ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ THỊ THÙY DƯƠNG TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM YẾU CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN, 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ THỊ THÙY DƯƠNG TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM YẾU CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TSKH NGUYỄN MINH TRÍ Thái Nguyên - Năm 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cam đoan Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu Các kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Thái Ngun, tháng năm 2014 Tác giả Vũ Thị Thùy Dương i Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Một số ký hiệu • C(U ) = {u : U → R | u liên tục} • C(U¯ ) = {u ∈ C(U ) | u liên tục đều} • C k (U ) = {u : U → R | u liên tục khả vi k lần} • C k (U¯ ) = {u ∈ C k (U ) | Dα u liên tục với |α| ≤ k } ¯ ) Dα u thác triển liên tục tới U¯ với đa Do đó: u ∈ C k (U số α, |α| ≤ k • L2 ([a, b], Rm ): tập hàm khả tích bậc hai [a, b] lấy giá trị Rm • C ∞ (U ) = C ∞ (U¯ ) = ∞ C k (U ) = {u : U → R | u khả vi vô hạn lần}, k=0 ∞ C k (U¯ ) k=0 • Cc (U ), Cck (U ), ,, ký hiệu hàm C(U ), C k (U ), , với giá compact • Lp (U ) = {u : U → R | u đo Lebesgue, u Lp (U ) < ∞} Trong u Lp (U ) p p |u| dx = U (1 ≤ p < ∞) • L∞ (U ) = {u : U → R | u đo Lebesgue, u L∞ (U ) Trong u L∞ (U ) = ess sup |u| U • Lploc (U ) = {u : U → R | u ∈ Lp (V ), với V ⊂⊂ U } ii Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ < ∞} Mục lục Lời cam đoan i Một số ký hiệu ii Mục lục iii Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Holder 1.2 Không gian Sobolev 1.2.1 Đạo hàm yếu 1.2.2 Không gian Sobolev 1.2.3 Không gian H −1 1.2.4 Không gian phụ thuộc thời gian Một số bất đẳng thức 1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy với ε 1.3.2 Bất đẳng thức Holder 1.3.3 Bất đẳng thức nội suy chuẩn Lp 1.3.4 Bất đẳng thức Gronwall 1.3.5 Bất đẳng thức Sobolev 1.3.6 Bất đẳng thức Hardy - Littlewood 1.3 Nghiệm yếu hệ phương trình Navier-Stokes 2.1 10 Phương trình Stokes 10 iii Số hóa Trung tâm Học lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.2 2.3 2.1.1 Định nghĩa 10 2.1.2 Tính chất 11 Toán tử Stokes 11 2.2.1 Định nghĩa 11 2.2.2 Tính chất 11 Nghiệm yếu hệ phương trình Navier-Stokes 13 2.3.1 Định nghĩa 13 2.3.2 Sự tồn nghiệm yếu hệ Navier - Stokes 14 Tính quy nghiệm yếu hệ phương trình Navier - Stokes 17 3.1 Nghiệm yếu quy 17 3.2 Điều kiện quy nghiệm yếu thông qua tiêu chuẩn lượng 19 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 iv Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Hệ phương trình Navier-Stokes lần nghiên cứu vào năm 1822, có nhiều cơng trình nghiên cứu viết phương trình nhiên hiểu biết ta phương trình cịn khiêm tốn Muốn hiểu tượng sóng dập sau đuôi tàu chạy mặt nước hay tượng hỗn loạn khơng khí sau máy bay bay bầu trời, phải tìm cách giải hệ phương trình Navier-Stokes Do nhu cầu Khoa học Công nghệ mà việc nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes ngày trở nên thời cấp thiết Hệ phương trình Navier-Stokes mơ tả chuyển động chất lỏng Rn (n = n = 3) Ta giả thiết chất lỏng khơng nén lấp đầy Rn Ta tìm hàm vector vận tốc u(t, x) = (ui (t, x)), i = 1, 2, , n hàm áp suất p(t, x), xác định vị trí x ∈ Rn thời gian t > 0, thỏa mãn hệ phương trình Navier-Stokes sau: ∂ui + ∂t n uj j=1 ∂ui ∂p = ν ui − + fi (t, x) ∂xj ∂xi (x ∈ Rn , t > 0, i = 1, 2, , n), u = (u1 , u2 , , un ), n div u = i=1 ∂ui = (x ∈ R, t > 0) ∂xi Với điều kiện ban đầu u(0, x) = u0 (x) Ở đây, hàm vector u0 (x) hàm khả vi vô hạn với div u0 = 0, fi (t, x) hàm biết biểu thị lực tác động bên ngoài, ν hệ số dương Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận tài liệu tham khảo Cụ thể sau: Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Nghiệm yếu hệ phương trình Navier-Stokes Trong chương trình bày khái niệm phương trình Stokes, tốn tử Stokes, hệ phương trình Navier - Stokes, tồn nghiệm yếu hệ phương trình Navier - Stokes Chương 3: Tính quy nghiệm yếu hệ phương trình NavierStokes Chương trình bày kết tính quy nghiệm yếu hệ phương trình Navier - Stokes Một nghiệm yếu u hệ phương trình Navier - Stokes gọi quy động năng lượng phân tán liên tục Holder trái, hàm t với số mũ Holder nửa chuẩn Holder đủ nhỏ, theo [3] Cuối cùng, tơi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS TSKH Nguyễn Minh Trí, người tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên thầy, giáo giảng dạy khố học, xin chân thành cảm ơn ThS Đào Quang Khải - Phòng Phương trình vi phân quan tâm, động viên giúp đỡ suốt thời gian học tập làm luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày sơ không gian Holder, không gian Sobolev số bất đẳng thức 1.1 Không gian Holder Cho U ⊂ Rn tập mở < γ ≤ Định nghĩa 1.1.1 (i) Hàm số u : U → R gọi liên tục Holder bậc γ tồn số C > cho |u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|γ , x, y ∈ U Khi γ = 1, hàm số u gọi liên tục Lipschitz (ii) Nếu u : U → R bị chặn liên tục, ta định nghĩa: u ¯) C(U = sup |u(x)| x∈U (iii) Nửa chuẩn Holder bậc γ u : U → R [u]C 0,γ (U¯ ) = sup x,y∈U x=y |u(x) − u(y)| |x − y|γ chuẩn Holder bậc γ u ¯) C 0,γ (U = u ¯) C(U + [u]C 0,γ (U¯ ) Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ¯ ) gồm tất hàm số Định nghĩa 1.1.2 Không gian Holder C k,γ (U u ∈ C k (U¯ ), mà chuẩn u ¯) C k,γ (U Dα u = ¯) C(U [Dα u]C 0,γ (U¯ ) + |α|≤k |α|=k ¯ ) gồm tất hàm số u cho hữu hạn Như vậy, không gian C k,γ (U đạo hàm riêng cấp k bị chặn liên tục Holder bậc γ ¯ ) không gian Banach với Định lý 1.1.1 Không gian Holder C k,γ (U chuẩn 1.2 1.2.1 · ¯ ) C k,γ (U Không gian Sobolev Đạo hàm yếu Định nghĩa 1.2.1 Giả sử u, v ∈ L1loc (U ) α đa số Ta nói v đạo hàm yếu cấp α u uDα φdx = (−1)|α| U vφdx U với hàm thử φ ∈ Cc∞ (U ) Ký hiệu Dα u = v Bổ đề 1.2.1 (Tính đạo hàm yếu) Một đạo hàm yếu cấp α u tồn xác định cách (sai khác tập có độ đo không) 1.2.2 Không gian Sobolev Định nghĩa 1.2.2 Cố định ≤ p ≤ ∞ cho k số nguyên không âm Không