Áp du.ng vào phu.o.ng trı̀nh Hamilton-Jacobi.[r]
Trang 1Tru.` o.ng D - a.i ho.c Su pha.m
B ` AI GIA ’ NG
L ´ Y THUY ˆ E ´T PHU.O.NG TR`INH D - A O H AM RI ˆ ` ENG
PHI TUY ˆ E ´N C ˆ A ´P 1
(Da `nh cho ho c viˆ en Cao ho c chuyˆ en nga `nh Toa ´ n Gia’i tı ´ch)
Biˆen soa.n: PGS.TS Nguyˆ e ˜n Hoa `ng
Ban D - a `o ta o, D - a.i ho.c Huˆe´
HU ˆE´ - 2006
Trang 2L ` O . I N ´ OI D - ˆ ` U A
C´ac nghiˆen c´u.u d¯i.a phu.o.ng cu’a phu.o.ng tr`ınh Hamilton-Jacobi xuˆa´t hiˆe.n t`u lˆau, c´o l˜e t`u viˆe.c kha’o s´at c´ac b`ai to´an biˆe´n phˆan v´o.i d¯ˆa` u m´ut d¯ˆo.ng Nhiˆe` u phu.o.ng ph´ap cˆo’ d¯iˆe’n d¯u.o. c d`ung d¯ˆe’ nghiˆen c´u.u, ch˘a’ng ha.n phu.o.ng ph´ap t´ach biˆe´n, biˆe´n d¯ˆo’i Legendre, t´ıch phˆan to`an phˆ` n, l´a y thuyˆe´t d¯˘a.c tru.ng Cauchy, biˆe´n phˆan, d¯ˆ` ng da.ng v.v d¯˜a mang la.i nhiˆeo ` u kˆe´t qua’ trong viˆe.c nghiˆen c´u.u phu.o.ng tr`ınh d¯a.o h`am riˆeng phi tuyˆe´n cˆa´p 1, d¯˘a.c biˆe.t l`a phu.o.ng tr`ınh Hamilton-Jacobi
Tuy nhiˆen trong nhiˆ` u b`e ai to´an vˆa.t l´y v`a ´u.ng du.ng, nghiˆe.m cˆo’ d¯iˆe’n d¯i.a phu.o.ng cu’a phu.o.ng tr`ınh Hamilton-Jacobi chu.a d¯´ap ´u.ng d¯u.o. c yˆeu cˆ` u th´ıcha
´
u.ng v`ı ngu.`o.i ta muˆo´n nhˆa.n d¯u.o c thˆong tin tˆo’ng thˆe’, d¯ˆa`y d¯u’ ho.n
C´ac nghiˆen c´u.u hiˆe.n d¯a.i vˆe` nghiˆe.m to`an cu.c cu’a phu.o.ng tr`ınh Hamilton-Jacobi b˘a´t d¯ˆa` u v`ao nh˜u.ng n˘am 1950-51 t`u c´ac b`ai b´ao cu’a E Hopf v`a Cole
vˆ` phu.o.ng tr`ınh Burger Tiˆe´p d¯´e o, h`ang loa.t cˆong tr`ınh nghiˆen c´u.u kh´ac nhu
cu’a Lax, Hop, Oleinik, Kruzhkov, Fleming v`a gˆ` n d¯ˆa ay v´o.i Crandall v`a
Lions, Subbotin, Ishii, ra d¯`o.i, d¯˜a thu h´ut su. quan tˆam cu’a nhiˆ` u nh`e a to´an ho.c trˆen thˆe´ gi´o.i C´ac nghiˆen c´u.u c`ang tro.’ nˆen th`o.i su v`a b´u.c thiˆe´t
do nhu cˆ` u ´a u.ng du.ng l´y thuyˆe´t phu.o.ng tr`ınh Hamilton-Jacobi trong c´ac l˜ınh
vu. c kh´ac nhau cu’a to´an ho.c nhu l´y thuyˆe´t d¯iˆe` u khiˆe’n tˆo´i u.u, l´y thuyˆe´t tr`o cho.i vi phˆan, l´y thuyˆe´t s´ong,
