ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN DŨNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ NGƯỢC ĐỂ XÂY DỰNG VÀ PHÁT TRIỂN PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NGUYỄN MINH TUẤN Hà Nội - Năm 2013 Mục lục Lời nói đầu Bảng kí hiệu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm hàm số 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Đồ thị hàm số 1.2 Tính đơn điệu hàm số 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Điều kiện đủ cho tính đơn điệu 1.3 Hàm số ngược 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Đồ thị hàm số ngược 1.3.3 Điều kiện đủ để hàm số có hàm số 1.3.4 Ví dụ 1.4 Phương trình đại số ẩn 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Nghiệm phương trình 1.4.3 Ví dụ 1.5 Phương trình tương đương 1.5.1 Định nghĩa 1.5.2 Phép biến đổi tương đương 1.6 Phương trình hệ 1.6.1 Định nghĩa 1.6.2 Phép biến đổi hệ 1.7 Phương trình vơ tỷ 1.7.1 Định nghĩa 1.7.2 Ví dụ ngược 6 6 6 7 9 10 10 11 11 11 11 12 12 12 12 12 12 13 Xây dựng số phương trình đại số giải phương pháp hàm số ngược 14 2.1 Cơ sở việc vận dụng phương pháp hàm ngược vào xây dựng phương trình 14 2.2 2.3 Một số dạng phương trình đại số mà giải phương pháp hàm số ngược 2.2.1 Dạng thứ 2.2.2 Dạng thứ hai 2.2.3 Dạng thứ ba 2.2.4 Dạng thứ tư 2.2.5 Dạng thứ năm Các bước thực giải phương trình phương pháp hàm số ngược 15 15 15 16 17 18 18 Các toán liên quan 20 Kết luận 67 Tài liệu tham khảo 68 Lời nói đầu Hàm số giữ vị trí trung tâm chương trình tốn trường phổ thơng Học sinh nhận biết định nghĩa nắm số tính chất hàm số cuối cấp Trung học sở, học Tốn bậc Trung học phổ thơng khái niệm hàm số dần hoàn thiện có cơng cụ đạo hàm để nghiên cứu hàm số học sinh có qui trình để khảo sát hàm số Bên cạnh việc khảo sát hàm số bản, học sinh khá, giỏi gợi ý, hướng dẫn để học sinh nắm vững tính chất hàm số, ứng dụng chúng giải số tốn khác Việc nắm vững tính chất hàm số giúp giáo viên có cách nhìn tồn diện hàm số khai thác mối liên hệ hàm số với số toán liên quan, đồng thời sáng tạo tốn Vấn đề giải phương trình đại số nói chung phương trình vơ tỷ nói riêng, biết đến số cách giải khác như: phép biến đổi tương đương, phép dùng ẩn phụ, phép dùng biến đổi liên hợp, phương pháp đánh giá Tuy nhiên với phương pháp giải thường tối ưu với trường hợp cụ thể Mặt khác sâu nghiên cứu hàm số ngược hàm số, tơi nhận thấy có liên quan mật thiết tương giao hai hàm số ngược với số nghiệm phương trình vơ tỷ mà có hai vế hai hàm số ngược Do việc giải phương trình vơ tỷ phương pháp hàm số ngược vấn đề cần tìm hiểu Mặc dù phương pháp mới, xong nắm vững mối quan hệ chúng phương pháp hiệu Trong đề thi Đại học thi chọn học sinh giỏi tốn dạng ln khai thác Với mong muốn áp dụng kiến thức học chương trình phổ thơng tìm hiểu sâu thêm phương pháp giải tốn sơ cấp nên tơi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn tốt nghiệp là: “Phương pháp hàm số ngược để xây dựng phát triển phương trình đại số” Bản luận văn gồm ba chương, lời nói đầu kết luận Chương Kiến thức chuẩn bị: Nhiệm vụ chương