ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM DƯƠNG THỊ TÂM TẬP HÚT LÙI ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên, năm 2013 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM DƯƠNG THỊ TÂM TẬP HÚT LÙI ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC PHI TUYẾN Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Đình Bình Thái Ngun, năm 2013 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn T.S Nguyễn Đình Bình Các kết phát biểu Luận văn hồn tồn trung thực chưa cơng bố cơng trình tác giả khác Thái Nguyên, tháng năm 2013 Tác giả Dương Thị Tâm Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình bảo Tiến sĩ Nguyễn Đình Bình, Bộ Khoa học Cơng nghệ Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc lòng quý mến thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, Khoa Sau đại học, Khoa Toán trường Đại học sư phạm- Đại học Thái Nguyên, Trung tâm học liệu - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình tác giả học tập trường Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học tốn K19 ln quan tâm, động viên, giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập q trình làm luận văn giúp tác giả hồn thành luận văn Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc Thái Ngun, tháng 04 năm 2013 Tác giả Dương Thị Tâm i Mục lục Mục lục MỞ ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các không gian hàm 1.2 Không gian hàm phụ thuộc thời gian 1.3 Tập hút toàn cục 1.3.1 Một số khái niệm 1.3.2 Tập hút toàn cục 1.3.3 Sự tồn tập hút toàn cục 1.4 Tập hút trình đơn trị 1.5 Tập hút lùi (Pullback attractors) 1.5.1 Tập hút lùi tập bị chặn cố định 1.5.2 Tập hút lùi họ tập phụ thuộc thời gian 1.6 Một số bất đẳng thức thường dùng SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT NGHIỆM YẾU 2.1 Đặt toán 2.1.1 Các giả thiết toán 2.1.2 Định nghĩa nghiệm yếu toán 2.2 Sự tồn nghiệm yếu toán i 5 7 11 13 15 15 20 24 26 26 26 27 28 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI TRONG S02 (Ω) ∩ L2p−2 (Ω) 39 3.1 Sự tồn tập hút lùi L2p−2 (Ω) 39 3.2 Sự tồn tập hút lùi S02 (Ω) 48 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 MỞ ĐẦU Lịch sử phát triển lý chọn đề tài Các phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến xuất nhiều trình vật lí, hóa học sinh học, chẳng hạn q trình truyền nhiệt khuếch tán, q trình truyền sóng học chất lỏng, phản ứng hóa học, mơ hình quần thể sinh học, Việc nghiên cứu lớp phương trình có ý nghĩa quan trọng khoa học cơng nghệ Chính thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học giới Các vấn đề đặt