Tuy chu.a c´o mˆo.t tˆo’ng kˆe´t d¯ˆa` y d¯u’ c´ac kˆe´t qua’ nghiˆen c´u.u, song c´o thˆe’ n´oi l´y thuyˆe´t phu.o.ng tr`ınh phi tuyˆe´n cˆa´p mˆo.t (bao gˆo` m phu.o.ng tr`ınh Hamilton-Jacobi) cho d¯ˆe´n nay chu.a d¯u.o. c d¯e.p v`a ho`an thiˆe.n nhu l´y thuyˆe´t phu.o.ng tr`ınh
d¯a.o h`am riˆeng tuyˆe´n t´ınh, c´o l˜e do ba’n chˆa´t ph´u.c ta.p v`a d¯a da.ng cu’a c´ac b`ai to´an phi tuyˆe´n Cu˜ ng vı` ba’n chˆa´t phi tuyˆe´n cu’a ca´ c toa´ n tu.’ va` d˜u kiˆe.n tham gia trong phu.o.ng trı`nh, nghiˆe.m cˆo’ d¯iˆe’n C1 chı’ tˆ` n ta.i d¯i.a phu.o.ng Doo
d¯´o, khi d¯u.a ra kh´ai niˆe.m nghiˆe.m toa`n cu.c cho phu.o.ng tr`ınh Hamilton-Jacobi, viˆe.c tru.´o.c tiˆen l`a cˆa` n gia’m nhe d¯ˆo tro.n cu’a nghiˆe.m Mˆo.t sˆo´ t´ac gia’ tiˆen phong trong l˜ınh vu. c n`ay d¯˜a cho.n c´ac h`am Lipschitz d¯i.a phu.o.ng l`am ´u.ng cu.’ viˆen d¯ˆe’ d¯i.nh ngh˜ıa nghiˆe.m suy rˆo.ng Theo d¯i.nh l´y Rademacher, c´ac h`am u
nhu vˆa.y th`ı kha’ vi hˆa` u kh˘a´p no.i trˆen miˆe` n x´ac d¯i.nh, nhu vˆa.y chı’ cˆa`n yˆeu cˆa`u ch´ung tho’a m˜an phu.o.ng tr`ınh ta.i nh˜u.ng d¯iˆe’m ch´ung kha’ vi Trong qu˜ang th`o.i gian d`ai t`u n˘am 1950 d¯ˆe´n 1980, v´o.i d¯i.nh ngh˜ıa n`ay, nhiˆe` u th`anh tu. u nˆo’i
Trang 3bˆa.t vˆe` nghiˆen c´u.u su. tˆ` n ta.i v`a duy nhˆa´t cu’a nghiˆe.m suy rˆo.ng Lipschitz d¯˜ao
d¯u.o. c d¯´ong g´op bo.’ i Oleinik, Hopf, Fleming, Kruzhkov, Lax, Benton,
T`u n˘am 1983 tro.’ d¯i, su. xuˆa´t hiˆe.n loa.t b`ai b´ao cu’a Crandall, Lions, Evans,
Ishii , d¯˜a mo.’ ra mˆo.t hu.´o.ng nghiˆen c´u.u d¯ˆa` y hiˆe.u qua’ trong viˆe.c nghiˆen c´u.u phu.o.ng tr`ınh d¯a.o h`am riˆeng phi tuyˆe´n Thay v`ı buˆo.c nghiˆe.m u tho’a
m˜an phu.o.ng tr`ınh hˆ` u kh˘a a´p no.i, c´ac t´ac gia’ n`ay chı’ d¯`oi ho’i nghiˆe.m l`a mˆo.t h`am liˆen tu.c, tho’a m˜an c˘a.p bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c vi phˆan thˆong qua c´ac “h`am thu.’”
