ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ SỸ MINH LÝ THUYẾT NEVANLINNA ĐỐI VỚI TOÁN TỬ SAI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – NĂM 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ SỸ MINH LÝ THUYẾT NEVANLINNA ĐỐI VỚI TOÁN TỬ SAI PHÂN Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa hoc: PGS TSKH TRẦN VĂN TẤN THÁI NGUYÊN – NĂM 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Mục lục Mục lục Mở đầu 0.1 Mục đích lý chọn luận văn 0.2 Nội dung nghiên cứu 0.3 Phương pháp nghiên cứu Chương Lý thuyết Nevanlinna cổ điển 1.1 Công thức Poisson -Jensen 1.2 Các hàm Nevanlinna 1.3 Các định lý 1.4 Quan hệ số khuyết định lý Picard 1.5 Định lý điểm Nevanlinna Chương Lý thuyết Nevanlinna toán 2.1 Một số bổ đề 2.2 Định lý thứ hai 2.3 Quan hệ số khuyết định lý Picard 2.4 Các hàm chung giá trị 2.5 Áp dụng cho phương trình sai phân Kết luận tử sai Tài liệu tham khảo Soá hóa trung tâm học liệu 2 2 4 10 14 phân 18 18 20 27 29 31 35 36 http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Mở đầu 0.1 Mục đích lý chọn luận văn Một số ước lượng liên quan đến đạo hàm f → f hàm phân hình đóng vai trò quan trọng việc xây dựng ứng dụng lý thuyết Nevanlinna cổ điển Mục đích nghiên cứu mở rộng lý thuyết Nevanlinna cổ điển tới lý thuyết Nevanlinna toán tử sai phân f → ∆c f = f (z + c) − f (z) Năm 2006, R G Halburd R J Korhonen nghiên cứu lý thuyết Nevanlinna toán tử sai phân Về sau, hướng nghiên cứu thu hút nhiều nhà toán học nước Với mong muốn tiếp cận hướng nghiên cứu chọn luận văn: "Lý thuyết Nevanlinna tốn tử sai phân" Mục đích luận văn tìm hiểu trình bày lại cách chi tiết báo "Nevanlinna theory for the difference operator" R G Halburd R J Korhonen đăng "Annales Academie Sientiarum Fennice, Methematica, Số 31 năm 2006" 0.2 Nội dung nghiên cứu Luận văn nghiên cứu mở rộng Lý thuyết Nevanlinna cổ điển tới lý thuyết Nevanlinna toán tử sai phân f → ∆c f = f (z + c) − f (z) 0.3 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu bản: Đọc báo tác giả theo hướng nghiên cứu, từ tìm ý tưởng để nghiên cứu Luận văn giải vấn đề trọng tâm: Chương Lý thuyết Nevanlinna cổ điển Chương tập trung trình bày kiến thức sở Lý thuyết Nevanlinna cổ điển: Công thức Poisson – Jensen, hàm Nevan- Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ linna, định lý bản, Quan hệ số khuyết, định lý Picard định lý điểm Nevanlinna Chương Lý thuyết Nevanlinna toán tử sai phân Trong chương này, chúng tơi trình bày số kết mở rộng Lý thuyết Nevanlinna cổ điển tới lý thuyết Nevanlinna cho toán tử sai phân Một kết mơ hình hóa định lý thứ hai lý thuyết Nevanlinna Hệ định lý bao gồm mơ hình hóa quan hệ số khuyết, định lý Picard, định lý năm điểm Nevanlinna Nghiên cứu ứng dụng cho phương trình sai phân đưa số ví dụ minh họa cho kết trình bày Trong trình học tập thực luận văn, nhận dạy bảo tận tình thầy giáo trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Thái Nguyên, Đại Học Sư Phạm Hà Nội, Viện Toán Học Đặc biệt bảo hướng dẫn tận tình PGS TSKH Trần Văn