ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CHU THỊ HẢI YẾN TẬP HỢP VÀ CỰC TRỊ TẬP HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CHU THỊ HẢI YẾN TẬP HỢP VÀ CỰC TRỊ TẬP HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN NGUYÊN AN Thái Nguyên - 2018 Mục lục Mở đầu Chương Tập hợp, ánh xạ tổ hợp 1.1 Tập hợp, ánh xạ 1.2 Tổ hợp Chương Cực trị tập hợp 24 2.1 Một số định lý lý thuyết cực trị tập hợp 24 2.2 Một số dạng toán cực trị tập hợp 28 2.2.1 Sử dụng ánh xạ 28 2.2.2 Sử dụng nguyên lý tổ hợp 30 2.2.3 Đếm hai cách 32 2.2.4 Quy nạp - Truy hồi 35 2.2.5 Phương pháp ma trận liên thuộc 37 2.2.6 Khoảng cách Hamming - chặn Plotkin 40 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Lời cảm ơn Trong q trình làm luận văn, tơi nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình TS Trần Nguyên An - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học khóa Cao học Tốn khóa 10Q (2016-2018) - Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, truyền thụ đến cho nhiều kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu khoa học Xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT Phạm Ngũ Lão, Thủy Nguyên, Hải Phòng, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập nghiên cứu Lời cuối cùng, tác giả muốn dành để tri ân bố mẹ gia đình chia sẻ khó khăn để tác giả hồn thành cơng việc học tập Mở đầu Khái niệm tập hợp tảng để xây dựng khái niệm khác số, hình, hàm số, Toán học Nghiên cứu lý thuyết tập hợp đại Cantor Dedekind khởi xướng vào thập niên 1870 Mục đích luận văn nhắc lại số kiến thức số tập hợp Từ giải thích chi tiết nguyên lý đếm, khái niệm tổ hợp Nội dung kết thúc tốn đếm số ánh xạ, đơn ánh, tồn ánh, song ánh tập hữu hạn Mục đích luận văn tìm hiểu lý thuyết cực trị tập hợp Những toán lý thuyết cực trị tập hợp thường có dạng: cho tập (hay họ tập) F thỏa mãn số điều kiện cho trước, tìm max lực lượng F Khi dấu đẳng thức xảy ? Luận văn quan tâm đến số toán Cho F họ tập tập có n phần tử X Để đơn giản ta thường xét X tập [n] = {1, 2, 3, , n} Bài toán Giả sử hai phần tử F có giao khác rỗng Hỏi giá trị lớn |F|? Bài toán Giả sử A B với phần tử A, B F Hỏi giá trị lớn |F|? Các tốn có thêm điều kiện F toán cực trị tập hợp liên quan phổ thơng tìm hiểu luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày hai chương • Chương Tập hợp, ánh xạ tổ hợp Trong chương chúng tơi trình bày lực lượng tập hợp, quy tắc đếm, quy tắc tổ hợp giải toán đếm ánh xạ tập hữu hạn Nguyên lý Dirichlet số mở rộng trình bày chương • Chương Cực trị tập hợp Chương trình bày cỏc nh lý Erdăos - Ko - Rado, nh lý Sperner, Bất đẳng thức Lubell - Yamamoto Meshalkin Cuối luận văn trình bày số dạng tốn cực trị tập hợp phổ thông Thái Nguyên, ngày 