vào việc giải phương trình chứa biến trong dấu giá trị tuyệt đối.. + Biết tìm nghiệm số phụ từ đó suy ra nghiệm của phương trình.. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ.[r]
(1)CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH -TỐN 9 A/ PHƯƠNG PHÁP XÉT KHOẢNG :
+ Nắm biết phương pháp giải phương trình chứa biến dấu giá trị tuyệt đối + biết cách xét dấu nhị thức bậc ax + b để ứng dụng
vào việc giải phương trình chứa biến dấu giá trị tuyệt đối I.KIẾN THỨC BỔ SUNG
* Dấu nhị thức bậc ax + b
x − b
a
ax + b Trái dấu với a Cùng dấu với a
II.CÁC DẠNG BÀI TẬP
Ví dụ 1: Giải phương trình sau : a) 2x1 0 , b) x 3
giải: a) 2x1 0 2x – = 0 x = ½ Vậy : S =
b) x 3
2 3 x
x
5 x x
Vậy : S = 1;5
Ví dụ 2: Giải phương trình sau : 2x1 x
2
2
x x
x x
1 x
x
Vậy : S = 1;1
* DẠNG : f(x) = a (1)
a < , ta có Pt (1) : vô nghiệm a = , ta có Pt (1) f(x) = 0
a > , ta có Pt (1)
f(x) = a f(x) = -a
* DẠNG 2: f(x) = g(x)
( ) ( )
g x g x
f(x) = f(x) =
-* DẠNG 3: f(x) = g(x)
f(x) 0 f(x) = g(x)
(2)Ví dụ 3: Giải phương trình sau : 3x 2 2x6
+ Với x
3 , ta có Pt : 3x – = 2x + x = ( nhận) + Với x <
2
3 , ta có Pt : 3x – = –2x – x = - 4/5 ( nhận)
Vậy : S =
;8
Ví dụ 4.1: Giải phương trình sau : 2x 1 3 x1 1 + Bảng xét dấu :
Với x < ½ , ta có Pt : – 2x – 3( – x ) = x = ( loại ) Với ½ x < , ta có Pt : 2x – – 3(1 – x ) = x = ( loại ) Với x , ta có Pt : 2x – – 3(x – ) = x = ( nhận ) Vậy : S = 1
Ví dụ 4.2: Giải phương trình sau : x2 x1 x x1 2 ; ĐK : x x 1 x1 1 x 1 x1 2
x1 1 x1 2 (2) ; ( x1 0 )
* Nếu x > Pt (2) x1 +1 + x1 - = x1 = x = (loại)
* Nếu x 2 Pt (2) x1 +1 + - x1 = 0.x = , Pt vô số nghiệm Vậy Pt cho có nghiệm x
+ Cách khác : Sau biến đổi đến Pt (2) ta viết : x1 1 x1 Chú ý bất đẳng thức A A với điều kiện xảy ” =” A Vì - x1 x1 x 2
Kết hợp với ĐK ban đầu ta có 1 x
Ví dụ 4.2: c) x26x 9 x2 2x 1 x2 0
Giai :
2 2
3
x x x
x3 2 x 1 x 0 (2)
* DẠNG 4: a f(x) b g(x) h x( )
+ Dùng bảng xét dấu giá trị biến nghiệm đa thức , để khử dấu giá trị tuyệt đối , giải Pt
x 1/2
2x – – + +
(3)+ Nếux 3, (2) x3 2 x1 x00.x 0 : vô nghiệm.
+ Nếu : 3 x 0, (2) x3 2 x1 x02x 1 0
1 x
+ Nếu : 0 x 1, (2) x3 2 x1 x 04x 1 0
1 x
, (loại) + Nếu ; x1, (2) x3 2x 1x00.x 0 : vô nghiệm.