hệ thống lại số kiến thức hàm số phương trình đại số làm tiền đề để xây dựng nội dung chương Chương Xây dựng số phương trình đại số giải phương pháp hàm số ngược: Trong chương tác giả xây dựng sở việc áp dụng hàm số ngược vào giải toán, đồng thời xây dựng giải năm tốn tổng qt phương trình đại số mà giải phương pháp hàm số ngược Chương Các toán liên quan: Trong chương giới thiệu toán cụ thể minh họa cho toán tổng quát đề cập đến chương Sau tốn minh họa, tác giả có nhận xét cách giải sáng tác phương từ phương trình biết Để hồn thành luận văn này, xin chân thành cảm ơn tới người thầy kính mến PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn dành nhiều thời gian hướng dẫn, dạy suốt thời gian xây dựng đề tài hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo khoa Tốn – Cơ – Tin học, Ban giám hiệu, Phòng sau đại học trường ĐHKHTN – ĐHQGHN tạo điều kiện thuận lợi suốt thời gian học tập trường Mặc dù có nhiều cố gắng thời gian lực hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, mong thầy bạn góp ý xây dựng Tôi xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2013 Học viên Nguyễn Văn Dũng Bảng kí hiệu viết tắt R R∗ R+ R− N N∗ Z Z+ Z− tập tập tập tập tập tập tập tập tập các các các các số số số số số số số số số thực thực khác thực dương thực âm tự nhiên tự nhiên khác nguyên nguyên dương nguyên âm Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm hàm số 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho tập hợp khác rỗng D ⊂ R Hàm số f xác định D quy tắc đặt tương ứng số x thuộc D với số, kí hiệu f (x); số f (x) gọi giá trị hàm số f x Vậy hàm số ánh xạ từ tập D R vào R viết f :D→R x → f (x) • Tập D gọi tập xác định (hay miền xác định), x gọi biến số hay đối số hàm f • Tập hợp tất giá trị f (x) x chạy qua D gọi miền giá trị hàm số f • Khi viết y = f (x) x gọi biến số độc lập, y gọi biến số phụ thuộc 1.1.2 Đồ thị hàm số Định nghĩa 1.2 Đồ thị hàm số y = f (x) xác định D tập hợp tất điểm M (x; f (x)) mặt phẳng tọa độ với x thuộc D 1.2 1.2.1 Tính đơn điệu hàm số Định nghĩa Định nghĩa 1.3 Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng (a; b) a) Hàm số y = f (x) gọi đồng biến (tăng) (a; b) ∀x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) b) Hàm số y = f (x) gọi nghịch biến (giảm) (a; b) ∀x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) Chú ý 1.1 Hàm số đồng biến nghịch biến (a; b) gọi chung hàm số đơn điệu (a; b) 1.2.2 Điều kiện đủ cho tính đơn điệu Định lí 1.1 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm K a) Nếu f (x) > với x thuộc K hàm số y = f (x) đồng biến K b) Nếu f (x) < với x thuộc K hàm số y = f (x) nghịch biến K Sau ta có định lí mở rộng cho định lí sau: Định lí 1.2 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm K a) Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ K f (x) = số hữu hạn điểm hàm số y = f (x) đồng biến K b) Nếu f (x) ≤ 0, ∀x ∈ K f (x) = số hữu hạn điểm hàm số y = f (x) nghịch biến K 1.3 1.3.1 Hàm số ngược Định nghĩa Định nghĩa 1.4 Cho hàm số f có tập xác định D(f ) có tập giá trị V (f ) Hàm số g xác định V (f ) gọi hàm số ngược hàm số f (f0 g)(x) = x, ∀x ∈ V (f ) (g0 f )(x) = x, ∀x ∈ D(f ) Nhận xét 1.1 Từ định nghĩa ta có nhận xét sau a) Nếu hàm số y = f (x) hàm số ngược hàm số y = g(x) hàm số y = g(x) hàm số ngược hàm số y = f (x) b) Nếu y = f (x) y = g(x) hai hàm số ngược tập xác định hàm số tập giá trị hàm số ngược lại 1.3.2 Đồ thị hàm số ngược Định lí 1.3 Trong hệ tọa độ Oxy đồ thị hai hàm số ngược y = f (x) y = g(x) đối xứng với qua đường phân giác góc phần tư thứ y = x Chứng minh Xét hàm số f (x) có tập xác định D(f ), có tập giá trị V (f ) có đồ thị G(f ) Giả sử f có hàm số ngược g Xét điểm M (a; b) điểm M (b; a) đối xứng với M qua đường thẳng y = x Hình 1.1: Ta có: M ∈ G(f ) ⇔ b = f (a) ⇔ g(b) = g(f (a)) ⇔ g(b) = a ⇔ M ∈ G(g) Điều chứng tỏ đồ thị hàm số y = f (x) y = g(x) đối xứng qua đường thẳng y = x Hệ 1.1 Hai hàm số y = f (x) y = g(x) hai hàm số ngược giao điểm (nếu có) hai đồ thị hàm số y = f (x) y = g(x) nằm đường thẳng y = x Hình 1.2: 1.3.3 Điều kiện đủ để hàm số có hàm số ngược Định lí 1.4 Mọi hàm số đồng biến hay nghịch biến tập K có hàm số ngược Chứng minh Giả sử hàm số y = f (x) xác định đồng biến K có tập giá trị tương ứng T Do T tập giá trị y = f (x) nên với y ∈ T tồn x ∈ K để có f (x) = y Bây ta chứng minh x Thật vậy, ta giả sử tồn x ∈ K, x = x mà f (x ) = y Khi đó, xẩy hai trường hợp: a) Nếu x > x , ta suy f (x) > f (x ) ⇔ y > y điều vô lý b) Nếu x < x , ta suy f (x) < f (x ) ⇔ y < y điều vô lý Hai trường hợp vô lý, nên tồn x ∈ K để f (x) = y Do theo định nghĩa hàm số ngược, ta suy hàm số y = f (x) có hàm số ngược Nhận xét 1.2 Trường hợp hàm số nghịch biến chứng minh tương tự 1.3.4 Ví dụ Ví dụ 1.1 Hàm số g(x) = x−1 hàm số ngược hàm số f (x) = 2x + 1, f (g(x)) = 2g(x) + = x, g(f (x)) = f (x) − = x Ví dụ 1.2 Hàm số f (x) = 2x3 + có hàm số ngược g(x) = x−1 f (g(x)) = 2g (x) + = x, g(f (x)) = f (x) − = x Hình 3.17: theo Định lý 2.1 nghiệm phương trình (3.95) nghiệm phương trình sau 2(x + 1)2 − 15 = x, −3 x ∈ [−1; 5] (3.96) Ta có (3.96) tương đương với phương trình 2x2 + 7x − 13 = (3.97) Giải phương trình (3.97) ta nghiệm √ √ −7 − 153 −7 + 153 x= ;x = 4 So sánh với điều kiện x ∈ [−1; 5], phương trình (3.94) có nghiệm √ −7 + 153 x= Nhận xét 3.51 Hình (3.17) minh họa cho kết phương trình (3.94) Nhận xét 3.52 Từ phương trình (3.94) ta sáng tác số phương trình sau đây: Bài tập 3.43 Giải phương trình 2x2 + 8x − 10 + 12 − 3x = 12 + 3x = √ Bài tập 3.45 Giải phương trình 8x2 + 16x − 10 + − 3x = Bài tập 3.44 Giải phương trình 2x2 − 8x − 10 + 54 Bài tốn 3.25 Tìm nghiệm x ≥ phương trình sau 3x2 − 6x − + 10 − 2x = (3.98) Lời giải Điều kiện xác định phương trình (3.98) x ∈ [1; 5] Ta có phương trình (3.98) tương đương với phương trình sau 3(x − 1)2 − 10 = −2 Xét hàm số 10 − 2x + (3.99) 3(x − 1)2 − 10 f (x) = −2 Hàm f có tập xác định R nên xác định [1; 5] Ta có đạo hàm hàm f f (x) = −3(x − 1) Dễ thấy f (x) ≤ với x ∈ [1; 5] Nên hàm số 3(x − 1)2 − 10 f (x) = −2 nghịch biến đoạn [1; 5] Do đoạn [1; 5] hàm số f (x) = 3(x − 1)2 − 10 −2 ln có hàm số