ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN NGỌC THIÊM SỐ BERNOULLI VÀ ĐA THỨC BERNOULLI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN NGỌC THIÊM SỐ BERNOULLI VÀ ĐA THỨC BERNOULLI Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH Thái Nguyên - 2017 i Mục lục Lời cảm ơn Một số quy ước kí hiệu Mở đầu Số Bernoulli 1.1 Khái niệm số Bernoulli 1.2 Khai triển số Bernoulli tính chất 1.3 Phương pháp tính số Bernoulli 1.3.1 Tính số Bernoulli định nghĩa 1.3.2 Tính số Bernoulli phương pháp truy hồi 1.3.3 Tính số Bernoulli thông qua tổng kép Đa thức Bernoulli 2.1 Khái niệm đa thức Bernoulli 2.2 Tính chất đa thức Bernoulli đa thức Bernoulli tổng quát 2.2.1 Tính chất đa thức Bernoulli 2.2.2 Tính chất đa thức Bernoulli tổng quát 4 12 12 13 13 15 15 16 16 20 Một số toán sơ cấp ứng dụng dãy số Bernoulli đa thức Bernoulli 27 3.1 Ứng dụng tính tổng phần tử dãy số 27 3.1.1 Tổng lũy thừa bậc k số tự nhiên 27 3.1.2 Tổng đan dấu lũy thừa số tự nhiên 30 3.2 Ứng dụng tính tổng Euler-Maclaurin 32 3.3 Ứng dụng tổng chuỗi điều hòa số Euler-Mascheroni 35 3.3.1 Tổng chuỗi điều hòa 35 3.3.2 Tính số Euler-Mascheroni 37 3.4 Ứng dụng tổng chuỗi Zeta hàm Zeta 38 i 3.4.1 3.4.2 Tổng hàm Zeta 38 Tính giá trị hàm Riemann Zeta 41 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Nông Quốc Chinh, người trực tiếp hướng dẫn luận văn, tận tình bảo hướng dẫn tơi tìm hướng nghiên cứu, tìm kiếm tài liệu, giải vấn đề nhờ tơi hồn thành luận văn cao học Từ tận đáy lịng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy cố gắng để xứng đáng với công lao Thầy Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ suốt thời gian học tập trường Tôi xin cảm ơn q thầy Khoa Tốn - Tin đặc biệt PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy, trưởng Khoa Tốn - Tin, ln quan tâm, động viên, trao đổi đóng góp ý kiến quý báu suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành ln văn Cuối cùng, tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới bạn bè người thân gia đình, đặc biệt bố mẹ Những người ln động viên, chia khó khăn suốt thời gian qua đặc biệt thịi gian tơi theo học khóa thạc sỹ trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, ngày tháng năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Ngọc Thiêm MỘT SỐ QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU Trong tồn luận văn, ta thống số kí hiệu sau: • N tập số tự nhiên • R tập số thực • n! = 1.2.3 n • n!! = n(n − 2)(n − 4) • Cnk = n! k!(n−k)! tổ hợp chập k n phần tử • x phần nguyên số thực x • dl f dxl = ∂lf dxl = f (l) (x) đạo hàm cấp l hàm f (x) Mở đầu Một toán lý thú tốn sơ cấp tính tổng sau: 1k + 2k + + nk =? 1 + + + =? 