1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ THỊ THÚY NGỌC PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ CHẬM Chun ngành : TỐN HỌC TÍNH TỐN Mã số : 60 46 30 Người hướng dẫn : PGS TS VŨ HOÀNG LINH HÀ NỘI - 2012 Mục lục Lời nói đầu Giới thiệu 1.1 Một vài ví dụ so sánh phương trình vi phân có chậm phương trình vi phân thường 1.2 Phương pháp số giải phương trình vi phân thường 1.2.1 Các khái niệm 1.2.2 Một số phương pháp số tiêu biểu giải phương trình vi phân thường 1.3 Nghiệm số phương trình vi phân có chậm: Phương pháp cho phương trình vi phân thường liệu có đủ hay không? 1.3.1 Sự thất bại cấp xác phương pháp 1.3.2 Sự thất bại tính ổn định 1.3.3 Một phương pháp tốt cho PTVPCC Sự tồn tính qui nghiệm phương trình vi phân có chậm 2.1 Vị trí điểm gián đoạn trơn dần nghiệm 2.1.1 Các điểm gián đoạn gốc thứ cấp 2.1.2 Chậm triệt tiêu không triệt tiêu 2.1.3 Chậm bị chặn không bị chặn 2.2 Sự tồn tính nghiệm 12 12 14 17 18 20 25 27 27 28 31 32 35 Các phương pháp cho phương trình vi phân có chậm 37 3.1 Hướng tiếp cận 38 3.2 Các kết sơ phương pháp số giải PTVP với đầu liên tục 40 3.3 Hướng tiếp cận thông thường thông qua phương pháp số giải PTVP với đầu liên tục 47 Sự hội tụ phương pháp số giải PTVP với đầu liên tục 50 4.1 PTVPCC với chậm số chậm phụ thuộc thời gian không triệt tiêu 51 4.2 PTVPCC với chậm phụ thuộc thời gian tuỳ ý 59 Kết luận 67 Tài liệu tham khảo 69 Phụ lục 70 LỜI NÓI ĐẦU Ta biết phương trình vi phân thường (PTVPT) phương trình có dạng: y (t) = f (t, y(t)), t ≥ t0 Tuy nhiên, nhiều vấn đề, biến y phụ thuộc vào giá trị khứ biến y Khi PTVPT biến đổi thành phương trình sau, gọi phương trình vi phân có chậm (PTVPCC): y (t) = f (t, y(t − τ1 ), , y(t − τn )), t ≥ t0 , với τi = τi (t, y(t)) ≥ ∀t ≥ t0 , i = 1, , n, gọi chậm Việc nghiên cứu mặt lí thuyết phương pháp số giải PTVPT thu hút quan tâm nhà toán học thời gian dài với nhiều kết quan trọng Ngược lại, việc nghiên cứu PTVPCC quan tâm nhiều thời gian từ thập niên cuối kỉ 20 trở lại Sự quan tâm nhà toán học ứng dụng dành cho phương pháp số giải PTVPCC ngày gia tăng, thể qua số lượng ngày nhiều sách chun khảo, báo cơng trình nghiên cứu công bố đăng tải tạp chí tốn học uy tín Mục tiêu luận văn giới thiệu phương pháp số giải PTVPCC, đặc biệt phương pháp số giải PTVP với đầu liên tục áp dụng giải toán giá trị ban đầu cho PTVP có chậm số chậm phụ thuộc thời gian Luận văn gồm chương: Chương giới thiệu PTVPCC thông qua việc so sánh với PTVPT Những khác biệt quan trọng tính chất định tính khía cạnh giải số đề cập đến phần đầu chương Phần thứ hai chương giới thiệu cách vắn tắt khái niệm phương pháp số giải PTVPT, từ phần thứ ba lí thuyết cho PTVPT khơng đủ áp dụng cho PTVPCC Chương trình bày tồn tính qui nghiệm PTVPCC Đặc