d¯u’ tro.n ho˘a.c qua c´ac kh´ai niˆe.m vi phˆan du.´o.i, vi phˆan trˆen D- ´o l`a kh´ai niˆe.m nghiˆe.m viscosity Trong th`o.i gian n`ay, d¯ˆo.c lˆa.p v´o.i Crandall v`a Lions, xuˆa´t ph´at t`u l´y thuyˆe´t d¯iˆ` u khiˆe’n tˆe o´i u.u v`a tr`o cho.i vi phˆan, A.I Subbotin d¯u.a
ra kh´ai niˆe.m nghiˆe.m minimax v`a ch´u.ng minh r˘a`ng, d¯ˆo´i v´o.i mˆo.t sˆo´ l´o.p b`ai to´an nghiˆe.m minimax tˆo` n ta.i v`a tr`ung v´o.i nghiˆe.m viscosity
Trong chu.o.ng trı`nh Cao ho.c chuyˆen nga`nh Toa´ n Gia’i tı´ch, chuyˆen d¯ˆ`e
na`y la` mˆo.t nˆo.i dung quan tro.ng, giu´ p ho.c viˆen tiˆe´p cˆa.n v´o.i ly´ thuyˆe´t hiˆe.n d¯a.i cu’a ly´ thuyˆe´t phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng phi tuyˆe´n Nh˜u.ng phu.o.ng pha´p cu’a Gia’i tı´ch lˆ` i, Gia’i tı´ch phi tuyˆe´n d¯u.o c su.’ du.ng thu.`o.ng xuyˆen giu´p choo ngu.`o.i ho.c co`n co´ thˆe’ tı`m hiˆe’u ca´ c chuyˆen nga`nh kha´ c tu.o.ng d¯ˆo´i thuˆa.n tiˆe.n
Tˆa.p ba`i gia’ng na`y d¯u.o c soa.n trˆen co so.’ tˆo’ng ho p nhiˆe`u ta`i liˆe.u, sa´ch
ba´ o vˆ` chu’ d¯ˆee ` ly´ thuyˆe´t toa`n cu.c cu’a phu.o.ng trı`nh Hamilton-Jacobi Ngu.`o.i biˆen soa.n cho.n nh˜u.ng vˆa´n d¯ˆe` co ba’n, tinh gia’n nhu.ng thiˆe´t thu. c d¯ˆe’ cho ai quan tˆam co´ thˆe’ tiˆe´p cˆa.n ngay ca´ c ba`i toa´ n mo.’ va` n˘a´m d¯u.o c phu.o.ng pha´p,
cˆong cu d¯ˆe’ b˘a´t tay va`o nghiˆen c´u.u hˆa` u co´ thˆe’ tı`m ra kˆe´t qua’ m´o.i Du` soa.n gia’ co´ nhiˆ` u cˆe o´ g˘a´ng nhu.ng d¯ˆay la` nh˜u.ng vˆa´n d¯ˆ` khoe ´ nˆen ngu.`o.i ho.c pha’i da`y
cˆong suy nghı˜, ˆon tˆa.p, vˆa.n du.ng tha`nh tha.o ca´ c nh˜u.ng kiˆe´n th´u.c vˆ` gia’i tı´che
d¯u.o. c ho.c o’ bˆ. a.c d¯a.i ho.c d¯ˆe’ lı˜nh hˆo.i d¯ˆa` y d¯u’ nˆo.i dung cu’a chuyˆen d¯ˆe` na`y
Nˆo.i dung tˆa.p ba`i gia’ng na`y bao gˆo` m 4 chu.o.ng Chu.o.ng I trı`nh ba`y
to´ m t˘a´t mˆo.t sˆo´ kiˆe´n th´u.c cˆo’ d¯iˆe’n vˆe` phu.o.ng trı`nh Hamilton-Jacobi, chu’
yˆe´u la` phu.o.ng pha´ p d¯˘a.c tru.ng Cauchy vˆe` viˆe.c kha’o sa´t nghiˆe.m d¯i.a phu.o.ng.