ngược hàm số g(x) = 10 − 2x + Điều chứng tỏ phương trình (3.99) có hai vế hai hàm số ngược nên theo Định lý 2.1 nghiệm phương trình (3.99) nghiệm phương trình sau 3(x − 1)2 − 10 = x, −2 x ∈ [1; 5] (3.100) Ta có (3.100) tương đương với phương trình 3x2 − 4x − = (3.101) Giải phương trình (3.101) ta nghiệm x = −1; x = So sánh với điều kiện x ∈ [1; 5], phương trình (3.98) có nghiệm x = 55 Hình 3.18: Nhận xét 3.53 Hình (3.18) minh họa cho kết phương trình (3.98) Nhận xét 3.54 Từ phương trình (3.98) ta sáng tác số phương trình sau đây: Bài tập 3.46 Giải phương trình 3x2 − + − 2x = Bài tập 3.47 Giải phương trình 12x2 − 12x − + 10 − 4x = √ Bài tập 3.48 Giải phương trình 27x2 + 18x − + 2 − 2x = Bài toán 3.26 Giải phương trình sau √ x2 − 12x + 36 = 18 − 3x (3.102) Lời giải Điều kiện xác định phương trình (3.102) x ∈ (−∞; 6] Ta có phương trình (3.102) tương đương với phương trình sau √ (x − 6)2 − 18 = − 18 − 3x + −3 Xét hàm số (x − 6)2 − 18 f (x) = −3 Hàm f có tập xác định R nên xác định (−∞; 6] Ta có đạo hàm hàm f f (x) = − 2(x − 6) 56 (3.103) Dễ thấy f (x) ≥ với x ∈ (−∞; 6] Nên hàm số (x − 6)2 − 18 f (x) = −3 đồng biến (−∞; 6] Do (−∞; 6] hàm số (x − 6)2 − 18 −3 √ ln có hàm số ngược hàm số g(x) = − 18 − 3x + f (x) = Hình 3.19: Điều chứng tỏ phương trình (3.103) có hai vế hai hàm số ngược nên theo Định lý 2.1 nghiệm phương trình (3.103) nghiệm phương trình sau (x − 6)2 − 18 = x, −3 x ∈ (−∞; 6] (3.104) Ta có (3.104) tương đương với phương trình x2 − 9x + 18 = (3.105) Giải phương trình (3.105) ta nghiệm x = 3; x = So sánh với điều kiện x ∈ (−∞; 6], phương trình (3.102) có tập nghiệm S = {3; 6} 57 Nhận xét 3.55 Hình (3.19) minh họa cho kết phương trình (3.102) Nhận xét 3.56 Phương trình (3.102) khơng cho dạng phương trình tổng quát nêu Chương 2, nhiên biến đổi đơn giản ta đưa phương trình (3.102) dạng (3.103), từ ta thấy phương trình (3.103) thuộc dạng thứ năm (2.8) Nhận xét 3.57 Do phương trình (3.103) có hai vế hai hàm số ngược nên ta sử dụng phương pháp hàm số ngược để giải Nhận xét 3.58 Từ (3.102), ta sử dụng phép đặt ẩn phụ x = t − từ phương trình (3.102) ta nhận phương trình sau √ t2 − 24t + 39 = 21 − 3t (3.106) Nhận xét 3.59 Từ nhận xét trên, cách thay t x ta có toán sau Bài toán 3.27 Giải phương trình sau √ x2 − 24x + 39 = 21 − 3x (3.107) Nhận xét 3.60 Phương trình (3.107) đưa dạng phương trình hàm ngược trình bày Chương được, nhiên theo Nhận xét (3.58) ta kết hợp dùng ẩn phụ phương pháp hàm số ngược để giải phương trình Lời giải Phương trình (3.107) xác định với x ∈ (−∞; 7] Ta có phương trình (3.107) tương đương với phương trình sau (x − 1)2 − 12(x − 1) + 36 = 18 − 3(x − 1) (3.108) Đặt t = x − 1, từ phương trình (3.108) ta nhận phương trình sau √ t2 − 12t + 36 = 18 − 3t, t ∈ (−∞; 6] (3.109) Phương trình (3.109) phương trình (3.102) giải trên, phương trình (3.109) có nghiệm t1 = 3; t2 = Từ kết suy phương trình (3.107) có nghiệm x1 = 4; x2 = 58 Nhận xét 3.61 Phương trình (3.107) phương trình sáng tác từ phương trình (3.102), cách từ phương trình (3.102)ta sáng tác nhiều phương