TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ——————–o0o——————– ĐỖ THỊ THU HẰNG PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Hà Nội - 2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN ——————–o0o——————– ĐỖ THỊ THU HẰNG PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học ThS Dương Thị Luyến Hà Nội - 2019 Lời cảm ơn Sau thời gian dài nghiêm túc,miệt mài nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy giáo bạn sinh viên Đến nay, khóa luận tơi hồn thành Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Ths Dương Thị Luyến – người trực tiếp tận tình hướng dẫn, bảo định hướng cho suốt thời gian nghiên cứu hồn thành khóa luận Đồng thời tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Đại số thầy khoa Tốn - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện cho tơi hồn thành tốt khóa luận để có kết ngày hơm Do cịn hạn chế thời gian kiến thức thân nên khóa luận tơi khơng thể tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận góp ý chân thành từ thầy cô bạn sinh viên Cuối tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bên cạnh, ủng hộ động viên tinh thần để tơi hồn thành tốt khóa luận này! Hà Nội, tháng 05 năm 2019 Tác giả khóa luận Đỗ Thị Thu Hằng Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp “Phương trình vơ tỉ” hồn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu nghiên cứu với giúp đỡ tận tình giáo - Thạc sĩ Dương Thị Luyến Trong trình thực tham khảo số tài liệu viết phần tài liệu tham khảo Vì vậy, tơi xin cam đoan kết khóa luận trung thực không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng 05 năm 2019 Tác giả khóa luận Đỗ Thị Thu Hằng Mục lục Lời mở đầu 1 Một số kiến thức phương trình vơ tỉ 1.1 1.2 Kiến thức phương trình 1.1.1 Khái niệm phương trình 1.1.2 Điều kiện xác định phương trình 1.1.3 Phương trình tương đương 1.1.4 Phương trình hệ Phương trình vơ tỉ 1.2.1 Khái niệm 1.2.2 Các bước giải phương trình vơ tỉ (dạng chung) 1.2.3 Một số kiến thức thức Phương pháp giải phương trình vơ tỉ 2.1 2.2 Phương pháp biến đổi tương đương 9 2.1.1 Nâng lên lũy thừa 10 2.1.2 Đưa phương trình tích 14 2.1.3 Trị tuyệt đối hóa 18 Phương pháp nhân lượng liên hợp 21 2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 23 2.3.1 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường 23 2.3.2 Đặt ẩn phụ đưa phương trình đẳng cấp 25 2.3.3 Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 27 2.3.4 Phương pháp đưa hệ phương trình gồm hai ẩn phụ 29 2.4 Phương pháp hàm số 32 2.5 Phương pháp đánh giá 34 2.6 Phương pháp lượng giác hóa 37 2.7 Phương pháp vecto 40 Một số kỹ thuật tìm lượng liên hợp máy tính cầm tay giải phương trình vơ tỉ 44 3.1 Phương trình có nghiệm x = x0 45 