05 tháng năm 2018 Tác giả Chu Thị Hải Yến Chương Tập hợp, ánh xạ tổ hợp 1.1 Tập hợp, ánh xạ Tập hợp khái niệm ngun thuỷ (cơ bản) tốn học, khơng định nghĩa Ta hiểu tập hợp vật, đối tượng toán học, , gom lại tính chất chung Chẳng hạn, người ta nói "Tập hợp sinh viên lớp", "tập hợp lớp học trường học", "tập hợp N số tự nhiên", "tập hợp Z số nguyên", "tập hợp Q số hữu tỉ", "tập hợp R số thực", Các tập hợp thường ký hiệu chữ in hoa: X, Y, Z, Các vật tập hợp gọi phần tử tập hợp thường ký hiệu chữ in thường: x, y, z, , a, b, c, Tập hợp, phép tốn tập hợp số tính chất kiến thức quen thuộc nên ta không nhắc lại Để hiểu đầy đủ lý thuyết tổ hợp, ta nhắc lại khái niệm ánh xạ, kiến thức chuẩn bị cho chương sau Định nghĩa 1.1.1 (i) Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y quy tắc cho tương ứng phần tử x ∈ X với phần tử y ∈ Y Khi ta viết f (x) = y, ta gọi y gọi ảnh phần tử x ánh xạ f ; ta gọi x tạo ảnh phần tử y Tập X gọi tập nguồn, tập Y gọi tập đích ánh xạ f Để diễn tả ánh xạ f người ta kí hiệu: f X→ − Y, x → f (x) = y, f : X → Y, x → f (x) = y, f :X→Y x −→ f (x) = y (ii) Ta quy ước có ánh xạ rỗng từ tập ∅ đến tập Y (iii) Cho ánh xạ f : X → Y, x → f (x) Ta gọi tập hợp G(f ) X × Y xác định G(f ) = {(x, f (x)) | x ∈ X} đồ thị ánh xạ f (iv) Hai ánh xạ gọi chúng có chung nguồn, chung đích chung đồ thị Nói cách khác, cho f : X → Y g : X → Y hai ánh xạ, f = g X = X , Y = Y f (x) = g(x) với x ∈ X Định nghĩa 1.1.2 Cho f : X −→ Y, x → y = f (x) ánh xạ (i) f gọi đơn ánh f (x) = f (x ) kéo theo x = x với x, x ∈ X (ii) f gọi toàn ánh với y ∈ Y kéo theo tồn x ∈ X để f (x) = y (iii) f gọi song ánh vừa đơn ánh vừa toàn ánh Chú ý 1.1.3 Cho X, Y tập hợp, ta nói X ∼ Y có song ánh từ X đến Y Khi (i) X ∼ X với tập X; (ii) Nếu X ∼ Y Y ∼ X với tập X, Y ; (iii) Nếu X ∼ Y , Y ∼ Z X ∼ Z với tập X, Y, Z; (iv) Nếu X ∼ X1 Y ∼ Y1 X × Y ∼ X1 × Y1 ; (v) Nếu X ∼ X1 Y ∼ Y1 X ∩ Y = X1 ∩ Y1 = ∅ X ∪ Y ∼ X1 ∪ Y1 Định lý sau Cantor nêu lên nghiên cứu lý thuyết tập hợp, Cantor không chứng minh Phần thứ hai định lý Bernstein chứng minh năm 1897 nên gọi Định lý Cantor-Bernstein Phần thứ định lý Zermelo chứng minh năm 1904 sau đưa tiên đề chọn vào lý thuyết tập hợp Định lý 1.1.4 (Định lý Cantor-Bernstein) Cho X, Y tập hợp, phải xảy hai trường hợp sau đây: (i) X tương đương với phận Y ; (ii) Y tương đương với phận X Nếu có (i) (ii) X Y tương đương với Định nghĩa 1.1.5 Khi tập hợp X Y tương đương với nhau, ta nói chúng có lực lượng hay số Bản số X ký hiệu |X| Card(X) Định nghĩa 1.1.6 Một tập hợp không tương đương với phận thực gọi tập hợp hữu hạn Một tập hợp hữu hạn gọi tập vô hạn Bản số tập hợp hữu hạn gọi số tự nhiên Tập số tự nhiên ký hiệu N Chú ý, hợp, tích đề hai tập hữu hạn