ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ ÁNH DƢƠNG ĐẶC TRƢNG EULER VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ ÁNH DƢƠNG ĐẶC TRƢNG EULER VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Tạ Duy Phƣợng THÁI NGUYÊN - 2018 Mục lục Lời nói đầu Một số kiến thức sơ lược lý thuyết đồ thị 1.1 Định nghĩa đồ thị 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Định nghĩa 1.1.3 Định nghĩa 1.1.4 Định nghĩa 7 1.2 Chu trình 1.3 Một số dạng đồ thị 1.3.1 Đồ thị phẳng 1.3.2 Đồ thị đối ngẫu 8 1.3.3 Đồ thị liên thông 10 1.3.4 Đơn đồ thị 11 1.3.5 Đồ thị đầy đủ 11 1.3.6 Đồ thị phân đôi đầy đủ 11 1.4 Cây 12 Một số cách chứng minh công thức đặc trưng Euler 14 2.1 Chứng minh dựa lý thuyết đồ thị 14 2.2 Chứng minh sử dụng phương pháp điện tích 19 2.2.1 Điện tích 20 2.2.2 Điện tích đối ngẫu 20 2.3 Chứng minh dựa phương pháp sử dụng góc 21 2.3.1 Tổng góc 21 2.3.2 Góc hình cầu 22 2.4 Chứng minh Euler 27 2.5 Một số chứng minh khác 30 2.5.1 Phương pháp loại bỏ tam giác 30 2.5.2 Chu trình Euler 32 Một số ứng dụng toán liên quan 35 3.1 Khối đa diện Platon 35 3.2 Trái bóng đá toán phủ mặt cầu 38 3.3 Đặc trưng Euler số ứng dụng lý thuyết đồ thị 39 3.4 Định lí Pick 44 3.5 Định lí Sylvester-Gallai 47 3.6 Định lí đường thẳng đơn sắc 49 Kết luận 56 Lời nói đầu Xét khối đa diện sau Cạnh E Mặt F V −E+F Tên Đỉnh V Tứ diện Hình lập phương 12 Bát diện 12 Thập nhị diện 20 30 12 Nhị thập diện 12 30 20 Hình Ta nhận thấy V − E + F = với tất năm khối đa diện Số không đổi gọi đặc trưng Euler Đặc trưng Euler, hay công thức V − E + F = 17 phương trình làm thay đổi giới (xem [1]) Do tính chất quan trọng công thức này, đặc trưng Euler có đến vài chục cách chứng minh (xem [5]) có nhiều ứng dụng (xem thí dụ, [6]) Đặc trưng Euler (còn gọi bất biến Euler, công thức Euler, đặc trưng Euler-Poincaré ) bất biến tôpô, số không đổi đặc trưng cho hình dạng cấu trúc khơng gian tơpơ khơng phụ thuộc vào cách bị biến dạng Đặc trưng Euler thường ký hiệu X Đặc trưng Euler X (S) đa giác phẳng S chia thành tam giác số đỉnh trừ số cạnh cộng với số mặt tam giác đa giác đó: X (S) = V − E + F Bất kỳ đa diện lồi có đặc trưng X = V − E + F = 2, V , E F tương ứng số đỉnh (góc), số cạnh số mặt khối đa diện Leonhard Euler, tên ông đặt cho khái niệm này, có cơng trình nghiên cứu đặc trưng Ta mở rộng đặc trưng Euler (tức công thức X = 2) cho hình cầu áp dụng cho khối đa diện cầu Luận văn chia làm ba chương Chương Một số kiến thức sơ lược lý thuyết đồ thị Chương Một số cách chứng minh công thức đặc trưng Euler Chương Một số ứng dụng tốn liên quan Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến PGS TS Tạ Duy Phượng, người thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới Thầy giáo thuộc khoa Tốn - Tin, Phịng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tơi suốt q trình học tập trường Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến trường trung học phổ thông Lê Chân quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ q trình học tập cơng tác Cuối tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp cổ vũ, động viên tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn Thái Ngun, tháng năm 2018 Tác giả Trần Thị Ánh Dương Chương Một số kiến thức sơ lược lý thuyết đồ thị Chương trình bày sơ lược khái niệm lý thuyết đồ thị để bổ trợ cho số cách chứng minh công thức đặc trưng Euler dựa lý thuyết đồ thị chương sau Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [2,3,9] 1.1 1.1.1 Định nghĩa đồ thị Định nghĩa Đồ thị (graph) G = (V, E) gồm đỉnh V cạnh E, V = ∅ cạnh nối với hai đỉnh (không thiết phân biệt) Nếu cạnh e tương ứng với hai đỉnh u, v ta nói u v hai đỉnh kề Ký hiệu e = (u, v) hay e = (v, u) Cạnh (u, u) tương ứng với hai đỉnh trùng gọi vòng hay khuyên(loop) u Hai cạnh phân biệt tương ứng với cặp đỉnh gọi hai cạnh song song hay cạnh bội Cặp đỉnh không thứ tự gọi cạnh vô hướng (cạnh) Cặp đỉnh thứ tự gọi cạnh có hướng (cung) Hình 1.1 1.1.2 Định nghĩa Đồ thị G gọi đồ thị vô hướng tất cạnh G cạnh vơ hướng Hình 1.2 Bậc đỉnh đồ thị vô hướng số cạnh liên thuộc với nó, riêng khuyên đỉnh tính hai lần cho bậc Kí hiệu là: deg(v) - Đỉnh bậc gọi đỉnh cô lập - Đỉnh có bậc gọi đỉnh treo Ví dụ Cho đồ thị sau: Hình 1.3 Ta có: deg(a) = 4, deg(b) = 5, deg(c) = 4, deg(d) = 0, deg(e) = 1, deg(f ) = 4, deg(g) = 1.1.3 Định nghĩa Đồ thị G gọi đồ thị có hướng tất cạnh G cạnh có hướng Hình 1.4 1.1.4 Định nghĩa Đồ thị G1 gọi đồ thị đồ thị G tập đỉnh tập cạnh G1 tương ứng tập tập đỉnh tập cạnh G 1.2 Chu trình Đường (path) có độ dài n từ v0 đến với n số nguyên dương, đồ thị vô hướng dãy cạnh liên tiếp v0 v1 , v1 v2 , , vn−1 Đỉnh v0 gọi đỉnh đầu, đỉnh gọi đỉnh cuối Đường có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối gọi chu trình Đường (Chu trình) khơng qua cạnh lần thứ hai gọi đường đơn (Chu trình đơn) Chu trình đơn chứa tất cạnh đồ thị gọi chu trình Euler Đồ thị vơ hướng gọi đồ thị Euler có chu trình Euler Ví dụ Trong Hình 1.5, đồ thị G1 có chu trình Euler: a, e, c, d, e, b, a Cả hai đồ thị G2 G3 khơng có chu trình Euler Hình 1.5 1.3 1.3.1 Một số dạng đồ thị Đồ thị phẳng Đồ thị G đồ thị phẳng vẽ mặt phẳng cho cạnh khơng cắt ngồi đỉnh Hình 1.6 1.3.2 Đồ thị đối ngẫu Đồ thị đối ngẫu đồ thị phẳng G đồ thị G có đỉnh tương ứng cho miền mặt phẳng đồ thị G có cạnh tương ứng với cạnh G kết nối hai miền kề G 42 Hình 3.5: Đồ thị K3,3 đầy đủ hai