ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THẾ PHONG ĐIỀU KIỆN KUHN-TUCKER MẠNH CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THẾ PHONG ĐIỀU KIỆN KUHN-TUCKER MẠNH CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS ĐỖ VĂN LƯU Thái Nguyên - Năm 2014 i Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học PGS TS Đỗ Văn Lưu Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, PGS TS Đỗ Văn Lưu, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán, khoa Sau đại học - Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện cho tác giả tài liệu thủ tục hành để tác giả hồn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn đến gia đình bạn lớp Cao học Toán k20a, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn Bản luận văn tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo tận tình thầy bạn bè đồng nghiệp Thái Nguyên, tháng năm 2014 Tác giả Nguyễn Thế Phong ii Mục lục Mở đầu 1 Dưới vi phân Clarke vi phân suy rộng 1.1 Dưới vi phân Clarke 1.2 Dưới vi phân suy rộng Điều kiện Kuhn - Tucker mạnh cho toán tối ưu đa mục tiêu khả vi 11 2.1 Phát biểu toán 11 2.2 Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh 13 Điều kiện Kuhn - Tucker mạnh cho toán tối ưu đa mục tiêu Lipschitz địa phương 3.1 3.2 20 Điều kiện quy Guignard suy rộng điều kiện Kuhn Tucker mạnh 20 Các điều kiện đủ cho điều kiện quy Guignard suy rộng 29 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Mở đầu Lý chọn luận văn Lý thuyết điều kiện tối ưu đóng vai trị quan trọng lý thuyết tối ưu hóa Đối với toán tối ưu đa mục tiêu, người ta muốn nhận điều kiện Kuhn -Tucker mà tất nhân tử Lagrange ứng với tất thành phần hàm mục tiêu dương Ta gọi điều kiện Kuhn-Tucker mạnh Năm 1994, T Maeda đưa điều kiện quy Guignard suy rộng cho tốn tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc bất đẳng thức, với hàm khả vi liên tục nhận điều kiện Kuhn -Tucker mạnh Khái niệm vi phân suy rộng không lồi (convexificator) V Jeyakumar - D.T Luc [6] tổng quát hóa số khái niệm vi phân biết vi phân Clarke, Michel-Penot, Mordukhovich, Các điều kiện tối ưu cho toán tối ưu đa mục tiêu không trơn ngôn ngữ vi phân suy rộng nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu (xem chẳng hạn [4], [6]-[8] tài liệu tham khảo báo đó) X.F Li J.Z Zhang (2005) phát triển kết Maeda cho tốn có ràng buộc bất đẳng thức với hàm Lipschitz địa phương ngôn ngữ vi phân suy rộng Đây đề tài nhiều tác giả ngồi nước quan tâm nhiên cứu Chính vậy, chọn đề tài: “Điều kiện Kuhn-Tucker mạnh cho toán tối ưu đa mục tiêu Lipschitz địa phương” Luận văn trình bày kết nghiên cứu