BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT PHẠM GIA HƯNG CÁC PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TRONG BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC ĐÀ LẠT – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT PHẠM GIA HƯNG CÁC PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TRONG BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Mã số: Toán Giải tích 62.46.01.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Lê Dũng Mưu - Viện Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam TS Lê Minh Lưu - Trường Đại học Đà Lạt ĐÀ LẠT – 2014 Lời cam đoan Các kết trình bày luận án cơng trình nghiên cứu tơi hồn thành hướng dẫn GS.TSKH Lê Dũng Mưu; TS Lê Minh Lưu có ý kiến đóng góp sữa chữa luận án Các kết luận án chưa công bố cơng trình người khác Tơi xin chịu trách nhiệm với lời cam đoan Tác giả Phạm Gia Hưng Lời cám ơn Luận án hoàn thành Trường Đại học Đà Lạt Viện Tốn học thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam hướng dẫn tận tình GS.TSKH Lê Dũng Mưu; TS Lê Minh Lưu có ý kiến đóng góp giúp tác giả sữa chữa luận án Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Trong trình học tập nghiên cứu, thông qua giảng, hội nghị seminar, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ có ý kiến đóng góp q báu Thầy Cơ Trường Đại học Đà Lạt Viện Toán học Tác giả xin chân thành cám ơn Tác giả xin trân trọng cám ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Đà Lạt, Phòng Đào tạo Đại học Sau đại học, Khoa Sau đại học - Trường Đại học Đà Lạt; Ban lãnh đạo Viện Toán học; Ban lãnh đạo Trường Đại học Nha Trang, Khoa Khoa học bản, Khoa Công nghệ thông tin - Trường Đại học Nha Trang; tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thời gian làm nghiên cứu sinh Xin cám ơn anh chị em nhóm nghiên cứu, bạn bè đồng nghiệp gần xa trao đổi, động viên khích lệ tác giả suốt q trình học tập, nghiên cứu làm luận án Tác giả xin kính tặng người thân yêu gia đình niềm vinh hạnh to lớn Mục lục Một số ký hiệu chữ viết tắt Mở đầu Một số kiến thức bổ trợ 16 1.1 Sự hội tụ yếu không gian Hilbert 16 1.2 Phép chiếu lên tập lồi đóng - Các định lý tách tập lồi 18 1.3 Tính liên tục hàm lồi 19 1.4 Đạo hàm vi phân hàm lồi 22 1.5 Cực trị hàm lồi 23 1.6 Tính liên tục ánh xạ đa trị 24 1.7 Kết luận 27 Sự tồn nghiệm số cách tiếp cận giải toán cân 28 2.1 Bài toán cân (BTCB) trường hợp riêng 28 2.2 Sự tồn nghiệm số tính chất BTCB 36 2.3 Một số cách tiếp cận giải BTCB 44 2.4 Kết luận 46 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho tốn cân khơng gian Euclide 48 3.1 Bài tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 49 3.2 Hiệu chỉnh Tikhonov cho BTCB đơn điệu 53 3.3 Hiệu chỉnh Tikhonov cho BTCB giả đơn điệu 58 3.4 Áp dụng vào bất đẳng thức biến phân đa trị 66 3.5 Kết luận 68 4 Các phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov điểm gần kề xấp xỉ cho toán cân không gian Hilbert 69 4.