trình khác Ví dụ phương trình sau: √ Bài tập 3.49 Giải phương trình x2 − 10x − 25 = 15 − 3x √ Bài tập 3.50 Giải phương trình 4x2 − 24x + 36 = 18 − 6x √ Bài tập 3.51 Giải phương trình 4x2 − 16x + 25 = 15 − 6x Bài tốn 3.28 Giải phương trình sau √ x2 − 2x + = − 2x (3.110) Lời giải Điều kiện xác định phương trình (3.110) x ∈ (−∞; ] Ta có phương trình (3.110) tương đương với phương trình sau √ (x − 1)2 − = − − 2x + −2 Xét hàm số (3.111) (x − 1)2 − f (x) = −2 Hàm f có tập xác định R nên xác định (−∞; ] Ta có đạo hàm hàm f f (x) = − x Dễ thấy f (x) > với x ∈ (−∞; ] Nên hàm số f (x) = (x − 1)2 − 1 đồng biến (−∞; ] −2 Do hàm số (x − 1)2 − f (x) = −2 √ ln có hàm số ngược hàm số g(x) = − − 2x + (−∞; ] Điều chứng tỏ phương trình (3.111) có hai vế hai hàm số ngược nên theo Định lý 2.1 nghiệm phương trình (3.111) nghiệm phương trình sau (x − 1)2 − = x, −2 x ∈ (−∞; ] (3.112) Ta có (3.112) tương đương với phương trình x2 − 2x = −2x 59 (3.113) Hình 3.20: Giải phương trình (3.113) ta nghiệm x = So sánh với điều kiện x ∈ (−∞; ], phương trình (3.110) có nghiệm x = Nhận xét 3.62 Hình (3.20) minh họa cho kết phương trình (3.110) Nhận xét 3.63 Từ phương trình (3.110) ta sáng tác số phương trình sau đây: √ Bài tập 3.52 Giải phương trình x2 + = 2x − √ Bài tập 3.53 Giải phương trình x2 − 4x + = − 2x √ Bài tập 3.54 Giải phương trình 4x2 + = 4x − Bài tốn 3.29 Giải phương trình sau 2x2 − 4x + = − 3x (3.114) Lời giải Điều kiện xác định phương trình (3.114) x ∈ (−∞; ] Ta có phương trình (3.114) tương đương với phương trình sau (x − 1)2 − =− −3 Xét hàm số − 3x + 2 (x − 1)2 − f (x) = −3 60 (3.115) Hàm f có tập xác định R nên xác định (−∞; ] Ta có đạo hàm hàm f f (x) = − 4(x − 1) Dễ thấy f (x) > với x ∈ (−∞; ] Nên hàm số (x − 1)2 − f (x) = −3 đồng biến (−∞; ] Do (−∞; ] hàm số f (x) = (x − 1)2 − −3 ln có hàm số ngược hàm số g(x) = − − 3x + Điều chứng tỏ phương trình (3.115) có hai vế hai hàm số ngược Hình 3.21: nên theo Định lý 2.1 nghiệm phương trình (3.115) nghiệm phương trình sau (x − 1)2 − = x, −3 61 x ∈ (−∞; ] (3.116) Ta có (3.116) tương đương với phương trình 2x2 − x = (3.117) Giải phương trình (3.117) ta nghiệm x = 0, x = Vậy phương trình (3.114) có tập nghiệm S = 0; Nhận xét 3.64 Hình (3.21) minh họa cho kết phương trình (3.114) Nhận xét 3.65 Từ phương trình (3.114) ta sáng tác số phương trình sau đây: Bài tập 3.55 Giải phương trình 2x2 + = 3x − − 3x Bài tập 3.56 Giải phương trình 2x2 − 8x + = √ Bài tập 3.57 Giải phương trình 8x2 − 8x + = − 3x Bài toán 3.30 Giải phương trình sau 3x2 − 12x + 18 = − 5x (3.118) Lời giải Điều kiện xác định phương trình (3.118) x ∈ (−∞; ] Ta có phương trình (3.118) tương đương với phương trình sau (x − 2)2 − =− −5 Xét hàm số f (x) = − 5x + 3 (x − 2)2 − −5 Hàm f có tập xác định R nên xác định (−∞; ] Ta có đạo hàm hàm f f (x) = − 6(x − 2) Dễ thấy f (x) > với x ∈ (−∞; ] Nên hàm số (x − 2)2 − f (x) = −5 62 (3.119) Do khoảng (−∞; ] hàm số đồng biến (−∞; ] f (x) = (x − 2)2 − −5 ln có hàm số ngược hàm số − 5x + g(x) = − Điều chứng tỏ phương trình (3.119) có hai vế hai hàm số