ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Thị Kim Thanh PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH.Đặng Hùng Thắng i Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1.Các khái niệm 1.2.Toán tử ngẫu nhiên điểm bất động ngẫu nhiên Chương Các kết tồn điểm bất động lời giải phương trình toán tử ngẫu nhiên 11 2.1.Sự tồn điểm bất động ngẫu nhiên toán tử ngẫu nhiên 11 2.2.Phương trình tốn tử ngẫu nhiên 19 2.2.1 Phương trình tốn tử ngẫu nhiên 19 2.2.2 Phương trình tốn tử ngẫu nhiên có nhiễu 22 Chương Áp dụng phương pháp lặp để tìm điểm bất động giải phương trình tốn tử ngẫu nhiên 29 3.1.Quy trình lặp ngẫu nhiên ii 29 3.2.Sự hội tụ thuật toán lặp 31 3.3.Áp dụng phương pháp lặp để tìm điểm bất động giải phương trình tốn tử ngẫu nhiên 39 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 58 iii MỞ ĐẦU Định lí điểm bất động Banach ánh xạ co không gian mêtric đủ kết kinh điển Toán học Sau Banach, lý thuyết điểm bất động vấn đề thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà Tốn học giới từ có ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác như: Giải tích, Phương trình vi tích phân, Lý thuyết tối ưu, Các bao hàm thức vi phân, Vật lí, Việc nghiên cứu điểm bất động sở cho lý thuyết phương trình tốn tử ngẫu nhiên Các cơng trình điểm bất động cho ánh xạ co ngẫu nhiên O.Hans A.Spacek năm 1950 khởi đầu cho hướng nghiên cứu Các viết đặc sắc A T Bharucha Ried năm 1976 thực bước tiến nhảy vọt cho mảng lý thuyết phương trình tốn tử ngẫu nhiên Ngày nay, phương trình tốn tử ngẫu nhiên trở thành trung tâm nghiên cứu Giải tích phi tuyến Lý thuyết xác suất Đến nay, giới có nhiều cơng trình nghiên cứu phong phú phương trình tốn tử ngẫu nhiên cho nhiều kiểu toán tử nhiều loại khơng gian khác nhau, từ cho thấy tồn điểm bất động ngẫu nhiên toán tử đơn trị đa trị Với mong muốn tìm hiểu cách chi tiết hệ thống hướng lý thuyết này, lựa chọn đề tài: Phương trình tốn tử ngẫu nhiên hướng dẫn GS TSKH Đặng Hùng Thắng Luận văn gồm chương Chương 1: trình bày kiến thức chuẩn bị bao gồm khái niệm sử dụng số kết không chứng minh khác Chương 2: trình bày kết tồn điểm bất động giải phương trình tốn tử ngẫu nhiên Ở đây, nghiên cứu nghiệm phương trình tốn tử ngẫu nhiên tổng qt phương trình tốn tử ngẫu nhiên có nhiễu khơng gian Banach tách Chương 3: trình bày phương pháp lặp để tìm điểm bất động giải phương trình tốn tử ngẫu nhiên Chúng giới thiệu hai sơ đồ lặp tổng qt để giải phương trình tốn tử ngẫu nhiên, sơ đồ lặp Mann sơ đồ lặp Ishikawa Sau đó, chúng tơi trình bày điều kiện cần đủ cho hội tụ sơ đồ lặp ngẫu nhiên để tìm điểm bất động phương trình tốn tử tiệm cận tựa - khơng giãn khơng gian Banach Từ lý thuyết trên, nghiên cứu mối quan hệ điểm bất động ngẫu nhiên(ở dãy lặp xây