vườn cổ tích trường mầm non Sơn Kim 1

1/ Chøng minh tø gi¸c BCEF néi tiÕp ®îc trong ®êng trßn... H·y tÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S ABC..[r]

§Ị Sè 1

§Ị thi häc sinh giỏi môn toán lớp

(Thời gian làm 150 )

Câu 1: Giải phơng trình 6 x −3

√x −√1− x = + √x − x

2

C©u 2: Cho hệ phơng trình:

x - 3y - =

x2 + y2 - 2x - 2y - = 0

Gäi (x1; y1) vµ (x2; y2) hai nghiệm hệ phơng trình HÃy tìm giá trị biểu thức

M = (x1- x2)2 + (y1-y2)2.

Câu 3: Từ điểm A nằm ngồi đờng trịn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB AC (B,C là

các tiếp điểm) Gọi M điểm cung nhỏ BC đờng tròn (O) (M khác B C) Tiếp tuyến M cắt AB AC E, F, đờng thẳng BC cắt OE OF P Q Chứng minh tỷ số PQ

EF không đổi M di chuyển cung nhỏ BC Câu 4: Tìm số x, y, z nguyên dơng thoả mãn đẳng thức

2(y+z) = x (yz-1)

Câu 5: Một ngũ giác có tính chất: Tất tam giác có đỉnh đỉnh liên tiếp

của ngũ giác có diện tích Tính diện tích ngũ giác

§Ị sè

Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp

(Thêi gian lµm bµi: 150 )’

(x +

x2+2006

y2+2006

y +√¿ ¿

√¿ ¿ ¿

H·y tÝnh tæng: S = x + y

Câu 2: Trong cặp sè thùc (x;y) tho¶ m·n: x

2− x+ y2− y

x2

+y2−1 ≤ 0

H·y tìm cặp số có tổng x+2y lớn

Câu 3:

Tìm số nguyên dơng n cho x = 2n + 2003 y = 3n + 2005 số phơng

Câu 4: Cho hai đờng tròn (C1) (C2) tiếp xúc ngồi điểm T Hai đờng trịn nằm đờng tròn (C3) tiếp xúc với (C3) tơng ứng M N Tiếp tuyến chung T (C1) (C2) cắt (C3) P PM cắt đờng tròn (C1) diểm thứ hai A MN cắt (C1) điểm thứ hai B PN cắt đờng tròn (C2) điểm thứ hai D MN cắt (C2) điểm thứ hai C

a Chứng minh tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp b Chứng minh AB, CD PT đồng quy

Câu 5: Giải phơng trình.

x2 + 3x + = (x+3)

√x2+1

§Ị sè 3

Sở giáo dục đào tạo Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Thanh hố Mơn: Tốn

***** Thêi gian: 150 phót Bài 1: Có số y biểu thị dạng sau không?

Bài 2: Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n hƯ thøc:

1 1

a b c  a b c  Chøng minh r»ng :

Với số nguyên n lẻ ta có:

1 1

n n n n n n

a b c a b c Bµi 3: Giải hệ phơng trình:

2

1 x y x y          

Bài 4: Cho hệ phơng trình hai Èn x, y sau:

2

( 1)

2

m x my m

mx y m

   

 

  



Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn P = xy đạt giá trị lớn

Bài 5: Tìm m để phơng trình (x2-1)(x+3)(x+5) = m có bốn nghiệm phân biệt x1, x2,

x3, x4 tho¶ m·n ®iỊu kiƯn

1 1 1

x  x  x  x  Bài 6: Cho Parabol (P) đồ thị hàm số

2

1

y x a Tìm m cho điểm C(-2; m)thuộc Parabol

b Có điểm thuộc Parabol cỏch u hai trc to

Bài 7: Giải phơng trình nghiệm nguyên:

x3 y3 – 2y2 – 3y – = 0

Bµi 8: Cho góc vuông xOy Các điểm A B tơng ứng thuộc tia Ox Oy

cho OA = OB Một đờng thẳng d qua A cắt đoạn OB điểm M nằm O B Từ B hạ đờng vng góc với AM H cắt đờng thẳng OA I

1 Chứng minh OI = OM tứ giác OMHN nội tiếp đợc

2 Gọi K hình chiếu O lên BI Chứng minh OK = KH tìm quỹ tích điểm K M di động đoạn OB

Bài 9: Cho tam giác ABC có A 900, M điểm di động cạnh BC Gọi O E lần lợt hình chiếu vng góc M AB AC Xác định vị trí M để độ dài đoạn thẳng OE ngắn

§Ị sè 5

§Ị thi học sinh giỏi lớp 9 Bài I (2đ)

Rót gän A 1+2 a

1+√1+2 a+

1 −2 a

1 −√1 −2 a Víi a = Bài II (6đ)

a) Tìm nghiệm nguyên phơng trình

2x2 + 4x = 19-3y2 b) Giải hệ phơng trình

x3 =7x +3y

y3 = 7y+3x

Bµi III (3đ)

Cho x,y,z số không âm x+y+z =1 Tìm giá trị lớn M = xy+yz+zx

Cho hình thang ABCD (AD//CD,AB ≠ CD) M,N lần lợt thứ tự trung điểm đờng hcéo AC BD , kẻ NH ⊥ AD, MH’ ⊥ BC Gọi I giao điểm MH’ NH Chứng minh I cách điểm C D

Bài V (3đ)

Cho a,b,c >0 a+b+c = Chøng minh b+c ≥ 16abc

Ò sè 9

đề thi học sinh giỏi - lớp 9 mơn tốn -thời gian : 150 phút

ngời đề : lê thị hơng – lê thị tâm

Câu 1: (4 điểm)

Chứng minh biểu thức sau không phục thuộc giá trị x A = 6 x −(x +6)√x − 3

2( x − 4√x+3)(2 −√x )−

3

−2 x+10√x − 12− 3√x − x − 2

®iỊu kiƯn x # 4; x # ; x #

C©u 2: (3 điểm) giải phơng trình x2

+48 = 4x - + x2+35 Câu 3: (4 điểm)

Ph©n tÝch thõa sè A = x3 y3 + z3 - 3xyz

Từ tìm nghiệm ngun (x, y , z) phơng trình x3 + y3 + z3 - 3xyz = x (y - z)2 + z (x - y)2 + y( z-x)2 (1) t/m đk:

Câu 4: (3 điểm)

Tìm GTNN cđa biĨu thøc

ϕ =

1+x2y2¿2

1 2(

x10 y2 +

y10 x2 )+

1 4(x

16

+y16)−¿

Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm đờng cao, đờng

phân giác, đờng trung tuyến tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành phần Hãy tính diện tích phần

Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (0) có đờng chéo AC&BD vuông với

nhau H < H không trùng với tâm (0) Gọi M,N lần lợt chân đờng vng góc hạ từ H xuống đờng thẳng AB, BC; P&Q lần lợt giao điểm đờng thẳng MH & NH với đờng thẳng CD; OA chứng minh đờng thẳng PQ // đờng thẳng AC điểm M, N, P, Q nằm (0)

đề số 10

Sở GD-ĐT hoá Đề thi học sinh giái To¸n líp 9

Tr êngTHPT Bỉm Sơn Bảng A

( Đề đề nghị ) Thời gian 150 phút ( Không kể thời gian phát đề)

Câu1 : (4 điểm) Cho biểu thức A= √

x+√y¿2 ¿ ¿ ¿

1,Rót gän biĨu thức A

2, So sánh A A

Câu 2: ( Điểm)

1, Giải phơng tr×nh: x2 + 4x + = 2

√2 x +3

2, Cho a b

Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P=

a+b2

Câu 3, (6 điểm)

1, Số đo hai cạnh góc vuông tam giác vuông nghiệm phơng

trình bËc hai: (m-2)x2-2(m-1)x +m =

Hãy xác định giá trị m để số đo đờng cao ng vi cnh huyn ca tam

giác là:

√5

2, Cho điểm A,B phân biệt đờng thẳng ( Δ ) Đờng tròn (o) tiếp xúc

với đờng thẳng ( Δ ) A Hãy dựng đờng tròn (o’) tiếp xúc với đờng trịn (o)

C©u 4: (5 ®iĨm)

Cho hai đờng trịn (o1) (o2) cắt A B Tiếp tuyến chung gần B

của hai đờng tròn lần lợt tiếp xúc với (o1) (o2) C D Qua A kẻ đờng thẳng

song song với CD lần lợt cắt (o1) (o2) M N Các đờng thẳng BC BD lần

lợt cắt đờng thẳng MN P Q Các đờng thẳng CM DN cắt E Chứng minh rằng:

1, Đờng thẳng AE vng góc với đờng thẳng CD 2, Tam giác EPQ tam giác cân

Đề số 11 Sở giáo dục đào tạo hoá

đề thi học sinh giỏi lp bng b

Môn: Toán

Thi gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bµi 1: Rót gän A= ( 2+2√a+

1 2− 2√a−

a2+1 1− a2)(1+

1

a) với a > a Bài 2: Phân tÝch ®a thøc B = x4 + 6x3 + 7x2 6x + thành nhân tử

Bi 3: Tìm m để phơng trình x2−15

4 x +m

2=0

cã hai nghiƯm vµ nghiƯm bình phơng nghiệm

Bi 4: Xỏc định m để hệ sau có nghiệm (x, y) với x, y số nguyên {mx+2 y=m+1 (1)2 x+my=2 m 1(2)