biệt, ta tập trung quan tâm vào tính chất vị trí điểm gián đoạn đạo hàm, có, lan truyền chúng dọc theo khoảng tích phân giả thiết khác chậm Chương phác hoạ cách vắn tắt vài hướng tiếp cận khác sử dụng để giải số PTVPCC, tập trung vào hướng tiếp cận thông thường thông qua phương pháp số giải PTVP với đầu liên tục Chương trình bày hội tụ phương pháp số giải PTVP với đầu liên tục giới thiệu chương Đặc biệt, ta chứng minh tính đặt chỉnh (well-posedness) phương pháp phân tích cấp hội tụ cho PTVPCC PTVPCC trung tính có chậm số chậm phụ thuộc thời gian Luận văn hoàn thành sở tham khảo hai tài liệu chính: Uri M.Ascher, Linda R.Petzold, Computer Methods for Ordinary Equations and Differential-Algebraic Equations, SIAM, 1998 Alfredo Bellen, Marino Zennaro, Numerical Methods for Delay Differential Equations, Oxford University Press, 2003 Qua đây, tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Vũ Hoàng Linh, người thầy tận tâm giảng dạy hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội nơi tác giả hồn thành chương trình cao học giảng dạy hướng dẫn nhiệt tình thầy cô Xin cảm ơn tập thể lãnh đạo, chuyên viên phòng Giáo dục Trung học, Sở Giáo dục Đào tạo Ninh Bình thơng cảm, động viên tạo điều kiện thuận lợi thời gian, cơng việc để tác giả hồn thành khoá học luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn bè bạn gia đình hỗ trợ, động viên chia sẻ khó khăn với tác giả suốt thời gian học tập vừa qua Do thời gian trình độ cịn hạn chế, chắn luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo tận tình thầy cô bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, 15.11.2012 Học viên Đỗ Thị Thuý Ngọc CHƯƠNG GIỚI THIỆU Nhiều vấn đề thực tế vật lí, kĩ thuật, sinh học, y học, kinh tế mơ hình hóa tốn giá trị ban đầu, cịn gọi tốn Cauchy, cho PTVPT có dạng y (t) = g(t, y(t)), t ≥ t0 , y(t0 ) = y0 , (1.1) hàm y(t), gọi biến trạng thái, biểu diễn đại lượng tham gia vào q trình Tuy nhiên, để làm cho mơ hình phù hợp với tượng thực tế, ta cần biến đổi vế phải (1.1) để thể phụ thuộc biến y vào giá trị khứ biến trạng thái y Dạng tổng qt mơ cho PTVPCC y (t) = f (t, yt ), t ≥ t0 , yt = y(t + θ), θ ∈ [−r, 0], hàm thuộc vào không gian Banach C = C ([−r, 0], Rd ) hàm số liên tục ánh xạ khoảng [−r, 0] vào Rd , f : Ω → Rd hàm cho ánh xạ tập hợp Ω ⊂ R × C vào Rd Bài toán giá trị ban đầu y (t) = f (t, yt ), t ≥ t0 , yt0 = y(t0 + θ) = Φ(θ), Φ(θ) ∈ C biểu diễn điểm khởi tạo liệu khởi tạo (1.2) 1.1 Một vài ví dụ so sánh phương trình vi phân có chậm phương trình vi phân thường Trong tài liệu này, toán giá trị ban đầu (1.2) mô tả theo cách thức thân thiện sau y (t) = f (t, y(t − τ1 ), y(t − τn )), t ≥ t0 , y(t) = φ(t), t ≤ t0 (1.3) Tùy theo độ phức tạp tượng, chậm τi ln ln khơng âm, số (trường hợp chậm