ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN ĐỨC TỒN PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA ẨN HÀM CƠ BẢN LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 40 Giáo viên hướng dẫn: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN, 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Các phương trình hàm dạng Cauchy 1.1 Các phương pháp để giải phương trình hàm 1.2 Đặc trưng hàm số hàm số sơ cấp ( xem [6]) 1.3 Phương trình hàm Cauchy phương trình kiểu Cauchy ( xem [6]) 1.3.1 Phương trình hàm Cauchy 1.3.2 Các dạng khác phương trình hàm Cauchy 1.4 Phương trình hàm Jensen mở rộng 1.4.1 Phương trình hàm Jensen toán chuyển đổi đại lượng trung bình 1.4.2 Mở rộng phương trình hàm Jensen với đa ẩn hàm 1.5 Phương trình hàm D’Alembert mở rộng 1.5.1 Phương trình hàm D’Alembert 1.5.2 Mở rộng phương trình hàm D’Alembert với đa ẩn hàm 6 9 14 16 16 19 19 19 19 Lớp phương trình hàm dạng Pexider 22 2.1 Phương trình hàm Pexider 22 2.2 Phương trình hàm Pexider với tốn hệ thức lượng tam giác ( xem [4]) 26 2.3 Mở rộng phương trình Pexider ( xem [9]) 30 Một số lớp phương trình hàm đa ẩn sinh đẳng thức phi đẳng thức đại số 32 3.1 Phương trình hàm sinh đẳng thức 32 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.1.1 trò 32 37 41 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 3.2 Phương trình hàm sinh việc thay đổi vai x f (x) 3.1.2 Phương trình hàm sinh đẳng thức Phương trình hàm sinh phi đẳng thức Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình hàm tốn khơng thể thiếu nghiên cứu hàm số Phương trình hàm tốn hay gặp khó kì thi học sinh giỏi tốn quốc gia, khu vực quốc tế Đã có nhiều tài liệu viết phương trình hàm chưa đủ so với nhu cầu người u phương trình hàm Để góp thêm cách nhìn lớp phương trình hàm đa ẩn hàm, tơi chọn đề tài "Phương trình hàm đa ẩn hàm bản" MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu phương trình hàm Cauchy thơng qua ví dụ cụ thể nhằm củng cố phương pháp kĩ biến đổi toán giải phương trình hàm Góp thêm cách nhìn nhận phương pháp giải lớp phương trình hàm đa ẩn hàm mà trọng tâm phương trình Pexider phương trình hàm sinh đẳng thức-phi đẳng thức đại số Định hướng cho học sinh cách vận dụng phương trình hàm việc giải số toán cấp trung học phổ thơng bồi dưỡng học sinh giỏi tốn ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm Jensen, phương trình hàm D’Alembert, phương trình hàm Pexider, phương trình hàm sinh đẳng thức phi đẳng thức đại số PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu trực tiếp từ tài liệu giáo viên hướng dẫn, tủ sách chuyên toán kỷ yếu hội thảo khoa học chuyên toán từ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn học kinh nghiệm giảng dạy đồng nghiệp bạn học viên lớp Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trung học phổ thông CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương Luận văn hoàn thành định hướng