ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————————— NGUYỄN THỊ HIÊN TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ TÍNH CO CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS VŨ HOÀNG LINH Hà Nội-2014 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học tồn thể thầy giáo, giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, phịng Sau đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, giảng dạy tận tình tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành tốt luận văn Đặc biệt, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo PGS.TS Vũ Hoàng Linh, người trực tiếp hướng dẫn tận tình bảo tơi suốt q trình tơi học tập thực luận văn Nhân dịp này, tơi xin cảm ơn gia đình ln ủng hộ động viên suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn tất bạn, anh, chị lớp cao học Toán khóa 2011 - 2013, đặc biệt anh chị chun ngành Tốn ứng dụng khóa 2010 - 2012 khóa 2011 - 2013 tận tình giúp đỡ động viên tơi q trình học tập Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 16 tháng 01 năm 2014 Học viên Nguyễn Thị Hiên Mục lục Mở đầu Bảng ký hiệu Các khái niệm 1.1 Các phương pháp Runge-Kutta 1.2 Xây dựng phương pháp Runge-Kutta ẩn 11 1.3 Áp dụng phương pháp Runge-Kutta giải toán cương 18 1.4 Các loại chuẩn 21 Tính co cho tốn tuyến tính 2.1 Chuẩn Euclid (Định lý von Neumann) 2.2 Hàm tăng trưởng sai số với tốn tuyến tính 2.3 Bài tốn với nhiễu phi tuyến nhỏ 2.4 Tính co ∞ 2.5 Hệ số ngưỡng Tính ổn định B tính co 3.1 Điều kiện Lipschitz phía 3.2 Ổn định B ổn định đại số 3.3 Một vài phương pháp Runge-Kutta ẩn ổn định đại số 3.4 Ổn định AN 3.5 Các phương pháp Runge-Kutta khả quy 3.6 Định lý tương đương ổn định B ổn định số với phương pháp S-bất khả quy 3.7 Hàm tăng trưởng sai số 3.8 Tính tốn ϕB (x) Kết luận Tài liệu tham khảo đại 26 29 30 33 37 39 42 42 43 46 48 51 53 56 58 63 64 Mở đầu Trong khoa học kĩ thuật ta thường gặp nhiều toán liên quan tới việc giải phương trình vi phân Có nhiều trường hợp nghiệm giải tích tốn khơng thể tìm Chính nhà tốn học tìm kiếm nhiều phương pháp số khác để giải toán Trong phương pháp số, phương pháp Runge-Kutta có nhiều tính chất ưu việt sử dụng rộng rãi Luận văn trình bày tính ổn định tính co phương pháp Runge-Kutta Xuất phát từ điều kiện ổn định tuyệt đối |yn | ≤ |yn−1 | toán y = λy , ta mở rộng đến khái niệm "tính co" xét tốn tuyến tính y = Ay , tiếp đến khái niệm tính ổn định B ổn định đại số xét tốn phi tuyến Trên sở ta lựa chọn phương pháp hữu hiệu phù hợp để giải toán nảy sinh thực tế Nội dung luận văn tham khảo từ tài liệu [2] [3] Bố cục luận văn bao gồm chương: • Chương 1: Các khái niệm Luận văn trình bày khái niệm phương pháp Runge-Kutta, cách xây dựng phương pháp Runge-Kutta ẩn, với kiến thức bổ trợ cho Chương Chương • Chương 2: Tính co tốn tuyến tính Luận văn trình bày khái niệm định lý liên quan đến tính co xét tốn tuyến tính • Chương 3: Tính ổn định B tính co Luận văn trình bày khái niệm ổn định B, ổn định đại số, ổn định AN mối quan hệ khái niệm ổn định phương pháp Runge-Kutta xét toán phi tuyến Do thời gian thực luận văn không nhiều nên luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Bảng ký hiệu A⊗I Tích tensor B (p), C (η), D (ζ) Bộ điều kiện cấp xác C Tập số phức Cn Không gian vectơ phức n chiều I Ma trận đơn vị K (Z) Hàm ổn định với toán y = λ (x) y Pk (x) Đa thức trực giao Legendre Pkj (z) Xấp