Bài 5: Giải phơng trình x2

+√x +5=5

Bài 6: Cho đờng thẳng (d): y = x + 2m – gọi A, B lần lợt giao điểm d với Ox,

Oy Xác định m để SABO

Bµi 7: Cho x, y, z > 0, x + y + z =

Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc C = ( xyz)(x+y)(y+z)(z+x)

Bài 8: Tính bán kính đờng trịn nội tiếp ABC vuông A biết đờng

phân giác AD chia cạnh huyền thành đoạn thẳng có độ dài 10 cm 20 cm

Bài 9: Cho đờng tròn tâm O, tiếp tuyến đờng tròn B, C cắt A,

BAC❑ = 600, M thuộc cung nhỏ BC, tiếp tuyến M cắt AB, AC D, E Gọi

giao điểm OD, OE với BC lần lợt I, K Chứng minh tứ giác IOCE nội tiếp

Bài 10: Chứng minh r»ng mét tø diƯn bÊt kú tån t¹i c¹nh cïng xuÊt

phát từ đỉnh mà cạnh nhỏ tổng hai cạnh

Tµi liƯu:

- Bài : Bất đẳng thức – Phan Đức Chính - Bài 8, 9, 10: Một số vấn đề phát triển Hình học

§Ị sè 12

Sở Giáo dục Đào Tạo đề thi chọn học sinh giỏi lp THCS

hoá Môn thi : Toán

( Thời gian làm : 150 phút)

Bài I (3,0 điểm):

Tính giá trị biểu thức P = Trong a

nghiệm dơng phơng trình : 4x2+

2 x- 2 =

Bài II ( 6,0 điểm):

1) Giả sử phơng trình : x2+ax+b = có hai nghiệm x1 , x2 phơng tr×nh :x2+cx +d = cã hai nghiÖm x3 , x4 Chøng minh r»ng :

2(x1+x3) (x1+x4) (x2+x3) (x2+x4) = 2(b-d)2- (a2-c2)(b-d)+(a+c)2(b+d) 2) Chứng minh phơng trình :

ax4+bx3+cx2-2bx+4a=0 (a 0)

cã hai nghiệm x1,x2 thoả mÃn x1x2=1 5a2=2b2+ac

Bài III (5,0 điểm):

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AA’,BB’,CC’ lần lợt đờng cao H trực tâm

1) Chøng minh r»ng:

2) Cho biÕt H·y tÝnh tgB.tgC theo m

Bµi IV (4,0 ®iĨm):

Từ điểm O tuỳ ý mặt phẳng chứa hình bình hành ABCD Ta nối với đỉnh hình bình hành

Chứng minh diện tích tam giác AOC tổng hiệu diện tích hai tam giác kề nhau,mỗi tam giác đợc tạo hai đờng thẳng OA,OB,OC,OD cạnh hình bình hnh

Bài V (2,0 điểm):

Gọi A tập hợp số nguyên tố p cho phơng trình : x2+x+1 = py có nghiƯm nguyªn x,y.

Chøng minh r»ng A tập hợp vô hạn

§Ị sè 13

Së GD-§T Thanh Hãa §Ị thi häc sinh giái líp Trêng THPT Mai Anh Tuấn Môn : Toán - Năm học: 2005 - 2006 (Thêi gian lµm bµi: 180 phút) Bài 1: (2,0đ)

Tính giá trÞ biĨu thøc:

a+1 √a4+a+1− a2

AH HA ' +

BH HB ' +

CH HC ' ≥ 6 AH

A= √2+√2+√3+

1

√2−√2−√3

Bµi 2: (5,0®)

Cho parabol(P): y=

4 x ❑2

a.Viết phơng trình đờng thẳng (d) di qua điểm A B thuộc (P) có hồnh độ lần lợt v -

b.Tìm điểm C cung AB cđa (P) cho tam gi¸c ABC cã diện tích lớn Bài 3: (4,0đ)

Cho tam giác ABC vuông cân B, nội tiếp đờng trịn (O;R) Trên cung AC có chứa điểm B, lấy điểm D tùy ý; tia đối tia DA lấy điểm E cho DE = DC

a Chứng minh trung điểm I EC điểm D thẳng hàng với điểm thứ ba cố định

b.Tìm tập hợp điểm E D di động cung ABC

c.Xác định vị trí D cung ABC để độ dài AE lớn nhất, tính độ di y theo R

Bài 4: (4,0 đ)

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác Điểm A’ cách điểm A, B, C

a Chứng minh chân đờng cao hạ từ đỉnh A’ lăng trụ trùng với tam đáy ABC

b Chứng minh mặt bên BCCB lăng trụ hình chữ nhật Bài 5: (5,0 đ)

a.Giải phơng trình:

(x - 1) (x - 3) (x - 4) (x - 6) + = b.Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình:

2x ❑2 +7xy + 6y

❑2 = 60

§Ị sè 14

Sở gd & đt Thanh hoá đề thi học sinh giỏi lớp thcs

Trêng thpt trÇn phó Môn : Toán

Nga Sơn Thêi gian : 150 kh«ng kĨ thêi gian giao

Bµi 1: (6 điểm)

1- Giải phơng trình : x2 + y2 = 5

x4 + x2y2 + y4 = 13

2- Cho biểu thức: A = Tìm x để A đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ

Bài : (3 điểm)

Cho Phơng trình : x2 – (m - 1) x + m – = 0

1)Chứng minh ln có nghiệm với V giá trị m 2)Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu Bài 3: (3 điểm)

Cho a + b + c + d = Trong a, b, c, d Є R Hãy chứng minh : a2 + b2 + c2 + d2 ≥

Bài 4: (4 điểm)

Cho ng trũn nội tiếp ∆ ABC , tiếp xúc với cạnh BC D Chứng minh rằng: ∆ ABC vuông A chỉ khi: AB AC = 2DB DC

Bài 5: ( điểm)

Cho h×nh chãp SABC cã SA SB, SA SC, SB SC

BiÕt SA = a; SB + SC = k Đặt SB = x

a)Tính thể tích h×nh chãp SABC theo : a, k, x

b)Tính SB, SC để thể tích hình chóp S ABC lớn

§Ị sè 21

Së GD&§T Thanh hãa

Trêng thpt hËu léc

-o0o -đề xuất ngân hàng -o0o -đề

Đề thi Học sinh giỏi lớp Môn Toán

-o0o -Câu 1: (1 điểm) Rút gọn biÓu thøc:

 

 

2

x x

2

x x

1

1 2

4 A

1

1 2

4





  



  

, với x < Câu 2: (2 điểm) Giải phơng trình sau biết phơng trình có nghiệm đối nhau:

x4 – 4x3 + 3x2 + 8x 10 = 0.

Câu 3: (2 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ cđa biĨu thøc P = x2 + y2, biÕt r»ng: x2 + y2 – xy = 4.

C©u 4: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau: 7x2 + 13y2 = 1820. Câu 5: (3 điểm)

b) Cho M điểm di động cung AC nhỏ Gọi D giao điểm AM BC Chứng minh AM.AD số

c) Chứng minh tâm đờng tròn ngoại tiếp MCD di động đờng cố định M di động cung AC nhỏ

§Ị sè 22

Sở gd ĐT hoá đề thi hc sinh gii lp 9

Môn : Toán

Thêi gian lµm bµi : 150 phót

Bµi : Cho biĨu thøc

A=a√a+a+√a

√a+1 :(a

2− √a)

a) Tìm a để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn A

Bài : Cho số dơng x,y thoả mÃn x+y=1

Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc

B=(1−

x2)(1 −

1

y2)

Bài : Cho phơng trình −x

2

4 =m(x −1)−

2 (m lµ tham sè )

a) Chứng minh phơng trình ln có nghiệm phân biệt với ∀ m R b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn biểu thức x1

2

x2+x1x22 đạt giá trị nhỏ

nhÊt, tÝnh giá trị

Bài :

Mt động viên bắn súng bắn 11 viên trúng vào vòng 9,10 điểm; tổng số điểm đạt đợc 109 điểm Hỏi vận động vieen bắn viên kết bắn vào vũng sao?

Bài : Giải phơng trình

√x+3 − 4√x − 1+√x +8+6√x − 1=5 Bµi : Cho parabol(P) : y= −1

4x

2

đờng thẳng (d) : y= mx – 2m – a) tìm m để đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P)

b)chứng minh đờng thẳng (d) qua điểm cố định A∈(P) Bi 7:

Tìm nghiệm nguyên phơng tr×nh

7 x+13 y2=1820

Chøng minh r»ng

SHIK

SABC

=1− cos2A − cos2B− cos2C Bµi 9:

Cho hình vng ABCD Gọi MNPQ tứ giác lồi có đỉnh lần lợt nằm cạnh hình vng Xác định tứ giác MNPQ cho có chu vi nhỏ

Bµi 10 :

Cho đờng trịn (O;R) điểm P cố định ngồi đờng trịn, vẽ cát tuyến PBC tìm quỹ tích điểm O1 đối xứng với O qua BC cát tuyến PBC quay quanh P

§Ị sè 23

Sở giáo dục & đào tạo thi học sinh giỏi lớp THcs

Thanh ho¸ Đề thức

Môn: Toán

Thêi gian lµm bµi: 150 phót.