3.2 Phương trình có hai nghiệm đơn x = x1 x = x2 50 3.3 Nhân liên hợp nghiệm bội bậc ba trở lên 56 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 Lời mở đầu Lý chọn đề tài Trong vấn đề phương trình, phương trình vơ tỉ trở ngại không nhỏ khiến cho nhiều học sinh khơng ngỡ ngàng bối rối Phương trình vơ tỉ loại tốn khó học sinh, nhiều học sinh khơng biết giải phương trình vơ tỉ nào, chưa nắm vững có phương pháp Các tốn phương trình vơ tỉ dạng tốn hay khó, có nhiều đề thi học sinh giỏi cấp, thi tuyển sinh đại học Nhận thấy tầm quan trọng vấn đề với mong muốn tháo gỡ khó khăn q trình dạy học phương trình vơ tỉ, từ nâng cao chất lượng, hiệu dạy học Vấn đề đặt làm giúp cho học sinh giải thành thạo loại phương trình vơ tỉ? Và gặp dạng tốn phương trình vơ tỉ em tìm cách giải cách tốt nhất? Với tất lí trên, tơi định chọn đề tài "Phương trình vơ tỉ" Mục đích nghiên cứu đề tài Nghiên cứu “Phương trình vơ tỉ chương trình phổ thơng” Giúp giáo viên nâng cao lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp kiến thức học, mở rộng, đào sâu hồn thiện hiểu biết Từ có phương pháp giảng dạy phần có hiệu Đối tượng nghiên cứu - Phương trình vơ tỉ Phương pháp nghiên cứu − Phương pháp nghiên cứu lý luận − Phương pháp phân tích − Phương pháp tổng hợp − Phương pháp so sánh Phạm vi nghiên cứu Phương trình vơ tỉ dạy học chương trình phổ thơng Chương Một số kiến thức phương trình vơ tỉ Nội dung dạy học phương trình vơ tỉ trình bày chương I sách Đại số lớp 9, tập Ở lớp 9, học sinh làm quen với dấu căn, khử mẫu biểu thức lấy căn, trục thức mẫu, rút gọn biểu thức chứa bậc hai Các vấn đề tiếp nối mở rộng chương III sách giáo khoa Tốn 10 với phương trình chứa ẩn dấu Học sinh làm quen với phương trình vơ tỉ từ năm lớp tiếp cận nhiều lớp 10 số lượng tiết dạy trường lại hạn chế mà thường xuyên xuất đề thi học sinh giỏi cấp, đề thi tuyển sinh Đại học - Cao đẳng – Tốt nghiệp Trung học Do phương trình vơ tỉ có vị trí đặc biệt quan trọng chương trình tốn học phổ thơng Tuy nhiên, phương trình có nhiều dạng nên giải học sinh thường tỏ lúng túng vấp phải sai lầm không nắm vững nguyên tắc biến đổi Chính vậy, nghiên cứu phương trình vơ tỉ việc cần thiết để trang bị cho học sinh kiến thức vận dụng phù hợp phương pháp để giải hiệu phương trình vơ tỉ 1.1 1.1.1 Kiến thức phương trình Khái niệm phương trình Định nghĩa 1.1 Cho hai hàm số n biến phức x1 ,x2 , , xn f (x1 , x2 , , xn ) g (x1 , x2 , , xn ) Ta gọi tập hợp n số phức x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Cn điểm không gian phức n chiều Cn Khi hàm số xem hàm biến f (x), g(x) Cn Giả sử f (x) có miền xác định D1 ⊂ Cn , g (x) có miền xác định D2 ⊂ Cn Ta định nghĩa phương trình f (x) = g(x) kí hiệu