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov xấp xỉ 70 4.2 Phương pháp điểm gần kề xấp xỉ 77 4.3 Áp dụng vào bất đẳng thức biến phân đa trị 83 4.4 Giải BTCB giả đơn điệu theo cách tiếp cận giải toán tối ưu hai cấp 85 4.5 Tính ổn định 87 4.6 Kết luận 91 Kết luận chung 92 Các hướng nghiên cứu 94 Danh mục công trình liên quan đến luận án cơng bố 95 Tài liệu tham khảo 96 Một số ký hiệu chữ viết tắt N tập số nguyên dương R tập số thực Rn không gian Euclide n chiều Rn+ góc khơng âm Rn H khơng gian Hilbert thực X∗ không gian đối ngẫu không gian X x, y x := tích vơ hướng hai vectơ x y x, x chuẩn vectơ x I ánh xạ đồng f −1 ánh xạ ngược ánh xạ f f −1 (V ) nghịch ảnh tập V qua ánh xạ f domf miền hữu hiệu ánh xạ f rgef miền ảnh ánh xạ f gphf đồ thị ánh xạ f epif đồ thị ánh xạ f f (x) hay ∇f (x) đạo hàm f điểm x f (x, d) đạo hàm theo phương d f điểm x ∂f (x) vi phân f điểm x min{f (x) : x ∈ D} giá trị cực tiểu f tập D max{f (x) : x ∈ D} giá trị cực đại f tập D argmin{f (x) : x ∈ D} tập điểm cực tiểu f tập D argmax{f (x) : x ∈ D} tập điểm cực đại f tập D clD bao đóng tập D intD phần tập D riD phần tương đối tập D dD (x) khoảng cách từ điểm x đến tập D pD (x) hình chiếu điểm x tập D ND (x) nón pháp tuyến tập D điểm x diamD := sup x − y đường kính của tập D x,y∈D B(a, r) cầu đóng tâm a bán kính r B(a, r) cầu mở tâm a bán kính r S(a, r) mặt cầu tâm a bán kính r xk → x dãy xk hội tụ mạnh tới điểm x xk dãy xk hội tụ yếu tới điểm x x lim := lim sup giới hạn lim := lim inf giới hạn E(K, f ) toán cân N E(K, f ) toán cân Nash V I(K, F ) toán bất đẳng thức biến phân (đơn trị) M V I(K, F ) toán bất đẳng thức biến phân đa trị O(K, f ) toán tối ưu (BO) toán tối ưu hai cấp Pd toán đối ngẫu toán P SP tập nghiệm toán P SPδ tập δ − nghiệm tốn P Mở đầu Cho H khơng gian Hilbert thực, K ⊆ H tập lồi đóng khác rỗng f : K × K → R song hàm cân bằng, tức f thỏa mãn f (x, x) = với x ∈ K Xét tốn E(K, f ) : Tìm x ∈ K cho f (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ K Bài toán lần đưa vào năm 1955 H Nikaido, K Isoda [44] nhằm tổng qt hóa tốn cân Nash trị chơi khơng hợp tác vào năm 1972, xét đến dạng bất đẳng thức minimax tác giả Ky Fan [20], người có nhiều đóng góp quan trọng cho tốn nên toán gọi Bất đẳng thức Ky Fan (Ky Fan Inequality) Bài toán E(K, f ) thường sử dụng để thiết lập điểm cân Lý thuyết trị chơi (Games Theory), cịn có tên gọi khác Bài toán cân (Equilibrium Problem) theo cách gọi tác giả L.D Muu, W Oettli [40] năm 1992 E Blum,W Oettli [10] năm 1994 Bài toán cân (viết tắt BTCB) đơn giản mặt hình thức bao hàm nhiều lớp toán quan trọng thuộc nhiều lĩnh vực khác toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động Kakutani, điểm yên ngựa, cân Nash, v.v [8, 23, 40]; hợp toán theo phương pháp nghiên cứu chung tiện lợi Nhiều kết tốn nói mở rộng cho BTCB tổng quát với điều chỉnh phù hợp thu nhiều ứng dụng rộng lớn [10, 26, 27, 36, 37, 49] John Forbes Nash Jr (13/06/1928) nhà toán học người Mỹ chuyên nghiên cứu lý thuyết trị chơi hình học vi phân Năm 1994, ông nhận giải thưởng Nobel kinh tế với hai nhà nghiên cứu lý thuyết trò chơi khác Reinhard Selten John Harsanyi Ky Fan (19/09/1914−22/03/2010) nhà toán học Mỹ gốc Hoa, giáo sư danh dự trường Đại học California, Santa Barbara Các nhà nghiên cứu rằng, nhiều toán thực tế tối ưu, kinh tế kỹ thuật mơ tả dạng BTCB [8, 41, 42] Điều giải thích BTCB ngày nhiều người quan tâm Các hướng nghiên cứu trọng BTCB là: nghiên cứu vấn đề định tính tồn nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định [6, 8, 25, 30, 39, 58] định lượng