dựng hội tụ điểm bất động ngẫu nhiên) nghiệm phương trình tốn tử ngẫu nhiên Luận văn hoàn thành hướng dẫn GS TSKH Đặng Hùng Thắng Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc chân thành tới GS TSKH Đặng Hùng Thắng, Thầy quan tâm hướng dẫn động viên tơi q trình tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học tự nhiên quan tâm tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu trường Tôi xin chân thành cảm ơn thành viên seminar Toán tử ngẫu nhiên GS TSKH Đặng Hùng Thắng chủ trì giúp tơi nhiều kinh nghiệm học tập nghiên cứu khoa hoc Tôi xin gửi lời cảm ơn đến cấp lãnh đạo, đồng nghiệp trường ĐH Kinh tế - Kỹ thuật cơng nghiệp, gia đình người thân tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn Cuối cùng, tơi mong nhận ý kiến đóng góp q báu thầy, cô giáo bạn học viên để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 02 tháng 12 năm 2011 Tác giả Trần Thị Kim Thanh Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trích dẫn khái niệm số kết (không chứng minh) không gian Banach mà sử dụng chương sau 1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω tập khác ∅ gọi không gian mẫu Gọi A σ - đại số tập Ω Mỗi phần tử σ đại số A gọi tập đo Bộ hai (Ω, A) gọi không gian đo Ánh xạ P : A → [0, 1] gọi độ đo xác suất thỏa mãn P(∅) = 0, P(Ω) = P( với An ∈ A cho An ∞ n=1 An ) = ∞ n=1 P(An ) Am = ∅, m = n Với A ∈ A, P(A) gọi xác suất tập A Bộ ba (Ω, A, P) gọi không gian xác suất Định nghĩa 1.1.2 Không gian Banach X gọi thỏa mãn điều kiện Opial dãy {xn } X hội tụ yếu đến x ∈ X x = y thì: lim inf n xn − y > lim inf n xn − x Định nghĩa 1.1.3 Không gian Banach X gọi lồi δX (ε) > 0, ∀ε > đó: δX (ε) = inf {1 − x+y : x = y = 1, x − y = ε} gọi môđun lồi không gian X Chúng ta cần bổ đề sau để tính chất đặc trưng không gian Banach lồi Bổ đề 1.1.4 Cho p > r > hai số thực cố định, không gian Banach X gọi lồi tồn hàm lồi, tăng chặt, liên tục g: [0, ∞) → [0, ∞) với g(0) = cho ∀x, y ∈ B(0, r), λ ∈ [0, 1] wp (λ) = λ · (1 − λ)p + λp · (1 − λ) : λx + (1 − λ)y p ≤λ x p +(1 − λ) y p −wp (λ)g( x − y ) Bổ đề 1.1.5 Giả thiết X không gian Banach lồi đều, < p ≤ λn ≤ q < 1∀n = 1, 2, · · · {xn }, {yn } hai dãy không gian X cho r ≥ 0: lim supn→∞ xn ≤ r; lim supn→∞ yn ≤ r; limn→∞ limn→∞ λn xn + (1 − λn )yn = r; xn − y n = Bổ đề 1.1.6 Cho dãy số không âm {αn }, {βn } {γn } thoả mãn: αn+1 ≤ (1 + γn )αn + βn ∀n = 1, 2, 3, ∞ n=1 ∞, ∞ n=1 βn < γn < ∞ 1) Tồn limn→∞ αn 2) Hơn lim inf n→∞ αn = limn→∞ αn = 1.2 Tốn tử ngẫu nhiên điểm bất động ngẫu nhiên Cho F tập khác ∅ không gian Banach tách X Định nghĩa 1.2.1 Ánh xạ T : Ω × F → F gọi tốn tử ngẫu nhiên x ∈ F , T( , x) đo Ánh xạ T : Ω × F → F gọi toán tử liên tục ∀ω ∈ Ω, ánh xạ T (ω, ) : F → F liên tục Ký hiệu n lần lặp lại T: T (ω, T (ω, T (ω, , T (ω, x))) T n (ω, x), ánh xạ ngẫu nhiên I : Ω × F → F xác định I(x, ω) = x T = I Định nghĩa 1.2.2 Toán tử ngẫu nhiên T : Ω × F → F gọi a) toán tử ngẫu nhiên k(ω) - co ∀x, y ∈ F ω ∈ Ω ta có T (ω, x) − T (ω, y) ≤ k(ω) x−y k : Ω → [0, 1] ánh xạ đo Nếu k(ω) = 1∀ω ∈ Ω T gọi tốn tử ngẫu nhiên khơng giãn b) toán tử ngẫu nhiên co ∀x, y ∈ F ω ∈ Ω ta có T (ω, x) − T (ω, y) < x − y c) toán tử ngẫu nhiên giãn ∀x, y ∈ F x = y ta có T (ω, x) − T (ω, y) > x − y với ω ∈ Ω d) toán tử ngẫu nhiên tựa - không giãn G(ω) = {x ∈ F : x = T (ω, x)} = ∅, ω ∈ Ω, x ∈ F, y ∈ G(ω), ta có T (ω, x) − y ≤ x − y với ω ∈ Ω e) toán tử ngẫu nhiên tiệm cận co ∃x0 ∈ F lim x →∞ supx∈F T (ω,x)−T (ω,x0 ) x−x0 < f) toán tử ngẫu nhiên tiệm cận không giãn ∃{kn }(phụ thuộc ω) [1, ∞) với limn→∞ kn = n ∈ N cho ∀x, y ∈ F, ∀ω ∈ Ω T n (ω, x) − T n (ω, y) ≤ kn x−y Lấy kn = n = ta có khái niệm tốn tử ngẫu nhiên khơng giãn g) tốn tử ngẫu nhiên tiệm cận tựa - không giãn với ω ∈ Ω : G(ω) = {x ∈ F : x = T (ω, x)} = ∅ ∃{kn } (phụ thuộc ω) [0, ∞) với limn→∞ kn = n ∈ N cho x ∈ F y ∈ G(ω) T n (ω, x) − y ≤ (1 + kn ) x−y ∀ω ∈ Ω h) toán tử ngẫu nhiên liên tục đủ dãy {xn } F hội tụ yếu đến x0 kéo theo {T (ω, xn )} hội tụ mạnh tới T (ω, x0 ) với ω ∈ Ω = limn→∞ αn (ξn (ω) − ξ(ω)) + βn (T n (ω, ηn (ω)) − ξ(ω)) + + γn (ρn (ω) − ξ(ω)) γn (ρn (ω) − 2αn γn −ξ(ω))]+βn T n (ω, ηn (ω))−ξ(ω))+ 2β (ρn (ω)−ξ(ω)) n = limn→∞ αn [ξn (ω) − ξ(ω) + = limn→∞ ξn (ω) − ξ(ω) Từ Bổ đề 1.1.5, ta có với ω ∈ Ω, limn→∞ γn γn ξn (ω) − T n (ω, ηn (ω)) + ( 2α − 2β )(ρn (ω) − ξ(ω)) = n n Nhưng với ω ∈ Ω γn ( 2α − n limn→∞ γn )(ρn (ω) 2βn − ξ(ω)) = nên ta có ξn (ω) − T n (ω, ηn (ω)) = (14) limn→∞ Vì F compăc nên với n, định nghĩa Gn : Ω → C(F ) xác định Gn (ω) = cl{ξi (ω) : i ≥ n} cl bao đóng Gọi G : Ω → C(F ) với G(ω) = ∞ n=1 Gn (ω) Do G đo có lát cắt đo p Giả sử tồn dãy {ξnj (ω)} dãy {ξn (ω)} cho: ξnj (ω) → p(ω), với ω ∈ Ω (15) Ta có ξnj +1 (ω) − ξnj (ω) = αnj ξnj (ω) + βnj T nj (ω, ηnj (ω)) + γnj ρnj (ω) − ξnj (ω) ≤ βnj T nj (ω, ηnj (ω))−ξnj (ω) +γnj ρnj (ω)−ξnj (ω) −→ nj → ∞ Lại có ηn (ω) − ξn (ω) = α¯n ξn (ω) + β¯n T n (ω, ξn (ω)) + γ¯n ζn (ω) − ξn (ω) 46 ≤ β¯n T n (ω, ξn (ω)) − ξn (ω) +γ¯n ζn (ω) − ξn (ω) −→ n → ∞ Từ (14) (15) ta có T nj (ω, ηnj (ω)) −→ p(ω) với ω ∈ Ω, nj → ∞ Ta xét T (ω, p(ω)) − p(ω) = ≤ p(ω) − T nj +1 (ω, ηnj +1 (ω)) −T nj +1 (ω, ξnj +1 (ω)) + + T nj +1 (ω, ηnj +1 (ω)) T nj +1 (ω, ξnj +1 (ω))−T nj +1 (ω, ξnj (ω)) + T nj +1 (ω, ξnj (ω)) − T nj +1 (ω, ηnj (ω)) T (ω, p(ω)) − + T nj +1 (ω, ηnj (ω)) ≤ p(ω) − T nj +1 (ω, ηnj +1 (ω)) + L ξnj +1 (ω) − ξnj (ω) α +L ηnj +1 (ω) − ξnj +1 (ω) + L ξnj (ω) − ηnj (ω) + T nj +1 (ω, ηnj (ω)) − T (ω, p(ω)) α α α với ω ∈ Ω Do T (ω, p(ω)) = p(ω) với ω ∈ Ω Từ Chú ý 3.3.2 suy {ξn } hội tụ đến điểm bất động p(ω) T Chú ý 