ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỒNG THỊ KIM HUẾ BÀI TỐN CÂN BẰNG ĐA TRỊ LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học PGS TSKH NGUYỄN BÁ MINH HÀ NỘI- 2013 Mục lục Mở đầu Một số tính chất ánh xạ đa trị theo nón 1.1 Khái niệm nón 1.2 Khái niệm điểm hữu hiệu 1.3 Tính liên tục theo nón ánh xạ đa trị 1.4 Tính lồi theo nón ánh xạ đa trị 1.5 Tính Lipschitz theo nón ánh xạ đa trị Bài toán cân vectơ đa trị 2.1 Bài toán cân vơ hướng tốn liên quan 2.1.1 Bài toán cân vô hướng 2.1.2 Một số toán liên quan 2.1.3 Sự tồn nghiệm toán cân vơ hướng 2.2 Bài tốn điểm cân véctơ đa trị 2.2.1 Bài toán điểm cân véctơ đa trị 2.2.2 Sự tồn nghiệm toán điểm cân véctơ đa 2.3 Ứng dụng toán cân đa trị vào số toán 2.3.1 Sự tồn điểm hữu hiệu tập hợp 2.3.2 Sự tồn nghiệm toán tối ưu véctơ 2.3.3 Sự tồn nghiệm toán điểm yên ngựa 2.3.4 Sự tồn điểm cân Nash Kết luận Tài liệu tham khảo trị 4 18 25 37 37 37 38 40 47 47 50 59 59 60 62 65 68 69 Mở đầu Ánh xạ đa trị xuất sở toán thực tế kinh tế, kỹ thuật yêu cầu phát triển nội nhiều lĩnh vực Toán học Lý thuyết toán cân đa trị, phát triển mạnh mẽ nhiều thập kỷ gần Nhiều nhà toán học ngồi nước có đóng góp quan trọng lĩnh vực Đối với toán học, toán điểm cân biết đến từ lâu cơng trình Arrow - Debreu([8]), Nash([7]), Sau toán phát biểu ngắn gọn sau: Tìm x ∈ K để f (x, y) > với y ∈ K K tập cho trước không gian, f : K × K −→ R hàm số với f (x, x) = với x ∈ K Bài toán bao gồm toán : tối ưu, cân Nash, toán điểm yên ngựa, toán bù, Blum Oettli ([6]) nghiên cứu f có dạng f = g + h g thỏa mãn điều kiện định lý Browder - Minty ([9]) h thỏa mãn điều kiện Định lý Ky Fan ([10]) Năm 1991, Blum Oettli([6]) phát biểu tốn cân tổng qt tìm cách liên kết toán Ky Fan Browder - Minty với thành dạng chung cho hai Sau N.X.Tấn P.N.Tĩnh mở rộng kết Blum Oettli cho trường hợp f hàm véctơ Luận văn trình bày"Bài tốn cân đa trị" dựa hai báo : "On the continuity of vector convex multivalued functions Acta Math Vietnam 27 (2002), no, 1, 13-25" "Some sufficient conditions for the existence of equilibrium points concering multivalued mappings, Vietnam J Math.28:4(2000), 295 - 310" tác giả Nguyễn Bá Minh Nguyễn Xuân Tấn Luận văn gồm phần mở đầu , phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo hai chương với nội dung sau Chương 1:" Một số tính chất ánh xạ đa trị theo nón " trình bày khái niệm, tính chất nón, điểm hữu hiệu khơng gian tơpơ tuyến tính, khái niệm tính liên tục, tính lồi, tính Lipschitz theo nón ánh xạ đa trị Đồng thời tập hợp kết nghiên cứu điều kiện cần đủ để ánh xạ đa trị C- liên tục trên, C- liên tục dưới, mối liên hệ tính liên tục, tính lồi ánh xạ đa trị với tính liên tục, tính lồi hàm vô hướng mối liên hệ tính liên tục, tính lồi với tính Lipschitz địa phương Chương 2:" Bài toán cân véctơ đa trị " trình bày tốn cân đa trị số ứng dụng Phần đầu chương trình bày tốn cân vơ hướng Blum-Oettli, tốn đưa tốn cân vơ hướng điều kiện đủ để tốn cân vơ hướng tồn điểm cân Nội dung luận văn trình bày tốn cân đa trị dạng F = G + H G ánh xạ đa trị, H ánh xạ đơn trị với tính chất khác điều kiện đủ để tốn cân đa trị có điểm cân (cân yếu) Cuối chương ứng dụng toán cân đa trị với toán liên quan toán điểm hữu hiệu tập hợp, toán tối ưu véctơ, toán điểm yên ngựa véctơ toán cân Nash véctơ Luận văn hoàn thành trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên - Đại Học Quốc Gia Hà Nội , hướng dẫn PGS.TSKH Nguyễn Bá Minh Tác giả chân thành cảm ơn thầy Minh tận tình hướng dẫn, bảo giúp đỡ tác giả thực nghiên cứu theo đề tài luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn thầy giáo, cô giáo Ban Giám Hiệu, Ban Chủ Nhiệm Khoa Toán - Tin trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên bạn bè đồng nghiệp quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tác giả học tập nghiên cứu Do trình độ thời gian nhiều hạn chế nên luận văn khơng tránh thiếu xót Vì tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo bạn bè để tác giả hoàn thiện