M ụ c lục Lời cam đoan Lời m ơn M đầu Đại số Steenrod (mơđulơ 2) Bài tốn "hit" ứng dụng 2.1 Số hạng £2 dãy phổ Adams 2.2 Lý t huyết cobordism li 2.3 Biểu diễn mơđula nhóm t uyến t ính t qt 12 2.4 Phân tích chẻ ổn định khơng gian phân loạ i 14 2.5 Chu trình vĩnh cửu dãy phổ Adams 17 2.6 Không gian khuyê n vô hạn giả t huyết lớp cầu 19 Nội dung bố cục luận án 22 Các kết luận án 23 4.1 Bài t oán "hit " cho bất biến Dickson 23 4.2 Bài t oán "hit " cho bất biến parabolic 25 4.3 Các phần t đối bất biến với k = 26 4.4 Bài toán "hit" bậc đủ tổng quát 4.5 SỐ chiều biểu diễn nhóm tuyến tính tổng 4.6 ì 28 qt 30 Áp dụng: Đồng cấu chuyển Singer 32 Một số k ý hiệu kiến thức chuẩn bị B i t o n "hit"' cho bất b i ế n D i c k s o n 33 35 LI Tác động đại số Steenrod 35 1.2 Chứng minh Đinh lý C l 39 1.3 Chứng minh Bổ đề 1.2.2 41 1.4 Chứng m inh P ổ đề 1.2.3 50 l i B i t o n "hit" cho bất b i ế n parabolic li.Ì Các bất biến QC • lk-n n 52 52 li.2 Tác động đại số Steenrod 56 IL3 Chứng minh Định lý C2 62 IL4 Chứng minh Bổ đề II.3.2 66 H I B i t o n "hit" bậc đ ủ tổng q u t 72 IU Ì Phát biểu kết 72 111.2 Chứng minh Định lý III.l.l(i) 76 111.3 Chứng minh Định lý HI L I (li) 82 111.4 Chứng minh Định lý IIL1.2 100 IIL5 Một số nhận xét 100 111.5.1 Các ví dụ 100 111.5.2 M ộ t tính chất số học 102 IIL5.3 Mô tả v(0,n) 102 K ế t luận 104 K i ế n nghị nghiên cứu 104 Danh mục công trình tác giả liên quan đến luận án 105 Tài liệu tham khảo 106 M đầu Ì Đ i số Steenrod (môđulô 2) Đối đồng điều với cấu trúc tí ch bất biến để phân loại đồng luân không gian tôpô (xem [88]) Tuy nhiên, nhiều trường hợp, bất biến chưa đủ tinh tế Chẳng hạn, treo mặt phang xạ ảnh phức S C P tổng V s mặt cầu chiều có vành đối đồng điều với cấu trúc tích khơng, khơng có kiểu đồng ln Một cơng cụ làm tinh tế đối đồng điều toán tử đối đồng điều Nói cách sơ lược, tốn tử đối đồng điều (sơ cấp) họ ánh xạ H*x giao hoán với đồng cấu cảm sinh đối đồng điều ánh xạ liên tục không gian tôpô Trong phá t biểu này, cá c nh xạ $jjf khơng thiết bảo tồn chiều đối đồng điều khơng thiết tuyến tính, cịn H*x = H*(X\¥2) mối quan t â m luận n ký hiệu đối đồng điều kỳ dị môđulô khơng gian tơpơ X Ví dụ đơn giản tốn tử đối đồng điều ánh xạ bì nh phương H*x Để giải toán phân loại đồng luân cá c nh xạ liên tục từ phức 71 +Ì chiều vào mặt cầu s , n ă m 1942 Steenrod [78] đ a n lớp t o n tử đ ố i đồng điều, ngày mang t ê n ông, ký hiệu Sq : H*x i (với ị nguyên không â m ) Các t o n tử s au — • H* X +i T h o m [101] W u [102] sử dụng để nghiên cứu lớp đặc t r n g p h â n thớ véctơ đ a tạp, nhanh chóng t rở t h n h công cụ h n g đ ầ u nghiên cứu t ó p ) đ i số Tác động t o n tử Steenrod lên tích đ ố i đồng điều thỏa m ã n công thức Cartan [94]: £ l Sq {u )= lU2 S^MSg^M, i\-\-t2—i liên hệ nội chúng thể qua quan hệ Adem [61,179]: b - - l a J2 b Sq Sq = í a+b j !