xỉ Padé R (z) Hàm ổn định phương pháp R Tập số thực Rn Không gian vectơ thực n chiều S Miền ổn định µ (A) Chuẩn logarit ma trận A ν Hằng số Lipschitz phía ϕB (x) Hàm tăng trưởng sai số xét toán phi tuyến ϕR (x) Hàm tăng trưởng sai số xét tốn tuyến tính Hệ số ngưỡng  bT = (b1 , , bs )   Chuyển vị vectơ b =    b1       bs T = (1, , 1) Vectơ cột với tất thành phần Chương Các khái niệm Chương trình bày khái niệm phương pháp RungeKutta, tồn lời giải số phương pháp, cách xây dựng phương pháp Runge-Kutta ẩn với kiến thức bổ trợ cho Chương Chương Nội dung chương phát biểu khái niệm kết phục vụ cho chương sau Chứng minh chi tiết kết chương tham khảo [2], [3] [5] 1.1 Các phương pháp Runge-Kutta Phương pháp Runge-Kutta tổng quát Phương pháp Runge-Kutta thuộc lớp phương pháp số bước, đưa hai nhà toán học người Đức Carl Runge (1856 - 1927) Wilhelm Kutta (1867 - 1944) Trước hết ta xét tốn Cauchy phương trình vi phân cấp có dạng y = f (t, y) , y ∈ Rn , f : R × Rn → Rn , y (t0 ) = y0 (1.1) Định nghĩa 1.1 (xem [5]) Phương pháp Runge-Kutta s nấc cho hệ phương trình vi phân (1.1) viết dạng: s Yi = yn−1 + h aij f (tn−1 + cj h, Yj ) i = 1, , s j=1 s yn = yn−1 + h (1.2) bi f (tn−1 + ci h, Yi ) i=1 Trong Y1 , , Ys giá trị nấc xấp xỉ y ti = tn−1 + ci h (ti điểm nấc) Bộ hệ số: {ci }si=1 ; {aij }si,j=1 ; {bi }si=1 thỏa mãn s chọn để có ci = aij (i = 1, , s) j=1 s bi = Thơng thường, ta i=1 • Nếu aij = với i ≤ j phương pháp phương pháp Runge-Kutta hiển (ERK) • Nếu aij = với i < j có aii = phương pháp phương pháp Runge-Kutta ẩn đường chéo (DIRK) • Nếu aij = với i < j aii = γ với i = 1, , s phương pháp phương pháp ẩn đường chéo đơn (SDIRK) • Các trường hợp cịn lại gọi phương pháp Runge-Kutta ẩn (IRK) Để dễ dàng hình dung phương pháp Runge-Kutta, Butcher đưa hệ số phương pháp vào bảng sau: c1 c2 a11 a21 a12 a22 ··· ··· a1s a2s cs as1 b1 as2 b2 ··· ··· ass bs Bảng 1.1: Bảng Butcher Ví dụ 1.1 Một số cơng thức ERK (a) Euler hiển 0 (b) Hình thang hiển 1 (c) Trung điểm hiển 0 2 0 Bảng 1.2: Một số cơng thức ERK Ví dụ 1.2 Một số công thức IRK (a) Euler ẩn 1 (b) Hình thang ẩn 1 2 2 Bảng 1.3: Một số công thức IRK (c) Trung điểm ẩn 2 Sự tồn lời giải số phương pháp Xét công thức (1.2) trường hợp n = 1, ta đặt ki = f (t0 + ci h, Yi ) với i = 1, 2, , s ta thu s ki = f (t0 + ci h, y0 + h aij kj ) j=1 s y1 = y0 + (1.3) bi k i i=1 Để xác định lời giải số y1 phương pháp, trước hết ta cần xác định giá trị ki từ hệ phương trình chứa ki cho (1.3) Nói chung, hệ phương trình phi tuyến nên nhiều trường hợp ki tồn khơng Do đó, khơng tồn lời giải số phương pháp Định lý sau cho ta điều kiện để tồn lời giải số phương pháp Runge-Kutta ẩn (1.3) Định lý 1.1 (xem [2]) Cho hàm f : R × Rn → Rn hàm liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y với số L Nếu h< L max ti , |aij | j lời giải số phương pháp (1.3) tồn với giá trị ki xác định từ hệ phương trình cho (1.3), giá trị thu phương pháp lặp Newton Hơn nữa, f (t, y) hàm khả vi, liên tục tới cấp p ki (là hàm theo biến h) khả vi, liên tục cấp p Ổn định tuyệt đối ổn định A Bằng phương pháp khác ta tìm nghiệm số phương trình vi phân Tuy nhiên, nghiệm số ta tìm liệu có tốt khơng, làm để đánh giá nghiệm Để giải vấn đề này, ta cần nghiệm số phải có tính chất tốt cho lớp tốn Xét phương trình vi phân thử y = λy, λ số, λ ∈ C, y(t0 ) = y0 (1.4) Ở phần sau, xét phương trình thử (1.4) ta