tốt luận văn Tác giả chân thành cảm ơn! Chương Một số tính chất ánh xạ đa trị theo nón Chương trình bày số khái niệm, tính chất nón, điểm hữu hiệu khơng gian tơpơ tuyến tính, tính liên tục, tính lồi, tính Lipschitz theo nón ánh xạ đa trị Phần đầu chương, nghiên cứu khái niệm, tính chất nón khái niệm điểm hữu hiệu Tiếp theo mở rộng định lý Banach- Steihaus cho họ hàm lồi, lõm khơng gian thùng dựa vào để xây dựng điều kiện cần đủ tính C- liên tục ánh xạ đa trị Tính Cliên tục yếu ánh xạ đa trị xét tới ta thấy điều kiện để ánh xạ đa trị C- liên tục (dưới) yếu, mở rộng trường hợp vơ hướng: hàm lồi nửa liên tục từ không gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff vào khơng gian số thực nửa liên tục theo tơpơ yếu Một số điều kiện liên hệ tính C- liên tục C- liên tục ánh xạ đa trị lồi (lõm) theo nón C trình bày chương Phần cuối chương, ta trình bày số điều kiện để ánh xạ đa trị Lipschitz địa phương theo nón, mối liên hệ tính Lipschitz địa phương với tính lồi, tính liên tục Chương viết dựa sách ([1]) báo ([4]) 1.1 Khái niệm nón Trong tối ưu hóa khái niệm nón có vai trị quan trọng Từ khái niệm, nón ta tập hợp nghiên cứu điểm hữu hiệu tập hợp, tính lồi, tính liên tục tính Lipchitz ánh xạ đa trị theo nón Định nghĩa 1.1.1 Cho Y khơng gian tuyến tính C ⊆ Y C nón có đỉnh gốc Y tc ∈ C, với c ∈ C, t Nón có đỉnh gốc gọi ngắn gọn nón Nón C gọi nón lồi C tập lồi Nón C gọi nón đóng C tập đóng Giả sử C nón khơng gian tơpơ tuyến tính Y Ta có kí hiệu sau: clC : bao đóng nón C , intC : phần nón C , convC : bao lồi C , l(C) = C ∩ (−C) Nón C gọi nón nhọn l(C) = {0} Nón C gọi nón sắc cl(C) nón nhọn Nón C gọi nón cl(C) + C\cl(C) ⊆ C Ta xây dựng quan hệ thứ tự phần Y với nón C sau: Với x, y ∈ Y x ≥ y x − y ∈ C x > y x − y ∈ C\l(C) x y x − y ∈ intC Quan hệ thứ tự có tính chất phản xạ, phản đối xứng bắc cầu Nếu C nón lồi quan hệ thứ tự tuyến tính nên quan hệ thứ tự phần Y Nếu C nón nhọn quan hệ có tính chất phản đối xứng tức x ≥ y, y ≥ x x = y Tiếp theo ta minh họa số ví dụ số khơng gian Ví dụ 1.1.1 1, [0], Y nón Y gọi nón tầm thường 2, Tập nghiệm hệ bất phương trình tuyến tính có dạng: C := {x|Ax ≥ 0}(Với A ma trận thực cấp hữu hạn (số dòng số cột hữu hạn)) nón lồi đa diện 3, Cho Y = Lp = (x1 , x2 , )| pi=1 |xi |p < ∞ với ≤ p < ∞ Lấy C = {x ∈ Lp |xi ≥ 0, i = 1, } C nón lồi, nhọn Thật vậy: C nón ∀c ∈ C ⇒ c = (c1 , c2 , ) , ci ≥ 0, i = 1, 2, Do đó: với ∀t ≥ ta có: tc = (tc1 , tc2 , ) , tci ≥ ⇒ tc ∈ C, ∀c ∈ C, t ≥ 0; C lồi với x = (x1 , x2 , ) ∈ Lp , xi ≥ 0, y = (y1 , y2 , ) ∈ Lp , yi ≥ 0, i = 1, 2, ⇒ ∀α ∈ (0, 1) αxi + (1 − α)yi ≥ ⇒ αx + (1 − α)y ≥ 0; C nón nhọn (−C) = {x ∈ Lp |xi ≤ 0, i = 1, } ⇒ l(C) = C ∩ (−C) = {0} 4, Cho Y = Rn = {x = (x1 , x2 , , xn )|xj ∈ R, j = 1, , n} n = {y = (y , y , , y )|y ≥ 0, j = 1, , n} C nón lồi, đóng, Lấy C = R+ n j nhọn gọi nón Othor dương Quan hệ thứ tự C xác định sau: Cho x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn x ≥ y xj ≥ yj với ∀j = 1, , n; Nếu nón C = {x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn |x1 ≥ 0} C nón lồi, đóng khơng nhọn Vì (l(C) = {x = (0, x2 , , xn ) ∈ Rn } = {0}) 5, Cho Y = Rn = {x = (x1 , x2 , , xn )|xj ∈ R, j = 1, , n} Giả sử tập lồi C cho C := x ∈ Rn |< aj , x >≤ bj , j = 1, , m Với x ∈ C , đặt J(x) = j |< aj , x >= b gọi tập số tích cực x Khi TC (x) = y ∈ Rn |< aj , y >≤ 0, j ∈ J(x) nón gọi nón tiếp xúc; j NC (x) = cone(aj , j ∈ J(x)) = y = j a : j ≥ nón lồi, đóng; j∈J(x) NC (x) gọi nón pháp tuyến Tiếp theo ta nhắc lại khái niệm tập sinh, sở nón Cho Y khơng gian tuyến tính, B ⊆ Y , C nón Y Tập B gọi tập sinh nón C C = {tb | b ∈ B, t ≥ 0} Kí hiệu: C = cone(B) Nếu B khơng chứa gốc O với c ∈ C, c = 0, tồn b ∈ B, t > cho: c = tb Khi B gọi sở nón C Tính chất nón có sở lồi, đóng, giới nội khơng gian tơpơ tuyến tính Hausdorff nêu mệnh đề sau: Mệnh đề 1.1.1.