1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Phương trình với toán tử loại đơn điệu

43 6 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 43
Dung lượng 498,32 KB

Nội dung

Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✶ ▼ơ❝ ❧ô❝ ▼ë ➤➬✉ ✶ ❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ✶✳✶✳ ✶✳✷✳ ✶✳✸✳ ❚♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✷✳✷✳ ✷✳✸✳ ✼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✶✳✶✳✶✳ ❚♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✶✳✶✳✷✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈í✐ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❚♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✶✳✷✳✶✳ ❚♦➳♥ tö ❛❝❝r❡t✐✈❡ ✶✳✷✳✷✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈í✐ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ❇➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ✶✳✸✳✶✳ ❑❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ✶✳✸✳✷✳ ❱Ý ❞ơ ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ✷✳✶✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈í✐ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ❍✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ✷✸ ❍✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ✈í✐ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ✷✳✶✳✶✳ ❙ù ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ✷✳✶✳✷✳ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼ ❍✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ✷✳✷✳✶✳ ❙ù ❤é✐ tô ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ✷✳✷✳✷✳ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ ✷✳✷✳✸✳ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉ ✳ ✳ ✸✺ ❱Ý ❞ơ ❑Õt ❧✉❐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ❚➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✹✷ http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✷ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ t➵✐ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝✱ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ❞➢í✐ t tì ủ ế sỹ ễ ị ❚❤✉ ❚❤đ②✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ✈➭ s➞✉ s➽❝ ✈Ò sù t❐♥ t➞♠ ✈➭ ♥❤✐Ưt t×♥❤ ❝đ❛ ❝đ❛ ❝➠ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ t➳❝ ❣✐➯ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ❚r♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✱ t❤➠♥❣ q✉❛ ❝➳❝ ❜➭✐ ❣✐➯♥❣✱ t➳❝ ❣✐➯ ❧✉➠♥ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ sù q✉❛♥ t➞♠ ❣✐ó♣ ➤ì ❝đ❛ ❝➳❝ ●✐➳♦ s➢ ❝➠♥❣ t➳❝ t➵✐ ❱✐Ö♥ ❚♦➳♥ ❤ä❝✱ ❱✐Ö♥ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ❚❤➠♥❣ t✐♥ t❤✉é❝ ❱✐Ö♥ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ư ❱✐Ưt ◆❛♠✱ ❝đ❛ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ tr♦♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ò ì t tá ❧ß♥❣ ❝➯♠ ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ❝➳❝ ❚❤➬② ❈➠✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❇❛♥ ❣✐➳♠ ❤✐Ö✉✱ ♣❤ß♥❣ ➜➭♦ t➵♦ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ◗✉❛♥ ❤Ư q✉è❝ tÕ✱ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲ ❚✐♥ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝✱ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ➤➲ q✉❛♥ t➞♠ ✈➭ ❣✐ó♣ ➤ì t➳❝ ❣✐➯ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤ä❝ t❐♣ t➵✐ tr➢ê♥❣✳ ❈✉è✐ ❝ï♥❣✱ t➠✐ ①✐♥ ❣ư✐ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ tí✐ ❣✐❛ ➤×♥❤✱ ❜➵♥ ❜❒ ✈➭ ❝➳❝ ❜➵♥ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣ ➤➲ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ t ợt q ữ ó tr ộ số ể t➠✐ ❝ã ➤➢ỵ❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ tèt ♥❤✃t ❦❤✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ◆❣✉②Ơ♥ ❳✉➞♥ ❇➳❝❤ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Toán tử loại đơn điệu ✸ ▼ë ➤➬✉ ❘✃t ♥❤✐Ị✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝đ❛ t❤ù❝ t✐Ơ♥✱ ❦❤♦❛ ❤ä❝✱ ❝➠♥❣ ♥❣❤Ư ❞➱♥ tí✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✭✐❧❧✲♣♦s❡❞✮ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❍❛❞❛♠❛r❞ ❬✽❪✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭❦❤✐ ❞÷ ❦✐Ư♥ t❤❛② ➤ỉ✐ ♥❤á✮ ❤♦➷❝ ❦❤➠♥❣ tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠✱ ❤♦➷❝ ♥❣❤✐Ư♠ ❦❤➠♥❣ ❞✉② ♥❤✃t✱ ❤♦➷❝ ♥❣❤✐Ư♠ ❦❤➠♥❣ ♣❤ơ t❤✉é❝ ❧✐➟♥ tơ❝ ✈➭♦ ữ ệ tí ổ ị ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ♥➟♥ ✈✐Ư❝ ❣✐➯✐ sè ❝ñ❛ ♥ã ❣➷♣ ❦❤ã ❦❤➝♥✳ ▲ý ❞♦ ❧➭ ♠ét s❛✐ sè ♥❤á tr♦♥❣ ❞÷ ❦✐Ư♥ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ã t❤Ĩ ❞➱♥ ➤Õ♥ ♠ét s❛✐ sè ❜✃t ❦ú tr♦♥❣ ❧ê✐ ❣✐➯✐✳ ❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❞➢í✐ ❞➵♥❣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ✭✶✮ A(x) = f, tr♦♥❣ ➤ã ①➵ A : X −→ X ∗ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ trÞ tõ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ X ✈➭♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ X ∗ ❝đ❛ X ✳ ➜Ĩ ❣✐➯✐ ❧♦➵✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥➭②✱ t sử ụ ữ ổ ị s ❝❤♦ ❦❤✐ s❛✐ sè ❝đ❛ ❝➳❝ ❞÷ ❦✐Ư♥ ❝➭♥❣ ♥❤á tì ệ ỉ tì ợ ệ ➤ó♥❣ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ①✉✃t ♣❤➳t✳ ◆➝♠ ✶✾✻✸✱ ❆✳ ◆✳ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ❬✾❪ ➤➢❛ r❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♥ỉ✐ t✐Õ♥❣ ✈➭ ❦Ó tõ ➤ã ❧ý t❤✉②Õt ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ➤➢ỵ❝ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ ❤Õt sø❝ s➠✐ ➤é♥❣ ✈➭ ❝ã ♠➷t ë ❤➬✉ ❤Õt ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ t❤ù❝ tÕ✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❝❤ñ ②Õ✉ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭② ❧➭ ①➞② ❞ù♥❣ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ✭✵✳✶✮ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ù❝ H ❞ù❛ tr➟♥ ✈✐Ư❝ t×♠ ♣❤➬♥ tư ❝ù❝ t✐Ĩ✉ xh,δ α ❝đ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❚✐❦❤♦♥♦✈ Fαh,δ (x) = Ah (x) − fδ tr♦♥❣ ➤ã + α x − x∗ ✭✷✮ α > ❧➭ t❤❛♠ sè ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ h ✈➭ δ ✱ x∗ ❧➭ ♣❤➬♥ tư ❝❤♦ tr➢í❝ ➤ã♥❣ ✈❛✐ trß ❧➭ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❝❤ä♥ ✈➭ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (Ah , fδ ) ❧➭ ①✃♣ ①Ø ❝ñ❛ (A, f )✳ http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✹ ❍❛✐ ề ợ qết tì ♣❤➬♥ tư ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ❝đ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ✈➭ ❝❤ä♥ t❤❛♠ sè ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ t✐Ĩ✉ α = α(h, δ) t❤Ý❝❤ ❤ỵ♣ ➤Ĩ ♣❤➬♥ tư ❝ù❝ xh,δ α(h,δ) ❞➬♥ tí✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝❤Ý♥❤ ①➳❝ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✵✳✶✮ ❦❤✐ h ✈➭ δ ❞➬♥ tí✐ ❦❤➠♥❣✳ ❱✐Ư❝ t×♠ ♣❤➬♥ tư ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ❝đ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❚✐❦❤♦♥♦✈ sÏ ❣➷♣ ♥❤✐Ò✉ ❦❤ã ❦❤➝♥ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❜➭✐ t♦➳♥ ♣❤✐ t✉②Õ♥✳ ➜è✐ ✈í✐ ❧í♣ ❜➭✐ t♦➳♥ ♣❤✐ t✉②Õ♥ ✈í✐ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ A : X → X ∗ ✱ ❋✳ ❇r♦✇❞❡r ➤➢❛ r❛ ♠ét ❞➵♥❣ ❦❤➳❝ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈✳ ❚➢ t➢ë♥❣ ❝❤đ ②Õ✉ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❞♦ ❋✳ ❇r♦✇❞❡r ➤Ị ①✉✃t ❧➭ sư ❞ơ♥❣ ♠ét t♦➳♥ tư M : X → X ∗ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t h✲❧✐➟♥ tơ❝✱ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ ❧➭♠ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤✳ J s ✱ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛ X ✱ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ♥❤➢ ✈❐②✳ ❇➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭②✱ ❨❛✳ ■✳ ❆❧❜❡r ❬✶❪ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ Ah (x) + αJ s (x − x∗ ) = fδ ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✵✳✶✮ ❦❤✐ Ah : X → X ∗ ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✳ ❱✐Ư❝ ❝❤ä♥ t❤❛♠ sè ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤Ø♥❤ ✭✵✳✸✮ ❦❤✐ ✭✸✮ α = α(δ) t❤Ý❝❤ ợ trì ệ Ah A ợ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❜ë✐ ➤➻♥❣ t❤ø❝ ˜ p , < p < 1, K ˜ ≥ 1, ρ(α) = Kδ ✈í✐ ρ(α) = α xδα ✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✭✵✳✸✮ ❝ï♥❣ ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ t❤❛♠ sè α = α(δ) ♥❤➢ tr➟♥ ❧➭ ♠ét t❤✉❐t t♦➳♥ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ❝❤♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✭✵✳✶✮✳ ◆➝♠ ✷✵✵✺✱ ◆❣✉②Ơ♥ ❇➢ê♥❣ ❬✺❪ ➤➲ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈✐Ư❝ ❝❤ä♥ ❣✐➳ trÞ ❝đ❛ t❤❛♠ sè ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ t❤❡♦ ♥❣✉②➟♥ ❧Ý ➤é ❧Ö❝❤ s✉② ré♥❣ tr➟♥ ❝➡ së ❣✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ρ(α) = δ p α−q , < p ≤ q ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✵✳✶✮ ❦❤✐ ①Ðt ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✭✵✳✸✮ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ Ah ≡ A✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ A : X → X ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö ❛❝❝r❡t✐✈❡✱ ♥❣➢ê✐ t❛ sö ❞ơ♥❣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❬✷❪ Ah (x) + αx = fδ , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✺ tr♦♥❣ ➤ã Ah : X −→ X ❝ị♥❣ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ✈í✐ D(Ah ) = D(A)✳ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥❤➺♠ tr×♥❤ ổ ị trì t tử ✭✵✳✶✮ ✈í✐ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡✳ ❈❤ó ý r➺♥❣✱ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤× tÝ♥❤ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ ❛❝❝r❡t✐✈❡ ❝đ❛ t♦➳♥ tư ❧➭ trï♥❣ ♥❤❛✉ ❬✸❪✳ ❈➳❝ ✈✃♥ ➤Ị ➤➢ỵ❝ ➤Ị ❝❐♣ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭✿ ✶✳ ❍✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ✭✵✳✶✮ ✈í✐ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡❀ ✷✳ ❙ù ❤é✐ tơ ✈➭ tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤❀ í ụ số ộ ợ trì ❜➭② tr♦♥❣ ❤❛✐ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ♥❤✃t ✈Ị ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈í✐ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ✷ tr×♥❤ ❜➭② ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈í✐ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ❝đ❛ ❨❛✳ ■✳ ❆❧❜❡r ❬✶❪ ✈➭ ❬✷❪✱ tr×♥❤ ❜➭② tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ø♥❣ ✈í✐ t❤❛♠ sè ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤ä♥ t✐➟♥ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ◆❣✉②Ơ♥ ❇➢ê♥❣ ❬✺❪ ✈➭ ❬✻❪✳ ❈✉è✐ ❝ï♥❣ ❧➭ ♠ét ✈Ý ❞ơ sè ♠✐♥❤ ❤ä❛✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✻ ▼ét sè ❦Ý ❤✐Ư✉ ✈➭ ❝❤÷ ✈✐Õt t➽t H ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ù❝ X ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝ X∗ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ ❝đ❛ Rn ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞❡ ∅ t❐♣ rỗ X n ề x := y x ợ ị ♥❣❤Ü❛ ❜➺♥❣ y ∀x ✈í✐ ♠ä✐ ∃x tå♥ t➵✐ inf F (x) x∈X x x ✐♥❢✐♠✉♠ ❝ñ❛ t❐♣ {F (x) : x ∈ X} I ➳♥❤ ①➵ ➤➡♥ ✈Þ AT ♠❛ tr❐♥ ❝❤✉②Ĩ♥ ✈Þ ❝đ❛ ♠❛ tr❐♥ a∼b a t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ b A∗ t♦➳♥ tư ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ ❝đ❛ t♦➳♥ tư D(A) ♠✐Ị♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❝đ❛ t♦➳♥ tư R(A) ♠✐Ị♥ ❣✐➳ trÞ ❝đ❛ t♦➳♥ tư xk → x xk x ❞➲② A A A A {xk } ❤é✐ tô ♠➵♥❤ tí✐ x ❞➲② {xk } ❤é✐ tơ ②Õ✉ tí✐ x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✼ ❈❤➢➡♥❣ ✶ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈í✐ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ✶✳✶✳ ❚♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✶✳✶✳✶✳ ❈❤♦ ❚♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ö✉ X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝ ♣❤➯♥ ①➵✱ A : X → X ∗ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ✈í✐ ♠✐Ị♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❧➭ D(A) = X ✈➭ ♠✐Ị♥ ➯♥❤ R(A) ♥➺♠ tr♦♥❣ X ∗ ✳ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ tr♦♥❣ ♠ơ❝ ♥➭② ➤➢ỵ❝ t❤❛♠ ❦❤➯♦ tr♦♥❣ ❝➳❝ t➭✐ ❧✐Ư✉ ❬✸❪✱ ị ĩ tử A ợ ❣ä✐ ❧➭ ✭✐✮ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✭♠♦♥♦t♦♥❡✮ ♥Õ✉ A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A); ✭✶✳✶✮ ✭✐✐✮ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝❤➷t ✭str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡✮ ♥Õ✉ tr♦♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ (1.1) ❞✃✉ ❜➺♥❣ ❝❤Ø ➤➵t ➤➢ỵ❝ ❦❤✐ x = y❀ ✭✐✐✐✮ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ➤Ò✉ ✭✉♥✐❢♦r♠❧② ♠♦♥♦t♦♥❡✮ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ♠ét ❤➭♠ ❦❤➠♥❣ ➞♠ δ(t) ❦❤➠♥❣ ❣✐➯♠ ✈í✐ t ≥ 0, δ(0) = ✈➭ A(x) − A(y), x − y ≥ δ x − y , ∀x, y ∈ D(A); ◆Õ✉ δ(t) = cA t2 ✈í✐ cA ❧➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣ t❤× t♦➳♥ tư A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ ✭str♦♥❣❧② ♠♦♥♦t♦♥❡✮❀ ✭✐✈✮ ❦❤➠♥❣ ❣✐➲♥ ♥Õ✉ A(x) − A(y) ≤ x − y ◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶✳ ◆Õ✉ A ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư t✉②Õ♥ tÝ♥❤ t❤× tÝ♥❤ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ❝đ❛ t♦➳♥ tư✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✽ ❱Ý ❞ơ ✶✳✶ A : RM → RM ➤➢ỵ❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ ❚♦➳♥ tư t✉②Õ♥ tÝ♥❤ A = B T B, ✈í✐ B ❧➭ ♠ét ♠❛ tr❐♥ ✈✉➠♥❣ ❝✃♣ M ✱ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷ ♥Õ✉ ❚♦➳♥ tö ✭❞❡♠✐❝♦♥t✐♥✉♦✉s✮ tr➟♥ X ♥Õ✉ tõ xn → x s✉② r❛ A(xn ) tr➟♥ X A(x) ❦❤✐ n → ∞✳ ❍➭♠ ❤❛✐ ❜✐Õ♥✿ ϕ(x, y) =    xy ♥Õ✉ (x, y) = (0, 0) (x2 + y )  0 ❧➭ ✭❤❡♠✐❝♦♥t✐♥✉♦✉s✮ A(x) ❦❤✐ t → ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ X ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ d✲❧✐➟♥ tơ❝ A(x + ty) ❱Ý ❞ơ ✶✳✷ A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ h✲❧✐➟♥ tơ❝ ♥Õ✉ (x, y) = (0, 0) h✲❧✐➟♥ tơ❝✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✸ ❚♦➳♥ tư A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ t♦➳♥ tư ❜ø❝ ✭❝♦❡r❝✐✈❡✮ ♥Õ✉ lim ||x||→+∞ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✹ A(x), x = +∞, ∀x ∈ X ||x|| ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ X ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❊♣❤✐♠♦✈ ❙t❡❝❤❦✐♥ ✭❤❛② ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❊✲❙✮ ♥Õ✉ ❤é✐ tô ②Õ✉ tô ♠➵♥❤ (xn X ♣❤➯♥ ①➵ ✈➭ tr♦♥❣ X tõ sù x) ✈➭ sù ❤é✐ tô ❝❤✉➮♥ ( xn → x ) ❧✉➠♥ ❦Ð♦ t❤❡♦ sù ❤é✐ ( xn − x → 0)✳ ❱Ý ❞ô ✶✳✸ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❊✲❙✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✺ ❱í✐ ∗ s ≥ 2✱ ➳♥❤ ①➵ J s : X −→ 2X ✭♥ã✐ ❝❤✉♥❣ ❧➭ ➤❛ trị ợ ị ĩ J s (x) = {x ∈ X ∗ : x∗ , x = x∗ x ; x∗ = x ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤➢ỵ❝ ✈✐Õt ❧➭ s−1 }, ✭✶✳✷✮ X ✳ ❑❤✐ s = t❤× J s J ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ t➽❝ ❝đ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ X ✳ ❚Ý♥❤ ➤➡♥ trÞ ❝đ❛ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ t➽❝ ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ tr♦♥❣ ♠Ư♥❤ ➤Ị s❛✉✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✾ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶ X ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ✶✮ J(x) ❧➭ t❐♣ ❧å✐✱ J(λx) = λJ(x), ✈í✐ ♠ä✐ λ > 0❀ ✷✮ J ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤➡♥ trÞ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ➳ ✭①❡♠ ❬✹❪✮ ●✐➯ sư X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤× X∗ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧å✐ ❝❤➷t✳ ❚r♦♥❣ J = I ✲t♦➳♥ tư ➤➡♥ ✈Þ tr♦♥❣ X✳ ♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ✈Ý ❞ơ ✈Ị t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✱ ♥ã tå♥ t➵✐ tr♦♥❣ ♠ä✐ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✶ ✭①❡♠ ❬✹❪✮ ◆Õ✉ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ t➽❝ ♥÷❛✱ ♥Õ✉ X X∗ J : X → X∗ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧å✐ ❝❤➷t t❤× ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✱ ❜ø❝ ✈➭ J ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧å✐ ❝❤➷t t❤× d✲❧✐➟♥ ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ệ t ệ t tử ệ ò ợ ♠➠ t➯ ❞ù❛ tr➟♥ ➤å t❤Þ t♦➳♥ tư tơ❝✳ ❍➡♥ Gr(A) ❝đ❛ A tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ tÝ❝❤ X × X ∗ ✱ tr♦♥❣ ➤ã Gr(A) = {(x, A(x)) : x X} ị ĩ tử A ợ ọ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♥Õ✉ x∗ − y ∗ , x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X, x∗ ∈ A(x), y ∗ ∈ A(y) ❚❐♣ Gr(A) ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♥Õ✉ ♥ã