điều kiện Kuhn-Tucker mạnh X.F Li J.Z Zhang (2005), T Maeda (1994) Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm đọc tài liệu từ sách, tạp chí tốn học nước quốc tế liên quan đến tốn tối ưu véc tơ Qua đó, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Mục đích luận văn Mục đích luận văn tìm hiểu điều kiện Kuhn - Tucker mạnh cho toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc bất đẳng thức hai trường hợp: trường hợp thứ cho hàm khả vi trường hợp thứ hai cho hàm Lipschitz địa phương Cụ thể, chúng tơi đọc hiểu trình bày lại cách tường minh hai báo sau: 1) T Maeda, Constraint qualifications in multiobjective optimization problems: Differentiable case , J.Optim Theory Appl, vol 80 (1994), 483-500 2) X.F Li, J.Z Zhang, Stronger Kuhn-Tucker type conditions in nonsmooth multiobjective optimization: Locally Lipschitz case, J.Optim.Theory Appl, Vol 127 (2005), 367-388 Nội dung luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Dưới vi phân Clarke vi phân suy rộng Trình bày số kiến thức vi phân Clarke [1] vi phân suy rộng [6] Chương Điều kiện Kuhn - Tucker mạnh cho toán tối ưu đa mục tiêu khả vi Trình bày điều kiện Kuhn - Tucker mạnh T Maeda [9] cho toán tối ưu đa mục tiêu khả vi có ràng buộc bất đẳng thức với điều kiện quy Guignard suy rộng Chương Điều kiện Kuhn - Tucker mạnh cho toán tối ưu đa mục tiêu Lipschitz địa phương Trình bày điều kiện Kuhn - Tucker mạnh X.F Li J.Z Zhang [7] cho tốn tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc bất đẳng thức với hàm Lipschitz địa phương điều kiện quy Guignard suy rộng khơng trơn Mối quan hệ điều kiện quy khơng trơn trình bày chương Chương Dưới vi phân Clarke vi phân suy rộng Trong chương chúng tơi trình bày khái qt kiến thức vi phân Clarke vi phân suy rộng cho lớp hàm Lipschitz địa phương Các kiến thức trình bày chương tham khảo tài liệu [1], [6] 1.1 Dưới vi phân Clarke Giả sử X không gian Banach, f : X → R Định nghĩa 1.1.1 a) Hàm f gọi Lipschitz địa phương x ¯ ∈ X tồn lân cận U x¯, số K > cho: (∀x, x ∈ U ) |f (x) − f (x )| ≤ K||x − x || (1.1) Hàm f gọi Lipschitz địa phương tập Y ⊂ X , f Lipschitz địa phương x ∈ Y b) Hàm f gọi Lipschitz với số Lipschitz K tập Y ⊂ X (1.1) với x, x ∈ Y Giả sử X, Y không gian Banach, F : X → Y Kí hiệu L(X, Y ) khơng gian tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Định nghĩa 1.1.2 Đạo hàm F theo phương v x ¯ xác định bởi: F (¯ x; v) = lim t↓0 F (¯ x + tv) − F (¯ x) t giới hạn tồn Định nghĩa 1.1.3 Ánh xạ F gọi khả vi Gâteaux x ¯, tồn Λ ∈ L(X, Y ) cho với v ∈ X , F (¯ x + tv) = F (¯ x) + tΛv + o(t) (1.2) Khi đó, ta