Bài I ( 1,0 điểm )

Cho hai phơng trình: x2 + ax + = vµ x2 + bx + 17 = BiÕt r»ng hai phơng trình có nghiệm chung |a|+|b|nhỏ Tìm a b

Bài II ( điểm )

Giải phơng trình: x+x 5+x+x25 x=20 . Bài III (2,5 điểm )

1/ Giải hệ phơng trình:

x3+y3=1 x7

+y7=x4+y4

¿{

¿

2/ T×m nghiƯm nguyên phơng trình: x3 + y3 + 6xy = 21. Bài IV ( 2,5 điểm )

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O ) tâm O M điểm cung BC không chứa điểm A Gọi M’ điểm đối xứng với M qua O Các đờng phân giác góc B góc C tam giác ABC cắt đờng thẳng AM’ lần lợt E F 1/ Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đợc đờng tròn

2/ Biết đờng tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r Chứng minh: IB.IC = 2r.IM

Bài V (2 điểm )

1/ Cho số a, b thoả mÃn ®iỊu kiƯn: 0 ≤ a ≤3 ;8 ≤ b ≤11 a + b = 11 Tìm giá trị lớn nhÊt cña tÝch P = a.b

2/ Trong mặt phẳng ( P ) cho tia chung gốc phân biệt Ox ; Oy ; Oz

Tia Ot không thuộc (P) xOt = yOt = zOt Chứng minh Ot vuông góc với mặt phẳng (P)

Hä tên thí sinh: Số báo danh:

§Ị sè 24

Së GD&§T Thanh Hoá

Trờng THPT Hoằng Hoá Đề thi học sinh giỏi lớp 9Môn : Toán

Thi gian lm : 150 phút ( không kể thời gian giao )

Bài (2 điểm)

Rút gän biÓu thøc : P =

1+√5+

√5+√9+

√9+√13+ +

1

√2001+√2005 Bài (2 điểm)

Cho ba số dơng x; y; z thoả mÃn điều kiện xy + yx + xz = HÃy tính giá trị biểu thøc sau :

S = x√(1+ y

)(1+z2) 1+x2 +y√

(1+z2)(1+x2) 1+ y2 +z√

(1+x2)(1+ y2) 1+z2 Bài ( điểm)

Giải phơng trình : 2 x

3 x2 x+2+

13 x

3 x2+x+2=6

Bµi (2 điểm)

Giải hệ phơng trình : {x3 y3=3 (x − y)

x + y=− 1¿

Bµi (2 ®iĨm)

Tìm giá trị x để đẳng thức sau đẳng thức :

√3 x2−18 x+28+

√4 x2− 24 x+45 = – x2 + 6x -5

Bài (2 điểm)

Cho Parabol (P) : y =

4x

2

đờng thẳng (d) qua hai điểm A, B (P) có hồnh độ lần lợt -2 Tìm điểm M cung AB (P) tơng ứng có hồnh độ x [-2; 4] cho tam giác MAB có diện tích lớn

Bµi ( điểm)

Tìm cặp số nguyên d¬ng (x; y) cho x

+2

x2y+1 số nguyên dơng

Đề số 26

Đề thi học sinh giỏi lớp - Môn Toán: Thời gian: 150phút Bài 1(2 điểm): Thực phép tính:

A=√5+√17 −√5 −√17 −√10− 4√2+4

√3+√5−√3−√5+2−√2 Bµi 2(2 ®iĨm): Ph©n tÝch ®a thøc ph©n tư

24x3 - 26x2 + 9x - 1

Bài 3(2 điểm): Tìm m để phơng trình:

x2 - 2x - x-1 + m = cã nghiƯm ph©n biƯt

√x +2√y=3 2√x +√y=m Bài 5(2 điểm): Tìm m để hệ:

mx+ y =1 2 x +3 y=m−1

cã nghiƯm (x;y) tho¶ x2 + y2 = 1

Bài 6(2 điểm): Cho đờng (dm): y = mx - 3m + 2

a) Vẽ đồ thị (d2) (tức m = 2)

b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O ti (dm) ln nht

Bài 7(2 điểm): Tìm (x;y) nguyên thoả y=2 x

3

+x2 11 x+5 2 x −3

Bài 8(2 điểm): Cho điểm I, qua I kẻ đờng a b thoả a  b

Trªn a vỊ hai phÝa I lấy điểm A, D Trên b hai phía I lấy điểm B, C Thoả IA.ID = IB.IC

a) Chứng minh A, B, C, D thuộc đờng tròn

b) Qua D kẻ đờng song song với b cắt AB kéo dài F Hãy xác định điểm E FD cho AE  FI Khi ICED hình gì?

Bài 9(2 điểm): Cho hình bình hành ABCD có chu vi không đổi 2p M, N AB thoả

AM = MN = NB

P, Q trªn DC cho DP = PQ = QC AQ cắt DN, BP lần lợt A1D1 CM cắt DN, BP lần lợt B1C1

Hi hỡnh bỡnh hnh ABCD có đặc điểm tứ giác A1B1C1D1 có diện tích đạt giá trị lớn

Bài 10(2 điểm): Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h tích 30m3 đáy là đờng tròn (O) (O'), AB đờng kính đờng trịn tâm (O), C di động đờng tròn (O) S thuộc đờng tròn tâm (O')

a) Xác định C để diện tích  ABC lớn

b) Khi  ABC đạt giá trị lớn Hãy tính thể tích hình chóp SABC Đề số 28

Sở giáo dục - đào tạo hóa Đề thi học sinh giỏi lớp THCS

Trờng THPT bc lê viết tạo **************************** Bài 1:

a) Chøng minh r»ng:

√3

√2 −1=√3 9−

3

√2 9+

3

4

b) Tính giá trị biểu thức

E=2 x5+x3−3 x2+x −1 víi x=1−√2

Bµi 2: Cho a ≠ −b , a ≠ −c , b ≠ −c chøng minh r»ng

b2− c2

(a+b)(a+c )+

c2− a2

(b+c )(b+a)+

a2− b2

(c +a)(c +b)= b − c b +c+

c − a c +a+

a − b a+b

Bài 3: Cho phơng trình: x2

−2 mx+2 m −1=0

Tìm m để phơng trình có nghiệm cho nghiệm bình phng nghim

Bài 4: Giải phơng trình: 8+x+5 −√x=5

¿

x5−2 y=a

x2+y2=1

¿{

¿

Bµi 6: Cho Parabol (P) y=1 x

2

đờng thẳng (d): y=−1

2x +2 Gäi A vµ B giao

điểm (P) (d) Tìm M trªn cung AB cđa (P) cho diƯn tÝch MAB lớn Bài 7: Tìm nghiệm nguyên phơng trình

8 x4+4 y4

+2 z4=t4

Bài 8: Cho tam giác ABC Phân giác AD, trung tuyến AM Lấy đối xứng trung tuyến AM qua AD cắt BC N Chứng minh: NB

NC= AB2 AC2

Bài 9: Diện tích hình thang Hỏi đờng chéo lớn có giá trị bé

Bài 10: Cho đờng trịn ( 0; R) với đờng kính AB MN Tiếp tuyến với (0) A cắt BM BN M1, N1 Gọi P trung điểm AM1, Q trung điểm AN1 Đờng kính AB cố định, tìm tập hợp tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác BPQ đờng kính MN thay đổi

Đê số 30

Sở giáo dục & đào tạo hoá

đề thi học sinh giỏi lớp

Thêi gian: 150 phút

Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức P=[1 −x − 3√x

x − 9 ]:[√ x − 3 2 −√x+

√x − 2 3+√x −

9 − x x+√x −6]

a Rút gọn biểu thức P b Tìm giá trị x để P =

Bài 2: (5 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ, cho điểm A(-1; -2); B(-3; 4); C(2;4)

a Chứng minh A, B, C không thẳng hµng b Cho Parabol (P): y = ax2 + bx + c

Xác định a, b, c để (P) qua điểm A, B, C

c Qua O kẻ đợc đờng thẳng d tiếp xúc với (P) hay khơng ?