ln giả sử Re (λ) ≤ Trong trường hợp Re (λ) ≤ ta điều kiện ổn định tuyệt đối |yn | ≤ |yn−1 | , n = 1, 2, (1.5) Giả sử y(t), y(t) hai lời giải (1.1) Từ ta có định nghĩa ổn định ổn định tiệm cận với nghiệm phương trình vi phân( 1.1) Định nghĩa 1.2 Nghiệm y (t) phương trình vi phân( 1.1) gọi ổn định với ε > 0, ∃δ > cho |y (to ) − y (to )| ≤ δ |y (t) − y (t)| < ε với t ≥ t0 Định nghĩa 1.3 Nghiệm y (t) phương trình vi phân( 1.1) gọi ổn định tiệm cận ổn định thỏa mãn điều kiện lim |y (t) − y (t)| = t→+∞ Nhận xét 1.1 Đối với hệ tuyến tính, nghiệm tầm thường ổn định (ổn định tiệm cận) nghiệm ổn định (ổn định tiệm cận) Trong trường hợp này, nói hệ ổn định (ổn định tiệm cận) Xét toán tuyến tính A ∈ Cm×m y = Ay , (1.6) Định lý 1.2 (xem [5]) Nếu giá trị riêng λ ma trận A thỏa mãn Re (λ) ≤ giá trị riêng có phần thực giá trị riêng đơn hệ y = Ay ổn định Định lý 1.3 (Điều kiện cần đủ (xem [5])) Nếu Re (λ) < với giá trị riêng λ A hệ ổn định tiệm cận Để đến khái niệm hàm ổn định phương pháp Runge-Kutta, ta áp dụng phương pháp Runge-Kutta với công thức (1.2) cho phương trình thử (1.4) lời giải số yn = R (z) yn−1 với z = λh (1.7) Khi đó, để điều kiện ổn định tuyệt đối (1.5) thỏa mãn |R (z)| ≤ (1.8) Định nghĩa 1.4 Hàm R (z) xác định (1.7) gọi hàm ổn định phương pháp Runge-Kutta Tập S = {z ∈ C : |R (z)| ≤ 1} gọi miền ổn định tuyệt đối phương pháp Runge-Kutta Ví dụ 1.3 • Phương pháp Euler hiển có hàm ổn định R (z) = + z • Phương pháp Euler hiển có miền ổn định tuyệt đối hình trịn có bán kính 1, tâm −1 Mệnh đề 1.1 (xem [3]) Phương pháp Runge-Kutta ẩn s nấc với s gi = y + h aij f (t0 + cj h, gj ), i = 1, 2, , s, (1.9a) j=1 s (1.9b) bj f (t0 + cj h, gj ), y1 = y0 + h j=1 áp dụng cho phương trình thử y = λy có y1 = R (hλ) y0 với R (z) = + zbT (I − zA)−11 , bT = (b1 , , bs ) , A = (aij )si,j=1 , (1.10) = (1, 1, , 1)T Mệnh đề 1.2 (xem [3]) Hàm ổn định (1.9) thỏa mãn R (z) = STT Phương pháp Euler ẩn Phương pháp θ det I − zA + z11bT det (I − zA) Trung điểm ẩn Hình thang ẩn SDIRK cấp (1.11) R (z) 1−z + z (1 − θ) − zθ + z/2 − z/2 + z (1 − 2γ) + z 1/2 − 2γ + γ 2 (1 − γz) Bảng 1.4: Hàm ổn định số phương pháp Runge-Kutta ẩn Miền ổn định tuyệt đối phương pháp cho Bảng 1.4 xem [3] Từ kết ta thấy phương pháp Runge-Kutta ẩn có hàm ổn định R (z) hàm hữu tỉ với tử số mẫu số có bậc ≤ s R (z) = P (z) , Q (z) deg P = k, deg Q = j (1.12) Định nghĩa 1.5 Một phương pháp mà miền ổn định tuyệt đối thỏa mãn S ⊃ C− = {z ∈ C : Re (z) ≤ 0} , phương pháp gọi phương pháp ổn định A (hay A-ổn định) Phương pháp Runge-Kutta với hàm ổn định (1.12) ổn định A |R (iy)| ≤ với y ∈ R (1.13) R (z) giải tích với Re (z) < (1.14) Định lý 3.6 (Scherer 1979) Các phương pháp Lobatto IIIA Lobatto IIIB khơng ổn định AN khơng ổn định B Chứng minh Như Mệnh đề 1.2 ta thấy det I − A − bT Z K (Z) = det (I − AZ) (3.21) Theo định nghĩa, hàng đầu ma trận A hàng cuối ma trận A − bT triệt tiêu với phương pháp Lobatto IIIA (so sánh với chứng minh Định lý 1.8) Do đó, mẫu số K (Z) không phụ thuộc vào z1 tử số không phụ thuộc vào zs Nếu đặt z2 = = zs = hàm K (Z) khơng bị chặn z1 → −∞ Điều mâu thuẫn với ổn định AN Với phương pháp Lobatto IIIB, cách tương tự, cột cuối A cột đầu A − bT triệt tiêu Kết đưa đề cập trên, ổn định AN gần với ổn định B ổn định A Định lý 3.7 (Burrage Butcher 1979) Giả sử với Z = diag (z1 , , zs ) với Rezj ≤ 0, |zj | ≤ ε với ε > |K (Z)| ≤ (3.22) phương pháp ổn định đại số (do ổn định B) Chứng minh Với ∆fi := zi ∆gi ∆y0 = 1, kết (3.8) ∆y1 = K (Z) Chú ý thực tế zi khơng cần số thực, tính toán chứng minh Định lý 3.1 s s 2 |K (Z)| − = bi Rezi |gi | − i=1 mij zi gi zj gj , (3.23) i,j=1 đây, g = (g1 , , gs )T lời giải (3.17) với y0 = Để chứng minh bi ≥ 0, chọn zi = −ε < zj = với i = j Giả định (3.22) (3.23), tức là: −2εbi |gi |2 − mii ε2 |gi |2 ≤ (3.24) Với ε đủ bé, gi dần đến số hạng thứ hai (3.24) không đáng kể với bi = Do bi ≥ Để xác minh điều kiện thứ hai ổn định đại số, ta chọn zj = iεξj (ξj ∈ R) Vì gi = + O (ε) với ε → 0, từ (3.23) ta có s −ε mij ξi ξj + O ε3 ≤ i,j=1 50 Do đó, M = (mij ) xác định không âm Kết hợp kết với Định lý 3.1 Định lý 3.5 ta có Hệ 3.1 Với phương pháp Runge-Kutta không suy biến (các phương pháp với tất cj khác nhau) khái niệm ổn định AN, ổn định B ổn định đại số tương đương Một kết tương đương ổn định B ổn định đại số với phương pháp Runge-Kutta suy biến khó chứng minh (xem Định lý 3.9 bên dưới) mục tiêu Phần tiếp theo, ta tìm hiểu tính ổn định phương pháp khả quy 3.5 Các phương pháp Runge-Kutta khả quy Phương pháp Runge-Kutta (3.4) áp dụng cho tất phương trình vi phân dạng (3.1) xảy trường hợp sau: i) Một vài nấc không ảnh hưởng tới lời giải số ii) Một số gi giống hệt Trong hai trường hợp, phương pháp Runge-Kutta đơn giản hóa thành dạng tương đương với số nấc Minh họa cho trường hợp (i), xét phương pháp cho Bảng 3.2(a) Lời giải số độc lập với g2 tương đương với lời giải công thức Euler ẩn Với phương pháp Bảng 3.2(b), dễ thấy g1 = g2 , hệ (3.4b) sở hữu lời (a) DJ-khả quy 1 1 (b) S-khả quy 2 4 Bảng 3.2: Các phương pháp khả quy giải Phương pháp tương đương với công thức trung điểm ẩn Trường hợp (i) cịn hiểu xác sau: Định nghĩa 3.5 (Dahlquist Jeltsch 1979) Một phương pháp gọi DJ-khả quy với tập khác rỗng T ⊂ {1, 2, , s}, bj = với j ∈ T aij = với i ∈ / T, j ∈ T 51 (3.25) Nếu khơng gọi DJ-bất khả quy Điều kiện (3.25) có nghĩa nấc j ∈ T không ảnh hưởng tới lời giải số Điều tốt hoán vị nấc để phần tử T nấc cuối (Cooper 1985) Sau bảng phương pháp Runge-Kutta trở thành Bảng 3.3 (a) c1 c2 (b) ⇒ A11 A21 A22 bT1 c1 A11 bT1 Bảng 3.3: DJ-khả quy Một tính chất thú vị DJ-bất khả quy ổn định đại số phương pháp Runge-Kutta công bố Dahlquist Jeltsch (1979) Định lý 3.8 Nếu phương pháp Runge-Kutta DJ-bất khả quy ổn định đại số bi > với i = 1, , s Chứng minh Giả sử bj = với vài số j mij = theo định nghĩa M Vì M xác định không âm, tất thành phần cột thứ j ma trận M phải triệt tiêu để bi aij = với i Điều có nghĩa (3.25) với T = {j|bj = 0}, mâu thuẫn với DJ-bất khả quy nên bj = hay bj > Định nghĩa 3.6 Một phương Runge-Kutta S-khả quy với phân hoạch (S1 , , Sr ) tập {1, , s} với r < s, ta có với l m ajk , i, j ∈ Sl aik = k∈Sm (3.26) k∈Sm Nếu khơng gọi S-bất khả quy Các phương pháp vừa DJ-khả quy S-khả quy gọi bất khả quy Để hiểu điều kiện (3.26), ta giả sử sau hốn vị nấc, l ∈ Sl với l = 1, , r, ta xét phương pháp r nấc với hệ số c∗i = ci , a∗ij = aik , k∈Sj b∗j = bk (3.27) k∈Sj Áp dụng phương pháp vào (3.1) với g1∗ , , gr∗ , y1∗ ta dễ dàng thấy gi y1 xác định gi = gl∗ i ∈ Sl , 52 y1 = y1∗ , giải phương pháp gốc (3.4) Với phương pháp Bảng 3.2(b) ta có S = {1, 2} Một ví dụ khác phương pháp S-khả quy xác định Bảng 3.4 (S1 = {1, 2, 3} S2 = {4}) (a) 1 −1 −1 −1 −1 −1 1 (b) ⇒ −2 −2 −2 −3 −1 3 −2 −3 Bảng 3.4: Ví dụ phương pháp