gọi Λ đạo hàm Gâteaux F x ¯ Nhận xét 1.1.4 Nếu ánh xạ F khả vi Gâteaux x ¯, F (¯ x + tv) − F (¯ x) − Λv → t (1.3) Sự hội tụ đồng theo v tập hữu hạn Định nghĩa 1.1.5 Ánh xạ F gọi khả vi Hadamard x ¯ tồn Λ ∈ L(X, Y ) cho với v ∈ X (1.2) đúng, (1.3) hội tụ đồng theo v tập compact Định nghĩa 1.1.6 Ánh xạ F gọi khả vi Fréchet x ¯, tồn Λ ∈ L(X, Y ) cho: F (¯ x + v) = F (¯ x) + Λv + r(v), ||r(v)||Y ||v||−1 X → ||v||X → Nhận xét 1.1.7 a) Ánh xạ F khả vi Fréchet x ¯ ⇔ ∃Λ ∈ L(X, Y ) cho (1.2) (1.3) hội tụ đồng theo v tập bị chặn b) Nếu X = Rn khái niệm khả vi theo Hadamard Fréchet trùng Định nghĩa 1.1.8 Ánh xạ F gọi Lipschitz địa phương x ¯, tồn γ > số K > cho: ||F (x ) − F (x )||Y ≤ K||x − x ||X (∀x , x ∈ x¯ + γB), B hình cầu đơn vị mở Định lý 1.1.9 ([1]) Giả sử f hàm lồi tập lồi mở U ; bị chặn lân cận điểm thuộc U Khi đó, f Lipschitz địa phương U Giả sử f hàm Lipschitz địa phương x ¯ ∈ X Định nghĩa 1.1.10 Đạo hàm suy rộng Clarke hàm f theo phương v ∈ X x ¯, kí hiệu f o (¯ x; v), xác định sau: f o (¯ x; v) = lim sup x→¯ x t↓0 f (x + tv) − f (x) , t x ∈ X, t > Định lí sau cho ta số tính chất quan trọng đạo hàm suy rộng theo phương Định lý 1.1.11 ([1]) Giả sử f Lipschitz địa phương với số Lipschitz K x Khi đó: (i) Hàm v → f o (x; v) hữu hạn, dương, cộng tính X |f o (x; v)| ≤ K||v||; (ii) f o (x; v) nửa liên tục theo (x; v); f o (x; ) Lipschitz (theo v ) với số K X ; (iii) f o (x; −v) = (−f )o (x; v) Giả sử f hàm Lipschitz địa phương không gian Banach X (f : X → R); X ∗ không gian liên hợp X (X ∗ gồm phiếm hàm tuyến tính liên tục X ) Định nghĩa 1.1.12 Dưới vi phân Clarke hàm f x ¯, kí hiệu ∂C f (¯ x), tập hợp sau X ∗ : ∂C f (¯ x) = {ξ ∈ X ∗ : f o (¯ x; u) ≥ ξ, u , ∀u ∈ X} Nếu f hàm lồi X vi phân hàm lồi f định nghĩa sau: ∂CA f (¯ x) = {x∗ ∈ X ∗ : f (x) − f (¯ x) ≥ x∗ , x − x¯ , ∀x ∈ X} Nhận xét 1.1.13 ∂C f (¯ x) = ∂CA f o (¯ x; 0), ∂CA f o (¯ x; 0) vi phân hàm lồi f o (¯ x; ) Định lý 1.1.14 ([1]) Giả sử f hàm Lipschitz địa phương với số K x ¯ Khi đó, a) ∂C f (¯ x) = Ø, lồi, compact yếu∗ ||ξ||∗ ≤ K (∀ξ ∈ ∂C f (¯ x)); b) Với v ∈ X , ta có: f o (¯ x; v) = max{ ξ, v : ξ ∈ ∂C f (¯ x)} Ví dụ 1.1.15 Xét trường hợp X = R, f (x) = |x| Khi f hàm Lipschitz R với số Lipschitz K = 1, ∀x1 , x2 ∈ R, ta có ||x1 | − |x2 || ≤ |x1 − x2 | a) Ta lấy x > Khi đó: y + tv − y =v y→x;t↓0 t f o (x; v) = lim ⇒ ∂C f (x) = {ζ ∈ R : v ≥ ζv, ∀v ∈ R} = {1} b) Tương tự, x < 0, ∂C f (x) = {−1} c) Xét trường hợp x = 0: f o (0; v) = v, −v, v ≥ v < ⇒ f o (0; v) = |v| ⇒ ∂C f (0) = {ζ ∈ R : |v| ≥ ζv, ∀v ∈ R} ⇒ ∂C f (0) = [−1; 1] 24 Vì d ∈ coT (Qi0 (x0 ); x0 ) nên tồn