([2, Ch.1.Mệnh đề 1.8]).Nếu C nón có lồi, đóng, giới nội với lân cận W điểm gốc Y tồn lân cận V cho (V + C) ∩ (V − C) ⊆ W Khái niệm nón cực nhắc lại sau: Cho nón C khơng gian tuyến tính Y Gọi Y ∗ không gian tôpô đối ngẫu Y Nón cực C C định nghĩa sau: C := {ξ ∈ Y ∗ |< ξ, c >≥ 0, với c ∈ C} Nhận thấy C nón lồi, đóng Y ∗ với tơpơ yếu* σ(Y, Y ∗ ) Cho nón nhọn C , kí hiệu (C )+ := {ξ ∈ Y ∗ |< ξ, c >> 0, c ∈ C\{0}} Mệnh đề sau cho ta điều kiện cần đủ để tập lồi B sở nón C Mệnh đề 1.1.2.([2, Ch1.Mệnh đề 1.10]) Trong khơng gian tơpơ tuyến tính Hausdorff Y tập lồi B sở nón C tồn ξ ∈ (C )+ cho B = {ξ ∈ C |< ξ, c >= 1} 1.2 Khái niệm điểm hữu hiệu Khái niệm hữu hiệu khái niệm quan trọng lí thuyết tối ưu Trong mục nhắc lại khái niệm điểm hữu hiệu Định nghĩa 1.2.1 Cho Y khơng gian tơpơ tuyến tính với thứ tự sinh nón lồi C A tập khác rỗng Y Ta nói i, Điểm x ∈ A điểm hữu hiệu lý tưởng tập A nón C (y − x) ∈ C, ∀y ∈ A Tập điểm hữu hiệu lý tưởng A nón C kí hiệu là: IM in(A\C) IM inA ii, Điểm x ∈ A điểm hữu hiệu Pareto(cực tiểu Pareto) A nón C không tồn y ∈ A để (x − y) ∈ C\l(C).Tập điểm hữu hiệu Pareto A nón C kí hiệu là: P M in(A\C) M in(A\C) M inA iii, Điểm x ∈ A điểm hữu hiệu yếu ( intC = ∅ C = Y ) A nón C x ∈ Min( A\ {0} ∪intC ) tức x điểm hữu hiệu theo thứ tự sinh nón C0 = {0} ∪intC Kí hiệu: W M in(A\C) W M inA tập điểm hữu hiệu yếu A iv, Điểm x ∈ A gọi điểm hữu hiệu thực A nón C tồn nón lồi C khác Y chứa C\l(C) phần để x ∈ P M in(A\C) Kí hiệu: P rM in(A\C) P rM inA tập điểm hữu hiệu thực A Ví dụ 1.2.1 Trong R2 lấy hai tập A B sau: A = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y ≤ 1, y ≥ 0} ∪ {(x, y) ∈ R2 | x ≤ 0, y ∈ [0, 1]} , B = A ∪ {(2, 2)} lấy thứ tự sinh nón C = R− = {(x1 , x2 ) ∈ R2 | x1 , x2 ≤ 0} Khi M inB = W M inB = {(2, 2)} , M inA = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y = 1, x > 0, y > 0} ∪ {(0, 1), (1, 0)} , W M inA = M inA ∪ {(x, y) ∈ R2 | y = 1, x ≤ 0} Ta nhận thấy khẳng định sau a) x ∈ M inA A ∩ (x − C) ⊂ x + l(C) b) x ∈ W M inA A ∩ (x − intC) = ∅ c) IM inA ⊂ P rM inA ⊆ M inA ⊆ W M inA 1.3 Tính liên tục theo nón ánh xạ đa trị Cho X, Y hai không gian tôpô Hausdorff Một ánh xạ đa trị F từ X vào Y mà ứng với phần tử x ∈ X cho tập Y kí hiệu: F : X −→ 2Y Miền định nghĩa (miền hữu dụng ) đồ thị F xác định sau domF = {x ∈ X | F (x) = ∅} , graphF = {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x), x ∈ domF } Khi Y không gian tôpô tuyến tính Hausdorff với nón C , đồ thị F định nghĩa epiF := {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x) + C, x ∈ domF } F gọi compắc F (D) tập compắc Y F gọi đóng theo nón C (C- đóng) epiF tập đóng X × Y Cho nón C Y Khi miền định nghĩa domF ánh xạ đa trị F xác định sau: x ∈ domF với lân cận giới nội V Y tồn số ρ > cho F (x) ∩ (ρV − C) = ∅ Thật giả sử x ∈ domF Khi F (x) = ∅ Do tồn y ∈ F (x) Vì V lân cận giới nội Y nên tồn ρ > cho y ∈ ρV Như F (x) ∩ ρV = ∅ Do F (x) ∩ (ρV − C) = ∅ Ngược lại giả sử F (x) ∩ (ρV − C) = ∅ với ρ > Khi F (x) = ∅ Tức x ∈ domF Khi f : X −→ Y ánh xạ đơn trị domf tập tất x ∈ X cho với lân cận giới nội V Y tồn ρ > để f (x) ∈ ρV − C Trường hợp f : X −→ R hàm vô hướng, C = R+ nón khơng gian tơpơ tuyến tính Hausdorff Y ta có: domf = {x ∈ X | f (x) = +∞} Xét ánh xạ đơn trị f : X −→ Y , f gọi liên tục xo ∈ X với tập mở V chứa f (xo ) tồn tập mở U chứa xo cho f (U ) ⊂ V Tiếp theo ta trình bày khái niệm liên tục theo nón ánh xạ đa trị F , Cho X, Y hai khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương, D ⊂ X , D = ∅ C nón Y F : D −→ 2Y ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.3.1 a) F C- liên tục ( C- liên tục dưới) xo ∈ D với lân cận V Y tồn lân cận U xo X cho: F (x) ⊂ F (xo ) + V + C ( F (xo ) ⊂ F (x) + V − C) với x ∈ U ∩ domF b) F C - liên tục xo F vừa C - liên tục vừa C -liên tục xo F C -liên tục trên, C -liên tục C - liên tục D C - liên tục trên, C - liên tục C - liên tục x ∈ D c) F C - liên tục yếu ( C - liên tục yếu ) xo lân cận U xo định nghĩa lân cận tôpô yếu X Mệnh đề sau cho ta điều kện cần đủ tính liên tục theo nón ánh xạ đa trị ; Mệnh đề 1.3.1.