hàm mệnh đề “giá trị hai hàm số f (x) g(x) nhau” [[4],tr.92] Đây định nghĩa tổng quát, xác đầy đủ phương trình Tuy nhiên chương trình phổ thơng, chưa tìm hiểu ánh xạ, không gian phức nên định nghĩa dành để tham khảo sau học xong chương trình phổ thơng Định nghĩa 1.2 “Cho hai hàm số y = f (x) y = g(x) có tập xác định Df Dg Đặt D = Df ∩ Dg Mệnh đề chứa biến f (x) = g(x) gọi phương trình ẩn, x gọi ẩn số (hay ẩn) D gọi tập xác định phương trình Số x0 ∈ D gọi nghiệm phương trình f (x) = g(x) f (x0 ) = g(x0 ) mệnh đề đúng.” [[3],tr.66] Định nghĩa 1.3 “Một phương trình ẩn x có dạng A(x) = B(x), vế trái A(x) vế phải B(x) hai biểu thức biến" [[1],tr.5] d (f (x)) thấy kết Như x = dx x=1 nghiệm kép phương trình Nhấn + Tìm lượng liên hợp √ Đặt ax + b = 2x − 1, ta có   √   ax + b = 2x − x=1  d √  a = 2x − 1) dx =⇒    a + b =   b =   a = x=1 Vậy lượng liên hợp cần tìm x − √ =⇒    a = 2x − Bài giải Điều kiện x ≥ (3.2) ⇐⇒ x2 − x + − x + x − √ 2x − = x2 − x + √ =0 x − 2x − 1 √ ⇔ x2 − x + 1 + x − 2x − ⇔ x2 − x + + = (∗) 1 √ nên + > suy (∗) ⇐⇒ x2 − 2x + = x − 2x − ⇐⇒ x = Vì x ≥ Vậy x = nghiệm phương trình Ví dụ 3.1.3 Giải phương trình x2 − x − = √ 3−x+ √ x (3.3) Phân tích + Nhập f (x) = x2 − x − − √ 3−x− √ x Sử dụng phím SOLVE cho nghiệm x ≈ 2, 618033989, ta gán x = A, để kiểm tra xem x có 48 nghiệm đơn hay khơng cách nhấn SHIFT + RCL + (−) hình xuất Ans → A Tiếp tục kiểm tra d (f (x)) dx thấy kết 4, 736067978 = x=A Vì x ≈ 2, 618033989 nghiệm đơn phương trình + Tìm lượng liên hợp Với x ≈ 2, 618033989   √   − x ≈ 0, 6180339887 ≈ x − √    x ≈ 1, 618033989 ≈ x − Vậy lượng liên hợp x − − √ − x x − − √ x Bài giải Điều kiện ≤ x ≤ Ta có: (3.3) ⇐⇒ x2 − 3x + + x − − √ 3−x + x−1− √ x =0 x2 − 3x + x2 − 3x + √ √ =0 + x−2− 3−x x−1− x 1 √ √ + x2 − 3x + 1 + x−2− 3−x x−1− x ⇐⇒ x2 − 3x + + ⇐⇒ Vì + 1 √ √ > 0, ∀x ∈ [2; 3] nên + x−2− 3−x x−1− x √  3+ x= 2√ x2 − 3x + = ⇔  3− x= √ 3+ So sánh điều kiện, nghiệm phương trình x = 49 = (∗) Bài tập tự luyện Giải phương trình sau 3x2 + 10x + √ 3x + = x3 + 26 + x3 − 2x2 + 4x − = √ √ √ x2 + 15 = 3x − + x−2+ √ 4−x+ 4x − + √ √ √ √ − 2x Đs x = 3x − Đs x = x2 + Đs x = 2x − = 2x2 − 5x Đs x = √ 2x2 − 3x + − 3 4x + = 3.2 Đs x = Phương trình có hai nghiệm đơn x = x1 x = x2 • Bước Dùng máy tính dị nghiệm x1 x2 • Bước ◦ Trường hợp Nếu x1 x2 hai nghiệm hữu tỉ đơn lượng liên hợp có dạng n h (x) − (ax + b) (ax + b) − n h (x) Ta tìm a, b cách giải hệ     n h (x) = ax + b|x=x    n h (x) = ax + b|x=x2 ◦ Trường hợp Nếu x1 x2 hai nghiệm vô tỉ đơn, ta gán giá trị x1 cho A , gán giá trị x2 cho B Hướng Ta tính giá trị thức x = x1 x = x2 để tìm biểu thức liên hệ giá trị x Biểu thức liên hệ 50 biểu thức ghép với thức để liên hợp Trong trường hợp khơng