nghiên cứu tính đặt toán (sự tồn nghiệm, phụ thuộc liên tục nghiệm theo kiện cho) tính chất định tính nghiệm (tính trơn, dáng điêu tiệm cận nghiệm, ) Sau nghiên cứu tính đặt tốn, việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian vơ quan trọng cho phép ta hiểu dự đoán xu phát triển hệ động lực tương lai, từ ta có điều chỉnh thích hợp để đạt kết mong muốn Về mặt toán học, điều làm nảy sinh hướng nghiên cứu mới, phát triển mạnh mẽ khoảng ba thập kỉ gần Lí thuyết hệ động lực tiêu hao vơ hạn chiều Lí thuyết nằm giao chuyên ngành Lí thuyết hệ động lực, Lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng Lí thuyết phương trình vi phân thường (xem Bảng phân loại tốn học năm 2010) Bài tốn lí thuyết nghiên cứu tồn tính chất tập hút, chẳng hạn đánh giá số chiều fractal số chiều Hausdorff, phụ thuộc liên tục tập hút theo tham biến, tính trơn tập hút, xác định modes, Tập hút toàn cục cổ điển tập compact, bất biến, hút tất quỹ đạo hệ chứa đựng nhiều thông tin dáng điệu tiệm cận hệ Cụ thể với quỹ đạo cho trước hệ khoảng thời gian T tùy ý, ta tìm quỹ đạo nằm tập hút toàn cục mà dáng điệu thời gian đủ lớn hai quỹ đạo sai khác đủ nhỏ khoảng có độ dài T Tuy nhiên, tập hút toàn cục áp dụng cho trường hợp ơtơnơm, nhiều q trình có ngoại lực phụ thuộc vào thời gian Do cần phải mở rộng khái niệm tập hút cho hệ động lực không ôtônôm Việc mở rộng nghiên cứu tập hút dẫn đến khái niệm tập hút cho trường hợp quỹ đạo nghiệm bị chặn thời gian t tiến vơ hạn, sau khái niệm tập hút lùi cho trường hợp quỹ đạo nghiệm thời gian t tiến vơ hạn Trong ba thập kỉ gần đây, nhiều nhà toán học nghiên cứu thu nhiều kết lí thuyết tập hút nhiều lớp phương trình vi phân đạo hàm riêng (xem,chẳng hạn, chuyên khảo [3] tổng quan [2]) Một lớp phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu nhiều lớp phương trình parabolic Lớp phương trình mơ tả nhiều q trình vật lí, hóa học sinh học trình truyền nhiệt, trình phản ứng khuếch tán, mơ hình tốn học sinh học quần thể, Sự tồn tập hút toàn cục phương trình hệ phương trình parabolic nửa tuyến tính khơng suy biến nghiên cứu nhiều tác giả, miền bị chặn không bị chặn (xem [7], [11]) Tính liên tục tập hút tồn cục tốn parabolic nghiên cứu cơng trình [2], [6], [7], [10] Trong năm gần đây, tồn tập hút lùi chứng minh cho phương trình parabolic với điều kiện biên phi tuyến ([4], [5], [12]), phương trình parabolic với điều kiện biên động lực [13] Cho đến nay, kết lí thuyết tập hút lùi phương trình parabolic khơng suy biến phong phú hoàn thiện Tuy nhiên, kết tương ứng trường hợp phương trình phi tuyến