hướng dẫn tận tình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy Trong trình học tập làm luận văn, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ Khoa Tốn Tin, Phịng đào tạo Sau đại học trường ĐHKH-ĐHTN Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Tác giả muốn gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn đồng nghiệp lớp Tốn K4A trường ĐHKH, Thầy Cơ giáo tổ toán Ban giám hiệu trường THPT Tiên Du số Bắc Ninh giúp đỡ tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các phương trình hàm dạng Cauchy 1.1 Các phương pháp để giải phương trình hàm Có nhiều phương pháp để giải phương trình hàm Dưới số phương pháp hay sử dụng trình giải phương trình hàm từ đề thi Olympic * Thay giá trị cho biến: Cách thử thay số (chẳng hạn 1), sau số biểu thức mà làm cho phần phương trình trở thành số Ví dụ, f (x + y) xuất phương trình xác định f (0) ta có kết luận tương ứng với y = −x * Quy nạp toán học: Phương pháp sử dụng f (1) để tìm tất f (n) với n ∈ Z, sau tìm f ( ) f (r) với r ∈ Q m * Xem xét tính chất đơn ánh, tồn ánh song ánh hàm số phương trình: Trong nhiều tốn tính chất khơng khó để chứng minh, mấu chốt lời giải tốn * Tìm kiếm điểm bất động không điểm hàm: Phương pháp thường hay gặp tốn khó Số lượng tốn sử dụng phương pháp số lượng tốn sử dụng ba phương pháp Ngồi ta cần nắm vững đặc trưng hàm sử dụng phương pháp * Sử dụng phương trình hàm Cauchy phương trình hàm kiểu này: Thường ta cần sử dụng biến đổi số phương pháp giải khác để đưa phương trình hàm ban đầu phương trình hàm Cauchy * Xem xét tính liên tục đơn điệu hàm số: Tính chất liên tục Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thường điều kiện thêm tính đơn điệu, thường dùng để đưa tốn phương trình hàm Cauchy Nếu khơng phải vậy, tốn giải theo cách khó khăn * Thiết lập mối quan hệ truy hồi (lặp lại): Phương pháp sử dụng phương trình mà miền giá trị bị chặn trường hợp tìm mối liên hệ f (f (n)), f (n) n * Thay hàm số: Phương pháp dùng để đưa phương trình hàm cho trở nên đơn giản Ta ẩn để tạo phương trình hàm hệ phương trình hàm có lời giải đơn giản * Biểu diễn hàm số thành tổng hàm chẵn hàm lẻ Điều hữu ích việc tuyến tính hóa phương trình hàm nhiều hàm số * Xử lý số hệ số 10 Truy nhiên, phương pháp sử dụng miền xác định tập N * Phương pháp hệ số bất định, phương pháp chuyển qua giới hạn, phương pháp sai phân Cuối cùng, ta nhấn mạnh điều quan trọng đoán nhận lời giải Điều giúp ích nhiều việc tìm phép hợp lý Tuy nhiên, cuối lời giải cần kiểm tra lại xem lời giải thỏa mãn điều kiện cho chưa 1.2 Đặc trưng hàm số hàm số sơ cấp ( xem [6]) Để định hướng, gợi ý dự đốn cơng thức nghiệm toán liên quan, xét vài tính chất tiêu biểu số dạng hàm số quen biết ( xem [1]) Hàm bậc nhất: f (x) = ax + b (a = 0, b = 0) có tính chất f x+y = [f (x) + f (y)], ∀x, y ∈ R 2 Hàm tuyến tính: f (x) = ax (a = 0) có tính chất f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hàm