IN = MD NE N A ⇒ M C MN // DE MN // DE M N //( DEF ) : Vậy : b Ta có : Tương tự : NN // AI MM // AI Từ (3) (4) , suy Ta : Vậy : M N // DF   DF ⊂ ( DEF ) M N //( DEF ) AN IN = = N F NE AM IM = = ⇒ M D MD AN AM 1 = = ⇒ N1 F M D ⇒ ⇒ M N //( DEF ) Trang 25 B I D I trung điểm AB Từ (1) (2) , suy E F IB NB Ta có : = = EF NF (3) (4) M N // DF Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 c ( MNM N ) //( DEF ) : MN // DE ⇒  M N // DF Vậy : ( MNM N ) //( DEF ) ( MNN M ) //( DEF ) Ta có : Cho hình chóp SABCD có đáy hình vuông cạnh a Trên AB lấy điểm M với AM = x Gọi (α) mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng (SAD) cắt SB , SC , CD N, P, Q a Tìm thiết diện (α) với mặt phẳng hình chóp Thiết diện hình ? b Tìm quĩ tích giao điểm I MN PQ M di động đoạn AB c Cho SAD a Giải Tìm thiết diện (α) với mặt phẳng hình chóp: = 1v SA = a Tính diện tích thiết diện theo a x Tính x để diện tích = Ta có : (α ) //( SAD) • Với (α ) // SD (α ) // SD  SD ⊂ ( SAD) (α ) ∩ ( SAD) = PQ  (α ) // SA (α ) // SA  SA ⊂ ( SAB) (α ) ∩ ( SAB) = MN  (α ) // AD (α ) // AD   AD ⊂ ( ABCD) (α ) ∩ ( ABCD) = MQ  Có • Với Có • Với Có • Vì Có ⇒  BC // MQ   BC ⊄ (α ) (α ) // BC   BC ⊂ ( SBC ) (α ) ∩ ( SBC ) = PN  Từ (1) (2) , suy : (α ) // SD  (α ) // SA (α ) // AD  MQ // PN S x P PQ // SD ⇒ MN // SA A ⇒ (α ) // BC ⇒ PN // BC Q D MQ // AD ⇒ S° I N ⇒ ⇒ 3a M B C (1) (2) MNPQ hình thang Vậy : MNPQ hình thang b Tìm quĩ tích giao điểm I MN PQ M di động đoạn AB.:  AB // DC  Ta có :  AB ⊂ ( SAB ), DC ⊂ ( SCD) S ∈ ( SAB) ∩ ( SCD )  Mà  I ∈ PQ   I ∈ MN mà mà Giới hạn quĩ tích : Khi PQ ⊂ ( SCD ) MN ⊂ ( SAB) M ≡A M ≡B ⇒ Sx // AB // CD ⇒ ⇒ ⇒ I ∈ ( SAB ) ∩ ( SDC ) I≡S I ≡ S0 Trang 26 ⇒ I ∈ Sx Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 c Tính diện tích thiếtdiện theo a x : Ta có : S MNPQ = S IMQ − S INP = S SAD − S INP Tính : S SAD Ta có: ∆ SAD vng cân A Do : Tính : S SAD = a 2 S INP Xét tam giác SBC , tam giác SBS tam giác SAB NI SN = S B SB PN SN ⇒ = PN // BC BC SB AM SN ⇒ = MN // SA AB SB NI PN AM = = Từ (1) , (2) (3) , ta S B BC AB Ta có : NI // S B ⇒ ⇒ ∆ INP vuông cân N Do : ⇒ S MNPQ Để S MNPQ (1) (2) (3) ⇒ NI = PN = AM = x S INP = x 2 2 = a − x = (a − x ) 2 2 3.a 3.a ⇒ = (a − x ) = 8 ⇔ ⇔ ⇔ 3.a x =a − a x2 = a x= 2 A C D G phân Cho hai hình bình hành ABCD ABEF có chung cạnh AB nằm E hai mặt phẳng J biệt Gọi M , N thứ tự trung điểm AB , BC I , J , K theo thứ tự M trọng tâm tam giác ADF , ADC , BCE Chứng minh (IJK) // (CDFE) G1 Giải Xét tam giác MFC : L MI MJ = = MF MC ⇒ IJ // FC F (2)  IJ // FC   IK // FE ⇒ ( IJK ) //(CEF ) Cho tứ diện ABCD Gọi G1 , G , G3 trọng tâm tam giác ABC , ACD , ADB a Chứng minh : (G1G2 G3 ) //( BCD) Trang 27 D K B N C (1) MI NK = = Ta có : MF NE ⇒ IK // FE ( IJK ) //(CEF ) M A Xét hình bình hành MNEF : Vậy : F N G2 BI Ta có : Từ (1) (2) , ta G E Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 Tìm thiết diện tứ diện ABCD với mặt phẳng (G1G G3 ) Tính diện tích thiết diện theo diện tích tam giác BCD S Giải a Chứng minh : (G1G G3 ) //( BCD ) Gọi M , N , L trung điểm cạnh BC , CD BD b AG1 AG2 AG3 = = = AM AN AL G1G2 // MN ; G2 G3 // NL ⇒ Ta có : G1G2 // MN  G2 G3 // NL  MN ⊂ ( BCD) , NL ⊂ ( BCD) ⇒ Vậy : b ; G3 G1 // LM ⇒ (G1G2 G3 ) //( BCD) (G1G2 G3 ) //( BCD) Tìm thiết diện tứ diện ABCD với mặt phẳng  BC //(G1G2 G3 )  Ta có :  BC ⊂ ( BCD ) G ∈ (G G G ) ∩ ( ABC )  Tương tự : ⇒ (G1G G3 ) : gt qua G1 // BC cắt AB AC E F (G1G G3 ) cắt (ACD) theo giao tuyến FG // CD (G1G G3 ) cắt (ABD) theo giao tuyến GE // BD Xét tam giác AMC tam giác ABC AG1 AF (1) = = AM AC EF AF ⇒ (2) = EF // BC BC AC AG1 EF Từ (1) (2), ta = = AM BC ⇒ EF = BC FG = CD Tương tự : GE = BD 2 2 ⇒ EF + FG + GE = BC + CD + GE = ( BC + CD + GE ) 3 3 A − FG ).