tập hữu hạn Từ ta định nghĩa phép cộng nhân N Cho a, b số tự nhiên, gọi X, Y tập hợp mà a = |X|, b = |Y | X ∩Y = ∅ Khi a+b = |X ∪Y |, ab = |X ×Y | Cũng từ ta có kết sau điểm khởi đầu nguyên lý đếm tổ hợp Cho X, Y tập hợp hữu hạn, X ∩ Y = ∅ Khi |X ∪ Y | = |X| + |Y | 1.2 Tổ hợp Người ta thương phân biệt nhiều mức độ việc giải tốn tổ hợp Mức độ tìm cách bố trí đối tượng có tính chất 10 cho (chẳng hạn bố trí mười điểm nằm đoạn thẳng cho đoạn có bốn điểm, hình vẽ) Nếu tốn tổ hợp có nhiều lời giải đề đặt đếm số lời giải, mô tả tất lời giải toán cho Cuối cùng, lời giải khác phân biệt với tham số đó, vấn đề đặt tìm lời giải tối ưu toán cho Ở giới hạn vào việc đếm số lời giải cuả toán tổ hợp Để làm việc này, người ta thường áp dụng công thức thiết lập cho loại tốn Tất cơng thức ấy, xét cho cùng, dựa hai quy tắc đơn giản quy tắc cộng quy tắc nhân Định nghĩa 1.2.1 (Quy tắc cộng) Nếu công việc thực theo n phương án khác nhau, đó: phương án có m1 cách thực hiện, phương án có m2 cách thực hiện, , phương án thứ n có mn cách thực Khi đó, có: m1 + m2 + + mn cách để hồn thành cơng việc cho Ta phát biểu quy tắc cộng theo ngôn ngữ tập hợp: Gọi A1 tập hợp đối tượng x1 , A2 tập hợp đối tượng x2 , , An tập hợp đối tượng xn Mỗi cách chọn đối tượng xi ứng với phần tử Ai đảo lại Điều kiện "cách chọn đối tượng xi không trùng với đối tượng xj , (j = i)" diễn tả theo ngôn ngữ tập hợp điều kiện: Ai ∩ Aj = ∅, (i = j); 32 2.2.3 Đếm hai cách Phương pháp dựa nguyên lý: Nếu số lượng đếm theo hai cách kết thu phải Ví dụ 2.2.7 (Putnam 1980) Cho A1 , A2 , , A1066 tập tập hữu hạn X cho |Ai | > 12 |X|, với i 1066 Chứng minh tồn 10 phần tử x1 , x2 , , x10 X cho tập Aj (j ∈ 1, 1066) chứa phần tử mười phần tử Chứng minh Bài toán xét |X| 10 Đặt X = {x1 , x2 , , xm }, với m = |X| Với t(t ∈ {1, 2, , m}), đặt nt = |{j ∈ {1, 2, , 1066} | xt ∈ Aj }| tức nt đếm số tập hợp Aj chứa phần tử xt Khi n1 đếm số tập hợp Aj chứa phần tử x1 ; n2 đếm số tập hợp Aj chứa phần tử x2 ; nm đếm số tập hợp Aj chứa phần tử xm Do n1 + n2 + + nm = |A1 | + |A2 | + + |A1066 | > 1066 m = 533m Từ suy có số ni , khơng tính tổng qt giả sử n1 , mà n1 > 533 Tức ta có nửa tập hợp số tập A1 , A2 , , A1066 chứa phần tử x1 Gọi B1 , B2 , , Bs tập hợp số tập Ai mà không chứa phần tử x1 Ta có s = 1066 − n1 532 Đặt Y = X \ {x1 } = {x2 , , xm } Ngoài 1 |Bi | = |Ai | > m > (m − 1) = |Y | 2 33 Với t(t ∈ {2, , 1066}), đặt kt = |{j ∈ {1, 2, , s} | xt ∈ Bj }| tức kt đếm số tập hợp Bj chứa phần tử xt Khi k2 + k3 + + km = |B1 | + |B2 | + + |Bs | > s m−1 s = (m − 1) 2 Vế trái tổng m − số, phải tồn ki , khơng tính tổng qt giả sử k2 cho k2 > 2s Nghĩa có nửa tập hợp số B1 , B2 , , Bs chứa phần tử x2 Đặt C1 , C2 , , Cr tập hợp số tập