cịn Việc nghiên cứu tồn tính chất tập hút lớp phương trình parabolic phi tuyến vấn đề thời sự, có ý nghĩa khoa học hứa hẹn có nhiều ứng dụng toán thực tế Với lí trên, chúng tơi lựa chọn vấn đề chứng minh tồn nghiệm yếu chứng minh tồn tập hút lùi lớp phương trình parabolic phi tuyến làm nội dung nghiên cứu Luận văn với tên gọi "Tập hút lùi lớp phương trình parabolic phi tuyến" Phương pháp nghiên cứu • Chứng minh tồn nghiệm yếu: sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin kết hợp với bổ đề compact (thường gọi phương pháp compact tài liệu) • Chứng minh tồn tập hút: sử dụng phương pháp lí thuyết hệ động lực vơ hạn chiều, nói riêng phương pháp đánh giá tiên nghiệm tiệm cận Mục đích luận văn Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu tồn nghiệm yếu tồn tập hút lùi lớp phương trình parabolic phi tuyến chứa toán tử Grushin miền bị chặn - Nghiên cứu toán:    ut − Gs u + f (u) = g(t, x), (t, x) ∈ Qτ,T = (τ, T ] × Ω,   u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t ∈ (τ, T ],     u(x, τ ) = u (x), x ∈ Ω, τ Gs u = ∆x1 u + |x1 |2s ∆x2 u, x = (x1 , x2 ) ∈ Ω ⊂ RN1 × RN2 , s ≥ 0, toán tử Grushin, uτ ∈ L2 (Ω) Đối với tốn này, chúng tơi nghiên cứu: • Chứng minh tồn nghiệm yếu tốn (2.1) • Chứng minh tồn tập hút lùi không gian S02 (Ω) ∩ L2p−2 (Ω) Bố cục Luận văn Luận văn bao gồm: Mở đầu, ba chương nội dung chính, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương Trình bày khái niệm kết tổng quát tập hút lùi toàn cục, tập hút tập hút lùi, kết không gian hàm toán tử sử dụng luận văn số kiến thức bổ trợ khác Chương Nghiên cứu tồn nghiệm yếu toán Chương Chứng minh tồn tập hút lùi S02 (Ω) ∩ L2p−2 (Ω) 39 Chương SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI TRONG S02(Ω) ∩ L2p−2(Ω) 3.1 Sự tồn tập hút lùi L2p−2(Ω) Trong phần ta chứng minh tồn tập hút lùi L2p−2 (Ω) Để chứng minh điều ta cần thêm điều kiện hàm g t eλ1 t ||g (t)||m Lm (Ω) dt < +∞, ∀t ∈ R, (3.1) −∞ m, m định nghĩa (3.7) Bổ đề 3.1.1 Quá trình {U (t, τ )} sinh toán (2.1) có tập hấp thụ lùi L2p−2 (Ω) Chứng minh Nhân (2.1) với |u|p−2 u lấy tích phân Ω, ta ut |u|p−2 udx + (p − 1) Ω |∇x1 u|2 + |x1 |2s |∇x2 u|2 |u|p−2 dx Ω f (u) |u|p−2 udx = + Ω g(t)|u| Ω p−2 udx (3.2) 40 Từ (2.2) Lp (Ω) ⊂ Lp−2 (Ω), ta có p C1 |u|p − C2 |u|p−2 dx ≥ C1 ||u||2p−2 L2p−2 (Ω) − C2 |u|p f (u)|u|p−2 udx ≥ Ω Ω Mặt khác, theo Bất đẳng thức Cauchy, ta có ut |u|p−2 udx ≤ C1 ||u||L2p−2 |ut |22 , 2p−2 (Ω) + C1 Ω g(t)|u|p−2 udx ≤ C1 ||u||L2p−2 |g(t)|22 2p−2 (Ω) + 4 (3.3) Ω Kết hợp (3.2) (3.3), ta có p ||u||2p−2 L2p−2 (Ω) ≤ C |ut |2 + |u|p + |g(t)|2 Áp