Vậy phương trình cho có nghiệm
1 x
III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải phương trình sau : a) x2 2x 1 5 ; b) 4x2 4x 1 x c) x2 6x 9 x24x4 0
B/ PHƯƠNG PHÁP TỔNG CÁC SỐ KHÔNG ÂM
+ Sử dụng tính chất tổng số không âm để vận dụng vào việc giải phương trình + Nhận dạng biến đổi phương trình dạng
I.CÁC DẠNG BÀI TẬP :
Ví dụ 5: Giải phương trình sau : 2x2 + 2x + = 4x1 (*) Giải : ĐK : 4x + x - ¼
(*) 4x2 + 4x + = 2 4x1 4x2 + 4x + – 4x1 +1 = 0
4x2 + ( 4x1- )2 =
4 1
x
x o
0 1
x x
x = ( nhận) Vậy : S = 0
Ví dụ 5’: Tìm giá trị x, y, z biết :
1
2 ( 7)
2
x y z x y z
(1) + ĐK : x ; y ; z 5
(1) x 2 y 2 z 5 x y z 7 0 ( x 1) 2( y 1) 2( z 1) 20
* DẠNG : A2 + B2 =
(4)
2 x y z x y z
Ví dụ : Giải phương trình sau :
2
1
x x x
(**)
(**)
1 x x x ( 1)( 2)
x x x 1 x x x
x = Vậy : S = 1
Ví dụ : Giải phương trình sau : x2 2x 1 x1 0
1 x x x
1 ( 1)
x x
x =1 Vậy : S = 1 II.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Giải phương trình sau : a)
1
1 ( )
2
x y z x y z
; b) x + y + = x+ y1 ; c) x + y + z + = x 4 y 6 z ; d )
2
3
4
x x x x
C PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP VÀ BẤT ĐẲNG THỨC :
+ Sử dụng tính chất đối lập hai vế phương trình
+ Ngồi bất đẳng thức số không âm trước , cần nắm thêm sử dụng số bất đẳng thức quen thuộc BĐT Cô Si; BĐT Svacxơ; BĐT giá trị tuyệt đối vào việc giải phương trình
I/KIẾN THỨC CƠ BẢN
1_ Sử dụng tính chất tính chất đối nghịch giá trị hai vế Pt :
Ví dụ : Giải phương trình sau :
a) 3x26x7 5x210x14 4 2x x
3(x1)2 4 5(x1)29 5 (x1)2
Mà (VT) = 3(x1)24 5(x1)29 5 , dấu”=” xảy (x + 1)2 = x = -1
* DẠNG :
A = 0 A + B = 0
B = 0
* DẠNG :
A = 0 A + B = 0
B = 0
* DẠNG :
A m B m
A = B
(5)Và (VP) = – (x + 1)2 , dấu “=” xảy (x + 1)2 = x = -1
Do : 3x26x7 5x210x14 4 2x x 5 (x + 1)2 = x = -1 Vậy : S = 1
b) x 7 9 xx216x66 ; ĐK : 7 x
(VT) : A = x 7 9 x A2 = + 2 (x 7)(9 x) 2 x 9 x4
(Áp dụng BĐT Cô Si (x 7)(9 x) 2 x 9 x4) Do A 2
(VP) : B = x216x66 = (x – )2 + 2
Theo đề A = B nên A = B = Do x – = – x ; x = (nhận)
II BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Ví dụ 18 : Giải phương trình sau :
a) 3x26x12 5x410x29 4 x 2x2
b) x2 6x11 x2 6x13 x2 4x5 3 c)
2
2
6 15
6 18 11
x x
x x
x x
2_ Sử dụng bất đẳng thức CƠ-SI cho hai số khơng âm
Ví dụ 9.1 : Giải phương trình sau :
2
3
5 3
2
x
x x x x
ĐK : Vì 5x3 + 3x2 + 3x – = (x2 + x + 1) (5x – 2)
