ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TẠ THỊ HOÀN QUAN HỆ BIẾN PHÂN TUYẾN TÍNH Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG Hà Nội – Năm 2014 Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian véctơ tôpô 1.2 Không gian metric 11 1.2.1 Không gian metric 11 1.2.2 Ánh xạ Lipschitz 11 1.3 Giải tích lồi 13 1.4 Ánh xạ đa trị 14 1.4.1 Định nghĩa ánh xạ đa trị 15 1.4.2 Tính liên tục ánh xạ đa trị 20 1.4.3 Một số định lí ánh xạ đa trị 21 1.5 Định lý Hoffman 22 Sự tồn nghiệm toán quan hệ biến phân 23 2.1 Bài toán quan hệ biến phân tổng quát 23 2.1.1 Phát biểu toán 23 2.1.2 Sự tồn nghiệm 25 2.2 Bài tốn quan hệ biến phân tuyến tính 36 2.2.1 Phát biểu toán 36 2.2.2 Sự tồn nghiệm 37 Cấu trúc tập nghiệm toán quan hệ biến phân tuyến tính 53 3.1 Tính đóng tập nghiệm 53 3.2 Tính lồi tập nghiệm 55 3.3 Tính liên thơng tập nghiệm 61 Tài liệu tham khảo 68 Mở đầu Bài toán quan hệ biến phân toán xuất phát từ việc tổng qt hóa số tốn có ứng dụng thực tế tốn tối ưu, toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân, tốn tựa cân bằng, Mơ hình tốn có ý nghĩa sâu sắc nghiên cứu toán học lý thuyết toán học ứng dụng Bài toán " Quan hệ biến phân" đề xuất lần vào năm 2008 Giáo sư Đinh Thế Lục [7] Mơt dạng đặc biệt tốn quan hệ biến phân toán quan hệ biến phân tuyến tính Dựa chủ yếu tài liệu [4], [6], [7], luận văn trình bày tính chất định tính tốn quan hệ biến phân tuyến tính tồn nghiệm toán, cấu trúc tập nghiệm tìm hiểu tính chất tập nghiệm tính đóng, tính lồi, liên thơng, Đây thơng tin cần thiết cho việc nghiên cứu mặt định lượng tốn, hay việc tìm nghiệm tốn Luận văn trình bày theo chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày cách hệ thống kiến thức sở có dùng đến chương sau ánh xạ đa trị, tập lồi, Định lý Hoffman Chương Sự tồn nghiệm toán quan hệ biến phân Chương gồm hai phần Phần đầu phát biểu trình bày tồn nghiệm toán quan hệ biến phân tổng quát Phần sau phát biểu trình bày tồn nghiệm toán quan hệ biến phân tuyến tính Chương Cấu trúc tập nghiệm tốn quan hệ biến phân tuyến tính Trong chương ta tìm hiểu số tính chất tập nghiêm tốn quan hệ biến phân tuyến tính tính đóng, tính lồi, tính liên thơng Bên cạnh ví dụ minh họa cho kết Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình PGS TS Tạ Duy Phượng Thầy dành nhiều thời gian, tâm huyết hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Qua đây, tơi xin gửi tới q thầy Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2012-2014, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt q trình học tập tơi Nhà trường Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên tơi để tơi hồn thành tốt nhiệm vụ Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả luận văn Tạ Thị Hoàn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian véctơ tôpô Một số định nghĩa định lý trình bày dựa theo tài liệu [2] Định nghĩa 1.1.1 Quan hệ hai tập A tập hợp R tích Đềcác A × A Ta gọi đơn giản quan hệ hai Ký hiệu aRb R(a, b) (a, b) ∈ R Ta thường nói "a − R quan hệ b Định nghĩa 1.1.2 Cho tập V khác rỗng, K trường Các phần tử thuộc V gọi véctơ Trên V trang bị hai phép toán: phép cộng hai véctơ (ký hiệu "+") phép nhân vô hướng k ∈ K với véctơ (ký hiệu ".") Khi (V, +, ) gọi K - khơng gian véctơ 10 tính chất sau thỏa mãn: 1) Nếu x, y ∈ V x + y ∈ V 2) Với x, y, z ∈ V ta có x + (y + z) = (x + y) + z 3) Với x, y ∈ V ta có x + y = y + x 4) Tồn phần tử θ ∈ V, gọi phần tử trung hịa (hoặc véctơ khơng), cho x + θ = x với x ∈ V 5) Với x ∈ V, tồn phần tử y ∈ V, gọi phần tử đối xứng (phần tử đối) x, cho x + y = θ 6) Nếu a ∈ K, x ∈ V ax ∈ V 7) Với a ∈ K x, y ∈ V, ta có a(x + y) = ax + ay 8) Với a, b ∈ K x ∈ V, ta có (a + b)x = ax + bx 9) Với a, b ∈ K x ∈ V, ta có a(bx) = (ab)x 10) Với x ∈ V, ta có 1x = x1 = x, ký hiệu phần tử đợn vị phép nhân K Định nghĩa 1.1.3 (Không gian tôpô) Cho tập X = ∅ Một họ τ tập X gọi tơpơ X thỏa mãn tính chất sau: (i) ∅, X ∈ τ ; (ii) Giao số hữu hạn phần tử thuộc τ thuộc τ ; (iii) Hợp họ tùy ý phần tử thuộc τ thuộc τ Tập X trang bị tôpô τ gọi không gian tôpô ký hiệu (X, τ ) Định nghĩa 1.1.4 Cho (X, τ ) khơng gian tơpơ • Tập G gọi tập mở X G ∈ τ • Tập F gọi tập đóng X X\F ∈ τ Định nghĩa 1.1.5 Cho hai tôpô τ1 τ2 ta nói τ1 yếu τ2 (hay τ2 mạnh τ1 ) τ1 ⊂ τ2 , nghĩa tập mở tôpô τ1 tập mở τ2 Định nghĩa 1.1.6 Cho không gian tôpô (X, τ ), tập A tập X Tập U gọi lân cận tập A tồn tập mở nằm U chứa A Khi A = {x} ta nói U lân cận điểm x Định lý 1.1.1 Tập G không gian tôpô (X, τ ) mở G lân cận điểm thuộc Định lý 1.1.2 Nếu Vx họ tất lân cận điểm x thì: (i) x ∈ V với V ∈ Vx ; (ii) Nếu V1 , V2 ∈ Vx V1 ∩ V2 ∈ Vx ; (iii) Nếu V1 ∈ Vx V2 ⊃ V1 V2 ∈ Vx Định nghĩa 1.1.7 Cho Ux họ tất lân cận điểm x Một họ Vx ⊆ Ux gọi sở lân