số), hàm số t, τi = τi (t) (trường hợp chậm biến thiên phụ thuộc thời gian) chí hàm số t y , τi = τi (t, y(t)) (trường hợp chậm phụ thuộc trạng thái) Luận văn tập trung nghiên cứu vào hai trường hợp: chậm phụ thuộc số chậm phụ thuộc thời gian Để đơn giản hóa mặt kí hiệu, hàm φ(t) hiểu định nghĩa [ρ, t0 ], ρ = 1≤i≤n min(t − τi ) t≥t0 Một trường hợp phổ biến thú vị n = τ1 ≡ 0, (1.3) có dạng sau y (t) = f (t, y(t), y(t − τ )), t ≥ t0 , y(t) = φ(t), t ≤ t0 (1.4) Vì với t ≥ t0 xảy t − τ < t0 , khác phương trình dạng (1.1) (1.4) nghiệm (1.4) thường phụ thuộc vào hàm khởi tạo φ(t) phụ thuộc vào giá trị khởi tạo y0 (1.1) Nói chung, đạo hàm bên phải y (t+ ), f (t0 , φ(t0 ), φ(t0 − τ )), không đạo hàm − trái y (t0 ) nghiệm y khơng liên kết trơn với hàm khởi tạo φ(t) điểm t0 , có tính chất C -liên tục đảm bảo Hơn nữa, tính khơng liên tục đạo hàm lan truyền từ điểm khởi tạo t0 theo khoảng tích phân tạo điểm gián đoạn mà đó, nghiệm ngày trơn Như hệ quả, chí hàm f (t, y, x), τ (t, y) φ(t) (1.4) C ∞ -liên tục nói chung y(t) đơn giản C -liên tục [t0 , tf ] Ví dụ 1.1.1 Xét phương trình y (t) = −y(t − 1), t ≥ 0, y(t) = 1, t ≤ (1.5) Nghiệm phương trình miêu tả Hình 1.1 Vì y (0− ) = y (0+ ) = −y(−1) = −1, hàm đạo hàm y (t) có điểm gián đoạn t = Đạo hàm cấp hai y (t) cho y (t) = −y (t − 1), có điểm gián đoạn t = Đạo hàm cấp ba cho y (t) = −y (t − 1) = y (t − 2) có điểm gián đoạn t = 2, tương tự điểm bội số chậm t = 3, 4, Hình 1.1: Nghiệm (1.5) Trong mơ hình tổng qt hơn, đạo hàm y (t) phụ thuộc vào y y giá trị khứ t − τ Trong trường hợp này, (1.4) thay đổi thành dạng y (t) = f (t, y(t), y(t − τ ), y (t − τ )), t ≥ t0 , y(t) = φ(t), t ≤ t0 , (1.6) hàm φ(t) giả thiết C -liên tục Phương trình (1.6) gọi PTVPCC trung tính (delay differential equation of neutral type) Như trước nói, hàm khởi tạo φ(t) không liên kết trơn với nghiệm y(t) t0 , nơi có tính liên tục đảm bảo Điểm gián đoạn lan truyền thành tập điểm gián đoạn mà nghiệm, khơng giống trường hợp khơng trung tính, thuộc lớp C Do đó, điều kiện nối φ (t− ) = f (t0 , φ(t0 ), φ(t0 − τ ), φ (t0 − τ )) thỏa mãn, cịn khơng nghiệm (1.6) phải hiểu theo nghĩa tổng quát “hầu khắp nơi” Ví dụ 1.1.2 Xét phương trình y (t) = −y (t − 1), t ≥ 0, y(t) = t, t ≤ 0, (1.7) có nghiệm vẽ Hình 1.2 Vì y (0− ) = y (0+ ) = −y (−1) = −1, đạo hàm y (t) có điểm gián đoạn t = Hơn nữa, y (t) = −y (t − 1) với t ≥ 0, đạo hàm y (t) không liên tục t = t = 2, 3, bội số t = Hình 1.2: Nghiệm (1.7) Ví dụ sau rằng, nghiệm bị chặn PTVPT dao động hệ thống có hai thành phần dao động hỗn loạn hệ thống có ba thành phần (Định lí Poincaré-Bendixon), nghiệm PTVPCC có tính chất dao động chí dao động hỗn loạn trường hợp vơ hướng Ví dụ 1.1.3 Xét phương trình logistic có chậm sau y (t) = ay(t)(1 − y(t − 