ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Hồng Điệp VẤN ĐỀ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TUYẾN TÍNH Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Thái Nguyên - 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Lời khóa luận em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS-TS Hà Tiến Ngoạn giao đề tài tận tình hướng dẫn em trình nghiên cứu hồn thành khóa luận Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn tới tồn thầy giáo khoa Tốn- trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên thầy cô Viện Toán học giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập khoa Đồng thời, xin cảm ơn anh chị bạn lớp K5 đặc biệt bạn học ngành tốn ứng dụng nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp Tơi xin cảm ơn thầy cô, anh chị bạn đồng nghiệp công tác trường THPT Nguyễn Đức Cảnh - Kiến Thụy - Hải Phòng tạo điều kiện giúp đỡ tơi thời gian cơng tác để tơi hồn thành khóa học Xin chân trọng cảm ơn! Hải Phịng, tháng 05 năm 2013 Người viết luận văn Nguyễn Hồng Điệp Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu lần vào kỉ 18 cơng trình nhà toán học Euler, D’Alambert, Lagrange Laplace công cụ quan trọng để mô tả mô hình vật lí học Những tốn có nội dung tương tự cịn nghiên cứu đến tận ngày nội dung lí thuyết đạo hàm riêng Chỉ đến kỉ 19 đặc biệt cơng trình Riemann, phương trình đạo hàm riêng trở thành công cụ mạnh dùng lĩnh vực tốn học khác Cả hai hướng nói tác động trực tiếp đến phát triển lí thuyết phương trình đạo hàm riêng ngược lại, phương trình đạo hàm riêng đóng vai trị quan trọng lĩnh vực khác tốn học lí thuyết đặc biệt toán thực tiễn Một tốn phương trình vi phân đạo hàm riêng, có ý nghĩa thực tiễn chắn có nghiệm, có điều nghiệm hiểu theo nghĩa mà thơi Nhiều phương trình vi phân đạo hàm riêng mà ta nghiên cứu nói chung có nghiệm Năm 1957 nhà tốn học Hans Lewy [6] phát ví dụ phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp mà khơng có nghiệm(cho dù nghiệm suy rộng) với số hàm vế phải trơn cho trước Do từ ví dụ xuất hướng nghiên cứu tính giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Một minh họa hình học mở rộng ví dụ đưa năm 1960 Lars Hăormander S húa bi Trung tõm Hc liu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Luận văn chia làm chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức cơng thức tích phân phần, tốn tử đạo hàm riêng tuyến tính tốn tử liên hợp, trình bày ví dụ phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp mà khơng có nghiệm số định lí khơng gian Hilbert Chương 2: Trình bày tính giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, điều kiện cần đủ để phương trình đạo hàm riêng tuyến tính có nghiệm yếu tính giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số Nội dung luận văn dựa chương tài liệu [5] Do thời gian kiến thức hạn chế nên trình viết luận văn xử lý văn chắn không