( FG + GE − EF ) Diện tích thiết diện : S EFG = ( EF + FG + GE ).( EF + FG − GE ).( EF + GE M x 4 = ( BC + CD + DB ).( BC + CD − DB ).( BC + DB − CD ).(CD + DB − BC ) B M' x' = S BCD S EFG = S BCD Vậy : z N Ta có : G1 F // MC ⇒ Cho hai đường thẳng chéo Ax, By Hai điểm M, N di động Ax, By cho AM = BN Chứng minh đường thẳng MN luôn song song với mặt phẳng cố định y Giải Kẻ Bx’// Ax Trên Bx’ lấy điểm M’ cho AM = BM’ Trang 28 t Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11  AM // BM '  AM = BM ' T a có :  ⇒ ABM’M hình bình hành ⇒ MM’//AB ⇒ ∆BM’N cân B Kẻ Bt phân giác góc x’By ⇒ M’N ⊥ Bt Trong (x’By) , kẻ Bz ⊥ Bt Từ (2) (3) , ta Bz // M’N MM ' // AB ⇒ M ' N // Bz Từ (1) (4) ,  (1) (2) (3) (4) ( MNM ' ) //( ABz ) ⇒ MN // (ABz) Vậy : MN // (ABz) cố định Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AB CD Một mặt phẳng qua IJ cắt cạnh AD BC N M a Cho trước điểm M, trình bày cách dựng điểm N Xét trường hợp đặc biệt M trung điểm BC A b Gọi K giao MN IJ Chứng minh : KM = KN Giải a Hãy trình bày cách dựng điểm N : I Điểm N phải nằm giao tuyến (MIJ) (ACD) , giao tuyến qua J Ta có : Gọi ⇒ ⇒ J ∈ ( MIJ ) ∩ ( ACD) E = MI ∩ AC mà MI ∈ ( MIJ )  E ∈ MI  mà AC ∈ ( ACD )  E ∈ AC EJ = ( MIJ ) ∩ ( ACD) N = EJ ∩ AD N D B ⇒ E ∈ ( MIJ ) ∩ ( ACD) K M Gọi Trường hợp M trung điểm BC: Nếu M trung điểm BC ⇒ IM // AC ⇒ (IMJ ) // AC ⇒ (IMJ ) cắt (ACD) theo giao tuyến JN // AC J C E b Chứng minh : KM = KN Do I , J trung điểm AB ,CD ⇒ dựng ba mặt phẳng chứa ba đường thẳng song song Áp dụng định lí Talet khơng gian Ta : Vậy : MK BI = =1 KN IA MK = KN ⇒ MK = KN HÌNH LĂNG TRỤ − HÌNH HỘP Bài tập : 1.Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ điểm M , N thuộc cạnh AB , DD’ ( M, N không trùng với đầu mút A,B ,D ,D’ cạnh ) Hãy xác định thiết diện hình hộp bị cắt : A a Mặt phẳng (MNB) & Các thiết diện hình g ì ? D b Mặt phẳng (MNC) & Các thiết diện hình g ì ? c Mặt phẳng (MNC’) M N Giải B a Xác định thiết diện bị cắt mặt phẳng (MNB) : L A' Ta có : (MNB) ∩ (AA’B’B)= MB=BA (MNB) ∩ (AA’D’D) = AN (MNB) ∩ (DD’C’C) = NL (trong L = x ∩ CC’, L ∈ x // DC , x qua N ) D' B' Trang 29 C C' Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 (MNB) ∩ (BB’C’C) = LB ⇒ thiết diện tứ giác ABLN m ặt kh ác NL //= DC DC //= AB ⇒ NL //= AB nên thiết diện ABLN l h ình b ình h ành b Xác định thiết diện bị cắt mặt phẳng (MNC) : T ơng T ự Ta có : (MNC) ∩ (BB’C’C)= BC (MNC) ∩ (CC’D’D) = CN (MNC) ∩ (DD’A’A) = NI (trong I = y ∩ AA’, I ∈ y // AD , y qua N ) (MNC) ∩ (BB’A’A) = IB ⇒ thiết diện tứ giác BCNI m ặt kh ác NI //= AD AD //= BC ⇒ NI //= BC nên thiết diện BCNI l h ình b ình h ành c Xác định thiết diện bị cắt mặt phẳng (MNC’) : C’N ∩ DC = K KM ∩ AD = P KM ∩ BC = R Kẻ RC’ Cắt BB’ Q Ta có : (MNC’) ∩ ( DD’C’C) = C’N (MNC’) ∩ ( DD’A’A) = NP (MNC’) ∩ ( ABCD) = PM (MNC’) ∩ ( AA’B’B) = MQ (MNC’) ∩ ( BB’C’C) = QC’ (MNC’) ∩ ( A’D’C’B’) = C’ ⇒ thiết diện tứ giác NPMQC’ Gọi Nối Trang 30