([4, tr.15]) a) Cho F (xo ) tập compắc Y Khi đó: F C - liên tục xo với tập mở G thỏa mãn F (xo ) ⊂ G + C tồn lân cận U xo cho F (x) ⊂ G + C với ∀x ∈ U ∩ domF b) Cho F (xo ) tập compắc Y Khi điều kiện cần đủ để F C - liên tục xo với lân cận V tồn lân cận U xo cho: F (x) ∩ (y + V + C) = ∅ với x ∈ U ∩ domF Điều kiện tương đương với điều kiện: Với tập G mở, F (xo ) ∩ (G + C) = ∅ tồn lân cận U xo cho: F (x) ∩ (G + C) = ∅, với x ∈ U ∩ domF Chứng minh a) Điều kiện cần: Giả sử F C - liên tục xo Ta chứng minh tồn lân cận U xo cho F (x) ⊂ G + C với ∀x ∈ U ∩ domF với G tập mở cho F (xo ) ⊂ G + C Do F (xo ) compắc Y nên tồn lân cận Vo O Y cho F (xo ) + Vo ⊂ G + C Giả sử V lân cận O Y Suy V ∩ Vo lân cận O Y Vì F C - liên tục xo nên tồn lân cận U xo X cho F (x) ⊂ F (xo ) + V ∩ Vo + C , với x ∈ U ∩ domF Do F (xo ) + V ∩ Vo + C ⊂ F (xo ) + Vo + C ⊂ G + C + C = G + C nên F (x) ⊂ G + C với ∀x ∈ U ∩ domF Điều kiện đủ : Giả sử với tập G mở thỏa mãn F (xo ) ⊂ G + C , nên tồn lân cận U xo cho F (x) ⊂ G + C với ∀x ∈ U ∩ domF Lấy V lân cận tùy ý O Y Giả sử V mở Đặt G = F (xo ) + V G mở F (xo ) ⊂ G + C 55 Nếu x ∈ coreD K , ta lấy xo = x φ(xo ) = G(x, x) ⊂ −C Do trường hợp ta ln tìm xo ∈ coreD K để φ(xo ) ⊂ −C Áp dụng bổ đề (2.2.3.) ta có φ(y) −intC với y ∈ D Như tồn x ∈ D cho G(x, y) + H(x, y) −intC với y ∈ D Hơn nữa, nón C thỏa mãn điều kiện (*) tức tồn nón C lồi , đóng, nhọn cho C\{0} ⊂ intC Từ nhận xét (2.2.1.) ta thấy thay C C giả thiết định lý (2.2.1.) thỏa mãn Do theo định lý tồn x ∈ K cho G(x, y) + H(x, y)) −intC với y ∈ D Như G(x, y) + H(x, y)) −(C\{0}) với y ∈ D Vậy định lý chứng minh Từ định lý (2.2.1.) ba bổ đề ta có nhận xét sau: Nhận xét 2.2.2 i) Trong giả thiết A8) D tập compắc K = D Suy K\coreD K = ∅ Khi giả thiết A8) thỏa mãn ii) Trong bổ đề (2.2.1.) ta chứng minh tồn x ∈ K cho (G(y, x) − H(x, y)) ∩ intC = ∅ với y ∈ D Để có điều ta sử dụng tính C - liên tục ánh xạ G(x, ), x ∈ D giả thiết tính −C - liên tục H(., y), y ∈ D Do thay hai giả thiết giả thiết tập S(y) = {x ∈ K | (G(y, x) − H(x, y)) ∩ intC = ∅} với y ∈ D tập đóng X Các giả thiết lại giữ nguyên Khi kết luận định lý (2.2.1.) iii) Định lý tồn điểm cân tốn cân vơ hướng Blum Oettli trường hợp riêng định lý (2.2.1.) với Y = R, C = R+ , G, H : D×D −→ R hàm đơn trị iv) Nếu G, H ánh xạ đơn trị, ta thu điều kiện đủ tồn 56 nghiệm toán cân đơn trị dạng F = G + H Tương tự toán cân vơ hướng ta thấy u cầu tính giả thiết A8) định lý (2.2.1.) tương đối nặng Dựa vào tính compắc địa phương tập D tôpô yếu không gian Banach phản xạ X , giảm nhẹ tính thay giả thiết nhẹ Trong mục này, kí hiệu chuẩn X Định lý 2.2.2.([1, Định lý 3.2.9, tr.136]) Cho X không gian định chuẩn Y không gian tôpô Hausdorff lồi địa phương, D tập compắc lồi địa phương, C ⊂ Y nón điểm lồi, đóng Y Lấy G : D × D −→ 2Y H : D × D −→ Y ánh xạ thỏa mãn điều kiện từ A1) đến A7) định lý (2.2.1) Điều kiện A8) thay điều kiện A8’) Tồn a ∈ D cho với dãy {xn } ⊂ D mà lim xn = +∞ n→+∞ điều kiện sau thỏa mãn H1) Tồn no > để G(xno , a) + H(xno , a) ⊆ (−C) H2) Tồn no > y ∈ D với y − a < xno − a để G(xno , y) + H(xno , y) ⊆ (−C) H3) Tồn no > y ∈ D để G(y, xn ) − H(xn , y) ⊆ C với n ≥ no Khi tồn x ∈ D để G(x, y) + H(x, y) −intC với y ∈ D Chứng minh Đặt Dn = {x ∈ D | x − a ≤ n}, n = 1, 2, Khi Dn tập lồi, compắc, khác rỗng X Áp dụng định lý (2.2.1.) với D = Dn sử dụng tôpô yếu X ta kết luận tồn xn ∈ Dn , n = 1, 2, cho G(xn , y) + H(xn , y) −intC với y ∈ Dn (2.18) Nếu tồn n cho định sau xn − a < n xn ∈ coreD Dn Xét ánh xạ F : D −→ 2Y xác F (x) = G(xn , x) + H(xn , x), x ∈ D (2.19) 57 Khi F C-lồi F (xn ) = G(xn , x) + H(xn , x) ⊂ −C Theo (2.18) ta có F (x) −intC với x ∈ Dn Áp dụng bổ đề (2.2.3.) ta F (x) −intC với x ∈ D Suy xn nghiệm toán (WEP,C) Vậy ta cần xét trường hợp xn − a = n.Ta xét điều kiện H1) - H3) Giả sử H1) Ta chứng tỏ xno nghiệm toán (WEP,C) Thật vậy: Giả sử x ∈ D\Dn , tồn số dương t ∈ (0, 1] cho z = ta + (1 − t)x ∈ Dno Do G(xno , ta+(1−t)x)+H(xno , ta+(1−t)x) ⊆ t[G(xno , a)+H(xno , a)]+(1−t)[Gxno , x)+H(xno , x)]−C