Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - HỒ ĐẮC NGHĨA SÓNG SỐC PHI CỔ ĐIỂN CỦA ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN HÀM THÔNG LƯNG THỪA NHẬN HAI ĐIỂM UỐN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH ỨNG DỤNG Mã số ngành: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH, tháng năm 2007 CÔNG TRÌNH ĐƯC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH Cán hướng dẫn khoa học: TS MAI ĐỨC THÀNH Cán chấm nhận xét 1: Cán chấm nhận xét 2: Luận văn thạc só bảo vệ HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày tháng năm 2007 Trường Đại học Bách Khoa Phòng Đào Tạo SĐH Cộng hoà Xã hội Chủ nghóa Việt Nam Độc lập - Tự - Hạnh phúc - o O o Tp HCM, ngày tháng năm 2007 NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên : HỒ ĐẮC NGHĨA Ngày, tháng năm sinh: 20 - 06 - 1970 Chuyên ngành Phái : Nam Nơi sinh: Tiền Giang : Toán giải tích ứng dụng MSHV : 02405540 I TÊN ĐỀ TÀI SÓNG SỐC PHI CỔ ĐIỂN CỦA ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN: HÀM THÔNG LƯNG THỪA NHẬN HAI ĐIỂM UỐN II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS MAI ĐỨC THÀNH CÁN BỘ HƯỚNG DẪN (Học hàm, học vị, họ tên chữ ký) CN BỘ MÔN QL CHUYÊN NGÀNH TS Mai Đức Thành Nội dung đề cương luận văn thạc só Hội đồng chuyên ngành thông qua Ngày tháng năm 2007 TRƯỞNG PHÒNG ĐT -SĐH TRƯỞNG KHOA QL NGÀNH LỜI CẢM TẠ Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy hướng dẫn tôi: TS MAI ĐỨC THÀNH, tận tình hướng dẫn, động viên suốt trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy đọc cho ý kiến nhận xét sâu sắc luận văn Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào Tạo Sau Đại Học, đặc biệt thầy cô môn Toán Ứng Dụng, trường Đại Học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn đến bạn khoá học, thành viên gia đình giúp đỡ, động viên nhiều để luận văn hoàn thành TP HCM, tháng 07 năm 2007 HỒ ĐẮC NGHĨA LỜI GIỚI THIỆU Lý thuyết nghiệm phi cổ điển hệ hyperbolic định luật bảo toàn LeFloch khởi xướng mở rộng nghiên cứu nhiều năm Sốc phi cổ điển xuất hệ bị tính phi tuyến thực Một cách vắn tắt, sóng sốc phi cổ điển vi phạm tiêu chuẩn Oleinik [14] trường hợp vô hướng bất đẳng thức sốc Lax [6] điều kiện entropy Liu [13] với trường hợp hệ hyperbolic định luật bảo toàn Để chọn sóng sốc phi cổ điển, cách chuẩn mực, ta thực chiến lược đề xuất Abeyaratne – Knowles [1, 2] Hayes LeFloch [3, 4, 8] để mô tả toàn nghiệm phi cổ điển sau sử dụng hệ thức động lực học để xác định nghiệm vật lý tương ứng Trong luận văn này, ta xét toán Riemann cho định luật bảo toàn với hàm thông lượng có hai điểm uốn: ∂tu + ∂x f (u) = ul , neáu x < u(x, 0) = ur , neáu x > (1) ul ur số Hàm thông lượng f hàm số khả vi hai lần theo biến u ∈ R giả thiết thoả mãn: f (u) > với u ∈ (−∞, 0) ∪ (1, +∞) f (u) < với u ∈ (0, 1) lim f (u) = ±∞ lim f (u) = ±∞, x→±∞ (2) x→±∞ Vaäy: thông lượng f có hai điểm uốn u = u = Việc lấy giá trị cụ thể cho hai điểm uốn không hạn chế phạm vi nghiên cứu trình bày luận văn Theo giả thiết, hàm f lồi khoảng (−∞, 