S-khả quy 3.6 Định lý tương đương ổn định B ổn định đại số với phương pháp S-bất khả quy Bổ đề 3.2 Cho A ma trận hệ số phương pháp Runge-Kutta S-bất khả quy, tồn vectơ ξ ∈ Rs η = Aξ để (ξi − ξj ) (ηi − ηj ) < với i = j (3.28) Chứng minh (Butcher 1982) Ý tưởng đặt ξ = − εA11 với = (1, , 1)T , từ η = Aξ = A11 − εA21 Nếu ci = cj với i, j ξi − ξj = ηi − ηj ngược dấu (ε đủ nhỏ), ta có (3.28) Trong việc chứng minh trường hợp lại, ta xây dựng đệ quy vectơ v0 , v1 , v2 , biểu thị phân hoạch Pk {1, 2, , s} xác định mối quan hệ tương đương i∼j ⇔ (vq )i = (vq )j , với q = 0, 1, , k (3.29) Với phân hoạch P định {1, 2, , s}, ta có khơng gian X (P ) = v ∈ Rs ; (v)i = (v)j i ∼ j phân hoạch P Với ký hiệu này, phương pháp S-bất khả quy AX (P ) ⊂ X (P ) 53 (3.30) với tất phân hoạch khác với {{1} , {2} , , {s}} Ta bắt đầu với v0 = , P0 = {{1, 2, , s}} định nghĩa Avk ω vk+1 = Avk ∈ / X (Pk ) Avk ∈ X (Pk ) ω vectơ tùy ý X (Pk ) thỏa mãn Aω ∈ / X (Pk ) Lựa chọn để có (3.30) Sau số hữu hạn bước, sau m bước, ta Pm = {{1} , {2} , , {s}}, số lượng phần tử Pk ngày tăng tăng ngặt sau bước thứ hai Do đó, tất thành phần vectơ ξ = v0 − εv1 + ε2 v2 − + (−ε)m vm khác (với ε > đủ bé) (3.28) thỏa mãn Bổ đề 3.3 Cho u1 , , uk f (u1 ) , , f (uk ) vectơ Rn với f (ui ) − f (uj ) , ui − uj < với i = j Khi đó, tồn thác triển liên tục f : Rn → Rn thỏa mãn f (u) − f (v) , u − v ≤ với u, v ∈ Rn Chứng minh (Wakker 1985) Định nghĩa γ = max i=j f (ui ) − f (uj ) , ui − uj f (ui ) − f (uj ) đủ bé Ta tồn hàm liên tục f : C → C thỏa mãn Re f (u) − f (v) , u − v ≤ với u, v ∈ C (3.33) để lời giải phương pháp Runge-Kutta y1 , gi y1 , gi tương ứng với y0 = 0, y0 = 1, h = 1, thỏa mãn f (gi ) − f (gi ) = zi (gi − gi ) (3.34) Từ y1 − y1 = K (Z) với K (Z) xác định (3.18) Ổn định B |K (Z)| ≤ Theo tính liên tục K (Z) gần gốc tọa độ ta có |K (Z)| ≤ với zj thỏa mãn Rezj ≤ |zj | ≤ ε, để Định lý 3.7 chứng minh kết luận Xây dựng hàm f : ký hiệu ∆gi lời giải s ∆gi = + aij zj ∆gj j=1 (lời giải tồn |zj | ≤ ε ε đủ bé) Với ξ, η Bổ đề 3.2, ta định nghĩa gi = tηi f (gi ) = tξi gi = gi + ∆gi f (gi ) = f (gi ) + zi ∆gi (3.35) Điều định nghĩa tốt t đủ lớn (được cố định sau đó), ηi phân biệt Rõ ràng, gi gi đại diện cho lời giải phương pháp Runge-Kutta với y0 = 0, y0 = (3.34) thỏa mãn theo định nghĩa Tiếp theo, ta Re f (u) − f (v) , u − v < u = v (3.36) thỏa mãn với u, v ∈ D = {g1 , , gs , g1 , , gs } Sau này, từ việc xây dựng ξ, η , u, v ∈ {g1 , , gs } Nếu u = gi , v = gi hệ 55 (3.34) Với trường hợp lại u = gi , v ∈ D\ {gi , gi } ta có f (u) − f (v) , u − v = t2 (ξi − ξj ) (ηi − ηj ) + O (t) với t → ∞, để (3.36) thỏa mãn với t đủ lớn Áp dụng Bổ đề 3.3, ta tìm hàm liên tục f : C → C mở rộng (3.35) thỏa mãn (3.33) Nhận xét 3.2 Butcher Burrage (1979) phân biệt ổn định BN (dựa hệ không dừng) ổn định B (dựa hệ dừng) Vì phương trình vi phân xây dựng chứng minh (xem (3.33)) hệ dừng, nên hai khái niệm tương đương với phương pháp bất khả quy 3.7 Hàm tăng trưởng sai số Tất định lý phần đề cập đến tính co số Lipschitz phía ν (3.2) (xem Định nghĩa 3.1) Câu hỏi đặt liệu làm chặt ước lượng biết ν < liệu ta ước lượng trường hợp có (3.2) với vài ν > Định nghĩa 3.7 (Burrage Butcher 1979) Cho ν (3.2) đặt x = hν (h cỡ bước đi) Ký hiệu ϕB (x) số nhỏ để có ước lượng y1 − y1 ≤ ϕB (x) y0 − y0 (3.37) với tất toán thỏa mãn Re f (x, y) − f (x, z) , y − z ≤ ν y − z (3.38) Ta gọi