phương pháp giải, tính hội tụ [8, 9, 23, 26, 29, 33, 36, 37, 42, 45, 46, 48, 49]; ứng dụng toán vào thực tế, đặc biệt vào mơ hình kinh tế [41, 42] Trong việc nghiên cứu vấn đề này, phương pháp giải đóng vai trị quan trọng Đến có số kết đạt cho số lớp BTCB với giả thiết lồi đơn điệu, chủ yếu sử dụng phương pháp điểm gần kề (proximal point method ), phương pháp nguyên lý toán phụ (auxiliary subproblem principle method ), phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (Tikhonov regularization method ), phương pháp hàm đánh giá (gap function method ), đặc biệt phương pháp chiếu (projection methods) Bài toán E(K, f ), hàm f khơng có tính đơn điệu mạnh, nói chung tốn đặt khơng chỉnh (ill-posed problem) theo nghĩa tốn khơng có nghiệm nghiệm khơng ổn định theo kiện ban đầu, tức thay đổi nhỏ liệu dẫn đến sai khác lớn nghiệm, chí làm cho tốn trở nên vơ nghiệm vô định Nhiều vấn đề khoa học, công nghệ, kinh tế, sinh thái, v.v gặp phải toán thuộc loại Do số liệu thường thu thập thực nghiệm sau lại xử lý máy tính nên chúng khơng tránh khỏi có sai số Chính thế, ta cần phải có phương pháp giải ổn định tốn đặt không chỉnh cho sai số liệu nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm toán xuất phát Hiệu chỉnh kỹ thuật quan trọng tạo nên phương pháp giải ổn định; thường dùng để xử lý tốn đặt khơng chỉnh toán học ứng dụng tối ưu lồi, bất đẳng thức biến phân, v.v Các phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov điểm gần kề phương pháp hay sử dụng Ý tưởng phương pháp là: xây dựng toán hiệu chỉnh cách cộng vào toán tử toán gốc toán tử đơn điệu mạnh phụ thuộc vào tham số 88 điểm giới hạn dãy {xk } {uk } thơng qua giải tốn tối ưu hai cấp (BO) Trên sở đó, ta chứng tỏ rằng, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov điểm gần kề lai ghép phương pháp siêu phẳng cắt sử dụng vào BTCB giả đơn điệu Muốn vậy, ta phải chứng minh toán (BO) tốn đặt chỉnh theo nghĩa, có nghiệm nghiệm phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu toán gốc Thật vậy, giả sử T không gian Banach; S : T → 2H ánh xạ đa trị có giá trị lồi đóng khác rỗng K = S(0); f giả đơn điệu thỏa mãn giả thiết (A1 ), (A2 ), (A3 ) H Xét BTCB phụ thuộc vào tham số, có dạng E(S(t), f ) : Tìm x(t) ∈ S(t) : f (x(t), y) ≥ 0, ∀y ∈ S(t) Tập nghiệm toán ký hiệu S(t) := SE(S(t), f ), theo Định lý 2.2.c), tập lồi compắc yếu khác rỗng với t ∈ T Trong trường hợp này, toán tối ưu hai cấp cho dạng BO(t) : min{ x − xg : x ∈ S(t)} (4.16) Mặt khác, theo Bổ đề 2.5, ta có S(t) = argmax{−f (x(t), y) : y ∈ S(t)} Khi đó, thêm giả thiết f liên tục; S có giá trị compắc liên tục lân cận K = S(0) thì, theo định lý cực đại Berge, ánh xạ S(.) có giá trị compắc, khác rỗng nửa liên tục lân cận ∈ T Do đó, từ định lý cực đại Berge (4.16), nghiệm x(t) toán BO(t) liên tục Chứng tỏ toán (BO) đặt chỉnh Sau đây, ta xét trường hợp đặc biệt ánh xạ tập nghiệm S(.) nửa liên tục Giả sử F ánh xạ đa trị từ không gian Banach X vào không gian Banach T K = F −1 (0) Xét tốn   Tìm x(t) ∈ F −1 (t) cho P (t) :  f (x(t), x) ≥ 0, ∀x ∈ F −1 (t) Ta ký hiệu tập nghiệm toán S(t) Ta cần đến bổ đề sau: 89 Bổ đề 4.12 (Xem [39, Lemma 1]) Giả sử X, T không gian Banach phản xạ F : X → 2T ánh xạ đa trị thỏa mãn điều kiện i) F lồi đóng X × T ; ii) F (X) = T ; iii) F −1 (0) bị chặn Khi đó, với lân cận bị chặn V0 ∈ T , tồn tập compắc yếu B ⊂ X cho F −1 (t) ⊂ B với t ∈ V0 F −1 nửa liên tục yếu V0 Định lý tính nửa liên tục yếu ánh xạ tập nghiệm chứng minh [39] cho trường hợp song hàm cân f đơn điệu Chúng tơi mở rộng cho toán P (t) với f giả đơn điệu X = H Định lý 4.13 Giả sử ánh xạ F : H → 2T thỏa điều điều kiện Bổ đề 4.12; hàm f giả đơn điệu thỏa mãn giả thiết (A1 ), (A2 ) H Khi đó, với lân cận bị chặn V0 ∈ T , tốn P (t) có nghiệm với t ∈ V0 ánh xạ S(.) nửa liên tục yếu V0 Chứng minh Theo Bổ đề 4.12, ánh xạ F −1 lồi đóng nửa liên tục yếu V0 Hơn nữa, F −1 (V0 ) chứa tập compắc yếu B Lấy x(0) ∈ F −1 (0) = K Khi đó, Lt (x(0), f ) = {x(t) ∈ F −1 (t) : f (x(t), x(0)) ≥ 0} ⊂ F −1 (V0 ) ⊂ B, ∀t ∈ V0 nên Lt (x(0), f ) bị chặn, vậy, tốn P (t) có nghiệm với t ∈ V0 theo Định lý 2.4 Xét hàm số h(t, x ) := max{−f (x, x ) : x ∈ F −1 (t)} Có thể thấy x0 ∈ S(t) ⇔ x0 ∈ F −1 (t) h(t, x0 ) ≥ Do −f nửa liên tục yếu V0 × H F −1 nửa liên tục yếu V0 nên theo định lý cực đại Berge, h nửa liên tục yếu V0 × H Vì S(t) chứa tập compắc yếu B, theo Hệ 1.17, để tính nửa liên tục yếu ánh xạ tập nghiệm S(.), ta phải chứng tỏ đồ thị đóng Thực vậy, cho (t0 , x0 ) ∈ / gphS Khi x0 ∈ F −1 (t0 ) h(t0 , x0 ) < hai 90 Khi đó, tính đóng F −1 (t0 ) tính nửa liên tục yếu h, tồn lân cận V × U (t0 , x0 ) cho x ∈ F −1 (t) h(t, x) < hai Chứng tỏ (V × U ) ∩ gphS = ∅ Để minh họa kết trên, ta xét ví dụ, F (x) := M − G(x) với G ánh xạ từ H vào T M tập T Khi M nón lồi đóng G thỏa mãn tính chất i) G liên tục −G(H) + M = T ; ii) G M − lồi X, tức G(λx + (1 − λ)y) ∈ λG(x) + (1 − λ)G(y) + M, ∀x, y ∈ H, ∀λ ∈ [0, 1] tất điều kiện cần thiết cho F thỏa Thật vậy, từ định nghĩa F điều kiện i) thấy F (H) = T Mặt khác x ∈ F −1 (t) ⇔ t ∈ F (x) = M − G(x) ⇔ G(x) + t ∈ M nên F −1 (t) = {x ∈ H : G(x) + t ∈ M } Do M nón lồi đóng điều kiện ii), gphF nón lồi đóng nên F −1 := supt∈domF −1 \{0} dF (t) (0) t hữu hạn, vậy, F −1 (0) = {x ∈ H : G(x) ∈ M } bị chặn (xem [18, Lemma 1]) Tiếp theo, xét đến tính liên tục ánh xạ sau  S(0) t = 0, Sδ (t) := {x ∈ F −1 (t) : f (x , x) ≥ δ, ∀x ∈ F −1 (t)} t = δ δ Lý để quan tâm đến tính liên tục ánh xạ thực tế, thay tìm nghiệm xác tốn P (0) ta tìm δ− nghiệm tốn P (t) (xem Mục 4.1 4.2) Lưu ý rằng, nói chung, ánh xạ S không nửa liên tục yếu Tuy nhiên, ánh xạ Sδ , ta có kết sau: 91 Định lý 4.14 Với giả thiết Định lý 4.13, ánh xạ Sδ nửa liên tục yếu Chứng minh Chứng minh tương tự chứng minh Định lý [39] Các điều kiện tổng quát đảm bảo cho tính nửa liên tục ánh xạ tập nghiệm tốn cân có tham số tìm thấy [1] tài liệu liên quan khác 4.6 Kết luận Chương trình bày việc sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov điểm gần kề xấp xỉ vào việc giải BTCB giả đơn điệu khơng gian Hilbert, qua cho ta thấy, phát triển kết đạt Chương vào không gian vô hạn chiều Như biết, để giải toán E(K, f ) phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hay điểm gần kề, ta giải dãy toán hiệu chỉnh E(K, fεk ) hay E(K, fk ) với hy vọng toán phụ dễ giải toán gốc Tuy nhiên điều khơng phải trường hợp BTCB giả đơn điệu, toán hiệu chỉnh khơng cịn nghiệm, chí tập nghiệm chúng khơng lồi, để khắc phục phần nhược điểm này, ta thay bất đẳng thức xác fεk (xk , y) ≥ fk (xk , y) ≥ tốn hiệu chỉnh nói bất đẳng thức xấp xỉ fεk (xk , y) ≥ −δ hay fk (xk , y) ≥ −δ với δ ≥ Chúng ta chứng tỏ rằng, toán hiệu chỉnh xấp xỉ có nghiệm tốn gốc có nghiệm dãy nghiệm toán hiệu chỉnh xấp xỉ hội tụ nghiệm toán gốc; nghiệm hình chiếu nghiệm đốn lên tập nghiệm toán E(K, f ) trường hợp sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hay phương pháp điểm gần kề lai ghép với phương pháp siêu phẳng cắt Cũng chương trước, chương trình bày việc áp dụng kết hội tụ nói vào bất đẳng thức biến phân đa trị giả đơn điệu 92 Để thấy ý nghĩa kết đạt luận án, hai phần cuối chương trình bày cách giải BTCB giả đơn điệu bàn tính ổn định phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov áp dụng cho BTCB đặt khơng chỉnh thơng qua cách tiếp cận giải tốn tối ưu hai cấp 93 Kết luận chung Các kết nhận luận án gồm: 1) Các điều kiện tồn nghiệm, nghiệm số tính chất tập nghiệm tốn cân (Định lý 2.2, 2.4) 2) Tính hội tụ phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán cân đơn điệu (Định lý 3.1, 3.2) 3) Tính hội tụ phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán cân giả đơn điệu (Định lý 3.3, 3.5) 4) Cấu trúc tính chất tập nghiệm toán hiệu chỉnh toán E(K, f ) giả đơn điệu thỏa điều kiện (Định lý 3.4, 3.5) 5) Tính hội tụ phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov xấp xỉ cho toán cân giả đơn điệu (Bổ đề 4.1, 4.2 Định lý 4.3) 6) Tính hội tụ phương pháp điểm gần kề xấp xỉ cho toán cân giả đơn điệu (Định lý 4.5, Hệ 4.6) 7) Ứng dụng kết đạt vào toán bất đẳng thức biến phân đa trị (Hệ 3.6, 3.7, 4.8, 4.9, 4.10) toán tối ưu hai cấp 8) Tính ổn định phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề lai ghép phương pháp siêu phẳng cắt sử dụng cho toán cân giả đơn điệu (Định lý 4.13) 9) Các ví dụ minh họa Chương 2, Luận án đề cập đến vấn đề sau: 1) Nghiên cứu tồn nghiệm, tính nghiệm tính chất tập nghiệm toán cân 94 2) Nghiên cứu phương pháp giải cho toán cân đặt không chỉnh, đặc biệt trọng đến phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov điểm gần kề 3) Nghiên cứu hội tụ phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov điểm gần kề áp dụng cho toán cân đơn điệu giả đơn điệu, đặc biệt giả đơn điệu 4) Áp dụng kết nghiên cứu vào bất đẳng thức biến phân đa trị tốn tối ưu hai cấp 5) Bàn tính ổn định phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề lai ghép phương pháp siêu phẳng cắt toán cân giả đơn điệu 95 Các hướng nghiên cứu Các hướng nghiên cứu tốn mở tiếp tục nghiên cứu dựa phương pháp tiếp cận kết luận án cho trường hợp sau: 1) Kết hợp phương pháp giải biết toán cân tạo phương pháp giải lai ghép có tính ổn định cho kết tốt 2) Áp dụng kết thu luận án vào mô hình cân giả đơn điệu nảy sinh thực tế 3) Nghiên cứu kỹ tính ổn định tốn cân giả đơn điệu thơng qua cách tiếp cận toán tối ưu cân hai cấp 4) Trong viết [50], R.T Rokafellar đưa thuật toán điểm gần kề để giải tốn: "Tìm khơng điểm tốn tử đa trị đơn điệu cực đại không gian Hilbert" Phát triển kết này, cách sử dụng phương pháp giải luận án để giải tốn nói trường hợp tốn tử đa trị giả đơn điệu 96 Danh mục cơng trình liên quan đến luận án cơng bố 1) P.G Hưng, Hiệu chỉnh Tikhonov toán cân (đơn điệu), Thông báo khoa học, Đại học Đà Lạt (2009) 147-152 