0) (1, +∞) lõm khoảng (0, 1) Trong việc nghiên cứu sốc phi cổ điển, quan tâm đến việc tính phi tuyến thực hệ bị phá vỡ đa tạp Trong nhiều trường hợp, đa tạp đơn giản điểm uốn hàm thông lượng theo tọa độ thích hợp Trong số mô lưu chất Van der Waals, việc tính phi tuyến thực xảy không đa tạp, mà hai đa tạp Trong phạm vi nghiên cứu thực luận văn ta xét giới hạn trường hợp vô hướng mà có định luật bảo toàn đơn Hàm thông lượng có dạng áp suất lưu chất Van der Waals miền mà thừa nhận hai điểm uốn Do vậy, có hai hàm động lực học, xét dùng hai hay hai Hơn nữa, tiêu hao entropy chọn sóng phi cổ điển tựa quy tắc cân diện tích, định nghóa hàm số động lực học dựa vào quy tắc cân diện tích để xác định miền xác định miền giá trị chúng Tuy vậy, dể chọn nghiệm ta phải giới hạn miền giá trị hàm số động lực học cho dây cung liên kết trạng thái sóng sốc phi cổ điển cắt đồ thị hàm thông lượng điểm Luận văn trình bày với cấu trúc gồm chương sau: Chương 1: Trình bày kiến thức tổng quan như: khái niệm tính hyperbolic, nghiệm yếu hệ luật bảo toàn, nghiệm entropy, Chương 2: Trình bày tính chất sở hàm thông lượng f tiến hành khảo sát phương pháp xây dựng Oleinik cho nghiệm entropy cổ điển trường hợp hàm thông lượng thừa nhận hai điểm uốn Chương 3: Chỉ nghiệm Riemann phi cổ điển thỏa mãn hệ thức động lực học tồn xây dựng mô tả công thức tường minh Hơn nữa, ta trình bày hai phương pháp xây dựng nghiệm Riemann phi cổ điển: - Phương pháp xây dựng dựa vào bước nhảy qua điểm uốn u = - Phương pháp xây dựng dựa vào bước nhảy qua điểm uốn u = MỤC LỤC CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC TỔNG QUAN 1.1 Các khái niệm ví dụ 1.1.1 Tính hyperbolic 1.1.2 Nghiệm yếu hệ luật bảo toàn 14 1.1.3 Nghieäm entropy 19 1.2 Các luật bảo toàn vô hướng 23 1.2.1 Soác, điều kiện entropy 23 1.2.2 Công thức Lax-Oleinik 25 1.2.3 Tính nghiệm entropy 32 1.2.4 Bài toán Riemann 33 1.3 Bài toán Riemann 34 1.3.1 Định lý tồn nghiệm toán Riemann 34 1.3.2 Hệ phương trình khí động học đẳng entropy 37 CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG OLENIK 41 2.1 Các tính chất sở 41 2.2 Phương pháp xây dựng Oleinik 45 CHƯƠNG 3: XÂY DỰNG NGHIỆM RIEMANN PHI CỔ ĐIỂN 57 3.1 Xây dựng nghiệm Riemann dựa vào bước nhảy qua điểm uốn u = 58 3.2 Xây dựng nghiệm Riemann dựa vào bước nhảy qua điểm uốn u = 70 Chương KIẾN THỨC TỔNG QUAN 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ VÍ DỤ 1.1.1 Tính hyperbolic Cho Ω tập mở Rp hàm trơn f : Ω −→ Rp Dạng tổng quát hệ luật bảo toàn biến không gian là: ut + f (u)x = 0, (1.1) x ∈ R, t > 0, u = (u1 , , up )T : R × [0, ∞) −→ Ω Tập Ω gọi tập trạng thái (set of states) hàm f gọi hàm thông lượng (flux-function) Hơn nữa, ta nói hệ (1.1) viết dạng bảo toàn Một cách hình thức, hệ (1.1) biểu thị bảo toàn p đại lượng u1 , , up Thực vậy, giả sử I khoảng tuỳ ý R Khi (1.1) keùo theo: b d dt udx = f (u(a)) − f (u(b)) a Phương trình có ý nghóa tự nhiên: biến phân theo thời gian thất thoát qua biên hai đầu mút a, b Ký hiệu: A(u) = ma trận Jacobian f ∂f (u) = ∂u ∂fi (u) ∂uj i,j p I udx CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC TỔNG QUAN Định nghóa 1.1 Hệ (1.1) gọi hyperbolic ma trận A(u) thừa nhận p giá trị riêng thực λ1 (u) λp (u) p vectơ riêng tương ứng độc lập tuyến tính r1 (u), , rp (u): A(u)rk = λk rk , k = 1, , p Khi cặp (λk , rk ) gọi trường đặc trưng thứ k, k = 1, , p Định nghóa 1.2 Hệ (1.1) gọi hyperbolic ngặt ma trận A(u) thừa nhận p giá trị riêng thực phân biệt λ1 (u) < · · · < λp (u) Giả sử hệ (1.1) hyperbolic Vì ma trận chuyển vị có tập giá trị riêng, nên tồn vectơ riêng lk ứng với giá trị riêng λk ma trận AT : AT (u)lk = λk lk , k = 1, , p Hệ thức thường viết lại dạng: lk A(u) = λk lk , k = 1, , p Vì vectơ lk (u) thường gọi vectơ riêng trái vectơ rk (u) thường gọi vectơ riêng phải Giả sử hệ (1.1) hệ hyperbolic nghiêm ngặt Khi đó: li(u) · rj (u) = 0, i = j (1.2) Thaät vaäy: λj (li (u) · rj (u)) = li(u) · (A(u)rj (u)) = (li(u)A(u)) · rj (u) = = λi (u)(li (u) · rj (u)) Vì λi = λj nên ta nhận (1.2) Ví dụ 1.1 Phương trình Burgers có daïng : ∂tu + ∂x f (u) = 0, (1.3) CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC TỔNG QUAN 10 với f hàm lồi, trơn Sử dụng phép đổi biến: u = −2 ϕx ϕ ta đưa (1.3) phương trình truyền nhiệt: ∂t ϕ = ∂x22 ϕ Ví dụ 1.2 (Hệ p) Phương trình khí động học đẳng entropy chiều hệ toạ độ Lagrange: vt − ux = ut + p(v)x = 0, (1.4) v dung tích riêng, u vận tốc, p áp suất Với khí lý tưởng dạng entropy nhiều hướng: p(v) = Av −γ với A = A(S) số γ Hệ (1.4) có dạng: ∂tw + ∂xf (w) = 0, với w = (u, v)T , f(w) = (−u, p(v)), Ω = {(u, v) : v > 0} Ma traän Jacobian: A(U ) = −1 p (v) Hệ hyperbolic p (v) < Ví dụ 1.3 Phương trình khí động học hệ toạ độ Lagrange: ∂tv − ∂x u = ∂tu + ∂x p = ∂te + ∂x (pu) = (1.5) CHƯƠNG 3: XÂY DỰNG NGHIỆM RIEMANN PHI CỔ ĐIỂN 78 • Nếu ur ∈ (0, ϕ−h (ul)] nghiệm sóng lan từ ul đến ϕh (ur ) hợp với sốc cổ điển từ ϕh (ur ) đến ur Hình 3.27: ur ∈ (0, ϕ−h (ul)] • Nếu ur ∈ [ϕ−h (ul ), ψ #(ul , ψ(ul))) nghiệm sốc cổ điển đơn Hình 3.28: ur ∈ [ϕ−h (ul ), ψ # (ul , ψ(ul))) CHƯƠNG 3: XÂY DỰNG NGHIỆM RIEMANN PHI CỔ ĐIỂN 79 • Nếu ur ∈ [ψ # (ul, ψ(ul)), ψ(ul)) nghiệm sốc phi cổ điển từ ul đến ψ(ul) hợp sốc cổ điển từ ψ(ul) đến ur Hình 3.29: ur ∈ [ψ # (ul, ψ(ul )), ψ(ul)) • Nếu ur ∈ [ψ(ul), +∞) nghiệm đa hợp sốc phi cổ điển từ ul đến ψ(ul) hợp sóng lan từ ψ(ul) đến ur Hình 3.30: ur ∈ [ψ(ul), +∞) CHƯƠNG 3: XÂY DỰNG NGHIỆM RIEMANN PHI CỔ ĐIỂN 80 Trường hợp 3: ul ∈ [0, 1): • Nếu ur ∈ (−∞, ϕ−h (ul)] nghiệm sốc cổ điển Hình 3.31: ur ∈ (−∞, ϕ−h (ul )] • Nếu ur ∈ [ϕ−h (ul ), 0] nghiệm sóng lan từ ul đến ϕh (ur ) hợp sốc cổ điển từ ϕh (ur ) đến ur Hình 3.32: ur ∈ [ϕ−h (ul ), 0] CHƯƠNG 3: XÂY DỰNG NGHIỆM RIEMANN PHI CỔ ĐIỂN • Nếu ur ∈ (0, ul ] nghiệm sóng lan đơn Hình 3.33: ur ∈ (0, ul ] • Nếu ur ∈ (ul , ψ # (ul , ψ(ul))] nghiệm sốc cổ điển đơn Hình 3.34: ur ∈ (ul , ψ # (ul, ψ(ul))] 81 CHƯƠNG 3: XÂY DỰNG NGHIỆM RIEMANN PHI CỔ ĐIỂN 82 • Nếu ur ∈ (ψ # (ul, ψ(ul)), ψ(ul)) nghiệm đa hợp sốc phi cổ điển từ ul đến ψ(ul) hợp sốc cổ điển từ ψ(ul) đến ur Hình 