ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ VĂN LỢI TIẾP CẬN LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP THEO QUAN ĐIỂM TRIẾT HỌC DUY VẬT BIỆN CHỨNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS.TRỊNH THANH HẢI Thái Nguyên - Năm 2013 Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Dưới hướng dẫn PGS TS Trịnh Thanh Hải Tôi xin cam đoan kết trình bày luận văn làm không chép luận văn cơng bố trước Tác giả Lê Văn Lợi Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Lí chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Giới hạn nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Cấu trúc luận văn 4 4 MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁI CHUNG VÀ CÁI RIÊNG TRONG GIẢI TOÁN 1.1 Tổng quan mối quan hệ chung riêng giải toán 1.2 Một số ví dụ minh họa 1.2.1 Tìm hướng giải tốn cách xét trường hợp riêng 1.2.2 Xem xét toán góc độ riêng nhiều chung khác 13 MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA MỐI LIÊN HỆ GIỮA LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN TRONG GIẢI TOÁN 25 2.1 Mối quan hệ lý luận thực tiễn 25 2.2 Một số ví dụ minh họa mối liên hệ lý luận thực tiễn 26 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU 0.1 Lí chọn đề tài Trong lịch sử hình thành phát triển xã hội loài người, triết học coi khoa học hình thành sớm Triết học công cụ, phương pháp luận để lồi người nhìn nhận, khám phá giới Triết học vật, đặc biệt triết học vật biện chứng (DVBC) phương pháp luận quan trọng để loài người khám phá giới tự nhiên cải tạo xã hội Trong trình hình thành phát triển lĩnh vực khoa học, triết học nói chung triết học DVBC nói riêng có mối quan hệ biện chứng sâu sắc với toán học Triết học DVBC phương pháp luận để nghiên cứu toán học, ngược lại phát triển toán học thúc đẩy phát triển triết học DVBC Hiện vận dụng quan điểm triết học DVBC vào mơn tốn việc phát triển tư biện chứng cho học sinh học tập mơn tốn đề tài nhiều nhà toán học nhà triết học quan tâm nghiên cứu Tiêu biểu số có sách Nguyễn Cảnh Toàn (1992), Tập cho học sinh giỏi toán làm quen dần với nghiên cứu toán học, Nhà xuất Giáo Dục; Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Phương pháp luận vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học, Tập 1, 2, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội; Cao Thị Hà (2007), Phát triển tư biện chứng cho học sinh dạy học toán, (Tài liệu dành cho học viên cao học); Đào Tam (chủ biên), Trần Trung (2010), Tổ chức hoạt động nhận thức dạy học mơn Tốn trường Trung học phổ thông, Nhà xuất Đại học sư phạm Hà Nội Việc vận dụng triết học DVBC trình dạy học trình lâu dài, kéo suốt trình học tập, với nhiều hình thức phong phú từ mức độ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp việc vận dụng Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ quy luật, cặp phạm trù Với mong muốn tìm hiểu phần nhỏ việc vận dụng triết học DVBC vào giải tốn chúng tơi lựa chọn đề tài:"Tiếp cận lời giải số toán sơ cấp theo quan điểm triết học vật biện chứng" 0.2 Mục tiêu nghiên cứu Thông qua lời giải số tốn chương trình phổ thơng để phát mối liên hệ q trình giải tốn với nội dung triết học vật biện chứng 0.3 Giới hạn nghiên cứu Luận văn tập trung vào tìm hiểu mối liên hệ việc giải toán với cặp phạm trù chung- riêng mối quan hệ lý luận-thực tiễn triết