Bj mà khơng chứa phần tử x2 Ta có r = s − k2 < s − s s = 2 532 = 265 Tiếp tục trình trên, ta lại > r (hơn nửa số tập C1 , C2 , , Cr ) chứa phần tử x3 Ta lại dãy tập hợp D1 , D2 , , Du với u < r = 132 không chứa phần tử x4 Cứ tiếp tục trình lần thứ đến lần thứ 10, dãy không nhiều 65, 32, 15, 7, Do ta nhận phần tử x1 , x2 , , x10 thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ 2.2.8 (China 1996, Romania 1994) Cho 11 tập hợp Mi , i = 1, 2, , 11 thỏa mãn   |Mi | = 5, ∀i = 1, 2, , 11  Mi ∩ Mj = ∅, ∀1 i Điều vô lý 36 Ta có |T3 | {|A| , |S\A|} Suy |T | = |T1 | + |T2 | + |T3 | (2|A| − 1) + (2n−|A| + 1) + {|A| , n − |A|} = 2n−1 − Trường hợp 2: Với ∀A ∈ T S\A ∈ / T Vì S có 2n tập nên |T | Giả sử |T | 2n−1 2n−1 , suy |T | = 2n−1 Giả sử X = {1, 2, , n − 1} ∈ T Chia T thành hai họ sau: T4 họ tập X T5 họ tập chứa phần tử n Ta có nhận xét sau: ∀Bi , Bj ∈ T5 |Bi ∩ Bj | Thật vậy, |Bi ∩ Bj | < |Bi ∩ Bj ∩ X| = mà |Bi ∩ Bj | > 0, |Bi ∩ X| > 0, |X ∩ Bj | > Điều mâu thuẫn với giả thiết Xét T5 = {B\ {n} |B ∈ T5 } , tập T5 tập {1, 2, , n − 1} tập C, D T5 |C ∩ D| Theo giả thiết quy nạp |T4 | |T | = |T4 | + |T5 | Từ suy |T5 | = |T5 | 2n−2 2n−2 − Kéo theo 2n−2 − + 2n−2 = 2n−1 − Ví dụ 2.2.10 Cho n nguyên dương tập hợp M = {1, 2, , 20} Gọi A1 , A2 , , An tập phân biệt khác rỗng M cho |Ai ∩ Aj | 2, ∀1 i số nguyên lẻ Mỗi giám khảo đánh giá “đạt” “trượt” Giả sử với hai giám khảo bất kì, họ đánh giá giống với tối đa k thí sinh Chứng minh b−1 2b k a Chứng minh Xét ma trận liên thuộc b × a với hàng đánh số theo giám khảo cột đánh số theo thí sinh Phần tử tương ứng ma trận nhận giá trị giám khảo đánh giá thí sinh “đạt” nhận giá trị ngược lại Đặt T tập hợp cặp số cột Vì hai giám khảo đánh giá giống nhiều k thí sinh nên với hai hàng bất kì, có nhiều k cặp thuộc T Do |T | k b = kb(b − 1) 39 Với cột ma trận, giả sử có p số q số Khi có p + q cặp thuộc T Mà p + q = b lẻ nên ta có bất đẳng thức sau (b − 1)2 p q + 2 Và có a cột nên ta có |T | a(b−1)2 a(b − 1)2 Suy a(b−1) kb hay k a Vậy ta có kb(b − 1) |T | b−1 2b Ví dụ 2.2.13 Số Turan T (n, k, l), l k n, số nhỏ tập có l phần tử [n] cho với tập có k phần tử [n] chứa tập Chứng minh với số nguyên dươngl ta có n l k l T (n, k, l) > k n, Chứng minh Đặt F họ nhỏ tập l phần tử [n] cho với tập k phần tử [n] chứa phần tử F Xét ma trận liên thuộc M = (mA,B ) với đánh số theo tập A F, cột đánh số theo tập k phần tử B [n] mA,B = A ⊆ B, trường hợp khác mA,B = Đặt rA số số hàng A cB số số cột B Theo giả thiết cB > với B Mặt khác, rA số tập k phần tử chứa tập l phần tử A Suy rA = |F| · n−l k−l n−l k−l = với A ∈ F Vì rA = A∈F Do T (n, k, l) = |F| > n k cB B∈[n] n k n−l k−l = n l k l 40 2.2.6 Khoảng cách Hamming - chặn Plotkin Cho n số