Ca´ c chu.o.ng sau nghiˆen c´u.u ca´ c loa.i nghiˆe.m suy rˆo.ng, theo th´u tu la` nghiˆe.m Lipschitz, nghiˆe.m viscosity va` nghiˆe.m minimax
C´ac vˆa´n d¯ˆ` nˆeu trˆen hiˆe.n l`a nh˜u.ng vˆa´n d¯ˆee ` th`o.i su. cu’a l´y thuyˆe´t phu.o.ng tr`ınh d¯a.o h`am riˆeng phi tuyˆe´n, d¯ang d¯u.o c nhiˆe`u nh`a to´an ho.c trong v`a ngo`ai nu.´o.c quan tˆam nghiˆen c´u.u
Cu˜ ng no´ i thˆem r˘a`ng, trong ca´ c ta`i liˆe.u, sa´ ch ba´ o chı´nh thˆo´ng hiˆe.n nay ngu.`o.i ta co´ xu hu.´o.ng go.i phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng phi tuyˆe´n cˆa´p 1 tˆo’ng
Trang 4qua´ t la` phu.o.ng trı`nh Hamilton-Jacobi m˘a.c du` vˆe` truyˆe` n thˆo´ng, phu.o.ng trı`nh Hamilton-Jacobi chı’ la` mˆo.t da.ng d¯˘a.c biˆe.t trong d¯o´ biˆe´n th`o.i gian d¯u.o. c ta´ ch riˆeng d¯ˆe’ d¯u.o. c xem la` mˆo.t phu.o.ng trı`nh tiˆe´n ho´a Vı` vˆa.y khi d¯o.c tˆa.p ba`i gia’ng na`y cu˜ ng nhu ca´ c ta`i liˆe.u, ba`i ba´ o liˆen quan ho.c viˆen cˆa` n chu´ y´ d¯ˆe´n
ca´ c da.ng phu.o.ng trı`nh trong nh˜u.ng tru.`o.ng ho p cu thˆe’
Khi biˆen soa.n tˆa.p ba`i gia’ng na`y, chu´ ng tˆoi d¯a˜ da`nh th`o.i gian thı´ch d¯a´ ng
d¯ˆe’ hoa`n chı’ nh nhu.ng ch˘a´c kho´ tra´ nh kho’i nh˜u.ng thiˆe´u so´ t Rˆa´t mong nhˆa.n
d¯u.o. c nh˜u.ng su. phˆe bı`nh, go´ p y´ d¯ˆe’ tˆa.p ba`i gia’ng na`y nga`y ca`ng tˆo´t ho.n
Trang 5Mo ’ d ¯ˆ ` u a
Phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng la` mˆo.t phu.o.ng trı`nh vi phˆan (phu.o.ng trı`nh
co´ ch´u.a ca´ c d¯a.o ha`m ho˘a.c vi phˆan) trong d¯o´ ˆa’n ha`m la` ha`m sˆo´ theo 2 biˆe´n tro.’ lˆen
Gia’ su.’ D la` mˆo.t miˆe` n ch´u.a trong Rn, n ≥ 2, x = (x1, , xn) ∈ D, α = (i1, , in) ∈ Nn la` d¯a chı’ sˆo´ khˆong ˆam, |α| = i1+ · · · + in go.i la` cˆa´p cu’a d¯a chı’ sˆo´ α.
Cho F la` mˆo.t ha`m thu c xa. ´ c d¯i.nh trˆen D × Rk1 × × Rkn co´ da.ng
F = F (x1, , xn, pki1, ,in , ),
trong d¯o´ x = (x1, , xn) ∈ D, |α| = i1+ · · · + in = k, k = 0, , m, va` gia’
su.’ tˆ` n ta.i mˆo.t d¯a.o ha`m riˆeng cˆa´p m cu’a F kha´c khˆong:o
∂F
∂pki1, ,i
n 6= 0, |α| = i1+ in = m.
Phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng co´ da.ng
F = F (x1, , xn, ∂
ku
∂xi1
1 ∂xin
n
, ) = 0 (0.1)
x = (x1, , xn) ∈ D, i1 + · · · + in = k, k = 0, , m, d¯u.o. c go.i la` phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng cˆa´p m ´u ng v´o.i ˆa’n ha`m u = u(x) = u(x1, , xn) Ta co`n viˆe´t (0.1) du.´o.i da.ng
F (x, u(x), Du(x), , Dαu(x)) = 0, |α| ≤ m (0.1’)
Nghiˆe.m cˆo’ d¯iˆe’n cu’a phu.o.ng trı`nh (0.1) trˆen miˆe` n D la` mˆo.t ha`m u = u(x)
xa´ c d¯i.nh, kha’ vi liˆen tu.c trˆen D va` nghiˆe.m d¯u´ ng phu.o.ng trı`nh (0.1) v´o.i mo.i
x ∈ D.