phía) nên ta áp dụng Hệ Đồ thị K3,3 có sáu đỉnh chín cạnh Vì E = 2V − = 8, không thỏa mãn Hệ Vậy đồ thị K3,3 khơng phẳng Định lí 3.3.3 (xem [6]) Nếu G đơn đồ thị phẳng có V ≥ đỉnh G có nhiều 3V − cạnh Chứng minh Giả sử G có E cạnh F miền Ta đếm số miền số cạnh bao quanh miền, fk số miền có k cạnh Ta có F = f1 + f2 + f3 + f4 + Vì G đơn đồ thị nên miền có cạnh Do F = f3 + f4 + f5 + (3.5) Mà cạnh cạnh chung miền nên 2E = 3f3 + 4f4 + 5f5 + (3.6) Từ (3.5) (3.6) ta được: 2E − 3F = f4 + 2f5 + 3f6 + ≥ (3.7) Sử dụng đặc trưng Euler V − E + F = (3.7) ta có: 3V − = (2 + E − F ) − = 3E − 3F ≥ E Vậy G có nhiều 3V − cạnh Định lí 3.3.4 Mọi đơn đồ thị phẳng có đỉnh có bậc nhỏ 43 Chứng minh Cách Theo chứng minh Định lí 3.3.3 ta có 2E − 3F = f4 + 2f5 + 3f6 + ≥ (3.8) Giả sử, đỉnh có bậc nhỏ Ta đếm số đỉnh số bậc đỉnh, vi số đỉnh có bậc i V = v6 + v7 + v8 + v9 + 2E = 6v6 + 7v7 + 8v8 + 9v9 + Do đó: 2E − 6V = v7 + 2v8 + 3v9 + ≥ (3.9) Từ (3.8) (3.9) suy ra: 2E − 6V + (2E − 3F ) = 6E − 6V + 6F ≥ Vì V − E + F ≤ (mâu thuẫn với công thức Euler) Do đồ thị phải có có đỉnh có bậc nhỏ Cách (xem [8]) Giả sử G đơn đồ thị nên đồ thị khơng có khun cạnh bội Do đó, ta thêm cạnh để miền giới hạn ba cạnh Giả sử đồ thị có V đỉnh, E cạnh F miền Mỗi cạnh biên hai miền, miền giới hạn ba cạnh nên 3F = 2E Mà V − E + F = Suy 6E − 6F = 6V − 12 ⇒ 2E = 6V − 12 44 Bởi cạnh liên thuộc hai đỉnh nên tổng tất bậc đỉnh hai lần số cạnh Do đó, bậc trung bình đỉnh d= 6V − 12 12 2E = =6− b1 m > b2 Số điểm nguyên nằm hình chữ nhật OM AP nOM AP = (m − 1)(p − 1) Mà khơng có điểm ngun số điểm nằm OA, suy số điểm nguyên nằm tam giác OAP (m − 1) (p − 1) nOAP = Tính tốn tương tự, ta có số điểm ngun nằm tam giác OBR (b1 − 1) (b2 − 1) nOBR = Số điểm nguyên nằm tam giác BAS (p − b1 − 1) (m − b2 − 1) nBAS = 46 Số điểm nguyên nằm hình chữ nhật BSP R nBSP R = (b2 − 1) (p − b1 − 1) Số điểm nguyên nằm đoạn thẳng BS (khác B S) nBS = p − b1 − Số điểm nguyên nằm đoạn thẳng BR (khác B R) nBR = b2 − Mặt khác, nOAP = + nOAB + nOBR + nBAS + nBSP R + nBS + nBR Suy −1) −1) = + (b1 −1)(b + (p−b1 −1)(m−b 2 + (b2 − 1) (p − b1 − 1) + p − b1 − + b2 − (m−1)(p−1) Do mb1 − b2 p = 1, cách cộng trừ diện tích ta có SOAB = 12 Sau đây, ta sử dụng cơng thức Euler để chứng minh định lí Chứng minh Định lí Đầu tiên, ta chia đa giác P thành tam giác Xét đồ thị G có đỉnh điểm nguyên nằm bên hay biên P , cạnh cạnh tam giác phép chia xét Dễ thấy G đồ thị phẳng, hữu hạn liên thông gồm f − miền tam giác Gọi f số mặt, ei số cạnh (cạnh chung hai tam giác bản), eb số cạnh biên (cạnh nằm cạnh P ) G Vì diện tích tam giác SP = nên (f − 1) (3.10) Do cạnh cạnh chung hai tam giác cạnh biên cạnh tam giác nên (f − 1) = 2ei + eb (3.11) 47 Số đỉnh G I + B, số cạnh ei + eb số mặt f nên theo cơng thức Euler ta có I + B − (ei + eb ) + f = (3.12) Ngoài ra, số cạnh điểm nhau: B = eb nên từ (3.10), (3.11) (3.12) ta có: SP = I + B − Suy Định lí chứng minh 3.5 Định lí Sylvester-Gallai Định lí (xem [6]) Trong tập n > điểm mặt phẳng, mà tất điểm không nằm đường thẳng, tồn đường thẳng chứa hai điểm Chứng minh Hình 3.7 Nếu ta nhúng mặt phẳng R2 vào R3 gần mặt cầu S (Hình 3.7) Khi với điểm mặt phẳng R2 có đường thẳng qua điểm tâm hình cầu nên có tương ứng − điểm mặt phẳng với cặp điểm đối xuyên tâm mặt cầu Một đường thẳng mặt phẳng tương ứng với đường tròn lớn mặt cầu Do ta phát biểu lại định lí sau Cho tập hợp n > cặp điểm đối xuyên tâm mặt cầu S 48 cho chúng khơng nằm đường trịn lớn Khi có đường trịn lớn chứa cặp điểm đối xuyên tâm Giờ ta hoán đổi, thay cặp điểm đối xuyên tâm đường tròn lớn tương ứng mặt cầu Nghĩa là, thay cặp điểm ±v ∈ S ta xét đường tròn trực giao cho Cv := x ∈ S : x, v = (Nếu ta coi v cực Bắc hình cầu Cv đường xích đạo) Hình 3.8 Vì Định lí Sylvester - Gallai yêu cầu ta chứng minh Cho tập hợp n > đường tròn lớn mặt cầu S cho chúng không qua điểm Khi ln có điểm giao hai đường tròn lớn Sự xếp đường tròn lớn tạo đơn đồ thị phẳng S có đỉnh giao đường tròn lớn chia chúng thành cạnh Tất đỉnh có bậc chẵn nhỏ (theo cách dựng) Theo kết Định lí - Mục 3.3.3 ln tồn đỉnh có bậc Do vậy, ln có điểm giao hai đường tròn lớn 3.6 Định lí đường thẳng đơn sắc Định lí (xem [7]) Cho tập điểm "trắng" "đen" mặt phẳng, mà tất điểm không nằm đường thẳng Khi tồn đường thẳng "đơn sắc" (monochromatic line) chứa tối thiểu hai điểm màu không chứa điểm khác màu 49 Hình 3.9 Định nghĩa - Mặt phẳng xạ ảnh thực Xét mặt phẳng R2 thêm vào lớp đường thẳng song song điểm gọi điểm vô cực Hai đường thẳng gọi song song giao điểm chúng điểm vô cực Mỗi điểm vô cực nằm đường thẳng lớp song song Hơn nữa, tất điểm vô cực nằm đường thẳng, gọi đường thẳng vơ cực khơng có điểm thuộc R2 nằm đường thẳng Mặt phẳng xạ ảnh thực kí hiệu RP Mặt phẳng xạ ảnh thực có tính chất sau i) Qua hai điểm phân biệt có đường thẳng ii) Hai đường thẳng phân biệt cắt điểm - Mặt cầu xạ ảnh đối ngẫu Mặt phẳng xạ ảnh Euclid "nhúng" R3 mặt phẳng F = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 |x3 = với điểm vô cực hướng F Với điểm F , ta vẽ đường thẳng qua điểm điểm gốc Với điểm vơ cực, ta vẽ đường thẳng qua điểm gốc nằm mặt phẳng (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 |x3 = có hướng xác định điểm vơ cực Trong trường hợp ta có tương ứng − điểm F đường thẳng R3 qua điểm gốc, tương ứng với cặp điểm đối xuyên tâm mặt cầu đơn vị R3 đường thẳng qua tâm xác định cặp điểm đối xuyên