tránh khỏi sai sót định Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, tháng 05 năm 2013 Người thực Nguyễn Hồng Điệp Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Một số kí hiệu Trong luận văn ta dùng kí hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: N R C +∞ || · || z (·, ·) Rez Imz tập hợp số tự nhiên tập hợp số thực tập hợp số phức dương vô chuẩn L2 (Ω) liên hợp số phức z tích vơ hướng L2 (Ω) phần thực số phức z phần ảo số phức z Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Toán tử vi phân đạo hàm riêng tuyến tính Tốn tử vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cấp m có dạng aµ (x)Dµ , A(x, D) = (1.1) |µ|≤m µ = (µ1 , µ2 , , µn ) ∈ Nn |µ| = µ1 + µ2 + + µn x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , aµ (x) hàm trơn cho trước, nhận giá trị phức ∂ |µ| D = (−i) ∂xµ1 ∂xµ2 ∂xµnn µ |µ| (1.2) tốn tử lấy đạo hàm riêng cấp |µ| Ví dụ 1.1.1 Giả sử với m = µ = (µ1 , µ2 , µ3 ), Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên µj ∈ N http://www.lrc-tnu.edu.vn với j = 1, 2, với u hàm ba biến x1 , x2 , x3 Ta có ∂ 3u ∂ 3u ∂ 3u D u = + + ∂x31 ∂x21 ∂x2 ∂x21 ∂x3 µ |µ|=3 ∂ 3u ∂ 3u ∂ 3u + + ∂x1 ∂x22 ∂x1 ∂x23 ∂x32 ∂ 3u ∂ 3u ∂ 3u + + + ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x22 ∂x3 ∂x2 ∂x23 ∂ 3u + ∂x33 + Toán tử A tuyến tính Dµ tuyến tính ta có A(α1 u1 + α2 u2 ) = α1 A(u1 ) + α2 A(u2 ) α1 , α2 ∈ C u1 , u2 hàm số 1.2 1.2.1 Cơng thức tích phân phần Tốn tử liên hợp Cơng thức tích phân phần Cho Ω tập hợp mở, liên thông En có biên ∂Ω trơn mẩu Bao đóng Ω Ω = Ω ∪ ∂Ω Giả sử Ω bị chặn, tức Ω ⊂ ΣR với R đủ lớn, ΣR = (x1 , x2 , , xn ) ∈ En |x21 + x22 + + x2n < R2 Nếu f ∈ C (Ω) ta có cơng thức tích phân phần sau ∂f dx = ∂xk Ω f γk dσ, ≤ k ≤ n, (1.3) ∂Ω dx = dx1 dx2 dxn , γk cosin góc tạo trục xk với pháp tuyến ∂Ω dσ phần tử diện tích mặt cong ∂Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trong trường hợp đặc biệt, u v hai hàm khả vi liên tục Ω thỏa mãn uv = ∂Ω cơng thức (1.3) viết lại thành v ∂u dx = − ∂xk Ω u ∂v dx, ≤ k ≤ n ∂xk (1.4) Ω Công thức (1.4) gọi công thức tích phân phần 1.2.2 Tốn tử liên hợp Từ công thức (1.4), đặt w¯ = v Dk = −i ∂ , D = (D1 , D2 · · · , Dn ) ∂xk (1.5) ta có (Dk u)wdx ¯ =− Ω uDk wdx ¯ Ω = (1.6) uDk wdx Ω Công thức (1.2) viết lại sau Dµ = D1µ1 D2µ2 Dnµn ∂ |µ| |µ| · = (−i) ∂xµ1 ∂xµ2 ∂xµnn (1.7) Cho aµ (x)Dµ u A(x, D)u = |µ|≤m tốn tử vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cấp m Giả sử ϕ ∈ C0m (Ω) hàm thuộc C m (Ω) triệt tiêu gần biên ∂Ω Áp dụng liên tiếp cơng thức tích phân (1.4) ta có Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn aµ (x)Dµ (u)ϕdx ¯ A(u)ϕdx ¯ = Ω |µ|≤m Ω (Dµ u)(aµ (x)ϕ)dx = (1.8) Ω |µ|≤m uDµ (aµ (x)ϕ)dx ¯ = Ω |µ|≤m Đặt Dµ aµ (x)ϕ A (x, D)ϕ = (1.9) |µ|≤m A gọi tốn tử liên hợp tốn tử A Khi ta có A(u)ϕdx ¯ = Ω uA ϕdx, với ϕ ∈ C0m (Ω) (1.10) Ω Đặt bµ (x) = aµ (x) cơng thức (1.9) viết lại Dµ (bµ (x)ϕ) A (x, D)ϕ = (1.11) |µ|≤m Dễ thấy A toán tử vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cấp m Đặc biệt A tốn tử với hệ số nhận giá trị thực A trùng với A Mệnh đề 1.2.1 Cho u hàm liên tục Ω giả sử uϕdx ¯ = 0, với ϕ ∈ C0∞ (Ω) (1.12) Ω ϕ hàm tiêu hạn dải gần biên ∂Ω Khi ta khẳng định u đồng Ω Chứng minh Giả sử x0 ∈ Ω cho u(x0 ) = Re u(x0 ) > 0, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.13) http://www.lrc-tnu.edu.vn Re u(x0 ) phần thực u(x0 ) Vì u hàm liên tục nên tồn ε−lân cận điểm x0 cho Re u(x) > 0, với x mà |x − x0 | < ε, |x|2 = x21 + x22 + + x2n Ta khẳng định tìm hàm ϕ ∈ C ∞ (Ω) cho ϕ(x) > với |x − x0 | < r, 0 Re  Ω Điều mâu thuẫn với (1.12) nên giả thiết (1.13) sai Chứng minh tương tự ta có Re (u(x0 )) nhỏ Vậy Re u = Một cách tương tự, ta chứng minh Im (u(x)) = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 22 Cho S không gian H ta định nghĩa S (bao đóng S ) tập hợp tất phần tử f ∈ H , giới hạn phần tử S f ∈ S tồn dãy vk ⊆ S cho ||vk − f || −→ Do f ∈ S S đóng Dễ dàng kiểm tra S khơng gian đóng H khơng gian nhỏ chứa S Định lý 1.4.3 (Hahn-Banach) Cho S không gian khác rỗng H F phiếm hàm tuyến tính bị chặn S thỏa mãn |F u| ≤ K0 ||u||, u ∈ S (1.71) Khi tồn phiếm hàm tuyến tính bị chặn G H cho Gu = F u, với u ∈ S |Gv| ≤ K0 ||v||, với v ∈ H Chứng minh Trước hết ta mở rộng miền F S cách sau Chọn dãy {vk } ⊂ S ||vk − f || −→ Đặt F f = lim F vk Giới hạn tồn |F (vk − vj )| ≤ K0 ||vk − vj || −→ Và khơng phụ thuộc vào cách chọn dãy {vk } Thật chọn vk dãy khác thỏa mãn điều kiện toán Khi |F vk − F vk | = |F (vk − vk )| ≤ K0 ||vk − vk || ≤ K0 (||vk − f || + ||f − vk ||) −→ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 Hơn |F f | = lim |F vk | ≤ lim K0 ||vk || = K0 ||f || Vì F mở rộng phiếm hàm tuyến tính bị chặn S Bây ta lấy ∀w ∈ H, ∃w1 ∈ S cho (w − w1 , S) = (định lí 1.4.1) Ta đặt Gw = F w1 Hiển nhiên G thỏa mãn điều kiện định nghĩa phiếm hàm tuyến tính bị chặn (xem hệ 1.4.1) Hàm thỏa mãn điều kiện hệ 1.4.1 Điều ||w||2 = ||w1 ||2 + ||w − w1 ||2 Do ||w1 || ≤ ||w|| |Gw| = |F w1 | ≤ K0 ||w1 || ≤ K0 ||w|| Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 Chương TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG TUYẾN TÍNH 2.1 Khái niệm nghiệm cổ điển Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp m sau A(x, D)u = f (x), x ∈ Ω, (2.1) aµ (x)Dµ , A(x, D) = (2.2) |µ|≤m f (x) hàm số cho trước Ω, aµ (x) hàm số trơn cho trước Ω u(x) ẩn hàm cần tìm Một cách tự nhiên ta địi hỏi nghiệm phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp m hàm số u(x) khả vi liên tục m lần cho thay vào phương trình (2.1) ta đẳng thức Những nghiệm có độ trơn gọi nghiệm cổ điển phương trình (2.1) Mệnh đề 2.1.1 Giả sử u(x) nghiệm cổ điển phương trình (2.1) u(x) ∈ C m (Ω) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 Khi (Au, ϕ) = (u, A ϕ), ∀ϕ ∈ C0m (Ω), (2.3) A tốn tử liên hợp tốn A xác định