Nˆe´u F la` mˆo.t ha`m tuyˆe´n tı´nh d¯ˆo´i v´o.i ˆa’n ha`m va` tˆa´t ca’ ca´c d¯a.o ha`m co´ m˘a.t thı` phu.o.ng trı`nh (0.1) d¯u.o c go.i la` phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng tuyˆe´n
tı´nh Tra´ i la.i, ta go.i no´ la` phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng phi tuyˆe´n Da.ng tˆo’ng qua´ t cu’a phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng tuyˆe´n tı´nh cˆa´p m la`
X
|α|≤m
Trang 6v´o.i d¯iˆ` u kiˆe.n la` tˆoe ` n ta.i d¯a chı’ sˆo´ α0 sao cho |α0| = m va ` aα0(x) 6≡ 0 trˆ en D,
trong d¯o´ aα(x), f (x) la` ca´ c ha`m cho tru.´o.c, Dαu(x) la` ky´ hiˆe.u tˆa.p ca´ c d¯a.o
ha`m riˆeng cˆa´p α cu’a ha `m u Phu.o.ng trı`nh (0.2) d¯u. oc go.i la` thuˆ` n nhˆa a´t nˆe´u
f ≡ 0 trˆ en D.
Nˆe´u F la` mˆo.t ha`m tuyˆe´n tı´nh theo biˆe´n la` d¯a.o ha`m cˆa´p cao nhˆa´t cu’a ˆ
a’n ha`m co´ m˘a.t trong (0.1) thı` phu.o.ng trı`nh na`y d¯u.o c go.i la` phu.o.ng trı`nh
d¯a.o ha`m riˆeng tu a tuyˆ. e´n tı´nh.
Cho phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng (0.1) trong miˆe` n D v´o.i biˆen la` ∂D Ba`i toa´ n tı`m nghiˆe.m u = u(x) cu’a phu o.ng trı`nh (0.1) sao cho u|∂D = f v´ o.i f la`
mˆo.t ha`m cho tru.´o.c, d¯u.o c go.i la` mˆo.t ba`i toa´n biˆen Nˆe´u D = (a, b)×Rn−1 thı`
ba`i toa´ n tı`m nghiˆe.m u = u(x) cu’a (0.1) tho’a ma˜ n d¯iˆe` u kiˆe.n u|{0}×Rn−1 = f
d¯u.o. c go.i la` ba`i toa´ n Cauchy hay la` ba`i toa´ n v´o.i d˜u kiˆe.n ban d¯ˆa` u cu’a phu.o.ng trı`nh (0.1)
Trong phˆ` n chuyˆen d¯ˆea ` na`y, ta se˜ nghiˆen c´u.u ly´ thuyˆe´t toa`n cu.c cu’a phu.o.ng trı`nh phi tuyˆe´n cˆa´p 1, cu thˆe’ la` phu.o.ng trı`nh da.ng
F (x, u, ∇u) = 0, x ∈ D ⊂ Rn
hay ba`i toa´ n Cauchy cho phu.o.ng trı`nh Hamilton-Jacobi da.ng
∂u
∂t + H(t, x, ∇xu) = 0 , (t, x) ∈ Ω = (0, T ) × R
n,
u(0, x) = σ(x) , x ∈ Rn.
Trang 7CHU.O.NG I
Nghiˆ e.m d¯i.a phu o.ng va` ly ´ thuyˆ e´t d ¯˘ a.c tru ng Cauchy
§1 Mˆ o t sˆ o ´ vˆ a ´n d ¯ˆ ` vˆ e ` ly e ´ thuyˆ e ´t cˆ o’ d ¯iˆ e’n
1.1 Ca ´ c phu.o.ng trı `nh hoa `n chı’ nh va ` tı ´ch phˆ an tru c tiˆ e ´p
Trong thu. c tˆe´ khi g˘a.p mˆo.t phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng, ta nˆen quan
sa´ t xem thu.’ co´ thˆe’ gia’i b˘a`ng nh˜u.ng phu.o.ng pha´ p d¯o.n gia’n hay khˆong tru.´o.c khi nghiˆen c´u.u da.ng tˆo’ng qua´ t cu’a no´ Trong mˆo.t sˆo´ tru.`o.ng ho p riˆeng, khi phu.o.ng trı`nh thuˆo.c da.ng suy biˆe´n, viˆe.c gia’i chu´ ng co´ thˆe’ quy vˆ` viˆe.c tı´nhe
ca´ c tı´ch phˆan D- iˆe` u nhˆa.n xe´ t na`y giu´ p ta tiˆe´t kiˆe.m s´u.c lao d¯ˆo.ng khi nghiˆen c´u.u nh˜u.ng ba`i toa´ n cu thˆe’
Ta xe´ t phu.o.ng trı`nh sau:
cu`ng v´o.i d¯iˆ` u kiˆe.n ban d¯ˆae ` u
Ro˜ ra`ng lu´ c na`y ba`i toa´ n Cauchy co´ nghiˆe.m duy nhˆa´t la`
u(t, x) = f (x) −
Z t 0
H(τ, x)dτ.