học DVBC 0.4 Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu đưa ví dụ minh họa cụ thể cho việc vận dụng mối liên hệ chung-cái riêng lý luận-thực tiễn triết học DVBC việc giải toán 0.5 Cấu trúc luận văn Luận văn phần mở đầu tài liệu tham khảo bao gồm có hai chương: Chương I: Một số ví dụ minh họa mối quan hệ chung riêng giải toán Chương II: Một số ví dụ minh họa mối liên hệ lý luận thực tiễn giải toán Dù cố gắng, chắn nội dung trình bày luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót định, tơi mong nhận góp ý thầy giáo bạn Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Trịnh Thanh Hải Tôi xin tỏ lòng cảm ơn chân thành tới thầy giúp đỡ nhiệt tình từ xây dựng đề cương, viết hồn thành luận văn Tiếp theo tơi xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo phản biện đọc góp ý để tơi hồn thiện luận văn Tơi xin cảm ơn chân thành tới Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, nơi nhận học vấn sau Đại học Xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp cảm thơng, chia sẻ, ủng hộ giúp đỡ thời gian học Cao học viết luận văn Lời cuối xin chúc sức khỏe thầy, cô giáo đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 10 tháng 05 năm 2013 Người thực Lê Văn Lợi Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chương MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁI CHUNG VÀ CÁI RIÊNG TRONG GIẢI TOÁN 1.1 Tổng quan mối quan hệ chung riêng giải tốn Theo GS.Nguyễn Cảnh Tồn "Cái riêng phạm trù vật tượng, trình định"; "Cái chung phạm trù mặt, thuộc tính lặp lại nhiều vật tượng, nhiều trình riêng lẻ" [13] Ví dụ 1.1.1 Xét khái niệm tứ giác tứ giác lồi, tứ giác lõm, tứ giác nội tiếp, tứ giác ngoại tiếp, tứ giác có số đo bốn cạnh cụ thể khái niệm cụ thể định Các thuộc tính lặp lại tứ giác lồi, tứ giác lõm, tứ giác nội tiếp, tứ giác ngoại tiếp, tứ giác có số đo bốn cạnh cụ thể tạo nên "cái chung" tứ giác Khi mối quan hệ với "cái chung" tứ giác tứ giác lồi, tứ giác lõm, tứ giác nội tiếp, tứ giác ngoại tiếp đóng vai trị "cái riêng" Triết học DVBC khẳng định chung riêng có mối quan hệ biện chứng với Cụ thể là: Cái riêng tồn khách quan, chung tồn biểu thông qua riêng, khơng có chung trừu tượng chung chung Cái riêng tồn mối quan hệ với chung, riêng phong phú đa dạng, chung sâu sắc chất Ví dụ 1.1.2 Trong ví dụ 1.1.1, tứ giác lồi, tứ giác lõm, tứ giác nội tiếp, tứ giác ngoại tiếp tồn khách quan, phong phú đa dạng Khái Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ niệm tứ giác tồn có đối tượng tứ giác lồi, tứ giác lõm, Nếu không tồn đối tượng tứ giác lồi, tứ giác lõm, khơng tồn đối tượng tứ giác Như vậy, chung riêng có mối quan hệ biện chứng khơng tách rời Ta khơng thể lấy ví dụ riêng mà tách rời khỏi chung đó, khơng thể có chung nằm ngồi mà khơng biểu qua riêng Trong mơn tốn, mối quan hệ riêng chung thể sau: • Mỗi đối tượng tốn học riêng nằm nhiều đối tượng tốn học khác coi chung Ví dụ 1.1.3 Ta xem hình thoi trường hợp đặc biệt: Nếu ta nhìn hình thoi góc độ cặp cạnh đối song song hình thoi "cái riêng" nằm "cái chung" hình bình hành Nếu ta nhìn hình thoi góc độ có đường trịn nội tiếp hình thoi "cái riêng" nằm "cái chung" tứ giác có đường trịn nội tiếp Nếu ta nhìn hình thoi góc độ có hai đường chéo vng góc hình thoi "cái riêng" nằm "cái chung" tứ giác có hai đường chéo vng góc Với cách nhìn