tìm biểu thức liên hệ giá trị với x , ta chuyển sang hướng Hướng Lượng liên hợp có dạng n h (x) − (ax + b) (ax + b) − n h (x) Ta tìm a, b cách giải hệ     n h (x) = ax + b|x=x    n h (x) = ax + b|x=x2 ◦ Trường hợp Nếu phương trình có nghiệm hữu tỉ nghiệm vô tỉ, ta thực phép liên hợp tương ứng để xuất nhân tử chứa nghiệm vơ tỉ • Bước Đưa lượng liên hợp vào phương trình thêm bớt để phương trình tương đương • Bước Nhân liên hợp nhóm đặt nhân tử chung Ví dụ 3.2.1 Giải phương trình √ √ x 3x − + (x + 1) 5x − = 8x − Phân tích √ √ + Nhập f (x) = x 3x − + (x + 1) 5x − − 8x + + Dùng TABLE để khảo sát khoảng nghiệm Sử dụng phím SOLVE tìm nghiệm x = 51 (3.4) Tiếp tục dùng phím SOLVE với phương trình f (x) = cho nghiệm x−2 x = + Kiểm tra xem x = 1, x = có nghiệm đơn hay khơng? d (f (x)) dx = −1 = 0; x=1 d (f (x)) dx =1=0 x=2 Vậy phương trình có hai nghiệm đơn x = 1, x = + Tìm lượng liên hợp √ Lượng liên hợp có dạng 3x − − (ax + b) với a, b thỏa mãn hệ     √  a=1  a+b=1  3x − = ax + b|x=1 ⇔ ⇔ √ b=0    2a + b =  3x − = ax + b|x=2 ⇒ Lượng liên hợp √ 3x − − x √ Lượng liên hợp có dạng 5x − − (ax + b) với a, b thỏa mãn hệ     √   5x − = ax + b|x=1  a+b=2 a=1 ⇔ ⇔ √   2a + b = b=1   5x − = ax + b|x=2 ⇒ Lượng liên hợp Bài giải Điều kiện x ≥ (3.4) ⇔ x √ √ 5x − − (x + 1) 3x − − x + (x + 1) √ 5x − − x − + 2x2 − 6x + = (x + 1) 5x − − x2 − 2x − 3x − − x2 √ √ + + x2 − 3x + = ⇔x 3x − + x 5x − + x + x x+1 ⇔ x2 − 3x + 2 − √ −√ = (∗) 3x − + x 5x − + x + 52 Ta có x x ≤ = ∀x ≥ x 3x − + x x+1 x+1 √ = ∀x ≥ < 5x − + x + x + √ x x+1 −√ < 0, ∀x ≥ nên 3x − + x 5x  −1+x+1 x=1 (∗) ⇔ x2 − 3x + = ⇔  x=2 Do − √ So sánh điều kiện ta kết luận nghiệm phương trình x = 1, x = Ví dụ 3.2.2 Giải phương trình x2 + 4x + = (x + 1) √ 8x + + √ 6x + (3.5) Phân tích + Nhập f (x) = x2 + 4x + − (x + 1) √ 8x + − √ 6x + Sử dụng phím SOLVE tìm nghiệm x ≈ −0, 236067977 gán cho A Tiếp tục dùng phím SOLVE tìm nghiệm x ≈ 4, 236067977 gán cho B + Dùng hướng Thay x ≈ 4, 236067977 vào √ √  8x + ≈ 6, 236067977  8x + ≈ x + ⇒  √6x + ≈ 5, 236067977  √6x + ≈ x + Vậy lượng liên hợp x + − √ 8x + x + − Bài giải Điều kiện x ≥ −1 Ta có 53 √ 6x + (3.5) ⇔ (x + 1) x + − √ 8x + + x + − √ 6x + = x2 − 4x − x2 − 4x − √ √ + =0 ⇔ (x + 1) x + + 8x + x + + 6x + x+1 √ √ ⇔ x2 − 4x − + x + + 8x + x + + 6x + = (∗) −1 x+1 √ √ nên + >0 x + + 8x  + x + + 6x + √ x = + (∗) ⇔ x2 − 4x − = ⇔  √ (thỏa mãn) x=2− √ √ Vậy phương trình có hai nghiệm x = + 5, x = − Vì x ≥ Ví dụ 3.2.3 Giải phương trình (Đề thi THPT Quốc gia 2015) √ x2 + 2x − = (x + 1) x+2−2 x2 − 2x + (3.6) Phân tích + Nhập f (x) = √ x2 + 2x − − (x + 1) x+2−2 x2 − 2x + Sử dụng phím SOLVE ta dự đốn phương trình có nghiệm x = x ≈ 3, 302775638 nghiệm đơn (kiểm tra tương tự ví