Bµi 3: (4 điểm) Giải phơng trình hệ phơng trình sau

a)

x2−4 x+5− x

+4 x −1=0 b) {√x +1+√y=4

x + y=7

Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH vẽ đờng tròn tâm O

đ-ờng kính AH Đđ-ờng tròn cắt cạnh AB, AC lần lợt D E

a Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật điểm D, O, E thẳng hàng

b Các tiếp tuyến đờng tròn tâm O kẻ từ D E cắt cạnh BC tơng ứng M N Chứng minh M, N lần lợt trung điểm đoạn HB, HC

c Cho AB = 8cm, AC = 9cm TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c MDEN

Bài 5: (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau:

1+x2+ 1+ y2≥

2

§Ị sè 31

Sở GD & ĐT Thanh hoá đề thi học sinh gii tnh lp

Trờng THPT Quảng Xơng Môn: môn toán - bảng A -năm học 2005 - 2006

(Thời gian 150 phút, khơng kể thời gian giao đề)

Bµi 1: (5 ®iÓm)

1> cho P=(1 − x√x 1−√x +√x)(

1+ x√x 1+√x −√x)

a> Rót gän P

b> Tìm giá trị lớn

P

2>> Tìm đờng thẳng y= x+ điểm có toạ độ thỗ mãn: y2 - 3y

x + 2x =0

Bài 2: (5 điểm)

1> Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình x2 + mx + n =0 T×m m, n tho· m·n hÖ

¿

x1− x2=5

x13− x

=35

¿{

¿

2> Giải phơng trình:

x+1+12

x2

Bài 3: (5 điểm)

1> Cho ng trịn tâm O nội tiếp hình thang ABCD (AB // CD) E, F tiếp điểm AB CD với đờng tròn (O)

a> CMR: BE

AE= DF CF

b> BiÕt AB = a, CD = 2a, BE = 2AE TÝnh diÖn tÝch ABCD

2> Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có B= 1v, cạnh bên SA vng góc (ABC) A Gọi H, K hình chiếu vng góc A lên SC SB Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp

1> Tìm a∈ R để phơng trình ẩn x sau: 2 x2−(4 a+11

2 )x +4 a

2+7=0 cã nghiƯm nguyªn

2> Chøng minh r»ng:

x2+y2¿2 ¿ ¿

4 x2y2

¿

với x, y khác

Đề số 32 Sở GD & ĐT Thanh Hoá

Trờng THPT Quảng Xơng II

- -Đề thi Học sinh giỏi lớp 9

Môn: Toán

Thi gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài1 (5điểm)

a Rót gän

P=

1+√3 1+√1+√3

2 +

1 −√3 1 −√1 3

2

b Giải phơng trình:

x+1+3 x 1=35 x

Bài2 (5điểm)

a Giải hệ phơng trình

x+ y=4 z −1 y +z=√4 x −1 x+z =√4 y −1

{ {

b Tìm nghiệm nguyên: x+xy+y=9 Bài3 (5điểm)

a Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc:

P= 4 a

b+c − a+ 9b a+c −b+

16 c a+b − c

Với a,b,c độ dài cạnh tam giác

b Với a,b,c độ dài cạnh tam giác chứng minh phơng trình: x2+(a+b+c)x+ab+bc+ca=0 vơ nghiệm

Bài (5điểm)

Cho tam giác ABC có góc nhọn Đờng cao HE Trên đoạn HE lấy ®iÓm B cho tia CB AH Hai trung tuyÕn AH BK tam giác ABC cắt I Hai trung trực AC BC cắt t¹i O

a Chứng minh Δ ABH đồng dạng với Δ MKO b Chứng minh

√IO3

+IK3+IM3 IA3+IH3+IB3 =

§Ị sè 33

Ngân hàng đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 9 Thời gian: 150 phút.

Tỉ To¸n, Trờng THPT Quảng Xơng III

Bài 1:

1) (2®) Rót gän biĨu thøc: A=√3a3

+a+1 3√27 a

4

+6 a2+1 3+

3

√a3+a −1 3√27 a

4

+6 a2+1

2) (2đ) Trục thức mẫu số cđa biĨu thøc: A=

1+3√32− 2√34 Bµi 2:

1) (2đ) Giải phơng trình: |x2

+5 y2+9 z2+x − xy − yz −1|+1=x |2 x2 x|

2) (2đ) Giải hệ phơng trình sau:

x2+y2=10 x2y + y2x =12

¿{

¿

Bµi 3:

1) (2đ) Giải phơng trình: x4

−2 x2−12√x2+1 −12=0

2) (2đ) Lập phơng trình đờng thẳng qua A( 1; 0) tiếp xúc với đồ thị hàm số

y=x2

+x −|x2− x| (C) Bài 4:

1) (2đ) Tìm giá trị lín nhÊt cđa T =1 a+

1 b+

1

c víi a, b, c  N vµ T <

2) (2đ) Cho tam giác ABC nhọn có AB = AC, đờng cao BM Chứng minh

AM MC=2(

AB BC)

2

1

Bài 5:

Cho tứ giác lồi ABCD, E trung điểm AD Tìm tập hợp điểm M nằm tứ giác cho tổng diện tích tam giác AMB CMD tổng diện tích tam giác AEB CED trờng hợp:

1) (2đ) AB CD song song

2) (2đ) AB CD không song song

HÕt

§Ị sè 35

§Ị thi häc sinh giái líp

1 (2®) Rót gän biÓu thøc A = 2+√3 √2+√2+√3+

2−√3

223

2 (4đ) Tính giá trị tổng B = √1+

12+

22.+√1+ 22+

1

32+ .+√1+ 992+

1 1002

Bài 2: (2đ) Tìm x, y, z nguyên dơng đôi khác thoả mãn:

3x + 3y + 3z = 6831

Bài 3: (4đ).

1 (2đ) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé cđa hµm sè: y = √x+3+√6 − x

2 (2đ) Cho số dơng a, b, c biết a

1+a+ b 1+b+

c 1+c≤1

Chøng minh rằng: abc

8 Bài 4: (2đ) Giải phơng tr×nh:

x(x - 2)(x + 2)(x + 4) = -7

Bài 5: (6 đ).

Cho ABC vuụng A, đờng cao AH Gọi (P), (Q) theo thứ tự đờng tròn nội tiếp hai tam giác AHB AHC Kẻ tiếp tuyến chung (khác BC) (P) (Q) cắt AB, AH, AC theo tự M, K, N Chứng minh

a (2®) HPQ ~ ABC b (2®) KP // AB, KQ // AC

c (2đ) tứ giác BMNC nội tiếp đợc

s 36

sở gd & đt hoá §Ị thi häc sinh giái líp 9

truờng thpt đặng thai mai mơn : Tốn - thời gian: 150 phút

- Câu1:(4đ)

1.Đơn giản biểu thøc sau:

A=√5 −2√2+√9+4√2 B=a

6

−2 a5+a− 2

a5+1 ; a ≠ −1

2.Tính giá trị biểu thức B phần 1,

a x + y=

5

x+z vµ 25

(x + z )2= 16

Câu2:(4đ)

Giải phơng trình sau: √x2

−2 x+1+√x2− x+9=2

2 ( x − 1)(2 − x )3=27

256 víi 1≤ x 2 Câu3: (4đ)

Cho h ng thng (Dm) có phơng trình : y= m+1 m2+m+1x+

m2 m2+m+1

1.Tìm điểm cố định họ đờng thẳng (Dm)

2.Tìm m để đờng thẳng họ (Dm) cắt Parabol (P) : y = x2 hai điểm có hoành độ dối nhau.Xác định toạ độ giao im y

Câu4: (4đ)

Cho tam giỏc ABC nội tiếp đờng tròn tâm O M điểm đờng trịn Gọi A/,B/,C/ lần lợt hình chiếu M đờng thẳng BC , CA , AB

1.Chøng minh tứ giác BC/A/M CA/MB/ nội tiếp. 2.Chứng minh điểm A/, B/ , C/ thẳng hàng.

3.Trên đờng tròn tâm O cho lấy điểm M1M Gọi A1, B1, C1 lần lợt hình chiếu M1 lên đờng thẳng BC , CA , AB Tìm vị trí điểm M1 đờng trịn tâm O để đờng thẳng A1B1C1 vng góc với đờng thng A/B/C/.

Câu5: (4đ)

Chứng minh rằng: x8

− x5+x2− x+1 ≥ 0 víi mäi sè thùc x

2 1n+

n+1+⋯+

n2>1 với số tự nhiên n>1 /

Đề sè 38

đề thi học sinh giỏi lớp THcs mơn tốn

( Thêi gian: 150 phót) C©u 1:

a.(1 ®) Rót gän biĨu thøc

A = 4+10+25 + 4 10+25 b.(1 đ) Tính giá trÞ biĨu thøc

B = 1+2 x

1+√1+2 x +

1 −2 x

1 −√1 −2 x víi x =

√3

C©u 2:(1 đ) Cho phơng trình x2 - mx + m - = 0

Tìm Giá trị lớn biÓu thøc C= 2 x1x2+3 x12+x22+2(x1x2+1)

Với x1, x2 nghiệm phơng trình cho Câu 3:

a.(1 đ) Giải Phơng trình: 4x2 +3x(4

1+x -9) = 27 b.(1.5 đ) Giải phơng trình nghiệm nguyªn: xy

z + yz

x + zx

Câu 4:(1.5 đ) Cho x, y, z số nguyên thoả mÃn

(x-y)(y-z)(z-x) = x + y + z Chøng minh r»ng: (x + y + z) lµ béi cđa 27

Câu 5: Cho đờng trịn( O, R) hai đờng kính AB, MN Các đờng thẳng BM, BN cắt tiếp tuyến A đờng tròn( O) tơng ứng M’ N’ Gọi P, Q theo thứ tự trung điểm M’A N’A

a.(1 ®) Chøng minh tø gi¸c MNN’M’ néi tiÕp

b.(1 đ ) Chứng minh đờng cao Δ BPQ cắt trung điểm bán kính OA

đề số 40

§Ị thi häc sinh giái líp 9 môn toán

xut Thi gian150

Bài 1:(4đ) Cho biểu thức:

