TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁCI. Nội dung phương pháp: 1.[r]
(1)TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC
I Nội dung phương pháp: 1 Phương pháp:
_ Nội dung phương pháp hàm số hay biểu thức đại số cần tìm cực trị, cách đặt ẩn phụ hàm số lượng giác thích hợp ta đưa tìm cực trị hàm số lượng giác
_ Các dạng đặt ẩn phụ thường gặp:
Nếu biến x: |x| đặt
x=cosϕ ϕ∈[0;π]
¿ x=sinϕ ϕ∈[−π
2; π 2] ¿
¿ ¿ ¿
Nếu biến x: |x| đặt
x=
cosϕ ϕ∈¿∪¿
¿ x=
sinϕ ϕ∈¿∪¿
¿ ¿ ¿ ¿
Nếu x2 + y2 = a2 đặt
¿ x=asinα
y=acosα
¿{
¿
α [0; π ]
Nếu a x2 + b y2 = 1; a, b đặt
¿ √a.x=cosα
√b.y=sinα
¿{
¿
α [0; π ]
Nếu biến hàm số thỏa mãn xy + yz + zx = đặt ¿ x=tgα
y=tgβ
z=tgγ
¿{ {
¿
với
α+β+γ=π
2
Nếu biến x R đặt x = tgα x = cotgα 2 Những điểm cần ý:
(2)Đối với phương trình dạng asinx + bcosx = c điều kiện có nghiệm a2 + b2 c2
Để tính cosna ngồi việc tính dần cos2a, cos3a, ta dùng đa thức Trêbưsep sau:
¿ P0(x)=1
P1(x)=x
Pn+2(x)=2 xPn+1(x)− Pn(x)n ≥0
¿{ {
¿
trong Pn(cosa) = cosnx
(cos(n+2)x = 2x.cos(n+1)x – cosnx) II Các ví dụ minh họa:
Ví dụ Cho số a, b, c, d thỏa mãn ¿
a2+b2=25
c2
+d2=16
ac+bd≥20
¿{ {
¿
Tìm GTLN T = a + d; S = a + c Giải.
Đặt
¿ a=5 cosα
b=5 sinα
¿{
¿
¿ c=4 cosβ
d=4 sinβ
¿{
¿
0 α , β π
Từ ac + bd 20 ⇔ 20 cosα cosβ + 20 sinα sinβ 20 ⇔ 20 cos(α − β) 20
Vậy cos(α − β) = ⇔ α – β = k2 π (k Z) ⇒ α = β +
k2 π
⇒
¿ cosα=cosβ
sinα=sinβ
¿{
¿
T = a + d = cosα + sinβ = cosα + sinα √52
+42
√cos2α
+sin2α = √41
Dấu “=” xảy
¿ cosα
5 = sinα
4 cosα+4 sinα=√41
¿{
¿
⇔
(3)d = sinβ = 16 √41
S = a + c = cosβ + cosα = cosα Vậy maxS = a = 5, c =
Ví dụ Cho x, y, z (0; 1) thỏa mãn zy + yz + zx = Tìm GTNN của: T = x
1− x2 + y 1− y2 +
z 1− z2 Giải.
Đặt ¿ x=tgα
y=tgβ
z=tgγ
¿{ {
¿
Vì x, y, z (0; 1) nên α , β , γ (0; π )
Từ T = tgα
1−tg2α + tgβ
1−tg2β + tgγ
1−tg2γ =
2 ( tg 2α + tg 2β +
tg 2γ ) với α , β , γ (0; π )
Từ giả thiết: xy + yz + zx = ⇔ tgα tgβ + tgβ tgγ + tgγ tgα =
Kết hợp với α , β , γ (0; π4 ) ⇒ α , β , γ số đo góc tam giác
⇒ α + β + γ = π ⇒ tg 2α + tg 2β + tg 2γ = tg 2α tg 2β tg 2γ
Do α , β , γ (0; π2 ) nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương ta có:
tg 2α + tg 2β + tg 2γ 3
√tg 2α tg 2β tg2γ =
3
√tg 2α+tg2β+tg 2γ
⇒ tg 2α + tg 2β + tg 2γ √3
Dấu “=” xảy
¿
tg 2α=tg 2β=tg 2γ=√3
2α+2β+2γ=π
¿{
¿
mà α , β , γ (0; π ) ⇒ α = β = γ = π
6 ⇔ x = y = z = √ 3 Vậy minT = 3√3
2 đạt x = y = z = √ 3 Ví dụ Tìm GTLN, GTNN y = x6 + 1− x2¿3
¿ + x
2 (1 – x2 ) với x
(4)Đặt x = cost, t [0; π ] y = cos6t + 1−cos2t¿3
¿ + cos
2t (1 – cos2t )
= cos2t¿3 ¿ +
sin2t
¿3
¿ + cos
2
t sin2t
= ( cos2t + sin2t )( cos4t – cos2t sin2t + sin4t ) + cos2t sin2t y = cos4t + sin4t =
4 +
4 cos4t maxy = ⇔ cos4t = ⇔ t = t = π
2 ; t = π ⇔ x = x = ±
miny =
2 ⇔ cos4t = – ⇔ t = π
4 t = 3π
4 ⇔ x = ± √ 2
Bài 1: Chứng minh với số a, b ta có:
2 1 ) b 1 )( a 1 ( ) ab 1 )( b a ( 2 1
2
Giải:
Đặt: a = tg , b = tg với ,
2 ; 2 .
Khi đó: A = (1 tg )(1 tg )
) tg tg 1 )( tg tg ( ) b 1 )( a 1 ( ) ab 1 )( b a ( 2 2
= cos2 cos2
cos cos sin sin 1 . cos cos ) sin(
= sin ( + ) cos ( + ) = 2
1
sin (2 + 2)
Suy ra: A = 2
1
sin (2 + 2) 2
1
Vậy: -2 1
(1 a )(1 b )
) ab 1 )( b a ( 2
2
1
(đpcm)
Bài 2 Cho x, y > x + y = Chứng minh:
2 17 y 1 y x 1
(5)Giải:
Ta có: x + y =
2
y
x = 1, theo mệnh đề IV có số a với
a
2 để x= cosa y = sina
Bất đẳng thức cho viết thành:
a cos
1 a
cos4 4
+
a sin
1 a
sin4 4
2
17
Ta có: cos4a + cos a
1
4
+ sin4a + sin a
1
4
= (cos4a + sin4a)
a cos a sin
1
1 4 4
= (1 – 2sin2acos2a)
a cos a sin
1 1
4
=
a 2 sin
16 1
2 a 2 sin 1
4
Vì < sin22a nên - 2
a 2 sin2
2
1
và + sin 2a 16
4