gian Sobolev Wpk (U ) tập tất hàm khả tổng địa phương u : U → R cho với đa số α, |α| ≤ k , đạo hàm yếu Dα u tồn thuộc Lp (U ) Chú ý: Nếu p = ta có H k (U ) = W2k (U ) (k = 0, 1, 2, ) không gian Hilbert Chú ý H (U ) = L2 (U ) Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ trù mật Vp0 theo chuẩn Lp trù mật Vp1 theo chuẩn Wp1 Ngồi ta cịn dùng ký hiệu Vq−1 để không gian đối ngẫu 1 Vp1 , + = 1, < p < ∞ p q Định lý 2.3.3 (n = 2, điều kiện biên Dirichlet) Tồn nghiệm yếu u toán (2.8) - (2.10) cho ◦ u ∈ L (0, T ; H ) ∩ C([0, T ]; L2 ); ∂u ∈ L2 (0, T ; V2−1 ) ∂t thỏa mãn đẳng thức (2.15) Định lý 2.3.4 (n ≥ 3, điều kiện biên Dirichlet) Tồn nghiệm yếu u toán (2.8) - (2.10) thỏa mãn bất đẳng thức (2.16 - 2.17) cho ◦ u ∈ L (0, T ; H ), u ∈ C([0, T ]; L2w ) ∩ C([0, T ]; Ls ) với ≤ s < 2, ∂u q r ∈ L2 0, T ; V2−1 + Ls (0, T ; V −1 ns ) ∩ L (0, T ; L ) ns−2 ∂t nq với ≤ s < ∞, ≤ q < r = nq + q − 16 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Tính quy nghiệm yếu hệ phương trình Navier - Stokes Trong chương trình bày kết tính quy nghiệm yếu hệ phương trình Navier - Stokes thơng qua bất đẳng thức lượng 3.1 Nghiệm yếu quy Cho miền bị chặn Ω ⊂ R3 với biên ∂Ω thuộc lớp C 1,1 cho khoảng thời gian [0, T ), < T ≤ ∞ Lấy u0 ∈ L2σ (Ω) số giá trị ban đầu, f ngoại lực Trong hình trụ thời gian - khơng gian [0, T ) × Ω ta xét nghiệm yếu u hệ Navier - Stokes ∂ui − ν ui + ∂t uj j=1 ∂ui ∂p + = fi (t, x) ∂xj ∂xi (3.1) (x ∈ R3 ; i = 1, 2, 3; u = (u1 ; u2 ; u3 )) ∂u i div u = = 0; u |∂Ω = 0; u |t=0 = u0 với độ nhớt ν > ∂x i i=1 Định nghĩa 3.1.1 Giả sử u0 ∈ L2σ (Ω) f = divF ; F ∈ L2 (0, T ; L2 (Ω)) Khi trường vector u ∈ L∞ (0, T ; L2σ (Ω)) ∩ L2 (0, T ; W01,2 (Ω)) gọi nghiệm yếu hệ phương trình (3.1) hệ thức − u, ωt Ω,T + ν u, ω Ω,T − uu, ω Ω,T = u0 , ω(0) ∞ thỏa mãn với hàm thử ω ∈ C0∞ ([0, T ); C0,σ (Ω)) 17 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ω − F, ω Ω,T Như ta biết, tồn nghiệm yếu u thỏa mãn bất đẳng thức lượng mạnh u(t) t 2 +ν u 2 dτ t ≤ u(t ) t 2 − F, u Ω dτ (3.2) t với hầu hết t ∈ [0, t) kể t = t ∈ [t , T ) Hơn nữa, ta giả sử Định nghĩa 3.1.1 u : [0, T ) → L2σ (Ω) liên tục yếu với u(0) = u0 Cuối cùng, tồn hàm suy rộng p gọi áp lực liên kết cho ut − ν u + u u + p = f theo hướng hàm suy rộng Định nghĩa 3.1.2 Một nghiệm yếu u (3.1) gọi quy khoảng (a, b) ⊆ (0, T ) điều kiện Serrin u ∈ Lsloc (a, b; Lq (Ω)) với < s < ∞, < q < ∞, + =1 s q (3.3) thỏa mãn Một thời điểm t ∈ (0, T ) gọi điểm quy u u quy khoảng (a, b) ⊆ (0, T ) với a < t < b Điều kiện (3.3) nghĩa u Ls (a ,b ;Lq (Ω)) < ∞ khoảng (a , b ) với a < a < b < b Rõ ràng, với miền bị chặn, đồng thức + = thay s q ¯ bất đẳng thức + ≤ Nếu ∂Ω thuộc lớp C ∞ f ∈ C0∞ (a, b) × Ω s q (3.3) suy ¯ , p ∈ C ∞ (a, b) × Ω ¯ u ∈ C ∞ (a, b) × Ω (3.4) Trường hợp s = 2, q = ∞ s = ∞, q = khó để giải Nếu ¯ u ∈ L∞ a, b; L3 (Ω) u ∈ C ∞ (a, b) × Ω 18 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3.2 Điều kiện quy nghiệm yếu thơng qua tiêu chuẩn lượng Kết thể tiêu chuẩn quy