tâm Ta sử dụng hình cầu đơn vị R3 để 50 xây dựng mơ hình "đối ngẫu" mặt phẳng xạ ảnh, ta gọi mặt cầu xạ ảnh đối ngẫu - Bán cầu xạ ảnh đối ngẫu Xét mặt phẳng xạ ảnh hình cầu, với cặp điểm đối xuyên tâm có đường thẳng qua điểm điểm gốc Đối với đường thẳng có mặt phẳng qua điểm gốc vng góc với đường thẳng Mỗi mặt phẳng tương ứng với đường tròn lớn mặt cầu đơn vị, xác định giao mặt phẳng mặt cầu Do có tương ứng − điểm mặt phẳng xạ ảnh hình cầu cácđường trịn lớn mặt cầu Do mục đích thực tiễn, cần xét nửa mặt cầu xạ ảnh đối ngẫu tạo bán cầu xạ ảnh đối ngẫu Tính chất - Các điểm mặt phẳng xạ ảnh tương ứng với nửa đường tròn lớn mặt cầu xạ ảnh đối ngẫu - Một đường thẳng nối hai hay nhiều điểm mặt phẳng xạ ảnh tương ứng với giao điểm nửa đường tròn lớn mặt cầu xạ ảnh đối ngẫu với điểm Mệnh đề Nếu S xếp đường thẳng mặt phẳng xạ ảnh với V đỉnh, E cạnh F miền V − E + F = Chứng minh Mệnh đề Trường hợp |S| = ta có V = 1, E = 2, F = Do V − E + F = Giả sử công thức với trường hợp |S| = n Gọi l đường thẳng không thuộc S S = S ∪ {l} Vì S = n + Gọi V , E , F đỉnh , cạnh miền S Bằng cách thêm l vào S bổ sung cho đỉnh, cạnh miền tạo Đối với cạnh tạo l E , miền F chia thành hai Đối với đỉnh tạo l V , cạnh E chia thành hai Do giá trị biểu thức 51 V − E + F không đổi Vậy V − E + F = Chứng minh Định lí Ta sử dụng đặc trưng Euler cho đa giác (hay tổng quát cho đồ thị) bán cầu xạ ảnh đối ngẫu Trong trường hợp công thức đặc trưng Euler V − E + F = (theo Mệnh đề) với V số đỉnh, E số cạnh F số miền Giả sử không tồn đỉnh đơn sắc Gọi ri số đa giác −i cạnh, c số góc tạo hai màu khác Do khơng có đa giác − cạnh nên F = ri (3.13) i≥3 Do cạnh cạnh chung hai miền nên 2E = iri (3.14) i≥3 Do đa giác − cạnh có nhiều góc đơn sắc nên c ≤ 2r3 + iri (3.15) i≥4 Theo giả thiết đỉnh đỉnh đơn sắc vòng cung khác màu giao tạo góc Do c ≥ 4V (3.16) Từ (3.13), (3.14), (3.15) đặc trưng Euler ta V =1−F +E =1− ri + i≥3 ⇒ 4V = + i≥3 iri = − i≥3 i − ri = + i≥3 i − ri (2i − 1) ri i≥3 = + 2r3 + 4r4 + 6r5 + 8r6 + > + 2r3 + 4r4 + 6r5 + 8r6 + ≥ c Do c < 4V Mâu thuẫn với điều (3.16) Suy điều cần chứng minh 52 Phụ lục Hình 3.10 Tiểu sử Leonhard Euler Leonhard Euler, sinh ngày 15 tháng năm 1707 Basel (Thụy Sĩ), qua đời ngày 18 tháng năm 1783 St Petersburg (Nga), ơng nhà tốn học nhà vật lí Thụy Sĩ Ngay từ nhỏ Euler cậu bé có tài đặc biệt ngơn ngữ trí nhớ phi thường Song đời ông trải qua nhiều biến động bất hạnh: hai mắt hỏng, nhà cháy thiêu rụi tài sản, người vợ thân yêu qua đời Nhưng tất điều khơng ảnh hưởng tới sức sáng tạo, đến khả làm việc ông Càng già, Euler làm việc mệt mỏi Chỉ tính riêng 17 năm cuối đời, Euler cơng bố tới 416 cơng trình Tính trung bình năm ơng cơng