Mˆo.t tru.`o.ng ho p kha´c co´ thˆe’ gia’i d¯u.o c b˘a`ng tı´ch phˆan tru c tiˆe´p d¯o´ la` phu.o.ng trı`nh hoa`n chı’ nh m˘a.c du` d¯o´ la` kha´ i niˆe.m thu.`o.ng d¯u.o c du`ng cho phu.o.ng trı`nh vi phˆan thu.`o.ng Ta xe´ t phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng cˆa´p 1 tu a. tuyˆe´n tı´nh nhu sau
M (x, y, u)ux = N (x, y, u)uy, (x, y) ∈ R2 (1.3)
Trang 8trong d¯o´ M, N la` ca´ c ha`m kha’ vi liˆen tu.c theo ca´ c biˆe´n va` tho’a ma˜ n d¯iˆe` u kiˆe.n kh´o p:
Trong tru.`o.ng ho. p na`y, nghiˆe.m u = u(x, y) cu’a phu.o.ng trı`nh co´ thˆe’ tı`m d¯u.o c du.´o.i da.ng ˆa’n Φ(x, y, u) = 0, trong d¯o ´ M = Φy, N = Φx D- ˆe’ xa´ c d¯i.nh tı´ch phˆan tˆo’ng qua´ t Φ, ta lˆa´y tı´ch phˆan theo y cu’a ha `m M (x, y, u) :
Φ(x, y, u) =
Z
M (x, y, u)dy + g(x, u).
Vı` Φx = N nˆen lˆa´y d¯a.o ha`m 2 vˆe´ d¯˘a’ng th´u.c trˆen, ta co´
Z
Mx(x, y, u)dy + gx(x, u) = N.
Gia’i ra d¯u.o. c gx(x, u) va` t`u d¯o´ g(x, u) = R
gx(x, u)dx + h(u) Nhu thˆe´
Φ(x, y, u) =
Z
M (x, y, u)dy +
Z
gx(x, u)dx + h(u) (1.5)
trong d¯o´ h la` mˆo.t ha`m tu`y y´
Khi Φu 6= 0, ta tı`m d¯u.o. c ha`m u = u(x, y) tu.`o.ng minh theo d¯i.nh ly´ ha`m ˆ
a’n
Vı ´ du Xe´ t phu.o.ng trı`nh
xut = tux, (t, x) ∈ R2.
D- ˘a.t M(t, x, u) = x, N(t, x, u) = tu, khi d¯o´ ta co´ Mt = Nx = 0 Ha`m
Φ(t, x, u) pha’i tı`m cho bo.’ i cˆong th´u.c sau:
Φ =
Z
xdx + g(t, u) = 1
2x
2+ g(t, u).
D- ˆe’ tı`m ha`m g ta du`ng hˆe th´u.c gt(t, u) = tu nˆen t`u d¯o´ g(t, u) = 1
2(x
2+
t2u) + h(u), trong d¯o´ h la` mˆo.t ha`m kha’ vi tu`y y´ theo biˆe´n u Ch˘a’ng ha.n, ta cho.n ha`m
h(u) = 1
2(a
2u + b2), trong d¯o´ a, b la` h˘a`ng sˆo´
Trang 9u(t, x) = − x
2+ b2
t2+ a2.