vậy, GS.Nguyễn Cảnh Tồn xây dựng hàng loạt định lý hay tứ giác xuất phát từ tính chất đơn giản hình thoi [13] • Ngược lại, đối tượng toán học "cái chung" lại biểu thông qua "cái riêng" khác Những "cái riêng" trường hợp đặc biệt "cái chung" ban đầu xét trường hợp riêng theo phận Ví dụ 1.1.4 Xét đối tượng tứ giác: Xét trường hợp riêng hai cặp cạnh đối song song ta có hình bình hành Xét trường hợp riêng bốn cạnh ta hình thoi Xét trường hợp riêng hai cặp cạnh đối song song hai cạnh liền kề vng góc ta hình chữ nhật Xét trường hợp riêng tứ giác thành góc 1800 ta tam giác Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 1.2 1.2.1 Một số ví dụ minh họa Tìm hướng giải toán cách xét trường hợp riêng Ta biết rằng, "cái chung" đặt hoàn cảnh cụ thể trở thành "cái riêng", chung xét trường hợp riêng theo phận thu nhiều riêng khác Trong dạy học toán vấn đề thể lực đặc biệt hóa tốn, phát triển lực sáng tạo tốn học Ví dụ 1.2.1 Chứng minh cạnh đối diện tứ diện ABCD đơi vng góc với Giải Hình 1.1 Ta cần chứng minh: AB⊥CD, AD⊥BC, AC⊥BD Ta gọi H hình chiếu A lên mp (BCD), K = BH ∩ CD Suy H tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD ⇒ CD⊥BK Mặt khác, AH⊥ (BCD) ⇒ AH⊥CD Do đó: CD⊥ (ABK) ⇒ CD⊥AB Tương tự ta chứng minh được: AD⊥BC, AC⊥BD Từ tốn ví dụ trên, ta có tốn trường hợp riêng toán là: "Chứng minh tứ diện M N P Q có hai cặp cạnh đối đơi vng góc với cặp cạnh đối cịn lại vng góc với nhau" Điều dễ nhận thấy hai tốn có giả thiết khác nhau, phần kết luận phương pháp giải lại giống Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Giải Hình 1.2 Ta giả sử hai cặp cạnh đối đơi vng góc với M N ⊥P Q M P ⊥N Q Ta chứng minh M Q⊥N P Gọi H hình chiếu vng góc M xuống mp (N P Q), nghĩa M H⊥ (N P Q) nên M H⊥P Q Theo giả thiết M N ⊥P Q ⇒ P Q⊥ (M N H) ⇒ P Q⊥N H Ta chứng minh tương tự N Q⊥P H Gọi F, E, D theo thứ tự giao điểm tia N H, P H, QH với cạnh P Q, N Q, N P Theo chứng minh N F, P E đường cao tam giác N P Q Suy QD đường cao tam giác N P Q ⇒ QD⊥N P Do M H⊥ (N P Q) nên M H⊥N P ⇒ N P ⊥ (M QD) ⇒ M Q⊥N P Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 1.2.2 Tính khoảng cách hai cạnh AB CD tứ diện ABCD biết AC = CB = DA = DB = a; AB = p; CD = q Giải Gọi I trung điểm AB J trung điểm CD Ta có tam giác BCD cân B nên suy BJ⊥CD Hơn nữa, AC = BD ⇒ AJ⊥CD (vì tam giác ACD cân A) Do IJ⊥AB Suy IJ đường vng góc chung hai đường thẳng AB CD, nên IJ khoảng cách AB CD Xét tam giác vuông BIJ , vuông I Ta có Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 29 Thật vậy, ta có: AC + CD + DB = AC + DB + h = A D + DB + h Mà A D + DB nhỏ A , B, B thẳng hàng Ví dụ 2.2.2 Đo khoảng cách Hãy xác định chiều rộng khúc sông thực tiễn cho thấy không qua sông để đo, không đo trực tiếp AB mà đánh AB qua yếu tố khác (a, α) dễ xác định việc đo đạc tiến hành bên bờ sông Chuẩn bị dụng cụ: Êke đạc, giác kế, thước cuộn, máy tính bỏ túi bảng lượng giác Hướng dẫn học sinh thực hiện: Hình 2.6 Giả thiết hai bờ sơng song song với Chọn điểm B bên sông, lấy điểm A bên sơng cho AB vng góc với bờ sông Dùng Êke đạc kẻ đường thẳng Ax phía bên sơng cho Ax vng góc với AB Lấy điểm C Ax đo AC Giả sử đo AC = a, dùng giác kế đo góc ABC , giả sử ABC = a Dùng máy tính bỏ túi bảng lượng giác để tính tan α Vậy chiều rộng khúc sơng là: AB = a tan α Ví dụ 2.2.3 Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, kg sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu 15 giờ, đem lại mức lời 30000 đồng Xưởng có 200kg nguyên liệu 120 làm việc Nên sản xuất loại sản phẩm để có mức lời cao nhất? Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 30 Hình 2.7 Lời giải Từ toán thực tiễn ta đưa đến tốn lý thuyết tìm giá trị lớn L = 40000x + 30000y thỏa mãn điều kiện: 2x + 4y ≤ 200 30x + 15y ≤ 1200 Tuy nhiên thực tế số nguyên  liệu x, y khơng âm nên ta có tốn  x≥0 y≥0 tìm x, y thỏa mãn hệ: x + 2y ≤ 100   2x + y ≤ 80 cho 4x + 3y đạt giá trị lớn Trên hình 2.14 ta ký hiệu C (0; 50), D (40; 0), E (100; 0), F (0; 80) I giao điểm CE DF Dễ thấy tọa độ I (20; 40), miền nghiệm hệ phương trình miền tứ giác OCID (kể biên) Với L xác định, ta nhận thấy có vơ số điểm M (x; y) cho 4x + 3y = L, điểm M nằm đường thẳng AB với A (L/4; 0), B (0; L/3) Hệ số góc đường thẳng AB - 4/3 Cho L lớn dần lớn lên đường thẳng AB "tịnh tiến dần lên" phía Nhìn vào hình vẽ ta nhận thấy rằng: Trong đường thẳng có hệ số góc - 4/3, đường thẳng qua I đường thẳng vị trí "cao nhất" cịn có điểm chung với tứ giác OCDI Chưa đạt tới vị trí L chưa phải lớn Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 31 Vượt q ngưỡng tọa độ điểm đường thẳng không thỏa mãn hệ điều kiện ràng buộc Từ dễ dàng đến kết luận x = 20, y = 40 L đạt giá trị lớn Ví dụ 2.2.4 Một cơng ty cần th xe vận chuyển 140 người hàng hóa Nơi cho thuê xe có 10 xe hiệu MITSUBISHI xe hiệu FORD Môt xe hiệu MITSUBISHI chở 20 người 0,6 hàng Một xe hiệu FORD chở 10 người 1,5 hàng Tiền thuê xe hiệu MITSUBISHI triệu đồng, môt xe hiệu FORD triệu đồng Hỏi phải thuê xe loại để chi phí thấp nhất? Lời giải Trước hết ta đặt Bài tốn thành hệ bất phương trình Gọi x, y(x, y ∈ N) số xe loại MITSUBISHI, loại FORD cần thuê Từ toán ta đươc hệ bất phương trình:   ≤ x ≤ 10     ≤ x ≤ 10 0≤y≤9 0≤y≤9 ⇔ (∗) 20x + 10y ≥ 140 2x + y ≥ 14    0, 6x + 1, 5y ≥  2x + 5y ≥ 30 Tổng chi phí T (x, y) = 4x + 3y (triệu đồng) Vì số lượng xe ơtơ phải số ngun nên thực chất Bài tốn tìm x, y nguyên không âm thỏa mãn hệ (*) cho T (x, y) nhỏ Hình 2.8 Bước ta tìm miền nghiệm hệ bất phương trình Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 32 Miền nghiệm miền tứ giác lồi IABC Ta cần xác định toa độ x, y điểm thuộc miền tứ giác IABC (kể biên) cho T (x, y) = 4x + 3y đạt cực tiểu Xét ho đường thẳng cho T phương trình: 4x + 3y = T (T ∈ R) hay y = − x + , ta thấy đường 3 thẳng song song với đường thẳng y = − x(T = 0) Khi T tăng, đường thẳng tịnh tiến song song lên phía Khi T giảm, đường thẳng tịnh tiến song song xuống phía Giá trị nhỏ T đạt đỉnh I tứ giác IABC giao điểm hai đường thẳng 2x + 5y = 30 2x + y = 14 Tọa độ I (x1 = 5; y1 = 4) Như thuê xe hiệu MITSUBISHI xe hiệu FORD chi phí vận tải thấp Ví dụ 2.2.5 Với ý thức tiết kiệm vật liệu, anh (chị) tính xem cần chừng sắt dài 7,4m để cắt thành 1000 đoạn, đoạn dài 0,7m, 2000 đoạn đoạn dài 0,5m Anh (chị) có chứng tỏ cách tính anh (chị) tiết kiệm không? Lời giải Ta nhận thấy muốn tiết kiệm vật liệu cần phải cắt 7,4m thành a đoạn 0,7m b đoạn 0,5m mà dư Tức cần giải phương trình ngun 0, 7a + 0, 5b = 7, Hay 7a + 5b = 74 với a, b nguyên không âm (1) Từ (1) suy ra: 74 = 7a + 5b ≥ 7a ⇒ ≤ a ≤ 10 b= 74 − 7a + 2a = 15 − a − → + 2a 5 Mà ≤ + 2a ≤ 21 (1 + 2a) lẻ nên suy + 2a = + 2a = 15 Do a = → b = 12 a = → b = Vậy