2) P.G Hung, Tikhonov Regularization and Proximal Point Methods for Solving Pseudomonotone Equilibrium Problem, Kỷ yếu Hội thảo lần thứ CNTT Toán ứng dụng, Đại học Nha Trang (2011) 106-116 3) P.G Hung, L.D Muu, The Tikhonov Regularization Extended to Equilibrium Problems Involving Pseudomonotone Bifunctions, Nonlinear Analysis, Serial A: Theory, Methods and Applications 74 (2011) 6121-6129 4) P.G Hung, L.D Muu, On Inexact Tikhonov and Proximal Point Regularization Methods for Pseudomonotone Equilibrium Problems, Vietnam Journal of Mathematics 40 (2012) 255-274 5) P.G Hung, L.D Muu, The Tikhonov Regularization Method for Pseudomonotone Equilibrium Problems, Journal of Science, Universty of Dalat (2012) 45-50 6) P.G Hung, L.D Muu, On Inexact Tikhonov and Proximal Point Regularization Methods for Pseudomonotone Equilibrium Problems (Summary), Journal of Science, Universty of Dalat (2012) 51-56 7) B.V Dinh, P.G Hung, L.D Muu, Bilevel Optimization As a Regularization Approach to Pseudomonotone Equilibrium Problems, Numerical Functional Analysis and Optimization 35 (2014) 539-563 97 Tài liệu tham khảo Tiếng nước [1] L.Q Anh, P.Q Khanh (2008), Semicontinuity of the Approximate Solution Sets of Multivalued Quasiequilibrium Problems, Numer Funct Anal Optim 29: 24-42 [2] J.B Aubin, I Ekeland (1984), Applied Nonlinear Analysis, John Wiley and Sons [3] J.P Aubin, H Frankowska (1990), Set-Valued Analysis, Springer [4] H.H Bauschke, P.L Combettes (2010), Convex Analysis & Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer [5] C Berge (1963), Topological Spaces, MacMillan, New York [6] M Bianchi, S Schaible (1996) Generalized Monotone Bifuntions and Equilibrium Problems, J Optim Theory Appl 90: 31-43 [7] M Bianchi, S Schaible (2004), Equilibrium Problems under Generalized Convexity and Generalized Monotonicity, J Optim Theory Appl 30: 121134 [8] G Bigi, M Castellani, M Pappalardo, M Passacantando (2013), Existence and Solution Methods for Equilibria, European J Operational Research 227: 1-11 [9] G Bigi, M Passacantando (2013), Descent and Penalization Techniques for Equilibrium with Nonlinear Constraints, J Optim Theory Appl.,DOI: 10.1007/s10957-013-0473-7 98 [10] E Blum, W Oettli (1994), From Optimization and Variational Inequalities to Equilibrium Problems, Math Student 63: 127-169 [11] H Brezis (1987), Analyse Fonctionnelle: Théorie et Applications, MASSON [12] N Buong (2009), Regularization Inertial Proximal Point Algoritm for Convex Feasility Problems in Banach Spaces, Int J Math Anal 3: 549561 [13] Y Censor, A Lent (1981), An Iterative Row-Action Method for Interval Convex Programming, J Optim Theory Appl 34: 321-353 [14] G Cohen (1998), Auxiliary Problem Principle Extended to Variational Inequalities, J Optim Theory Appl 59: 325-333 [15] S Dempe (2002), Foundations of Bilevel Programming, Kluwer Academic Press, Dordrecht [16] B.V Dinh, L.D Muu (2011), On Penalty and Gap Function Methods for Bilevel Equilibrium Problems, Hindawi Publishing Corporation, J Appl Math, Article ID 646452, DOI: 10.1155/2011/646452 [17] B.V Dinh, P.G Hung, L.D Muu (2014), Bilevel Optimization As a Regularization Approach to Pseudomonotone Equilibrium Problems, Numerical Functional