cận x với U ∈ Ux tồn V ∈ Vx cho V ⊆ U Chẳng hạn, họ tập mở chứa x sở lân cận x Định nghĩa 1.1.8 Cho không gian tôpô (X, τ ), A tập X Đối với phần tử x ∈ X ta nói: (i) x điểm A tồn tập mở x nằm A (ii) x điểm A tồn lân cận x nằm X\A (iii) x điểm biên A x đồng thời không điểm không điểm ngồi A Hay nói cách khác x điểm biên A lân cận x giao khác rỗng (chứa điểm khác x) với A X\A Định nghĩa 1.1.9 Giả sử A tập khơng gian tơpơ (X, τ ) Ta gọi phần A hợp tất tập mở nằm A, o tập mở lớn nằm A Kí hiệu A intA Định nghĩa 1.1.10 Giả sử A tập khơng gian tơpơ (X, τ ) Ta gọi bao đóng A giao tất tập đóng nằm A, tập đóng nhỏ chứa A Kí hiệu A¯ clA Định nghĩa 1.1.11 Cho X , Y hai không gian tô pô Một ánh xạ f từ X vào Y gọi liên tục điểm x0 với lân cận V f (x0) tồn lân cận U x0 cho f (U ) ⊆ V Ánh xạ f gọi liên tục X liên tục điểm x ∈ X Định nghĩa 1.1.12 Cho {(Xα , τα )}α∈I họ không gian tôpô Xét X = Xα = {x = (xα )α∈I , xα ∈ Xα } phép chiếu pα : x → xα α∈I Tô pô τ yếu X để tất ánh xạ pα liên tục gọi tôpô tích Khi (X, τ ) gọi khơng gian tơpơ tích (hay khơng gian Tikhonov ) khơng gian tơpơ {(Xα , τα )}α∈I Kí hiệu Xα α∈I Định nghĩa 1.1.13 Không gian tôpô (X, τ ) gọi không gian Hausdorff (hay T2 − không gian) cặp điểm x khác y X tồn lân cận U x V y cho U ∩ V = ∅ Định nghĩa 1.1.14 Ta nói tơpơ τ không gian véctơ X tương hợp với cấu trúc đại số, phép toán đại số X liên tục tơpơ đó, tức nếu: x + y hàm liên tục hai biến x, y Cụ thể, với lân cận V điểm x + y có lân cận Ux x lân cận Uy y cho x′ ∈ Ux , y ′ ∈ Uy x′ + y ′ ∈ V αx hàm liên tục hai biến α, x Cụ thể, với lân cận V αx có số ε > lân cận U x cho |α − α′ | < ε, x′ ∈ U α′ x′ ∈ V Một khơng gian véctơ X có tơpơ tương hợp với cấu trúc đại số gọi khơng gian véctơ tơpơ (hay khơng gian tơpơ tuyến tính) Định nghĩa 1.1.15 Một tập A gọi hấp thu với x ∈ A i) S tập đóng, ii) R tập đóng, iii) T (x) liên tục Theo Mệnh đề 3.3 [6], suy tập nghiệm (LVR) tập đóng Ví dụ 3.1.1 Xét tốn (LVR) khơng gian R × R2 , với:       −3 −1 0 −1 −3 −2 −6 0 A0 = , d0 = , A1 = 0 , B1 = 1  , d1 =   ,       0 −1 −3  −1 0  , dr =    , Br =  Ar =        −1 −1 0 Khi A0 x ≤ d0 ⇔ −2 −6 x ≤ ⇔ ≤ x ≤ Tức S = {x ∈ R, ≤ x ≤ 4} Ta có     −1 0 −1 y 0 A1x + B1 y ≤ d1 ⇔ 0 x + 1  y1 0 ⇔  −3 −3 ≤   ≤ y1 ≤ 4, ≤ y2 ≤ Tức T (x) = {(y1, y2) ∈ R2, ≤ y1 ≤ 4, ≤ y2 ≤ 4} Ta có     −1  −1 y1 0   1 Ar x + Br y ≤ dr ⇔ 0 x +   y2  −1 −1 0 54  −3  ≤ 4  0   x − y2 ≤ 0,    −y2 ≤ −3, y2 ≤ 4, ⇔    x − y1 ≤ 0, −y1 ≤ Tức R(x, y1 , y2 ) xác định sau:  x − y2 ≤ 0,    y2 ≥ 3, y2 ≤ 4,    x − y1 ≤ 0, y1 ≥  x − y2 = 0,    y2 = 3, y2 = 4, Giải hệ ba số phương trình:  x − y1 = 0,   y1 = 0, ta thu giao điểm sau: (3,3,3),(3,0,3),(0,0,3), (4,0,4),(0,0,4),(4,4,4) Kết hợp với điều kiện x ∈ S, y ∈ T (x), (x, y) ∈ R ta đỉnh V (P ) sau: V (P ) = {(3, 3, 3), (4, 0, 4), (4, 4, 4)} Từ suy Vx (P ) = {3, 4} Mặt khác kiểm tra ta thấy với ≤ x ≤ 4, y = (y1 , y2 ) cho ≤ y1 ≤ 4, ≤ y2 ≤ 4, quan R thỏa mãn Tức ≤ x ≤ R(x, y) thỏa mãn với y ∈ T (x) Hay tập nghiệm toán cho S = [3, 4] Rõ ràng nhận thấy S tập đóng Nhận xét 3.1.1 Trong ví dụ ví dụ ta xét, tập nghiệm tốn (LVR) ln tập đóng 3.2 Tính lồi tập nghiệm Mệnh đề 3.2.1 Tập nghiệm (LVR) tập lồi hai điều kiện sau xảy ra: (i) Vx (P ) = Vx (P ) đỉnh Vx (P ) nghiệm toán 55 (LVR) (ii) T (x) affin Chứng minh Ta chứng minh Mệnh đề điều kiện (i) Trước hết ta đặt sol(LVR) tập nghiệm tốn (LVR) Vì x ∈ Vx (P ) = Vx (P ) nghiệm toán (LVR) nên theo Bổ đề 2.2.1 ta có V (P (x) = V (P (x)) Vì P P đa diện lồi nên theo Định lý Carathéodory, ta có P = co (x, V (P (x)) = co (x, V (P (x)) = P, x∈Vx (P ) x∈Vx (P ) (x, V (P (x))) = (x, y) : y ∈ V (P (x)) (x, V (P (x))) = {(x, y) : y ∈ V (P (x))} Từ P = P suy với x ∈ co x ta có P (x) = P (x) Theo Bổ x∈Vx (P ) đề 2.2.1 x nghiệm toán Tức x = co sol(LVR)= co x∈Vx (P ) x x∈Vx (P ) Từ suy tập nghiệm toán (LVR) tập lồi Tiếp theo, giả sử điều kiện (ii) thỏa mãn, ta chứng minh tập nghiệm lồi Trước hết, ta nhắc lại T (x) affin với x1 , x2 ∈ Rn1 λ ∈ [0, 1], cho T (λx1 + (1 − λ)x2) = λT (x1) + (1 − λ)T (x2) Giả sử x1 , x2 ∈ sol(LVR) x ∈ (x1, x2 ), tức tồn λ ∈ (0, 1) cho x = λx1 + (1 − λ)x2 Vì x1 , x2 nghiệm tốn (LVR) nên ta có 56 Ar xj + Br y ≤ dr với y ∈ T (xj ), j = 1, Xét y ∈ T (x), T (x) affin nên T (x) = T (λx1 + (1 − λ)x2) = λT (x1) + (1 − λ)T (x2) Từ suy y ∈ λT (x1) + (1 − λ)T (x2) Điều kéo theo tồn y1 ∈ T (x1), y2 ∈ T (x2 ) cho y = λy1 +(1−λ)y2 Từ suy Ar x + Br y = Ar (λx1 + (1 − λ)x2) + Br (λy1 + (1 − λ)y2 ) = λ(Ar x1 + Br y1 ) + (1 − λ)(Ar x2 + Ar y2) = λdr + (1 − λ)dr = dr Suy R với y ∈ T (x) Tiếp theo, ta x ∈ S Thật Vì x1 , x2 ∈ sol(LVR), suy x1 , x2 ∈ S, tức A0 x ≤ d0 , A0 x ≤ d0 Ta xét A0x = A0(λx1 + (1 − λ)x2) = λA0x1 + (1 − λ)A0x2 = λd0 + (1 − λ)d0 = d0 Suy