cơng thức (1.9) Chứng minh Chứng minh suy từ công thức (1.10)   Ω 2.2 uA ϕdx, A(u)ϕdx ¯ =  ∀ϕ ∈ C0m (Ω). Ω Khái niệm nghiệm yếu Từ Mệnh đề 2.1.1 ta tới định nghĩa sau nghiệm yếu phương trình (2.1) Định nghĩa 2.2.1 Cho f (x) ∈ L2 (Ω), A tốn tử vi phân cho cơng thức (2.2) Hàm u(x) ∈ L2 (Ω) gọi nghiệm yếu phương trình (2.1) miền Ω ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) ta có (u, A ϕ) = (f, ϕ) (2.4) Mệnh đề 2.2.1 Nếu u(x) ∈ C m (Ω) ∩ L2 (Ω) nghiệm yếu phương trình (2.2), u(x) nghiệm cổ điển Chứng minh Từ (2.4) (1.10) ta có (f, ϕ) = (u, A ϕ) = (Au, ϕ) Vì (f − Au)ϕdx = 0, ∀ϕ ∈ C0∞ Ω theo Mệnh đề 2.2.1 suy f − Au = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 hay Au = f Vậy u(x) nghiệm cổ điển 2.3 2.3.1 Điều kiện cần đủ để tồn nghiệm yếu Điều kiện cần Định lý 2.3.1 Giả sử phương trình Au = f có nghiệm yếu u(x) ∈ L2 (Ω) Khi tồn số C > cho |(f, ϕ)| ≤ C||A ϕ|| ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) (2.5) A tốn tử liên hợp tốn tử A xác định cơng thức (1.9) ||.|| chuẩn L2 (Ω) Chứng minh Ta có uDk (w)dx = Dk (u)wdx (2.6) Ω Ω nên (2.1) viết lại (u, Dk v) = (Dk u, v) Hơn ta có Auϕdx = Ω uA ϕdx Ω viết lại (f, ϕ) = (Au, ϕ) = (u, A ϕ) (2.7) hệ số A thuộc C m (Ω) Do theo bất đẳng thức Schwarz ta có |(f, ϕ)| = |(u, A ϕ)| ≤ ||u||||A ϕ|| Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 ||u||2 = (u, u) |u|2 dx = Ω Từ suy |(f, ϕ)| ≤ C||A ϕ|| với C = ||u|| 2.3.2 Điều kiện đủ Định lý 2.3.2 Điều kiện (2.5) điều kiện đủ để phương trình (2.1) có nghiệm yếu u(x) ∈ L2 (Ω) Chứng minh Thật giả sử (2.1) Kí hiệu C0∞ (Ω) tập hợp hàm thử Ω, tức tập hợp hàm khả vi vô hạn triệt tiêu lân cận ∂Ω Chuẩn hàm u L2 (Ω) ||u||2 = |u|2 dx < ∞ Ω Rõ ràng L2 (Ω) không gian Hilbert C0∞ ⊂ L2 (Ω) Ta đặt W = w ∈ L2 (Ω) : ∃ϕ ∈ C0∞ (Ω)|A ϕ = w Ta định nghĩa F phiếm hàm tuyến tính bị chặn L2 (Ω) cho với w ∈ Ω ta có F w = (ϕ, f ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.8) http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 Ta chứng minh phiếm hàm F phụ thuộc vào w ∈ Ω mà không phụ thuộc vào cách chọn hàm ϕ Thật vậy, giả sử có ϕ1 ∈ C0∞ thỏa mãn A ϕ1 = w |(f, ϕ − ϕ1 )| ≤ C||A (ϕ − ϕ1 )|| = C||w − w|| = Suy (f, ϕ) = (f, ϕ1 ) tức F w không phụ thuộc vào ϕ Nhận xét: Rõ ràng phiếm hàm F tuyến tính Ω Hơn |F w| = |(ϕ, f )| ≤ C||A ϕ|| = C||w|| (2.9) Điều chứng tỏ F bị chặn Theo định lý 1.4.3 (đinh lí Hahn-Banach) F thác triển thành phiếm hàm tuyến tính bị chặn L2 (Ω) áp dụng định lý FréchetRiez tồn u ∈ L2 (Ω) cho ||u|| = ||F || ≤ C F w = (w, u), ∀w ∈ L2 (Ω) (2.10) Đặc biệt ϕ ∈ C0∞ (Ω) A ϕ ∈ W phương trình (2.8) (2.10) trở thành (u, A ϕ) = (f, ϕ) (2.11) Điều với ϕ ∈ C0∞ (Ω) 2.3.3 Định lý điều kiện cần đủ cho tính giải phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính Kết hợp định lí 2.3.1 định lí 2.3.2 ta có định lí sau Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Định lý 2.3.3 Điều kiện cần đủ để phương trình Au = f có nghiệm yếu u(x) ∈ L2 (Ω) tồn C > cho |(f, ϕ)| ≤ C||A ϕ||, 2.4 ϕ ∈ C0∞ (Ω) Phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số Kết mục định lý sau aµ Dµ ,trong Định lý 2.4.1 Giả sử A tốn tử với hệ số có dạng A = |µ|≤m aµ số phức Khi với f (x) ∈ L (Ω) phương trình Au = f ln có nghiệm yếu u(x) ∈ L2 (Ω) Chứng minh Để chứng minh khẳng định trước hết ta đưa số kí hiệu bổ đề cần thiết Cho ξ = (ξ1 , ξ2 , , ξn ) ∈ Rn đặt ξ µ = (ξ1µ1 ξ2µ2 ξnµn ) ∈ Rn µ = (µ1 , µ2 , , µn ) Xét đa thức aµ ξ µ P (ξ) = (2.12) |µ|≤m đa thức nhiều biến ξ1 , ξ2 , , ξn Thay ξ1 , ξ2 , , ξn D1 , D2 , , Dn ta có aµ D µ P (D) = (2.13) |µ|≤m Dễ thấy P (D) tốn tử A Giả sử ta cần tính A(uv) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 Vì Dk (uv) = uDk v + vDk u Để cho tiện ta dùng kí hiệu sau u v Dk (uv) = Dk + Dk uv, v u D tác động lên hàm u(x) D tác động lên hàm v(x) Khi v u P (D)uv = P (D + D)uv Áp dụng công thức Taylor ta P (η + ξ) = |µ|≤m Với qui ước P (0) (η) = P (η), P (µ) (µ) P (η)ξ µ µ! (2.14) ∂ |µ| P (η) (η) = µ1 µ2 ∂η1 ∂η2 ∂ηnµn µ! = (µ1 !)(µ2 !) (µn !) Ta có A(uv) = |µ|≤m = |µ|≤m (µ) u v µ P D D (uv) µ! (2.15) P (µ) (D) u Dµ v µ! (2.16) Đặt P (ξ) đa thức liên hợp đa thức P (ξ), nghĩa aµ ξ µ P (ξ) = (2.17) |µ|≤m aµ Dµ viết lại Vậy nên công thức A = |µ|≤m A = P (D) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 Hơn nữa, theo cơng thức tích phân phần (1.4) ta có Aϕ 2 = P (D)ϕ = P (D)ϕ, P (D)ϕ = ϕ, P (D)P (D)ϕ (2.18) = (P (D)ϕ, P (D)ϕ) = P (D)ϕ = Aϕ với ϕ ∈ C0∞ (Ω) Bổ đề 2.4.1 Giả sử Ω chứa dải |xk − a| ≤ P (k) (ξ) = M đặt ∂P (ξ) · ∂ξk Khi ||P (k) (D)ϕ|| ≤ mM P (D)ϕ , với ϕ ∈ C0∞ (Ω) (2.19) Chứng minh Ta chứng minh qui nạp theo m Với m = hiển nhiên Giả sử (2.19) với m − 1, tức ||P (k) (D)ϕ|| ≤ (m − 1)M P (D)ϕ (2.20) Ta cần chứng minh (2.19) với m Thật vậy, từ (2.20) với ϕ ∈ C0∞ (Ω) với đa thức Q(ξ) có dạng cµ ξ µ Q(ξ) = (2.21) |µ|≤m Khơng tính tổng qt ta giả sử a = (bằng phép tịnh tiến đơn giản) từ phương trình (2.16) ta có P (D) (xk ϕ) = xk P (D)ϕ + P (k) (D)ϕ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 Sử dụng công thức (2.18) ta thu đánh giá sau P (k) (D)ϕ = P (D)(xk ϕ) − xk P (D)ϕ, P (k) (D)ϕ = P (D)(xk ϕ), P (k) (D)ϕ − xk P (D)ϕ, P (k) (D)ϕ = P = xk P (k) (D)(xk ϕ), P (D)ϕ − xk P (D)ϕ, P (k) (D)ϕ (k) (D)ϕ + P (kk) (D)ϕ, P (D)ϕ − − P (D)ϕ, xk P (k) (D)ϕ ≤ P (D)ϕ M P (k) (D)ϕ + P (kk) (D)ϕ ∂ P (ξ) ∂ξk2 Cũng từ (2.18) với giả thiết qui nạp (2.20) ta viết lại P (kk) (ξ) = P (kk) (D)ϕ ≤ (m − 1)M P (k) (D)ϕ Do P (k) (D)ϕ ≤ mM P (D)ϕ P (k) (D)ϕ (2.22) Chia vế (2.22) cho P (k) (D)ϕ ta (2.19) Bổ đề chứng minh xong Hệ 2.4.1 Nếu Ω chứa miền |xk − ak | ≤ Mk , ≤ k ≤ n với đa số µ, ta có P (µ) (D)ϕ ≤ P (µ) m! M µ P (D)ϕ , ϕ ∈ C0∞ (Ω) (m − |µ|)! ∂ |µ| P (ξ) (ξ) = µ1 µ2 M = (M1 , , Mn ) ∂ξ1 ∂ξ2 ∂ξnµn Chứng minh Ta có P (µ) ∂ ∂ |µ|−1 P (ξ) (ξ) = ∂ξ1 ∂ξ1µ1 −1 ∂ξ2µ2 −1 ∂ξnµn −1 ∂ = Q(ξ) ∂ξ1 = Q(1) ξ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.23) 33 Do P (µ) (D)ϕ = Q(1) (D)ϕ ≤ (m − 1)M Q(D)ϕ ≤ ≤ (m − 1)(m − 2) (m − |µ| − 1)M |µ| ||P (D)ϕ|| hay m! M µ P (D)ϕ , ϕ ∈ C0∞ (Ω) (m − |µ|)! Vậy phép chứng minh hồn thành P (µ) (D)ϕ ≤ Hệ 2.4.2 Nếu A tốn tử có hệ số với miền Ω bị chặn tồn số C cho ϕ ≤C Aϕ , ϕ ∈ C0∞ (Ω) Chứng minh Ta áp dụng liên tiếp công thức (2.23) Sau hữu hạn bước tức tồn µ mà |µ| = m để P (m) (ξ) = const = Hay P (m) (ξ) = b, b = Suy P (m) (ξ)ϕ = bϕ (2.24) Do |b|||ϕ|| = ||bϕ|| = ||P (µ) (ξ)ϕ|| ≤ m! M |µ| ||P (D)ϕ|| (m − |µ|)! (2.25) Từ cơng thức (2.16) thấy P (D) = A (2.26) Hơn đặt m! M |µ| (2.27) |b| (m − |µ|)! Thay (2.26) (2.27) vào (2.25), kết hợp với công thức (2.18) Vậy việc C= chứng minh hồn thành Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 Chứng minh Định lí 2.4.1 Việc chứng minh định lý suy trực tiếp từ Hệ 2.4.2 Định lí 2.3.3 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 Kết luận Luận văn nghiên cứu tính giải lớp nghiệm yếu phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Những kết đạt luận văn Sử dụng cơng cụ Giải tích hàm cơng thức tích phân phần, chứng minh điều kiện cần đủ để phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính có nghiệm yếu thuộc lớp L2 (Ω) Chứng minh phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số ln có nghiệm yếu u(x) ∈ L2 (Ω) với hàm vế phải f ∈ L2 (Ω) Ω miền bị chặn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Mạnh Hùng (2008), Phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội [2] Trần Đức Vân (2000), Phương trình đạo hàm riêng, tập 1, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 255tr [3] Trần tập Đức 2, Vân NXB (2001), Đại học Phương Quốc trình đạo hàm riêng, gia Hà Nội, 243tr Tài liệu tiếng Anh [4] David Gibarg, Neil S Trudinger (1998), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer [5] M Schechter (1977), Modern Methods in Partial Differential Equations, An Introduction, McGraw-Hill Inc [6] Lewy, H (1957) An Example of a Smooth Linear Partial Differential Equation without Solution, Ann Math., vol 6, pp 155-158 [7] Jurgen Jost (2002), Partial Differential Equations, Springer Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... Chương 2: Trình bày tính giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, điều kiện cần đủ để phương trình đạo hàm riêng tuyến tính có nghiệm yếu tính giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với... http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 Chương TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG TUYẾN TÍNH 2.1 Khái niệm nghiệm cổ điển Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp m sau A(x, D)u = f (x),... thuyết phương trình đạo hàm riêng ngược lại, phương trình đạo hàm riêng đóng vai trị quan trọng lĩnh vực khác tốn học lí thuyết đặc biệt tốn thực tiễn Một tốn phương trình vi phân đạo hàm riêng,