Analysis and Optimization 35: 539-563 [18] P.C Duong, H Tuy (1978), Stability, Subjectivity and Local Invertibility of Non Differentable Mappings, Tom 3, No 1, ACTA Mathematica Vietnamica [19] F Facchinei, J.S Pang (2003), Finite−Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Springer, New York [20] K Fan (1972), A Minimax Inequality and Applications, Academic Press, New York In Inequality III: 103-113 [21] M Gaydu (2012), Stability Properties of the Tikhonov Regularization for Nonmonotone Inclusions, J Glob Optim 52: 843-853 99 [22] N.T Hao (2006), Tikhonov Regularization Algorithm for Pseudomonotone Variational Inequalites, Acta Math Vietnam 31: 283-289 [23] AN Iusem, W Sosa (2010), On the Proximal Point Method for Equilibrium Problems in Hilbert Spaces, Optimization 59: 1259-1274 [24] V.K Ivanov, V.V Vasin, V.P Tanana (1978), Theory of Linear Ill-Posed Problems and Its Applications, Moscow [25] I.V Konnov (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer [26] I.V Konnov (2003), Application of the Proximal Point Method Nonmonotone Equilibrium Problems, J Optim Theory Appl 119: 317-333 [27] I.V Konnov, O.V Pinyagina (2003), D-Gap Functions and Descent Methods for a Class of Monotone Equilibrium Problems, Lobachevskii Journal of Mathematics, 13: 57-65 [28] I.V Konnov, M.S.S Ali, E.O Mazukevich (2006), Regularization of Nonmonotone Variational Inequalities, J Optim Theory Appl 53: 311-330 [29] I.V Konnov (2009), Regularization Methods for Nonmonotone Equilibrium Problems, J Nonlinear and Convex Anal 10: 93-101 [30] I.V Konnov, D.A Dyabilkin (2011), Nonmonotone Equilibrium Problems: Coercivity Conditions and Weak Regularization, J Glob Optim 49: 575587 [31] G.M Korpelevich (1976), The Extragradient Method for Finding Saddle Points and Other Problems, Ekon Math Method 12: 747-756 [32] M.M Lavrent’ev (1967), Some Improperly Posed Problems in Mathematical Physics, Springer, Verlag [33] D Lorenzo, M Passacantando, M Sciandrone (2013), A Convergent Inexact Solution Method for Equilibrium Problems, Optimization Methods and Software, DOI: 10 1080/10556788.2013.796376 100 [34] B Martinet (1970), Regularisation d’inÉquations Variationelles par Approximations Successives, Revue Francaise d’Informatiques et de Recherche Opérationelle 4: 154-159 [35] G Mastroeni (1999), Minimax and Extremum Problems Associated to a Variational Inequality, Rendiconti del Circolo Matematico di Parlemo, Serie II Suppl 58: 185-196 [36] G Mastroeni (2003), On Auxiliary Principle for Equilibrium Problems, Kluwer, Dordrecht, 289-298 [37] A Moudafi (1999), Proximal Point Algorithm Extended to Equilibrium Problems, J Natural Geometry 15: 91-100 [38] A Moudafi (2010), Proximal Methods for a Class of Bilevel Monotone, J Glob Optim 47: 287-292 [39] L.D Muu (1984), Stability Property of a Class of Variational Inequality, Optimization 15: 347-351 [40] L.D Muu, W Oettli (1992), Convergence of an Adaptive Penalty Scheme for Finding Constrained Equilibria, Nonlinear Anal.: TMA 18: 1159-1166 [41] L.D Muu, N.V Quy, V.H Nguyen (2007), On Nash-Cournot Oligopolistic Market Equilibrium Models with Concave Cost Functions, J Glob Optim 41: 351-364 [42] L.D Muu, T.D Quoc (2009), Regularization