P=

x4− x3+x −1−

1

x4+x3− x − 1−

4

x5− x4+x3− x2+x − 1 a\ Rót gän biÓu thøc P

b\ Chøng minh r»ng: 0<P<32/9 x 1

Bài 2:(4đ) Cho parabol (P): y=1 2x

2

, điểm I(0;2) điểm M(m;0) ∀ m≠ 0

a\ VÏ (P)

b\ Gọi d đờng thẳng qua I m Chứng minh đờng thẳng d cắt (P) điểm phân biệt A, B

c\ Gäi H, K lần lợt hình chiếu A, B lên trục Ox Chứng minh tam giác IHK vuông

d\ Chứng minh độ dài đoạn AB>4 ∀ m≠ 0

Bài 3:(4đ) Cho phơng trình: (m-1)x2-2(m-2)x+m+1=0 a Giải biện luận theo thámố m

b Khi phng trình có nghiệm x1, x2 Hãy tìm hệ thức liên hệ x1, x2 độc lập với tham số m

Bài 4(6đ) Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tiếp điểm (O) cạnhBC, CA, AB lần lợt D, E, F Kẻ BB1 AO , AA1 BO

Chøng minh điểm D, E, A, B thẳng hàng Bài 5(2đ) Tìm nghiệm nguyên phơng trình

§Ị sè 44

§Ị thi häc sinh giái lớp 9 Môn: Toán Thời gian:

Giáo viên thực hiện: Nguyễn Khắc Trữ Hà Quang Hiểu

Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức:

A = √(x2− 4)+16 x2

x2 +√x

2

− x +9

a) Rót gän A

b) Tìm x nguyên để A nguyên

Bài 2: (4điểm) Cho phơng trình:

x22 (m− 1) x +m −1=0 (1)

a) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt

b) Giả sử x1, x2 nghiệm phơng trình (1) Tìm giá trị nhỏ =x12+x22+1

Bài 3: (3 điểm) Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình

x+ y=

1

Bài 4: (3 điểm) Giải hệ phơng trình x2

+ y2+

x y=3 x+1

y+ x y=3 Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O); H trực tâm tam giác; M điểm cung BC không chứa điểm A

a) Tìm vị trí M để tứ giác BHCM hình bình hành

b) Gọi E,F lần lợt điểm đối xứng M qua AB AC Chứng minh E,H,F thẳng hàng

Bµi 6: (2 ®iÓm) Cho a∈[0 ;1] Chøng minh r»ng: √a2

− a+1+√a − a2+1≤ 2 dÊu b»ng

x¶y nào?

Đề số 51

Sở GD&ĐT Thanh hoá Đề xuất Đề thi học sinh giỏi lớp

Môn: Toán Bảng A

Bài 1: (4 điểm)

Cho phơng trình x4 + 2mx2 + =0

Tìm giá trị tham số m để phơng trình có nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thỏa mãn x14 + x24 + x34 + x44 = 32

Bài 2: (4 điểm)

Giải hệ phơng tr×nh2 2

2

4

      

 

    

 

x xy y x y

x y x y

Bài 3: (3,5 điểm)

Tỡm số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức x2 + xy + y2 = x2y2

Bµi 4: (6 ®iĨm)

Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB=2R (R độ dài cho trớc) M, N hai điểm nửa đờng tròn (O) cho M thuộc cung AN tổng cáckhoảng cách từ A, B đến đờng thẳng MN R

1) Tính độ dài đoạn MN theo R

2) Gọi giao điểm hai dây AN BM I, giao điểm đờng thẳng AM BN K Chứng minh điểm M, N, I, K nằm đờng trịn Tính bán kính đờng trịn theo R

3) Tìm giá trị lớn diện tích KAB theo R M, N thay đổi thỏa mãn giả thiết bi toỏn

Bài 5: (2,5 điểm)

S thc x thay đổi thỏa mãn điều kiện x2 + (3 -x)2  Tìm giá trị nhỏ của biểu thức:

P = x4 + (3-x)4 + 6x2(3-x)2.

Đề số 52

Đề thi toán học sinh giái líp 9

Thời gian: 180 phút ( khơng k thi gian giao )

Bài 1: (4 điểm)

TÝnh: T = x√(1+ y2)(1+z2)

1+x2 +y√

(1+z2) (1+ x2)

1+ y2 +z√

(1+x2) (1+ y2)

1+z2

2) T×m nghiƯm nguyªn cđa hƯ:

¿

x + y +z=5 xy +yz+zx =8

¿{

¿

Bµi 2: (6 điểm)

1) Cho phơng trình: x2+(1-2m)x+m2-1=0

a- Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt? Có nghiệm trái dấu? b- Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn 1

2) Giải phơng trình: 2006 x4+x4x2+2006+x2

2005 =2006

Bài 3: (4 điểm)

1) Cho hỡnh vuụng ABCD, M điểm nằm đờng chéo BD Gọi E, F lần lợt hình chiếu vng góc M AB AD

Chứng minh đờng thẳng CM, DE, BF đồng qui

2) Chứng minh cạnh tam giác không lớn (đơn vị dài) diện tích khơng lớn √3

4 (đơn vị diện tích)

Bài 4: (6 điểm)

1) Cho n số thực: a1, a2, …, an [-1;1] Tho¶ m·n a1

3

+a23+ +an3=0

Chøng minh r»ng: a1+ a2+ …+ an n

3

2) Cho BPT: x+1

x2+x+1≥ m (1)

a- Tìm m để bất phơng trình có nghiệm? b- Xác định m để (1) với x?

§Ị sè 54

Sở giáo dục đào tạo kỳ thi học sinh giỏi lp 9

Thanh hoá môn thi : toán

Thời gian:(150 phút-không kể thời gian giao )

Bài : Tính giá trị biĨu thøc: A=(3 x3

+8 x2+2)2006 víi x=

3

√(17√5)− 38

P=( x +1

x)

6

−(x6+

x6)− 2

(x+1 x)

3

+x3+

x3

Bài :Chứng minh phơng tr×nh :

x2

−2 mx+2 20052006=0 nghiệm nguyên với m Z

Bài 4: Tìm tất tam giác vuông có cạnh số nguyên số đo diện tích số đo

chu vi

Bài 5: Giải phơng trình : x2

+2 x=2 x2.2 − x

Bµi : Cho Parabol (P): y=1 x

2

đờng thẳng (D) qua hai điểm A,B (P) có hồnh độ lần lợt : -2

Bài : Trên đờng tròn viết 2006 số tự nhiên,biết số trung bình cộng 2

số đứng liền trớc sau Chứnh minh tất số bầng

Bài : Các đờng cao tam giác ABC cắt H Biết HC=AB , tìm góc

đỉnh C

Bài : Từ điểm P nằm ngồi đờng trịn tâm O, bán kính R kẻ hai tiêp tuyến PA PB với

A,B tiếp điểm Gọi H chân đờng vng goc hạ từ điểm A đến đờng kính BC a Chứng minh PC cắt AH trung điểm AH

b.TÝnh AH theo R vµ PO =d

Bài 10 :Cho 10 điểm nằm mặt phẳng (P) Nối cặp điểm với ta c cỏc

đoạn thẳng Mặt phẳng (P) có 30 giao điểm với đoạn thẳng nói không?

s 56

Đề thi häc sinh giái to¸n líp 9

(Thêi gian làm 150 phút)

Bài I (3 điểm)

1/ Rót gän biĨu thøc:

A = √4+√5√3+5√48 −10√7+ 43 2/ Giải phơng trình:

|x y +1|+|3 x + y −7| =

Bµi II: (5 điểm)

1/ Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc: B = 4 x +3

2/ Cho parabol y = x2 gọi M, N giao điểm đờng thẳng y = kx + với parabol (k tham số) Tìm giá trị k để đoạn thẳng MN đạt giá trị nhỏ Cho biết cơng thức tính khoảng cách hai điểm A(x1;y1) B(x2;y2) là:

AB =

y2− y1¿

x2− x1¿

+¿ ¿

√¿

Bài III: (4 điểm)

1/ Giải phơng trình: √5− x6−√33 x4−2=1

2/ Cho a, b, c lµ ba sè thùc d¬ng Chøng minh r»ng: √ab+ bc+ca 33(a+b)(b+c)(c +a)

Bài IV: (4 điểm)

Cho ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Gọi E, F hai tiếp điểm AB, BC với đ -ờng tròn (O), K giao điểm đ-ờng phân giác BAC với EF Chứng minh CKA = 900

Bài V: (4 điểm)

Cho hỡnh thoi ABCD, hai đờng chéo AC BD cắt O Đờng trung trực AB cắt BD, AC M, N Biết MB = a, NA = b Tính diện tích hình thoi theo a b

§Ị sè 57

Sở gd & ĐT hoá

======***=====

Kì thi học sinh giỏi lớp 9

Môn Thi : To¸n

(Thời gian 150 phút,khơng kể giao đề )

Ngời đề: Trinh Thị Thanh Huyền Đơn vị: Trờng THPT Triệu Sơn

Bài (2đ): (Các đề thi học sinh giỏi Toán Mĩ)

Tổng trung bình cộng trung bình nhân hai số dơng 200 Tính tổng bậc hai số

TÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc:

S=12−22+32−42+ +20032−20042+20052

Bài (2đ): (Phơng pháp giải 36 đề thi Toán Vừ i Mau)

Phân tích thành nhân tö:

A =(xy +yz + zx)(x + y + z) xyz

Bài (2đ): (Phơng pháp giải Toán Đại số Trần Phơng_Lê Hồng Đức)

Cho phơng trình:

(m− 1) x2−2(m− 4) x+m−5=0

T×m hƯ thøc liên hệ nghiệm phơng trình không phụ thuéc m

Bài (2đ): (Phơng pháp giải 36 đề thi Toán Võ Đại Mau)

Cho hệ phơng trình:

{

1 x −1+

m y −2=2

y −2− 3 m x −1=1

2 Tìm m để hệ cho có nghiệm

Bµi (2đ): (Luyện thi vào THPT môn Toán Vũ Đình Hoàng Hà Huy Bằng)

Giải hệ phơng trình: {(x

2

+xy + y2)x2+y2=185 (x2 xy+ y2)x2+y2=65

Bài (2đ): (Báo Toán học tuổi trẻ)

Trờn mt phng toạ độ cho đờng thẳng (d) có phơng trình: 2kx + (k – 1)y = (k tham số)

1 Tìm k để đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng y=√3 x ? Khi tính góc tạo (d) với tia Ox

2 Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng (d) lớn nhất?