nguyên dương, ký hiệu n [0, 1] = {x1 x2 xn |xi ∈ {0, 1} , i = 1, 2, , n} tập tất xâu nhị phân độ dài n Định nghĩa 2.2.14 Cho hai xâu nhị phân x = x1 xn y = y1 yn Khi khoảng cách hai xâu x y d (x, y) = số vị trí mà xi = yi Khoảng cách gọi khoảng cách Hamming Ví dụ 2.2.15 x = 00111, y = 11001, d(x, y) = Khoảng cách Hamming thỏa mãn điều kiện sau n (i) d (x, x) = 0, ∀x ∈ [0, 1] ; n (ii) d (x, y) > 0, ∀x = y ∈ [0, 1] ; n (iii) d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ [0, 1] ; (iv) d (x, z) n d (x, y) + d (y, z) , ∀x, y, z ∈ [0, 1] n Cho v, w xâu nhị phân thuộc [0, 1] Ta định nghĩa tổng hai xâu nhị phân v, w xâu v + w cho (v + w)i = vi + wi + = 0, + = + = 1, + = n Bổ đề 2.2.16 Cho v, w xâu nhị phân thuộc [0, 1] Khi d (v + w) với số số xuất v + w Chứng minh Ta có (v + w)i =   0 vi = wi  1 vi = wi 41 Do d (v, w)i = | {i|vi = wi } | = số số xuất v + w Định lý 2.2.17 Cho n, d số nguyên dương Gọi C tập hợp xâu n nhị phân [0, 1] cho d, ∀x = y ∈ C d (x, y) Đặt M = |C| Khi (i) Nếu d chẵn, 2d > n M d 2d − n (ii) Nếu d lẻ, 2d + > n M Chứng minh (i) Có M d+1 2d + − n cặp u + v, u, v ∈ C Ta viết ma trận A = M × n, với dịng phần tử u + v, với u, v ∈ C Ta đếm số lần xuất số ma trận Ta đếm số lần xuất số cột Xét cột j Lấy dòng tùy ý, giả sử dịng xâu nhị phân u + w, số xuất cột j v w có số vị trí j Gọi N số xâu ký tự C có số vị trí j, số cách chọn cặp u, w cho v + w có số vị trí j N (M − N ) Khi số số xuất cột thứ j N (M − N )   M2 M chẵn   M −1 M lẻ 4 Điều cho j = 1, 2, , n Do đó, số số xuất ma trận A nhỏ   n M M chẵn  n M −1 M lẻ 42 Ta đếm số lần xuất số dòng Với dòng chứa u + w, ta biết số số dịng d (v, w) Mà theo giả thiết d (v, w) d Do đó, có d số dịng Do đó, số số A M × d Từ đó, M chẵn, kết hợp hai kết M M2 n× ×d hay dM dM − 2 Kéo theo (2d − n) M M2 n× 2dM Theo giả thiết 2d − n M số nguyên dương, nên Mà M chẵn, M 2d 2d − n d 2d−n + lẻ nên M d + 2d − n d 2d − n Nếu M lẻ, M ×d n× M2 − Kéo theo M Do (2d − n) M n M +1 n nên M 2d n = − 2d − n 2d − n Lại M số nguyên, ta M 2d 2d −1 = −1 2d − n 2d − n (ii) Chứng minh tương tự (i) d d +1−1=2 2d − n 2d − n 43 Ví dụ 2.2.18 (Vĩnh Phúc 2012, vịng 2) Có em học sinh lập thành m nhóm hoạt động ngoại khóa, học sinh tham gia nhiều nhóm hoạt động Biết với hai nhóm tùy ý có học sinh tham gia vào hai nhóm Tìm giá trị lớn m Chứng minh Giả sử học sinh a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 đặt X = {a1 , a2 , , a7 } Ta coi nhóm xâu dạng t1 t2 t7 , ti nhóm chứa , ti nhóm khơng chứa Khi theo giả thiết, khoảng cách Hamming không nhỏ Áp dụng Định lý 2.2.17 với d = 4, n = ta m Ví dụ sau cho cách phân nhóm với m = 8, học sinh a, b, c, d, e, f : A1 = (a, b, c), A2 = (a, d, e), A3 = (a, f, g), A4 = (b, d, f ), A5 = (b, e, g), A6 = (c, d, f ), A7 = (c, e, f ), A8 = (a, b, c, d, e, f, g) Ví dụ 2.2.19 Trong thi có n thí sinh p giám khảo, n, p số nguyên dương, p Mỗi giám khảo đánh giá thí sinh cho kết luận thí sinh đỗ hay trượt Giả sử k số thỏa mãn điều kiện: với hai giám khảo tùy ý, số thí sinh mà họ cho kết giống nhiều k Chứng minh k n p−2 (p − 1) Chứng minh Giả sử n thí sinh S1 , S2 , , Sn Mỗi giám khảo cho tương ứng với xâu nhị phân độ dài n : x1 x2 xn với xi = thí sinh Si đỗ xi = thí sinh Si trượt Theo điều kiện tốn d = n − k Xét hai trường hợp Nếu (n − k) n k n p−2 > k (p − 1) 44 Nếu (n − k) > n, xét hai khả xảy ra: Nếu n − k chẵn, p n−k (n − k) − n n−k (n − k) = (n − k) − n n − 2k Do p (n − 2k) 2n − 2k Kéo theo p−2 (p − 1) k n Nếu n − k lẻ, p n−k+1 (n − k) + − n n−k+1 (n − k + 1) = (n − k) + − n n − 2k + Do p (n − 2k + 1) 2n − 2k + Từ suy k n p−2 n+1 p−2 > (p − 1) n (p − 1) 45 Kết luận Những kết đạt Luận văn “Tập hợp cực trị tập hợp” đạt kết sau: Tìm hiểu lực lượng tập hợp, nguyên lý tổ hợp toán đếm số ánh xạ tập hữu hạn Tìm hiểu số kết lý thuyt cc tr hp: nh lý Erdăos - Ko - Rado, Định lý Sperner, Bất đẳng thức Lubell-YamamotoMeshalkin, Tìm hiểu phân loại số dạng tốn cực trị tập hợp phổ thơng Đề xuất số hướng nghiên cứu Sau kết đạt luận văn, cố gắng tiếp tục nghiên cứu chủ đề khác có liên quan: tìm hiểu họ F có thêm tính chất đặc biệt, chẳng hạn lực lượng giao hai tập họ F lớn số tự nhiên t, nghiên cứu ứng dụng lý thuyết đồ thị, 46 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Ngô Đắc Tân (2003), Lý thuyết tổ hợp đồ thị, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [2] Anderson I (2013), Combinatorics of finite sets, Dover publications, Inc [3] Bollobás B (1986), Combinatorics: Set Systems, Hypergraphs, Families of Vectors, and Combinatorial Probability, Cambridge University Press [4] Soberón P (2013), Problem-Solving Methods in Combinatorics - An Approach to Olympiad Problems, Birkhăauser [5] Tompkins C (2015), Extremal problems on finite sets and posets, Doctor of Philosophy thesis, European University, Hunggary [6] Zhang Y (2011), Combinatorial problems in Mathematical Competitions, World Scientific ... tập có nhiêu tập tập A = A {a} Tập hợp A có m − phần tử Vì vậy, ta gọi sm số tập tập tập hợp có m phần tử, |Ta | = sm−1 Gọi T a tập hợp tất tập tập hơp A không chứa a, n(T a ) sm−1 , tập tập... hạn, người ta nói "Tập hợp sinh viên lớp", "tập hợp lớp học trường học", "tập hợp N số tự nhiên", "tập hợp Z số nguyên", "tập hợp Q số hữu tỉ", "tập hợp R số thực", Các tập hợp thường ký hiệu... Chương Tập hợp, ánh xạ tổ hợp 1.1 Tập hợp, ánh xạ 1.2 Tổ hợp Chương Cực trị tập hợp 24 2.1 Một số định lý lý thuyết cực trị tập hợp