nghiệm yếu dựa t động u(t) 22 , t ∈ (0, T ) lượng phân tán u(τ ) 22 dτ , theo [5,6] Định lý 3.2.1 Giả sử Ω ⊂ R3 miền bị chặn với biên ∂Ω thuộc lớp C 2,1 Xét nghiệm yếu u hệ phương trình Navier - Stokes (3.1) với u0 ∈ L2σ (Ω), ν = ngoại lực f triệt tiêu thỏa mãn bất đẳng thức lượng mạnh (3.2) Giả sử thời điểm t ∈ (0, T ) động liên tục Holder trái với số mũ α ∈ ( , 1) nghĩa u(t − δ) lim δ→0+ 2 − u(t) 2 Do (3.6) với α = 2c ≤ δ2 t u(τ ) 22 dτ ≤ t−δ 1 2δ u(t) 2 − u(t − δ) 19 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2 khơng suy tính quy trường hợp tổng qt Vì điều kiện nhỏ (3.7) kết cần thiết với hầu hết δ ∈ (0, t) (3.5) với α = Định lý 3.2.2 Giả sử Ω ⊂ R3 miền bị chặn với biên ∂Ω thuộc lớp C 1,1 Xét nghiệm yếu u ∈ C(0, T ; L2 (Ω)) hệ phương trình Navier - Stokes (3.1) (0, T ) với giá trị ban đầu u0 ∈ L2σ (Ω) ngoại lực f = divF , f ∈ L2 0, T ; L2 (Ω) ; F ∈ L4 0, T ; L2 (Ω) thỏa mãn bất đẳng thức lượng mạnh (3.2) Khi tồn số ε∗ > không phụ thuộc ν, u0 f có tính chất sau: (i) Nếu động liên tục Holder trái thời điểm t ∈ (0, T ) với số mũ α = , nghĩa 1 u(t − δ) 22 − u(t) 22 ≤ ε∗ ν (3.7) lim δ2 δ→0+ u quy t (ii) Kết luận tương tự lượng phân tán thỏa mãn điều kiện Holder trái t, nghĩa lim δ→0+ δ t u 22 dτ ≤ ε∗ ν (3.8) t−δ Chú ý (3.5) (3.6) kết trực tiếp (3.7) (3.8) Do Định lý 3.2.1 hệ Định lý 3.2.2 3 Hơn Định lý 3.2.2 ta có + = −α + = s 2 Ta chưa biết có tồn hay khơng khoảng quy lớn (0, t) với < t < T nhiên tồn Định lý 3.2.2 thay “ ≤ ε∗ ν ” “ < ∞ ” Do kết tối ưu Chứng minh Giả sử Ω ⊂ R3 ≤ a < b ≤ T Phần chứng minh Định lý 3.2.2 dựa vào kết tồn địa phương nghiệm quy, phát triển từ lý thuyết nghiệm yếu Trong phần chứng minh này, ta sử dụng phép chiếu Helmholtz Pq : Lq (Ω) → Lqσ (Ω), < q < ∞, toán tử Stokes Aq = −Pq : D(Aq ) → Lqσ (Ω), D(Aq ) = Lqσ (Ω) ∩ W01,q (Ω) ∩ W 2,q (Ω) 20 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ nửa nhóm Stokes e−tAq : Lqσ (Ω) → Lqσ (Ω), t ≥ Để chứng minh Định lý 3.2.2 ta cần số bổ đề sau: Bổ đề 3.2.1 Giả sử Ω ⊂ R3 miền bị chặn với biên thuộc lớp C 1,1 < q < ∞ Toán tử Stokes song ánh đóng từ D(Aq ) ⊂ Lqσ (Ω) vào Lqσ (Ω) Nếu u ∈ D(Aq ) ∩ D(A ) với < < ∞ Aq u = A u Với ≤ α ≤ 1, Aαq : D(Aαq ) ⊂ Lqσ (Ω) → Lqσ (Ω) hoàn toàn xác định α −1 song ánh đóng Đặc biệt, tốn tử nghịch đảo A−α bị chặn q = (Aq ) α α Lqσ (Ω) với hạng R(A−α q ) = D(Aq ) Không gian D(Aq ) trang bị chuẩn đồ thị u q + Aαq u q , tương đương với chuẩn Aαq u q không gian Banach Hơn nữa, với > α > β > 0, D(Aq ) ⊂ D(Aαq ) ⊂ D(Aβq ) ⊂ Lqσ (Ω) trù mật chặt (Aαq )∗ = Aαq liên hợp Aαq Chuẩn u W 2,q Aq u q tương đương với u ∈ D(Aq ) Tương tự, 1 chuẩn u q , u W 1,q Aq2 u q tương đương với u ∈ D(Aq2 ) = W01,q (Ω)∩ Lqσ (Ω) Tổng quát hơn, phép ước lượng nhúng u q ≤ c Aαγ u γ , < γ ≤ q, 2α + 3 = q γ (3.9) với u ∈ D(Aαγ ), c = c(q, γ, Ω) > Tồn số δ0 = δ0 (q, Ω) > c = c(q, α, Ω) > cho Aαq e−tAq u q ≤ ce−δ0 t t−α u q với u ∈ Lqσ (Ω), t > (3.10) Cho f ∈ Ls (0, T ; Lq (Ω)), < s, q < ∞, hệ Stokes không dừng ut − ν u + p = f, div