Tấn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy, giáo giúp đỡ suốt thời gian qua Xin cảm ơn gia đình bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ động viên tơi hồn thành luận văn Thái Nguyên, ngày 07 tháng năm 2013 Tác giả Vũ Sỹ Minh Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Chương Lý thuyết Nevanlinna cổ điển Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức sở Lý thuyết Nevanlinna cổ điển 1.1 Công thức Poisson -Jensen Điểm z = a gọi điểm bất thường cô lập hàm f (z) hàm f (z) hàm chỉnh hình lân cận a, trừ điểm Điểm bất thường lập z = a hàm f (z) gọi cực điểm hàm f (z) lim f (z) = ∞ z→a Điểm z = a gọi cực điểm cấp m > hàm f (z) lân cận a, hàm f (z) = h (z) h(z) hàm chỉnh (z − a)m hình lân cận a h (a) = Hàm f (z) gọi hàm phân hình miền D hàm chỉnh hình D, trừ số bất thường cực điểm Định lý 1.1.1 (Công thức Poisson -Jensen) Cho f (z) hàm phân hình hình trịn {|z| ≤ R} ; < R < +∞ f (z) ≡ Giả sử aµ (µ = 1, 2, , M ) không điểm, không điểm kể số lần bội nó, bv (v = 1, 2, , N ) cực điểm f hình trịn đó, cực điểm kể số lần bội Khi z = r.eiθ , (0 < r < R) , f (z) = 0, f (z) = ∞ thì: 2π log |f (z)| = 2π iθ log f Re R2 − r dθ R2 − 2Rrcos (φ − θ) + r2 M N R (z − aµ ) R (z − bv ) + log − log , 2−a z 2−a z R R µ v µ=1 v=1 (1.1) Công thức (1.1) biết giá trị môđun f (z) biên, cực điểm không điểm f (z) |z| < R ta Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ tìm giá trị môđun f (z) bên đĩa |z| < R Trường hợp đặc biệt z = công thức (1.1) có dạng: 2π log |f (0)| = 2π M |aµ | dθ + log − R µ=1 iθ log f Re N log v=1 |bv | , R (1.2) với giả thiết f (0) = 0; f (0) = ∞ 1.2 Các hàm Nevanlinna Ta định nghĩa: log+ (x) = Max {log x; 0} Cho f hàm phân hình đĩa D (r) = {z ∈ C : |z| < r}, với < r ≤ ∞ Ta kí hiệu n(r, f ) số cực điểm f đĩa đóng D(r) Hàm đếm cực điểm f , ký hiệu N (r, f ) xác định sau r n (t, f ) − n (0, f ) N (r, f ) = dt + n (0, f ) log r, t n (0, f ) = lim inf n (t, f ) t→0 Hàm xấp xỉ hàm f kí hiệu m(r, f ) xác định bởi: 2π m (r, f ) = 2π log+ f reiθ dθ Hàm đặc trưng Nevanlinna f , ký hiệu T (r, f ) xác định T (r, f ) = m (r, f ) + N (r, f ) Với a ∈ C, ký hiệu n(r; ) số a− điểm f kể bội f −a đĩa đóng D(r) Hàm đếm a− điểm f , ký hiệu N (r; ), xác f −a Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ định r N (r, )= f −a n(t, 1 ) − n(0, ) f −a f −a dt + n 0, log r t f −a Hàm xấp xỉ a− điểm hàm f , ký hiệu m(r, ), f −a xác định 2π m(r, 1 )= f −a 2π log+ |f (reiθ ) − a| dθ Hàm đặc trưng Nevanlinna a− điểm hàm f , ký hiệu T (r, ), xác định bởi: f −a T (r, 1 ) = m(r, ) + N (r, ) f −a f −a f −a Với x > log x = log+ x − log+ 2π 2π , suy x 2π log f reiθ dθ = 2π 2π log+ f reiθ dθ− 2π dθ |f (reiθ )| log+ Cơng thức (1.2) có dạng 2π log |f (0)| = 2π N log + iθ f re dθ + v=1  − 2π 2π log  M log+ r |bv | r  dθ + log |f (reiθ )| |aµ | µ=1 Suy log |f (0)| = m (r, f ) + N (r, f ) − m r, f +N f r, Vậy log |f (0)| = T (r, f ) − T Soá hóa trung tâm học liệu r, http://www.lrc-tnu.edu.vn/ f Hay T r, f = T (r, f ) − log |f (0)| (1.3) Một số tính chất hàm Nevanlinna n n fk ) ≤ m(r, m(r, fk ) + log n; k=1 k=1 n n fk ) ≤ m(r, k=1 m (r, fk ); k=1 n n fk ) ≤ N (r, N (r, fk ); k=1 k=1 n n fk ) ≤ N (r, N (r, fk ); k=1 k=1 n n fk ) ≤ T (r, k=1 T (r, fk ) + log n; k=1 n n fk ) ≤ T (r, k=1 T (r, fk ) k=1 Trong trường hợp đặc biệt với n = 2, f1 (z) = f (z), f2 (z) = −a (a số) ta có T (r, f − a) ≤ T (r, f ) + T (r, a) + log 2, suy T (r, f − a) ≤ T (r, f ) + log+ |a| + log Vậy T (r, f ) − T (r, f − a) ≥ − log+ |a| + log (1.4) Với f1 (z) = f (z) − a, f2 (z) = a ta có T (r, f ) = T (r, f − a + a) ≤ T (r, f − a) + T (r, a) Suy T (r, f ) ≤ T (r, f − a) + log+ |a| + log Vậy T (r, f ) − T (r, f − a) ≤ log+ |a| + log (1.5) Từ (1.4) (1.5) ta |T (r, f ) − T (r, f − a)| ≤ log+ |a| + log 2, ∀a ∈ C Soá hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ (1.6) 1.3 Các định lý Định lý 1.3.1 (Định lý thứ nhất) Cho f hàm phân hình khác đĩa đóng D(r) = {z ∈ C : |z| ≤ r} Khi ta có: T (r, ) = T (r, f ) − log |f (0) − a| + ε (r, a) , f −a |ε (r, a)| ≤ log+ |a| + log Hay T r, = T (r, f ) + O (1) , f −a (1.7) (1.8) O(1) đại lượng bị chặn Chứng minh Theo (1.3) ta có T r, f −a = T (r, f − a) − log |f (0) − a| Theo (1.6) ta có T (r, f − a) = T (r, f ) + ε (r, a) , |ε (r, a)| ≤ log+ |a| + log Do T r, f −a = T (r, f ) − log |f (0) − a| + ε (r, a) Suy T r, f −a = T (r, f ) + O (1) Định lý chứng minh Định lý 1.3.2 (Bất đẳng thức bản) Cho f hàm phân hình khác đĩa đóng D(r) Giả sử a1 , a2 , , aq số phức phân biệt, δ > |aµ − av | ≥ δ; ≤ µ < v ≤ q Khi q m (r, f ) + m r, j=1 f − aj Số hóa trung tâm học liệu ≤ 2T (r, f ) − N1 (r, f ) + S (r, f ) , http://www.lrc-tnu.edu.vn/ (1.9) 22 1 + N r, + O(1) ∆c f ∆c f 1 ≥ m r, + N r, + S(r, f ) P (f ) ∆c f T (r, ∆c f ) = m r, q = qT (r, f ) − N k=1 q = m r, k=1 f − ak r, f − ak +N r, +N ∆c f r, ∆c f + S(r, f ) + S(r, f ) Vì T (r, ∆c f ) = N (r, ∆c f ) + m(r, ∆c f ) nên ta suy q m r, k=1 f − ak ≤ N (r, ∆c f ) + m(r, ∆c f ) − N r, ∆c f + S(r, f ) Do cộng hai vế bất đẳng thức với m(r, f ) ta q m(r, f ) + m r, k=1 f − ak ≤ m(r, f ) + N (r, ∆c f ) + m(r, ∆c f ) −N r, ∆c f + S(r, f ) Thay m(r, f ) = T (r, f ) − N (r, f ) kết hợp với cơng thức (2.5) ta có q m(r, f ) + m r, k=1 −N f − ak r, ∆c f ≤ T (r, f ) + N (r, ∆c f ) + m(r, ∆c f ) − N (r, f ) + S(r, f ) ≤ T (r, f ) + N (r, ∆c f ) + m(r, f ) − N = 2T (r, f ) + N (r, ∆c f ) − N r, ∆c f r, ∆c f − N (r, f ) + S(r, f ) − 2N (r, f ) + S(r, f ) Định lý chứng minh Bây phân tích kết luận Định lý 2.2.1 chặt chẽ Do bổ đề 2.1.2 ta có N (r + |c|, f ) = (1 + o(1))N (r, f ) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 23 với r ngồi tập có độ đo logarit hữu hạn Do Npair (r, f ) ≥ N (r, f )−N (r+|c|, f )+N r, ∆c f =N r, +S(r, f ) ∆c f Như vậy, Định lý 2.2.1 nói phân bố giá trị hàm phân hình cấp hữu hạn Để giải thích ý nghĩa số hạng Npair (r, f ) cần số định nghĩa Điểm z = z0 gọi a− điểm lặp chu kỳ c hàm f đĩa đóng D(r) = {z : |z| ≤ r} thỏa mãn f (z0 ) = a f (z0 + c) = a Điểm z = z0 gọi cực điểm lặp chu kỳ c hàm f đĩa đóng D(r) = {z : |z| ≤ r} thỏa mãn f (z0 ) = ∞ f (z0 + c) = ∞ Hàm đếm nc (r, a), a ∈ C đếm số số hạng bắt đầu chuỗi Taylor suy rộng hàm f (z) f (z + c) lân cận z0 Như hàm đếm nc (r, a), a ∈ C đếm số lượng điểm z0 f (z0 ) = a f (z0 + c) = a Cụ thể f (z) = a với bội số q f (z + c) = a với bội số p với q < p q số hạng chuỗi suy rộng f (z) f (z + c) đồng điểm đếm q lần nc (r, a) Tương tự, lân cận z ta có: f (z) = a + c1 (z − z0 ) + c2 (z − z0 )2 + α(z − z0 )3 + 0((z − z0 )4 ) f (z + c) = a + c1 (z − z0 ) + c2 (z − z0 )2 + β(z − z0 )3 + 0((z − z0 )4 ) α = β điểm z0 đếm lần nc (r, a) Tích phân hàm đếm định nghĩa sau r Nc (r, a) := nc (t, 0) − nc (0, a) dt + nc (0, a) log r t Tương tự r Nc (r, ∞) := nc (t, ∞) − nc (0, ∞) dt + nc (0, ∞) log r t Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 24 nc (r, ∞) số lượng cực điểm lặp chu kỳ c hàm f , tức số lượng 0− điểm lặp chu kỳ c hàm Điều có nghĩa f có f cực với bội số p z0 cực khác với bội số q (z0 + c) điểm lặp đếm (min{p, q} + m) lần nc (r, ∞), m số số hạng chuỗi suy rộng Laurent f (z) f (z + c) lân cận z0 Hiển nhiên, p = q m = Ta thấy nc (r, a) hữu hạn với r hữu hạn với điều kiện hàm f cho không tuần hồn chu kỳ c Nếu khơng có điểm z0 ∈ C để lân cận chuỗi suy rộng f (z) f (z + c) đồng nhất, có nghĩa f (z) ≡ f (z + c) mặt phẳng phức, điều mâu thuẫn với giả thiết Tuy nhiên nc (r, a) lớn thực n(r, a) Một mơ hình sai phân tự nhiên N (r, a), kí hiệu Nc (r, a), xác định sau: Nc (r, a) := N (r, a) − Nc (r, a) Nc (r, a) đếm số lượng a- điểm (hay cực) f không nằm a− điểm lặp chu kỳ c hàm f Chúng ta sử dụng khái niệm Nc (r, ) thay cho Nc (r, a) Nc (r, f ) f −a thay cho Nc (r, ∞) muốn nhấn mạnh liên kết tới hàm phân hình f Định lý 2.2.2 Cho c ∈ C f hàm phân hình cấp hữu hạn thỏa mãn ∆c f ≡ Cho q ≥ a1 (z), , aq (z) hàm tuần hoàn phân hình phân biệt với chu kì c cho ak ∈ S(f ) với k = 1, , q Khi q (q − 1)T (r, f ) ≤ Nc (r, f ) + Nc (r, k=1 ) + S(r, f ) f − ak (2.10) với r đủ lớn nằm ngồi tập có độ đo logarit hữu hạn Chứng minh Theo Định lý 2.2.1 định lý thứ thu được: q (q − 1)T (r, f ) ≤ N (r, f ) + N (r, k=1 Số hóa trung tâm học liệu 1 ) − N (r, )+ f − ak ∆c f http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 25 +N (r, ∆c f ) − 2N (r, f ) + S(r, f ) (2.11) Chúng ta lưu ý hàm đếm N0 (r, f ) cho cực f có chuỗi suy rộng Laurent z0 z0 + c với phần đồng Hàm N0 (r, f ) đếm bội số theo số số hạng phần đầu phân tích chuỗi suy rộng Cụ thể hàm f (z) thỏa mãn f (z) = c b + + a + α(z − z0 ) + O((z − z0 )2 ) (z − z0 ) (z − z0 ) f (z + c) = c b + + a + β(z − z0 ) + O((z − z0 )2 ) (z − z0 ) (z − z0 ) α = β cực điểm z = z0 đếm lần N0 (r, f ) Do N (r, f ) = N (r + |c|, f ) + S(r, f ), từ bổ đề 2.1.2 bất đẳng thức (2.9) ta có a (q − 1)T (r, f ) ≤ N (r, f ) + N0 (r, f ) + N (r, k=1 1 ) − N (r, ) f − ak ∆c f +N (r, ∆c f ) − 2N (r + |c|, f ) − N0 (r, f ) + S(r, f ) (2.12) Phần lại chứng minh ước lượng số hạng bên vế phải (2.12) Trước hết theo định nghĩa hàm đếm ta có q N0 (r, f ) + Nc (r, k=1 1 ) ≤ N (r, ) f − ak ∆c f với r q N0 (r, f ) + k=1 1 N (r, ) − N (r, )≤ f − ak ∆c f q Nc (r, k=1 ) f − ak (2.13) Giả