1)), (1.8) phương trình mơ hình hóa thay đổi dân số, cải tiến mô hình Verhulst-Pearl y (t) = ay(t)(1 − y(t)) Trong nghiệm phương trình Verhulst-Pearl đơn điệu, nghiệm dương (1.8) đơn điệu với a ∈ (0, 1/e), dao động với a ∈ [1/e, π/2) xấp xỉ với quỹ đạo tuần hoàn với a > π/2 (Hình 1.3 1.4) (Xem [6]) Cuối cùng, ta thấy có mặt thành phần chậm thay đổi mạnh mẽ tính chất định tính nghiệm cách tác động đến ổn định mơ hình 10 Hình 1.3: Nghiệm (1.8) với y(t) = 0.1 t ≤ 0, a = 1.4 0.3 Hình 1.4: Nghiệm (1.8) với a = 1.7 mặt phẳng pha Ví dụ 1.1.4 Xét phương trình vơ hướng tuyến tính y (t) = λy(t) + µy(t − 1), t ≥ 0, y(t) = −t + 1, t ≤ 0, (1.9) với hệ số λ, µ số thực Ta biết rằng, với µ = 0, phương trình (1.9) có dạng y (t) = λy(t), t ≥ 0, y(0) = 1, (1.10) Nghiệm phương trình tiệm cận tới với λ âm bùng nổ với λ dương Hơn trường hợp λ âm, nghiệm cịn bị chặn giá 64 đó, với s ≤ tn+1 , η(s) nghiệm số liên tục cho phương pháp số giải PTVP với đầu liên tục Khi định nghĩa yn = [y(tn ), y(tn−1 ), , y(tn−k+1 )]T η n = [η(tn ), η(tn−1 ), , η(tn−k+1 )]T Bằng Bổ đề 4.2.1 với u(x) = y(x), v(x) = η(x), zn = yn wn =η n , với h ≤ h0 , nghiệm số ζ(t) η(t) (4.18) (4.19) thỏa mãn bất phương trình |||zn+1 − η n+1 ||| ≤ (1 + hn+1 Q)|||yn − η n ||| + hn+1 P max y(t) − η(t) , t≤tn+1 (4.20) zn+1 = (ζ(tn+1 ), y(tn ), , y(tn−k+2 ))T max tn ≤t≤tn+1 ζ(t) − η(t) ≤ (T +hn+1 S) max n−in ≤s≤n y(ts ) − η(ts ) +hn+1 R max y(t) − η(t) t≤tn+1 (4.21) Xét bất phương trình |||yn+1 − η n+1 ||| ≤ |||yn+1 − zn+1 ||| + |||zn+1 − η n+1 ||| (4.22) Nhờ giả thiết (h1 ), nghiệm zn+1 (t) (4.18) đủ trơn Do đó, giả thiết (h2 ) (xem Định nghĩa 3.2.2), (4.20) dẫn đến |||yn+1 − η n+1 ||| ≤ M hp+1 n+1 + (1 + hn+1 Q)|||yn − η n ||| + hn+1 P max y(t) − η(t) t≤tn+1 Do đó, với en = max |||yi − η i ||| k−1≤i≤n En = max y(t) − η(t) t≤tn với n = k − 1, , N, ta en+1 ≤ M hp+1 n+1 + (1 + hn+1 Q)en + hn+1 P En+1 (4.23) với n = k − 1, , N − Tương tự, với hàm nội suy xét bất đẳng thức max tn ≤t≤tn+1 y(t) − η(t) ≤ max tn ≤t≤tn+1 y(t) − ζ(t) + max tn ≤t≤tn+1 ζ(t) − η(t) Do tính trơn y(t), giả thiết (h3 ) (xem Định nghĩa 3.2.2) (h4 ), (4.21), ta có max tn ≤t≤tn+1 y(t) − η(t) ≤ M hq+1 n+1 + (T + hn+1 S) +hn+1 R max y(t) − η(t) t≤tn+1 max n−in ≤s≤n y(ts ) − η(ts ) 65 Do đó, tồn số K > cho y(ts ) − η(ts ) ≤ K|||ys − η s ||| ∀s ta max tn ≤t≤tn+1 y(t) − η(t) ≤ M hq+1 n+1 + (T + hn+1 S)Ken + hn+1 REn+1 (4.24) với n = k − 1, , N − Với L = max{M, P, Q, R, T K, SK} bất đẳng thức (4.23) (4.24) dẫn đến en+1 ≤ (1 + hn+1 L)en + hn+1 LEn+1 + hn+1 Lhp (4.25) max tn ≤t≤tn+1 y(t) − η(t) ≤ (1 + h)Len + hLEn+1 + Lhq+1 (4.26) với n = k − 1, , N − Vì en En đơn điệu, (4.26) cho ta En+1 ≤ (1 + h)Len + hLEn+1 + Lhq+1 En+1 ≤ (4.27) (1 + h)L L en + hq+1 , − hL − hL (4.28) với n = k − 1, , N − Bây