_ )Sq - Sj 0 Là tập hợp toán tử đối đồng điều, Ả tác độ ng mộ t cách tự nhiên lên đối đồng điều khơng gian tơpơ Do đó, đố; đồng điều không gian tôpô không F - đ i số m J mốt 4-môđun C ấ u trúc ^4-mồđun tinh t ế cấu trúc F - đ i số Chẳng hạn, nhờ cấu trúc ta thấy khơng gian E C P ố' V ố' khơng có kiểu đồng ln, tốn tử Sq tác động tầm thường trẽp # ( S V s ) không tầm thường H (ECP ) 3 Nguyên nhân kiện Sq tác động không tầm thường # ( E C P ) sau (xem [79]): mặt phảng xạ ảnh phức C P thu cách dán ngăn chiều vào mặt cầu s nhờ ánh xạ Hopf h : s —> s ; anh xạ không đồng luân tầm thường B i t oá n "hit" ứng dụng k Gọi V = H*(RP°°) đại số đối đồng điều mơđulơ tích t rực tiếp k không gian xạ ảnh thực vô hạn chiều Theo công thức Kủrmeth [77], V F2-đại số đa thức phân bậc k biến (hay phần tử sinh), biến có bậc Bài tốn chúng tơi quan tam tìm hệ sinh cực tiểu cho A-môđun phân bậc V Một cách hình thức hơn, điều có nghĩa tìm c s cho khụng gian vộct phõn bc Ơ đAV = VỊ ÁP, Ã = ker£ iđêan bổ sung đại số Steenrod Bài toán thường gọi toán "hit." Để nhấn mạnh tầm quan trọng toán "hit," sau chúng tơi phân tích vai trị mối liên quan với đối tượng sau đây: số hạng E2 dãy phổ Adams (hội tụ đến nhóm đồng luân ổn định mặt cầu), lý thuy ết cobordism, biểu diễn mơđula nhóm ến tính tổng qt, phân tích chẻ ổn định khơ ng gian phân loại chu trình vĩnh cửu tr ong dãy phổ Adams, không gian khuyên vô hạn.QS 2.1 Sô hạng E2 dãy phô Adams Để tiếp cận tốn tiếng khó việc tính nhóm đồng luân ổn định mặt cầu, sở "dán dãy phổ Ser r e vào với nhau," năm 1958 Adams [2] đưa dãy phổ hội tụ đến thành phần 2-xoắn 27rf(S°) nhóm v ới số hạng E Ext* (F ,F2) việc tính Ext* (¥2,¥ ) A tr A Kể từ đó, thành tốn quan trọng hàng đầu lý thuy ết đồng luân ổn định Ý nghĩa F A V thiết lập lần (có lẽ) mội cơng trình Singer, õng sử dụng lý thuy ết bất biến để tìm hiểu Ext* (¥ ,¥ )A 2 Singer viết cơng trình vào qng năm 1980 lưu hành dạng tiền ấn phẩm Ơng thức cơng bố [75] vào năm 1989 Bằng công cụ đại số đồng điều túy , Singer xây dựng ánh xạ ến tính T o r ^ ( F , F ) —> F (Su V Ông chứng 2 minh ảnh ánh xạ bất biến tác động chí nh quy nhóm tuyến tí nh tổng quát ọc = Ợ£(k, F ) Ánh xạ đối ngẫu : Hom((F ® V) ,F ) ỢC Tr k Ả k —> Ext {¥ ,¥ ) A 2 gọi đồng cấu chuyển Singer Singer chứng tỏ giá trị không tầm thường đồng cấu chuyển cách TTk đẳng cấu k = Ì, 2, 0/- >o Trk l đồng cấu đại số (bảo toàn phép nhân) Cơng trình Singer phần l ớn dựa tính tốn cụ thể khơng gian véctơ (F2 ®A V) < Có thể nói cơng trình Singer l cơng trình đặt nhu cầu nghiên cứu toán "hit." Một thập kỷ sau Singer xây dựng đồng cấu chuyển, đến nam 1991 Boardman lần khẳng định giá trị nó, F2