1k 2k nk 1k − 2k + 3k − 4k + =? Việc giải toán cần sử dụng đến số Bernoulli Vì vậy, tơi định chọn đề tài: Số Bernoulli đa thức Bernoulli Jakob Bernoulli (còn biết với tên James Jacques) (27 tháng 12 năm 1954 – 16 tháng năm 1705) nhà Toán học người Thụy Sĩ Cống hiến chủ yếu ơng lĩnh vực hình học giải tích, lý thuyết xác suất, phép tính biến phân Trong sách Ars Conjectandi (1713), ông nghiên cứu tổng lũy thừa cấp r n số nguyên dương [1]: Sr (n) = 1r + 2r + 3r + + nr Ơng nghiên cứu số đặc biệt có liên quan đến tổng đưa công thức liên quan đến tổng lũy thừa Các số đặc biệt gọi số Bernoulli Đồng thời với Bernoulli, có nhiều nhà tốn học khác giới nghiên cứu đưa kết tương tự Bernoulli, ví dụ nhà tốn học người Nhật Bản Seki Takakazu, đưa công thức định nghĩa số Bernoulli hoàn toàn giống với Bernoulli Qiu-Ming Luo, Bai-Ni Guo, Feng Qi, and Lokenath Debnath [7], nghiên cứu số Bernoulli, đa thức Bernoulli tổng qt xây dựng tính chất Muthukumar [9], nghiên cứu tính tổng lũy thừa ứng dụng tính hàm Zeta Mục tiêu luận văn trình bày khái quát số Bernoulli, đa thức Bernoulli số ứng dụng Cụ thể, luận văn gồm chương sau: Chương giới thiệu số Bernoulli, số Bernoulli tổng qt Các tính chất cơng thức tính Chương giới thiệu đa thức Bernoulli đa thức Bernoulli tổng quát Sau định lý chứng minh công thức liên quan Chương trình bày số ứng dụng số Bernoulli đa thức Bernoulli Trong có ứng dụng tính tổng phần tử dãy số tổng cấp số nhân, cấp số cộng, tổng lũy thừa số tự nhiên, tổng đan dấu Ứng dụng công thức tổng Euler–Maclaurin Ứng dụng tổng chuỗi điều hòa số Euler–Mascheroni Cuối ứng dụng tổng chuỗi Zeta hàm Zeta Chương Số Bernoulli 1.1 Khái niệm số Bernoulli Định nghĩa 1.1.1 Số Bn , n ∈ N, gọi số Bernoulli dn t Bn = dtn et − |t| < 2π , (1.1) t=0 Hoặc, thỏa mãn t = φ(t) = t e −1 ∞ n=0 Bn n t , n! |t| < 2π (1.2) Từ (1.1) ta nhận B0 = 1; B1 = − Định nghĩa 1.1.2 Cho a, b > a = b Số Bernoulli tổng quát Bn (a, b) định nghĩa t φ(t; a, b) = t = b − at 1.2 ∞ n=0 Bn (a, b) n 2π t , |t| < n! |lnb − lna| Khai triển số Bernoulli tính chất Từ (1.2) ta viết ∞ t t = (e − 1)( k=0 Bk k t ) k! (1.3) Khai triển Taylor hàm et − ta có ∞ tj j! t e −1= j=1 Khi ∞ t=( j=1 Suy ∞ 1=( j=1 Từ ∞ j=1 tj )( j! ∞ k=0 tj−1 )( j! tj−1 = j! Bk k t ) k! ∞ k=0 ∞ Bk k t ) k! tj (j + 1)! j=0 nên ta có ∞ tj )( (j + 1)! 1=( j=0 ∞ k=0 Bk k t ) k! Ta xét tích hai chuỗi lũy thừa ∞ ∞ ( aj t )( j=0 Ta có ∞ k j ∞ bk t ) = ∞ aj bk tj+k ) ( j=0 k=0 k=0 ∞ ∞ ( aj bk t j+k )= j=0 k=0 aj bk tj+k ) ( j=0 j+k=r Từ j = r − k, ≤ k ≤ r ta có ∞ ∞ ( aj bk t j+k )= ∞ ∞ j ( ∞ k aj t )( j=0 ar−k bk tr ) ( r=0 k=0 j=0 j+k=r Do r bk t ) = k=0 Vậy ta viết dạng r ( r=0 k=0 ar−k bk )tr (1.4) 31 Do đó, ta có n n n (−1)k−1 k m = r=1 r=1 k=1 rm rm − 2m+1 b) Khi n số lẻ, tương tự ta có kết giống Vì vậy, với n ta có kết