bố tới 25 cơng trình, nhiều gấp lần số cơng trình năm trước ơng cơng bố 53 Sau ông qua đời, công trình nghiên cứu ông tập hợp sách “Leonhard Euler Opera Omnia”, gồm 85 cỡ lớn với gần 40.000 trang, đề cập đến hầu hết lĩnh vực toán học nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác Đối với Euler, làm toán tự nhiên cần thiết cho đời sống hít thở khí trời Ông bị ám ảnh biến đổi kỳ diệu phép tính tận ông qua đời Leonhard Euler nghiên cứu hầu hết lĩnh vực Toán học thời như: đại số, lý thuyết số, giải tích, hình học Các cơng trình tốn học chiếm tới 580/0 tổng cơng trình nghiên cứu ơng Một thành cơng ban đầu Euler tìm lời giải cho tốn Basel, u cầu tìm giá trị xác tổng bình phương nghịch đảo các số nguyên Trước đó, nhà tốn học tốn nhiều cơng sức mà khơng tìm kết toán Đến năm 1735, Euler sử dụng kỹ thuật tính xấp xỉ tìm kết xác tốn π6 Euler khám phá công thức V − E + F = liên hệ số đỉnh, số cạnh, số mặt đa diện lồi áp dụng cho đồ thị phẳng Hằng số công thức sau gọi đặc trưng Euler Năm 1736, Euler tiếp tục giải bi toỏn ni ting chic cu Kăonigsberg Khi ú, thnh ph Kăonigsberg gm hai hũn o ni vi với đất liền cầu Bài toán đặt tìm tuyến đường qua cầu lần Bằng lý thuyết đồ thị, Euler chứng minh điều khơng thể thực Lời giải ơng cho tốn coi định lý lý thuyết đồ thị đánh dấu phát triển ngành tơpơ học Khơng dừng lại thành cơng đó, Euler tiếp tục nghiên cứu công bố nhiều công trình tốn học quan trọng khác như: chuyển động học giải thích ngành giải tích, đường thẳng Euler, đường tròn Euler tam giác, đa diện lồi, nhập mơn tính vi tích, ngun lý vi phân học, nguyên lý tích phân học, dẫn luận phân tích vơ nhỏ, Ngồi ra, Euler cịn phát minh chuỗi phương pháp tính xấp xỉ, sử 54 dụng nhiều tính tốn Ơng người đưa nhiều kí hiệu tốn học mà ngày sử dụng như: số "pi" để biểu diễn tỉ lệ chu vi đường trịn đường kính nó, sin, cos, tan, cot, ∆x(số gia), (tổng), f (x) (hàm f x), v.v Euler có nhiều đóng góp cho học, vật lý Ông đặc biệt nghiên cứu định luật chuyển động Issac Newton Quá trình nghiên cứu giúp ơng giải thích định luật vật lý học Newton dạng tốn giải tích, đồng thời giúp ông phát nhiều lý thuyết vật lý khác Ví dụ Euler chứng minh qui luật vận động chất lỏng mà Issac Newton đưa ra, Leonhard Euler phát triển lý thuyết cân thủy lực Tương tự thế, thông qua việc phân tích vận động thể rắn áp dụng định luật Newton, Euler giải thích cách cặn kẽ q trình biến dạng vật thể rắn có tác động lực bên ngồi, từ góp phần hình thành lý thuyết đàn hồi Năm 1936, cơng trình nghiên cứu ơng tập hợp chuyên khảo "Lực học" Ngoài vật lý, Euler nghiên cứu thiên văn học, lý thuyết đường đạn, đồ, xây dựng, lý thuyết âm nhạc, thần học triết học, Trong năm