Theo giả thiết G(xno , a) + H(xno , a) ⊆ −C nên G(xno , ta + (1 − t)x) + H(xno , ta + (1 − t)x) ⊆ (1 − t)[G(xno , x) + H(xno , x)] − C Giả sử G(xno , x) + H(xno , x) ⊆ −intC Khi G(xno , ta + (1 − t)x) + H(xno , ta + (1 − t)x) ⊆ −intC Điều mâu thuẫn với giả thiết xno nghiệm toán (WEP,C) Dno Vậy G(xno , x) + H(xno , x) −intC với x ∈ D\Dno Dễ thấy xno nghiệm toán Dno Do G(xno , x) + H(xno , x) −intC với x ∈ D Như xno nghiệm toán (WEP, C) Tiếp theo giả sử điều kiện H2) tồn no > y ∈ D với y − a < xno − a cho G(xno , x) + H(xno , x) ⊆ −C (2.20) Vì y − a < xno − a < no nên y ∈ coreD Dno Xét hàm F (2.19) Theo (2.20) F (y) ⊆ −C với y ∈ D F (x) −intC với x ∈ Dno Theo bổ đề (2.2.3.) ta có F (x) −intC với x ∈ D Hay G(xno , x) + H(xno , x) −intC với x ∈ D 58 Vậy xno nghiệm toán (WEP, C) D Giả sử điều kiện H3) ta chứng minh điều kiện H2) Do H3) nên tồn no > y ∈ D cho G(y, xn ) + H(xn , y) ⊆ C với n ≥ no Vì G đơn điệu nên G(xn , y) + G(y, xn ) ⊆ −C Khi G(xn , y) + H(xn , y) ⊆ H(xn , y) − C − G(y, xn ) ⊆ −C Mà với n số đủ lớn lý chứng minh y − a < xn − a Do điều kiện H2) Vậy định Với X không gian Banach phản xạ, ta có hệ sau: Hệ 2.2.1 ([1]) Cho X không gian Banach phản xạ, Y không gian tôpô Hausdorff lồi địa phương, D ⊂ X tập hợp lồi, đóng, khác rỗng, C nón điểm lồi, đóng trongY Cho G, H ánh xạ thỏa mãn giả thiết từ A1) đến A7) định lý (2.2.1.) với tính C - liên tục G(x, ) giả thiết A4) −C - liên tục H(., y) giả thiết A6) thay tính C - liên tục yếu G(x, ) -C - liên tục yếu H(., y) Và điều kiện A8’) định lý (2.2.2.) giữ nguyên Khi tồn x ∈ D cho G(x, y) + H(x, y) −intC với y ∈ D Chứng minh Với X trang bị tơ yếu điều kiện định lý (2.2.2.) thỏa mãn.Vậy theo định lý tồn x ∈ D cho G(x, y) + H(x, y) −intC với y ∈ D Hệ 2.2.2.([1]) Cho X không gian Banach phản xạ, D ⊂ X tập lồi, đóng, Y khơng gian Banach, C nón lồi, đóng, nhọn Y với nón cực C nón đa diện nhọn Cho G, H ánh xạ thỏa mãn giả thiết từ A1) đến A7) định lý (2.2.1.) với tính C - liên tục G(x, ) giả thiết A4) −C - liên tục H(., y) giả thiết A6) thay tính C - liên tục yếu G(x, ) -C - liên tục yếu H(., y) Giả thiết G(x, y) − C lồi với x, y ∈ D điều kiện A8’) định lý giữ nguyên Khi tồn x ∈ D cho G(x, y) + H(x, y) −intC với y ∈ D Chứng minh Vì G(x, ) C -lồi C- liên tục D nên theo định lý (1.4.3.) ta có G(x, ) C -liên tục yếu D Như với X trang 59 bị tơpơ yếu điều kiện hệ (2.2.2.) thỏa mãn Vậy tồn x ∈ D để G(x, y) + H(x, y) −intC với y ∈ D 2.3 Ứng dụng toán cân đa trị vào số tốn Ta trình bày số ứng dụng định lý tồn nghiệm toán cân yếu (WEP,C) toán cân Pareto (PEP,C) Khi G ánh xạ đơn trị ta áp dụng định lý (2.2.1.) (2.2.2.) hệ (2.2.1.) , (2.2.2.) thu số kết nghiệm toán tối ưu vectơ, tồn điểm hữu hiệu tập hợp, nghiệm toán điểm yên ngựa, điểm cân Nash 2.3.1 Sự tồn điểm hữu hiệu tập hợp Trước hết ta xét điều kiện đủ tồn điểm hữu hiệu tập hợp Cho tập hợp D không gian Banach phản xạ X với nón nhọn lồi, đóng C Các mệnh đề sau cho ta tồn điểm hữu hiệu tập hợp: Mệnh đề 2.3.1.([5, tr.308]) Cho X không gian Banach phản xạ, D ⊂ X tập lồi, đóng, khác rỗng C nón nhọn, lồi, đóng Giả sử tồn điểm a ∈ D cho với dãy {xn } ⊂ D mà lim xn = +∞ điều kiện sau thỏa n ∞ mãn i) Tồn no > cho xno ∈ a + C ii) Tồn no > y ∈ D với y − a < xno − a cho xno ∈ y + C iii) Tồn no > y ∈ D cho xno ∈ y + C với n ≥ no Khi W M in(D C) = ∅ Hơn nữa, C thỏa mãn điều kiện (*) M in(D C) = ∅ Chứng minh Lấy Y = X , G(x, y) = y − x H(x, y) = Khi G, H thỏa mãn giả thiết hệ (2.2.2.) Như tồn x ∈ D cho G(x, y) + H(x, y) −intC với y ∈ D 60 Hay y − x ∈ / −intC với y ∈ D hay x − y ∈ / intC với y ∈ D Do x ∈ W M in(D C) Vậy W M in(D C) = ∅ Hơn C thỏa mãn điều kiện (*) tồn x ∈ D để / −(C\{0}) với y ∈ D y−x∈ Suy x−y ∈ / (C\{0}) với y ∈ D Vậy M in(D C) = ∅ Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 2.3.2.