Bµi (2đ): (Báo Toán học tuổi trẻ)

Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x2

+2004 x +2005 y2+y=xy+2005 xy2+2006

Bài (2đ): ( 40 đề thi tuyển sinh vào PTTH)

1 Tìm điều kiện cạnh a, b, c Δ ABC để Δ ABC đồng dạng với tam giác mà cạnh đờng cao Δ ABC

2 Cho hình vng ABCD, điểm P cạnh AB, điểm Q cạnh BC cho BP = BQ Gọi H chân đờng vng góc hạ từ B xuống PC

Chøng minh: ∠DHQ=900

Bài (2đ): ( Đề thi vào 10 chuyên Lê Hồng Phong TP HCM năm 2005-2006)

Cho Δ ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O;R) M điểm di động cung nhỏ BC Từ M kẻ đờng thẳng MH, MK lần lợt vng góc với AB, AC ( H thuộc đờng thẳng AB; K thuộc đờng thẳng AC)

1 Chứng minh: Hai tam giác MBC MHK đồng dạng với nhhau Tìm vị trí điểm M để độ dài đoạn HK lớn

Bài 10 (2đ): ( 40 đề thi tuyển sinh vào PTTH)

Dựng tam giác ABC biết trung điểm M, N tơng ứng BC, AC đờng phân giác góc A nằm đờng thẳng (d) cho

§Ị sè 58

Sở GD - ĐT Thanh Hoá Đề thi học sinh giái líp 9 Trêng THPT TriƯu S¬n Năm học 2005-2006

Mụn: Toỏn; Thi gian: 150 phỳt. Câu 1: (36 đề Toán – Võ Đại Mau – Trang 212)

Rót gän biĨu thøc sau: A= 2+√3

√2+√2+√3+

2−√3

√2−√2−√3

C©u 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử (sáng tác)

(x+y+z)3 – x3 – y3 – z3

C©u 3: (sáng tác)

Cho phơng trình

x2 – 2mx + 5m –4 =0

Tìm m để phơng trình cho có nghiệm phân biệt x1, x2 thoã mãn x12 + x22 

Câu 4: (sáng tác)

Giải hệ phơng trình

¿

2 x2−6 x +1

2

+

y +3 x=1

− 4 y +3 x+

6

2 x2−12 x+1=18

¿{

Câu 5: (sáng tác)

Giải phơng trình

(x+1)(x+2)(x+4)(x+8)=28x2

Câu 6:(sáng tác)

Cho (P) : y=ax2 đờng thẳng d: y=bx+c Tìm a,b,c cho (P) tiếp xúc với d I(1;4)

C©u 7: (sáng tác)

Chứng minh phơng trình: ax2 + bx + c =0 nghiệm nguyên a,b,c số nguyên lẻ

Câu 8: (Toán bồi dỡng hình học trang 58)

Cho tam giác ABC vuông A Gọi O O’ tâm đờng tròn nội tiếp tam giác AHB AHC Đờng thẳng OO’ cắt AB M AC N

Chøng minh AM = AN

Câu 9: (Đề thi học sinh giỏi 86-87)

Cho hình vng ABCD Đờng trịn đờng kính CD cắt đờng trịn đờng kính AD M  D Chứng minh DM qua trung điểm BC

Câu 10: (36 đề – Võ đại Mau – Trang 187)

Dựng hình bình hành ABCD cho biết đỉnh A trung điểm E, F cạnh CB, CD

§Ị sè 60

ngời đề : lê thị hơng – lê thị tõm

Câu 1: (4 điểm)

Chứng minh biểu thức sau không phục thuộc giá trị x A = 6 x −(x +6)√x − 3

2( x − 4√x+3)(2 −√x )−

3

−2 x+10√x − 12− 3√x − x − 2

®iỊu kiƯn x # 4; x # ; x #

Câu 2: (3 điểm) giải phơng trình x2

+48 = 4x - + √x2+35 C©u 3: (4 ®iĨm)

Ph©n tÝch thõa sè A = x3 y3 + z3 - 3xyz

Từ tìm nghiệm nguyên (x, y , z) phơng trình x3 + y3 + z3 - 3xyz = x (y - z)2 + z (x - y)2 + y( z-x)2 (1) t/m đk:

max (x, y, z) < x + y + z - max (x, y, z) (2)

Câu 4: (3 điểm)

Tìm GTNN biểu thøc

ϕ =

1+x2y2¿2

1 2(

x10

y2 +

y10

x2 )+

1 4(x

16

+y16)−¿

Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm đờng cao, đờng

phân giác, đờng trung tuyến tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành phần Hãy tính diện tích phần

Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (0) có đờng chéo AC&BD vuông với

nhau H < H không trùng với tâm (0) Gọi M,N lần lợt chân đờng vng góc hạ từ H xuống đờng thẳng AB, BC; P&Q lần lợt giao điểm đờng thẳng MH & NH với đờng thẳng CD; OA chứng minh đờng thẳng PQ // đờng thẳng AC điểm M, N, P, Q nằm (0)

§Ị sè 62

§Ị thi học sinh giỏi lớp 9

Môn : Toán học - Thờigian làm : 150 phút Đề thi bảng A

Câu1: Cho a, b, c số d¬ng n  N ; n  chøng minh r»ng:

n

√b+ca +

n

√c+ab +

n

√a+bc > n n −1⋅

n

√n− 1 (3 ®iĨm)

¿ a2

+2 b2+3 c2+4 d2=36(1) 2 a2+b2− d2=6(2)

{

Tìm giá trị nhỏ nhÊt cña P = a2 + b2 + c2 + d2 (3 ®iĨm)

Câu 3: Cho dãy số (an) (n = 0, 1, 2, ) đợc xác định a0=9 ;an +1=27 an28+28 an27 với

mäi n = 0, 1, 2, Chøng minh sè a11 viết hệ thập phân có tận nhiều 2000 chữ số (4 điểm)

Câu 4: Cho a, b, c số khác giả sử x, y, z nghiệm hệ phơng trình:

(x a)( y a)(z − a)=d (x − b)( y − b)(z − b)=d (x − c)( y −c )(z − c)=d

¿{ {

¿

H·y tÝnh x3 + y3 + z3 (4 ®iĨm)

Câu 5: Trên mặt phẳng cho góc = 600 cố định Một tam giác cân MAB (MA = MB = a không đổi ; = 1200 thay đổi vị trí cho đỉnh A, B chạy tia tơng ứng Ox , Oy Tìm quĩ tích điểm M ( điểm)

§Ị sè 63

Thi häc sinh giái líp b¶ng A

(Thời gian 150 phút , khụng k giao )

Bài (2,0 điểm) : Rót gän biĨu thøc sau :

A =

m+2¿2−m2 ¿ ¿ ¿

m2+m− 2

mn +1 mn

Bài 2(2,0 điểm)

1) Cho ba số hữu tỉ a ; b ; c thoả m·n ®iỊu kiƯn ab + ac + bc = Chøng minh r»ng ( a2 +1 )( b2 + 1)( c2 + ) bình phơng số h÷u tØ

a − c¿2 ¿ b − c¿2

¿ b2+¿ a2

+¿ ¿

Bài 3( 2,0 điểm)

Tỡm giỏ tr ca m để phơng trình sau có nghiệm x  0: ( m+1 )x2 – 2x + (m-1 ) = (1)

Bài (2,0 điểm)

Cho hệ phơng trình : { x y −1=0

(x + y − 2)(x −2 y +1)=0

a) Giải hệ phơng trình phơng pháp đại số phơng pháp đồ thị

b) Từ đồ thị tìm xem thay số hạng –1 phơng trình thứ số để hệ cho có nghiệm Có thể thay đổi hệ số x y phơng trình thứ cho hệ cho vô nghiệm đợc không ?