dụng (2.9) Bổ đề 2.2.4, ta kết luận tồn tập hấp thụ lùi L2p−2 (Ω) cho trình U (t, τ ) Bổ đề 3.1.2 Với s ∈ R, ≤ p < ∞, với tập bị chặn B ⊂ L2 (Ω), tồn τ0 cho |ut (s)|p dx ≤ M, ∀τ ≤ τ0 , uτ ∈ B, Ω M phụ thuộc vào s, p không nằm B , ut (s) = (d/dt)(U (t, τ )uτ )|t=s Chứng minh Ta chứng minh Bổ đề quy nạp N (s) > kí hiệu v = ut , ta chứng minh rằng: với N (s) − k = 0, 1, 2, , tồn τk Mk (s) cho Đặt β = k eλ1 s |v(s)|2β dx ≤ Mk (s), với uτ ∈ B, τ ≤ τk , (Pk ) Ω s+1 1/β e s 2β k+1 λ1 r |v(s)| Ω dx dr ≤ Mk (s), với uτ ∈ B, τ ≤ τk , (Qk ) 41 τk phụ thuộc vào k B Mk phụ thuộc vào k Với k=0 ta có (P0 ) từ (2.19) Lấy tích phân (2.18) sử dụng S01 (Ω) → L2β (Ω) liên tục, ta có (Q0 ) Giả sử (Pk ) (Qk ) thỏa mãn, ta chứng minh (Pk+1 ) (Qk+1 ) Nhân k+1 (2.17) với |v|2β −2 v lấy tích phân Ω, ta có C d dt |v|2β k+1 |∇x1 v|2 + |x1 |2s |∇x2 v|2 |v|β dx + C Ω 2k+1 −2 dx Ω |v|2β ≤l k+1 dx + (g (t), |v|2β k+1 −2 v) (3.4) Ω Sử dụng phép nhúng S01 (Ω) → L2β (Ω), ta |∇x1 v|2 +|x1 |2s |∇x2 v|2 |v|β 2k+1 |v|2 |v|2β dx ≥ Ω k+1 −2 dx (3.5) Ω 1/β = k+1 ||v β ||2L2β (Ω) 2β k+2 |v| = dx Ω Kết hợp Bất đẳng thức Holder Bất đẳng thức Young, ta có 1/m 2β k+1 −2 g (t)|v| vdx ≤ Ω 1/n (2β k+1 −1)n m |g (t)| dx |v| Ω dx (3.6) Ω n /n m /m m |v| |g (t)| dx ≤ Do Do Ω m + (2β k+1 −1)n dx Ω n 1 1 + = + = Chọn n, n’ cho m n m n n 2β k+1 − n = 2β k+2 ; = n β 2β k+2 2β k+1 n = k+1 ; n = k+1 2β −1 2β −1 n 2β k+1 − m= = k+2 ; m = 2β k+1 k+1 n − 2β − 2β +1 (3.7) 42 Từ (3.6), ta có 2β k+1 −2 g (t)|v| vdx ≤ g (t) m m Lm (Ω) 1/β + n 2β k+2 |v| Ω dx (3.8) Ω Áp dụng (3.5) (3.6) vào (3.4), ta 1/β d λ1 t e dt 2β k+1 |v| |v| dx + Ce Ω ≤ Ceλ1 t 2β k+2 λ1 t dx (3.9) Ω |v|2β k+1 dx + Ceλ1 t g (t) m Lm (Ω) Ω Kết hợp (Qk ) (3.9), sử dụng Bất đẳng thức Gronwall sử dụng giả thiết (3.1), ta (Pk+1 ) Mặt khác lấy tích phân (3.9) từ t đến t + 1, ta (Qk+1 ) Vì β > 1, nên ta có k ≥ logβ p/2 Ta nhận điều phải chứng minh Ta sử dụng Bổ đề sau: t eσs |ϕ(s)|2 ds < Bổ đề 3.1.3 (xem [20]) Nếu tồn σ > thỏa mãn −∞ ∞ ∀t ∈ R, t lim γ→+∞ −∞ e−γ(t−s) |ϕ(s)|2 ds = 0, t ∈ R Đặt Hm = span {e1 , e2 , , em } L2 (Ω) đặt Pm : L2 (Ω) → Hm ∞ phép chiếu trực giao ei i=1 véc tơ riêng toán tử A = −Gs Với ∈ L2 (Ω), ta có u = Pm u + (I − Pm )u = u1 + u2 Bổ đề 3.1.4 Với t ∈ R, B ⊂ L2 (Ω) với ε, tồn τ0 (t, B, ε) m0 ∈ N cho |(I − Pm ) v|22 < ε, ∀τ ≤ τ0 , ∀uτ ∈ B, m ≥ m0 (3.10) 43 Chứng minh Nhân (2.17) với v2 = (I − Pm ) v sau lấy tích phân Ω, sử dụng |∇v2 |22 ≥ λm |v2 |22 sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: d |v2 |22 + λm |v2 |22 ≤ C |f (u)v|2 dx + C|g (t)|22 (3.11) dt Ω Nhân (3.11) với