mũ: f (x) = ax (a > 0, a = 1) có tính chất f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R Hàm logarit: f (x) = loga |x| (a > 0, a = 1) có tính chất f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R\{0} Hàm lượng giác a) Hàm f (x) = sin x có tính chất f (3x) = 3f (x) − 4[f (x)]3 , ∀x ∈ R b) Hàm f (x) = cos x có tính chất f (2x) = 2[f (x)]2 − 1, ∀x ∈ R f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y), ∀x, y ∈ R c) Hàm f (x) = sin x, g(x) = cos x có tính chất f (x + y) = f (x)g(y) + f (y)g(x), ∀x, y ∈ R, g(x + y) = g(x)g(y) − f (x)f (y), ∀x, y ∈ R d) Hàm f (x) = tan x có tính chất f (x + y) = f (x) + f (y) − f (x)f (y) (2k + 1)π π π , x = + kπ, y = + kπ (k ∈ Z) 2 e) Hàm f (x) = cot x có tính chất với x, y ∈ R, x + y = f (x + y) = f (x)f (y) − f (x) + f y) với x, y ∈ R, x + y = kπ, x = kπ, y = kπ (k ∈ Z) Hàm lượng giác ngược a) Hàm f (x) = arcsin x có tính chất f (x) + f (y) = f (x − y + y Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên − x2 ), ∀x, y ∈ [−1; 1] http://www.lrc-tnu.edu.vn b) Hàm g(x) = arccos x có tính chất − x2 g(x) + g(y) = g(xy − − y ), ∀x, y ∈ [−1; 1] c) Hàm h(x) = arctan x có tính chất h(x) + h(y) = h x+y − xy , ∀x, y : xy = d) Hàm p(x) = arccot x có tính chất p(x) + p(y) = p xy − , ∀x, y : x + y = x+y Các hàm hyperbolic a) Hàm f (x) = sinh x := (ex − e−x ) có tính chất f (3x) = 3f (x) + 4[f (x)]3 , ∀x ∈ R b) Hàm g(x) = cosh x := (ex + e−x ) có tính chất g(x + y) + g(x − y) = 2g(x)g(y), ∀x, y ∈ R ex − e−x c) Hàm h(x) = x := x có tính chất e + e−x h(x + y) = d) Hàm q(x) = coth x := q(x + y) = 1.3 1.3.1 h(x) + h(y) , ∀x, y ∈ R + h(x)h(y) ex + e−x có tính chất ex − e−x + q(x)q(y) , ∀x, y : x, y, x + y = q(x) + q(y) Phương trình hàm Cauchy phương trình kiểu Cauchy ( xem [6]) Phương trình hàm Cauchy Phương trình f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.1) 10 lớp hàm liên tục R gọi phương trình hàm Cauchy Nếu khơng địi hỏi hàm f thoả mãn điều kiện (1.1) gọi điều kiện cộng tính f Nếu tập xác định (1.1) Q dễ f (x) = x.f (1) Chứng minh có nhờ quy nạp tốn học Tiếp theo, mở rộng miền xác định từ Q đến R Khơng q khó để lời giải phương trình hàm Cauchy trường hợp f (x) = xf (1) Tuy nhiên, ta cần có thêm vào số giả thiết để bắt buộc lời giải mô tả Nghĩa là, hàm số f thỏa mãn điều kiện sau: +) đơn điệu khoảng R; +) liên tục; +) bị chặn khoảng; +) dương với x ≥ +) khả vi (cách làm đơn giản nhiều) lời giải phương trình hàm Cauchy f : R → S f (x) = xf (1) Cụ thể: Bài toán 1.1 Xác định hàm f (x) liên tục R thỏa mãn f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (1.2) Giải Từ (1.2) suy f (0) = 0, f (−x) = −f (x), với x = y f (2x) = 2f (x), ∀x ∈ R (1.3) Giả sử k nguyên dương, f (kx) = kf (x), ∀x ∈ R Khi f ((k + 1)x) = = = = f (kx + x) f (kx) + f (x) kf (x) + f (x) (k + 1)f (x), ∀x ∈ R, ∀k ∈ N Theo nguyên lý quy nạp, ta có f (nx) = nf (x), ∀x ∈ R, ∀n ∈ N Kết hợp với tính