ta có hai cách cắt 7,4m lợi nhất: 1) Cắt thành đoạn 0,7m 12 đoạn 0,5m 2) Cắt thành đoạn 0,7m đoạn 0,5m Gọi x cắt theo kiểu thứ y theo kiểu thứ hai (ở 7,4m); số đoạn o,7m cắt 2x + 7y số đoạn 0,5m cắt 12x + 5y : mà ta cần phải cắt 1000 đoạn 0,7m 2000 đoạn 0,5m nên có phương trình: 2x + 7y = 1000 12x + 5y = 2000 Số hóa Trung tâm học liệu (2) http://lrc.tnu.edu.vn/ 33 Nhưng hệ (2) khơng có nghiệm ngun nên ta cần lấy phần nguyên nghiệm hệ (2) đủ Như x = 121 y = 108 Vậy ta cắt 2x + 7y = 998 đoạn 0,7m 12x + 5y = 1992 đoạn 0,5m nên cần cắt thêm hai đoạn 0,7m đoạn 0,5m Ta cần cắt thêm 7,4m theo kiểu thứ Vậy dùng tất là: 121 + 108 + = 230 7,4m Ta phải chứng tỏ cách cắt tiết kiệm Thật vậy, ta thấy tổng số độ dài 1000 đoạn 0,7m 2000 đoạn 0,5m là: 0, 7.1000 + 0, 5.2000 = 1700m : phải dùng 1700/7, + 7,4m hay 230 7,4m (đpcm) Tóm lại ta cần cắt 122 7,4m theo kiểu thứ 108 7,4m theo kiểu thứ hai xong Ví dụ 2.2.6 Một đoàn tàu đánh cá dự định đánh bắt 1800 cá số ngày định Do bị bão nên ngày đoàn đánh bắt kế hoạch ngày 20 Trong ngày cịn lại, đồn đánh bắt vượt kế hoạch 20 ngày Vì đồn hoàn thành kế hoạch đánh bắt trước thời hạn ngày Hỏi theo kế hoạch ngày đoàn tàu đánh bắt cá thời gian đánh bắt theo kế hoạch ngày? Lời giải Gọi x (tấn) số cá dự định đánh bắt ngày theo kế hoạch 1800 Thời gian đánh bắt theo kế hoạch (ngày) x Số cá đánh bắt ngày bị bão 3(x − 20) (tấn) 1800 Số cá phải đánh bắt − ngày lại là: x 1800 − 3(x − 20) = 1860 − 3x Số cá đánh bắt ngày sau bão là: x + 20 (tấn) 1860 − 3x Số ngày đánh bắt cá sau bão (ngày) x + 20 Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 34 Theo ra, ta có phương trình: 1800 1860 − 3x −3 − =2 x x + 20 ⇔ 1800 1860 − 3x − =5 x x + 20 ⇔ 2x2 + 160x − 36000 = ∆ = −b − ac = 78400 ⇒ x1 = 100 x2 = −180 Thực tế x nguyên nên lấy nghiệm x = 100 thỏa mãn yêu cầu toán Vậy kế hoạch đánh bắt 18 ngày, ngày đoàn tàu phải đánh bắt 100 cá Ví dụ 2.2.7 Một nhóm bạn rủ tổ chức chuyến du lịch sinh thái (chi phí chia cho người) Sau hợp đồng xong, vào chót có hai người bận việc đột xuất khơng Vì người cịn lại phải trả thêm 30000 đồng so với dự kiến ban đầu Hỏi số người lúc đầu dự định du lịch, người theo dự kiến ban đầu phải trả tiền giá chuyến du lịch sinh thái đó? Biết Bản hợp đồng giá khoảng từ 700000 đồng đến 750000 đồng Lời giải Gọi x (đồng)là số tiền mà người dự định đóng góp cho chuyến du lich sinh thái, suy x + 30000 (đồng) số tiền mà người đóng góp Gọi y (người) số người dự định lúc đầu, suy y − (người) số người tham gia chuyến du lịch Điều kiện y ∈ N, y > Chi phí dự kiến chuyến du lịch chi phí ghi hợp đồng xy (đồng), Chi phí thực tế người tham gia đóng góp (x + 30000) (y − 2) Ta có phương trình: xy = (x + 30000) (y − 2) , (1) với điều kiện 700 ≤ xy ≤ 750000 (2) Từ (1) suy xy = xy − 2x + 30000y − 60000 ⇔ x = 15000y − 30000 (3) Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 35 Thay (3) vào (2) suy 700 ≤ y(15000y − 30000) ≤ 750000 Ta đươc hệ: 15000y − 30000y − 700000 ≥ 15000y − 30000y − 750000 ≤ ⇔ y>0 √ √ + 429 + 459 ⇔ ≤y≤ 3 3y − 6y − 140 ≥ 3y − 6y − 150 ≤ y>0 Vì y số người nên y số tự nhiên Kết toán túy thực tế nên ta chọn y = 8, y ∈ N Từ suy x = 15000.8 − 30000 = 90000 Kết luận: Số người lúc đầu dự đinh Du lịch người Mỗi người dự kiến đóng góp 90000 đồng Chi phí chuyến du lịch sinh thái 720000 đồng Ví dụ 2.2.8 Một