sau: n n n (−1)k−1 k m = k=1 rm − 2m+1 rm r=1 r=1 n n Khi m = 0, ta có n (−1)k−1 k m = rm − 2m+1 r=0 k=1 rm r=0 Thay n n − ta được: n−1 n−1 n−1 (−1)k−1 k m = r=0 r=0 k=1 rm rm − 2m+1 Sử dụng công thức (3.6) tổng lũy thừa số tự nhiên ta có: n−1 r = m+1 r=0 m m n+1 r Cm+1 Br nm+1−r = r=0 −1 r r=0 m = m+1 = Bm+1 (n) − Bm+1 (0) m+1 m r Cm+1 Br r=0 n+1 m+1−r n+1 Bm+1 − Bm+1 (0) m+1 Từ ta suy ra: n−1 (−1)r−1 rm = r=0 n+1 Bm+1 (n)−Bm+1 −2m+1 Bm+1 −Bm+1 m+1 32 Ví dụ 3.1.2 Tính 100 (−1)k−1 k k=0 Áp dụng công thức với n = 101, m = 3, ta được: 100 (−1)k−1 k k=0 101 + B3+1 (101) − B3+1 (0) − 23+1 B3+1 [ ] − B3+1 (0) 3+1 = −507500 = 3.2 Ứng dụng tính tổng Euler-Maclaurin Định lý 3.2.1 Với f (x) hàm số khả vi đến cấp m đoạn [a, b], x hàm phần nguyên, Br số Bernoulli Bn (x) đa thức Bernoulli, ta có cơng thức sau: b−1 m b f (k) = f (x)dx + a k=a r=1 Br (r−1) f (b) − f (r−1) (a) + Rm r! Rm = (−1)m+1 m! b Bm (x − x )f (m) (x)dx a Chứng minh: Ta có B0 (x) = 1, x Bn (x)dx = Bn+1 (x) − Bn+1 n+1 Bn+1 (1) = Bn+1 (0) = Bn+1 Do đó, 1 f (x)dx = B0 (x)f (x)dx = [B1 (x)f (x)]10 − 1! = B1 (x)f (x) 1! 1 B1 (x) f (x)dx 1! − B2 (x)f (x) 2! 1 + B2 (x) f (x)dx 2! (3.9) 33 1 1 1 = B1 (x)f (x) − B2 (x)f (x) + B3 (x)f (x) − 1! 2! 3! = m = r=1 (−1)r−1 Br (x)f (r−1) (x) r! 1 m + (−1) B3 (x) f (x)dx 3! Bm (x) (m) f (x)dx m! đó, 1 [B1 (x)f (x)]10 = (1 − )f (1) − (0 − )f (0) = f (1) + f (0) 2 (−1)r−1 Br (1) = (−1)r−1 Br (0) = −Br , r ≥ Do đó, (−1)r−1 Br (x)f (r−1) (x) = −Br f (r−1) (1) − f (r−1) (0) Thay vào biểu thức ta được: 1 f (x)dx = f (1) + f (0) − m +(−1) m r=2 Br (r−1) f (1) − f (r−1) (0) r! Bm (x) (m) f (x)dx m! Thay f (x) f (x + k), ta được: m Br (r−1) f (x+k)dx = f (k +1)+f (k) − f (k +1)−f (r−1) (k) r! r=2 +(−1)m Bm x (m) f (x + k)dx m! Từ suy k+1 k m Br (r−1) f (x)dx = f (k + 1) + f (k) − f (k + 1) − f (r−1) (k) r! r=2 k+1 m +(−1) k Bm (x − k) (m) f xdx m! 34 Lần lượt thay k = a đến k = b − 1, sau cộng tất lại ta được: b a b−1 f (x)dx = m f (k+1)+f (k) − r=2 k=a (−1)m + m! b−1 Br r! b−1 f (r−1) (k+1)−f (r−1) (k) k=a k+1 Bm (x − k)f (m) (x)dx k k=a đó, b−1 f (r−1) (k + 1) − f (r−1) (k) = f (r−1) (b) − f (r−1) (a) k=a b−1 b f (k + 1) + f (k) + f (a) + f (b) = k=a f (k) k=a Bm (x − k) = Bm (x − x ) Do đó, b b f (x)dx = a k=a m Br (r−1) f (k) − (f (a) + f (b)) − (f (b) − f (r−1) (a)) r! r=2 (−1)m + m! b Bm (x − x )f (m) (x)dx a Hay b b f (k) = a k=a f (x)dx + (f (a) + f (b)) + (−1)m − m! m r=2 Br (r−1) (f (b) − f (r−1) (a)) r! b Bm (x − x )f (m) (x)dx a Rút gọn f (b) hai vế ta b−1 b f (k) = k=a a m Br (r−1) f (x)dx − (f (b) − f (a)) + (f (b) − f (r−1) (a)) r! r=2 (−1)m − m! b Bm (x − x )f (m) (x) a 35 Mà B1 = − 12 nên − 21 (f (b) − f (a)) tương ứng với số hạng tổng phía sau với r = Do