3.35: ur ∈ (ψ #(ul , ψ(ul)), ψ(ul)) • Nếu ur ∈ [ψ(ul), +∞) nghiệm đa hợp sốc phi cổ điển từ ul đến ψ(ul) hợp sóng lan từ ψ(ul) đến ur Hình 3.36: ur ∈ [ψ(ul), +∞) CHƯƠNG 3: XÂY DỰNG NGHIỆM RIEMANN PHI CỔ ĐIỂN Trường hợp 4: ul ∈ (1, ψ −1 (0)): • Nếu ur ∈ [ul , +∞) nghiệm sóng lan Hình 3.37: ur ∈ [ul, +∞) • Nếu ur ∈ [ψ # (ul , ψ(ul)), ul) nghiệm sốc cổ điển đơn Hình 3.38: ur ∈ [ψ #(ul , ψ(ul)), ul ) 83 CHƯƠNG 3: XÂY DỰNG NGHIỆM RIEMANN PHI CỔ ĐIỂN 84 • Nếu ur ∈ (ψ(ul), ψ # (ul, ψ(ul))) nghiệm đa hợp hai sốc: phi cổ điển từ ul đến ψ(ul) hợp sốc cổ điển từ ψ(ul) đến ur Hình 3.39: ur ∈ (ψ(ul), ψ # (ul, ψ(ul))) • Nếu ur ∈ [0, ψ(ul)) nghiệm sốc phi cổ điển từ ul đến ψ(ul) hợp sóng lan từ ψ(ul) đến ur Hình 3.40: ur ∈ [0, ψ(ul)) CHƯƠNG 3: XÂY DỰNG NGHIỆM RIEMANN PHI CỔ ĐIỂN 85 • Nếu ur ∈ (ϕ−h (ψ(ul )), 0) nghiệm đa hợp sốc phi cổ điển từ ul đến ψ(ul), sóng lan từ ψ(ul ) đến ϕh (ur ) sốc cổ điển từ ϕh (ur ) đến ur Hình 3.41: ur ∈ (ϕ−h (ψ(ul)), 0) • Nếu ur ∈ [ψ #(ul , ψ(ul)), ϕ−h (ψ(ul))] nghiệm sốc phi cổ điển từ ul đến ψ(ul) hợp sốc cổ điển từ ψ(ul) đến ur Hình 3.42: ur ∈ [ψ # (ul, ψ(ul)), ϕ−h (ψ(ul))] CHƯƠNG 3: XÂY DỰNG NGHIỆM RIEMANN PHI CỔ ĐIỂN • Neáu ur ∈ (−∞, ψ # (ul , ψ(ul))), việc dựng hình cổ điển (Mục 2) Trường hợp 5: ul ∈ (ψ −1(0), q): • Nếu ur ∈ [ul , +∞) nghiệm sóng lan đơn Hình 3.43: ur ∈ [ul, +∞) • Nếu ur ∈ [ψ # (ul , ψ(ul)), ul) nghiệm sốc cổ điển đơn Hình 3.44: ur ∈ [ψ #(ul , ψ(ul)), ul ) 86 CHƯƠNG 3: XÂY DỰNG NGHIỆM RIEMANN PHI CỔ ĐIỂN 87 • Nếu ur ∈ [ϕ−h (ψ(ul)), ψ # (ul, ψ(ul))) nghiệm đa hợp hai sốc: sốc phi cổ điển từ ul đến ψ(ul) hợp sốc cổ điển từ ψ(ul) đến ur Hình 3.45: ur ∈ [ϕ−h (ψ(ul)), ψ # (ul, ψ(ul))) • Nếu ur ∈ (0, ϕ−h (ψ(ul)), nghiệm hợp ba sóng: sốc phi cổ điển từ ul đến ψ(ul), sóng lan từ ψ(ul ) đến ϕh (ur ) sốc cổ điển từ ϕh (ur ) đến ur Hình 3.46: ur ∈ (0, ϕ−h (ψ(ul)) CHƯƠNG 3: XÂY DỰNG NGHIỆM RIEMANN PHI CỔ ĐIỂN 88 • Nếu ur ∈ [ψ(ul), 0] nghiệm sốc phi cổ điển từ ul đến ψ(ul) hợp sóng lan từ ψ(ul) đến ur Hình 3.47: ur ∈ [ψ(ul), 0] • Nếu ur ∈ [ϕ# (ul , ψ(ul)), ψ(ul)) nghiệm sốc phi cổ điển từ ul đến ψ(ul) hợp sốc cổ điển từ ψ(ul) đến ur Hình 3.48: ur ∈ [ϕ# (ul , ψ(ul)), ψ(ul)) CHƯƠNG 3: XÂY DỰNG NGHIỆM RIEMANN PHI CỔ ĐIỂN • Nếu ur ∈ (−∞, ϕ# (ul , ψ(ul))) việc dựng hình cổ điển Hình 3.49: ur ∈ (−∞, ϕ# (ul , ψ(ul))) Trường hợp 6: ur ∈ [q, +∞): Phép xây dựng cổ điển 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R Abeyaratne vaø J K Knowles, On the dissipative response due to discontinuous strains in bars of unstable elastic materials Int J Solids Structures, 24:1021-1044, 1988 [2] R Abeyaratne vaø J K Knowles, Kinetic relations and the propagation of phase boundaries in solids Arch Rational Mech Anal., 114:119-154, 1991 [3] B T Hayes vaø P G LeFloch, Non-clasical shocks and kinetic relations: scalar conservation laws Arch Rational Mech Anal., 139(1):1-56, 1997 [4] B T Hayes vaø P G LeFloch, Non-clasical shocks and kinetic relations: strictly hyperbolic systems SIAM J Math Anal., 31:941-991, 2000 [5] R D