ϕB (x) hàm tăng trưởng sai số phương pháp Ta xét hàm f : R × Cn → Cn Hàm khơng mang tính tổng qt (vì hệ viết dạng thực cách tách phần thực phần ảo), thuận tiện làm việc với toán y = λ (x) y λ (x) ∈ C Trong trường hợp tốn tuyến tính khơng dừng y = A (x) y , điều kiện (3.38) trở thành µ (A (x)) ≤ ν , (trong µ (.) chuẩn logarit) Đặt Zi := hA (x0 + ci h), chênh lệch hai lời giải số y1 − y1 = K (Z1 , , Zs ) (y0 − y0 ) K (Z1 , , Zs ) = I + bT ⊗ I Z(I ⊗ I − (A ⊗ I) Z)−1 (11 ⊗ I) (3.39) Z ma trận đường chéo khối, với Z1 , , Zs khối đường chéo 56 Định lý 3.10 Hàm tăng trưởng sai số phương pháp Runge-Kutta ẩn thỏa mãn ϕB (x) = sup K (Z1 , , Zs ) (3.40) µ(Z1 )≤x, ,µ(Zs )≤x Chứng minh Cận Sự chênh lệnh ∆y1 = y1 − y1 hai lời giải Runge-Kutta thỏa mãn (3.8) Giả định (3.38) có nghĩa Re ∆fi , ∆gi ≤ x ∆gi Ta chứng minh tồn ma trận Zi (i = 1, , s) với µ (Zi ) ≤ x để ∆fi = Zi ∆gi Có nghĩa ∆y1 = K (Z1 , , Zs ) ∆y0 hệ quả, vế phải phương trình (3.40) cận ϕB (x) Nếu ∆gi = ∆fi = lấy ma trận tùy ý thỏa mãn µ (Zi ) ≤ x Do đó, ta xét vectơ f, g (g = 0) ∈ Cn thỏa mãn Re f, g ≤ x g Đặt u1 := g , cuối ta sở trực giao u1 , , un Cn Sau đó, ta định nghĩa g ma trận Z Zu1 := f , g Zui := xui − Ta có Zg = f , dễ thấy Re Zv, v ≤ x v ui , f u1 , g i = 2, , n n αi ui với v = i=1 Cận Đầu tiên ta xét phương pháp Runge-Kutta không suy biến Với Z1 , , Zs mà µ (Zi ) ≤ x, cho A (x) hàm liên tục thỏa mãn hA (x0 + ci h) = Zi µ (A (x)) ≤ x với x (ví dụ A (x) tuyến tính nội suy) Ta có ∆y1 = K (Z1 , , Zs ) ∆y0 suy ϕB (x) ≥ K (Z1 , , Zs ) với tất Z1 , , Zs mà µ (Zi ) ≤ x Với phương pháp suy biến việc chứng minh phức tạp Khơng tính tổng quát, ta giả sử phương pháp bất khả quy, ϕB (x) vế phải phương trình (3.40) khơng thay đổi phương pháp thay phương pháp tương đương Quan tâm Bổ đề 3.3 3.4, với số chiều tùy ý Xét Z1 , , Zs với µ (Zi ) ≤ x, chẳng hạn hệ tuyến tính s aij Zj ∆gj có lời giải Chính xác, Định lý 3.9 ta có ∆gi = ∆y0 + j=1 thể xây dựng hàm liên tục f : Cn → Cn thỏa mãn (3.38) với ν = x (ta đặt h = 1) f (gi ) − f (gi ) = Zi (gi − gi ) Điều hoàn tất chứng minh định lý Với phương pháp nấc (s = 1) Định lý von Neumann (Hệ 2.2) đủ để xét trường hợp vô hướng, giá trị phức z1 ∈ C phương trình (3.40) Do trường hợp K (Z) = R (z), ta có ϕB (x) = ϕR (x) với công thức nấc 57 (3.41) Bây điều chưa rõ ràng, nhiên ta hạn chế supremum phương trình (3.40) để xét trường hợp vô hướng hay giá trị zi ∈ C với s ≥ Điều đòi hỏi tổng quát Định lý von Neumann với hàm nhiều biến (Hairer Wanner 1996) Ta quay lại câu hỏi phần sau Định lý 3.11 (Hairer Wanner 1996) Với phương pháp Runge-Kutta ổn định B, hàm tăng trưởng sai số hàm siêu mũ (hàm mũ), tức ϕB (0) = ϕB (x1 ) ϕB (x2 ) ≤ ϕB (x1 + x2 ) với x1 , x2 dấu Chứng minh Tính chất ϕB (0) = có theo Định nghĩa 3.3 Với việc chứng minh bất đẳng thức, xét hàm hữu tỉ S (z) = u∗A K (A1 − zI, , As − zI) vA u∗B K (B1 + zI, , Bs + zI) vB , đó, ma trận Aj , Bj thỏa mãn µ (Aj ) ≤ x1 +x2 µ (Bj ) ≤ 0, uA , vA , uB , vB vectơ tùy ý Cn Sử dụng tính chất µ (Aj − zI) = µ (Aj ) − Rez C = sup |u∗ Cv|, thu bất đẳng thức xác tương tự chứng u =1, v =1 minh Định lý 2.3 Thực tế ϕB (x) cận trên, với ϕB (−∞) = |R (∞)| cho phép ta có kết luận tương tự ổn định tiệm cận lời giải số Chương 3.8 Tính tốn ϕB (x) Để tìm giá trị lớn ∆y1 hạn chế (3.38) Chính xác hơn, ta xét tốn tối ưu hóa với ràng buộc bất đẳng thức ∆y1 → max Re ∆fi , ∆gi ≤ x gi , (3.42) i = 1, , s Ở đây, ∆f1 , , ∆fs coi giá trị độc lập Cn , ∆y1 ∆gi định nghĩa (3.8), ∆y0 xem tham số Một cách tiếp cận cổ điển để giải tốn tối ưu hóa (3.42) xét nhân tử Lagrange d1 , , ds xét s ∆y1 − di Re ∆fi , ∆gi − x gi 2 i=1 −1 ∆y0 α uT = (∆y0∗ , ∆f ∗ ) ⊗I ∆f u W L (∆f, D) = 58 (3.43) , đó, ∆f = (∆f1 , , ∆fs )T , D = diag (d1 , , ds ) α = −1 − 2x11T D11 (3.44a) u = D11 − b − 2xAT D11 (3.44b) W = DA + AT D − bbT − 2xAT DA (3.44c) Định lý 3.12 (Burrage Butcher 1980) Nếu ma trận α + ϕ2 uT u W nửa xác định dương (3.45) với d1 ≥ 0, , ds ≥ ∆y1 ≤ ϕ ∆y0 với tất toán thỏa mãn (3.38) với hν ≤ x Do đó, ta có ϕB (x) ≤ ϕ Chứng minh Trừ hai vế (3.43) cho ϕ2 ∆y0 2 ta s ∆y1 2 − ϕ ∆y0 − di Re ∆fi , ∆gi − x ∆gi ≤ i=1 Kết sau có di ≥ Re ∆fi , ∆gi ≤ x ∆gi Với trợ giúp Định lý 3.12, Burrage Butcher (1980) tính tốn cận ϕB (x) cho vài phương pháp nấc Và nhận thấy rằng, với tất phương pháp nấc ϕB (x) = ϕK (x), ϕK (x) = |K (z1 , , zs )| sup (3.46) Rez1 ≤x, , Rezs ≤x Có phải ϕB (x) = ϕK (x) với tất phương pháp Runge-Kutta hay không? Nếu muốn kiểm tra tính hợp lệ ϕB (x) = ϕK (x) với phương pháp RungeKutta, ta phải tìm nhân tử Lagrange không âm di để (3.45) thỏa mãn Các bổ đề sau hữu ích cho mục đích Ta ký hiệu z10 , , zs0 giá trị để (3.46) đạt supremum Theo nguyên lý maximum ta có zj0 = x + iyj0 (yj0 = ∞) Đặt z = z10 , , zs0 cho ∂j K z đạo hàm K (z1 , , zs ) theo đối số thứ j z Bổ đề 3.5 Cho x cố định với ϕK (x) < ∞ Điều kiện (3.45) với ϕ = ϕK (x) xác định nhân tử Lagrange d1 , , ds (xem phương trình (3.52) phần sau) Và d1 , , ds số thực dương Chứng minh Xét đồng thức (3.43) cho trường hợp đặc biệt với ∆fj vơ hướng, ∆fj = zj ∆gj ∆y1 = K (z1 , , zs ) Với Rezj = x, ta có |K (z1 , , zs )|2 − ϕ2 = − (1, ∆f ∗ ) 59 α + ϕ uT u W ∆f (3.47) Đặt ϕ := ϕK (x) zj := zj0 (cuối ta phải xét giới hạn) vế trái phương trình (3.47) triệt tiêu Kết hợp với giả thiết (3.45) có nghĩa u + W∆f = 0, tức D11 − b − 2xAT D11 + DA + AT D − bbT − 2xAT DA ∆f = Kết hợp hợp lý điều có sử dụng ∆f = Z0 ∆g , ∆g = + A∆f , Z0 = diag z10 , , zs0 , ta D∆g = I − AT Z0∗ −1 b.K z (3.48) Ta chứng minh tất thành phần ∆g = (I − AZ0 )−11 khác 0, để (3.48) xác định nhân tử Lagrange d1 , , ds Thác triển K (z1 , , zs ) chuỗi Taylor với đối số zj ta có K z10 , , zj , , zs0 = K z + c zj − zj0 + O c = ∂j K z /K z Vì K z10 , , zj , , zs0 Rezj0 Ta có c > 0, ta có ∂j K z = 0, zj − zj0 ≤ K z0 ∂j K z 0< < ∞ K (z ) , với Rezj ≤ (3.49) Vi phân K (z1 , , zs ) = + bT Z(I − AZ)−11 theo zj ∂j K z = bT (I − Z0 A)−1 ej eTj (I − AZ0 )−11 (3.50) bT (I − Z0 A)−1 ej = 0, ∆gj = eTj (I − AZ0 )−11 = (3.51) Từ (3.49) ta có để d1 , , ds xác định (3.48) Chia thành phần thứ j (3.48) cho ∆gj , từ (3.50) T dj = b (I − Z0 A) −1 ej K z0 , ∂j K (z ) (3.52) số thực dương theo (3.49) (3.51) Trong chứng minh này, ta mặc định tất zj0 hữu hạn Nếu zj0 = x+i∞ với vài j đó, người ta phải đổi ωj = x + 1/ (zj − x), nửa mặt phẳng Rezj ≤ x thành Reωj ≤ x ∞ thành Bổ đề 3.6 Nếu ma trận W phương trình (3.44c) với d1 , , ds Bổ đề 3.5 nửa xác định dương, ta có ϕB (x) = ϕK (x) 60 Chứng minh Từ α + ϕ2K (x) uT u W ∆f (3.53) =0 (xem (3.47)) v T Wv ≥ với v ∈ Rs , ma trận (3.53) nửa xác định dương Kết sau có từ Định lý 3.12 Từ kết trên, với phương pháp Runge-Kutta định kiểm tra xem ϕB (x) = ϕK (x) thỏa mãn Điều thực thuật tốn sau đây: • Tính ϕ = ϕK (x) phương trình (3.46) với số với cơng