eλm t sử dụng giả thiết (2.3), ta d λm t e |v2 |2 ≤ Ceλm t dt |u|2(p−2) |v|2 dx + Ceλm t |g (t)|22 (3.12) Ω Lấy tích phân (3.12) từ s tới t, ta eλm t |v2 (t)|22 (3.13) t ≤ eλm s |v2 (s)|22 + C t eλm r s t ≤ eλm s |v(s)|22 + C |u|2(p−2) |v|2 dxdr + C eλm r |g (r)|22 dr s Ω t eλm r −∞ |u|2(p−2) |v|2 dxdr + C eλm r |g (r)|22 dr −∞ Ω Lấy tích phân (3.13) theo s từ τ tới t, ta t (t − τ )eλm t |v2 (t)|22 ≤ eλm r |v(r)|22 dr τ t + C(t − τ ) −∞ t + C(t − τ ) −∞ eλm r |u|2(p−2) |v|2 dxdr Ω eλm r |g (r)|22 dr 44 Do t |v2 (t)|22 ≤ t−τ e−λm (t−r) |v(r)|22 dr (3.14) −∞ t e−λm (t−r) +C −∞ t |u|2(p−2) |v|2 dxdr Ω e−λm (t−r) |g (r)|22 dr +C −∞ Sử dụng Bổ đề 3.1.3 λm → +∞ m → +∞, tồn τ1 m1 cho t t ε e−λm (t−r) |g (r)|22 dr < , e−λm (t−r) C (3.15) t−τ −∞ −∞ ε |v(r)|22 dr < , với τ ≤ τ1 m ≥ m1 Từ (3.14), sử dụng Bất đẳng thức Holder, ta có t e−λm (t−r) −∞ t |u|2(p−2) |v|2 dxdr Ω ≤ e −∞ (−p−1)(t−r) (p−2)λm |u|2p−2 dx p−2 p−1 Ω e dr Ω t ≤ e−(p−1)λm (t−r) |v|2p−2 dx p−1 (−p−1)(t−r) (p−2)λm ||u||2p−2 L2p−2 (Ω) dr −∞ p−2 p−1 t e−(p−1)λm (t−r) dr −∞ |v|2p−2 dx p−1 Ω Từ Bổ đề (3.1.3) - (3.1.7), ta thấy tồn τ2 m2 ∈ N cho t ε |u|2(p−2) |v|2 dxdr < , ∀τ ≤ τ0 , m ≥ m2 e−λm (t−r) C −∞ (3.16) Ω Đặt τ0 = min{τ1 , τ2 } m0 = max{m1 , m2 }, từ (3.14) sử dụng (3.15) (3.16), ta (3.10) 45 Bổ đề 3.1.5 (xem [4]) Giả sử B tập bị chặn Lq (Ω)(q ≥ 1) Nếu B có ε-net hữu hạn Lq (Ω), tồn tập M = M (B, ε) cho với u ∈ B ta có |u|q dx < ε Ω(|u|≥M ) Sử dụng Bổ đề 3.1.4, 3.1.5 2.2.4 ta kết luận tập {ut (s) : s ≤ t, uτ ∈ B} có ε-net hữu hạn L2 (Ω) Từ đó, ta có kết sau Bổ đề 3.1.6 Với t ∈ R, với tập bị chặn B ⊂ L2 (Ω) với ε > 0, tồn τ0 ≤ t M0 > cho |ut (t)|2 dx < ε, ∀τ < τ0 , M > M0 , uτ ∈ B Ω(|u|≥M ) Bổ đề 3.1.7 (xem [4]) Với t ∈ R, với tập bị chặn B ⊂ L2 (Ω) với ε > 0, tồn τ0 M0 > cho mes(Ω(u(t) ≥ M )) < ε, ∀τ ≤ τ0 , M ≥ M0 , uτ ∈ B, mes độ đo Lebesgue RN Ω(u(t) ≥ M )) = {x ∈ Ω : u(t, x) ≥ M } Bổ đề 3.1.8 (xem [5]) Giả sử {U (t, τ )} trình liên tục mạnh-yếu L2 (Ω) Lq (Ω), q ≥ Khi {U (t, τ )} compact tiệm cận lùi Lq (Ω) (i) {U (t, τ )} compact tiệm cận lùi L2 (Ω); (ii) Với t ∈ R, với tập bị chặn D ⊂ L2 (Ω) với ε > 0, tồn M > τ0 ≤ t cho |U (t, τ )uτ |q dx ≤ Cε, sup sup τ ≤τ0 uτ ∈D Ω(|U (t,τ )uτ |≥M ) C khơng phụ thuộc vào M, τ, uτ ε 46 Bây ta chứng minh tồn tập hút lùi L2p−2 (Ω) Định lý 3.1.9 Giả sử (2.2) - (2.5), (3.1) thỏa mãn Khi q trình {U (t, τ )} sinh tốn (2.1) có tập hút lùi A2p−2 = {A2p−2 (t)}t∈R L2p−2 (Ω) Chứng minh Do Bổ đề 3.1.8 {U (t, τ )} có tập hấp thụ lùi L2p−2 (Ω), ta cần chứng minh: Với t ∈ R, với B ⊂ L2 (Ω) với ε > 0, tồn τ2 ≤ τ M2 > cho |u|2p−2 dx ≤ Cε, ∀τ ≤ τ2 , M ≥ M2 , uτ ∈ B Ω(|u|≥M ) Nhân (2.1) với (u − M )p−1 L2 (Ω), +   u − M u ≥ M, (u − M )+ =  u < M Ta có ut (u − M )p−1 + dx + (p − 1) Ω p−2 |∇x1 u|2 + |x1 |2s |∇x2 u|2 |u − M |+ dx Ω f (u)(u − M )p−1 + dx + (3.17) Ω g(t)(u − M )p−1 + dx ≤ Ω Qua số tính tốn, ta có f (u)(u − M )p−1 + dx ≥ C |u|2p−2 dx + C Ω(u≥M ) Ω ut (u − M )p−1 + dx ≤ − Ω C |u|2p−2 dx + Ω(u≥M ) |u|p dx, Ω(u≥M ) C |ut |2 dx, Ω(u≥M ) 47 g(t)(u−M )p−1 + dx ≤ C Ω |u|2p−2 dx+ Ω(u≥M ) C |g(t)|2 dx (3.18) Ω(u≥M ) Từ (3.17) (3.18), ta có |u|2p−2 dx (3.19) Ω(u≥M ) |ut |2 dx + ≤C Ω(u≥M ) |g(t)|2 dx + C Ω(u≥M ) |u|p dx Ω(u≥M ) (3.20) Áp dụng Bổ đề 3.1.5 3.1.6 vào (3.19), ta thấy tồn τ0 M0 cho |u|2p−2 dx < ε, ∀τ ≤ τ0 , M ≥ M0 Ω(u≥M ) p−1 Lặp lại lập luận thay (u − M )+ |(u + M )− |p−2 (u + M )− , ta |u|2p−2 dx < ε, τ ≤ τ1 , M ≥ M1 , Ω(u≤−M ) với τ1 ≤ t M1 < 0,   u + M u ≤ −M, (u + M )− =  u > M Đặt τ2 = min{τ0 , τ1 } M2 = max{M0 , M1 }, ta có |u|2p−2 dx < Cε, ∀τ ≤ τ2 , M ≥ M2 Ω(|u|≥M2 ) Điều hoàn thành việc chứng minh 48 3.2 Sự tồn tập hút lùi S02(Ω) Trong phần ta chứng minh tồn tập hút lùi S02 (Ω) Bổ đề 3.2.1 Quá trình {U (t, τ )} sinh tốn (2.1) có tập hấp thụ lùi S02 (Ω) Chứng minh Nhân (2.1) với −Gs u sau sử dụng f (0) = 0, ta ||u||2S02 (Ω) = f (u) |∇x1 u|2 +|x1 |2s |∇x2 u|2 dx− ut Gs udx− Ω Ω g(t)Gs udx Ω (3.21) Sử dụng f (u) ≥ −l, sử dụng Bất đẳng thức Cauchy lí luận Bổ đề 3.1.1 từ (3.21), ta có ||u||2S02 ≤ |u|22 + l||u||2 + |g(t)|22 Sử dụng (2.15), ta có điều phải chứng minh Để chứng minh tồn tập hút lùi S02 (Ω), ta thử "điều kiện (PDC)", định nghĩa sau Định nghĩa 3.2.2 Quá trình {U (t, τ )} thỏa mãn điều kiện (PDC) X với t ∈ R với tập bị chặn B ⊂ L2 (Ω) với ε > tồn τ0 ≤ t không gian hữu hạn chiều X1 X cho (i) P ( τ ≤τ0 U (t, τ )B) bị chặn X; (ii) ||(IX − P )U (t, τ )uτ ||X < ε với τ ≤ τ0 uτ ∈ B , P:X → X1 phép chiếu tắc IX phép đồng Bổ đề 3.2.3 (xem [19]) Nếu trình {U (t, τ )} thỏa mãn điều kiện (PDC) X compact tiệm cận lùi X Nếu X lồi điều ngược lại 49 Giả sử κ(A) độ đo Kuratowski L2 (Ω) định nghĩa κ(A) = inf{δ > 0/A có phủ mở gồm tập có đường kính < δ} Bổ đề 3.2.4 (xem [4]) Giả sử f thỏa mãn (2.2) (2.4) Khi với tập A ⊂ L2p−2 (Ω), κ(A) < ε L2p−2 (Ω), κ(f (A)) < Cε L2 (Ω), f (A) = {f (u)/u ∈ A} số C phụ thuộc vào chuẩn L2p−2 A, độ đo Lebesgue Ω hệ số (H1 ) Định lý 3.2.5 Giả sử f thỏa mãn (2.2) - (2.4), g thỏa mãn (2.5) (3.1) Khi q trình {U (t, τ )} sinh tốn (2.1) có tập hút lùi A = {A(t) : t ∈ R} S02 (Ω) Chứng minh Ta xét quỹ đạo nằm hoàn toàn tập hút lùi A2p−2 L2p−2 (Ω) cho U (t, τ ), có nghĩa u(t) ∈ A2p−2 (t) U (t, τ )uτ = u(t) với t ≥ τ Đặt A = −Gs nhân (2.1) với Au2 = A(I − Pm )u = (I − Pm )Au, ta có (ut , Au2 ) + ||u2 ||2S02 (Ω) + f (u)Au2 dx = g(t), Au2 Ω Sử dụng Bất đẳng thức Holder, ta ||u2 ||2S02 (Ω) ≤ C |(I − Pm )ut |22 + |(I − Pm )g(t)|22 + (f (u))2 dx Ω Sử dụng Bổ đề 3.1.4 3.2.4 g ∈ Cloc (R; L2 (Ω)), ta thấy {U (t, τ )} thỏa mãn điều kiện (PDC) S02 (Ω) Từ Định lý 3.1.9 3.2.5, ta có định lý: Định lý 3.2.6 Quá trình {U (t, τ )} sinh tốn (2.1) có tập hút lùi S02 (Ω) ∩ L2p−2 (Ω) 50 KẾT LUẬN Nội dung luận văn nghiên cứu tồn nghiệm yếu tồn tập hút lùi lớp phương trình parabolic phi tuyến Những kết đạt q trình nghiên cứu tốn (2.1) là: Sự tồn nghiệm yếu toán Sự tồn tập hút lùi S02 (Ω) ∩ L2p−2 (Ω) Hướng nghiên cứu tiếp theo, tác giả dự định nghiên cứu số tính chất tập hút lùi chứng minh tồn tính trơn, tăng trưởng số mũ, số chiều, tập hút lùi 51 Tài liệu tham khảo [1] Cung Thế Anh (2012), Cơ sở lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều, Đại học sư phạm, Hà Nội [2] A V Babin (2006), “Global Attractors in ADE”, Hasselblatt, B.(ed.) et al., Handbook of dynamical systems Volume 1B Amsterdam: Elesevier 938-1085 [3] A.V Babin and M.I Vishik (1992), Attractors of Evolution Equations Transl from the Russian by A.V Babil, Studies in Mathematics and its Applications 25 Amsterdam etc North- Holland.x,532 p [4] C.-K Zhong, M.-H Yang, and C.-Y Sun(2006), “The existence of global attractors for the norm-to-weak continuous semigroup and application to the nonlinear reaction-diffusion equations,” Journal of Differential Equations, vol 223, no 2, pp 367–399 [5] C T Anh(2010), “Pullback attractors for non-autonomous parabolic equations involving Grushin operators,” Electronic Journal of Differential Equations, vol 2010, pp 1- 14 [6] C T Anh, P Q Hung, T D Ke, and T T Phong(2008), “Global attractors for a semilinear parabolic equation involving Grushin operator”, Electronic Journal of Differential Equations, no 32, pp 111 [7] C T Anh and T.T Phong (2009),“Global attractors for a semilinear parabolic equations involving weighted p-Laplacian operators”, Ann Pol Math 98, 251-271 52 [8] C T Anh and N.V Quang (2011), “Uniform attractors for nonautonomous parabolic equation involving Grushin operator”, Acta Math Vietnam 36, no 1,19-33 [9] J C Robinson(2001), “Infinite-Dimensional Dynamical Systems”, Cambridge Texts in Applied Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge, UK [10] J M Arrieta, A.N Carvalho and A Rodiriguez-Bernal (2000), “Upper semicontinuity for attractors of parabolic problems with localized