Mà x2 + x + = (x + ½)2 + ¾ >
nên 5x33x2 3x 2có nghĩa 5x – x 2/5 5x33x2 3x (x2 x1)(5x 2)
2 1 5 2 1
3
2 2
x x x x
x
( theo BĐT Cô-Si cho hai số không âm)
Dấu “ = ” xảy x2 + x + = 5x – x2 – 4x + = (x – 1)(x – 3) = 0
x = ; x = Vậy : S = 1;3 Ví dụ 9.2 : Giải phương trình sau :
2x 3 5 2 x 3x2 12x14
Áp dụng BĐT Cơ-Si cho hai số khơng âm ta có :b
2 3 2 1
2 3 5 2 (2 3).1 (5 ).1 2
2 2
x x
x x x x
* DẠNG : Với hai số a ,b khơng âm ta có :
a + b a.b
(6)Dấu “ = ” xảy
2
x x
x = 2
Mặt khác 3x2 – 12x +14 = 3(x2 – 4x + 4) + = 3(x – 2)2 + 2
Dấu “ = ” xảy x – = x = Vậy Pt có nghiệm x =
3_ Sử dụng bất đẳng thức SVAC XƠ
Ví dụ 10 : Giải phương trình sau :
x 2 10 x x2 12x40 ; ĐK : x 10 Ta có (VT) =
2
2 10 (1 1 )( 2 10 ) 4
x x x x
Nên : x 2 10 x 4 , dấu ‘=” xảy
2 10
1
x x
x = 6 Mà (VP) = x2 12x40 ( x 6)2 4 4 , dấu ‘=” xảy x = Vậy phương trình có nghiệm x =
4_ Sử dụng Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối :
Ví dụ 11 : Giải phương trình sau : x2 4x4 x2 6x9 1
Giải :
2
( 2) ( 3)
2 3
x x x x
x x x x
Dấu “ =” xảy : (x – 2) (3 – x) 2 x 3 Vậy Pt cho có nghiệm : x 3
Ví dụ 11’ : Giải phương trình sau : x2 4x 4 x2 6x9 1 (1) x x 1
Áp dụng BĐT A Adấu “=” xảy A , ta có :
* DẠNG 10 :
2 2 2 2
ax + by (a + b )(x + y )
Dấu “=” xảy
a b
=
x y
DẠNG 11 : A + B A + B
Dấu “=” xảy A B dấu hay A.B 0
DẠNG 11’ : A A
(7)2 3 x x x x x x (2)
Do (1) nên phải xảy dấu “=” Pt (2) tức
2
3
x x
2 x 3 nghiệm Pt
CHỨNG TỎ PHƯƠNG TRÌNH VƠ NGHIỆM KHI CĨ VẾ LN NHỎ HƠN VẾ KIA 1) x1 x 1 ; ĐK : x
x1 2 x1 Ta thấy vế phải lớn vế trái , Pt
2) x26 x x21 ; ĐK : x Ta thấy vế trái lớn x , vế phải không lớn x ,
Pt vô nghiệm 3) x1 x 3 (x1)(x2 3x5) 2 x
ĐK : x , nên vế trái ; vế phải , suy hai vế , x = 1
II BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Ví dụ 11 : Giải phương trình sau :
a) x 4 x x 9 x 1 ; ĐK : x , đưa dạng x 3 x 1 Nghiệm : 4 x
b) x 6 x2 x11 6 x2 1 ; ĐK : x -2 ,
Đặt : x2 y đưa dạng y 3 y 1 Nghiệm : 2 x
c) x 2 x 2 x 7 x 1 ; ĐK : x ,
Đặt : x 2 y đưa dạng y 3 y 1 Nghiệm : 6 x 11
D PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ :
+ Biết thay biểu thức chứa ẩn số phương trình ẩn số phụ để phương trình trung gian mà ta biết cách giải + Biết tìm nghiệm số phụ từ suy nghiệm phương trình I/ NỘI DUNG :
Ví dụ 12 : Giải phương trình sau : x4 – x2 – 12 = (1)
Đặt : x2 = y 0
(1) y2 – y – 12 = (y – 4)(y + 3) =