giờ, giả sử, khơng có hạn chế nào, h ≤ h∗ , h∗ = min{1, 1/(2L)}, định nghĩa Λ = 2(L + L2 ) Thay (4.28) vào (4.25), ta (1+h)L2 1−hL (1 + Λhn+1 )en + hn+1 Λhq eΛhn+1 en + hn+1 Λhq en+1 ≤ + hn+1 L + ≤ ≤ en + hn+1 L + L2 1−hL hq (4.29) với n = k − 1, , N − 1, q = min{p, q + 1} Từ ta có en ≤ eΛ(tn −tk−1 ) ek−1 + n eΛ(tn −ti ) hi Λhq i=k ≤ eΛ(tf −tk−1 ) ek−1 + (eΛ(tf −tk−1 ) − 1)hq , đó, giả thiết (h2 ), (h3 ) (h4 ) kéo theo ek−1 = O(hq+1 ) (nhắc lại q ≤ p), ta có điều phải chứng minh Để kết thúc phần này, ta xét PTVPCC số sau y (t) = ay(t) − π2 ea y(t − 1), t ≥ 0, y(t) = φ(t) = eat sin( π2 t), t ≤ 0, (4.30) 66 Bảng 4.1: Kết giải số phương trình (4.30) i 10 h 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 1/256 1/512 1/1024 n 20 40 80 160 320 640 1280 2560 5120 10240 sai số 0.0232 0.0056 0.0014 3.4904e - 04 8.7210e - 05 2.1808e - 05 5.4505e - 06 1.3626e - 06 3.4066e - 07 8.5164e - 08 tốc độ hội tụ 2.0546 2.0053 1.9949 2.0008 2.0001 1.9999 2.0000 2.0000 2.0000 Phương trình có nghiệm xác y(t) = eat sin( π2 t) thuộc lớp C ∞ [−1, +∞) Phương trình có điểm gián đoạn gốc đồng thời điểm gián đoạn đoạn [0, 10] ξ0 = 0, ξ1 = 1, ξ2 = 2, , ξ10 = 10 Ta giải số phương trình đoạn [0, 10] thuật tốn 4.1.1 với phương pháp trung điểm có cấp xác p = 2, thỏa mãn điều kiện ổn định (3.17) phép nội suy tuyến tính có cấp xác q = Bước lưới sử dụng bước lưới h = 21i , i ∈ N Như lưới ∆ chứa tất điểm gián đoạn với n, khoảng [tn , tn+1 ], phép nội suy tiến hành, chứa khoảng [ξi , ξi+1 ] với số ≤ i ≤ 10 Theo định lí 4.1.1, phương pháp bước kết có cấp xác rời rạc q = min{p, q + 1} = min{2, + 1} = Bằng thực nghiệm số, ta thấy tốc độ hội tụ 2, phù hợp với kết mặt lí thuyết nêu 67 KẾT LUẬN Qua nghiên cứu đề tài, rút số kết luận sau: - Sự xuất thành phần chậm làm thay đổi tính chất nghiệm PTVPCC so với PTVPT tính qui, tính dao động, ổn định, tính bị chặn Những thay đổi này, đặc biệt xuất điểm gián đoạn gốc lan truyền chúng dọc theo khoảng tích phân gây khó khăn định việc giải số PTVPCC Bởi lý thuyết cho PTVPT khơng đủ áp dụng cho PTVPCC Qua ví dụ cụ thể, ta thấy việc giải số PTVPCC dựa vào việc sửa lại mã PTVPT tiêu chuẩn cho phù hợp với có mặt thành phần có chậm Việc giải số PTVPCC thực yêu cầu việc sử dụng phương pháp thiết kế cách đặc biệt, tuỳ thuộc vào chất phương trình tính chất nghiệm - Điểm gián đoạn gốc mức k ξk,i y (k+1) tạo điểm gián đoạn gốc mức (k + 1) y (k+2) điểm ξk+1,j kế tiếp, nghiệm PTVPCC trở nên trơn mức điểm gián đoạn gốc tăng lên Ngược lại, với PTVPCC dạng trung tính, trơn dần lên nghiệm khơng xuất nói chung, nghiệm C -liên tục điểm gián đoạn gốc - Để khắc phục khó khăn chậm triệt tiêu chậm bị chặn gây ra, cần thiết phải đặt giả thiết phù hợp lên chậm Với giả thiết đó, nghiệm PTVPCC tồn địa phương