tháng mù lịa, ơng viết chun khảo dài 775 trang chuyển động mặt trăng Ông nghiên cứu quỹ đạo Thiên Vương, nhờ nhà thiên văn học tìm Hải Vương sau Với đóng góp cho khoa học, Euler phong làm Viện sĩ viện hàn lâm giới, có Anh, Pháp, Nga, Đức, Ơng coi nhà tốn học quan trọng kỷ XVIII 55 Kết luận Luận văn “Đặc trưng Euler số ứng dụng ” trình bày số cách chứng minh đặc trưng Euler số ứng dụng Các kết trình bày luận văn bao gồm: Trình bày số kiến thức sơ lược lý thuyết đồ thị dùng để bổ trợ cho số cách chứng minh đặc trưng Euler Trình bày số phương pháp chứng minh đặc trưng Euler Trình bày số ứng dụng toán liên quan đặc trưng Euler Cụ thể, từ kết tổng quát đặc trưng Euler phát triển thêm số ứng dụng lý thuyết đồ thị sử dụng để chứng minh số toán khối đa diện Platon, trái bóng đá số định lí như: định lí Pick, định lí Sylvester − Gallai, định lí đường đơn sắc Đặc trưng Euler số cách chứng minh khác, nhiên khả hạn chế nên luận văn chưa nghiên cứu đầy đủ cách chứng minh Hy vọng luận văn giúp cho người đọc có nhìn bao qt đặc trưng Euler số ứng dụng tốn sơ cấp 56 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Ian Stewart (2015), 17 phương trình thay đổi giới, NXB Trẻ (Dịch từ: Ian Stewart (2013), 17 equations that changed the world ) [2] Kenneth H.Rosen (1998), Toán học rời rạc ứng dụng tin học, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [3] Nguyễn Văn Lợi, Ngô Thị Nhã, Lý thuyết đồ thị, sigmaths.com/tai-lieu/ly-thuyet-do-thi–phan-1.html [4] Nguyễn Trung Tuân, (Tháng - 2018), Định lí Pick, https://nttuan.org/2017/03/18/topic-872/ Tiếng Anh [5] David Eppstein, "Twenty Proofs of Euler’s Formula: V − E + F = 2" https://www.ics.uci.edu/ eppstein/junkyard/euler/ [6] A Martin, Z Guter (2014), Proofs from the book, Springer-Verlag, Berlin, New York [7] Jonathan Lorand (2012), "The Sylvester − Gallai Theorem, the Monochrome Line Theorem and Generalizations", Report for a Seminar on the Sylvester − Gallai Theorem [8] David S Richeson (2012), Euler’s Gem: The Polyhedral Formula and the Birth of Topology, Oxford [9] N L Biggs, E K Lloyd, R J Wilson (2009), Graph Theory 1736– 1936, Oxford ... chục cách chứng minh (xem [5]) có nhiều ứng dụng (xem thí dụ, [6]) Đặc trưng Euler (cịn gọi bất biến Euler, công thức Euler, đặc trưng Euler- Poincaré ) bất biến tôpô, số không đổi đặc trưng cho... G 13 Hình 1.15: Cây khung 14 Chương Một số cách chứng minh công thức đặc trưng Euler Chương trình bày số cách chứng minh công thức đặc trưng Euler 2.1 Chứng minh dựa lý thuyết đồ thị Biểu diễn... trình Euler 32 Một số ứng dụng toán liên quan 35 3.1 Khối đa diện Platon 35 3.2 Trái bóng đá tốn phủ mặt cầu 38 3.3 Đặc trưng Euler số ứng dụng