phân xưởng có hai máy đặc chủng M1, M2 sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu I II Một sản phẩm loại I lãi triệu đồng, sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng Muốn sản xuất sản phẩm loại I phải dùng máy M1 máy M2 Muốn sản xuất sản phẩm loại II cần dùng máy M1 máy M2 Một máy dùng để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm Máy M1 làm việc không ngày, máy M2 ngày làm việc không Hãy đặt kế hoạch sản xuất cho tổng số tiền lãi cao - Đại lượng cần quan tâm: lượng (tính tấn) sản phẩm loại I II sản xuất - Tổng tiền lãi thu được: triệu x lượng sản phẩm loại I + 1,6 triệu x lượng sản phẩm loại II - Để có sản phẩm loại I cần: máy M1 làm + máy M2 làm - Để có sản phẩm loại II cần: máy M1 làm + máy M2 làm - Như ta biết thời gian làm việc máy để làm sản lượng sản phẩm theo kế hoạch Khi học sinh nhận rằng: Bắt đầu việc đặt ẩn số cho hai đại lượng chưa biết Sản phẩm loại I, II Các yếu tố khác biểu Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 36 thị qua hai ẩn số Cụ thể là: Gọi sản phẩm loại I loại II cần sản xuất theo kế hoạch ngày là: x, y (x ≥ 0, y ≥ 0) Số tiền lãi thu là: L = 2x + 1, 6y Để có số lượng hai sản phẩm máy M1 cần làm việc 3x + y (giờ) máy hai cần làm việc x + y (giờ) Máy M1 làm không ngày nên: 3x + y ≤ Máy M2 làm không ngày nên: x + y ≤ Ta có mối quan hệ ràng buộc x, y cho hệ bất phương trình sau máy khơng thể sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm nên ta có:    3x + y ≤ x+y ≤4 x≥0  y≥0 Bài tốn trở thành giải hệ bất phương trình bậc hai ẩn, tìm nghiệm (x0 , y0 ) cho L = 2x + 1, 6y lớn Khi x = y = Vậy để có lãi xuất cao nhất, ngày cần sản xuất sản phẩm loại I sản phẩm loại II Ví dụ 2.2.9 Có xí nghiệp sản xuất loại sản phẩm A B Những sản phẩm chế tạo từ loại nguyên liệu I , II III Dự trữ loại nguyên liệu số lượng loại nguyên liệu dùng để sản xuất sản phẩm ghi bảng sau Biết sản phẩm A lãi đồng, sản phẩm B lãi đồng Nên sản xuất sản phẩm loại để lãi nhiều Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 37 Lời giải Gọi x y số sản phẩm loại A B sản xuất Ta cần tìm x, y để: z = 5x + 7y đạt giá trị lớn nhất, x, y nâng tùy ý số lượng dự trữ nguyên liệu có hạn Nhìn vào bảng ta thấy số lượng ngun liệu I để sản xuất x sản phẩm A y sản phẩm B là: 2x + y , số lượng không vượt số lượng dự trữ, tức 2x + y ≤ Tương tự dự trữ nguyên liệu II III cho ta điều kiện: 3x + 2y ≤ 14, 4x + 6y ≤ 25 Từ điều kiện thực tế, ta có: x, y nguyên khơng âm Vậy cần tìm max (z = 5x + 7y) với điều kiện:  (1)   2x + y ≤ 3x + 2y ≤ 14 (2) (I) (3)   4x + 6y ≤ 25 x, y ≥ Từ (1) y ≥ ⇒ x ≤ Từ (3) x ≥ ⇒ y ≤ Từ (1) ta có: 6x + 3y ≤ 24 ⇒ 6x + 4y = 6x + 3y + y ≤ 24 + y ≤ 28 ⇒ 3x + 2y ≤ 14 Tức từ (1) suy (2) Nhận thấy phương trình 4x + 6y = 25 khơng có nghiệm ngun (vì vế trái số chẵn cịn vế phải số lẻ) Nên (3) ⇔ 4x + 6y ≤ 24 hay 2x + 3y ≤ 6x + 3y = 2x + 3y + 4x ≤ 12 + 4x ≤ 24 x < 4, tức x < (3) suy (1); cịn x = phải có y = Vậy hệ (I) tương đương với hệ:    2x + 3y ≤ 12 x ≤ 3, y ≤ x = 4, y =   x, y ≥ Khi x = ⇒ y = ⇒ z = 20 x = ⇒ y ≤ ⇒ z ≤ 15 + 14 = 29 x = ⇒ y ≤ ⇒ z ≤ 10 + 14 = 24 x = ⇒ y ≤ ⇒ z ≤ + 21 = 26 x = ⇒ y ≤ ⇒ z ≤ 28 Vậy ta suy max (z = 5x + 7y) = 29 x = y = Do phải sản xuất sản phẩm loại A sản phẩm loại B , tiền lãi nhiều 29 đồng Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 38 Ví dụ 2.2.10 Người