A0 x ≤ d0 Hay x ∈ S Vậy x ∈ sol(LVR) Suy sol(LVR) tập lồi Để minh họa cho mệnh đề trên, ta xét toán (LVR) khơng gian R × R2 sau: 57 Ví dụ 3.2.1 A0 = Khi       −2 0 0 4 2 −1 0 , d0 = , A1 = 0 , B1 =  −1 , d1 = 0 ,       −1 1 4  −1 1  Ar = −1 , Br =  1  , dr = 8 −2 −1 A0 x ≤ d0 ⇔ −1 (x) ≤ ⇔ ≤ x ≤ Tức S = {x ∈ R, ≤ x ≤ 2} Ta có     −1 0 0 y  0 A1x + B1 y ≤ d1 ⇔ 0 x +  −1 y1   4 ≤ 0 ⇔ ≤ y1 ≤ 2, ≤ y2 ≤ Tức T (x) = {y = (y1, y2)|0 ≤ y1 ≤ 2, ≤ y2 ≤ 2} Ta có    −1 1  −1 y 1  Ar x + Br y ≤ dr ⇔ −1 x +  1  y1 −2 −1    x − y1 + y2 ≤ 6, x + y1 − y2 ≤ 4, ⇔ −x + y1 + y2 ≤ 8,   −x − 2y1 + y2 ≤  Tức quan hệ R cho    x − y1 + y2 ≤ 6, x + y1 − y2 ≤ 4, −x + y1 + y2 ≤ 8,   −x − 2y + y ≤ 58   4 ≤ 8 Như P = {(x, y1, y2 ) : ≤ x ≤ 2, ≤ y1 ≤ 2, ≤ y2 ≤ 2}, P = {(x, y1, y2) : ≤ x ≤ 2, ≤ y1 ≤ 2, ≤ y2 ≤ 2, x − y1 + y2 ≤ 6, x + y1 − y2 ≤ 4, −x + y1 + y2 ≤ 8, −x − 2y1 + y2 ≤ 2} Biểu diễn hình học P P ta thu được: V (P ) = V (P ) = {(0, 0, 0), (0, 0, 2), (0, 2, 0), (2, 0, 0), (2, 2, 0), (2, 0, 2), (2, 2, 2), (0, 2, 2)} Từ ta có Vx (P ) = Vx (P ) = {0, 2} Hơn x = x = nghiệm tốn Theo Mệnh đề 3.2.1, ta có tập nghiệm toán cho tập lồi Thật vậy, kiểm tra ta thấy với ≤ x ≤ 2, ≤ y1 ≤ 2, ≤ y2 ≤ thỏa mãn quan hệ R Nên tập nghiệm toán cho sol(LVR)=[0, 2] Như rõ ràng sol(LVR) tập lồi Một trường hợp đặc biệt thu từ Mệnh đề (3.2.1), ánh xạ T cho cụ thể, nội dung hệ sau Hệ 3.2.1 Cho T (x) xác định T (x) = {y ∈ Rn2 : Al x + dl ≤ y ≤ Aux + du }, Al , Au ma trận cấp n2 × n1 dl , du véc tơ cấp n2 × Khi đó, tập nghiệm toán (LVR) tập lồi Chứng minh Rõ ràng, tập hợp T (x) diễn đạt sau T (x) = {y ∈ Rn2 : (Al x + dl )i ≤ yi ≤ (Aux + du)i, i = 1, , n2} Giả sử x1 , x2 ∈ Rn1 x ∈ (x1, x2 ) Khi đó, tồn λ ∈ (0, 1) cho x = λx1 + (1 − λ)x2 59 Xét y ∈ T (x), điều có nghĩa (Al x + dl )i ≤ yi ≤ (Aux + du )i, i = 1, 2, , n2 Suy λ(Al x1 + dl )i + (1 − λ)(Al x2 + dl )i ≤ yi ≤ λ(Au x1 + du)i + (1 − λ)(Aux2 + du )i, i = 1, 2, , n2 Do đó, với i = 1, 2, , n2 tồn αi ∈ [0, 1] cho yi = αi (λ(Al x1 + dl )i + (1 − λ)(Al x2 + dl )i) + (1 − α)(λ(Aux1 + du )i +(1 − λ)(Aux2 + du)i ) = λ(αi (Al x1 + dl )i + (1 − αi )(Aux2 + du )i) +(1 − λ)(αi (Aux1 + du )i + (1 − αi )(Aux2 + du)i) = λy1i + (1 − λ)y2i , (yj1 , , yjn2 ) ∈ T (xj ), i = 1, 2, Từ suy T (x) ⊂ λT (x1) + (1 − λ)T (x2) Hơn nữa, rõ ràng T (x) ⊃ λT (x1 ) + (1 − λ)T (x2 ) Do đó, ta có T (x) = λT (x1) + (1 − λ)T (x2) Suy T (x) affin Theo Mệnh đề (3.2.1) tập nghiệm tốn (LVR) cho tập lồi Chú ý 3.2.1 Nhắc lại rằng, ánh xạ T : X ⇒ Y ánh xạ đa trị lõm với x1 , x2 ∈ X với λ ∈ [0, 1], ta có T (λx1 + (1 − λ)x2) ⊂ λT (x1) + (1 − λ)T (x2) Trong toán (LVR), ta thấy rõ ràng T (x) ánh xạ đa trị lồi, hay T (x) ánh xạ đa trị lõm Do khơng thỏa mãn Mệnh đề 3.6 [6] Nên tập nghiệm (LVR)nói chung khơng phải tập lồi 60 3.3 Tính liên thơng tập nghiệm Tương tự tính lồi tập nghiệm, tính liên thơng tập nghiệm không bảo đảm Để thấy rõ điều này, ta xét ví dụ sau Ví dụ 3.3.1 Xét tốn (LVR) khơng gian R × R2 ,     −1 0 1 1     −1 −1 −1 −1   ; B = A0 = ; d0 = ; A1 =    −1 −1 −1  −1 −2 1         −2 0 −1 0 11 5          −1  −1 0  ; dr = −5  , A r =   ; Br =  d1 =  5  1 −1 0 0 −1  −1 0  0 25 1 Khi A0 ≤ d0 ⇔ −1 −1 x ≤ ⇔ {−x ≤ −1; x ≤ ⇔ ≤ x ≤ Tức S = {x ∈ R, ≤ x ≤ 5} Ta có    −1 1   11 −1 −1  x + −1 −1 y1 A x + B1 y ≤ d ⇔  2   y2  −1 −1 −2 1  x − y1 ≤ 0,    x + y1 ≤ 11,   −x + y1 − y2 ≤ 0, ⇔ 2x − y1 − y2 ≤ 0,    −x − y1 + y2 ≤ 0,   x − 2y1 + y2 ≤  61  11 0  ≤ 0 0  Tức T (x) = {(y1 , y2 ) ∈ R2 } cho  x − y1 ≤ 0,    x + y1 ≤ 11,   −x + y1 − y2 ≤ 0, 2x − y1 − y2 ≤ 0,    −x − y1 + y2 ≤ 0,   x − 2y1 + y2 ≤ Ta có      −2 0 −1 0       −5 −1  y1 −1    x +  ≤ A r x + Br y ≤ d r ⇔    1 −1  y2 −1  −1 0  25 1   −x ≤ −2,  ≤ x ≤ 5,    x ≤ 5,     x + y1 ≥ 5, −x − y1 ≤ −5, −x + y1 ≤ 5, ⇔ ⇔ −x + y ≤ 5,   y2 ≥ 1,     −y2 ≤ −1,   2x + y + y2 ≤ 25 2x + y1 + y2 ≤ 25  Tức quan hệ R xác định  ≤ x ≤ 5,    x + y1 ≥ 5, −x + y1 ≤ 5,  y2 ≥ 1,   2x + y1 + y2 ≤ 25 Suy P = {(x, y1, y2) ∈ R × R2 | ≤ x ≤ 5,                x − y1 ≤ 0, x + y1 ≤ 11, −x + y1 − y2 ≤ 0, 2x − y1 − y2 ≤ 0, −x − y1 + y2 ≤ 0, x − 2y1 + y2 ≤ ≤ x ≤ 5, x + y1 ≥ 5, −x + y1 ≤ 5, P = {(x, y1, y2 ) ∈ R × R |  y2 ≥ 1,   2x + y1 + y2 ≤ 25 Bài toán nhận x1 = x2 = nghiệm Thật 62 Với x1 = ta có T (3) = {(y1, y2 ), ≤ y1 ≤ 7, y1 − y2 ≤ 4, y1 + y2 ≥ 8, −y1 + y2 ≤ 4, 2y1 − y2 ≥ 4} R(3) = {(y1 , y2 ), ≤ y1 ≤ 8, y2 ≥ 1, y1 + y2 ≤ 19} Biểu diễn hình học T (3), ta kết cho hình sau 12 C = (8, 11) 11 10 B = (6, 9) D = (8, 5) A = (3, 3) E=( , ) 2 −1 10 Hình 3.1: T (3) Nhìn vào hình vẽ, ta thấy với y ∈ T (3) thỏa mãn R(3) Suy x1 = nghiệm toán cho 63 Với x2 = ta có T (4) = {(y1, y2 ), ≤ y1 ≤ 7, y1 − y2 ≤ 4, y1 + y2 ≥ 8, −y1 + y2 ≤ 4, 2y1 − y2 ≥ 4} R(4) = {1 ≤ y1 ≤ 9, y2 ≥ 1, y1 + y2 ≤ 17} Biểu diễn hình học T (4), ta kết cho hình vẽ sau D = (7, 10) 10 A = (4, 4) C = (7, 3) B = (6, 2) Hình 3.2: T (4) 64 Nhìn vào hình vẽ, ta thấy y ∈ T (4) thoả mãn R(4) Suy x2 = nghiệm toán cho Như x1 = x2 = nghiệm toán Xét tổ hợp lồi x1 x2 sau: x1 x2 = + = + 2 2 Ta có x = khơng nghiệm toán cho Thật vậy, 7 15 T ( ) = {(y1, y2 ), ≤ y1 ≤ , y1 − y2 ≤ 2 2 7 y1 + y2 ≥ 7, −y1 + y2 ≤ , 2y1 − y2 ≤ } 2 Biểu diễn hình học T ( ), ta kết cho hình vẽ sau 65 12 21 B = (7, ) C=( 15 , 11) 10 D=( 7 A=( , ) 2 E=( 15 , 4) 21 , ) 4 10 Hình 3.3: T ( ) 15 37 Nhìn vào hình vẽ, ta thấy với y = ( , 11) ∈ T ( ) ta có y1 +y2 = ≥ 18 2 15 Suy ( , , 11) không thỏa mãn R Hay x = khơng nghiệm 2 tốn cho Như tập nghiệm toán cho tập liên thông Hay tập nghiệm tốn (LVR) nói chung khơng liên thơng 66 KẾT LUẬN Trong chương 3, ta tập nghiệm tốn (LVR) khơng có tính lồi tính liên thơng, lại đảm bảo tính đóng Bên cạnh đó, ta trình bày điều kiện cần, điều kiện đủ để tập nghiệm (LVR) tập lồi số ví dụ minh họa cho kết 67 Tài liệu tham khảo [1] Huỳnh Thế Phùng (2012), Cơ sở giải tích lồi, NXB Giáo dục Việt Nam [2] Hồng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Đơng n (2007), Giáo trình Giải tích đa trị, NXB Khoa học Tự nhiên Công nghệ [4] A Dhara, D T Luc (2013), A solution method for linear variational relation problems, Journal of Global optimization, p.1-39 [5] Alan J Hoffman (1952), On approximate solutions of systems of linear inequalities, Journal of Research of the National Bureau of Standards, Vol 49, p 263 - 265 [6] P Q Khanh, D T Luc (2008), Stability of Solutions in Parametric Variational Relation Problems, Set Valued Anal, Vol 16, p.1015 1035 [7] D T Luc (2008), An Abstract Problem in Variational Analysic, J Optim Theory Appl, Vol 138, p 65 - 76 68 ... quan hệ biến phân tổng quát Phần sau phát biểu trình bày tồn nghiệm tốn quan hệ biến phân tuyến tính Chương Cấu trúc tập nghiệm toán quan hệ biến phân tuyến tính Trong chương ta tìm hiểu số tính. .. toán học ứng dụng Bài toán " Quan hệ biến phân" đề xuất lần vào năm 2008 Giáo sư Đinh Thế Lục [7] Môt dạng đặc biệt toán quan hệ biến phân tốn quan hệ biến phân tuyến tính Dựa chủ yếu tài liệu [4],... định nghĩa tốn quan hệ biến phân tuyến tính sau: Định nghĩa 2.2.1 Bài tốn tìm x ∈ S cho (x, y) ∈ R với y ∈ T (x), tập S, T (x) quan hệ R định nghĩa gọi toán quan hệ biến phân tuyến tính (linear