t❤á❛ ♠➲♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥✳ ◆Õ✉ Gr(A) ❦❤➠♥❣ ➤➢ỵ❝ ❝❤ø❛ t❤ù❝ sù tr♦♥❣ ♠ét t❐♣ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♥➭♦ ❦❤➳❝ tr♦♥❣ X × X ∗ t❤× t♦➳♥ tư A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝ù❝ ➤➵✐✳ ❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♥➭② t❛ s✉② r❛ ❦Õt q✉➯ s❛✉ ✭①❡♠ ❬✹❪✮✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✷ ❚♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ö✉ A : X → X∗ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❝ù❝ ➤➵✐ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ tõ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ g − f, y − x0 ≥ 0, ∀(y, g) ∈ Gr(A), s✉② r❛ x0 ∈ D(A) ✈➭ f ∈ A(x0 )✳ ▼ét ✈Ý ❞ơ ➤✐Ĩ♥ ❤×♥❤ ✈Ị t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝ù❝ ➤➵✐ ❧➭ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝đ❛ ♠ét ❤➭♠ ❧å✐✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✼ ❍➭♠ F : X → R ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✶✵ ✭✐✮ ❧å✐ tr➟♥ X ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ X t❛ ❝ã ✭✶✳✸✮ F (tx + (1 − t)y) ≤ tF (x) + (1 − t)F (y), ∀t ∈ [0, 1]; ✭✐✐✮ ❧å✐ ❝❤➷t tr➟♥ X ♥Õ✉ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ ❦❤➠♥❣ ①➯② r❛ ❞✃✉ ❜➺♥❣ ✈í✐ x = y❀ ✭✐✐✐✮ ♥ư❛ ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ tr➟♥ X ♥Õ✉ lim inf F (y) ≥ F (x), ∀x ∈ X; y→x ✭✐✈✮ ♥ư❛ ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ ②Õ✉ tr➟♥ X ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ ❞➲② {xn } : xn x t❤× lim inf F (xn ) ≥ F (x), ∀x ∈ X n→∞ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✽ ❈❤♦ X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝ ♣❤➯♥ ①➵✱ F : X → R ❧➭ ♠ét ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❧å✐✱ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ tr➟♥ X ✳ ❚❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ∂F (x) ❜ë✐ ∂F (x) = x∗ ∈ X ∗ : F (x) − F (y) ≤ x − y, x∗ , ∀y ∈ X , ∀x ∈ X, ✭✶✳✹✮ P❤➬♥ tö x∗ ∈ X ∗ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❞➢í✐ ●r❛❞✐❡♥t ❝đ❛ ❤➭♠ F t➵✐ x ✈➭ ∂F (x) ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝đ❛ F t➵✐ x✳ ✭①❡♠ ❬✹❪✮ ❈❤♦ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✷ X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ ❝đ❛ ♥ư❛ ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ tr➟♥ ❝ù❝ ➤➵✐ tõ X ❚♦➳♥ tư ✈➭♦ ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝ ♣❤➯♥ ①➵✱ X✳ ◆Õ✉ F :X →R X∗ ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣✱ X ✱ t❤× ➳♥❤ ①➵ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ∂F ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ X ∗✳ A ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝ù❝ ➤➵✐ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ♠✐Ị♥ ➯♥❤ ❝đ❛ A + λJ ❧➭ t♦➭♥ ❜é ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ X ∗ ✱ ➤ã ❧➭ ♥é✐ ❞✉♥❣ ❝đ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý s❛✉✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✸ ✭①❡♠ ❬✹❪✮ ❈❤♦ ✈➭ ❧å✐ ❝❤➷t✱ J : X → X∗ X ✈➭ ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ t➽❝ ❝ñ❛ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✳ ❑❤✐ ➤ã ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ X ∗ ❧➭ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝ ♣❤➯♥ ①➵ A X✱ A : X → X∗ ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝ù❝ ➤➵✐ ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø λ > 0✱ R(A + λJ) ❧➭ t♦➭♥ ❜é X ∗ ✳ ➜Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ➤➞② ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ❜✃t ❝ø ♠ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✱ ❝❤➷♥ ♥➭♦ tõ h✲❧✐➟♥ tơ❝ ✈➭ ❜Þ X ✈➭♦ X ∗ ❝ị♥❣ ➤Ị✉ ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝ù❝ ➤➵✐✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✷✾ ✷✳✷✳ ❍✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ✷✳✷✳✶✳ ❙ù ❤é✐ tơ ❚r♦♥❣ ♠ơ❝ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ✭✷✳✶✮ ✈í✐ A : X −→ X ❧➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ❝ã ♠✐Ị♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ D(A) = X ✱ tr♦♥❣ ➤ã X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❝ã tÝ♥❤ ①✃♣ ①Ø✱ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ t➽❝ J : X −→ X ∗ ❧➭ ❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ ✇✲t♦✲✇ tr➟♥ X ✳ ●✐➯ sö ❝➯ t♦➳♥ tö ①✃♣ ①Ø ❜ë✐ A ✈➭ ✈Õ ♣❤➯✐ f ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✷✳✶✮ ➤Ị✉ ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ (Ah , fδ )✱ tr♦♥❣ ➤ã Ah : X −→ X ❧➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ✈í✐ ♠ä✐ h > 0, D(Ah ) = D(A) = X t❤á❛ ♠➲♥✿ ||fδ − f || ≤ δ, ✭✷✳✶✼✮ ||A(x) − Ah (x)|| ≤ g(||x||)h, ∀x ∈ X, ✭✷✳✶✽✮ ✈➭ tr♦♥❣ ➤ã g(t) ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❧✐➟♥ tô❝ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ✈í✐ ♠ä✐ t ≥ ❑❤✐ ➤ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✷✳✶✮ ❝ã ❞➵♥❣ ✭✷✳✶✾✮ Ah (x) + αx = fδ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✷✳✸ ✭①❡♠ ❬✷❪✮ ●✐➯ sö tÝ♥❤ ①✃♣ ①Ø✱ X∗ X ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵ t❤ù❝ ❝ã ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ ❝đ❛ ❧å✐ ❝❤➷t✱ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ t➽❝ tr➟♥ X ✱ Ah ❧➭ t♦➳♥ tö ❛❝❝r❡t✐✈❡✱ X✱ X ✈➭ J : X −→ X ∗ X∗ ❧➭ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧➭ ❧✐➟♥ tơ❝ ✈➭ ✇✲t♦✲✇ h✲❧✐➟♥ tơ❝ ✈í✐ D(Ah ) = X ✳ ❑❤✐ ➤ã ❜➭✐ t♦➳♥ (2.19) ó t ệ ỗ h > > ✈➭ α > 0✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿❱× Ah ❧➭ t♦➳♥ tö ❛❝❝r❡t✐✈❡✱ ♥➟♥ t❛ ❝ã✿ J(x), Ah (x) + αx = Jx, Ah (x) − Ah (θX ) + Ah (θX ) + αx = J(x − θX ), Ah (x) − Ah (θX ) ✭✷✳✷✵✮ + J(x), Ah (θX ) + J(x), αx ≥ −||x||.