sử z0 ∈ C thỏa mãn f (z0 + kc) = ∞, ∀k ∈ Z với bội số pk ≥ Ở pk = nghĩa f (z0 + kc) hữu hạn Trong số điểm có hữu hạn điểm nằm đĩa {z ∈ C : |z| ≤ r + |c|} với r > Bằng cách xác định lại z0 cần thiết giả sử điểm (z0 + jc), j = 0, , k, k ∈ N số phụ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 26 thuộc vào r Khi (z0 + c), , (z0 + (k − 1)c) bên đĩa có tâm gốc bán kính r, ∆c f có cực với bội số (max{pj , pj+1 } − mj ) (z0 + jc), j = 1, , k − mj số số hạng phần đầu phần chuỗi suy rộng Laurent f (z) f (z + c) (z0 + jc) Nếu phần đồng toàn bộ, số số hạng phần giải tích chuỗi (z0 + jc) ký hiệu m”j mj := mj + m”j Do đóng góp vào {n(r, ∆c f ) − 2n(r + |c|, f ) − n0 (r, f )} từ điểm (z0 + jc), j = 0, , k k−1 k k−1 (max{pj , pj+1 } − mj ) − j=1 pj − j=0 mj (2.14) j=1 k−1 (max{pj , pj+1 } − mj − m”j ) = j=1 k−1 − (p0 + (max{pj , pj+1 } + min{pj , pj+1 }) + pk ) j=0 k−1 ≤− (min{pj , pj+1 } + mj ) j=1 Đại lượng vế phải (2.14) đại lượng đóng góp vào −nc (r, f ) từ điểm (z0 + jc), j = 0, , k Vì vậy, cách tính tổng tất cực f thu N (r, f ) + N (r, ∆c f ) − 2N (r + |c|, f ) − N0 (r, f ) ≤ Nc (r, f ) (2.15) Kết hợp (2.12), (2.13) (2.15) ta có q (q − 1)T (r, f ) ≤ Nc (r, f ) + Nc (r, k=1 ) + S(r, f ) f − ak Định lý chứng minh Chúng ta xét số ý nghĩa định lý 2.2.2 Tương tự lý thuyết Nevanlinna cổ điển, hàm đếm Nc (r, a) thỏa mãn Nc (r, a) = T (r, f ) + S(r, f ) ngoại trừ hầu hết giá trị đếm Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 27 a Tuy nhiên khơng giống N (r, a), hàm đếm Nc (r, a) với số giá trị a âm với r đủ lớn Do định lý 2.2.2 hàm phân hình bậc hữu hạn f tuần hồn với chu kì c có nhiều giá trị a cho f (z) = a có f (z + c) = a hai số hạng chuỗi suy rộng f (z) z z + c đồng Ví dụ Xét hàm g(z) = D(z) − exp(z) D(z) hàm eliptic Weierstrass với chu kì c = 2πi Khi T (r, g) = N (r, g) + S(r, g) cực g(z) đóng góp tới n(r, g) đóng góp (−2) tới nc (r, g) Do với a ∈ C ta có T (r, g) = −Nc (r, g) + S(r, g) Nên Nc (r, a) = T (r, g) + S(r, g) 2.3 Quan hệ số khuyết định lý Picard Định lý thứ hai Nevanlinna khái quát sâu sắc định lý Picard Nó có nhiều hệ quan trọng việc phân bố giá trị hàm phân hình Mơ hình hóa sai phân số bội θ(a, f ) định nghĩa sau: Chỉ số a− điểm lặp chu kỳ c ký hiệu πc (a, f ) xác định sau: Nc (r, a) πc (a, f ) := lim inf r→∞ T (r, f ) a hàm tuần hồn với chu kì c a = ∞ Tương tự định nghĩa Nc (r, a) Πc (a, f ) := − lim sup n→∞ T (r, f ) Θ(a, f ) := − lim sup r→∞ Số hóa trung tâm học liệu Nc (r, a) T (r, f ) http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 28 lý thuyết phân bố giá trị thơng thường Hệ sau nói hàm phân hình khơng tuần hồn cấp hữu hạn khơng thể có nhiều a- điểm xuất theo cặp Hệ 2.3.1 Cho c ∈ C f hàm phân hình có bậc hữu hạn thỏa mãn ∆c f ≡ Khi Πc (a, f ) = 0, ngoại trừ nhiều đếm hàm tuần hồn phân hình a với chu kì c thỏa mãn a ∈ S(f ) (δ(a, f ) + πc (a, f )) ≤ a Πc (a, f ) ≤ (2.16) a Theo định lý thứ hai kéo theo Θ(a, f ) = ngoại trừ nhiều đếm giá trị a Sự khác biệt lý thuyết Nevanlinna cổ điển hệ mơ hình hóa sai phân Mặc dù bất