large diffusion and nonlinear boundary conditions”, J Differential Equations 168, 533-559 [11] J M Arrieta, J.W Cholewa, T Dlotko and A Rodriguez-Bernal (2004), “Asymptotic behavior and attractors for reaction diffusion equations in unbounded domains”, Nonlinear Anal 56,515;554 [12] G Lukaszewicz(2010), “On pullback attractors in Lp for nonautonomous reaction-diffusion equations,” Nonlinear Analysis, vol 73, no 2, pp 350–357 [13] M Anguiano, P Marín-Rubio and J Real (2011), “Pullback attractors for non-autonomous reaction-diffusion equations with dynamical boundary conditions,” J Math Anal 383, no 2, 608-618 [14] N T C Thuy and N M Tri(2002), “Some existence and nonexistence results for boundary value problems for semilinear elliptic degenerate operators,” Russian Journal of Mathematical Physics, vol 9, no 3, pp 365–370 [15] N.D.Binh (2012), “Regularity and Exponential Growth of Pullback Attractors for Semilinear Parabolic Equations Involving the Grushin Operator,” Abstract and Applied Analysis, Volume 2012 (2012), Article ID 272145, 20 pages [16] Q Ma, S Wang, and C Zhong(2002), “Necessary and sufficient conditions for the existence of global attractors for semigroups and applications,” Indiana University Mathematics Journal, vol 51, no 6, pp 1541–1559 53 [17] R Temam (1997), “Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics”, 2nd edition, Springer-Verlag [18] V.V Chepyzhov and M.I Vishik (2002), “Attractors for Equations of Mathematical Physics” Amer Math Soc Colloq Publ., Vol 49, Amer Math Soc, Providence, RI [19] Y Li and C Zhong(2007), “Pullback attractors for the norm-to-weak continuous process and application to the nonautonomous reactiondiffusion equations,” Applied Mathematics and Computation, vol 190, no 2, pp 1020–1029 [20] Y Wang and C Zhong(2008), “On the existence of pullback attractors for non-autonomous reaction-diffusion equations”, Dynamical Systems, vol 23, no 1, pp 1–16 ... nghiệm yếu chứng minh tồn tập hút lùi lớp phương trình parabolic phi tuyến làm nội dung nghiên cứu Luận văn với tên gọi "Tập hút lùi lớp phương trình parabolic phi tuyến" Phương pháp nghiên cứu... tập hút nhiều lớp phương trình vi phân đạo hàm riêng (xem,chẳng hạn, chuyên khảo [3] tổng quan [2]) Một lớp phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu nhiều lớp phương trình parabolic Lớp phương trình. .. Tính liên tục tập hút toàn cục tốn parabolic nghiên cứu cơng trình [2], [6], [7], [10] Trong năm gần đây, tồn tập hút lùi chứng minh cho phương trình parabolic với điều kiện biên phi tuyến ([4],