hữu hạn d1 , , dp ∈ T (Qi0 (x0 ), x0 ) số thực λ1 , , λp với λl > 0, l ∈ L = {1, , p} λl = cho: l∈L d= Vì λl dl l∈L fi+0 (x0 ; ) hàm lõm (theo giả thiết) nên ta có: λl fi+0 (x0 ; dl ) fi+0 (x0 ; λl dl ) l∈L l∈L = fi+0 (x0 ; d) βj 0, với i ∈ I j ∈ J(x0 ) cho   αi co∂ ∗ fi (x0 ) + ∈ cl  i∈I βj co∂ ∗ gj (x0 ) j∈J(x0 ) Chứng minh Đầu tiên, ta chứng minh hệ sau: fi0 (x0 ; v) < 0, fk (x0 ; v) 0, k ∈ I\{i0 }, gj− (x0 ; v) 0, j ∈ J(x0 ), 26 khơng tương thích X Ngược lại, giả sử ∃d ∈ X thoả mãn hệ Khi đó, d ∈ C(Q(x0 ), x0 ) Vì (GGCQ) x0 nên d ∈ clcoT (Qi (x0 ); x0 ) i∈I ⇒ d ∈ {v ∈ X : fi0 (x0 ; v) < 0} ∩ clcoT (Qi (x0 ); x0 ) i∈I Điều trái với mệnh đề 3.1.3 Vì hệ khơng tương thích, fi (x0 ; ) gj− (x0 ; ), với i ∈ I j ∈ J(x0 ) tuyến tính, theo định lý Tucker suy rộng [5], tồn số thực αi > βj với i ∈ I j ∈ J(x0 ) cho: βj gj− (x0 ; v) αi fi (x0 ; v) + i∈I 0, ∀v ∈ X j∈J(x0 ) Vì fi khả vi theo phương x0 nên fi (x0 ; v) = fi− (x0 ; v) = fi+ (x0 ; v) Do đó, theo định nghĩa vi phân suy rộng trên, ta có: fi (x0 ; v) gj− (x0 ; v) x∗ , v , sup x∗ ∈∂ ∗ fi (x0 ) y∗, v sup y ∗ ∈∂ ∗ gj (x0 ) Từ suy ra: (αi sup i∈I x∗ ; v ) + x∗ ∈A(i) y∗; v ) (βj sup j∈J(x0 ) 0, ∀v ∈ X, y ∗ ∈B(j) đó, A(i) = ∂ ∗ fi (x0 ) B(j) = ∂ ∗ gj (x0 ), với i ∈ I j ∈ J(x0 ) Đặt βj ∂ ∗ gj (x0 ), C(x0 ) = αi ∂ ∗ fi (x0 ) + i∈I j∈J(x0 ) ta nhận sup z ∗ ∈C(x0 ) z∗; v = (αi sup i∈I x∗ ; v ) + x∗ ∈A(i) (βj sup j∈J(x0 ) 0, ∀v ∈ X Từ suy z∗; v sup z ∗ ∈clcoC(x 0) 0, ∀v ∈ X y ∗ ∈B(j) y∗; v ) 27 Khi đó, áp dụng định lí tách [2] cho tập lồi đóng sau  βj ∂ ∗ gj (x0 ) αi ∂ ∗ fi (x0 ) + clcoC(x0 ) = clco  i∈I  j∈J(x0 ) {0} ta thu   βj ∂ ∗ gj (x0 ) αi ∂ ∗ fi (x0 ) + ∈ clco  i∈I j∈J(x0 ) Hơn nữa, dễ thấy   βj ∂ ∗ gj (x0 ) αi ∂ ∗ fi (x0 ) + clco  i∈I j∈J(x0 )   αi co∂ ∗ fi (x0 ) + = cl  i∈I βj co∂ ∗ gj (x0 ) j∈J(x0 ) Vì vậy,   αi co∂ ∗ fi (x0 ) + ∈ cl  i∈I βj co∂ ∗ gj (x0 ) j∈J(x0 ) Định lí chứng minh Lý luận cho ta điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho tốn (VP) ngơn ngữ đạo hàm theo phương (Dini) hàm mục tiêu hàm ràng buộc Định lý 3.1.5 (Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh) Giả sử x0 nghiệm hữu hiệu toán (VP) Giả sử x0 , (a) fi , i ∈ I , khả vi theo phương fi0 (x0 ; ) tuyến tính với i0 thuộc I fk (x0 ; ) tuyến tính với ∀k ∈ I\{i0 }; (b) gj− (x0 ; ) tuyến tính với j ∈ J(x0 ) Nếu (GGCQ) x0 tồn số thực αi > βj j ∈ J(x0 ) cho βj gj− (x0 ; v) αi fi (x0 ; v) + i∈I j∈J(x0 ) 0, ∀v ∈ X 0, với i ∈ I 28 Nhận xét 3.1.6 Trong định lí 3.1.4 vi phân suy rộng ∂ ∗ fi (x0 ) ∂ ∗ gj (x0 ) với i ∈ I, j ∈ J(x0 ) giả thiết thêm compact yếu∗ kết luận định lí 3.1.4 là: tồn số