Bài (2,0 điểm)

Giải phơng trình : √2 x +3+√5 −8 x=√4 x+7 (1)

Bµi (2,0 ®iĨm)

Trong mặt phẳng toạ độ vng góc Oxy , cho parabol (P) có phơng trình: y = −x

2

4 diểm I ( ; -2) ; gọi (d) đờng thẳng qua I có hệ số góc m

1) Vẽ (P) Chứng tỏ với m R , (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B 2) Tìm giá trị m để đoạn AB l ngn nht

Bài (2,0 điểm )

Cho a , b , c lµ ba sè dơng có tổng số Tìm a , b , c cho ab +bc +ca lµ lín nhÊt

Bài (2,0 điểm)

Cho tam giỏc ABC vng A có AB = a ( a > ) cho trớc BC = 2AB Gọitam giác DEF nửa tam giác nội tiếp tam giác ABC ( D cạnh BC ; E cạnh AC ; F cạnh AB góc EDF vng ) Tìm vị trí D , E , F để diện tích tam giác DEF có giá trị nhỏ , tính theo a giá trị nhỏ ú

Bài ( 2,0 điểm)

Cho hình thang cân ABCD ( AB > DC ) ^A= ^B=600 , có đờng trịn tâm O nội tiếp hình thang tiếp xúc với cạnh AB , BC , CD , DA , lần lợt M , N , P , Q

1) Chứng minh AD , MP , BC đồng quy điểm S 2) Chứng minh QN đờng trung bình ca SAB

3) Gọi S1 diện tích hình QNCD , S2 diện tích tứ giác ABNQ Tính S1

S2

Bài 10 ( 2,0 điểm )

đề số 64

§Ị thi học sinh giỏi lớp 9

Môn Toán-Thời gian 150 phút Bài 1: (5 điểm)

1 Tính giá trÞ cđa biĨu thøc: A= √21+6√6 +√21 − 6√6 Rót gän biĨu thøc sau:

B=

√a4+√3a2b2+√3b4

3

√a2+√3ab+√3b2 (ab ≠0)

Bµi 2: (3 điểm)

Giải phơng trình sau:

x2+4 x +5=22 x +3

Bài 3: (3 điểm)

Giải hệ phơng trình sau:

1

x+2 y=2

Bài 4: (3 điểm)

Cho sè x, y, z, t Tho¶ m·n (x+y)(z+t)+xy+88=0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

A = x2 + 9y2 + 6z2 + 24t2 Bµi 5: (3 ®iĨm)

Cho tam giác ABC có diện tích S Một hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác M thuộc AB, N thuộc AC, P Q thuộc BC Gọi diện tích hình chữ nhật MNPQ S1

Chøng minh r»ng: S 2S1 Bài 6: (3 điểm)

Cho na ng trũn ng kính BC có điểm A di động Gọi D chân đờng cao AD tam giác ABC M, N lần lợt tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABD tam giác ACD Chứng minh đờng vng góc với MN kẻ từ A ln qua điểm cố định

§Ị sè 65

Së GD - §T Thanh hãa Trêng THPT Thèng NhÊt

§Ị thi häc sinh giái Líp Thêi gian : 150 Phót

Giáo viên đề : Nguyễn Quốc Tuấn Chức vụ : Giáo viờn Toỏn

Trờng THPT Thống Nhất Câu 1: (2điểm)

Cho x=

23

√2+2+4

√3 vµ y =

6 23

√2− 2+4 √3

a) Rót gän biĨu thøc x vµ y b) Tính : -x3y+xy3

Câu 2( 2điểm): Cho phơng trình : 2x2+(2m-1)x+m-1=0

Tìm m cho phơng trình có hai nghiệm x1,x2và 3x1-4x2=11 Câu 3( 2điểm ):

Giải hệ phơng trình {

1 x 1+

1 y=0

x − 1− y=3

C©u 4( 2điểm ) Giải phơng trình

3 x2

+6 x+ + √5 x❑2

+10 x+14 = - 2x - x2

Câu (2điểm)

Cho hµm sè y=ax+b

a) (1điểm ) Tìm a,b cho đồ thịhàm số qua A(0;1) B(-1;0) b) (1điểm )Vẽ hệ tọa độ hai đồ thị :

y= x2 - đồ thị hàm số Qua giải phơng trình : x2 - x - = 0 Câu 6( 4điểm )

a) Chøng minh r»ng : |a| +|b|  | a+b |

Cho đoạn thẳng AB, C A B Kẻ nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy I , Tia vng góc với CI C cắt By K Nửa đờng trịn đờng kính IC cắt IK P

a) Chøng minh CPKB néi tiÕp vµ AI.BK = AC.CB b) Tam giác APB vuông

c) Gi sử A,I,B cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vng ABKI lớn

đề số 74

Së GD&§T Thanh hoá Trờng THPT Thọ Xuân

Đề thi chän häc sinh giái líp THCS

Năm học 2005-2006 Môn thi: Toán- (thời gian làm 150phút) Đề bài:

Câu1.(4đ)

XÐt biÓu thøc: M= ( 8 x√x 9 x3−1−

1 3 x√x +1+

x√x − 1

3 x√x − 1):(1 −

3 x√x −2 3 x√x +1) 1 Rót gän M

2 tìm x để M = Câu2 ( 6đ)

1 Cho pt: x2 + 5x + 3m – = 0

Tìm m để phơng trình có nghiệm âm Giải hệ: {(x

2

+xy+ y2)√x2

+y2=185

(x2− xy + y2)√x2+y2=65

3 Cho Parabol ( P ) y = x2 Tìm hàm số có đồ thị ( P’) đối xứng với (P) qua đờng thẳng x =

C©u3 ( 5đ)

1 Gải phơng trình:

x+3+x=3

2 Giải phơng trình: x2+1=3 y với x, y z

Câu4 ( 5đ)

Cho tam giỏc ABC Dng điểm D cho tứ giác ABCD tứ giác có tính chất vừa nội tiếp đờng trịn, vừa ngoại tiếp đợc đờng trịn

§Ị sè 75

Môn : toán

Thi gian : 150 ( Không kể thời gian giao đề)’ Câu (2đ): Giải phơng trình sau

a (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15=0 b √x2−2 x+1+

¿ √x2− x+4 = 1+20052+2005

2

20062+ 2005 2006 Câu (2đ):

Cho biÓu thøc: A= x 2y+ x2

(x2− y )+1 2 x4

+x4y2+y2+2

a Chøng minh biểu thức A luôn dơng với x, y

b Với giá trị x, y biểu thức A có giá trị lớn nhất? Tìm giá tr ln nht ú

Câu (1,5đ)

Cho ba sè thùc x, y, z tháa m·n x+ y+ z=2006 vµ

x+

y+

z= 2006

Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét ba sè x, y, z b»ng 2006

C©u (2đ):

a Cho ba số thực dơng x, y, z tháa m·n

x+ y+ z=5

3 Chøng minh r»ng

1 x+

1 y <

1 z(1+

1 xy)

b Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác biết

(a+b ) (b+c ) (c+ a)=8 abc

Chứng minh tam giác cho tam giác

C©u (2,5):

Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB M điểm di động đờng trịn Vẽ MH vng góc với AB (H thuộc AB)

a Tìm vị trí điểm M (O) cho diện tích tam giác OMH lớn b Gọi I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác OMH Tìm quỹ tích điểm I

đề số 78 Sở GD & ĐT Thanh hoá

************* Đề thi học sinh giỏi lớp 9môn thi ; toán

Thời gian : 150 phút

Câu 1:

Thay dÊu * bëi c¸c chữ số cho

***** mét sè nguyªn

(Bài 76 trang 22 sách “ 255 toán đại số chọn lọc “ Vũ Dơng Thuỵ)

C©u 2:

¿

ax3

=by3=cz3

x+ y+

1 z=1

¿{

¿

Chøng minh r»ng :

√ax2+by2+cz2=√3a+√3 b+√3c

(§Ị 33 Ôn thi vào 10 Vũ Đinh Hoàng )

C©u 3:

Chứng minh :Điều kiện cần đủ để phơng trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm thoả mãn nghiệm k lần nghiệm là: (k+1)2ac = kb2

(Đề “ Giả toán đại số “ Nguyễn Cam )

C©u 4:

a) Cho hai d·y sè cïng chiÒu : a1 ≤ a2 ≤ a3 b1 ≤ b2 ≤ b3

Chøng minh r»ng : (a1+ a2 +a3)(b1 + b2 + b3 ) ≤ 3(a1b1 +a2b2+a3b3) (Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn năm 1998 )

b) Chứng minh : víi 0 ≤ a ≤b ≤ c

a

2005+b2005+c2005

a2006+b2006+c2006≤

a+b+c (sáng tác ) Câu 5:

miền hình vng ABCD lấy điểm M cho ∠MBA =∠MAB=150 Chứng minh : Tam gác MCD (sáng tác)

§Ị sè 80

đề thi học sinh giỏi lớp 9- Bảng B

Môn thi: Toán

Thi gian: 150 phỳt(Khụng k thi gian giao đề)

Ngời đề: Nguyễn Văn Hải – Trờng THPT Thạch Thành II.