đẳng thức ≤ Θ(a, f ) ≤ thỏa mãn với hàm phân hình f với a mặt phẳng phức mở rộng Tuy nhiên, tổng khuyết tối đa πc (a, f ) = đạt giá trị a a Ví dụ Hàm g(z) = D(z) + exp(z), D(z) hàm elliptic Weierstrass với chu kì c = 2πi thỏa mãn πc (∞, g) = Trong thực tế hệ 2.3.1 khẳng định πc (a, f ) ≤ với a Ta có định nghĩa: Điểm a điểm lặp chu kỳ c hàm f tính chất: "f (z) = a f (z + c) = a với bội cao hơn" ngoại trừ hữu hạn giá trị a− điểm f Dễ thấy N (r, a) ≤ Nc (r, a) với a điểm lặp chu kỳ c hàm f Hệ sau mơ hình hóa định lý Picard Hệ 2.3.2 Nếu hàm phân hình bậc hữu hạn f có ba điểm lặp chu kỳ c phân biệt f hàm tuần hồn với chu kỳ c Hệ 2.3.2 khẳng định hàm phân hình cấp hữu hạn ω có hai nhóm ba điểm lặp chu kỳ c1 c2 khác nhau, độc lập số thực ω số ω hàm Elliptic với chu kỳ c1 c2 Do ω có cấp hai Một ví dụ hàm phân hình cấp hữu hạn có hai điểm lặp chu kỳ 2K đưa hàm elliptic sn(z, k), k ∈ (0, 1) modun elliptic K phân tích elliptic hồn tồn Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 29 Hàm sn(z, k) tuần hồn với chu kỳ 4K 2iK đạt giá trị điểm 2nK + 2miK có cực điểm 2nK + (2m + 1)iK , n, m ∈ Z Hàm sn(z, k) khơng có giá trị khuyết có tối đa bốn giá trị chia nhánh ±1 ± Do hàm g(z) = sn(z, k) k thỏa mãn Π2k (a, g) = a ta có (θ(a, g) + π2k (a, g)) = a Chúng ta gọi a điểm lặp đầy đủ chu kỳ c hàm f với f (z) = a f (z + c) = a f (z − c) = a với bội số Khi hàm phân hình khơng tuần hồn bậc hữu hạn có nhiều bốn giá trị xuất điểm lặp Hệ 2.3.3 Cho c ∈ C f hàm phân hình bậc hữu hạn thỏa mãn ∆c f ≡ Khi f có nhiều bốn điểm lặp đầy đủ chu kỳ c Tương tự, hàm khơng tuần hồn có cấp hữu hạn f có nhiều ba giá trị a cho với z0 ∈ C f (z0 ) = a, f (z0 + jc) = a với bội số, với j = 1, 2, f (z0 + 4c) = a Chúng ta nói giá trị xuất ba đường thẳng Ta có hàm phân hình cấp hữu hạn có tối đa hai giá trị xuất bốn đường thẳng nhiều 2.4 Các hàm chung giá trị Một hệ quan trọng định lý thứ hai Nevanlinna định lý năm giá trị, hai hàm phân hình khác số có chung năm giá trị khơng tính bội số hàm phải đồng Xét hàm tuần hoàn thay cho số bỏ điểm lặp thay bội số, thu hệ mơ hình hóa khác định lý năm giá trị Chúng ta nói hai hàm phân hình f g có chung a− điểm bỏ a− điểm lặp chu kỳ c, f (z) = a g(z) = a với Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 30 bội số, trừ a điểm lặp chu kỳ c hàm f g Điều có nghĩa f có a - điểm lặp chu kỳ c z0 a - điểm đơn g điểm khơng phải điểm chung f g Định lý 2.4.1 Cho c ∈ C f, g hàm phân hình cấp hữu hạn, có năm hàm phân biệt ak ∈ S(f ) cho f g có chung ak , bỏ a− điểm lặp chu kỳ c với k = 1, , f (z) ≡ g(z) hai hàm f g tuần hoàn với chu kỳ c Chứng minh Chúng ta lập luận theo cách chứng minh định lý năm giá trị Trước hết, giả sử f hàm tuần hoàn với chu kỳ c, theo định nghĩa tất a - điểm f a− điểm lặp chu kỳ c Do f, g có năm điểm chung, bỏ qua a− điểm lặp chu kỳ c, g có năm điểm lặp chu kỳ c tuần hoàn với chu kỳ c f ≡ g Khi theo định lý 2.2.2 với ε > ta có (4 + ε)T (r, f ) Nc (r, g) + Nc (r, ) f − ak (2.17) Nc (r, ) g − ak (2.18) k=1 (4 + ε)T (r, g) Nc (r, g) + k=1 tập độ đo logatit hữu hạn Theo giả thiết: Tồn hàm phân biệt ak ∈ S(f ) cho f g có chung ak , bỏ a− điểm lặp chu kỳ c với k = 1, , suy Nc (r, 1 ) = Nc (r, ) g − ak f − ak với k = 1, , Ta có T (r, ) = T (r, f − g) + O(1) f −g mà T (r, f − g) Số hóa trung tâm học liệu T (r, f ) + T (r, g) http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 31 nên kết hợp với bất đẳng thức (2.17) (2.18) ta có T (r, ) f −g T (r, f ) + T (r, g) + O(1) 3+ε Nc (r, k=1 ) f − ak N (r, ) 3+ε f −g T (r, ) 3+ε f −g Điều xảy f −g số, ta giả sử g(z)−f (z) = k → g(z) = f (z) + k Nhưng f (z) g(z) = f (z) + k có chung năm điểm, nhiều hai điểm lặp chu kỳ c nên k = ⇒ f (z) ≡ g(z) Định lý chứng minh Ta thấy số định lý 2.4.1 tốt thay số nhỏ Ví dụ 1 Xét hàm elliptic f (z) = sn(z) g(z) = Do sn(z) sn(z) sn(z) chung điểm −1, 0, 1, ∞ bỏ qua điểm lặp, đồng thời f (z), g(z) không hàm tuần hoàn f (z) ≡ g(z) nên ta nói số khơng thể thay số định lý 2.4.1 2.5 Áp dụng cho phương trình sai phân Trong mục đưa ví dụ áp dụng kết để nghiên cứu nghiệm phân hình phương trình sai phân Chúng ta xét phương trình a2 ω(z)2 + a0 ω(z + 1) + ω(z − 1) = − ω(z)2 (2.19) vế phải bất khả quy theo ω hệ số aj số Phương trình (2.19) trường hợp phương trình tổng quát R G Halburd R J Korhonen nghiên cứu [3], tồn nghiệm phân hình cấp hữu hạn đủ để Số hóa trung tâm học lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 32 làm giảm bớt lớp lớn phương trình sai phân tới phương trình sai phân Pailevé phương trình tuyến tính, nghiệm khơng đồng thời thỏa mãn phương trình Riccati Giả sử phương trình (2.19) có nghiệm phân hình cấp hữu hạn ω(z) xét với chuỗi suy rộng Laurent ω lân cận điểm z0 thỏa mãn ω(z0 ) = δ với bội số k δ := ±1 Khi ω có cực điểm có cấp nhỏ k z0 − z0 + Trường hợp 1: ω(z0 + 1) = ∞ với bội số nhỏ thực k Khi theo phương trình (2.19) có ω(z + 4n) = δ + α(z − z0 )k + O((z − z0 )k+1 ), 1 ((−1)n ( n + ) − )(a0 − a2 ) 8 ω(z +2n+1) = (z −z0 )−k +O((z −z0 )1−k ), αδ ω(z + 4n + 2) = −a2 − δ + O((z − z0 )) (2.20) với n ∈ N ∪ {0}, với z lân cận z0 , với điều kiện a2 = Từ giả thiết vế phải phương trình (2.19) bất khả quy, a0 +a2 = suy ta có: ω(z + 2n + 1) = ∞ với n ∈ N ∪ {0} Lặp lại trường hợp ω(z0 + 1) hữu hạn cực có cấp thấp ω(z0 − 1) = ∞ đối xứng với (2.20) Trường hợp 2: giả sử ω(z0 ) = δ ω(z0 ± 1) = ∞ với tất bội số k giống Khi giả sử c1 ∈ C c−1 ∈ C cho c1 c−1 = Chúng ta có ω(z + 4n) = δ + α(z − z0 )k + O((z − z0 )k+1 ), ω(z + 4n + 2) = −a2 − δ + O((z − z0 )), (2.21) ω(z + 2n + 1) = c2n+1 (z − z0 )−k + O((z − z0 )1−k ) Với n ∈ Z, miễn khơng có số số c2n+1 triệt tiêu Do c2n0 +1 = với n0 ∈ Z nên trở lại (2.20) với điểm ban đầu z0 + 2n0 + thay cho z0 − Chúng ta quan sát q trình lặp (2.21) ta có a2 + a0 (2.22) ck±4 = ck + 2α Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 33 với k ∈ Z Trường hợp 3: Ω(z0 ) = δ với bội số k Ω(z0 ± 1) = ∞, lựa chọn hai kí hiệu với bội số lớn thực k Nhưng trường hợp ta thấy ω(z) có cực cấp z0 + 2n + 1, ∀n ∈ Z Chúng ta kết luận, tất cực, - điểm, (−1) - điểm ω xuất đường thẳng, điểm tách từ lân cận số