ngược Hình 3.22: nên theo Định lý 2.1 nghiệm phương trình (3.119) nghiệm phương trình sau (x − 2)2 − = x, −5 x ∈ (−∞; ] (3.120) Ta có (3.120) tương đương với phương trình 3x2 − 7x + = (3.121) Do phương trình (3.121) vơ nghiệm nên phương trình (3.118) vơ nghiệm Nhận xét 3.66 Hình (3.22) minh họa cho kết phương trình (3.118) Bài tốn 3.31 Giải phương trình sau √ x2 − 4x + = − 3x 63 (3.122) Lời giải Điều kiện xác định phương trình (3.122) x ∈ (−∞; ] Ta có phương trình (3.122) tương đương với phương trình sau √ (x − 2)2 − = − − 3x + −3 Xét hàm số f (x) = (3.123) (x − 2)2 − −3 Hàm f có tập xác định R nên xác định (−∞; ] Ta có đạo hàm hàm f f (x) = − 2(x − 2) Dễ thấy f (x) > với x ∈ (−∞; ] Nên hàm số (x − 2)2 − f (x) = −3 ln đồng biến (−∞; ] Do hàm số (x − 2)2 − f (x) = −3 √ ln có hàm số ngược hàm số g(x) = − − 3x + (−∞; ] Điều chứng tỏ phương trình (3.123) có hai vế hai hàm số ngược Hình 3.23: nên theo Định lý 2.1 nghiệm phương trình (3.123) nghiệm phương trình sau (x − 2)2 − = x, −3 64 x ∈ (−∞; ] (3.124) Ta có (3.124) tương đương với phương trình x2 − x = (3.125) Giải phương trình (3.125) ta nghiệm x = 0, x = So sánh với điều kiện x ∈ (−∞; ], phương trình (3.122) có tập nghiệm S = {0; 1} Nhận xét 3.67 Hình (3.23) minh họa cho kết phương trình (3.122) Bài tốn 3.32 Giải phương trình sau 2x5 − 1 − 3x5 = − x5 x5 + (3.126) Lời giải Đặt t = x5 , từ phương trình (3.126) ta thu phương trình sau − 3t 2t − = (3.127) 3−t t+2 Xét hàm số f (t) = 2t − 3−t Hàm f t) có tập xác định D = R\ {3} Ta có f (t) = , suy f (t) > với t ∈ D (3 − t)2 Do theo Định lý 1.4, hàm số f (t) ln có hàm số ngược hàm số g(t) = − 3t t+2 Điều chứng tỏ phương trình (3.127) có hai vế hai hàm số ngược nhau, nên nghiệm phương trình (3.127) nghiệm phương trình sau 2t − = t 3−t (3.128) √ √ 1+ 1− Giải phương trình (3.128) ta nghiệm t1 = ; t2 = √ √ 5 1− 5 + Vậy phương trình (3.126) có tập nghiệm S = ; 2 Bài tốn 3.33 Giải phương trình sau x = − 2013(1 − 2013x2 )2 (3.129) Lời giải Từ phương trình (3.129) ta thấy x > khơng thể nghiệm phương trình (3.129) 65 Do để tìm nghiệm phương trình (3.129) ta cần xét với x ≤ Ta có (3.129) viết lại tương đương với hai phương trình sau  1−x , với điều kiện x ∈ − ;  − 2013x2 = 2013 2013     − 2013x2 = − − x , với điều kiện x ∈ −∞; − 2013 • Xét trường hợp x ∈ − ; 2013 2013 2013 ∪ ;1 2013 , ta có phương trình (3.129) tương 2013 đường với phương trình sau − 2013x2 = 1−x 2013 (3.130) Dễ thấy phương trình (3.130) có hai vế hai hàm số ngược nên nghiệm phương trình (3.130) nghiệm phương trình sau − 2013x2 = x (3.131) Giải phương trình (3.131) so sánh với điều kiện xét ta nghiệm √ x1 = • Xét trường hợp x ∈ −∞; − −1 − 8053 4026 2013 ; , ta có phương trình 2013 ∪ (3.129) tương đường với phương trình sau − 2013x2 = − 1−x 2013 (3.132) Dễ thấy phương trình (3.130) có hai vế hai hàm số ngược nên nghiệm phương trình (3.130) nghiệm phương trình sau − 2013x2 = x (3.133) Giải phương trình (3.131) so sánh với điều kiện xét ta nghiệm √ x2 = −1 + 8053 4026 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = 66 √ √ −1 + 8053 −1 − 8053 ; 4026 4026 Kết luận Sau thời gian học tập Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà nội, thầy cô giảng dạy đặc biệt hướng dẫn tận tình PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn, tơi hồn thành luận văn với đề tài "Phương pháp hàm số ngược để xây dựng phát triển phương trình đại số" Luận văn đạt số kết quả: Luận văn khai thức ứng dụng tính chất hàm số ngược vào xây dựng giải phương trình đại số chương trình tốn phổ thơng hiệu cho lời giải đẹp, tạo niềm đam mê tìm tịi sáng tạo học tập tốn học sinh Luận văn hệ thống hóa phân dạng dạng tổng quát phương trình đại số mà giải phương pháp hàm số ngược, đồng thời đưa 33 toán minh họa cho dạng toán tổng quát, từ giới thiệu 57 tập giúp ta có nhìn tồn diện phương pháp hàm số ngược, có tốn có mặt kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán thi tuyển sinh vào Đại học cao đẳng, số tốn xuất tạp chí Tốn học tuổi trẻ Vì luận văn làm tài liệu tham khảo cho đối tượng học sinh bậc trung học phổ thông Luận văn thể hướng nghiên cứu tìm tịi sáng tạo phương pháp để giải tốn phổ thơng 67 Tài liệu tham khảo [1] Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí (2010), Phương pháp giải tốn Đại số, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài (2006), Đại số 10, NXB Giáo Dục [3] Hoàng Kỳ (2002),Căn số Tốn vơ tỷ, NXB Giáo Dục [4] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Văn Tiến (2010), Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT, NXB Giáo dục Việt Nam [5] Trần Phương (2008), Tuyển tập chun đề luyện thi đại học mơn tốn - Hàm số, NXB Hà Nội [6] Đồn Quỳnh, Dỗn Minh Cường, Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng (2012), Tài liệu chuyên toán Bài tập Đại số 10, NXB Giáo Dục Việt Nam [7] Đồn Quỳnh, Dỗn Minh Cường, Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng (2012), Tài liệu chuyên toán Đại số 10, NXB Giáo Dục Việt Nam [8] Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất (2008), Giải tích 12, NXB Giáo Dục [9] Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Trần Văn Hạo, Đỗ Mạnh Hùng, Phạm Phu, Nguyễn Tiến Tài (2006), Bài tập Đại số 10, NXB Giáo Dục [10] Ban tổ chức kỳ thi (2012), Tổng tập Đề thi Olympic 30 tháng - Toán học 10, NXB Đại học Sư phạm [11] Ban tổ chức kỳ thi (2012), Tổng tập Đề thi Olympic 30 tháng - Toán học 11, NXB Đại học Sư phạm [12] Tạp chí tốn học tuổi trẻ, NXB Giáo Dục Việt Nam [13] Tài liệu từ Internet 68 ... Chương trình bày sở để vận dụng phương pháp hàm ngược vào xây dựng phương trình đưa số phương trình dạng tổng quát mà giải phương pháp hàm ngược 2.1 Cơ sở việc vận dụng phương pháp hàm ngược vào xây. .. Chương Xây dựng số phương trình đại số giải phương pháp hàm số ngược: Trong chương tác giả xây dựng sở việc áp dụng hàm số ngược vào giải toán, đồng thời xây dựng giải năm toán tổng quát phương trình. .. Các phương trình sau phương trình vơ tỷ √ Phương trình x − x − = Phương trình 7x2 + 7x = 4x + 28 √ Phương trình x3 − 3 + 3x = 13 Chương Xây dựng số phương trình đại số giải phương pháp hàm số ngược