([1, Mệnh đề 3.3.2, tr.142]) Cho X không gian định chuẩn, D ⊂ X tập lồi, đóng, compắc địa phương, C nón lồi, đóng, nhọn giả thiết (i) , (ii) , (iii) mệnh đề (2.3.1.) thỏa mãn Khi W M in(D C) = ∅ Hơn nữa, C thỏa mãn điều kiện (*), M in(D C) = ∅ Chứng minh Áp dụng hệ (2.2.1.) với X = Y , G(x, y) = y − x , H(x, y) = ta chứng minh mệnh đề Tiếp theo ta trình bày tồn nghiệm toán tối ưu vectơ 2.3.2 Sự tồn nghiệm toán tối ưu véctơ Cho f : D −→ Y Xét toán tối ưu vectơ f (x) x∈D Các mệnh đề sau cho ta điều kiện đủ tồn nghiệm toán Mệnh đề 2.3.3([5, tr.308]) Cho X khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊂ X tập lồi, đóng, khác rỗng Y khơng gian Banach , C ⊂ Y nón nhọn, lồi, đóng với nón cực C nón đa diện, nhọn Cho f : D −→ Y ánh xạ đơn trị, C- lồi, C- liên tục Giả sử tồn tập lồi, khác rỗng, compắc yếu K, K ⊂ D, cho với x ∈ K\coreD K ta tìm a ∈ coreD K để f (x) ∈ f (a) + C Khi tồn điểm x ∈ D cho f (x) ∈ W M in(f (D) C) Hơn nữa, C thỏa mãn điều kiện (*), tồn x ∈ D cho f (x) ∈ M in(f (D) C) Chứng minh Xét ánh xạ G : D × D −→ Y cho 61 G(x, y) = f (y) − f (x) với x, y ∈ D Theo giả thiết f C- lồi C- liên tục nên với x cố định, x ∈ D G(x, ) C- lồi C- liên tục Mặt khác G(x, y) + C lồi với y ∈ D Áp dụng định lý (1.4.3.) G(x, ) C-liên tục yếu Lấy H(x, y) = với x, y ∈ D Do xem xét tơpơ yếu X G, H thỏa mãn giả thiết định lý (2.2.1.) Theo định lý (2.2.1.) tồn x ∈ D cho G(x, y) + H(x, y) −intC với y ∈ D Thay H(x, y) = ta f (y) − f (x) Tức −intC với y ∈ D f (x) ∈ W M in(f (D) C) Hơn nữa, C thỏa mãn điều kiện (*), áp dụng định lý (2.2.1.) tồn x ∈ D cho f (y) − f (x) −(C\{0}) với y ∈ D hay f (x) ∈ M in(f (D) C) Mệnh đề 2.3.4([5, tr.309]) Cho X, Y không gian định chuẩn, D tập lồi, khác rỗng, compắc địa phương X , C ⊂ Y nón nhọn, lồi, đóng Cho f : D −→ Y ánh xạ đơn trị, C- lồi, C- liên tục Giả sử tồn điểm a ∈ D cho với dãy {xn } ⊂ D mà lim xn = +∞ điều kiện sau n ∞ thỏa mãn 1) Tồn no > cho f (xno ) ∈ f (a) + C 2) Tồn no > y ∈ D với y − a < xno − a cho f (xno ) ∈ f (y) + C 3) Tồn no > y ∈ D cho f (xno ) ∈ f (y) + C với n ≥ no Khi tồn điểm x ∈ D để f (x) ∈ W M in(f (D) C) Chứng minh Xét ánh xạ G : D × D −→ Y cho G(x, y) = f (y) − f (x) với x, y ∈ D Áp dụng định lý (2.2.2) với G xác định H(x, y) = với x, y ∈ D ta thấy tồn x ∈ D cho G(x, y) + H(x, y) Tức −intC với y ∈ D 62 f (y) − f (x) −intC với y ∈ D Hay f (x) ∈ W M in(f (D)) Chứng minh Định nghĩa ánh xạ G : D × D −→ Y cho G(x, y) = f (y) − f (x) với x, y ∈ D Theo giả thiết f C - lồi C- liên tục nên với x cố định, x ∈ D G(x, ) C- lồi C- liên tục Mặt khác G(x, y) + C lồi với y ∈ D Áp dụng định lý (1.4.3.) G(x, ) C-liên tục yếu Lấy H(x, y) = với x, y ∈ D Do với X trang bị tơpơ yếu G, H thỏa mãn giả thiết định lý (2.2.2.) Theo định lý (2.2.2.) tồn x ∈ D cho G(x, y) + H(x, y) −intC với y ∈ D Tức f (y) − f (x) −intC với y ∈ D Vậy W M in(f (D) C) = ∅ Nếu C thỏa mãn điều kiện (*), áp dụng định lý (2.2.1.) ta M in(f (D) C) = ∅ 2.3.3 Sự tồn nghiệm toán điểm yên ngựa Trong phần này, ta xét toán điểm yên ngựa liên quan tới hàm vectơ Trước hết ta nhắc lại định nghĩa điểm yên ngựa hàm vectơ Cho X1 , X2 Y không gian Hausdorff lồi địa phương, Di ∈ Xi , i = 1, T : D1 × D2 −→ Y Điểm x = (x1 , x2 ) gọi điểm yên ngựa yếu T nón C T (y1 , x2 ) − T (x1 , y2 ) ∈ / −intC với (y1 , y2 ) ∈ D1 × D2 Điểm x = (x1 , x2 ) gọi điểm yên ngựa Pareto T nón C / (C\ {0}) với (y1 , y2 ) ∈ D1 × D2 T (y1 , x2 ) − T (x1 , y2 ) ∈ Các mệnh đề sau cho ta điều kiện tồn điểm yên ngựa yếu, điểm yên ngựa Pareto hàm vectơ không gian khác Mệnh đề 2.3.6([1, Mệnh đề 3.3.6]) Cho X1 , X2 hai không gian Hausdorff lồi địa phương , Di ⊂ Xi , i = 1, tập lồi, đóng, khác rỗng, Y khơng gian Banach, C ⊂ Y nón nhọn, lồi, đóng với nón cực C nón đa diện nhọn Giả sử T : D1 × D2 −→ Y thỏa mãn tính chất: 63 1) T C- lồi C- liên tục theo biến thứ 2) T C- lõm (-C)- liên tục theo biến thứ hai 3) Tồn tập lồi, khác rỗng compắc yếu Ki ⊆ Di , i = 1, cho với điểm (x1 , x2 ) ∈ K\coreD K(K := K1 × K2 , D := D1 × D2 ) ta tìm điểm (a1 , a2 ) ∈ coreD K cho T (x1 , a2 ) − T (a1 , x2 ) ∈ C Khi tồn (x1 , x2 ) ∈ D1 × D2 để T (y1 , x2 ) − T (x1 , y2 ) ∈ / −intC với (y1 , y2 ) ∈ D1 × D2 