chất f (−x) = −f (x) ta f (mx) = mf (x), ∀m ∈ Z, ∀x ∈ R Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.4) 35 *) +) Thay x , ta có y − x2 − f (−4x2 − 1) = 4f (x2 + 1) + 3f (1), ∀x ∈ R +) Thay (3.8) x , ta có y − 2x2 − f (−4x2 − 1) = −4f (x2 ) − f (1), ∀x ∈ R (3.9) Từ (3.8) (3.9), ta có f (x2 + 1) = f (x2 ) + f (1), ∀x ∈ R nên f (x + 1) = f (x) + f (1), ∀x ≥ (3.10) Đặt c = f (1) Từ (3.10) ta có f (n) = nc, ∀n ∈ N∗ Thay y n, ta có f ((n + 1)x + n) = f (x) + f (n) + f (nx) nên f ((n + 1)x) = f (x) + f (nx), ∀x ∈ R (3.11) Từ (3.7) (3.11), áp dụng quy nạp ta có f (nx) = nf (x), ∀x ∈ R, suy f (n) = nc hay f (x) = cx, ∀x ∈ Q+ Do f liên tục hàm lẻ nên f (x) = cx, ∀x ∈ R Kiểm tra lại thấy f (x) = x thỏa mãn Vậy f (x) = cx nghiệm toán Nhận xét 3.2 Phương trình đầu "gần" giống phương trình hàm Cauchy dạng cộng tính, lại thêm giả thiết liên tục giúp dự đốn nghiệm phương trình Để có tính chất hàm f lẻ f (3x) = 3f (x) phải có kĩ thuật việc chọn biến • Thứ nhất, ta lựa chọn đối số cho xuất giá trị hàm tính xuất số hạng triệt tiêu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 • Thứ hai, nguyên tắc để chọn (x, y) để vào phải có tính kế thừa: Chọn sau phụ thuộc vào trước để kết hợp kết với Bài tốn 3.3 ( xem [2]) Tìm tất hàm liên tục f : R → R thỏa mãn f2009 (x) = x, ∀x ∈ R (với fn (x) = f (f ( (f (x)) )), n lần f ) Giải *) Trước tiên, ta chứng minh f đơn ánh Thật vậy, f (x1 ) = f (x2 ) f2009 (x1 ) = f2009 (x2 ) ⇒ x1 = x2 *) Ta chứng minh bổ đề: Nếu f : R → R vừa hàm đơn ánh, vừa liên tục f hàm đơn điệu Chứng minh: Giả sử f không đơn điệu Suy tồn z cho xảy ba trường hợp sau TH1: z < x < y f (z) > f (x), f (x) < f (y); TH2: x < y < z f (z) < f (y), f (x) < f (y); TH3: x < z < y [f (z) − f (x)][f (z) − f (y)] > Dễ thấy, ta cần chứng minh trường hợp sai Chọn M cho f (x) < M < min{f (y), f (z)} Do f liên tục nên ta có ∃a ∈ (z, x) : f (a) = M ∃b ∈ (x, y) : f (b) = M Suy f (a) = f (b) Do a = b (do f đơn ánh) Điều vơ lý Do f hàm đơn điệu Dễ dàng chứng minh f hàm đồng biến Giả sử tồn x cho f (x) > x mà f hàm đồng biến nên ta có x = f2009 (x) > f2008 (x) > · · · > f (x) > x (vô lý ) Tương tự với f (x) < x suy điều vô lý Vậy f (x) = x, ∀x ∈ R Nhận xét 3.3 +) Đối với phương trình hàm mà vế có chứa f (x) vế cịn lại chứa biến x bên ngồi ta nên kiểm tra tính đơn ánh hàm số Đó điểm mấu chốt tốn +) Bài tốn sau có cách xử lý tương tự: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 Bài toán 3.4 (Balkan 2000) Tìm hàm f : R → R cho f (xf (x) + f (y)) = (f (x))2 + y, ∀x, y ∈ R 3.1.2 Phương trình hàm sinh đẳng thức Bài toán 3.5 (Moldova 2004) Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn f (x3 ) − f (y ) = [f (x) − f (y)](x2 + xy + y ), ∀x, y ∈ R (3.12) Giải Đặt g(x) = f (x) − f (0) Khi g(0) = g(x3 ) − g(y ) = [g(x) − g(y)](x2 + xy + y ), ∀x, y ∈ R Thay y = vào (3.13) ta có g(x3 ) = x2 g(x) Thế vào (3.13) ta có (x + y)g(x).y = (x + y)g(y).x, ∀x, y ∈ R Nhận thấy g(x) ≡ nghiệm (3.13) Xét với g(x) = 0, ∀x, dễ dàng chứng minh g(x) = ⇔ x = Với x, y ∈ R, ∃x0 : x + x0 = y + x0 = Suy g(x).x0 = g(x0 ).x g(y).x0 = g(x0 ).y Do g(x)y = g(y).x, ∀x, y ∈ R Cho y = 1, ta có g(x) = xg(1) = ax Do f (x) = ax + f (0) = ax + b, ∀x ∈ R Kiểm tra lại ta thấy f (x) = ax + b thỏa mãn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.13) 38 Nhận xét 3.4 +) Ở toán này, ta nhận thấy f (x) = ax + b nghiệm nên f (0) không cố định Vì việc đặt g(x) = f (x) − f (0) khơng làm thay đổi phương trình hàm nhận nhờ có g(0) = nên thuận lợi cho phép biến đổi bên +) Phương trình hàm sinh đẳng thức quen thuộc a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) Áp dụng cách làm trên, ta giải toán tương tự thay số mũ tổng quát cho trường hợp số mũ n Bài tốn 3.6 (VMO1995) Tìm hàm f : R → R thỏa mãn điều kiện f ((x − y)2 ) = x2 − 2yf (x) + (f (y))2 , ∀x, y ∈ R Giải Cho x = y = 0, suy f (0) = (f (0))2 Do f (0) = f (0) = +Nếu f (0) = 0, cho x ∈ R, y = ta có: f (x2 ) = x2 hay f (t) = t, ∀t ≥ Cho x = y ∈ R ta f (0) = x2 − 2xf (x) + (f (x))2 Suy (f (x) − x)2 = Do f (x) = x Thử lại ta thấy f (x) = x thỏa mãn điều kiện +Nếu f (0) = 1, cho x ∈ R, y = ta được: f (x2 ) = x2 + Suy f (t) = t + 1, ∀t ≥ Cho x = 0, y ∈ R, ta f (y ) = −2y + (f (y))2 Suy (f (y))2 = f (y ) + 2y = y + + 2y Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Do f (y) = y + f (y) = −y − Giả sử tồn y0 ∈ R cho f (y0 ) = −y0 − Chọn x = y = y0 ta = y02 − 2y0 f (y0 ) + (f (y0 ))2 Do f (y0 ) = y0 − f (y0 ) = y0 + Nếu f (y0 ) = y0 − −y0 − = y0 − Do y0 = f (0) = −1 (loại) Nếu f (y0 ) = y0 + 1, suy −y0 − = y0 + Do y0 = −1 f(0)=0 Do f (y) = y + 1, ∀y ∈ R Thử lại ta thấy f (y) = y + thỏa mãn điều kiện Kết luận: Hàm số cần tìm f (x) = x f (0) = x + f (0) = Bài toán 3.7 ( xem [6] ) Tìm hàm số f, g xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện f (x2 − y ) = (x + y)g(x − y), ∀x, y ∈ R (3.14) Giải Cho y = 0, (3.14) trở thành f (x2 ) = xg(x) Nếu x = f (x) = (3.15) Nếu x = ta có f (x2 ) g(x) = x Do phương trình trở thành (x + y).f ((x − y)2 ) , ∀x = y f (x − y ) = x−y Do Đặt h(x) = f (x2 − y ) f ((x − y)2 ) = , ∀x = y x2 − y (x − y)2 f (x) với x = Khi x h(x2 − y ) = h((x − y)2 ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 Cho x = y +1, ta có h(2y +1) = h(1), ∀y ∈ R Suy h(x) = a, ∀x = f (x) = ax, ∀x = (3.16) Kết hợp (3.15), (3.16) ta f (x) = ax, ∀x ∈ R Do ta có g(x) = ax2 = ax, ∀x = x Vậy nghiệm toán f (x) = ax, ∀x ∈ R (a ∈ R tùy ý ) g(x) = ax, ∀x = Bài toán 3.8 ( xem [6] ) Tìm tất hàm f, g, h xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện f (x2 − y ) = g(x − y) + h(x + y), ∀x, y ∈ R Đáp số: f (x) = b + c, ∀x ∈ R g(x) = b, ∀x ∈ R h(x) = c, ∀x ∈ R Trong b, c ∈ R tùy ý Bài tốn 3.9 ( xem [6] ) Tìm tất hàm f, g, h xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện f (x2 − y ) = g (x) − h2 (y), ∀x, y ∈ R Đáp số:  mx + a − b, ∀x ∈ R  f (x) = √ g(x) = √mx2 + a, ∀x ∈ R  h(x) = mx2 + b, ∀x ∈ R a, b, m ≥  mx + a − b, ∀x ∈ R  f (x) = √ g(x) = mx √ + a, ∀x ∈ R  h(x) = − mx2 + b, ∀x ∈ R a, b, m ≥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41   f (x) = mx √ + a − b, ∀x ∈ R g(x) = − mx2 + a, ∀x ∈ R √  h(x) = mx2 + b, ∀x ∈ R a, b, m ≥   f (x) = mx √ + a − b, ∀x ∈ R g(x) = − √mx2 + a, ∀x ∈ R  h(x) = − mx2 + b, ∀x ∈ R a, b, m ≥ 3.2 Phương trình hàm sinh phi đẳng thức Bài tốn 3.10 ( xem [6] ) Tìm hàm số f, g, h xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện f (x2 + y ) = g(x + y).h(x − y), ∀x, y ∈ R (3.17) Giải Trường hợp 1: g(0) = Cho y = −x, phương trình (3.17) trở thành f (2x2 ) = 0, ∀x ∈ R Suy f (x) = 0, ∀x ≥ Thay f (x) vào phương trình (3.17), ta g(x + y).h(x − y) = 0, ∀x, y ∈ R hay g(u).h(v) = 0, ∀u, v ∈ R Do g(x) = h(x) hàm liên tục tùy ý R h(x) = g(x) liên tục tùy ý R Vậy nghiệm trường hợp  0, ∀x ≥    f (x) = q(x) với q(x) liên tục tùy ý (−∞; 0] q(0) = (I) g(x) ≡    h(x) hàm liên tục tùy ý Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42     f (x) = 0, ∀x ≥ q(x) với q(x) liên tục tùy ý (−∞; 0] q(0) = (II)  g(x) hàm liên tục tùy ý g(0) =   h(x) ≡ Trường hợp 2: h(0) = Cho y = 0, phương trình (3.17) trở thành f (2x2 ) = 0, ∀x ∈ R Suy f (x) = 0, ∀x ≥ Thế f (x) vào (3.17) ta g(x + y)h(x − y) = 0, ∀x, y ∈ R hay g(u)h(v) = 0, ∀u, v ∈ R Do g(x) = h(x) liên tục tùy ý R h(0) = h(x) = g(x) liên tục tùy ý R Vậy nghiệm phương trình trường hợp là:     f (x) = q(x) với q(x) liên tục tùy ý (−∞; 0] q(0) = (III)  g(x) liên tục tùy ý R   h(x) ≡ (IV )     f (x) = q(x) với q(x) liên tục tùy ý (−∞; 0] q(0) = g(x) ≡    h(x) liên tục tùy ý R h(0) = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Trường hợp 3: g(0) = h(0) = Khi f (0) = Cho x = y phương trình (3.17) trở thành f (2x2 ) = g(2x)h(0) Suy g(2x) = Do f (2x2 ) , ∀x ∈ R h(0) f (x2 /2) g(x) = , ∀x ∈ R h(0) Cho x = −y, phương trình (3.17) trở thành f (2x2 ) = g(0)h(2x) Suy f (2x2 ) , ∀x ∈ R h(2x) = g(0) Do f (x2 /2) h(x) = , ∀x ∈ R g(0) Thay g(x) h(x) vào (3.17) ta f (x2 + y ) = f Đặt (x + y)2 f (x − y)2 , ∀x, y ∈ R g(0)h(0)  (x + y)2   u =  (x − y)2  v = Khi ta có f (u + v) = f (u)f (v) , ∀u, v ≥ g(0)h(0) (3.18) Đặt f (u) = g(0.)h(0).F (u), ∀u ≥ Khi từ (3.18) suy g(0).h(0).F (u+v) = g(0).h(0).F (u).g(0).h(0).F (v) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên , ∀u, f ≥ g(0)h(0) http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 Do F (u + v) = F (u).F (v), ∀u, v ≥ Từ ta có F (u) = au , u ≥ 0, a > (theo phương trình hàm Cauchy nhân tính) Suy f (x) = bax , x ≥ 0, a > 0, b = Do f (x2 /2) 2 g(x) = = g(0).ax /2 = m.ax /2 , ∀x ∈ R, m = g(0) h(0) f (x2 /2) 2 h(x) = = h(0).ax /2 = n.ax /2 , ∀x ∈ R, n = h(0) g(0) Vậy nghiệm phương trình trường hợp  bax , x ≥ 0, a > 0, b =    f (x) = q(x) với q(x) liên tục tùy ý (−∞; 0] q(0) = (V )  g(x) = m.ax /2 , ∀x ∈ R, m = g(0)   h(x) = n.ax /2 , ∀x ∈ R, n = h(0) Tóm lại nghiệm tốn là:  0, ∀x ≥    f (x) = q(x) với q(x) liên tục tùy ý (−∞; 0] q(0) = (I) g(x) ≡    h(x) hàm liên tục tùy ý  0, ∀x ≥    f (x) = q(x) với q(x) liên tục tùy ý (−∞; 0] q(0) = (II)  g(x) hàm liên tục tùy ý g(0) =   h(x) ≡     f (x) = g(x) với q(x) liên tục tùy ý (−∞; 0] q(0) = (III)  g(x) liên tục tùy ý R   h(x) ≡     f (x) = g(x) với q(x) liên tục tùy ý (−∞; 0] q(0) = (IV ) g(x) ≡    h(x) liên tục tùy ý R h(0) = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 bax , x ≥ 0, a > 0, b = q(x) với q(x) liên tục tùy ý (−∞; 0] q(0) = (V ) g(x) = m.ax /2 , ∀x ∈ R, m = g(0)    h(x) = n.ax /2 , ∀x ∈ R, n = h(0)     f (x) = Bài toán 3.11 ( xem [6]) Tìm hàm số f, g, h xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện f (x2 + y ) = g(x + y) + h(x − y), ∀x, y ∈ R Đáp số:  ax + b + c, x ≥   f (x) =   q(x) với q(x) liên tục tùy ý (−∞; 0] q(0) =   ax g(x) = + b, ∀x ∈ R, g(0) = b       h(x) = ax + c, ∀x ∈ R, h(0) = c c Bài tốn 3.12 ( xem [6] ) Tìm hàm f, g, h xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện f (x2 + y ) = g(x2 ) − h(y ), ∀x, y ∈ R Đáp số:    f (x) = ax + b, x ≥ q(x) với q(x) liên tục tùy ý (−∞; 0) q(0) =   g(x) = ax + c, ∀x ∈ R h(x) = −ax + d, ∀x ∈ R Xuất phát từ bất đẳng thức (x + y)2 ≤ 2(x2 + y ); x2 + y ≥ 2xy; (x + y)2 ≥ 4xy, xin giới thiệu phương trình hàm sau: Bài tốn 3.13 Tìm tất hàm liên tục f, g : R+ → R thỏa mãn điều kiện (f (x + y))2 + g(x + y) = 2(f (x2 ) + f (y )), ∀x, y ∈ R+ Giải Cho y = 0, phương trình (3.19) trở thành: (f (x))2 + g(x) = 2f (x2 ) + 2f (0) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.19) 46 Suy ra, g(x) = 2f (x2 ) + 2f (0) − (f (x))2 Thế vào (3.19), ta có f ((x + y)2 ) = f (x2 ) + f (y ) − f (0), ∀x, y ∈ R+ (3.20) Đặt a = f (0), h(t) = f (t2 ) − a, phương trình (3.20) trở thành: h(x + y) = h(x) + h(y), ∀x, y ∈ R+ Mà f hàm liên tục nên h hàm liên tục Do đó, áp dụng kết phương trình Cauchy tốn 1.1, ta có: h(x) = bx, ∀x ∈ R+ với b số thực tùy ý Suy ra, √ √ f (x) = b x + a; g(x) = (2b − b2 )x − 2ab x − a2 + 4a với a, b số thực tùy ý Kiểm tra thấy f (x), g(x) thỏa mãn phương trình (3.20) Vậy nghiệm toán là: √ f (x) = b x + a; √ g(x) = (2b − b2 )x − 2ab x − a2 + 4a với a, b số thực tùy ý Bài toán 3.14 Tìm tất hàm f, g : R → R thỏa mãn điều kiện xf (x) + yf (y) = xf (y) + yf (x) + xg(x) + yg(y), ∀x, y ∈ R Giải Cho y = 0, phương trình (3.21) trở thành: xf (x) = xf (0) + xg(x), ∀x ∈ R Đặt a = f (0), ta có g(x) = f (x) − a, ∀x = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.21) 47 Thế vào phương trình (3.21), ta có: xf (x)+yf (y) = xf (y)+yf (x)+x(f (x)−a)+y(f (y)−a), ∀x = 0, y = Do đó, xg(y) + yg(x) = 0, ∀x = 0, y = Với x = y = ta có: xg(x) = 0, ∀x = Do đó, g(x) = 0, ∀x = Suy ra, f (x) = a = f (0), ∀x = Vậy nghiệm toán là: f hàm hằng, g(x) ≡ Bài toán 3.15 Tìm tất hàm liên tục f, g : R → R thỏa mãn điều kiện f ((x + y))2 ) = 4f (x)f (y) + g(x + y), ∀x, y ∈ R (3.22) Giải Cho y = 0, phương trình (3.22) trở thành: f (x2 ) = 4f (x)f (0) + g(x), ∀x ∈ R Đặt a = f (0), ta có: g(x) = f (x2 ) − 4af (x), ∀x ∈ R Thế vào phương trình (3.22), ta có: af (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R *Nếu a = f (x) = 0, ∀x ∈ R *Nếu a = từ phương trình ta có: f (x + y) f (x) f (y) = , ∀x, y ∈ R a a a f (x) a Do f(x) hàm số liên tục nên h(x) liên tục Áp dụng kết tốn 1.6, ta có: h(x) = bx (b > 0) h(x) ≡ Do Đặt h(x) = f (x) = abx ; g(x) = abx − 4abx f (x) ≡ 0; g(x) ≡ Thử lại vào phương trình (3.22), ta có nghiệm toán là: f (x) = bx ; g(x) = bx − 4bx f (x) ≡ 0; g(x) ≡ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 Kết luận Luận văn đề cập tới số cách để tiếp cận lý thuyết phương trình hàm, khảo sát lớp phương trình hàm đa ẩn hàm Việc khảo sát dựa nghiên cứu phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm D’Alambert, phương trình Pexider số phương trình hàm sinh đẳng thức phi đẳng thức Luận văn trình bày số kết sau: - Hệ thống phương trình kiểu Cauchy - Mở rộng phương trình hàm Jensen, phương trình hàm D’Alambert với đa ẩn hàm - Mở rộng phương trình hàm Pexider áp dụng phương trình hàm Pexider với toán hệ thức lượng tam giác - Xây dựng số phương trình hàm sinh đẳng thức phi đẳng thức Luận văn hạn chế, chưa khai thác hết lớp đẳng thức phi đẳng thức đại số lượng giác để từ thiết lập phương trình hàm đa ẩn liên quan Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu,Bất đẳng thức, định lý áp dụng, NXB Giáo Dục, 2006 [2] Nguyễn Trọng Tuấn, Các toán hàm số qua kỳ thi Olympic, NXB Giáo Dục, 2004 [3] Nguyễn Văn Mậu,Các toán nội suy áp dụng, NXB Giáo Dục, 2007 [4] Trịnh Đào Chiến, Lê Tiến Dũng, Một số dạng tổng quát phương trình Pexider áp dụng Kỷ yếu HNKH Hà Nội 26-27/04/2012 [5] Trần Viết Tường, Một số lớp phương trình hàm đa ẩn sinh phi đẳng thức Kỷ yếu HNKH Hà Nội 26-27/04/2012 [6] Nguyễn Văn Mậu,Phương trình hàm, NXB Giáo Dục, 1997 [7] J Aczél,Lectures on functional equations and their applications, Chapter 3, pp 141-145, 1996 [8] Pl Kannappan,Functional Equations and Inequalities with Applications, Springer, 2009 [9] Christopher G.Small,Functional equatión and how to solve them, Springer,2000 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... thuyết phương trình hàm, khảo sát lớp phương trình hàm đa ẩn hàm Việc khảo sát dựa nghiên cứu phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm D’Alambert, phương trình Pexider số phương trình hàm sinh... nhu cầu người u phương trình hàm Để góp thêm cách nhìn lớp phương trình hàm đa ẩn hàm, tơi chọn đề tài "Phương trình hàm đa ẩn hàm bản" MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu phương trình hàm Cauchy thơng... rộng phương trình hàm Jensen với đa ẩn hàm 1.5 Phương trình hàm D’Alembert mở rộng 1.5.1 Phương trình hàm D’Alembert 1.5.2 Mở rộng phương trình hàm D’Alembert với đa ẩn hàm