u = (0, T ) × Ω u = (0, T ) × ∂Ω, u(0) = 0, t = (3.11) phương trình khai triển thu gọn Lqσ (Ω) ut + νAq u = Pq f, u(0) = có nghiệm u thỏa mãn phép ước lượng quy lớn ut Ls (0,T ;Lq (Ω)) + νAq u Ls (0,T ;Lq (Ω)) ≤c f Ls (0,T ;Lq (Ω)) 21 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (3.12) Hơn nữa, tồn hàm p ∈ Ls (0, T ; W 1,q (Ω)) cho (u, p) thỏa mãn (3.11) phép ước lượng ut , p, ν u Ls (0,T ;Lq (Ω)) ≤c f Ls (0,T ;Lq (Ω)) (3.13) hai ước lượng c = c(q, s, Ω) > không phụ thuộc vào ν, T f Bổ đề 3.2.2 Cho miền bị chặn Ω ⊂ R3 với biên ∂Ω ∈ C 1,1 < T < ∞ Xét f = divF , F ∈ L2 0, T ; L2 (Ω) ∩Lmax(s∗ ,4) 0, T ; Lmax( ,2) (Ω) u0 ∈ Lqσ∗ (Ω), 1 < s∗ < ∞, < q∗ < ∞, + = 1, + = (3.14) s∗ q∗ q∗ Khi tồn số ε∗ = ε∗ (q∗ , Ω) > không phụ thuộc vào u0 , f ν có tính chất sau: Nếu T F s∗ dτ ≤ ε∗ ν 2s∗ −1 T e−ντ Aq∗ u0 s∗ q∗ dτ ≤ ε∗ ν s∗ −1 (3.15) hệ Navier - Stokes (3.1) có nghiệm yếu u thỏa mãn điều kiện Serrin u ∈ Ls∗ (0, T ; Lq∗ (Ω)) thỏa mãn bất đẳng thức lượng mạnh (3.2) Trước chứng minh Bổ đề 3.2.2 ta đưa khái niệm nghiệm yếu hệ phương trình Navier - Stokes (đã rút gọn để phù hợp với việc áp dụng) nhắc lại định lý tồn tính Định nghĩa 3.2.1 Giả sử Ω ⊂ R3 miền bị chặn với biên ∂Ω ∈ C 1,1 , giả sử f = divF , F ∈ L2 0, T ; L2 (Ω) ∩ Ls∗ (0, T ; L (Ω)), < T ≤ ∞ u0 ∈ Lqσ∗ (Ω), s∗ , q∗ , thỏa mãn (3.14) Khi trường vector u ∈ Ls∗ (0, T ; Lq∗ (Ω)) gọi nghiệm yếu hệ Navier-Stokes (3.1) hệ thức − u, ωt Ω,T − ν u, ω Ω,T − uu, ω Ω,T = u0 , ω(0) − F, ω ¯ , thỏa mãn với hàm thử ω ∈ C01 ([0, T ); C0,σ (Ω)) div u = (0, T ) × Ω, u · N = (0, T ) × ∂Ω Ω,T (3.16) ¯ = {ω ∈ C (Ω); ¯ div ω = 0; ω = ∂Ω} ký hiệu Ở C0,σ (Ω) N = N (x) vector pháp tuyến x ∈ ∂Ω Chú ý u · N = (0, T ) × ∂Ω hoàn toàn xác định theo hướng hàm suy rộng div u = 22 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Bổ đề 3.2.3 Giả sử Ω ⊂ R3 miền bị chặn với biên thuộc lớp C 1,1 , f = divF, F ∈ L2 0, T ; L2 (Ω) ∩ Ls∗ (0, T ; L (Ω)) , < T ≤ ∞ u0 ∈ Lqσ∗ (Ω) s∗ , q∗ , thỏa mãn (3.14) Khi đó, tồn T = T (ν, F, u0 ) ∈ (0, T ] nghiệm yếu u ∈ Ls∗ 0, T ; Lq∗ (Ω) hệ Navier - Stokes (3.1) Sự tồn khoảng [0, T ) xác định điều kiện T s∗ s∗ q∗ dt νe−νtAq∗ u0 + F Ls∗ (0,T ;L ) ≤ ε∗ ν 2− s∗ (3.17) Hơn nữa, nghiệm u có biểu diễn u(t) = γ(t) + u ˜(t) γ ∈ L∞ 0, T ; L2 (Ω) ∩ L2 0, T ; H01 (Ω) (3.18) nghiệm yếu hệ Stokes không dừng với điều kiện u0 , f ∈ (0, T ) × Ω, nghĩa γ(t) = e −νtAq∗ t u0 + Aq∗ e−ν(t−τ )Aq∗ A−1 q∗ Pq∗ divF (τ )dτ (3.19) u ˜ thỏa mãn t u˜(t) = − −1/2 1/2 Aq∗ /2 e−ν(t−τ )Aq∗ /2 Aq∗ /2 Pq∗ /2 div(uu)dτ (3.20) −1/2 Chú ý v = Aq∗ /2 u ˜ nghiệm hệ phi tuyến −1/2 vt + Aq∗ /2 v = −Aq∗ /2 Pq∗ /2 div(uu), v(0) = 0, −1/2 Ở đây, ta giải thích ý nghĩa số hạng A−1 q Pq divF Aq Pq divF công thức (3.19) (3.20) Giả sử < α ≤ 1, < q < ∞ ψ ∞ hàm C0,σ (Ω) thỏa mãn phép ước lượng | ψ, ϕ | ≤ cψ Aαq ϕ q với ϕ ∈ D(Aαq ) số cψ ≥ Khi tồn phần tử Lqσ (Ω) ký hiệu A−α q Pq ψ cho α ψ, ϕ = A−α q Pq ψ, Aq ϕ A−α q Pq ψ q với ϕ ∈ D(Aαq ) ≤ cψ 23 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Đặc