||Ah (θX )|| + α||x||2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✸✵ ❚õ ✭✷✳✷✵✮ s✉② r❛ t♦➳♥ tö T = Ah + αI ❝ị♥❣ ❧➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ✈➭ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❜ø❝✳ ❑❤✐ ➤ã t❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✾ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✷✳✶✾✮ ❝ã ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ xτα , τ = (δ, h) ✈í✐ ♠ä✐ α > 0✳ ▼➷t ❦❤➳❝ ❝ị♥❣ tõ ✭✷✳✷✵✮ t❛ s✉② r❛ Ah + αI ❧➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ♠➵♥❤✱ ♥➟♥ t❤❡♦ ❈❤ó ý ✶✳✷ s✉② r❛ ♥❣❤✐Ö♠ xτα ❧➭ ❞✉② ♥❤✃t✱ ✈➭ Ah (xτα ) + αxτα = fδ ✭✷✳✷✶✮ ❙ù ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✷✳✶✮ ✈í✐ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ợ ị ý s ị í ✷✳✹ ①Ø✱ X∗ ●✐➯ sö X ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵ t❤ù❝ ❝ã tÝ♥❤ ①✃♣ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ ❝đ❛ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ t➽❝ X✱ X ✈➭ X∗ ❧➭ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧å✐ ❝❤➷t✱ J : X −→ X ∗ ❧➭ ❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ ✇✲t♦✲✇ tr➟♥ X ✱ A ✈➭ D(A) = D(Ah ) = X ✱ f, fδ ∈ X δ+h → ✈➭ α → t❤× ♥❣❤✐Ư♠ xτα t❤á❛ ♠➲♥ (2.17)✱ (2.18)✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ♥Õ✉ α ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ (2.19) ❤é✐ tơ ♠➵♥❤ ➤Õ♥ ♥❣❤✐Ư♠ x0 ∈ S0 ✱ ✈í✐ x0 Ah ❧➭ ❝➳❝ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡✱ h✲❧✐➟♥ tơ❝ ✈í✐ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❞✉② ♥❤✃t ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ (2.1) t❤á❛ ♠➲♥✿ J(x0 − x0 ), x0 ≤ 0, ∀x0 ∈ S0 ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ➜➬✉ t✐➟♥ t❛ ❝❤Ø r❛ ♣❤➬♥ tö ❚❤❐t ✈❐②✱ ❣✐➯ sö tå♥ t➵✐ x0 t❤á❛ ♠➲♥ ✭✷✳✷✷✮ ❧➭ ❞✉② ♥❤✃t✳ x00 , x0 = x00 ✈➭ J(x00 − x0 ), x00 ≤ 0, ∀x0 ∈ S0 ❚r♦♥❣ ✭✷✳✷✷✮ ❝❤ä♥ ✭✷✳✷✸✮ x00 = x0 t❛ ➤➢ỵ❝ ✭✷✳✷✹✮ J(x0 − x00 ), x0 ≤ ❚r♦♥❣ ✭✷✳✷✸✮ ❝❤ä♥ ✭✷✳✷✷✮ x0 = x0 t❛ ➤➢ỵ❝ ✭✷✳✷✺✮ J(x00 − x0 ), x00 ≤ ❈é♥❣ ❤❛✐ ✈Õ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✭✷✳✷✹✮ ✈➭ ✭✷✳✷✺✮ t❛ ➤➢ỵ❝✿ ≥ J(x0 − x00 ), x0 − x00 = ||x0 − x00 ||2 ⇒ ||x0 − x00 || = ⇔ x0 = x00 ❱❐② x0 t❤á❛ ♠➲♥ ✭✷✳✷✷✮ ❧➭ ❞✉② ♥❤✃t✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✸✶ ❇➞② ❣✐ê ❧✃② tï② ý x0 ∈ S0 ❚õ ✭✷✳✶✮ ✈➭ ✭✷✳✷✶✮ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ J(xτα − x0 ), Ah (xτα ) − A(x0 ) + α J(xτα − x0 ), xτα − x0 = J(xτα − x0 ), f δ − αxτα − f + α J(xτα − x0 ), xτα − x0 ✭✷✳✷✻✮ = J(xτα − x0 ), f δ − f − α J(xτα − x0 ), x0 ❙ư ❞ơ♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❛❝❝r❡t✐✈❡ ❝ñ❛ Ah ✈➭ ✭✷✳✶✼✮✱ ✭✷✳✶✽✮ t❛ ❝ã✿ J(xτα − x0 ), Ah (xτα ) − A(x0 ) + α J(xτα − x0 ), xτα − x0 = J(xτα − x0 ), Ah (xτα ) − Ah (x0 ) + J(xτα − x0 ), Ah (x0 ) − A(x0 ) + α J(xτα − x0 ), xτα − x0 ≥ α xτα − x0 − xτα − x0 g( x0 )h, ✭✷✳✷✼✮ ✈➭ J(xτα − x0 ), f δ − f − α J(xτα − x0 ), x0 ≤ δ xτα − x0 + α xτα − x0 ✭✷✳✷✽✮ x0 ❑Õt ❤ỵ♣ ✭✷✳✷✻✮✱ ✭✷✳✷✼✮ ✈➭ ✭✷✳✷✽✮ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ α xτα − x0 − hg( x0 ) xτα − x0 ≤ δ xτα − x0 + α xτα − x0 ❈❤✐❛ ❝➯ ❤❛✐ ✈Õ ❝ñ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ ❝❤♦ xτα − x0 ≤ x0 , ∀α > α xτα − x0 t❛ ➤➢ỵ❝ h δ + g( x0 ) + x0 , ∀α > 0, α α ❤❛② xτα ≤ ❚õ ✭✷✳✷✾✮ t❛ s✉② r❛ ❞➲② δ h + g( x0 ) + x0 α α ✭✷✳✷✾✮ {xτα } ❜Þ ❝❤➷♥ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵ X ✳ {xτα } ❤é✐ tô ②Õ✉ ➤Õ♥ ♠ét ♣❤➬♥ tư x ❝đ❛ h+δ X ✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐➯♠ tỉ♥❣ q✉➳t t❛ ❝ã t❤Ĩ ❝♦✐ {xτα } x ❦❤✐ α → 0, → α ❉♦ ➤ã tå♥ t➵✐ ♠ét ❞➲② ❝♦♥ ❝đ❛ ❞➲② Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✸✷ ❙ư ❞ơ♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❛❝❝r❡t✐✈❡ ❝đ❛ t♦➳♥ tư Ah ✈í✐ ♠ä✐ h > 0✱ tõ ✭✷✳✷✶✮ t❛ ❝ã J(x − xτα ), Ah (x) − Ah (xτα ) = J(x − xτα ), Ah (x) + αxτα − fδ ≥ 0, ∀x ∈ X ❱× ✭✷✳✸✵✮ J ❧➭ t♦➳♥ tư ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ✇✲t♦✲✇✱ ♥➟♥ tr♦♥❣ ✭✷✳✸✵✮ ❝❤♦ α → t❛ ➤➢ỵ❝ x − x, A(x) − f ≥ 0, ∀x ∈ X ▼➷t ❦❤➳❝ t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt ♥➟♥ ✭✷✳✸✶✮ A ❧➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡✱ h✲❧✐➟♥ tơ❝ ✈í✐ D(A) = X ✱ A ❧➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ❝ù❝ ➤➵✐ ✭➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✽✮✳ ❑❤✐ ➤ã tõ ✭✷✳✸✶✮ t❛ s✉② r❛ f = A(x) ❤❛② x ∈ S0 ❚õ ✭✷✳✷✻✮ ✈í✐ x0 = x, t❛ ❝ã J(xτα − x0 ), Ah (xτα ) − A(x0 ) + α J(xτα − x0 ), xτα − x0 = J(xτα − x), Ah (xτα ) − A(x) + α J(xτα − x), xτα − x ≥ −g( x )h xτα − x + α xτα − x ✈➭ J(xτα − x0 ), fδ − f − α J(xτα − x0 ), x0 = J(xτα − x), fδ − αxτα − f + α J(xτα − x), xτα − x ≤ δ xτα − x − α J(xτα − x), x ❚õ ➤ã s✉② r❛ xτα − x ≤ δ τ h xα − x + g( x ) xτα − x − J(xτα − x), x ✭✷✳✸✷✮ α α {xτα } ❜Þ ❝❤➷♥ ✈➭ ❤é✐ tơ ②Õ✉ ✈Ị x ∈ S0 ❚õ ✭✷✳✸✷✮ t❛ ❝ò♥❣ s✉② r❛ h+δ {xτα } ❤é✐ tơ t❤❡♦ ❝❤✉➮♥ ✈Ị x ❦❤✐ α → 0, → 0✳ ❱❐② {xτα } ❤é✐ tô ♠➵♥❤ α h+δ ✈Ò x ❦❤✐ α → 0, → ▼➷t ❦❤➳❝ tõ ✭✷✳✷✻✮ t❛ ❝ã α ❙✉② r❛ ❞➲② J(xτα − x0 ), Ah (xτα ) − A(x0 ) + α J(xτα − x0 ), xτα = J(xτα − x0 ), fδ − f ⇔ −g( x0 )h xτα − x0 + α J(xτα − x0 ), xτα ≤ δ xτα − x0 ⇔ J(xτα − x0 ), xτα ≤ δ h + g( x0 ) α α Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên xτα − x0 , ∀x0 ∈ S0 