thực αi > βj cho βj co∂ ∗ gj (x0 ) αi co∂ ∗ fi (x0 ) + 0∈ i∈I j∈j(x0 ) Thật vậy, trường hợp tập hợp vế phải tập compact Chú ý rằng, với i ∈ I j ∈ J(x0 ), gj quy x0 gj− (x0 ; ) = gj+ (x0 ; ) = gj0 (x0 ; ) ⇒ gj− (x0 ; ) tuyến tính vi phân Clarke ∂C fi (x0 ) ∂C gj (x0 ) tập compact yếu∗ tương ứng vi phân suy rộng lồi fi gj x0 , tập phần tử {Dfi (x0 )} vi phân suy rộng fi x0 fi khả vi Gâteaux x0 Dễ dàng chứng minh hai hệ sau định lí 3.1.4, điều kiện Kuhn - Tucker mạnh diễn đạt ngôn ngữ vi phân Clarke Hệ 3.1.7 Giả sử x0 nghiệm hữu hiệu toán (VP) Giả sử x0 : fi , i ∈ I khả vi theo phương với fi0 (x0 ; ) tuyến tính với số i0 thuộc I fk (x0 ; ) tuyến tính với k ∈ I\{i0 }; (b) gj− (x0 ; ) tuyến tính gj quy x0 , j ∈ J(x0 ) Nếu (GGCQ) x0 tồn số thực αi > βj 0, với i ∈ I, j ∈ J(x0 ) cho (a) 0∈ αi ∂C fi (x0 ) + i∈I βj ∂C gj (x0 ) j∈J(x0 ) Hệ 3.1.8 Giả sử x0 ∈ X nghiệm hữu hiệu toán (VP) Giả sử x0 , fi có đạo hàm Gâteaux Dfi (x0 ), i ∈ I ; (b) gj− (x0 ; ) tuyến tính gj quy x0 , j ∈ J(x0 ) Nếu (GGCQ) x0 tồn số thực αi > βj 0, với i ∈ I, j ∈ J(x0 ) cho (a) 0∈ αi Dfi (x0 ) + i∈I βj ∂C gj (x0 ) j∈J(x0 ) 29 3.2 Các điều kiện đủ cho điều kiện quy Guignard suy rộng Trong mục này, trình bày số điều kiện quy mà chúng suy rộng điều kiện quy cho trường hợp khả vi (xem [9]) Sau trình bày điều kiện đủ cho (GGCQ) Do đó, điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho nghiệm hữu hiệu toán (VP) Giả sử x ∈ M điểm chấp nhận tốn (VP) (GACQ1) Điều kiện quy Abadie suy rộng 1, T (Qi (x), x) C(Q(x), x) ⊆ i∈I (GACQ2) Điều kiện quy Abadie suy rộng 2, C(Q(x), x) ⊆ T (Q(x), x) (GCCQ) Điều kiện quy Cottle suy rộng Các hàm fi− (x; ) gj− (x; ) với i ∈ I, j ∈ J(x) tuyến tính; với i ∈ I , hệ thống fk− (x; v) < 0, k ∈ I\{i}, gj− (x; v) < 0, j ∈ J(x), (3.9) (3.10) có nghiệm d(i) ∈ X (GSCQ) Điều kiện quy Slater suy rộng Các hàm fi− (x; ) gj− (x; ) với i ∈ I j ∈ J(x) tuyến tính; hàm fi , gj với i ∈ I, j ∈ J(x) giả lồi; với i ∈ I , hệ fk (y) < fk (x), k ∈ I\{i}, gj (y) < gj (x), j ∈ J(x), có nghiệm x(i) ∈ X (GLCQ) Điều kiện quy tuyến tính suy rộng Các hàm fi gj với i ∈ I, j ∈ J(x) giả lõm mạnh x (GLOCQ) Điều kiện quy hàm mục tiêu tuyến tính suy rộng 30 Hàm fi giả lõm mạnh x với ∀i ∈ I Các hàm fi− (x; ) gj− (x; ) với i ∈ I j ∈ J(x) tuyến tính; hệ fi− (x; v) 0, gj− (x; v) < 0, i ∈ I, j ∈ J(x) (3.11) (3.12) có nghiệm d ∈ X (GMFCQ) Điều kiện quy Mangasarian-Fromovitz suy rộng Các hàm fi− (x; ) gj− (x; ) với i ∈ I j ∈ J(x) tuyến tính; với i ∈ I , hệ fk− (x; v) 0, k ∈ I\{i}, gj− (x; v) < 0, j ∈ J(x) fk− (x; v) < 0, k ∈ I\{i} có nghiệm u(i) ∈ X ; với i ∈ I , hệ có