Hơn nữa, C thỏa mãn điều kiện (*), tồn (x1 , x2 ) ∈ D1 × D2 cho T (y1 , x2 ) − T (x1 , y2 ) ∈ / −(C\{0}) Chứng minh Đặt X = X1 × X2 Ta định nghĩa hàm G, H : D × D −→ Y xác định sau: G(x, y) = T (y1 , x2 ) − T (x1 , y2 ) H(x, y) = với x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ D Do T C- lồi C- liên tục theo biến thứ nên G(x, ) C- lồi C- liên tục yếu Ta thấy G, H thỏa mãn giả thiết định lý (2.2.1.) với X trang bị tôpô yếu Theo định lý (2.2.1.) tồn (x1 , x2 ) ∈ D1 × D2 cho G(x, y) + H(x, y) −intC với (y1 , y2 ) ∈ D1 × D2 Do / −intC với (y1 , y2 ) ∈ D1 × D2 T (y1 , x2 ) − T (x1 , y2 ) ∈ Vậy (x1 , x2 ) điểm yên ngựa yếu T C Áp dụng định lý (2.2.1.) với C thỏa mãn điều kiện (*), (x1 , x2 ) điểm yên ngựa Pareto T C Mệnh đề 2.3.7([1, Mệnh đề 3.3.7]) Cho X1 , X2 , Y không gian định chuẩn, Di ⊂ X i , i = 1, tập lồi, khác rỗng, compắc địa phương C nón lồi, đóng, nhọn Y Giả sử T : D1 × D2 −→ Y có tính chất sau: 1) T C - lồi, C- liên tục theo biến thứ 64 2) T C - lõm, (-C)- liên tục theo biến thứ hai 3) Giả sử tồn a = (a1 , a2 ) ∈ D = D1 × D2 để với dãy xn = (x1n , x2n ) ⊆ D mà lim xn = +∞ điều kiện sau đúng: n ∞ i) Tồn no > cho T (x1no , a2 ) − T (a1 , x2no ) ∈ C ii) Tồn no > y = (y , y ) ∈ D với y − a < xno − a cho T (x1no , y ) − T (y , x2no ) ∈ C iii) Tồn no > y = (y , y ) ∈ D cho T (x1no , y ) − T (y , x2no ) ∈ C với n ≥ no Khi tồn điểm yên ngựa yếu T nón C Đặc biệt C thỏa mãn điều kiện (*) tồn điểm yên ngựa Pareto T nón C Chứng minh Lấy X = X1 × X2 Định nghĩa hàm G, H : D × D −→ Y xác định sau G(x, y) = T (y1 , x2 ) − T (x1 , y2 ) H(x, y) = với x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ D Từ giả thiết ta thấy G, H thỏa mãn điều kiện định lý (2.2.2) Khi áp dụng định lý (2.2.2) ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 2.3.8.([1]) Cho X1 , X2 không gian Banach phản xạ , Di tập lồi, đóng, khác rỗng Xi với i = 1, 2, Y không gian Banach, C ⊂ Y nón nhọn, lồi, đóng với nón cực C nón lồi đa diện, nhọn Lấy T : D1 × D2 −→ Y thỏa mãn giả thiết (1) , (2) giả thiết (i) , (ii) ,(iii) mệnh đề (2.3.7.) Khi tồn điểm yên ngựa yếu T nón C Đặc biệt C thỏa mãn điều kiện (*) tồn điểm yên ngựa Pareto T nón C Chứng minh Lấy X, G, H mệnh đề (2.3.7) áp dụng hệ (2.2.2) ta thu điều cần phải chứng minh 2.3.4 Sự tồn điểm cân Nash Tiếp theo ta xét toán cân Nash cho trường hợp hàm vectơ 65 Cho I tập số hữu hạn ( gọi tập người chơi) Xi , i ∈ I, Y không gian Hausdorff lồi địa phương thực, C ⊂ Y nón lồi Y Di ⊂ Xi tập lồi, đóng, khác rỗng với i ∈ I (Di gọi tập chiến lược người chơi thứ i) Đặt D= Di i∈I Cho hàm vectơ fi : D −→ Y gọi hàm người chơi thứ i với i ∈ I Hàm fi phụ thuộc vào chiến lược tất người chơi Với x = (xi )i∈I ∈ D ta kí hiệu xi = (xj )j∈I\{i} Điểm x = (xi )i∈I gọi điểm cân Nash với i ∈ I ta có fi (xi , yi ) − fi (x) ∈ / −(C\ {0}) với (yi )i∈I ∈ D Điểm x = (xi )i∈I gọi điểm cân Nash yếu với i / −intC với (yi )i∈I ∈ D fi (xi , yi ) − fi (x) ∈ Để xét tồn điểm cân Nash điểm cân Nash yếu toán cân Nash ta sử dụng mệnh đề sau Mệnh đề 2.3.9([1, Mệnh đề 3.3.9]) Cho Y khơng gian Banach, C ⊂ Y nón nhọn, lồi, đóng với nón cực C nón đa diện nhọn điều kiện sau thỏa mãn với i ∈ I : 1) fi C- liên tục (-C)- liên tục 2) Hàm fi (xi , ) C- lồi, fi (., yi ) C- lõm hàm fi (.) C- lồi 3) Tồn tập lồi, khác rỗng, compắc yếu Ki ∈ Di với i ∈ I cho với x ∈ K\coreD K với K := Ki i∈I ta tìm diểm a ∈ coreD K để (fi (xi , ) − fi (x)) ∈ C i∈I Khi tồn diểm cân Nash yếu Hơn C thỏa mãn điều kiện (*) tồn điểm cân Nash Chứng minh Đặt X := Xi Cho hàm G, H : D × D −→ Y xác định sau i∈I G(x, y) = 66 (fi (xi , yi ) − fi (x)) H(x, y) = i∈I với x = (xi )i∈I , y = yi )i∈I ∈ D Từ giả thiết (1) , (2) ta có H(., y) (- C)- liên tục C- lõm Áp dụng định lý (1.4.2) H( , y) (-C)- liên tục yếu D Vì X trang bị tơpơ yếu G, H thỏa mãn giả thiết định lý(2.2.1.) Do tồn x = (xi )i∈I cho G(x, y) + H(x, y) ∈ / −intC với y ∈ D hay (fi (xi , yi ) − fi (x)) ∈ / −intC với y = (yi )i∈I ∈ D i∈I với i ∈ I yi ∈ Di tùy ý Thay y = (xi , yi ) vào hệ thức ta fi (xi , yi ) − fi (x) ∈ / −intC Vậy x điểm cân Nash yếu Tương tự cách áp dụng định lý (2.2.1.) nón C thỏa mãn điều kiện (*) ta thu điểm cân Nash Mệnh đề 2.3.10.