http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✸✸ ❈❤♦ h+δ → t❛ ➤➢ỵ❝ α α → 0, J(x − x0 ), x ≤ 0, ∀x0 ∈ S0 ➜✐Ò✉ ➤ã ❝ã ♥❣❤Ü❛ ❧➭ h+δ → α 0, ✷✳✷✳✷✳ x = x0 ✳ ❱❐② ❞➲② {xτα } ❤é✐ tô ♠➵♥❤ ➤Õ♥ x0 ❦❤✐ α → ✷ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❚r♦♥❣ ♠ơ❝ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ t♦➳♥ tư A ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ≡ Ah ✈➭ ♣❤➬♥ tö x∗ ❧➭ ♣❤➬♥ tö ❦❤➠♥❣ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ X ✳ ❑❤✐ ➤ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝ã ❞➵♥❣✿ A(x) + α(x − x∗ ) = fδ , fδ − f ≤ δ → 0, ë ➤➞② ✭✷✳✸✸✮ α > ❧➭ t❤❛♠ sè ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✈➭ t♦➳♥ tư A t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥✿ A(y) − A(x0 ) − QA (x0 )∗ J(y − x0 ) ≤ τ y − x0 A (x0 )∗ J(y − x0 ) , ✭✷✳✸✹✮ ✈í✐ ∀y ∈ S(x0 , r)✲❤×♥❤ ❝➬✉ t➞♠ x0 ❜➳♥ ❦Ý♥❤ r = x0 − x∗ + ε, ε > ❚r♦♥❣ ➤ã τ > ❧➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè ✈➭ Q ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ ❝đ❛ X ∗ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✷✳✺ ✐✮ ✭①❡♠ ❬✻❪✮ ●✐➯ sư ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉ ➤➢ỵ❝ t❤á❛ ♠➲♥✿ A ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t ✈í✐ A ✐✐✮ tå♥ t➵✐ ♠ét ♣❤➬♥ tư t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ z∈X (2.34)✱ ✈➭ s❛♦ ❝❤♦ A (x0 )z = x∗ − x0 ❑❤✐ ➤ã✱ ♥Õ✉ α ➤➢ỵ❝ ❝❤ä♥ s❛♦ ❝❤♦ α ∼ δ θ ✱ < θ < 1, ✈➭ tå♥ t➵✐ ♠ét ❤➺♥❣ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ δ1 ✈í✐ τ ( x0 − x∗ + δ11−θ ) < t❤× θ xδα(δ) − x0 = O(δ µ ), µ = min{1 − θ, } Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✸✹ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝đ❛ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❛❝❝r❡t✐✈❡ ❝đ❛ t♦➳♥ tư xδα − x0 J ✱ ✭✷✳✶✮✱ ✭✷✳✸✸✮✱ A ✈➭ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ii) ❝đ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý t❛ ❝ã✿ δ δ xα − x0 + x∗ − x0 , J(xδα − x0 ) α δ δ xα − x0 + z, A (x0 )∗ J(xδα − x0 ) ≤ α ≤ ✭✷✳✸✺✮ ▼➷t ❦❤➳❝✱ z, A (x0 )∗ J(xδα − x0 ) ≤ z ✈➭ tõ A (x0 )∗ J(xδα − x0 ) , (2.1), (2.33), tÝ♥❤ ❝❤✃t ❛❝❝r❡t✐✈❡ ❝ñ❛ t♦➳♥ tư A ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ J t❛ ➤➢ỵ❝ δ α + c1 δ 1−θ xδα − x0 ≤ x∗ − x0 + ≤ x∗ − x0 ≤ x∗ − x0 + δ11−θ , c1 > 0, ✈í✐ δ ➤đ ♥❤á✳ ❙ư ❞ơ♥❣ (2.34) t❛ s✉② r❛ A (x0 )∗ J(xδα − x0 ) = QA (x0 )∗ J(xδα − x0 ) ≤ A(xδα ) − f + τ xδα − x0 QA (x0 )∗ J(xδα − x0 ) ≤ A(xδα ) − f δ + δ + τ xδα − x0 QA (x0 )∗ J(xδα − x0 ) ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ A (x0 )∗ J(xδα − x0 ) ≤ (α xδα − x∗ + δ) 1−θ − τ ( x0 − x∗ + δ1 ) ✭✷✳✸✻✮ ❙✉② r❛✱ tõ (2.35)✱ sù ❜Þ ❝❤➷♥ ❝đ❛ xδα ❦❤✐ α, δ θ > δ ❦❤✐ δ < t❛ s✉② r❛ xδα − x0 δ → 0✱ tõ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ α ∼ δ θ ✈➭ α ≤ c1 δ 1−θ xδα − x0 + c2 δ θ , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Toán tử loại đơn điệu ✸✺ tr♦♥❣ ➤ã ci ❧➭ ❝➳❝ ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣✳ ❙ư ❞ơ♥❣ ❤Ư t❤ø❝ a, b, c ≥ 0, p > q, ap ≤ baq + c ⇒ ap = O(bp/(p−q) + c) t❛ t❤✉ ợ x x0 = O( ), = , , ị ý ợ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✷ ❈❤ó ý ✷✳✶✳ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ x0 − x∗ + δ 1−θ < ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❝➬♥ t❤✐Õt ♥Õ✉ ➤✐Ị✉ τ ❦✐Ư♥ ✭✷✳✸✹✮ ➤➢ỵ❝ t❤❛② ❜ë✐ A(y) − A(x) − QA (x0 )∗ J(y − x0 ) ≤ τ A(y) − A(x0 ) , ∀y ∈ X ✭✷✳✸✼✮ ❚❤❐t ✈❐②✱ tr♦♥❣ ♣❤➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤Þ♥❤ ❧ý✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✭✷✳✸✻✮ ➤➢ỵ❝ t❤❛② ❜ë✐ A (x0 )∗ J(y − x0 ) = QA (x0 )∗ J(y − x0 ) ≤ A(xδα ) − f + A(xδα ) − A(x0 ) − QA (x0 )∗ J(xδα − x0 ) ≤ (τ + 1) A(xδα ) − fδ + δ ≤ (τ + 1) α xδα − x∗ + δ ❈❤ó ý ✷✳✷✳ ◆Õ✉ t❤➟♠ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✭✷✳✶✮ ❝❤Ø ❝ã ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ ✇✲t♦✲✇✱ t❤× ❞➲② ♥❣❤✐Ư♠ x0 ✈➭ J ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t xδα ❤é✐ tô ♠➵♥❤ ➤Õ♥ x0 ❦❤✐ α✱ δ/α → 0✳ ❑❤✐ ➤ã t❤❛② ❝❤♦ ✭✷✳✸✻✮ t❛ ❝ã A (x0 )∗ J(y − x0 ) ≤ a α xδα − x∗ + δ , ❜ë✐ ✈× ✷✳✷✳✸✳ τ xδα − x∗ ≤ 1/2 ✈í✐ α, δ ➤đ ❜Ð✳ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉ ❚r♦♥❣ ♠ơ❝ ♥➭②✱ t❛ ①✃♣ ①Ø ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉ ✭✷✳✶✾✮ ❜ë✐ An (x) + α(x − xn∗ ) = fδn , x ∈ Xn , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✭✷✳✸✽✮ http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✸✻ ë ➤➞②✱ fδn = Pn fδ ✱ xn∗ = Pn x∗ ✱ An = Pn APn ✱ Pn ❧➭ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ X ❧➟♥ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉ Xn ❝ñ❛ X ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t X1 ⊂ X2 ⊂ ⊂ Xn ⊂ ⊂ X ✱ Pn x → x✱ ∀x ∈ X ✳ ●✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣ Pn ị ề tr X ì A t tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ♥➟♥ An ❝ị♥❣ ❧➭ t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡✳ ❉♦ ✈❐② sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ xδα,n ❝đ❛ ✭✷✳✸✽✮ ✈➭ sù ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ xδα,n ➤Õ♥ ♥❣❤✐Ư♠ xδα ❝đ❛ ✭✷✳✶✾✮ ỗ > ợ ứ t tự ♣❤➬♥ tr➟♥✳ ◆❣✉②Ô♥ ❇➢ê♥❣ ❬✻❪ ➤➲ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ♥Õ✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ò✉ α, δ → ✈➭ n → ∞ tì ệ ệ ỉ ữ x,n ộ tụ ♠➵♥❤ ➤Õ♥ ♥❣❤✐Ư♠ x0 ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✷✳✶✮✳ ➜➷t γn (x) = (Pn − I)x , x ∈ X, γn = max γn (x0 ), γn (f ) ●✐➯ sư ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ J t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ö♥ J(x) − J(y) ≤ C(R) y − x ν , < ν ≤ 1, ë ➤➞② ✭✷✳✸✾✮ Cν(R)✱ R > ❧➭ ❤➭♠ t➝♥❣ tr➟♥ R = max{ x , y }✳ ❇➞② ❣✐ê t❛ sÏ tr×♥❤ ❜➭② ❦Õt q✉➯ ✈Ị tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ỉ ữ ề ị í ✐✐✮ ●✐➯ sư ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉ ➤➢ỵ❝ t❤á❛ ♠➲♥✿ A ❧✐➟♥ tơ❝✱ ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t ✈í✐ A A(Xn ) ➤➢ỵ❝ ❝❤ø❛ tr♦♥❣ Xn ✐✐✐✮ tå♥ t➵✐ ♠ét ♣❤➬♥ tư z∈X ✈í✐ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ (2.37)✱ n ➤đ ❧í♥✱ s❛♦ ❝❤♦ A (x0 )z = x∗ − x0 , ✐✈✮ t❤❛♠ sè α ➤➢ỵ❝ ❝❤ä♥ t❤á❛ ♠➲♥ α ∼ (δ + γn )θ1 ✱ < θ1 < 1✳ ❑❤✐ ➤ã✱ xδα,n − x0 = O((δ + γn )µ1 ) + γnν/2 , µ1 = − θ1 , ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿➜➷t θ1 xn0 = Pn x0 ✳ ❚õ ✭✷✳✸✽✮✱ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❛❝❝r❡t✐✈❡ ❝đ❛ t♦➳♥ tư An ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t J n (x) = J(x) ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ Xn ✱ ë ➤➞② J n = Pn∗ JPn ❧➭ ➳♥❤ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✸✼ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ ❝ñ❛ xδα,n − xn0 Xn ✱ Pn∗ ❧➭ t♦➳♥ tö ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ ❝đ❛ Pn ✱ t❛ s✉② r❛ = xδα,n − xn0 , J n (xδα,n − xn0 ) = fδn − An (xδα,n ), J n (xδα,n − xn0 ) + xn∗ − xn0 , J n (xδα,n − xn0 ) α ≤ fδn − An (xn0 ), J n (xδα,n − xn0 ) + xn∗ − xn0 , J n (xδα,n − xn0 ) α ≤ Pn∗ (fδ − f + A(x0 ) − A(xn0 )), J n (xδα,n − xn0 ) α + x∗ − x0 , J(xδα,n − xn0 ) ✭✷✳✹✵✮ ❚õ ✭✷✳✹✵✮ s✉② r❛ ❞➲② s❛♦ ❝❤♦ {xδα,n } ❜Þ ❝❤➷♥✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ tå♥ t➵✐ ♠ét ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣ M xδα,n − xn0 ≤ M ✳ ❚õ ✭✷✳✸✼✮ ✈➭ xn0 → x0 ❦❤✐ n → ∞ t❛ ❝ã A(xn0 ) − A(x0 ) ≤ A (x0 + βn βxn0 ) γn (x0 ), < βn < 1, ✈➭ A (x0 + βn xn0 ) ≤ C0 ✱ ✈í✐ C0 ❧➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣✱ ✈× A ❧➭ t♦➳♥ tư ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ t➵✐ x0 ✳ ❉♦ ➤ã tõ ✭✷✳✹✵✮ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ xδα,n − xn0 ≤ δ + C0 γn (x0 ) δ xα,n − xn0 + x∗ − x0 , J(xδα,n − xn0 ) α ✭✷✳✹✶✮ ❚õ ✭✷✳✸✾✮ ✈➭ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✐✐✐✮ ❝đ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý s✉② r❛ x∗ − x0 , J(xδα,n − xn0 ) = z, A (x0 )∗ (J(xδα,n − xn0 ) − J(xδα,n − x0 )) + z, A (x0 )∗ J(xδα,n − x0 ) ˜ z (γn (x0 ))ν + z ≤ C0 C(R) ë ➤➞② A (x0 )∗ J(xδα,n − x0 ) , ˜ ❧➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣✱ R ˜ > R + γn (x0 )✳ R ▼➷t ❦❤➳❝✱ A (x0 )∗ J(xδα,n − x0 ) ≤ (τ + 1) A(xδα,n ) − A(x0 ) ≤ (τ + 1) An (xδα,n ) − f n + cγn (f ) ≤ (τ + 1) α xδα,n − xn∗ + c(δ + γn (f )) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✸✽ ✈í✐ n ➤đ ❧í♥✳ ❱× ✈❐② tõ ✭✷✳✹✶✮ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ xδα,n − xn0 ≤ C1 (δ + γn )1−θ1 xδα,n − xn0 + C2 (δ + γn )θ1 + γnν , Ci > 0, i = 1, ❙✉② r❛ xδα,n − xn0 = O(( + n )à1 + n/2 ) ì x,n − x0 = O((δ + γn )µ1 + γnν/2 ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✸✾ ✷✳✸✳ ❱Ý ❞ơ ❚r♦♥❣ ♠ơ❝ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét ❦Õt q✉➯ sè ➳♣ ❞ơ♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ➤Ĩ ①✃♣ ①Ø ♥❣❤✐Ư♠ ❝❤♦ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ Rn ✳ ❳Ðt ❜➭✐ t♦➳♥ t×♠ ♣❤➬♥ tư x0 ∈ Rn s❛♦ ❝❤♦ ✭✷✳✹✷✮ A(x0 ) = f0 , ë ➤➞② A ❧➭ ♠ét ♠❛ tr❐♥ ✈✉➠♥❣ ❝✃♣ n✱ ➤è✐ ①ø♥❣✱ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ✈➭ ❝ã ➤Þ♥❤ t❤ø❝ ❜➺♥❣ ✵✱ f0 ✈➭ = θ ∈ Rn ✳ ❑❤✐ ➤ã ✭✷✳✹✷✮ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✱ x0 = ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ã ❝❤✉➮♥ ♥❤á ♥❤✃t ❝đ❛ ✭✷✳✹✷✮✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝đ❛ ✭✷✳✹✷✮ ❝ã ❞➵♥❣✿ ✭✷✳✹✸✮ Ah (x) + αx = fδ ❈ơ t❤Ĩ✱ ✈í✐ M = 5✱ ♠❛ tr❐♥ A ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ ❜ë✐ A = B T B ✈í✐     −2 11 8     B =  1    5   −1 ❳✃♣ ①Ø ✈Õ ♣❤➯✐ T f0 = 0 0 ∈ R5 ❜ë✐ fδ = 10−4 10−4 10−4 10−4 10−4 ✈➭ ①✃♣ ①Ø T ∈ R5 A ❜ë✐ Ah = A + hI, h = 10−4 ✭I ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ➤➡♥ ✈Þ ❝✃♣ ✺✮✳ ❙❛✉ ➤➞② ❧➭ ❦Õt q✉➯ tÝ♥❤ t♦➳♥ ♥❣❤✐Ö♠ ①✃♣ ①Ø xδα ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❧➷♣ tr♦♥❣ ❬✶✵❪ ✈í✐ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❞õ♥❣ ❝đ❛ ❞➲② ❧➷♣ ❧➭ (m+1) max1≤j≤5 |xj (m) − xj | ≤ ε✱ ε ❧➭ s❛✐ sè ❝❤♦ tr➢í❝✳ • ❱í✐ t❤❛♠ sè δ = 0.0001✱ ♥❣❤✐Ö♠ ①✃♣ ①Ø ❧➭✿ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✹✵ ✈í✐ ①1 ✵✳✵✵✵✺✽✶✼✾ ①2 ✲✵✳✵✵✵✶✶✹✸✹ ①3 ✵✳✵✵✵✶✵✾✾✶ ①4 ✵✳✵✵✵✺✽✶✼✾ ①5 ✼✳✷✹✼✼×10−5 126 ❧➬♥ ❧➷♣✱ s❛✐ sè ε = 9.7737 × 10−6 ✳ • ❱í✐ t❤❛♠ sè δ = 0.00001✱ ♥❣❤✐Ư♠ ①✃♣ ①Ø ❧➭✿ ✈í✐ ①1 ✵✳✵✵✵✸✼✷✶✶ ①2 ✲✵✳✵✵✵✷✺✽✶✾ ①3 ✲✼✳✵✸✸✷×10−5 ①4 ✵✳✵✵✵✸✼✷✶✶ ①5 ✲✾✳✼✸✼✹×10−5 127 ❧➬♥ ❧➷♣✱ s❛✐ sè ε = 9.7399 × 10−6 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✹✶ ❑Õt ❧✉❐♥ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➲ tr×♥❤ ❜➭② ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ✈í✐ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ t♦➳♥ tử rt trì ị ý ề ộ tơ ✈➭ ➤➳♥❤ ❣✐➳ tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵ t❤ù❝ ✈➠ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉ ✈➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ①✃♣ ①Ø ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉✳ P❤➬♥ ❝✉è✐ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢❛ r❛ ♠ét ✈Ý ❞ơ ♠✐♥❤ ❤ä❛✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✹✷ ❚➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬✶❪ ❨❛✳ ■✳ ❆❧❜❡r ✭✶✾✼✺✮✱ ✬✬❖♥ s♦❧✈✐♥❣ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ ♠♦♥♦t♦♥❡ ♦♣❡r❛t♦rs ✐♥ ❇❛♥❛❝❤ s♣❛❝❡✬✬✱ ❙✐❜✐r✐❛♥ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝s ❏♦✉r♥❛❧✱ ✱ ✸✲✶✶✳ ✷✻ ❬✷❪ ❨❛✳ ■✳ ❆❧❜❡r ✭✶✾✼✼✮✱ ✧❚❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❜② t❤❡ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞ ♦❢ ♦♣✲ ❡r❛t♦r ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❢✐rst ❦✐♥❞ ✇✐t❤ ❛❝❝r❡t✐✈❡ ♦♣❡r❛t♦rs✧✱ ❉✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❊q✉❛t✐♦♥s✱ ✱ ✶✸✵✵✲✶✸✵✸✳ ✶✸ ❬✸❪ ❨❛✳ ■✳ ❆❧❜❡r ❛♥❞ ■✳ ❘②❛③❛♥ts❡✈❛ ✭✷✵✵✻✮✱ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ✐❧❧✲♣♦s❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s ♦❢ ♠♦♥♦t♦♥❡ t②♣❡✱ ❙♣r✐♥❣❡r✱ ❇❡r❧✐♥✳ ❬✹❪ ❱✳ ❇❛r❜✉ ✭✶✾✼✻✮✱ ◆♦♥❧✐♥❡❛r s❡♠✐❣r♦✉♣s ❛♥❞ ❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ❇❛♥❛❝❤ s♣❛❝❡s✱ ❊❞✐t✉r❛ ❆❝❛❞❡♠✐❡✐✱ ❘♦♠❛♥✐❛✳ ❬✺❪ ◆❣✳ ❇✉♦♥❣ ✭✷✵✵✺✮✱ ✬✬❖♥ ♠♦♥♦t♦♥❡ ✐❧❧✲♣♦s❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s✬✬✱ ❆❝t❛ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛ ❙✐♥✐❝❛✱ ✷✶ ✭✺✮✱ ✶✵✵✶✲✶✵✵✹✳ ❬✻❪ ◆❣✳ ❇✉♦♥❣ ✭✷✵✵✻✮✱ ✬✬❖♥ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ✐❧❧✲♣♦s❡❞ ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ ❛❝❝r❡t✐✈❡ ♦♣❡r❛t♦rs✬✬✱ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❛♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ✭✶✮✱ ✶✲✶✵✳ ✶✶ ❬✼❪ ■✳ ❊❦❡❧❛♥❞ ❛♥❞ ❘✳ ❚❡♠❛♠ ✭✶✾✼✻✮✱ ❈♦♥✈❡① ❛♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜✲ ❧❡♠s✱ ❆♠st❡❞❛♠✿ ◆♦rt❤ ❍♦❧❧❛♥❞✳ ❬✽❪ ❏✳ ❍❛❞❛♠❛r❞ ✭✶✾✸✷✮✱ ✧▲❡ ♣r♦❜Ð♠❡ ❞❡ ❈❛✉s❤② ❡t ❧❡s ❡sq✉❛t✐♦♥s ❛✉① ❞Ðr✐✈Ð❡s ♣❛rt✐❡❧❧❡s ❧✐♥Ð❛✐r❡s ❤②♣❡r♣♦❧✐q✉❡s✧✱ ❍❡r♠❛♥♥✱ P❛r✐s✳ ❬✾❪ ❆✳ ◆✳ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ✭✶✾✻✸✮✱ ✬✬❖♥ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✐❧❧✲♣♦s❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s ❛♥❞ t❤❡ ♠❡t❤♦❞ ♦❢ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥✬✬ ❉♦❦❧✳ ❆❦❛❞✳ ◆❛✉❦ ❙❙❙❆✱ ✱ ✺✵✶✲✺✵✹ ✭❘✉s✲ ✶✺✶ s✐❛♥✮✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✹✸ ❬✶✵❪ ◆❣✳ ❚✳ ❚✳ ❚❤✉② ✭✷✵✶✵✮✱ ✧❆♥ ✐t❡r❛t✐✈❡ ♠❡t❤♦❞ t♦ ❛ ❝♦♠♠♦♥ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✐♥✈❡rs❡✲str♦♥❣❧② ♣r♦❜❧❡♠s ✐♥ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡s✧✱ ❆❞✈❛♥❝❡s ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❙✐❡♥❝❡s✱ ✶✻✺✲✶✼✹✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Tốn tử loại đơn điệu ✺ tr♦♥❣ ➤ã Ah : X −→ X ❝ị♥❣ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ❛❝❝r❡t✐✈❡ ✈í✐ D(Ah ) = D(A)✳ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥❤➺♠ tr×♥❤ ❜➭② ổ ị trì t tử ✈í✐ t♦➳♥ tư... xτα Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Toán tử loại đơn điệu ✷✻ ❉♦ A ✈➭ Ah ❧➭ ❝➳❝ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♥➟♥ tõ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✭✷✳✶✵✮ t❛ ♥❤❐♥... θ , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Toán tử loại đơn điệu ✸✺ tr♦♥❣ ➤ã ci ❧➭ ❝➳❝ ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣✳ ❙ư ❞ơ♥❣ ❤Ư t❤ø❝ a, b, c ≥ 0, p > q, ap

Ngày đăng: 26/03/2021, 08:15

Nguồn tham khảo

Tài liệu tham khảo Loại Chi tiết
[1] Ya. I. Alber (1975), ''On solving nonlinear equations involving monotone operators in Banach space'', Sibirian mathematics Journal, 26, 3-11 Sách, tạp chí
Tiêu đề: On solving nonlinear equations involving monotone operators in Banach space
Tác giả: Ya. I. Alber
Nhà XB: Sibirian mathematics Journal
Năm: 1975
[2] Ya. I. Alber (1977), "The solution by the regularization method of op- erator equations of the first kind with accretive operators", Differential Equations, 13, 1300-1303 Sách, tạp chí
Tiêu đề: The solution by the regularization method of op-erator equations of the first kind with accretive operators
Tác giả: Ya. I. Alber
Năm: 1977
[6] Ng. Buong (2006), ''On nonlinear ill-posed equations involving accretive operators'', Nonlinear functional analysis and applications, 11(1), 1-10 Sách, tạp chí
Tiêu đề: On nonlinear ill-posed equations involving accretive operators
Tác giả: Ng. Buong
Nhà XB: Nonlinear functional analysis and applications
Năm: 2006
[7] I. Ekeland and R. Temam (1976), Convex analysis and Variational prob- lems, Amstedam: North Holland Sách, tạp chí
Tiêu đề: Convex analysis and Variational prob- lems
Tác giả: I. Ekeland, R. Temam
Nhà XB: North Holland
Năm: 1976
[8] J. Hadamard (1932), "Le probÐme de Caushy et les esquations aux dÐrivÐes partielles linÐaires hyperpoliques", Hermann, Paris Sách, tạp chí
Tiêu đề: Le probÐme de Caushy et les esquations aux dÐrivÐes partielles linÐaires hyperpoliques
Tác giả: J. Hadamard
Nhà XB: Hermann
Năm: 1932
[9] A. N. Tikhonov (1963), ''On the solution of ill-posed problems and the method of regularization'' Dokl. Akad. Nauk SSSA, 151, 501-504 (Rus- sian) Sách, tạp chí
Tiêu đề: On the solution of ill-posed problems and the method of regularization
Tác giả: A. N. Tikhonov
Nhà XB: Dokl. Akad. Nauk SSSA
Năm: 1963
[3] Ya. I. Alber and I. Ryazantseva (2006), Nonlinear ill-posed problems of monotone type, Springer, Berlin Khác
[4] V. Barbu (1976), Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces, Editura Academiei, Romania Khác
[5] Ng. Buong (2005), ''On monotone ill-posed problems'', Acta Mathematica Sinica, 21 (5), 1001-1004 Khác

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN