BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI - Đào Văn Dƣơng TỐN TỬ TÍCH PHÂN VÀ CƠ SỞ SĨNG NHỎ TRÊN MỘT SỐ KHƠNG GIAN HÀM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI Đào Văn Dƣơng TỐN TỬ TÍCH PHÂN VÀ CƠ SỞ SĨNG NHỎ TRÊN MỘT SỐ KHƠNG GIAN HÀM Chun ngành: Phƣơng trình vi phân tích phân Mã số : 62 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Nguyễn Minh Chƣơng HÀ NỘI – 2013 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu hướng dẫn khoa học Giáo sư Nguyễn Minh Chương Các kết viết chung với người hướng dẫn trí người hướng dẫn đưa vào luận án Các kết luận án chưa cơng bố cơng trình khoa học khác Tác giả Đào Văn Dương Lời cảm ơn Luận án thực hoàn thành Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, hướng dẫn tận tình nghiêm khắc Giáo sư Nguyễn Minh Chương Thầy hướng dẫn truyền đạt cho tác giả kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học điều thật quý báu sống Sự động viên, tin tưởng Thầy động lực để tác giả hoàn thành luận án Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Trong q trình nghiên cứu hồn thành luận án, tác giả nhận động viên, hướng dẫn Thầy Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt Bộ mơn Giải tích Tác giả xin chân thành cảm ơn quan tâm giúp đỡ Thầy Trong q trình học tập hồn thành luận án, tác giả nhận giúp đỡ, góp ý GS.TSKH Đỗ Ngọc Diệp, GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng, PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, TS Trần Đình Kế, TS Cung Thế Anh Tác giả xin chân thành cảm ơn quan tâm, giúp đỡ Thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy, Cô giáo anh chị em NCS, Cao học Xêmina "Toán tử giả vi phân, sóng nhỏ trường thực, p-adic" Giáo sư Nguyễn Minh Chương chủ trì, Viện Tốn học, Xêmina Bộ mơn Giải tích, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, động viên, giúp đỡ tác giả nghiên cứu sống Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Phòng đào tạo Sau đại học tồn thể cán bộ, cơng nhân viên Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình thực luận án Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn đến Thầy, Cơ khoa Toán Trường Đại học Quy Nhơn Thầy Viện Toán học tham gia giảng dạy cao học, khóa 7, Đại học Quy Nhơn, truyền đạt cho tác giả kiến thức toán học hữu ích Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Xây dựng Miền Trung, nơi tác giả công tác, tạo điều kiện thuận lợi mặt để tác giả yên tâm hoàn thành luận án Tác giả chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp gần xa, đặc biệt cha mẹ, vợ trai người thân gia đình, giúp đỡ, động viên tác giả suốt trình thực luận án Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Đào Văn Dương MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT Ký hiệu Diễn giải N : Tập hợp số tự nhiên Z : Tập hợp số nguyên Q : Trường số hữu tỷ R : Trường số thực Rn : Không gian véctơ n chiều trường R Qp : Trường số p-adic, với p số nguyên tố Qnp : Không gian véctơ n chiều trường Qp Ip : Tập hợp phần phân thức số p-adic Zp : Hình cầu đơn vị Qp Z∗p : Tập hợp phần tử Zp khác khơng Ipn : Tích Descartes n tập Ip Bγ (a), Bγ : Hình cầu tâm a, tâm 0, bán kính pγ Sγ (a), Sγ : Mặt cầu tâm a, tâm 0, bán kính pγ |x|p : Chuẩn phần tử x Qnp Lq (Rn ), Lq (Qnp ) : Tập hàm khả tích bậc q Rn , Qnp Lqloc (Qnp ) : Tập hàm khả tích địa phương bậc q Qnp L1loc (Rn ) : Tập hàm khả tích địa phương Rn B α,q (Rn ) : Không gian Besov Rn BM O(Rn ) : Không gian BMO Rn H (Rn ) : Không gian Hardy Rn V M O(Rn ) : Không gian VMO Rn n B α,q ,k (R ) : Khơng gian Besov có trọng Rn BM Ok (Rn ) : Khơng gian BMO có trọng Rn α,β Fr,q (Qnp ) : Không gian Triebel-Lizorkin Qnp K α,q (Qnp ) : Không gian Herz Qnp Mqλ (Qnp ) : Không gian Morrey Qnp M K α,q (Qnp ) : Không gian Morrey-Herz Qnp D(Qnp ) : Tập hàm địa phương có giá compact Qnp D (Qnp ) : Tập phiếm hàm tuyến tính liên tục D(Qnp ) Ff : Biến đổi Fourier hàm f trường số p-adic χ : Hàm đặc trưng cộng tính trường số p-adic Uψ : Tốn tử Hardy-Littlewood có trọng Vψ : Tốn tử Cesàro có trọng [b, Uψ ] , [b, Vψ ] : Giao hoán tử toán tử Uψ , Vψ với hàm b MRA : Xấp xỉ đa phân giải (Multiresolution Analysis) BMO : Bounded Mean Oscillation VMO : Vanishing Mean Oscillation Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Bảng ký hiệu MỞ ĐẦU Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ SỞ 18 1.1 Không gian Lebesgue 18 1.2 Tích chập biến đổi Fourier trường thực 20 1.3 Trường số p-adic 22 1.4 Độ đo tích phân trường số p-adic 25 1.5 Biến đổi Fourier tích chập p-adic 27 1.6 Các định lý nội suy 31 Chương TỐN TỬ TÍCH PHÂN SĨNG NHỎ TRÊN MỘT SỐ KHƠNG GIAN HÀM 34 2.1 34 Giới thiệu 2.2 Tốn tử tích phân sóng nhỏ không gian Besov, BMO Hardy 2.3 38 Tốn tử tích phân sóng nhỏ khơng gian Besov, BMO có trọng 48 Chương TỐN TỬ TÍCH PHÂN HARDY-LITTLEWOOD CĨ TRỌNG TRÊN TRƯỜNG P-ADIC 56 3.1 Giới thiệu 57 3.2 Tốn tử Hardy-Littlewood có trọng không gian TriebelLizorkin trường p-adic 3.3 60 Tốn tử Hardy-Littlewood có trọng không gian MorreyHerz trường p-adic 3.4 69 Giao hoán tử tốn tử Hardy-Littlewood có trọng khơng gian Morrey-Herz trường p-adic 78 Chương TỐN TỬ TÍCH PHÂN VLADIMIROV VÀ CƠ SỞ SÓNG NHỎ P-ADIC TRONG Lr (Qnp ) 4.1 Tốn tử tích phân Vladimirov sóng nhỏ p-adic 4.2 Cơ sở sóng nhỏ khơng điều kiện gồm hàm riêng toán tử Dα không gian Lr (Qnp ) 4.3 87 88 96 Cơ sở Greedy không gian Lr (Qnp ) 110 Kết luận kiến nghị 116 Danh mục công trình cơng bố 118 Tài liệu tham khảo 119 MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Trong khoảng 20 năm trở lại đây, lý thuyết sóng nhỏ xuất phát triển mạnh Lý thuyết cơng cụ có hiệu lực để giải nhiều toán quan trọng Vật lý toán nói riêng Khoa học, Cơng nghệ nói chung (xem cơng trình [8], [21], [22], [36], [49], [50], [51], ) Nhờ lý thuyết sóng nhỏ, người ta nghiên cứu lý thuyết toán tử (đặc biệt lý thuyết tốn tử tích phân kỳ dị CalderónZygmund hay lý thuyết toán tử giả vi phân) lý thuyết khơng gian phiếm hàm, từ tìm đặc trưng không gian phiếm hàm quan trng nh Hăolder, Zygmund, Sobolev, Besov, Hardy, BMO (xem, chẳng hạn, [21], [36], [49]) Ngược lại, sử dụng lý thuyết toán tử để nghiên cứu lý thuyết sóng nhỏ, đặc biệt việc nghiên cứu cấu trúc nghiệm phương trình lọc (xem [18], [19], [20]) Ngày phát triển lý thuyết sóng nhỏ gắn với lý thuyết toán tử giả vi phân lý thuyết không gian hàm làm cho tính khoa học tính ứng dụng chúng ngày cao Tốn tử tích phân sóng nhỏ phận quan trọng lý thuyết sóng nhỏ Sóng nhỏ, tốn tử tích phân sóng nhỏ 115 Khi ta có p 2nγ r −γ Ω(|p x − a|p ) r ≥ pnα0 (x) (4.26) γ∈A2 a∈B2 Lập luận tương tự (4.21), ta có pn nα0 (x) p Ω(|p x − a|p ) ≤ n p p −1 nγ γ∈A2 a∈B2 −γ (4.27) Các bất đẳng thức (4.25), (4.26) (4.27) cho ta M g Theo giả thiết n r ≥ p− r (E2 × A2 × B2 ) r (E1 × A1 × B1 ) = (4.28) (E2 × A2 × B2 ) nên từ (4.24) (4.28) ta có điều cần chứng minh Kết luận chương Trong chương 4, chứng minh hệ sở sóng nhỏ p-adic gồm hàm riêng tốn tử Vladimirov Dα lập thành sở khơng điều kiện không gian Lr (Qnp ) với < r < ∞ Từ đưa đặc trưng cho không gian Lr (Qnp ) theo hệ số Fourier sóng nhỏ p-adic Ngồi ra, chúng tơi hệ hàm riêng sau chuẩn hóa tạo thành sở Greedy không gian Lr (Qnp ) 116 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Những kết Luận án Chứng minh tính bị chặn tốn tử tích phân sóng nhỏ khơng gian Besov, BMO, VMO Hardy H không gian Besov BMO có trọng Từ chúng tơi thu dáng điệu tiệm cận tốn tử tích phân sóng nhỏ ứng với tham biến thang bậc a nhỏ khơng gian Ngồi ra, chúng tơi đánh giá khoảng cách hai tốn tử tích phân sóng nhỏ ứng với sóng nhỏ sở khác không gian hàm Đưa điều kiện cần đủ cho hàm trọng ψ để tốn tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng tốn tử Cesàro có trọng bị chặn khơng gian Triebel-Lizorkin, Morrey-Herz trường p-adic Đặc biệt, tính chuẩn tốn tử trường hợp Ngồi ra, chúng tơi đưa điều kiện đủ để giao hoán tử toán tử Hardy-Littlewood có trọng tốn tử Cesàro có trọng với toán tử nhân hàm Lipschitz bị chặn không gian Morrey-Herz trường p-adic Chứng minh hệ sở sóng nhỏ p-adic gồm hàm riêng toán tử Vladimirov Dα lập thành sở không điều kiện không gian Lr (Qnp ) với < r < ∞ Từ đưa đặc trưng cho không gian Lr (Qnp ) theo hệ số Fourier sóng nhỏ p-adic Hơn nữa, chúng tơi sóng nhỏ p-adic sau chuẩn hóa lập thành sở Greedy không gian Lr (Qnp ) 117 Những vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu Tiếp theo kết luận án, tác giả thấy có số vấn đề tiếp tục nghiên cứu ◦ Nghiên cứu tốn tử tích phân sóng nhỏ khơng gian Hardy có trọng Hω (Rn ) với < ≤ ◦ Trên trường số thực, sở sóng nhỏ nghiên cứu nhiều không gian phiếm hàm Tuy nhiên trường số p-adic, kết cịn khiêm tốn Nghiên cứu sở sóng nhỏ p-adic số không gian phiếm hàm khác trường số p-adic ◦ Nghiên cứu số lớp phương trình giả vi phân p-adic khơng gian Lr (Qnp ) Các kết luận án báo cáo ◦ Xêmina "Tốn tử giả vi phân, sóng nhỏ trường thực, padic", Viện Toán học, Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam ◦ Xêmina Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 118 Danh mục cơng trình công bố Nguyen Minh Chuong, Dao Van Duong (2013), Boundedness of the wavelet integral operator on weighted function spaces, Russian Journal of Mathematical Physics, Vol.20, No.3, pp 268-275 Nguyen Minh Chuong, Dao Van Duong (2013), Weighted HardyLittlewood operators and commutators on p-adic functional spaces, p−Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, Vol.5, No.1, pp 65-82 Nguyen Minh Chuong, Dao Van Duong (2013), Wavelet bases in the Lebesgue spaces on the field of p-adic numbers, p−Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, Vol.5, No.2, pp 106-121 119 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] Albeverio S., Evdokimov S., Skopina M (2010), "p-Adic multiresolution analysis and wavelet frames", J Fourier Anal Appl., 16(5), pp 693-714 [2] Albeverio S., Khrennikov A Yu., Shelkovich V M (2006), "Harmonic analysis in the p-adic Lizorkin spaces: fractional operators, pseudo-differential equations, p-wavelets, Tauberian theorems", J Fourier Anal Appl., 12(4), pp 393-425 [3] Albeverio S., Khrennikov A Yu., Shelkovich V M (2011), "The Cauchy problems for evolutionary pseudo-differential equations over p-adic field and the wavelet theory", J Math Anal Appl., 375(1), pp 82-98 [4] Albeverio S., Kozyrev S V (2009), "Multidimensional basis of padic wavelets and representation theory", p-Adic numbers, Ultrametric Anal Appl., 1(3), pp 181-189 [5] Andersen K F., Muckenhoupt B (1982), "Weighted weak type 120 Hardy inequalities with applications to Hilbert transforms and maximal functions", Studia Math., 72(1), pp 9-26 [6] Bednorz W (2008), "Greedy bases are best for m-term approximation", Constr Approx., 28(3), pp 265-275 [7] Benedetto J J., Benedetto R L (2004), "A wavelet theory for local fields and related groups", J Geom Anal., 14(3), pp 423-456 [8] Beykin G., Coifman R., Rocklin V (1991), "Fast wavelet transform and numberical algorithms", Comm Pure Appl Math., 44(2), pp 141-183 [9] Nguyen Minh Chuong, Egorov Yu V., Khrennikov A Yu., Meyer Y., Mumford D (2007), Harmonic, wavelet and p-adic analysis, World Scientific [10] Nguyen Minh Chuong, Ciarlet P G., Lax P., Mumford D., Phong D H (2007), Advances in deterministic and stochastic analysis, World Scientific [11] Nguyen Minh Chuong, Nguyen Van Co (1999), "The multidimensional p-adic Green function", Proc AMS., 127(3), pp 685-694 [12] Nguyen Minh Chuong, Nguyen Van Co (2008), "The Cauchy problem for a class of pseudodifferential equations over p-adic field", J Math Anal Appl., 340(1), pp 629-643 [13] Nguyen Minh Chuong, Bui Kien Cuong (2004), "Convergence estimates of Galerkin-wavelet solutions to a Cauchy problem for a class 121 of periodic pseudodifferential equations", Proc Amer Math Soc., 132(12), pp 3589-3597 [14] Nguyen Minh Chuong, Ta Ngoc Tri (2002), "The integral wavelet transform in weighted Sobolev spaces", Abstract and Applied Analysis, 7(3), pp 135-142 [15] Chui C K (1992), An introduction to wavelets, Academic Press, New York [16] Christ M., Grafakos L (1995), "Best constants for two nonconvolution inequalities", Proc AMS., 123(6), pp 1687-1693 [17] Coifman R R., Rochberg R., Weiss G (1976), "Factorization theorems for Hardy spaces in several variables", Annals of Mathematics, 103(3), pp 611-635 [18] Cohen A., Daubechies I C (1996), "A new technique to estimate the regularity of refinable functions", Rev Mat Iberoamericana, 12(2), pp 527-591 [19] Didenko V (2005), "Spectral radii of refinement and subdivision operators", Proc AMS., 133(8), pp 2335-2346 [20] Didenko V., Yeo W P (2010), "The spectral radius of matrix continuous refinement operators", Advances in Comp Math., 33(1), pp 113-127 [21] Daubechies I C (1992), Ten lectures on wavelets, SIAM, Philadelphia 122 [22] Daubechies I C (1988), "Orthonormal bases of compactly supported wavelets", Comm Pure Appl Math., 41(7), pp 909-996 [23] Donoho D L (1992), Interpolating wavelet transforms, Preprint, Department of Statistics, Stanford University [24] Edmunds D E., Evans W D (2004), Hardy operators, function spaces and embeddings, Springer-Verlag, Berlin [25] Faris W (1976), "Weak Lebesgue spaces and quantum mechanical binding", Duke Math J., 43(2), pp 365-373 [26] Fefferman C (1971), "Characterizations of bounded mean oscillation", Bull Amer Math Soc., 77(4), pp 587-588 [27] Fefferman C (1973), "Pointwise convergence of Fourier series", Annals of Mathematics, 98(3), pp 551-571 [28] Folland G B (1999), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, A Wiley-Interscience Publication [29] Fu Z W., Lu S Z (2008), "A remark on weighted Hardy-Littlewood averages on Herz-type spaces", Advances in Mathematics (China), 37(5), pp 632-636 [30] Fu Z W., Liu Z G., Lu S Z (2009), "Commutators of weighted Hardy operators", Proc Amer Math Soc., 137(10), pp 3319-3328 [31] Grafakos L (2008), Classical Fourier Analysis, Springer 123 [32] Grossman A., Morlet J., Paul T (1985), "Transforms associated to square integrable group representations I: General results", J Math Physics, 26(10), pp 2473-2479 [33] Haetzstein S., Salinas O (2008), "Weighted BMO and Carleson measures on spaces of homogeneous type", J Math Anal Appl., 342(2), pp 950-969 [34] Hardy G H (1920), "Note on a theorem of Hilbert", Math Z., 6, pp 314-317 [35] Ha Duy Hung (2014), "The p-adic weighted Hardy - Cesàro operator and an application to discrete Hardy inequalities", J Math Anal Appl., 409(2), pp 868–879 [36] Hernandez E., Weiss G (1996), A first course on wavelets, CRC Press, Boca Raton [37] Hăormander L (1981), The Analysis of Linear Partial Differential Operators II, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, New York, Tokyo [38] Izuki M., Sawano Y (2009), "Wavelet bases in the weighted Besov and Triebel–Lizorkin spaces with Aloc p -weights", J Approx Theory, 161(2), pp 656-673 [39] Konyagin S.K., Temlyakov V.N (1999), "A remark on Greedy approximation in Banach spaces", East J Approx., 5(3), pp 365-379 [40] Khrennikov A Yu., Shelkovich V M., Skopina M (2009), "p-Adic 124 refinable functions and MRA-based wavelets", J Approx Theory, 161(1), pp 226-238 [41] Khrennikov A Yu., Shelkovich V M (2009), "Non-Haar p-adic wavelets and their application to pseudo-differential operators and equations", Appl Comput Harmon Anal., 28(1), pp 1-23 [42] Khrennikov A Yu (1997), Non-Archimedean Analysis: Quantum Paradoxes, Dynamical Systems and Biological Models, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London [43] Khrennikov A Yu., Shelkovich V M., Skopina M (2009), "pAdic orthogonal wavelet bases", p-Adic numbers, Ultrametric Anal Appl., 1(2), pp 145-156 [44] Klenke A (2008), Probability Theory, Springer-Verlag [45] Kozyrev S V (2002), "Wavelet analysis as a p-adic spectral analysis", Izv Ross Akad Nauk: Ser Math., 66(2), pp 149-158 [46] Kozyrev S V (2011), "Methods and applications of ultrametric and p-adic analysis: From wavelet theory to biophysics", Proc Steklov Inst Math., 274(1), pp 1-84 [47] Liu Z., Fu Z W (2006), "Weighted Hardy-Littlewood averages on Herz spaces", Acta Math Sinica (Chinese ser.), 49, pp 1085-1090 [48] Lukkassena D., Meidella A., Persson L E., Samko N (2012), "Hardy and singular operators in weighted generalized Morrey spaces with 125 applications to singular integral equations", Math Meth Appl Sci., 35, pp 1300-1311 [49] Meyer Y (1992), Wavelets and Operators, Advanced Mathematics, Cambridge University Press [50] Meyer Y (1989), Wavelets and Applications, Proceedings of International Congress of Mathematics, Kyoto, Japan [51] Mallat S (1989), "Multiresolution approximation and wavelet orthonormal bases of L2 (R)", Trans AMS., 315(1), pp 69-87 [52] Massopust P R (1994), Fractal functions, fractal surfaces and wavelet, Academic Press [53] Minggen C., Gao G., Chung P (2002), "On the wavelet transform in the field Qp of p-adic numbers", Appl Comput Harmon Anal., 13(2), pp 162-168 [54] Morrey C (1938), "On the solutions of quasi-linear elliptic partial differential equations", Trans Amer Math Soc., 43(1), pp 126-166 [55] Nakai E (2006), "The Campanato, Morrey and Hăolder spaces on spaces of homogeneous type", Studia Math., 176(1), pp 1-19 [56] Okikiolu G O (1971), Aspects of the Theory of Bounded Integral Operators in Lp -Spaces, Academic Press, London, New-York [57] Onneweer C W (1982), "Generalized Lipschitz classes and Herz spaces on certain totally disconnected groups", Lecture Notes in Math., 939, pp 106-121 126 [58] M Paluszy´ nski (1995), "Characterization of the Besov spaces via the commutator operator of Coifman, Rochberg and Weiss", Indiana Univ Math J., 44(1), pp 1-17 [59] Pathak R S (2004), "The continuous wavelet transform of distributions", Tohoku Math J., 56(3), pp 411-421 [60] Pathak R S., Singh S K (2007), "Boundedness of the wavelet transform in certain function spaces", J Inequal Pure Appl Math., 8(1), art 9, 11 pages [61] Perrier V., Basdevant C (1996), "Besov norms in terms of the continuous wavelet transform Application to structure functions", Math Models Meth Appl Sci., 6(5), pp 649-664 [62] Phillips K (1967), "Hilbert transforms for the p-adic and p-series fields", Pacific J Math., 23(2), pp 329-347 [63] Rim K S., Lee J (2006), "Estimates of weighted Hardy-Littlewood averages on the p-adic vector space", J Math Anal Appl., 324(2), pp 1470-1477 [64] Rieder A (1991), "The wavelet transform on Sobolev spaces and its approximation properties", Numer Math., 58(1), pp 875-894 [65] Rogers K M (2005), "A van der Corput lemma for the p-adic number", Proc AMS., 133(12), pp 3525-2534 [66] Shelkovich V M., Skopina M (2009), "p-Adic Haar multiresolution 127 analysis and pseudodifferential operators", J Fourier Anal Appl., 15(3), pp 366-393 [67] Stein E M (1970), Singular integral and differentiability properties of functions, Princeton University Press [68] Stein E M (1993), Harmonic analysis, real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals, Princeton University Press [69] Strang G (1993), "Wavelet transform versus Fourier transform", Bull Amer Math Soc., 28(2), pp 288-305 [70] Străomberg J O (1983), A modified Franklin system and higherorder spline systems on Rn as unconditional bases for Hardy spaces, Conference in Harmonic Analysis in Honor of Antoni Zygmund, II, Wadsworth, Belmont Ca, pp 475-493 [71] Taibleson M (1975), Fourier analysis on local fields, Princeton University Press, Princeton [72] Tang C., Zhai Z (2010), "General Poincaré embeddings and weighted Hardy operator on Qα,q p ", J Math Anal Appl., 371(2), pp 665-676 [73] Tang C., Zhou R (2012), "Boundedness of weighted Hardy operator and its adjoint on Triebel-Lizorkin type spaces", J Funct Spaces Appl., 2012, Article ID 610649, pages [74] Tang C., Xue F., Zhou Y (2011), "Commutators of weighted Hardy 128 operators on Herz-type spaces", Annales Polonici Mathematici, 101(3), pp 267-273 [75] Temlyakov V N (1998), "The best m-approximation and greedy algorithms", Advances in Comp Math., 8(3), pp 249-265 [76] Temlyakov V N (2011), Greedy Approximation, Cambridge University Press, Cambridge [77] Vladimirov V S., Volovich I V., Zelenov E I (1994), p-Adic analysis and mathematical physis, World Scientific [78] Vladimirov V S (1990), "On the spectrum of some pseudodifferential operators over p-adic number field", Algebra and Analysis, 2, pp 107-124 [79] Volosivets S S (2010), "Multidimensional Hausdorff operator on p-adic field", p-Adic numbers, Ultra Anal Appl., 2(3), pp 252-259 [80] Volosivets S S (2011), "Hausdorff operator of special kind on p-adic field and BMO-type spaces", p-Adic numbers, Ultrametric Anal Appl., 3(2), pp 149-156 [81] Volosivets S S (2011), "Modified Hardy and Hardy-Littlewood operators and their behaviour in various spaces", Izvestiya: Mathematics, 75(1), pp 29-52 [82] Volosivets S S (2012), "Hausdorff operator of special kind in Morrey and Herz p-adic spaces", p-Adic numbers, Ultrametric Anal Appl., 4(3), pp 222-230 129 [83] Volosivets S S (2013), "Hausdorff operators on p-adic linear spaces and their properties in Hardy, BMO, and Hăolder spaces", Mathematical Notes, 93(2), pp 382-391 [84] Wojtaszczyk P (1997), A Mathematical Introduction to Wavelets, Cambridge University Press, Cambridge [85] Wu J (2009), "Boundedness of commutators on homogeneous Morrey-Herz spaces over locally compact Vilenkin groups", Anal Theory Appl., 25(3), pp 283-296 [86] Xiao J (2001), "Lp and BMO bounds of weighted Hardy-Littlewood averages", J Math Anal Appl., 262(2), pp 660-666 Tiếng Pháp [87] Carton-Lebrun C., Fosset M (1984), "Moyennes et quotients de Taylor dans BMO", Bull Soc Roy Sci Liége, 53(2), pp 85-87 ... TỐN TỬ TÍCH PHÂN VLADIMIROV VÀ CƠ SỞ SÓNG NHỎ P-ADIC TRONG Lr (Qnp ) 4.1 Tốn tử tích phân Vladimirov sóng nhỏ p-adic 4.2 Cơ sở sóng nhỏ khơng điều kiện gồm hàm riêng toán tử Dα không gian. .. )−khoảng cách hai tốn tử tích phân sóng nhỏ ứng với sóng nhỏ sở khác nhau, qua cho thấy phụ thuộc vào sóng nhỏ sở hàm biến số tốn tử tích phân sóng nhỏ Định lý 2.2.4 Nếu ψ, φ sóng nhỏ sở f, g ∈ B α,q... TỐN TỬ TÍCH PHÂN SĨNG NHỎ TRÊN MỘT SỐ KHƠNG GIAN HÀM Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tính bị chặn tốn tử tích phân sóng nhỏ khơng gian Besov, BMO H (Rn ) Hơn nữa, với giả thiết sóng nhỏ sở