đó, ta đến điều phải chứng minh b−1 m b f (k) = f (x)dx + a k=a r=1 Br (r−1) f (b) − f (r−1) (a) + Rm r! b (−1)m+1 Rm = m! Bm (x − x )f m (x)dx a Định lý 3.2.2 Cho f (x) hàm số khả vi đến cấp 2m [a, b] Khi ta có cơng thức sau: b−1 b f (k) = a k=a m B2r f (2r−1) (b)−f (2r−1) (a) +R2m f (x)dx− (f (b)−f (a))+ (2r)! r=2 R2m = (2m)! b B2m (x − x )f 2m (x)dx a Chứng minh: Áp dụng Định lý 3.2.1 với m chẵn ý rằng: B3 = B5 = B7 = = Ta có điều phải chứng minh 3.3 3.3.1 Ứng dụng tổng chuỗi điều hòa số Euler-Mascheroni Tổng chuỗi điều hòa Định nghĩa 3.3.1 Hằng số Euler-Mascheroni (hay gọi số Euler) ký hiệu γ định nghĩa n γ = lim n−→∞ − ln(n) + k=1 = k ∞ 1 − x x (3.10) 36 Định lý 3.3.2 Với γ số Euler-Mascheroni, ta có n−1 k=1 1 = γ + lnn − − k 2n ∞ m r=1 B2r + R2m , 2r.n2r (3.11) B2m (x − x ) dx 2m+1 R2m = n ≤ m < ∞ Chứng minh: Ta có f (x) = x1 , h h f (x)dx = lnx = ln(h) − ln(n), n n < n < h, n, h ∈ N Ta có f (2r−1) (x) = (−1)2r−1 f (2m) (x) = (2r − 1)! x2r (2m)! x2m+1 Áp dụng Định lý 3.2.2 ta có: h−1 k=n 1 1 = ln(h) − ln(n) − − − k h n m r=1 B2r 1 − + R2m 2r h2r n2r h R2m = − n B2m (x − x ) dx x2m+1 Mặt khác, từ đẳng thức n−1 k=1 = k h−1 k=1 − k h−1 k=n k ta suy n−1 k=1 = k h−1 k=1 m 1 1 B2r 1 −ln(h)+ln(n)+ − + − 2r −R2m 2r k h n 2r h n r=1 37 Cho h −→ ∞ ta có h−1 lim ( h−→∞ k=1 − ln(h)) = γ, k = 0, h−→∞ h lim 2r = h−→∞ h lim Khi ta có n−1 k=1 1 = γ + ln(n) − − k 2n m r=1 B2r 2r.n2r R2m + Ví dụ 3.3.3 Tính tổng 100 k=1 k Cho m = bỏ qua phần dư R2m ta có 100 k=1 B2 1 B4 = γ +ln(101)− − − = 5.18737751763962 k 2.101 2.1012 4.1014 Lưu ý rằng, ta áp dụng Định lý 3.2.2 cách trực tiếp: n−1 k=1 1 1 = ln(n) − ln(1) − − − k n m r=1 B2r + R2m 2r.n2r Tuy nhiên, bỏ qua R2m ta thu kết có độ xác thấp 3.3.2 Tính số Euler-Mascheroni Từ cơng thức tính tổng chuỗi điều hịa ta tính số EulerMascheroni γ cơng thức đây: n−1 γ= k=1 1 − lnn + + k 2n m r=1 B2r − R2m , 2r.n2r (3.12) 38 ∞ R2m = n B2m (x − x ) dx 2m + ≤ m < ∞ Để tính tốn số Euler-Mascheroni γ người ta thường cho m = n Khi ta kết xác Ví dụ 3.3.4 Cho m = n = 10 bỏ qua R2m Tính số EulerMascheroni γ Ta có 10−1 γ= k=1 10 1 − ln(10) + + k 2.10 r=1 B2r = 0.57721566490 2r.102r Đây kết xác nên cơng thức tốt để tính xấp xỉ số Euler-Mascheroni Tuy nhiên, limm−→∞ R2m = nên cách tính tính gần số Euler-Mascheroni mà 3.4 3.4.1 Ứng dụng tổng chuỗi Zeta hàm Zeta Tổng hàm Zeta Định nghĩa 3.4.1 Hàm Riemann Zeta hàm định nghĩa chuỗi theo giá trị s ∞ ζ(s) = n=1 ns (3.13) Định nghĩa 3.4.2 Hàm Beta (hay cịn gọi tích phân Euler) hàm định nghĩa tx−1 (1 − t)y−1 dt B(x, y) = (3.14) với Re(x)>0, Re(y)>0 Định nghĩa 3.4.3 Hàm Gamma hàm định nghĩa ∞ xz−1 e−x dx Γ(z) = (3.15) với Re(z)>0 Định lý 3.4.4 Với ζ(p) hàm Riemann Zeta B(p, q) hàm Beta, 39 p = ta