Tu.o.ng tu. tru.`o.ng ho p phu.o.ng trı`nh vi phˆan thu.`o.ng, d¯ˆoi lu´c d¯ˆe’ d¯u.a vˆe`
mˆo.t phu.o.ng trı`nh hoa`n chı’nh, ta pha’i tı`m mˆo.t th`u.a sˆo´ tı´ch phˆan t´u.c la` tı`m
mˆo.t ha`m µ(x, y) sao cho
(µM )x = (µN )y,
ch˘a’ng ha.n nˆe´u (Ny − Mx)/M khˆ ong phu thuˆo.c y thı`
µ(x) = exp Z
((Ny − Mx)/M )dx
la` mˆo.t th`u.a sˆo´ tı´ch phˆan
1.2 Phu.o.ng pha ´ p ta ´ ch biˆ e ´n
Phu.o.ng pha´ p na`y kha´ d¯o.n gia’n va` co´ thˆe’ a´ p du.ng cho nhiˆe` u phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng thu.`o.ng g˘a.p trong ca´c ba`i toa´n vˆa.t ly´ Tuy nhiˆen kha’ n˘ang su.’ du.ng trong tru.`o.ng ho p tˆo’ng qua´t la.i ha.n chˆe´
´
Y tu.o.’ ng chı´nh cu’a phu.o.ng pha´ p ta´ ch biˆe´n la` chuyˆe’n phu.o.ng trı`nh d¯a.o
ha`m riˆeng d¯a˜ cho vˆe` nh˜u.ng phu.o.ng trı`nh v´o.i ca´ c ˆa’n ha`m theo sˆo´ biˆe´n ı´t ho.n
No´ i ca´ ch kha´ c, ta cˆo´ g˘a´ng tı`m nghiˆe.m cu’a phu.o.ng trı`nh d¯a˜ cho du.´o.i da.ng
tˆo’ng ho˘a.c tı´ch mˆo.t sˆo´ ca´ c ha`m sˆo´ co´ sˆo´ biˆe´n ı´t ho.n va` r`o.i nhau Sau khi thay nghiˆe.m na`y va`o phu.o.ng trı`nh d¯a˜ cho ta thu d¯u.o c ca´c phu.o.ng trı`nh co´ ˆ
a’n la` ca´ c ha`m co´ sˆo´ biˆe´n ı´t ho.n nˆen co´ thˆe’ dˆe˜ gia’i ho.n Ta xe´ t mˆo.t tru.`o.ng
ho. p sau d¯ˆay:
Xe´ t phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng da.ng
F (t, x, u, ut, ux) = 0, (t, x) ∈ D ⊂ R2.
Ta mong r˘a`ng nghiˆe.m u = u(t, x) co´ thˆe’ biˆe’u diˆe˜n du.´o.i da.ng
u(t, x) = g(t)h(x) hay u(t, x) = g(t) + h(x),
Khi d¯o´ thay va`o phu.o.ng trı`nh (co´ thˆe’ thˆem ca´ c d¯iˆ` u kiˆe.n biˆen) ta xa´c d¯i.nhe
d¯u.o. c ca´ c ha`m g, h nh`o ca´ c phu.o.ng trı`nh vi phˆan thu.`o.ng, t`u d¯o´ tı`m d¯u.o. c
ha`m u = u(t, x).
Trang 10Vı ´ du 1 Gia’i ba`i toa´ n Cauchy cho phu.o.ng trı`nh Hamilton-Jacobi sau:
ut+ u2x = 0, (t, x) ∈ R2 u(0, x) = x2, x ∈ R.
Ta ha˜ y tı`m nghiˆe.m cu’a ba`i toa´n trˆen du.´o.i da.ng
u(t, x) = g(t)h(x).
Thay ha`m sˆo´ na`y va`o phu.o.ng trı`nh ta co´
g0h + (gh0)2 = 0.
Suy ra
g0
g2 = −h
02
h = c = const.
Ca´ c phu.o.ng trı`nh na`y cho ta
g(t) = a
1 − act , h(x) = −
1
4c(x − b)
2
v´o.i a, b, c la` ca´ c h˘a`ng sˆo´ Nhu vˆa.y
u(t, x) = − ca(x − b)
2
4(1 − act) = −
α
4
(x − b)2
1 − αt .
D- ˆe’ y´ d¯ˆe´n d¯iˆ` u kiˆe.n d¯ˆae ` u u(0, x) = x2 ta co´ x2 = −α
4(x − b)
2
, ta cho.n b = 0 va`
α = −4, khi ˆa´y
u(t, x) = x
2
1 + 4t , t 6= −
1 4
la` nghiˆe.m cu’a ba`i toa´ n trˆen
Vı ´ du 2 Xe´ t phu.o.ng trı`nh dao d¯ˆo.ng cu’a dˆay
utt = uxx, (t, x) ∈ (a, b) × R, u(a, t) = u(b, t) = 0.
Ta tı`m nghiˆe.m du.´o.i da.ng u(t, x) = v(t)w(x) Khi d¯o´
utt = v00(t)w(x), uxx = v(t)w00(x).