James, The propagation of phase boundaries in elastic bars Arch Rational Mech Anal., 73:125-158, 1980 [6] P D Lax, Shock waves and entropy, in: E H Zerantonello, Ed Contribbutions to Nonlinear Functional Analysis, page 603-634, 1971 [7] P G LeFloch, Propagating phase boundaries: Formulation of the problem and existence via the Glimm method Arch Rational Mech Anal., 123:153197, 1993 [8] P G LeFloch, Hyperbolic system of conservation laws The theory of clasical and nonclasical shock waves Birkhauser, 2002 [9] P G LeFloch vaø M D Thanh, Nonclasical Riemann solvers and kinetic relations III A nonconvex hyperbolic model for Van der Waals fluids Electro J Differential Equations,(72):19pp, 2000 [10] P G LeFloch vaø M D Thanh, Nonclasical Riemann solvers and kinetic relations I An hyperbolic model of elastodynamics Z A M P.,52:597-619, 2001 [11] P G LeFloch vaø M D Thanh, Nonclasical Riemann solvers and kinetic relations II An hyperbolic-elliptic model of phase transition dynamics Proc Roy Soc Edinburgh Sect.,132A(1):181-219, 2002 [12] P G LeFloch vaø M D Thanh, Properties of Rankine-Hugoniot curves for Van der Waals fluid flows Japan J Indus and Appl Math.,20(2):211-238, 2003 [13] T P Liu, The Riemann problem for general × conservation laws Trans Amer Math Soc., 199:89-112, 1974 [14] O A Oleinik, Constrction of a generalized solution of the Cauchy problem for a quasi-linear equation of first order by the introduction of vanishing viscosity Amer Math Soc Transl Ser 2, 33:277-283, 1963 [15] S Shulze vaø M Shearer, Undercompressive shocks for a system of hyperbolic conservation laws with cubic nonlinearity J Math Anal Appl., 229:344-362, 1999 [16] M Shearer, The Riemann problem for a class of conservation laws of mixed types J Diff Equations, 46:426-443, 1982 [17] M Shearer vaø Y Yang, The Riemann problem for a syatem of mixed types with a cubic nonlinearity Proc Royal Soc Edinburgh, 125A:675-699, 1995 [18] M Slemrod, Admissibility criteria for propagating phase boundaries in a Van der Waals fluid Arch Rational Mech Anal., 81:301-315, 1983 [19] L Truskinovski, Kinks versus shocks, in "Shock induced transitions and phase structures in general media" [20] L Truskinovski, Dynamics of non-equilibrium phase boundaries in a heat conducting nonlinear elastic medium J Appl Math and Mech (PMM), 51:777-784, 1987 ... Giang : Toán giải tích ứng dụng MSHV : 02405540 I TÊN ĐỀ TÀI SÓNG SỐC PHI CỔ ĐIỂN CỦA ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN: HÀM THÔNG LƯNG THỪA NHẬN HAI ĐIỂM UỐN II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ IV NGÀY... thuyết nghiệm phi cổ điển hệ hyperbolic định luật bảo toàn LeFloch khởi xướng mở rộng nghiên cứu nhiều năm Sốc phi cổ điển xuất hệ bị tính phi tuyến thực Một cách vắn tắt, sóng sốc phi cổ điển vi phạm... chất sở hàm thông lượng f tiến hành khảo sát phương pháp xây dựng Oleinik cho nghiệm entropy cổ điển trường hợp hàm thông lượng thừa nhận hai điểm uốn Chương 3: Chỉ nghiệm Riemann phi cổ điển thỏa