với trường hợp ngoại lệ điểm cuối chuỗi điểm xuất phần (2.20) Trong thực tế đủ để biết tất cực δ - điểm lặp chu kỳ ω Giả sử ω khơng tuần hồn với chu kỳ 4, theo định lý 2.2.2 ta có T (r, ω) N4 (r, ∞) + N4 (r, 1) + N4 (r, −1) + S(r, ω) 1 N (r, ∞) + N (r, 1) + N (r, −1) + S(r, ω) 4 T (r, ω) + S(r, ω) Điều mâu thuẫn, a2 = ω tuần hoàn chu kỳ cấp vô hạn Giả sử cuối cùng, ω tuần hồn chu kỳ 4, từ phương trình (2.20),( 2.21) (2.22) ta có −1 điểm lặp ω Do tất cực ω xuất đường thẳng, cực tách từ lân cận số ω tuần hồn chu kỳ tính tuần hồn nên ta có ω(z + 1), ω(z − 1) ω(z + 1) + ω(z − 1) đồng thời vơ hạn Mặt khác vế bên phải phương trình (2.19) không vô hạn giá trị ±1 điểm lặp ω Vì giá trị vơ hạn điểm lặp ω ω số Từ Định lý Picard kết luận phương trình (2.19) có nghiệm phân hình khác số cấp hữu hạn a2 = Sự tồn nghiệm phân hình cấp hữu hạn phương trình (2.19) đảm bảo trường hợp a2 = 0, a0 = Khi phương trình (2.19) có nghiệm có dạng ω(z) = Số hóa trung tâm học liệu αsn(Ωz + c) + β γsn(Ωz + c) + δ http://www.lrc-tnu.edu.vn/ (2.23) 34 c ∈ C tùy ý α, β, γ, δ, Ω số xác định phụ thuộc vào số tham số tự khác Các nghiệm giải tích phương trình (2.23) bậc hai tuần hồn chu kỳ khơng Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 35 Kết luận Luận văn giải vấn đề sau: Hệ thống lại kiến thức sở Lý thuyết Nevanlinna cổ điển Trình bày mở rộng sâu lý thuyết Nevanlinna cổ điển tới lý thuyết Nevanlinna cho toán tử sai phân Một kết mơ hình hóa định lý thứ hai, định lý quan hệ số khuyết, định lý Picard, định lý năm điểm Nevanlinna Trình bày ứng dụng cho phương trình sai phân Hướng phát triển luận văn nghiên cứu sâu lý thuyết Nevanlinna tốn tử sai phân Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 36 Tài liệu tham khảo [1] K Yamanoi The second main theorem for small functions and related problems Acta Math., 192, No.2, pp 225–294, 2004 [2] R G Halburd and R J Korhonen Finite-order meromorphic solutions and the discrete Painlev’e equations Preprint, 2004 [3] R G Halburd and R J Korhonen Difference analogue of the lemma on the logarithmic derivative with applications to difference equations to appear in J Math Anal Appl., 2005 [4] R G Halburd and R J Korhonen Nevanlinna theory for the difference operator Annales Academie Sientiarum Fennice, Methematica, Volumen 31, 436-478, 2006 [5] W K Hayman Meromorphic functions Clarendon Press, Oxford, 1964 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ... tới lý thuyết Nevanlinna cho toán tử sai phân Một kết mơ hình hóa định lý thứ hai lý thuyết Nevanlinna Hệ định lý bao gồm mơ hình hóa quan hệ số khuyết, định lý Picard, định lý năm điểm Nevanlinna. .. kiến thức sở Lý thuyết Nevanlinna cổ điển Trình bày mở rộng sâu lý thuyết Nevanlinna cổ điển tới lý thuyết Nevanlinna cho toán tử sai phân Một kết mơ hình hóa định lý thứ hai, định lý quan hệ số... Nevanlinna cổ điển tới lý thuyết Nevanlinna toán tử sai phân f → ∆c f = f (z + c) − f (z) Năm 2006, R G Halburd R J Korhonen nghiên cứu lý thuyết Nevanlinna toán tử sai phân Về sau, hướng nghiên