có đẳng thức sau: n−1 k=1 1 = ζ(p) + kp 1−p m r C1−p Br n1−p−r + Rm r=0 ∞ Rm = mB(m, p) (3.16) n Bm (x − x ) dx xp+m Ở đây, m số chẵn p ≤ m < ∞ Chứng minh: Xét hàm số f (x) = h f (x)dx = n = x−p Khi đó, xp x1−p 1−p h = n h1−p − n1−p , 1−p < n < h, n, h ∈ N f (r−1) (x) = −(−1)r Γ(p + r − 1) 1−p−r x , Γ(p) r = 1, 2, 3, , m + Áp dụng Định lý 3.2.1, ta có m h k=n h1−p − n1−p Br Γ(p + r − 1) 1−p−r 1−p−r = − (−1)r (h −n )+Rm p k 1−p r! Γ(p) r=1 Ta có Γ(p + r − 1) Br (−1)r Γ(1 + r + (p − 2)) r (−1) = (−1) r! Γ(p) Γ(1 + r) (p − 1)Γ(1 + (p − 2)) Br (−1)r Γ(1 + r + (p − 2)) = − − p Γ(1 + r)Γ(1 + (p − 2)) Br p−2 = − (−1)r Cp−2+r 1−p r C−p+1 Br = − 1−p r Br Thay vào công thức ta được: h−1 k=n h1−p − n1−p = + kp 1−p 1−p m r C−p+1 Br (h1−p−r − n1−p−r ) + Rm , r=1 40 h Rm = − (m)! n Bm (x − x ) Γ(p + m) dx xp+m Γ(p) Đưa số hạng bên vào tổng ta được: h−1 k=n 1 = kp 1−p Rm = − m r C−p+1 Br (h1−p−r − n1−p−r ) + Rm , r=0 h (m)B(m, p) n Bm (x − x ) dx xp+m Từ đẳng thức: n−1 h−1 = kp k=1 − kp k=1 h−1 k=n , kp thay vào đẳng thức n−1 k=1 = kp h−1 k=1 1 − kp − p m r C−p+1 Br (h1−p−r − n1−p−r ) − Rm r=0 Cho h −→ ∞ h−1 lim h−→∞ k=1 = ζ(p) kp lim h1−p−r = 0, (p > 1) h−→∞ Do đó, n−1 k=1 1 = ζ(p) + kp 1−p m r C1−p Br n1−p−r + R2m r=0 Rm = mB(m, p) ∞ n Bm (x − x ) dx xp+m Ví dụ 3.4.5 Tính 100 k=1 k 1.1 41 Ta chọn m số chẵn lớn 1.1 Ở đây, ta chọn m = bỏ qua Rm ta có cơng thức tính xấp xỉ: 100 k=1 1 ≈ ζ(1.1) + k 1.1 − 1.1 r C1−1.1 Br n1−1.1−r = 4.278024023 r=0 Đây kết gần tổng với số thập phân sau dấu phẩy Nếu tính đến m = ta kết xác với 13 số thập phân sau dấu phẩy Chú ý: Ta áp dụng (3.9) cách trực tiếp, nhiên, bỏ qua Rm ta thu kết xấp xỉ thấp 3.4.2 Tính giá trị hàm Riemann Zeta Từ (3.16) ta tính giá trị hàm Riemann Zeta công thức sau: n−1 ζ(p) = k=1 1 − p k 1−p m r C1−p Br n1−p−r − Rm r=0 Rm = mB(m, p) ∞ n Bm (x − x ) dx xp+m Để tính tốn giá trị người ta thường chọn m = n bỏ qua phần dư Rm Ví dụ 3.4.6 Tính ζ(1.3) Chọn m = n = 10, bỏ qua R10 ta được: 10−1 ζ(1.3) = k=1 1 − 1.3 k − 1.3 10 r C1−1.3 Br 101−1.3−r = 3.9319492118095 r=0 Tất xác đến 13 chữ số thập phân sau dấu phẩy Tuy nhiên, lim(R10 ) = 0, nên công thức tiệm cận giá trị hàm ζ Nhận xét: Từ (3.16) ta thay p −p ta có cơng thức sau: n−1 m p r k = ζ(−p) + C1+p Br n1+p−r + Rm + p r=0 k=1 42 ∞ Rm = mB(m, −p) n Bm (x − x ) dx x−p+m Từ đó, ta tính tổng lũy thừa bậc p n số tự nhiên Ví dụ 3.4.7 Tính 100 k 0.1 k=1 Chọn m = 2, bỏ qua R101 ta có 101−1 k ≈ ζ(−0.1)+ + 0.1 0.1 k=1 r C1+0.1 Br 1011+0.1−r = 144.456549944 r=0 Ví dụ 3.4.8 Tính 100 k3 k=1 Chọn m = 2, bỏ qua R101 ta có 101−1 k ≈ ζ(−3) + 1+3 r C1+3 Br 1011+3−r = 25502500.00 k=1 r=0 Ngồi cách tính ta sử dụng khai triển chuỗi Fourier để tính giá trị hàm Zeta (xem[4]): Định lý 3.4.9 