C©u 1: (4,5 ®iÓm) Cho biÓu thøc: A=x

2

− −(4x − 2)(x −3) x2− 6x+9

a) Rót gän A

b) Tìm giá trị A x=√16 −4√6 +√20 c) Tìm x để √A=2

C©u (3 điểm): Cho phơng trình (x2+4x-5)(x2-9)=m

a) Giải phơng trình với m=45

b) Tỡm m phng trình có nghiệm phân biệt

a) Tìm a biết (P) qua A(2;4), vẽ (P)

b) Chứng minh đờng thẳng qua A(2,4) B(1,2) vng góc với đờng thẳng x+2y-3=0

Câu (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ cña:

x − 2005¿2 ¿

x − 20062

A=

Câu (2 điểm): Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình:

x3y+xy3-3x-3y=17

Câu (1,5 điểm) Cho ABC, đờng phân giác AE (EBC) Chứng minh rằng: AB

AC= BE EC

Câu (2,5 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O, R) M điểm di chuyển cung bé

BC không chứa điểm A D thuộc tia đối MB cho MD=MC a) Chứng minh tam giác MCD tam giác

b) Tìm vị trí điểm M để MA+MB+MC lớn

Câu (2 điểm): Cho ABC cạnh a G trọng tâm Đờng thẳng (d)mp(ABC) G.

S(d) cho SG=2a TÝnh diƯn tÝch toµn phần hình chóp SABC

ề số 81

Sở GD - ĐT Thanh Hoá Cộng hoà xà hội chủ nghĩa việt nam

Trờng THPT Thạch Thành Độc lập - Tự - Hạnh phúc

đề thi Học sinh giỏi lớp Bảng B– Mơn : Tốn Thời gian: 150 phút Câu 1:

1 TÝnh:

1+√2+

√2+√3+

√3+√4+ .+

1

√2005+√2006

2 Xác định m để phơng trình: x2−( m+1) x+2m=0 có nnghiệm x1, x2 cho x1, x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền

C©u 2:

1 Giải hệ phơng trình:

4 (x + y )=5 (x − y ) 40

x+ y+ 40

x − y=9

¿{

¿

2 Giải phơng trình :

(x 1)( x +3)+2 ( x −1)√ x+3 x −1=8

Cho đờng thẳng y=√2 x , y=1

2x , y=2 cắt tạo thành tam giác

Tính diện tích tam giác Câu 4:

1 Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: a2( b - c) + b2(c - a) + c2(a - b) 2.Cho x, y số thực thoả mÃn: x2

+y2=1

Tìm giá trị lín nhÊt, nhá nhÊt cđa :

A=x√y+1+ y√x+1

C©u 5:

1.Cho (O) đờng kính AB Trên đờng thẳng AB lấy điểm C nằm đoạn AB Từ C kẻ tiếp tuyến CE, CF với (O) (E, F tiếp điểm) Gọi I giao điểm ca AB v EF

Qua C kẻ cát tuyến cắt (O) Mvà N (M nằm C N) Chứng minh rằng:

a ΔCIM ~ ΔCNO Từ chứng minh tứ giác DIMN nội tiếp đờng tròn b góc AIM❑ =BIN❑

2 Cho (O) đờng kính AB, điểm C thuộc đờng kính Dựng dây DE AB cho AD EC

§Ị sè 84

TrêngTHPT CÈm Thủ 1

§Ị thi häc sinh giái líp cÊp tØnh

Môn : Toán

(

Thời gian 180 phút )

Bài 1:Tìm phần d phÐp chia ®a thøc:

x3

+x5+x7+x11+x13+x17+x19

Cho nhÞ thøc : x2−1

Bµi 2: Chøng minh r»ng nÕu: x ≠ , y ≠ , z ≠ 0 vµ: x+1

y=y + z=z+

1 x

Thì x= y= z xyz=0

Bµi 3:

Tính : A=u4−5 u3+6 u2−5 u Trong ó : đ u=2+ √3

Bµi 4: Cho hƯ :

¿

a1x+a2y+a3z=0

b1x+b2y+b2z=0

c1x+c2y +c3z=0

¿{ {

¿

Sao cho:

a1, b2,c3>0

¿

a2, a3,b1, b3, c1,c2<0

+¿3, b1+b2+b3,c1+c2+c3>0

a1+a2¿

{ {

¿

Chøng minh r»ng hª cã nghiƯm nhÊt

Bài 5: Giải phơng trình:

¿

2 x2+4 x=

√x +32 x ≥ −1

¿{

Bài 6: Trong hệ trục xoy Cho điểm M (2;2), N (4 ;1). Xác định điểm P trục ox cho tổng khoảng cách MP+NP nhỏ

Bµi 7: Tìm x: x N Và: x2 8 số phơng.

Bi 8:Trờn cỏc ng thẳng chứa cạnh BC, CA, AB tam giác ABC lấy điểm

t-ơng ứng: P, Q, R ( khơng trùng với đỉnh khơng có điểm thuộc cạnh tam giác )

Chứng minh điều kiện cần đủ để điểm P ,Q, R thẳng hàng là: PB

PC QC QA

RA RB=1

Bài 9:Cho tứ giác lồi ABCD AB + BD không lớn AC + CD Chứng minh

r»ng: AB < AC

Bài10: Cho dờng tròn điểm A cố định Một điển M di chuyển đờng tròn

MN dây cung vuông góc với AM.Dựng hình chữ nhËt AMNP

HÕt

§Ị sè 91

đề thi học sinh giỏi lớp 9

M«n: Toán

Câu I : Cho số thực a, b, x, y tho¶ m·n

¿

ax+by=3

❑ ❑

(1) ax2

+by2=5

❑ ❑

(2) ax3+by3=9

❑ ❑

(3) ax4+by4=17

❑ ❑

(4 )

¿{{ {

¿

H·y tÝnh A = ax2005 + by2005

Câu II : Tính giá trị biểu thức :

A=

x (x +1)(x +2)+

1

(x +1)(x+2)(x +3)+ .+

1

(x+n− 2)(x +n −1)(x +n)

Víi : x = ; n = 2005 (n  2)

Câu III : Cho phơng trình

x2 - 2(m + 1)x + m - = (2) Tìm m để (1) có nghiệp phân biệt thoả mãn : x1

3

+x23=− C©u IV : Cho hệ phơng trình

mx+2 y=m+1 2 x +my=2 m+5

¿{

Giả sử (1) có nghiệm (x ; y) Tìm hệ thức liên hệ x y độc lp vi i s m

Câu V : Giải hệ phơng trình

(x2+xy + y2)(x2+y2)=185

(x2− xy+ y2)√x2+y2=65

¿{

¿

Câu VI : Cho đờng thẳng (d) : y = 2x + parabol (P) : y = mx2 Tìm m để (d) cắt (P) điểm phân biệt

C©u VII : Cho a, b, c  [0 ; 1] Chøng minh r»ng : a

b+c +1+ b a+c+1+

c

a+b+1+(1− a)(1− b)(1− c )≤

Câu VIII : Cho ABC có ABC = 300 ; BAC = 1300 Gọi Ax tia đối tia AB Đờng phân giác góc ABC cắt đờng phân giác góc CAx D Đờng thẳng BA cắt đờng thẳng CD E Hãy so sánh độ dài AC CE

Câu IX : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đờng trịn tâm O ; bán kính R.

Gọi D, E, F lần lợt giao điểm đờng thẳng AO với BC ; BO với AC ; CO với AB

Chøng minh r»ng : AD+BE+CF ≥9 R

Câu X : Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vng góc với đôi Gọi H là

trùc t©m ABC Chøng minh r»ng :

OH2= OA2+

1 OB2+

§Ị sè 95

Sở GD&ĐT Thanh Hoá Đề Thi Học Sinh Giái Líp 9_THCS Trêng THPT nh xu©n

Thêi gian :150 phút

Câu1 (4điểm) :1 Cho phơng trình x2 + a.x +1 =0

Tìm a để phơng trình có hai nghiệm x1,x2 thỗ mãn ( x1 x2

)2 + ( x1 x2

)2 > 7 2.Giải phơng trình :

√5− x + √x −3 = x2 -8.x +18

Câu (4điểm) :

1.Giải hệ phơng trình : {

x +1 y=2 y +1

z=2 z+1

x=2

2.Giải hệ phơng trình : {

1

x − y+x +2 y=5 x+2 y

x − y=6

Câu (7 điểm ) :Cho ba điểm cố định A,B,C thẳng hàng theo thứ tự đó.vẽ đờng trịn tâm O qua B C.Qua A vẽ tiếp tuyến AE,AF với đờng tròn (O); Gọi I trung điểm BC ,N trung điểm EF

a.Chứng minh điểm E,F ln nằm đờng trịn cố định đờng tròn (O) thay đổi

b.Đờng thẳng FI cắt đờng tròn (O) K Chứng minh :EK song song với AB c.Chứng minh tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ONI chạy đờng

thẳng cố định đờng tròn(O) thay đổi Câu 4(5điểm ) :

1.Tìm giá trị lớn biểu thức : A=

1 − x +

x víi < x <1

a, Cho x,y hai số dơng chøng minh r»ng :

x + y

4 x + y

b,Cho tam giác ABC có cạnh a,b,c chu vi 2p =a+ b + c Chøng minh r»ng :

p − a +

p − b +

p − c ( a +

1 b +