3.3.4 Lấy dãy {γn }, {γ¯n } [0, 1] sau: γn = γ¯n = thay T T n , ta thu quy trình lặp Ishikawa cho tốn tử ngẫu nhiên tiệm cận tựa - khơng giãn Định lí 3.3.5 Cho F tập khác ∅, compăc yếu lồi không gian Banach tách X T : Ω × F → F tốn tử ngẫu nhiên tiệm cận tựa - không giãn liên tục với Σ∞ n=1 kn < ∞ (I − T )(ω, ·) nửa đóng Gọi ξ0 biến ngẫu nhiên F - giá trị Dãy biến ngẫu nhiên {ξn }, {ηn } định nghĩa sau 47 ξn+1 (ω) = αn ξn (ω) + βn T n (ω, ηn (ω)) ηn (ω) = α¯n ξn (ω) + β¯n T n (ω, ξn (ω)) với dãy số {αn }, {βn }, {α¯n }, {β¯n } ∈ [0, 1] thỏa mãn αn + βn = α¯n + β¯n = 1, với n = 1, 2, · · · Nếu với ω ∈ Ω, limn→∞ ξn (ω) − T (ω, ξn (ω)) = ∃Lω > cho: T (ω, ξn (ω))−T (ω, ξn (ω)) ≥ Lω dist(ξn (ω), {ξ(ω) : ξ ∈ RF (T )}) limn→∞ ξn (ω) − η(ω) = với η ∈ RF (T ) Chứng minh Vì RF (T ) = ∅ nên ξn (ω)−T (ω, ξn (ω)) ≥ Lω dist(ξn (ω), {ξ(ω) : ξ ∈ RF (T )}) T (ω, ξn (ω)) → ξn (ω) với ω ∈ Ω nên limn→∞ dist(ξn (ω), {ξ(ω) : ξ ∈ RF (T )}) = với ω ∈ Ω Áp dụng Định lý 3.3.3 Chú ý 3.3.4 ta có limn→∞ ξn (ω) − η(ω) = với η ∈ RF (T ) Bây giờ, ta khảo sát hội tụ thuật toán lặp (quy trình lặp ba bước) để tìm điểm bất động ngẫu nhiên toán tử ngẫu nhiên tiệm cận khơng giãn Định lí 3.3.6 Cho X khơng gian Banach lồi đều, tách F tập khác ∅, compăc lồi không gian Banach tách X Cho T : Ω × F → F tốn tử ngẫu nhiên tiệm cận khơng giãn liên tục với dãy ánh xạ đo kn : Ω → [1, ∞] thỏa mãnΣ∞ n=1 (kn (ω) − 1) < ∞ với ω ∈ Ω Dãy số thực {αn }, {βn }, {γn } [0, 1] Gọi ξ0 biến ngẫu nhiên F - giá trị Dãy biến ngẫu nhiên {ξn }, {ηn }, {ζn } xác định 48 sau: ζn (ω) = γn T n (ω, ξn (ω)) + (1 − γn )ξn (ω) ηn (ω) = βn T n (ω, ζn (ω)) + (1 − βn )ξn (ω) ξn+1 (ω) = αn T n (ω, ηn (ω)) + (1 − αn )ξn (ω) với ω ∈ Ω, n = 1, 2, Nếu < lim infn αn ≤ lim supn αn < với ω ∈ Ω limn→∞ T n (ω, ηn (ω)) − ξn (ω) = Chứng minh Từ Định lý 1.2.10 ⇒ tồn điểm bất động ngẫu nhiên T Gọi ξ : Ω → F điểm bất động Vì F bị chặn nên chọn số r > cho F ⊆ B(0, r) Với số thực p > 1, dùng Bổ đề 1.1.4 ta có bất đẳng thức sau ζn (ω) − ξ(ω) p = γn T n (ω, ξn (ω)) + (1 − γn )ξn (ω) − ξ(ω) p = γn (T n (ω, ξn (ω)) − ξ(ω)) + (1 − γn )(ξn (ω) − ξ(ω)) ≤ γn T n (ω, ξn (ω)) − T n (ω, ξ(ω)) p +(1 − γn ) p ξn (ω) − ξ(ω) p ξn (ω) − ξ(ω) p − wp (γn )g( T n (ω, ξn (ω)) − ξn (ω) ) ≤ γn T n (ω, ξn (ω)) − T n (ω, ξ(ω)) ≤ γn (kn (ω))p p ξn (ω) − ξ(ω) ≤ (1 + γn (kn (ω))p − γn ) p +(1 − γn ) +(1 − γn ) ξn (ω) − ξ(ω) p ξn (ω) − ξ(ω) p Ta có ηn (ω) − ξ(ω) p = βn T n (ω, ζn (ω)) + (1 − βn )ξn (ω) − ξ(ω) = βn (T n (ω, ζn (ω)) − ξ(ω)) + (1 − βn )(ξn (ω) − ξ(ω)) ≤ βn T n (ω, ζn (ω)) − ξ(ω) p +(1 − βn ) − wp (βn )g( T n (ω, ζn (ω)) − ξn (ω) ) 49 p ξn (ω) − ξ(ω) p p ≤ βn (kn (ω))p p ζn (ω) − ξ(ω) +(1 − βn ) ξn (ω) − ξ(ω) p − wp (βn )g( T n (ω, ζn (ω)) − ξn (ω) ) Do p ξn+1 (ω) − ξ(ω) = αn T n (ω, ηn (ω)) + (1 − αn )(ξn (ω) − ξ(ω)) = p αn (T n (ω, ηn (ω) − ξ(ω)) + (1 − αn )(ξn (ω) − ξ(ω)) ≤ αn T n (ω, ηn (ω)) − ξ(ω) p +(1 − αn ) p ξn (ω) − ξ(ω) p − wp (αn )g( T n (ω, ηn (ω)) − ξn (ω) ) ≤ αn (kn (ω))p [βn (kn (ω))p ζn (ω)) − ξ(ω) p + (1 − βn ) ξn (ω) − ξ(ω) p −wp (βn )g( T n (ω, ζn (ω)) − ξn (ω) )] + (1 − αn ) ξn (ω) − ξ(ω) p −wp (αn )g( T n (ω, ηn (ω)) − ξn (ω) ) ≤ αn (kn (ω))p βn (kn (ω))p (1 + γn (kn (ω))p − γn ) + αn (kn (ω))p (1 − βn ) ξn (ω) − ξ(ω) T n (ω, ζn (ω)) − ξn (ω) ) + (1 − αn ) p ξn (ω) − ξ(ω) p −αn (kn (ω))p wp (βn )g( ξn (ω) − ξ(ω) p −wp (αn )g( T n (ω, ηn (ω)) − ξn (ω) ) = ξn (ω)−ξ(ω) − 1) p +[αn βn γn ((kn (ω))p )2 +αn βn (kn (ω))p +αn ]((kn (ω))p ξn (ω) − ξ(ω) p −αn wp (βn )g( T n (ω, ζn (ω)) − ξn (ω) ) − wp (αn )g( T n (ω, ηn (ω)) − ξn (ω) )(16) Từ hội tụ dãy {kn (ω)} với ω ∈ Ω tính bị chặn F kéo theo ∃M > cho (((kn (ω))p )2 + ((kn (ω))p + 1) ξn (ω) − ξ(ω) p ≤M Vì ta có wp (αn )g( T n (ω, ηn (ω)) − ξn (ω) ) ≤ ξn (ω) − ξ(ω) p − ξn+1 (ω) − ξ(ω) 50 p +M ((kn (ω))p − 1) (17) Lại có αn wp (βn )g( T n (ω, ζn (ω)) − ξn (ω) ) p ≤ ξn (ω) − ξ(ω) − ξn+1 (ω) − ξ(ω) p +M ((kn (ω))p − 1) (18) Vì < lim infn αn ≤ lim supn αn < nên ta tìm số thực δ > số nguyên N0 cho αn (1 − αn )p + αnp (1 − αn ) ≥ δ > với n > N0 , mà wp (αn ) ≥ δ > Từ (17), ta thu n Σm n=N0 g( T (ω, ηn (ω)) − ξn (ω) ) n ≤ Σm n=N0 wp (αn )g( T (ω, ηn (ω)) − ξn (ω) ) ≤ ξN0 (ω) − ξ(ω) p − ξm+1 (ω) − ξ(ω) p p + M Σm n=N0 ((kn (ω)) − 1) ∀m ≥ N0 (19) Áp dụng định lý giá trị trung bình Lagrange, ta có cơng thức sau: − ≤ ptp−1 (t − 1) với t ≥ (20) Vì Σ∞ n=1 (kn (ω) − 1) < ∞ nên áp dụng (20) ta có p Σ∞ n=1 ((kn (ω)) − 1) < ∞ với ω ∈ Ω n Từ (18) ta có Σ∞ n=N0 g( T (ω, ηn (ω)) − ξn (ω) ) < ∞ m → ∞ nên limn→∞ g( T n (ω, ηn (ω)) − ξn (ω) ) = với ω ∈ Ω Vì g tăng chặt liên tục với g(0) = nên limn→∞ T n (ω, ηn (ω)) − ξn (ω) = với ω ∈ Ω Chú ý 3.3.7 Nếu ta chọn dãy số thực {αn }, {βn } cho < lim infn βn ≤ lim supn βn < lim infn αn > dùng đối số giống (16) ta thu limn→∞ T n (ω, ζn (ω)) − ξn (ω) = với ω ∈ Ω Định lí 3.3.8 Cho F tập khác ∅, compăc, bị chặn lồi không gian Banach lồi đều, tách X Gọi T : Ω × F → F 51 tốn tử ngẫu nhiên tiệm cận khơng giãn liên tục đủ với dãy ánh xạ đo kn : Ω → [1, ∞] thỏa mãnΣ∞ n=1 (kn (ω) − 1) < ∞ với ω ∈ Ω Gọi ξ0 biến ngẫu nhiên F - giá trị Dãy biến ngẫu nhiên {ξn }, {ηn }, {ζn } xác định sau: ζn (ω) = γn T n (ω, ξn (ω)) + (1 − γn )ξn (ω) ηn (ω) = βn T n (ω, ζn (ω)) + (1 − βn )ξn (ω) ξn+1 (ω) = αn T n (ω, ηn (ω)) + (1 − αn )ξn (ω) với ω ∈ Ω, n = 1, 2, dãy số thực {αn }, {βn }, {γn } [0, 1] thỏa mãn < lim infn αn ≤ lim supn αn < < lim infn βn ≤ lim supn βn < Khi đó, dãy {ξn }, {ηn }, {ζn } hội tụ đến điểm bất động ngẫu nhiên T Chứng minh Gọi ξ : Ω → F điểm bất động ngẫu nhiên T Từ (17) ta có