nghiệm v (i) ∈ X Bây ta trình bày mối quan hệ điều kiện quy Nhận xét 3.2.1 Theo định nghĩa, ta có (GACQ2) kéo theo (GACQ1) (GACQ1) kéo theo (GGCQ) Mệnh đề 3.2.2 (GCCQ) kéo theo (GACQ1) Chứng minh Giả sử x ∈ X điểm chấp nhận toán (VP) giả sử d ∈ C(Q(x), x) Để chứng minh mệnh đề, cần d ∈ T (Qi (x), x), ∀i ∈ I Trước hết, d ∈ C(Q(x), x), theo định nghĩa C(Q(x), x), ta có fi− (x; d) 0, i ∈ I, gj− (x; d) 0, j ∈ J(x) Với i ∈ I tuỳ ý, giả sử d(i) thoả mãn hệ (3.9)-(3.10) (GCCQ) Khi đó, fk− (x; d(i) ) < 0, k ∈ I\{i}, 31 gj− (x; d(i) ) < 0, j ∈ J(x) Vì fi− (x; ) gj− (x; ) với i ∈ I j ∈ J(x) tuyến tính theo (GCCQ), từ bất đẳng thức suy với số thực t > cố định, fk− (x; d + td(i) ) fk− (x; d) + tfk− (x; d(i) ) < 0, k ∈ I\{i}, (3.13) gj− (x; d) + tgj− (x; d(i) ) < 0, j ∈ J(x) (3.14) gj− (x; d + td(i) ) Theo định nghĩa đạo hàm Dini ta có: fk− (x; d fk (x + t(d + td(i) )) − fk (x) , + td ) = lim inf t↓0 t (i) gj (x + t(d + td(i) )) − gj (x) , t↓0 t từ bất đẳng thức (3.13) (3.14) suy tồn dãy {tn }, tn ↓ cho với n gj− (x; d + td(i) ) = lim inf fk x + tn (d + td(i) ) < fk (x), k ∈ I\{i}, (3.15) gj x + tn (d + td(i) ) < gj (x), j ∈ J(x) (3.16) Hơn nữa, gj (x) < với j ∈ J\J(x) gj , j ∈ J Lipschitz, ta suy với tn đủ nhỏ, gj x + tn (d + td(i) ) < 0, j ∈ J\J(x) (3.17) Theo định nghĩa Qi (x) bất đẳng thức (3.15) -(3.17) đảm bảo với giá trị tn đủ nhỏ, x + tn (d + td(i) ) ∈ Qi (x) Theo định nghĩa nón tiếp liên điều kéo theo, d + td(i) ∈ T (Qi (x), x) (3.18) Vì t > tuỳ ý, nên d ∈ cl{d + td(i) : t > 0, t ∈ R} T (Qi (x), x) đóng nên cl{d + td(i) : t > 0, t ∈ R} ⊂ T (Qi (x), x) Vì từ (3.18) ta suy d ∈ T (Qi (x), x) Mệnh đề chứng minh 32 Mệnh đề 3.2.3 (GSCQ) kéo theo (GCCQ) Chứng minh Giả sử x ∈ X điểm chấp nhận toán (VP) Chúng ta cần rằng, (GSCQ) đảm bảo với i ∈ I hệ (3.9)-(3.10) (GCCQ) có nghiệm Thật vậy, từ (GSCQ) ta suy với i ∈ I , tồn x(i) cho, fk (x(i) ) < fk (x), k ∈ I\{i}, gj (x(i) ) < gj (x), j ∈ J(x), Vì fi gj với i ∈ I j ∈ J(x) giả lồi (GSCQ), có: fk− (x; x(i) − x) < 0, k ∈ I\{i}, gj− (x; x(i) − x) < 0, j ∈ J(x) kéo theo d(i) = x(i) −x nghiệm hệ (3.9)-(3.10) (GCCQ) Mệnh đề 3.2.4 (GLCQ) kéo theo (GACQ2) Chứng minh Giả sử x ∈ X điểm chấp nhận toán (VP) giả sử d ∈ C(Q(x), x) Ta chứng minh d ∈ T (Q(x); x), tức ∃(tn ; dn ) → (0+ ; d) cho x + tn dn ∈ Q(x) Từ định nghĩa C(Q(x), x), ta có: Do đó, với tn = fi− (x; d) 0, i ∈ I, gj− (x; d) 0, j ∈ J(x) , n = 1, 2, , n fi− (x; (x + tn d) − x) = fi− (x; tn d) 0, i ∈ I, (3.19) gj− (x; (x + tn d) − x) = gj− (x; tn d) 0, j ∈ J(x), (3.20) fi− (x; ) gj− (x; ) với i ∈ I j ∈ J hàm Giả sử fi (x + tn d) > fi (x), i ∈ I Do (GLCD) nên fi giả lõm mạnh 33 x, theo nhận xét 1.2.6 ta suy fi− (x, (x + tn d) − x) > Điều mâu thuẫn với (3.19) Do vậy: fi (x + tn d) fi (x), i∈I (3.21) j ∈ J(x) (3.22) Tương tự, ta có: gi (x + tn d) gi (x) = 0, Hơn nữa, với j ∈ J\J(x), gj (x) < gj Lipschitz nên suy với n đủ lớn, j ∈ J\J(x) gj (x + tn d) < 0, (3.23) Từ bất đẳng thức (3.21), (3.22), (3.23) ta suy rằng, với n đủ lớn x + tn d ∈ Q(x) Như vậy, ∃(tn ; dn ) = ( ; d) → (0+ ; d) : x + tn dn ∈ Q(x) ⇒ n d ∈ T (Q(x), x) Mệnh đề 3.2.5 (GLOCQ) kéo theo (GACQ2) Chứng minh Giả sử x ∈ X điểm chấp nhận toán (VP) Trước tiên, ta chứng minh rằng, d thoả mãn hệ (3.11)-(3.12) (GLOCQ) d ∈ T (Q(x), x) Thực vậy, d thoả mãn (3.12), tức gj− (x; d) < 0, j ∈ J(x), theo định nghĩa đạo hàm Dini dưới, tồn dãy tn giảm dần tới cho gi (x + tn d) = gj (x + tn d) − gj (x) < 0, j ∈ J(x) (3.24) Cũng d thoả mãn (3.11), tức fi− (x; d) 0, i ∈ I theo (GLOCQ), fi , i ∈ I giả lõm mạnh, theo ý 1.2.6, có fi (x + tn d) fi (x), i ∈ I (3.25) Với j ∈ J\J(x) gj (x) < gj Lipschitz, suy với n đủ lớn, gj (x + tn d) < 0, j ∈ J\J(x) (3.26) Từ bất đẳng thức (3.24), (3.25), (3.26) suy x + tn d ∈ Q(x) n đủ lớn Điều kéo theo d ∈ T (Q(x), x) 34 Bây giả sử d ∈ C(Q(x), x) tuỳ ý Ta chứng minh d ∈ T (Q(x), x) Theo định nghĩa C(Q(x), x), fi− (x; d) 0, i ∈ I, gj− (x; d) 0, j ∈ J(x) Giả sử d thoả mãn hệ (3.11), (3.12) (GLOCQ) fi− (x; ) gj− (x; ) với i ∈ I, j ∈ J(x) tuyến tính nên: fi− (x; d + tn d) fi− (x; d) + tn fi− (x; d) gj− (x; d + tn d) gj− (x; d) + tn gj− (x; d) < 0, Từ suy ra, d + tn d thoả mãn hệ (3.11), (3.12) Vì vậy, theo lập luận ta có, d + tn d ∈ T (Q(x), x) Vì lim (d + tn d) = d T (Q(x); x) tập đóng nên d ∈ T (Q(x), x) n→∞ Do C(Q(x); x) ⊆ T (Q(x); x) Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 3.2.6 (GMFCQ) (GCCQ) Chứng minh Giả sử x điểm chấp nhận toán (VP) (⇒) : Giả sử (GMFCQ) x i ∈ I tuỳ ý Giả sử u(i) , v (i) nghiệm hệ (GMFCQ), tức: fk− (x; u(i) ) 0, k ∈ I\{i}, gj− (x; u(i) ) < 0, j ∈ J(x), fk− (x; v (i) ) < 0, k ∈ I\{i} Vì fi− (x; ) gj− (x; ) với i ∈ I j ∈ J(x) hàm liên tục, điều suy với số thực t > đủ nhỏ, fk− (x; v (i) + tu(i) ) < 0, k ∈ I\{i}, gj− (x; v (i) + tu(i) ) < 0, j ∈ J(x) 35 Hình 3.1: Mối quan hệ điều kiện quy Từ đây, chọn số thực t > đủ nhỏ cho v (i) + tu(i) thoả mãn hệ (3.9)-(3.10) (GCCQ) Tức v (i) +tu(i) nghiệm hệ (GCCQ) Điều chứng tỏ (GMFCQ) kéo theo (GCCQ) (⇐) : Giả sử (GCCQ) đúng, tức hệ fk− (x; v) < 0, k ∈ I\{i}, gj− (x; v) < 0, j ∈ J(x) có nghiệm v (i) Rõ ràng, v (i) nghiệm hệ (GMFCQ) ⇒ (GMFCQ) Mệnh đề chứng minh Ta tóm tắt mối quan hệ điều kiện quy Hình 3.1 36 Kết luận