dụ trước) + Tìm lượng liên hợp thích hợp √ √ Với x = x + = Vậy lượng liên hợp x + − (x − 2) (x + 4) x−2 √ = (x + 1) x2 − 2x + x+2+2 x+4 x+1 ⇔ (x − 2) −√ =0 x − 2x + x+2+2 (3.6) ⇔ 54  x=2 ⇔ x+4 x+1 √ = x2 − 2x + x+2+2 x+1 x+4 =√ Ta có x − 2x + x+2+2 √ ⇔ (x + 4) x + + = (x + 1) x2 − 2x + (∗) Phương trình (*) cịn chứa nghiệm x ≈ 3, 302775638 √ Khi x + ≈ x − √ Vậy lượng liên hợp x + − (x − 1) Bài giải Điều kiện x ≥ Tiếp tục giải phương trình (*) ta có √ (∗) ⇔ (x + 4)[ x + − (x − 1)] = (x + 1) x2 − 2x + − (x + 1)(x + 4) √ ⇔ (x + 4)[ x + − (x − 1)] = (x + 1) x2 − 3x − √ √ √ ⇔ (x + 4)[ x + − (x − 1)] = (x + 1)( x + − (x − 1))( x + + (x − 1)) √ √ ⇔ [ x + − (x − 1)] x2 + x + + (x − 1) x + = √ √ ⇔ [ x + − (x − 1)] 2x2 + 2x + + 2(x − 1) x + = √ √ ⇔ [ x + − (x − 1)] (x + + x + 2)2 + x2 − x + = (2)   (x + + √x + 2)2 ≥ Vì , ∀x ∈ R nên  x2 − x + > x+1+ √ x+2 + x2 − x + > 0, ∀x ∈ R Do (2) ⇔ √ x + − (x − 1) = ⇔ 55 √ x+2=x−1  √  √   x = + 13 x≥1 + 13 ⇔x= ⇔ ⇔   x + = x2 − 2x + x≥1 √ + 13 x = Vậy phương trình có hai nghiệm x = Bài tập áp dụng Giải phương trình sau 2x + √ √ √ 4x2 − 5x + = x4 − x2 + + 2+x+ √ √ √ √ 8x − + 3x + x4 + 20x2 + = 7x 2−x+ √ − x2 = 2x2 + 2x − √ √ 6x3 − 19x2 + 14x − + 3x − − 5x − 3.3 Đs x = 2± √ 13 Đs x = {1; 4} √ Đs x = −2; Đs x = {1; 2} Nhân liên hợp nghiệm bội bậc ba trở lên • Bước Sử dụng chức TABLE để kiểm tra phương trình, ta thấy phương trình có nghiệm x = α • Bước Sử dụng chức ◦ Nếu d (f (x)) dx d kiểm tra tính chất nghiệm bội dx = 0, f (α) = x = α nghiệm bội x=α ba • Bước Để tìm liên hợp cho n h(x) toán ta thực sau ◦ Đặt n h(x) = ax2 + bx + c 56 ◦ Ta có a = d dx h (x) 2n n ,b= h (x) c= n x=α d dx n − 2aα h (x) x=α h (x) − α2 a − bα ◦ Lập bảng giá trị ta tìm hệ số từ biểu thức liên hợp cần tìm Ví dụ 3.3.1 Giải phương trình x x2 − 2x + = (x3 + x2 − x + 1) (3.7) Phân tích Sử dụng công cụ TABLE ( MODE + ) máy tính với f (x) = x x2 − 2x + − (x3 + x2 − x + 1) Xét giá trị ST ART = 0, END = 8, STEP = Phương trình có nghiệm x = Tuy nhiên cần kiểm tra kĩ nghiệm Điều kiện nghiệm bội 3x2 + 2x − Vì f (x) = 3x − 4x + − (x3 + x2 − x + 1) Do f (1) = hay f (x) = có nghiệm x = đồng thời d (f (x)) dx Vậy x = nghiệm bội ba Đặt g (x) = (x3 + x2 − x + 1) = ax2 + bx + c ◦ Với nghiệm α = ta có d dx d b= dx a= g (x) n ⇒a=1 x=α − 2aα ⇒ b = h (x) x=α 57 =0 x=1 c= h (x) − α2 a − bα ⇒ c = n Với giá trị a, b, c tìm ta có (x3 + x2 − x + 1) = x2 + Vậy lượng liên hợp cần tìm x2 + − (x3 + x2 − x + 1) Bài giải Điều kiện x ≥ Ta có (3.7) ⇐⇒ x3 − 2x2 + 3x − (x3 + x2 − x + 1) = x3 − 3x2 + 3x − + x2 + − (x − 1) + (x − 1) x2 + − x3 + x2 − x + x2 + + 1+ (x3 + x2 − x + 1) = (x3 + x2 − x + 1) =0 x+1 x2 + + (x3 + x2 − x + 1) = (∗) x+1 Vì x ≥ nên + >0 x2 + + (x3 + x2 − x + 1) Do (∗) ⇐⇒ (x − 1) = ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x = Bài tập áp dụng Giải phương trình sau √ x4 + 2x3 + 2x2 + x + = x2 + x + 2x3 + = √ x3 + 2x2 + + x3 − 2x2 − x + = √ √ x3 + 4x2 + 2x3 − 2x + 58 Đs x = {−1; 0} Đs x = {0; 1} Đs x = (x + 3) √ x = 2x + + √ 3x2 − 3x + 59 Đs x = Kết luận Khóa luận nghiên cứu “Phương trình vơ tỉ” gồm nội dung sau: Trình bày khái niệm số kiến thức liên quan đến phương trình vơ tỉ Trình bày phương pháp giải phương trình vơ tỉ số ví dụ minh họa cho phương pháp Trình bày số kĩ giải phương trình vơ tỉ máy tính casio số ví dụ cụ thể Việc nghiên cứu phương trình vơ tỉ giúp tơi nhìn nhận sâu sắc hơn, tổng quát nội dung dạy học loại tốn hay khó, qua chuẩn bị kiến thức sâu cho việc giảng dạy toán sau tơi bạn sinh viên khoa tốn giáo viên tốn nói chung Tuy nhiên khóa luận chưa sâu nghiên cứu nhiều tốn hay khó phương trình vơ tỉ Mặc dù cố gắng, thời gian chuẩn bị chưa nhiều kiến thức thân cịn hạn chế nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót.Vì mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn sinh viên để khóa luận hồn thiện 60 Tài liệu tham khảo [1] Phan Đức Chính (2011), Sách giáo khoa Đại số – Tập 2, Nxb Giáo dục Việt Nam [2] Trần Văn Hạo (2010), Sách giáo khoa Đại số 10 – Cơ bản, Nxb Giáo dục Việt Nam [3] Đoàn Quỳnh (2010), Sách giáo khoa Đại số 10 – Nâng cao, Nxb Giáo dục Việt Nam [4] Hoàng Kỳ (2000), Đại sơ cấp, Nxb Giáo dục [5] Nguyễn Văn Nho (2016), Bài giảng luyện thi THPT Quốc Gia chuyên đề phương trình – bất phương trình vơ tỉ, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội [6] Khóa luận tốt nghiệp (2016), Một số phương pháp giải phương trình vơ tỉ ứng dụng máy tính vinacal 570ES PLUS vào giải phương trình vơ tỉ, Đại học Sài Gòn [7] Trangweb: luyenthithukhoa.vn [8] Trangweb: thuviendethi.com 61 [9] Lê Văn Đồn (2015), Tư sáng tạo tìm tịi lời giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số vơ tỷ, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội [10] Mai Xuân Việt (2012), Sử dụng máy tính cầm tay tìm kiếm lời giải, Trung tâm luyện thi Thủ Khoa 62 ... chẵn hai vế phương trình đảm bảo nhận phương trình tương đương Nếu so sánh với điều kiện nghiệm ngoại lai phương trình Chương Phương pháp giải phương trình vơ tỉ Khi giải phương trình vơ tỉ ta xét... nghiệm x = 1.1.4 Phương trình hệ Định nghĩa 1.7 "Nếu nghiệm phương trình f (x) = g(x) nghiệm phương trình f1 (x) = g1 (x) phương trình f1 (x) = g1 (x) gọi phương trình hệ phương trình f (x) = g(x)... cụ thể cho phương trình vơ tỉ, qua toán khác tài liệu tham khảo khác phương trình vơ tỉ phương trình chứa ẩn dấu Khi nghiên cứu phương trình vơ tỉ, nội dung phân tích chủ yếu chương trình phổ