ξn+1 (ω) − ξ(ω) p ≤ ξn (ω) − ξ(ω) p +M ((kn (ω))p − 1) Theo (20) Σ∞ n=1 (kn (ω) − 1) < ∞ ta lại p có Σ∞ n=1 ((kn (ω)) − 1) < ∞ với ω ∈ Ω Do ∃ limn→∞ ξn (ω) − ξ(ω) Áp dụng định lý 3.2.7 ta có với ω ∈ Ω + limn→∞ T n (ω, ζn (ω)) − ξn (ω) = + limn→∞ T n (ω, ηn (ω)) − ξn (ω) = Ta xét T n (ω, ξn (ω)) − ξn (ω) ≤ kn (ω) ≤ kn (ω)βn ξn (ω) − ηn (ω) + T n (ω, ηn (ω)) − ξn (ω) T n (ω, ζn (ω))−ξn (ω) + T n (ω, ηn (ω))−ξn (ω) → n → ∞ Do 52 ξn+1 (ω) − T n (ω, ξn+1 (ω)) ≤ ξn+1 (ω) − ξn (ω) ≤ ξn+1 (ω) − ξn (ω) + T n (ω, ξn+1 (ω)) − T n (ω, ξn (ω)) + T n (ω, ξn (ω)) − ξn (ω) + ≤ αn (1 + kn (ω)) ξn+1 (ω) − ξn (ω) +kn (ω) T n (ω, ξn (ω)) − ξn (ω) T n (ω, ηn (ω)) − ξn (ω) + T n (ω, ξn (ω)) − ξn (ω) −→ n → ∞ Ta có ξn+1 (ω) − T (ω, ξn+1 (ω)) ≤ ξn+1 (ω) − T n+1 (ω, ξn+1 (ω)) + T (ω, ξn+1 (ω)) − T n+1 (ω, ξn+1 (ω)) ≤ ξn+1 (ω) − T n+1 (ω, ξn+1 (ω)) ξn+1 (ω) − T n (ω, ξn+1 (ω)) + k1 (ω) −→ n → ∞ Do limn→∞ T (ω, ξn (ω)) − ξn (ω) = với ω ∈ Ω (21) Vì T tốn tử ngẫu nhiên liên tục đủ {ξn (ω)} dãy bị chặn nên tồn dãy {ξnk (ω)}sao cho {T (ω, ξnk (ω))} hội tụ với ω ∈ Ω Kết hợp với (21) suy {ξnk (ω)}hội tụ, giả sử ξnk (ω) → q(ω) Từ tính liên tục T suy T (ω, q(ω)) = q(ω) với mỗiω ∈ Ω Dãy q : Ω → F giới hạn điểm dãy ánh xạ {ξn (ω)} đo nên đo được, q điểm bất động T Vì ∃ limn→∞ ξn (ω) − q(ω) limn→∞ 53 ξnk (ω) − q(ω) = với ω ∈ Ω nên limn→∞ ξn (ω) − q(ω) = Lại có ηn (ω) − ξn (ω) = βn T n (ω, ζn (ω)) − ξn (ω) −→ 0; ζn (ω) − ξn (ω) = γn T n (ω, ξn (ω)) − ξn (ω) −→ n → ∞ Do đó: limn→∞ ηn (ω) = q(ω) limn→∞ ζn (ω) = q(ω) với ω ∈ Ω Định lí 3.3.9 Cho F tập khác ∅, compăc lồi không gian Banach lồi đều, tách X Gọi T : Ω × F → F tốn tử ngẫu nhiên tiệm cận khơng giãn liên tục đủ với dãy ánh xạ đo kn : Ω → [1, ∞] thỏa mãnΣ∞ n=1 (kn (ω) − 1) < ∞ với ω ∈ Ω Gọi ξ0 biến ngẫu nhiên F - giá trị Dãy biến ngẫu nhiên {ξn }, {ηn } xác định sau: ηn (ω) = βn T n (ω, ξn (ω)) + (1 − βn )ξn (ω) ξn+1 (ω) = αn T n (ω, ηn (ω)) + (1 − αn )ξn (ω) với ω ∈ Ω, n = 1, 2, · · · dãy số thực {αn }, {βn }, {γn } [0, 1] thỏa mãn < lim infn αn ≤ lim supn αn < lim supn βn < Khi đó, dãy {ξn } {ηn } hội tụ đến điểm bất động ngẫu nhiên T Chứng minh Từ Định lý 3.2.6 suy T n (ω, ηn (ω))−ξn (ω) = với ω ∈ Ω Ta có ξn (ω) − ηn (ω) = βn (T n (ω, ξn (ω)) − ξn (ω)) ≤ βn [ T n (ω, ξn (ω)) − T n (ω, ηn (ω)) + ≤ βn [kn (ω) T n (ω, ηn (ω)) − ηn (ω) ] ξn (ω) − ηn (ω) + 54 T n (ω, ηn (ω)) − ηn (ω) Do (1 − βn kn (ω)) ξn (ω) − ηn (ω) ≤ βn T n (ω, ηn (ω)) − ηn (ω) Vì limn→∞ kn (ω) = lim supn βn < nên limn→∞ ξn (ω) − ηn (ω) = Lại có T n (ω, ξn (ω)) − ξn (ω) ≤ T n (ω, ξn (ω)) − T n (ω, ηn (ω)) ≤ kn (ω) ξn (ω) − ηn (ω) suy limn→∞ + + T n (ω, ηn (ω)) − ξn (ω) T n (ω, ηn (ω)) − ξn (ω) T n (ω, ξn (ω))−ξn (ω) = với ω ∈ Ω Tương tự Định lý 3.2.7, ta có: limn→∞ ηn (ω) = q(ω) limn→∞ ζn (ω) = q(ω) với