Luận văn trình bày kết nghiên cứu điều kiện Kuhn - Tucker mạnh cho toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc bất đẳng thức với hàm khả vi liên tục Lipschitz địa phương Các kết luận văn bao gồm: • Một số kiến thức vi phân Clarke vi phân suy rộng; • Các điều kiện Kuhn - Tucker mạnh cho toán tối ưu véc tơ với ràng buộc bất đẳng thức cho trường hợp hàm khả vi ; • Các điều kiện Kuhn - Tucker mạnh cho toán tối ưu véc tơ với ràng buộc bất đẳng thức với hàm Lipschitz địa phương ngơn ngữ vi phân suy rộng; • Mối quan hệ điều kiện quy khơng trơn Điều kiện tối ưu cho toán tối ưu véc tơ ngôn ngữ vi phân suy rộng đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu 37 Tài liệu tham khảo [Tiếng Việt] [1] Đỗ Văn Lưu (1999), Giải tích Lipschitz, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [2] Đỗ Văn Lưu - Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [3] Nguyễn Xuân Tấn - Nguyễn Bá Minh (2007), Lý thuyết tối ưu không trơn, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội [Tiếng Anh] [4] J Dutta, S Chandra (2004), "Convexifactors, generalized convexity and vector optimization", Optimization, vol 53, 77-94 [5] G Giorgi, B Jiménez, V Novo (2004), "On constraint qualifications in directionally differentiable multiobjective optimization problems", RAIRO Operations Research, vol 38, 255-274 [6] V Jeyakumar, D.T Luc (1999), "Nonsmooth calculus, minimality and monotonicity of convexificators", J Optim Theory Appl, vol 101, 599621 [7] X.F Li, J.Z Zhang (2005), "Stronger Kuhn-Tucker type conditions in nonsmooth multiobjective optimization: Locally Lipschitz case", J.Optim Theory Appl, vol 127 (2005), 367-388 [8] D.V Luu (2014), "Convexifactors and necessary conditions for efficiency", Optimization, vol 63, 321-335 38 [9] T Maeda (1994), "Constraint qualifications in multiobjective optimization problems: Differentiable case", J.Optim Theory Appl, vol 80, 483500 [10] O.L Mangasarian (1969), Nonlinear Programming, McGraw-Hill, New York, New York ... Điều kiện Kuhn - Tucker mạnh cho toán tối ưu đa mục tiêu Lipschitz địa phương Chương trình bày điều kiện Kuhn - Tucker mạnh X.F Li J.Z Zang [7] cho toán tối ưu đa mục tiêu với hàm Lipschitz địa. .. hàm khả vi theo phương 11 Chương Điều kiện Kuhn - Tucker mạnh cho toán tối ưu đa mục tiêu khả vi Chương trình bày điều kiện Kuhn - Tucker mạnh Maeda [9] cho toán tối ưu đa mục tiêu khả vi có... ưu đa mục tiêu khả vi 11 2.1 Phát biểu toán 11 2.2 Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh 13 Điều kiện Kuhn - Tucker mạnh cho toán tối ưu đa mục tiêu Lipschitz địa