thức, chương trình hỗ trợ • Tính nhân tử Lagrange d1 , , ds từ Bổ đề 3.5 • Kiểm tra ma trận W phương trình (3.44c) nửa xác định dương Nếu W nửa xác định dương ϕB (x) = ϕK (x) theo Bổ đề 3.6 Ví dụ 3.3 Với phương pháp Radau IIA nấc p = (xem Bảng 1.7)    x ≤ ξ  − 2x ϕB (x) = ϕK (x) =    + 4x (3 − 2x) (3 + 4x − 2x2 ) ξ ≤ x < √ ξ = − 17 /8 Với phương pháp Gauss nấc p = (xem Bảng 1.5 )  1 − ∞ < x ≤ √ ϕB (x) =  2x + + 3x2 3−x ≤ x < Với phương pháp Lobatto IIIC nấc p = (xem Bảng 1.10 )    − ∞ < x ≤ ϕB (x) = − x + x2   1−x ≤ x < Với phương pháp có số nấc s > 2, việc đưa cơng thức tường minh khó, ta áp dụng phương pháp số để tính tốn zj0 (supremum phương trình (3.46)) 61 Kết luận Chương trình bày khái niệm ổn định B, ổn định đại số, ổn định AN mối quan hệ dạng ổn định Định lý 3.4 Định lý 3.6 kết quan trọng đưa ví dụ với phương pháp Runge-Kutta ẩn ổn định đại số chúng từ có kết luận ổn định B Bên cạnh đó, phần đưa khái niệm phương pháp khả quy, phương pháp bất khả quy Sau đó, luận văn trình bày Định lý 3.3 tương đương ổn định B ổn định đại số với phương pháp S-bất khả quy 62 Kết luận Luận văn trình bày tính ổn định tính co phương pháp RungeKutta Tính ổn định tính co phương pháp Runge-Kutta trình bày từ tốn tuyến tính đến toán phi tuyến Mối quan hệ dạng ổn định A, ổn định B, ổn định đại số, ổn định AN Hơn nữa, cịn có ví dụ phương pháp tương ứng thỏa mãn dạng ổn định Đặc biệt, luận văn quan tâm đến tính ổn định phương pháp DJ-khả quy, S-khả quy phương pháp bất khả quy Bên cạnh đó, luận văn xem xét đến hàm tăng trưởng sai số ϕR (x), ϕB (x) tương ứng xét tốn tuyến tính tốn phi tuyến với cách tính tốn chúng Luận văn trình bày số chứng minh chi tiết liên quan đến tính ổn định tính co phương pháp Runge-Kutta Các kết giúp ta việc lựa chọn phương pháp phù hợp để giải hệ phương trình vi phân tuyến tính phi tuyến Ngồi ra, luận văn có trình bày số ví dụ, toán minh họa với việc thử nghiệm số giải tốn 63 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh, 2008,Giải tích số, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] E Hairer, S P Norsett, G Wanner (1993), Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems, Springer-Verlag, second edition [3] E Hairer, S P Norsett, G Wanner (1991), Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems, Springer-Verlag, second revised edition [4] J.C.Butcher (2003), Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, The Uninversity of Auckland, New Zealand, Wiley Publishers [5] Linda R.Petzold, UriM.Ascher (1997), Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations [6] L Shampine, M W Reichelt (1997), The MATLAB ODE Suite [7] W Wasow (1965),Asymptotic expansions for ordinary differential equations, Interscience, John Wiley and Sons, New York 64 ... niệm định lý liên quan đến tính co xét tốn tuyến tính • Chương 3: Tính ổn định B tính co Luận văn trình bày khái niệm ổn định B, ổn định đại số, ổn định AN mối quan hệ khái niệm ổn định phương pháp. .. (1.12) Định nghĩa 1.5 Một phương pháp mà miền ổn định tuyệt đối thỏa mãn S ⊃ C− = {z ∈ C : Re (z) ≤ 0} , phương pháp gọi phương pháp ổn định A (hay A -ổn định) Phương pháp Runge- Kutta với hàm ổn định. .. [5] 1.1 Các phương pháp Runge- Kutta Phương pháp Runge- Kutta tổng quát Phương pháp Runge- Kutta thuộc lớp phương pháp số bước, đưa hai nhà toán học người Đức Carl Runge (1856 - 1927) Wilhelm Kutta