ω ∈ Ω q điểm bất động T Chú ý 3.3.10 Cho βn = 0, Định lý 3.3.6 rút gọn hội tụ quy trình Mann sau: Cho F tập khác ∅, bị chặn lồi đóng khơng gian Banach lồi đều, tách X Gọi T : Ω × F → F tốn tử ngẫu nhiên tiệm cận khơng giãn liên tục đủ với dãy ánh xạ đo kn : Ω → [1, ∞] thỏa mãn Σ∞ n=1 (kn (ω) − 1) < ∞ với ω ∈ Ω Gọi ξ0 biến ngẫu nhiên F - giá trị Dãy biến ngẫu nhiên {ξn } xác định sau ξn+1 (ω) = αn T n (ω, ξn (ω)) + (1 − αn )ξn (ω) với ω ∈ Ω, n = 1, 2, · · · dãy số thực {αn } [0, 1] thỏa mãn < lim infn αn ≤ lim supn αn < Khi đó, dãy {ξn } hội tụ đến điểm bất động ngẫu nhiên T Trong trường hợp dãy lặp hội tụ đến nghiệm phương 55 trình tốn tử ngẫu nhiên, ta thấy mối quan hệ tìm điểm bất động ngẫu nhiên giải phương trình tốn tử ngẫu nhiên Trước hết, ta nghiên cứu định lý sau Định lí 3.3.11 Cho X khơng gian Hilbert tách T ánh xạ ngẫu nhiên liên tục X, đơn điệu mạnh tồn biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực dương m(ω) cho ∀x1 , x2 ∈ X ta có T (ω, x1 ) − T (ω, x2 ), x1 − x2 ≥ m(ω) x1 − x2 T toán tử ngẫu nhiên Lipschitz tức tồn biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực dương M (ω) cho ∀x1 , x2 ∈ X ta có T (ω, x1 ) − T (ω, x2 ) ≤ M (ω) x1 − x2 Khi đó, dãy biến ngẫu {xn } xác định xn+1 = xn −α[T (ω, xn )− η] hội tụ đến nghiệm phương trình ngẫu nhiên T (ω, x) = η(ω) (22) với x0 (ω) biến ngẫu nhiên X - giá trị, η ∈ LX (Ω) α biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực cho < α(ω) < 2m(ω) M (ω) Chứng minh Sự tồn nghiệm phương trình ngẫu nhiên (22) suy từ Định lý 2.2.4 Ta định nghĩa ánh xạ ngẫu nhiên Tα (ω, x) = x − α[T (ω, x) − η(ω)] Khi Tα (ω, x1 ) − Tα (ω, x2 ) = x1 − x2 − α[T (ω, x1 ) − Tα (ω, x2 )] −Tα (ω, x1 ) − Tα (ω, x2 ) = x1 − x2 2 = −2α T (ω, x1 ) − T (ω, x2 ), x1 − x2 + α2 −T (ω, x1 ) − T (ω, x2 ) ≤ [1 − 2αm(ω) + α2 M (ω)] x1 − x 56 2 = k (ω) x1 − x2 với k (ω) = − 2αm(ω) + α2 M (ω) Vì < α(ω) < 2m(ω) M (ω) nên k(ω) < Vì Tα tốn tử ngẫu nhiên co nên Tα có điểm bất động ngẫu nhiên ξ dãy biến ngẫu nhiên {xn (ω)} xác định xn+1 (ω) = Tα (ω, xn (ω)) = xn (ω)−α(ω)[T (ω, xn (ω))− η(ω)]hội tụ đến ξ x0 (ω) biến ngẫu nhiên X - giá trị tùy ý Từ đẳng thức Tα (ω, ξ(ω) = ξ(ω) ta có T (ω, ξ(ω)) = η(ω) điều ξ(ω) nghiệm phương trình T (ω, x) = η(ω) Nhận xét Xét phương trình tốn tử ngẫu nhiên T (ω, ξ(ω)) = η(ω) (*) Ta đặt Φ(ω, x) = x − T (ω, x) − η(ω) Với ξ nghiệm phương trình (*), ta có Φ(ω, ξ(ω)) = ξ(ω) − T (ω, ξ(ω)) − η(ω) Do Φ(ω, ξ(ω)) = ξ(ω) hay ξ điểm bất động ngẫu nhiên tốn tử Φ Vậy ta đưa việc giải phương trình tốn tử ngẫu nhiên T (ω, x) = η(ω) tìm điểm bất động ngẫu nhiên tốn tử ngẫu nhiên Φ(ω, x) = x − T (ω, x) − η(ω) 57 KẾT LUẬN Luận văn "Phương trình tốn tử" tơi trình bày kết sau: •Nghiên cứu điều kiện tồn điểm bất động ngẫu nhiên tốn