ta muốn rào quanh khu đất với số vật liệu cho trước a mét thẳng hàng rào Ở người ta tận dụng bờ giậu có sẵn để làm cạnh hàng rào Vậy làm để rào khu đất theo hình chữ nhật cho có diện tích lớn nhất? Lời giải Gọi x chiều dài cạnh song song với bờ giậu y chiều dài cạnh vng góc với bờ giậu Theo ta có x + 2y = a Diện tích miếng đất S = y(a − 2y) S cực đại 2y(a − 2y) cực đại Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có 2S = 2y(a − 2y) ≤ 2y + a − 2y 2 a2 = a a Dấu "=" xảy 2y = a − 2y ⇔ y = ⇒ x = a a Vậy rào khu đất có diện tích cực đại x = ; y = Ví dụ 2.2.11 Một người xe đạp dự định buổi sáng hết quãng đường 60km Khi quãng đường, thấy vận tốc 2 vận tốc dự định, đạp nhanh vận tốc dự định 3km/h, đến nơi chậm 45 phút Hỏi vận tốc dự định người xe đạp bao nhiêu? Lời giải Gọi v(km/h) vận tốc dự định người xe đạp (v > 0) Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 39 Theo ra, ta có phương trình 30 30 60 + = + ⇔ 3v − 51v + 180 = v + v v Giải phương trình ta hai nghiệm v = 12 (thỏa mãn) v = (loại) Trong toán trên, nghiệm v = thỏa mãn điều kiện toán (v > 0), nghiệm bị loại hai lý thực tế sau: thứ nhất, vận tốc 5km/h q chậm khơng phù hợp với vận tốc bình thường xe đạp; thứ hai là, với vận tốc 5km/h, buổi sáng hết quãng đường 60km dự định Vậy vận tốc dự định người xe đạp 12(km/h) Một số tập ứng dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn: Bài tốn 1: Cơng ty Bao bì Dược phẩm cần sản xuất loại hộp giấy: đựng thuốc B1 , đựng cao Sao vàng đựng "Quy sâm đại bổ hồn" Để sản xuất loại hộp này, cơng ty dùng bìa có kích thước giống Mỗi bìa có hai cách cắt khác Cách thứ cắt hộp B1 , hộp cao Sao vàng hộp Quy sâm Cách thứ hai cắt hộp B1 , hộp cao Sao vàng hộp Quy sâm Theo kế hoạch, số hộp Quy sâm phải có 900 hộp, số hộp B1 tối thiểu 900 hộp, số hộp cao Sao vàng tối thiểu 1000 hộp Cần phương án cho tổng số bìa phải dùng nhất? Bài tốn 2: Một xe ơtơ từ A đến B , lúc có người xe đạp từ B đến A Ba phút sau hai xe gặp ôtô quay lại đuổi xe đạp, đuổi kịp lại quay để chạy B Nếu lúc đầu sau gặp 15 phút ôtô quay lại xe đạp sau gặp tăng vận tốc lần ơtơ thời gian Tìm tỉ số vận tốc xe đạp ơtơ? Bài tốn 3: Với dây tóc bóng đèn điện có bên cho độ sáng lớn bóng chân khơng, nhiệt độ dây tóc hai trường hợp khác Theo Định luật Vật lý, độ sáng toàn phần phát từ vật thể bị nung đến trắng tăng tỉ lệ với lũy thừa bậc 12 nhiệt độ tuyệt đối (độ K) Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 40 a) Hãy tính xem bóng đèn có với nhiệt độ dây tóc 20000 K sáng bóng chân khơng có nhiệt độ dây tóc 22000 C lần? b) Phải tăng nhiệt độ tuyệt đối lên chừng (tính theo phần trăm) để gấp đơi độ sáng bóng đèn? c) Độ sáng bóng đèn tăng lên bao nhiêu(tính theo phần trăm) ta tăng 10/0 nhiệt độ tuyệt đối dây tóc nó? Bài toán 4: Trong lĩnh vưc thủy lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng "Thủy động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang mương S, l độ dài đường biên giới hạn tiết diện này, l - đặc trưng cho khả thấm nước mương; mương gọi có dạng thủy động học với S xác định, l nhỏ nhất) Cần xác định kích thước mương dẫn nước để có dạng thủy động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang hình chữ nhật) Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 41 Kết luận Luận văn thu kết quả: Qua tìm hiểu em thấy rõ mối quan hệ hữu triết học vật biện chứng toán học Đã đưa hệ thống ví dụ minh họa cách cụ thể cho việc vận dụng tư tưởng triết học vật biện chứng vào lời giải toán, mà cụ thể mối quan hệ chung- riêng mối liên hệ lý luận tiễn Chúng cho giáo viên nắm biết vận dụng tư tưởng triết học DVBC vào dạy học tốn chắn góp phần phát triển tư sáng tạo, lực giải toán cho học sinh Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 42 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Bảo (2010), Nhiều cách giải cho toán, toán học tuổi trẻ, Số 395 (5/2010) [2] Nguyễn Văn Bảo (2005), Góp phần rèn luyện cho học sinh lực vận dụng kiến thức toán học để giải số toán có nội dung thực tiễn, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, Đại học Vinh [3] Hoàng Chúng (1969), Rèn luyện khả sáng tạo toán học cho học sinh trường phổ thông, Nhà xuất Hà Nội [4] Cao Thị Hà (2007), Phát triển tư biện chứng cho học sinh dạy học toán (Tài liệu dành cho học viên cao học) [5] Nguyễn Thanh Hưng, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Vận dụng phép biện chứng vật dạy học tốn phổ thơng, Tạp chí giáo dục, Số 250 (11/2010), Hà Nội [6] G Polya (1975), Sáng tạo toán học, Bản dịch tiếng việt Nguyễn Sỹ Tuyển Phan Tất Đắc, NXB Giáo dục, Hà Nội [7] G Polya (1995), Toán học suy luận có lí, NXB Giáo dục [8] Ngơ Thúc Lanh (Chủ biên)(2000), Từ điển tốn học thơng dụng, NXB Giáo dục [9] Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lý luận vào thực tiễn dạy học mơn tốn trường phổ thông (Sách chuyên khảo dành cho hệ đào tạo sau đại học), NXB Đại học sư phạm [10] Tuyển tập 30 năm Tạp trí Tốn học Tuổi trẻ, NXB Giáo dục Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 43 [11] Đào Tam (chủ biên), Trần Trung (2010), Tổ chức hoạt động nhận thức dạy học môn tốn trường Trung học phổ thơng, NXB Đại học sư phạm, Hà Nội [12] Trần Thúc Trình (1998), Tư hoạt động toán học, (Đề cương giảng), Viện Khoa học Giáo dục Hà Nội [13] Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Phương pháp luận vật biện chứng với việc học, dạy nghiên cứu toán học, tập 1, tập 2, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [14] Nguyễn Cảnh Toàn (Chủ biên), Nguyễn Kỳ, Lê Khánh Bằng, Vũ Văn Tảo (2004), Học dạy cách học, NXB - Đại học quốc gia Hà Nội [15] Bộ giáo dục đào tạo, (Tái lần thứ ba có sửa chữa, bổ sung) (2010), Giáo trình triết học Mác - Lênin, (Sách dùng trường đại học, cao đẳng) [16] R I Ruzavin, A Nuwxxanbaesp, G.Sliakhin (1979), Một số quan điểm Triết học toán học, NXB Giáo dục, Hà Nội [17] John Stillwell, (2006), The Surprising Truth of Mathemariscs, USA [18] Stieg Mellin-Olsen (2002), The politics of Mathemariscs education, USA Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ... giải số toán sơ cấp theo quan điểm triết học vật biện chứng" 0.2 Mục tiêu nghiên cứu Thông qua lời giải số tốn chương trình phổ thơng để phát mối liên hệ q trình giải tốn với nội dung triết học vật. .. vực khoa học, triết học nói chung triết học DVBC nói riêng có mối quan hệ biện chứng sâu sắc với toán học Triết học DVBC phương pháp luận để nghiên cứu toán học, ngược lại phát triển toán học thúc... đẩy phát triển triết học DVBC Hiện vận dụng quan điểm triết học DVBC vào mơn tốn việc phát triển tư biện chứng cho học sinh học tập mơn tốn đề tài nhiều nhà toán học nhà triết học quan tâm nghiên