tồn toàn cục - Có hướng tiếp cận khác sử dụng để giải số PTVPCC Tuy nhiên hướng tiếp cận thông thường sử dụng phương pháp số giải PTVP với đầu liên tục Khi áp dụng hướng tiếp cận này, khó khăn xảy tượng overlapping, tượng cản trở thành công phương pháp Tuy nhiên, với giả thiết phù hợp đặt phương pháp số giải PTVP với đầu liên tục hội tụ với cấp hội tụ mong muốn áp dụng cho PTVPCC Trong khuôn khổ 68 luận văn trình bày hai định lí hội tụ phương pháp số giải PTVP với đầu liên tục áp dụng cho PTVPCC có chậm số chậm phụ thuộc thời gian Các định lí kiểm nghiệm qua số ví dụ cụ thể trình bày luận văn Giải số PTVPCC lĩnh vực mẻ, có nhiều ứng dụng khoa học kĩ thuật thực tế nhiều vấn đề cần nghiên cứu giải Qua luận văn này, tác giả đạt mục tiêu đề tiếp cận lí thuyết, đọc hiểu, trình bày lại cách hệ thống kiến thức lĩnh hội kiểm nghiệm chúng thông qua việc giải số số toán cụ thể Trong giai đoạn tiếp theo, tác giả tập trung nghiên cứu phương trình vi phân đại số có chậm việc xây dựng nghiên cứu hội tụ phương pháp số giải phương trình 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, NXB ĐHQG Hà Nội, 2008 [2] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định, NXB Giáo dục, 2009 [3] Uri M.Ascher, Linda R.Petzold, Computer Methods for Ordinary Equations and Differential-Algebraic Equations, SIAM, 1998 [4] Alfredo Bellen, Marino Zennaro, Numerical Methods for Delay Differential Equations, Oxford University Press, 2003 [5] L.E.El’sgol’ts, S.B.Norkin, Introduction to the Theory and Application of Differential Equations with Deviating Arguments, Academic Press, New York, 1973 [6] E.Hairer, S.P.Norsett, G.Wanner, Solving Ordinary Differential Equations I - Nonstiff Problems, Springer, 1993 [7] J.K.Hale, Homoclinic orbits and chaos in delay equations, in Proceedings of The Ninth Dundee Conference on Ordinary anh Partial Differential Equations, B.D.Sleeman and R.J.Jarvis Eds., Wiley, New York, 1986 [8] G.A.Kamenskii, Existence, uniqueness and continuous dependence in initial conditions of systems of differential equations with a deviating argument of neutral type, Math Sb (N.S.) 55 (1961), 363-378 [9] H.J.Oberle, H.J.Pesch, Numerical Treatment of Delay Differential Equations by Hermite Interpolation, Numer Math 37, 235 - 255 (1981) 70 PHỤ LỤC Chương trình MATLAB DDE23 Nghiệm số phương trình (1.5), (1.6), (1.7), (1.8), (1.9), (1.20), (1.24) chương tài liệu vẽ chương trình MATLAB DDE23 hai tác giả L.F.Shampine S.Thompson DDE23 chương trình giải PTVPCC với chậm số, sử dụng phương pháp Runge-Kutta BogackiShampine BS(2,3) với mở rộng liên tục dựa phép nội suy Hermite bậc ba Bảng Butcher phương pháp BS(2,3) cho sau 1 2 24 4 Xét phương trình y (t) = f (t, y(t), y(t − τ1 ), y(t − τ2 ), , y(t − τk )) Một cú pháp thông thường sử dụng DDE23 SOL = DDE23(DDEFUN, LAGS, HISTORY, TSPAN); Các chậm số dương τ1 , τ2 , , τk nhập vào vectơ LAGS DDEFUN hàm xử lí, DDEFUN(T, Y, Z) trả lại vectơ cột ứng với f (t, y(t), y(t − τ1 ), y(t − τ2 ), , y(t − τk )) Trong DDEFUN, đại lượng vô hướng T biến t tại, vectơ cột Y xấp xỉ y(t) cột Z(:,j) xấp xỉ y(t − τj ) với chậm τj =LAGS(j) Các PTVPCC tích phân từ T0=TSPAN(1) đến TF=TSPAN(end) với T0 < TF Nghiệm t ≤T0 xác định HISTORY: HISTORY hàm xử lí, với vô hướng T, HISTORY(T) trả lại vectơ cột y(t) Nếu y(t) số, HISTORY(T) vectơ cột 71 DDE23 tạo nghiệm liên tục [T0, TF] Nghiệm tính tốn điểm TINT sử dụng output SOL DDE23 hàm DDEVAL: YINT = DDEVAL(SOL,TINT) Output SOL cấu trúc với: SOL.x: Lưới lựa chọn DDE23 SOL.y: Xấp xỉ y(t) điểm lưới SOL.x SOL.yp: Xấp xỉ y (t) điểm lưới SOL.x SOL.Solver: ‘DDE23’ Xét phương trình (1.5) y (t) = −y(t − 1), t ≥ 0, y(t) = 1, t ≤ giải [0, 3] Câu lệnh sử dụng DDE23 SOL = DDE23(‘c1p1e1’,1,1,[0, 3]); c1p1e1 xác định sau function v = c1p1e1(t, y, Z) v = -Z; Câu lệnh giải phương trình (1.5) [0, 3] với chậm 1, phương trình tính tốn hàm số c1p1e1 Giá trị tính toán cho t le0 số nghiệm vẽ lệnh plot(SOL.x, SOL.y) Xét phương trình (1.6) y (t) = 1, 7y(t)(1 − y(t − 1)), t ≥ 0, Ta giải phương trình [0, 50] với y(t) = 0, t ≤ DDE23 tính tốn nghiệm xấp xỉ S(t) khoảng TSPAN đặt vào SOL thông tin cần thiết để định trị Việc định trị thực với câu lệnh DDEVAL Ta cần cung cấp cấu trúc nghiệm mảng t điểm ta muốn giá trị S(t) S (t) [S, Sp] = DDEVAL(SOL, t); Với dạng output này, bạn giải PTVPCC lần sau đạt giá trị nghiệm nơi bạn muốn Nghiệm số liên tục 72 có đạo hàm liên tục, bạn ln ln có đồ thị trơn cách định trị đủ điểm với DDEVAL Ta vẽ y(t − 1) y(t) mặt phẳng pha Điều phổ biến hệ tăng trưởng phi tuyến, ta làm ví dụ Đó phần tử SOL.x không cách nhau: Nếu t∗ xuất SOL.x, ta có xấp xỉ cho y(t∗ ) SOL.y, nói chung t∗ − khơng xuất SOL.x, ta khơng có xấp xỉ cho y(t∗ − 2) Nhưng DDEVAL làm việc cách dễ dàng Đầu tiên ta xác định mảng t gồm 500 điểm cách [1,50] tính giá trị nghiệm điểm với DDEVAL Sau ta sử dụng DDEVAL lần thứ hai để tính nghiệm giá trị t − Bằng cách ta đạt xấp xỉ y(t) y(t − 2) với giá trị t Chương trình hồn chỉnh để tính tốn vẽ y(t − 2) y(t) mặt phẳng pha SOL=DDE23(‘c1p1e62’,1,0.1,[0, 50]); t=linspace(1,50,500); y=DDEVAL(SOL,t); ylag=DDEVAL(SOL,t-1); plot(y,ylag); hàm c1p1e62 xác định sau function v = c1p1e62(t, y, Z) v = 1.7*y*(1 - Z); Các chương trình MATLAB tự xây dựng 2.1 Chương trình MATLAB giải phương trình (1.20) phương pháp trung điểm kết hợp với phép nội suy tuyến tính m = 10; delta = 0; (hoặc delta = 0.5) h = 1/(m - delta); T = 19; n = T/h; lambda = -50; x = [zeros(1, n + 1)]; y = [zeros(1, n + 1)]; x(1) = 0; y(1 )= 1; for i = : n if i