tử ngẫu nhiên •Đưa điều kiện đủ để phương trình tốn tử ngẫu nhiên có nghiệm •Nghiên cứu thuật tốn (Phương pháp lặp) để tìm điểm bất động giải phương trình tốn tử ngẫu nhiên Từ kết đó, hướng nghiên cứu phát triển sau: •Đưa điều kiện đảm bảo toán tử ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên, áp dụng cho nhiều loại tốn tử nhiều khơng gian khác •Tìm kiếm ứng dụng lý thuyết điểm bất động ngẫu nhiên phương trình tốn tử ngẫu nhiên Cuối cùng, mong nhận ý kiến đóng góp q báu thầy, giáo bạn học viên để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 02 tháng 12 năm 2011 Tác giả Trần Thị Kim Thanh 58 Tài liệu tham khảo TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004), "Cơ sở lý thuyết xác suất.", Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Đặng Hùng Thắng (2006), "Quá trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên.", Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Duy Tiến (2001), "Các mơ hình xác suất ứng dụng phần III: Giải tích ngẫu nhiên.", Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Duy Tiến, Đặng Hùng Thắng (2001), "Các mơ hình xác suất ứng dụng phần II: Quá trình dừng ứng dụng.", Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Việt Yên (2000), "Lý thuyết xác suất.", Nhà xuất Giáo dục 59 TIẾNG ANH [6] Abbas M (2005), "Solution of random operator equations and inclusions.", Ph.D thesis, National College of Business Administration and Economics, Parkistan [7] Anh T.N (2010), "Random fixed points of probabilistic contractions and applications to random equations.", Vietnam J Math 38(2), pp 227- 235 [8] Anh T.N (2010), "Common random fixed points of random equations.", Submitted [9] Anh T.N cations to (2011), "Random general random equations fixed point and appli- theorems.", New Zealand J Math [10] Beg I., Abbas M (2004), "Iterative procedures for solutions of random operator equations in Banach spaces.", J Math.Anal Appl , pp.1- 21 [11] Bharucha Reid A T (1976), "Fixed point theorems in probabilistic analysis.", Bull Amer Math Soc 82(5), pp 641657 [12] Thang D.H, Anh T.N (2009), "Some Results on random equations.", Vietnam J Math 38(1), pp 35- 44 60 ... 1.2 .Toán tử ngẫu nhiên điểm bất động ngẫu nhiên Chương Các kết tồn điểm bất động lời giải phương trình tốn tử ngẫu nhiên 11 2.1.Sự tồn điểm bất động ngẫu nhiên toán tử ngẫu nhiên ... giải phương trình tốn tử ngẫu nhiên Ở đây, chúng tơi nghiên cứu nghiệm phương trình tốn tử ngẫu nhiên tổng qt phương trình tốn tử ngẫu nhiên có nhiễu khơng gian Banach tách Chương 3: trình bày phương. .. tốn tử ngẫu nhiên liên tục nên T (ω, ξ(ω)) = ξ(ω) hay ξ điểm bất động ngẫu nhiên T 2.2 Phương trình tốn tử ngẫu nhiên Mục này, đưa số điều kiện đủ để phương trình tốn tử ngẫu nhiên phương trình