Cho hàm số f (x) với chu kỳ T, ta định nghĩa khai triển Fourier chuỗi thỏa mãn ∞ ∞ a0 2nπx 2nπx F (x) = + + an cos bn sin T T n=1 n=1 an = T bn = T T f (x) cos 2nπx T f (x) sin 2nπx T − T2 T − T2 (3.17) 43 khoảng − T2 , T2 Định lý 3.4.10 Cho k số nguyên dương, đó: ∞ ζ(2k) = n=1 (−1)k+1 B2k (2π)2k = n2k 2(2k)! (3.18) Hệ 3.4.11 Các số Bernoulli chẵn không bị chặn tương đương với lim B2k = ∞ k−→∞ Ví dụ 3.4.12 Tính ζ(8) Sử dụng cơng thức (3.18) ta có ∞ ζ(8) = n=1 8 1+4 (2π) B8 = (−1) =− π B2 n 2(8)! 315 Từ B8 = − 30 nên π8 ζ(8) = 9450 Ví dụ 3.4.13 Tính ζ(2) Sử dụng cơng thức (3.18) ta có ∞ ζ(2) = n=1 Từ B2 = 1+1 (2π) B2 = (−1) = π B2 n 2(2)! nên π2 ζ(2) = (3.19) 44 Kết luận Luận văn trình bày khái quát khái niệm tính chất số Bernoulli, đa thức Bernoulli Luận văn đưa cách tính số Bernoulli số ứng dụng số Bernoulli, đa thức Bernoulli: - Ứng dụng tính tổng phần tử dãy số - Ứng dụng công thức tổng Euler–Maclaurin - Ứng dụng tính tổng chuỗi điều hòa số EulerMascheroni - Ứng dụng tổng chuỗi Zeta hàm Zeta Với ứng dụng nêu luận văn thực số Bernoulli đa thức Bernoulli bao trùm lên tổng sơ cấp mà học 45 Tài liệu tham khảo [1] C.D Buenger (2013), "What are the Bernoulli Numbers?", Ohio state Department of Mathematics [2] C Viola (2016), "An Introduction to Special Functions", International Publishing Switzerland, 39-48 [3] F Qi and B.N Guo (2001), "Generalisation of Bernoulli Polynomials", Research Group in Mathematical Inequalities and Applications Res Rep Coll, 10(4), 691-695 [4] J.B Silva (2006), "Bernoulli Numbers and their Applications", Dspace MIT [5] K Kono (2013), "Euler-Maclaurin Summation Formula", Alien’s Mathematics [6] K Kono (2013), "Generalized Bernoulli Polynomials and Numbers", Alien’s Mathematics [7] Q.M Luo, B.N Guo, F Qi, and L Debnath (2001), "Generalizations of Bernoulli’s Numbers and Polynomials", International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2003(59), 3769–3776 [8] S.L Guo and F Qi (1999), "Recursion Formulae for Z Anal Anwendungen, 18(4), 1123-1130 n k m=1 m ", [9] T Muthukumar (2014), "Bernuolli Numbers and Polynomials", Indian Institute of Technology Kanpur ... Tính số Bernoulli phương pháp truy hồi 1.3.3 Tính số Bernoulli thông qua tổng kép Đa thức Bernoulli 2.1 Khái niệm đa thức Bernoulli 2.2 Tính chất đa thức Bernoulli đa thức. .. Cuối người ta rằng, số Bernoulli số Euler, đa thức Bernoulli đa thức Euler khái quát Đây vấn đề nghiên cứu sau 27 Chương Một số toán sơ cấp ứng dụng dãy số Bernoulli đa thức Bernoulli 3.1 3.1.1... tiếp số Bernoulli Nhưng nói chung n lớn dần khối lượng phép tính tăng lên gấp bội 15 Chương Đa thức Bernoulli 2.1 Khái niệm đa thức Bernoulli Định nghĩa 2.1.1 Đa thức Bn (x) gọi đa thức Bernoulli