biệt, 1 + = phép nhúng W 1, (Ω) ⊂ Lq (Ω) kéo theo q ước lượng A−1 q Pq divF q ≤c F với F ∈ L (Ω) (3.21) với c = c(Ω, q) > Điều tương đương với A−1/2 P divF ≤c F (3.22) với c = c(Ω, q) > Sau ta chứng minh Bổ đề 3.2.2 Do điều kiện nhỏ (3.17) Bổ đề 3.2.3 suy tính nghiệm yếu u ∈ Ls∗ (0, T ; Lq∗ (Ω)) (3.1) Từ (3.18) ta chứng minh tính chất u˜ ∈ L∞ 0, T ; L2 (Ω) ∩ L2 0, T ; H01 (Ω) (3.23) cho u = γ + u ˜ ∈ Ls∗ (0, T ; Lq∗ (Ω)) nghiệm yếu Do u thỏa mãn bất đẳng thức lượng điều kiện Serrin Vậy u nghiệm yếu có tính chất Để chứng minh (3.23) ta nhắc lại từ (3.22) bất đẳng thức −1/2 Aq∗ /2 Pq∗ div(uu) q∗ /2 ≤ c uu q∗ /2 ≤c u q∗ (3.24) h.k.n theo t ∈ (0, T ) Vì (3.20) kéo theo đẳng thức 1/2 Aq∗ /2 u˜(t) t = −Aq∗ /2 −1/2 e−ν(t−τ )Aq∗ /2 Aq∗ /2 Pq∗ /2 div(uu)dτ (3.25) Theo Bổ đề 3.2.1, phép ước lượng quy lớn (3.12) (3.24) suy ν u˜ 1/2 Ls∗ /2 (Lq∗ /2 ) ≤ c ν Aq∗ /2 u˜ ≤ c uu Ls∗ /2 (Lq∗ /2 ) Ls∗ /2 (Lq∗ /2 ) ≤c u Ls∗ (Lq∗ ) (3.26) với c = c(q∗ , Ω) > cho u˜ ∈ Ls∗ /2 0, T ; Lq∗ /2 (Ω) (3.27) Ta xét bốn trường hợp liên quan đến số mũ s∗ Đầu tiên trường hợp s∗ = 4, q∗ = cần thiết cho việc chứng minh Định lý 3.2.2 Trong trường hợp từ (3.27) suy u ˜ ∈ L2 0, T ; L2 (Ω) 24 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ đẳng thức (3.26) uu ∈ L2 0, T ; L2 (Ω) Từ (3.25) suy u ˜ nghiệm yếu hệ Stokes không dừng với ngoại lực divF˜ giá trị ban đầu triệt tiêu F˜ = uu ∈ L2 0, T ; L2 (Ω) cho u˜ ∈ L∞ 0, T ; L2 (Ω) ∩ L2 0, T ; H01 (Ω) Do đó, ta có u ∈ L∞ 0, T ; L2 (Ω) ∩ L2 0, T ; H01 (Ω) Phép toán sơ cấp u không nghiệm yếu mà nghiệm yếu thỏa mãn bất đẳng thức lượng Hơn nữa, u nghiệm yếu theo điều kiện Serrin Tiếp theo ta xét trường hợp < s∗ < (và q∗ > 6) Lấy s1 = s∗ , q1 = q∗ Khi từ (3.20) (3.10) với α = suy u˜(t) q1 /2 c ≤√ ν t uu (t − τ )1/2 q1 /2 dτ uu(τ ) q1 /2 ∈ Ls1 /2 (0, T ) Dó từ bất đẳng thức Hardy - Lit1 1 q1 tlewood với = − , q2 = ta chứng minh s2 s1 /2 2 u˜ ∈ Ls2 (0, T ; Lq2 (Ω)) 3 + = + = s2 > s1 , q2 < q1 Để có kết tương s2 q2 s q1 tự với γ ý Ở γ1 (t) = e−νtAq∗ u0 ∈ L∞ (0, T ; Lq∗ (Ω)) ⊂ Ls2 (0, T ; Lq2 (Ω)) Với γ2 (t) = γ(t) − γ1 (t), số hạng thứ hai bên vế phải (3.19), ta sử −1/2 dụng (3.9) với α = kết luận, từ A P divF (τ ) ∈ L (Ω) h.k.n theo s1 τ , theo (3.22) ta có v = A−1/s1 A−1/2 P divF ∈ Ls1 (0, T ; Lq2 (Ω)) Do γ2 (t) thỏa mãn phép ước lượng t γ2 (t) q2 ≤c v(τ ) (t − τ )1/2+1/s1 q2 dτ ; 25 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ c = c(ν, Ω, q2 ) > 0, từ bất đẳng thức Hardy - Littlewood ta suy γ2 ∈ 1 1 Ls2 (0, T ; Lq2 (Ω)), + =1− − s1 s1 s2 Tổng hợp kết γ1 γ2 ta có γ ∈ Ls2 (0, T ; Lq2 (Ω)) cho u ∈ Ls2 (0, T ; Lq2 (Ω)) theo (3.27) u˜ ∈ Ls2 /2 0, T ; Lq2 /2 (Ω) Lặp lại hữu hạn lần trình ta đến số mũ sk ∈ [4, ∞), qk ∈ (3, 6], k ∈ N Trường hợp ta giả sử < s∗ ≤ (và ≤ q∗ < 6) để (3.27) u˜ ∈ L2 0, T ; L2 (Ω) u˜ ∈ L2 0, T ; H01 (Ω) Áp dụng (3.10) (3.24) vào (3.20) , bất đẳng thức Holder suy ước lượng dẫn đến u˜(t) t c ≤√ ν c ≤√ ν e−νδ0 (t−τ ) uu dτ 1/2 (t − τ ) t e−νδ0 (t−τ ) uu q∗ /2 dτ 1/2 (t − τ ) ≤ c uu ≤c u (3.28) Ls∗ /2 (0,T ;Lq∗ /2 (Ω)) Ls∗ (0,T ;Lq∗ (Ω)) c = c(ν, T ) > Do u ˜ u ∈ L∞ 0, T ; L2 (Ω) Ta hoàn thành phần chứng minh trường hợp trước Cuối cùng, giả sử < s∗ < ∞ (và < q∗ < 4) Lấy s1 = s∗ q1 = q∗ Khi q2 > q1 u˜ ∈ Ls1 /2 0, T ; Lq1 /2 (Ω) theo (3.27) Xác định s2 < s1 s2 = s1 1 , + = q2 q1 từ định lý nhúng Sobolev ta có u ˜ ∈ Ls2 (0, T ; Lq2 (Ω)) Theo Bổ đề 3.2.1 ta kết luận γ ∈ Ls2 (0, T ; Lq2 (Ω)) cho u ∈ Ls2 (0, T ; Lq2 (Ω)) + = s2 q Lặp lại hữu hạn lần trình ta đến số mũ sk ∈ (4, 8], qk ∈ [4, 6), k ∈ N tương tự trường hợp trước Bổ đề chứng minh 26 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ b a h(τ )dτ b−a giá trị tích phân trung bình hàm khả tích h (a, b) Với giả thiết Bổ đề 3.2.2 với s ∈ [1, s∗ ] bất kỳ, tồn số ε∗ = ε∗ (q∗ , s, Ω) > có tính chất sau: s Giả sử < t0 < t ≤ t1 < T ; ≤ β ≤ , f = divF nghiệm yếu u s∗ (3.1) thỏa mãn điều kiện khả tích Bổ đề 3.2.4 Trong bổ đề ta ký hiệu t1 F s∗ dτ ≤ ε∗ ν 2s∗ −1 b a h(τ )dτ = t (t1 − τ )β u t0 t0 s q∗ dτ ≤ ε∗ ν s−β (3.29) Hơn nữa, u thỏa mãn bất đẳng thức lượng mạnh (3.2) Khi u quy khoảng (t − δ, t1 ) với < δ < t nghĩa u ∈ Ls∗ (t − δ, t1 ; Lq∗ (Ω)) Đặc biệt, t1 > t t điểm quy u Nếu β = t1 = T ≤ ∞ thừa nhận Chứng minh Từ điều kiện thứ hai (3.29) u thỏa mãn bất đẳng thức lượng mạnh (3.2) ta tìm tập có độ đo không N ⊂ (t0 , t) cho với τ0 ∈ (t0 , t) \ N τ1 1 u(τ1 ) + ν u 22 dτ ≤ u(τ0 ) 2 τ0 2 τ1 − F, u dτ τ0 τ0 < τ1 < T u(τ0 ) ∈ Lqσ∗ (Ω) (3.30) Tiếp theo ta chứng minh tồn τ0 ∈ (t0 , t) \ N cho t1 −τ0 e−ντ Aq∗ u(τ0 ) s∗ q∗ dτ ≤ ε∗ ν s∗ −1 (3.31) Thật vậy, điều kiện thứ hai (3.29) dẫn đến tồn τ0 ∈ (t0 , t)\N cho t β (t1 − τ0 ) u(τ0 ) s q∗ (t1 − τ )β u(τ ) ≤ t0 Mặt khác, (t1 − τ )β u(τ ) s q∗ dτ ≤ ε∗ ν s−β (3.32) t > t0 (t1 − τ )β u(τ ) sq∗ dτ , với τ ∈ (t0 , T ) \ N điều dẫn đến mâu thuẫn Vậy từ Bổ đề 3.2.1, bất đẳng thức Holder (3.32) ta t1 −τ0 e −ντ Aq∗ u(τ0 ) s∗ q∗ dτ s q∗ t1 −τ0 ≤ e−δ0 νs∗ τ dτ u(τ0 ) s∗ q∗ ≤ c(t1 − τ0 )βs∗ /s ν −1+βs∗ /s u(τ0 ) ≤ c εs∗∗ /s ν s∗ −1 27 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ s∗ q∗ (3.33) c = c(q, Ω) > Do đó, với số ε∗ = ε∗ (q∗ , s, Ω) > 0, (3.31) chứng minh Nếu β = t1 = T ≤ ∞ thừa nhận Cho trước τ0 (3.31) sử dụng (3.29), Bổ đề 3.2.2 cho nghiệm yếu v ∈ Ls∗ ([τ0 , t1 ); Lqσ∗ (Ω)) hệ Navier - Stokes (3.1) với giá trị ban đầu v(τ0 ) = u(τ0 ) τ0 Khi định lý Serrin u = v ∈ Ls∗ (τ0 , t1 ; Lqσ∗ (Ω)) Bổ đề chứng minh Sau ta chứng minh Định lý 3.2.2 Phần chứng minh dựa Bổ đề 3.2.4 với t ∈ (0, T ), t0 = t − ξ, t1 = t + ξ, < ξ < δ đủ nhỏ số mũ s = 2, q∗ = 6, s∗ = 4, β = ( = 2) để u ∈ Ls (0, T ; Lq∗ (Ω)) Để thay đổi số hạng thứ hai (3.29) ý t (t1 − τ ) u I(ξ) = 2 dτ ≤2 ξ t0 ≤ cξ t − 12 u 26 dτ t−ξ t − 12 (3.34) u 22 dτ t−ξ c = c(Ω) > Từ giả thiết u thỏa mãn bất đẳng thức lượng mạnh (3.2), khơng tính tổng quát ta giả sử I(ξ) ≤ u(t − ξ) c1 ν2 2 − u(t) 2 ξ2 + t 1 ξ2 f, u dτ (3.35) t−ξ Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, giả thiết f ∈ L2 0, T ; L2 (Ω) dẫn đến ξ − t t−ξ f, u dτ → ξ → 0+ Hơn số hạng c u(t − ξ) 22 − u(t) νξ 2 bị chặn c ε∗ ν với dãy (ξj ), < ξj < δ → j → ∞ theo giả thiết động Do liên tục I(ξ), ξ > chứng minh điều kiện thứ hai (3.29) Cuối cùng, F ∈ L4 0, T ; L2 (Ω) ta suy điều kiện thứ (3.29) thỏa mãn với ξ > đủ nhỏ Theo (3.34), điều kiện (3.8) lập luận tương tự Định lý chứng minh 28 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Kết luận Luận văn trình bày số kết tính quy nghiệm yếu hệ phương trình Navier-Stokes thơng qua tiêu chuẩn lượng Qua giới thiệu số kết sau: Các kết luận văn là: - Trình bày số kết tồn tính nghiệm yếu hệ phương trình Navier-Stokes - Trình bày điều kiện quy nghiệm yếu hệ phương trình Navier-Stokes thơng qua tiêu chuẩn lượng Một nghiệm yếu quy động năng lượng phân tán thỏa mãn điều kiện liên tục Holder trái, trình bày chi tiết Định lý 3.2.2 Cuối lần tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TSKH Nguyễn Minh Trí, người tận tình giúp đỡ tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn 29 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tài liệu tham khảo [1] Ngô Văn Giang, Sự tồn nghiệm hệ phương trình Navier - Stokes, Luận văn thạc sĩ Toán học trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, 2011 [2] Trần Đức Vân, Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2005 [3] Reinhard Farwig, Hideo Kozono, Hermann Sohr, Regularity of weak solutions for the Navier-Stokes equations via energy criteria, Advances in Mathematical Fluid Mechanics, 2010 [4] Farwig, R , Galdi, G.P , Sohr, H., A new class of weak solutions of the Navier-Stokes equations with nonhomogeneous data, J Math, Fluid Mech, 2006 [5] Farwig, R., Kozono, H , Sohr, H ,Criteria of local in time regularity of the Navier-Stokes equations beyond Serrin’s condition, Banach center Publishing, Warszawa 81/1, 2008 [6] Farwig, R., Kozono, H , Sohr, H , Energy based regularity criteria for the Navier - Stokes equations, FB Math., TU Darmstadt, Preprint no 2521, 2007 [7] Farwig, R., Kozono, H , Sohr, H , Very weak, weak and strong solutions to the instationary Navier - Stokes system, J Necas Center for Mathematical Modeling, P Kaplicky, Prague, 2007 [8] Sohr, H., The Navier - Stokes equations, An elementary functional analytic approach, Birkhăauser advanced texts, Birkhăauser Verlag, Basel, 2001 30 Soỏ hoựa bụỷi Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... Chương 3: Tính quy nghiệm yếu hệ phương trình NavierStokes Chương trình bày kết tính quy nghiệm yếu hệ phương trình Navier - Stokes Một nghiệm yếu u hệ phương trình Navier - Stokes gọi quy động... Chương Nghiệm yếu hệ phương trình Navier- Stokes Trong chương trình bày phương trình Stokes, tốn tử Stokes, hệ phương trình Navier - Stokes, tồn nghiệm yếu hệ phương trình Navier - Stokes 2.1 Phương. .. Chương 2: Nghiệm yếu hệ phương trình Navier- Stokes Trong chương trình bày khái niệm phương trình Stokes, tốn tử Stokes, hệ phương trình Navier - Stokes, tồn nghiệm yếu hệ phương trình Navier - Stokes