Algorithms for Solving Monotone Ky Fan Inequalities with Application to a Nash-Cournot Equilibrium Model, J Optim Theory Appl 142: 185-204 [43] L.D Muu, T.D Quoc (2010), One Step from D.C Optimization to D.C Mixed Variational Inequalities, Optimization 59: 63-76 [44] H Nikaido, K Isoda (1955), Note on Noncooperative Convex Games, Pacific Journal of Mathematics 5: 807-815 [45] M.A Noor, K.I Noor (2004), On Equlibrium Problems, Applied Mathematics E-Notes 4: 125-132 101 [46] M.A Noor (2004) Auxiliary Principle Technique for Equilibrium Problems, J Optim Theory Appl 122: 371-386 [47] P.R Oliveira, P.S.M Santos, A.N Silva (2013), A Tikhonov-type Regularization for Equilibrium Problems in Hilbert Spaces, J Mathematical Analysis and Applications 401: 336-342 [48] M Pappalardo, G Mastroeni, M Pasacantando (2014), Merit Functions a Brige between Optimization and Equilibria, 4OR, 12: 1-33 [49] T.D Quoc, L D Muu (2012), Iterative Methods for Solving Monotone Equilibrium Problems Via Dual Gap Functions, Comput Optim Appl DOI 10.1007/s10589-010-5360-4 [50] R.T Rockafellar (1976), Monotone Operators and the Proximal Point Algorithm, SIAM J Control Optim 5: 877-898 [51] R.T Rockafellar (1997), Convex Analysis, Publish by Princeton Universty Press Princeton, New Jersey [52] N.N Tam, J.-C Yao, N.D Yen (2008), Solution Methods for Pseudomonotone Variational Inequalities, J Optim Theory Appl 138: 253-273 [53] A Tada, W Takahashi (2007), Weak and Strong Convergence Theorem for Nonexpansive Mapping and Equilibrium Problem J Optim Theory Appl 133: 359-370 [54] A.N Tikhonov (1963), On the Solutions of Ill-Posed Problems and the Method of Regularization, Dokl Akad Nauk SSSA, 151: 501-504 [55] A.N Tikhonov, V.Y Arsenin (1977), Solutions of Ill-Posed Problems, John Wiley and Sons, New York [56] H Tuy (1998), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Academic Publisher [57] N.T.T Van, V.H Nguyen, J.J Strodiot (2009), A Bundle Method for Solving Equilibrium Problems, Math Prog 116: 529-552 102 Tiếng Việt [58] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài tốn đặt khơng chỉnh, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [59] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học & Kỹ thuật, Hà Nội [60] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nhập mơn Giải tích lồi ứng dụng, NXB Khoa học & Công nghệ (sẽ xuất bản) [61] Lê Dũng Mưu (1998), Nhập môn Các phương pháp tối ưu, NXB Khoa học & Kỹ thuật, Hà Nội [62] Nguyễn Đơng n (2007), Giáo trình Giải tích đa trị, NXB Khoa học Tự nhiên & Công nghệ, Hà Nội ... Các phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov điểm gần kề phương pháp hay sử dụng Ý tưởng phương pháp là: xây dựng toán hiệu chỉnh cách cộng vào toán tử toán gốc toán tử đơn điệu mạnh phụ thuộc vào tham... đây, phương pháp trở thành phương pháp thơng dụng để giải nhiều toán lĩnh vực khác phương trình phi tuyến, tốn tối ưu, toán cân bằng, Tương tự phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, để giải toán E(K,...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT PHẠM GIA HƯNG CÁC PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TRONG BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Mã số: Tốn Giải tích 62.46.01.01