([1, Mệnh đề 3.3.10]) Cho Xi , i ∈ I , Y không gian định chuẩn, Di ⊆ Xi , i ∈ I tập lồi, khác rỗng, compắc địa phương, C nón lồi, đóng, nhọn Y Với i ∈ I , fi : D −→ Y thỏa mãn điều kiện sau: i) fi C - liên tục (-C)- liên tục ii) Các hàm fi (xi , ) C - lồi iii) Giả sử tồn điểm a = (ai )i∈I ∈ D cho với dãy xn = (x(j,n) )j∈I ⊂ D mà lim n ∞ xn = +∞ điều kiện sau đúng: 1) Tồn no > cho (fi (xi(j,no ) , ) − fi (xno )) ∈ −C i∈I 2) Tồn no > y = (yi )i∈I ∈ D với y − a < xno − a (fi (xi(j,no ) , yi ) − fi (xno )) ∈ −C i∈I cho 67 3) Tồn no > y = (yi )i∈I ∈ D cho (fi (xi(j,n) , yi ) − fi (xn )) ∈ −C i∈I Khi tồn điểm cân Nash yếu Hơn C thõa mãn điều kiện (*) tồn điểm cân Nash Xi Cho hàm G, H : D × D −→ Y xác định Chứng minh Đặt X := sau i∈I G(x, y) = (fi (xi , yi ) − fi (x)) H(x, y) = i∈I với x = (xi )i∈I , y = yi )i∈I ∈ D Áp đụng định lý (2.2.2.) ta có kết cần tìm Mệnh đề 2.3.11.([1, Mệnh đề 3.3.11]) Cho Xi , i ∈ I , Y không gian Banach phản xạ, Di ⊆ Xi , i ∈ I tập lồi, đóng, khác rỗng, Y khơng gian Banach C ⊂ Y nón nhọn, lồi, đóng với nón cực C nón đa diện nhọn Giả sử với i ∈ I , ánh xạ fi : D −→ Y thỏa mãn giả thiết (i), (ii) mệnh đề (2.3.10) điều kiện (1), (2), (3) mệnh đề (2.3.10) Khi tồn điểm cân Nash Hơn C thỏa mãn điều kiện (*) tồn điểm cân Nash Chứng minh Đặt X = Xi định nghĩa hàm G, H mệnh đề i∈I (2.3.9.) Từ giả thiết (i) , (ii) ta suy H(., y) (-C)- liên tục C- lõm Theo định lý (1.4.2.) chương I H(., y) (-C)- liên tục yếu D Áp dụng hệ (2.2.2.) ta thu dược kết cần chứng minh 68 Kết luận Luận văn "Bài toán cân đa trị" đạt số kết sau: i) Trình bày số khái niệm nón, tính liên tục, tính lồi, tính Lipschitz ánh xạ đa trị theo nón ii) Trình bày tốn cân vơ hướng Blum-Oettli, tốn đưa tốn cân vơ hướng, điều kiện đủ đề tốn cân vơ hướng có nghiệm iii) Trình bày tốn điểm cân véctơ đa trị, số điều kiện tồn nghiệm toán cân liên quan tới ánh xạ đa trị số ứng dụng toán cân đa trị toán liên quan 69 Tài liệu tham khảo [1] Guyana Xuân Tấn- Nguyễn Bá Minh, Một số vấn đề lý thuyết tối ưu vectơ đa trị, NXB Giáo dục, 2006 [2] Lục D.T.,Theory of vector optimization, Lecture notes in economics and mathematical systems, 319 , Springer Verlag , Berlin - Heidelberg 1989 [3] Berge C.,Espaces topologiques fonction multivoques, Dunod , Paris,1959 [4] Minh N.B and N.X.Tấn, On the continuity of vector convex multivalued functions Acta Math Vietnam.27(2002),no,1,13-25 [5] Minh N.B and N.X.Tấn, Some sufficient conditions for the existence of equilibrium points concering multivalued mappings, Vietnam J Math.28:4(2000), 295 - 310 [6] Blum E and Oettli W., Variational principles for equilibrium problems, parametric optimization and related topies [7] Lục D.T., On Nash equilibrium I, Acta Math Acad Sci Hungar 40(34)(1982),267-272 [8] Debreu G., Valuation equilibrium and Pareto optimum, Proc Nat Acad Sci U.S.A 40(1954), 588-592 [9] Minty G-J., on variational inequalities for monotone operators, I.Avances in Math 30(1978), 1-7 [10] K.Fan, A minimax inequality and application, in Inequalities III, O Shisha (Ed), Academic Press, New-York, 1972, pp, 33 [11] Banach S., Theorie des operations lineaire , Monographie mathematy - czne , PWN , Warszawa, 1932 ... nghiệm toán cân vơ hướng 2.2 Bài tốn điểm cân véctơ đa trị 2.2.1 Bài toán điểm cân véctơ đa trị 2.2.2 Sự tồn nghiệm toán điểm cân véctơ đa 2.3 Ứng dụng toán cân đa trị. .. 2.2.1 Bài toán điểm cân véctơ đa trị Bài toán điểm cân véctơ đa trị Trong phần này, luận văn trình bày kết N.B.Minh N.X.Tấn ([1] [5]) toán cân liên quan tới ánh xạ đa trị Bài toán điểm cân vectơ đa. .. tốn cân đa trị dạng F = G + H G ánh xạ đa trị, H ánh xạ đơn trị với tính chất khác điều kiện đủ để tốn cân đa trị có điểm cân (cân yếu) Cuối chương ứng dụng toán cân đa trị với toán liên quan toán