3( ) 4( )
y loai
y nhan
+ Với y = x2 = x = 2 Vậy : S = 2; 2
* DẠNG 12 : PT TRÙNG PHƯƠNG : ax4 + bx2 + c = ( a 0 )
+ Đặt : x2 = y , ta có Pt : ay2 + by + c = 0
* DẠNG 13 : PT dạng : (x + a)(x + b)(x + c) (x + d) = m
Với a + b = c + d + Đặt y = (x + a)(x + b)
(8)Ví dụ 13 : Giải phương trình sau :
(12x –1)(6x – 1)(4x – 1)(3x – 1) = 330
Giải : (12x –1)(12x – 2)(12x – 3)(12x – 4) = 330.2.3.4 (*) Đặt : y = 12x –
(*) (y + 2)(y +1)y (y -1) = 7920 (y2 + y - 2)(y2 + y) – 7920 = (**)
Đặt t = y2 + y -1
(**) (t – 1)(t + 1) = 7920 t2 = 7921 t = 89
+ Với t = 89 ta có y2 + y – 90 =
9 10 y y
12 12 10
x x
1 12 x x
+ Với t = - 89 ta có y2 + y + 88 = Pt vô nghiệm
Vậy : S =
;1 12
Ví dụ 14 : Giải phương trình sau : ( x – 6)4 + (x – 8)4 = 16 (1)
Giải : Đặt : y = x - 7
(1) ( y + 1)4 + (y – 1)4 = 16 khai triển rút gọn ta có : y4 + 6y2 – = (2)
Giai Pt (2) ta : x = ; x =
Ví dụ 15 : Giải phương trình sau : x4 + 3x3 + 4x2 + 3x + =
Giải : + Vì x = khơng phải nghiệm , nên ta chia vế Pt cho x2 ,
Ta Pt sau : (x2 + 2
1
x ) + 3( x +
1
x) + = (*)
+ Đặt : y = x + 1
x nên x2 + 2
1
x = y2 –
(*) y2 + 3y + = (y + 1)(y + 2) = y = - y = -2
+ Với y = -1 ta có Pt : x + 1
x = -1 x2 + x + = Pt vô nghiệm * DẠNG 14 : PT dạng : (x + a)4 + (x + b)4 = k
+ Đặt : y = x +
a + b
2
* DẠNG 15 :Pt có hệ số đối xứng dạng : ax4 + bx3 ±cx2 + bx + a = 0
( a 0 )
+ Vì x = nghiệm , nên ta chia vế Pt cho x2 ,
Ta Pt sau : a (x2 + 2
1
x ) + b ( x ± 1
x) + c = 0
+ Đặt : y = ( x ± 1
(9)+ Với y = -2 ta có Pt : x + 1
x = -2 x2 -2 x + = Pt có nghiệm x = -1
Ví dụ 16 : Giải phương trình sau : (x2 – 3x – )4 – 13x2 (x2 – 3x – 1)2 + 36x4 = (*)
Đặt : u = (x2 – 3x – 1)2 ; v = x2 (*) u2 – 13uv + 36v2 =
+ Xét v = u = , ta có
2
2
( 1) 0
x x
x
x
+ xét v 0 , chia hai cho v2 ta có Pt :
13 36
2
u u
+ = 0
v v
Đặt y =
u
v ta có PTBh : y2 – 13y + 36 = 0
E-PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ( HAY PT VÔ TỈ )
Ví dụ1 Giải phương trình: x x 1 (1)
Giải: (1)
2
x x x
x x 3x
x x
Vậy: phương trình cho có nghiệm x =
DẠNG 16 :Pt đẳng cấp bậc hai u , v ( u, v phụ thuộc x ) Có dạng : au2 + buv + cv2 = ( a 0 )
+ xét v = u =
+ Xét v 0, chia hai vế cho v2 ta có Pt :
2
u u
a + b + c = 0
v v
Đặt y =
u
v ta có Pt bậc hai ẩn y : ay2 + by + c =
DẠNG 1 : f(x) = a
+ a < , Pt vô nghiệm + a = , f(x) =
+ a > ) _ Giải Pt - ĐK : f(x) 0
_ Bình phương hai vế
_ Giải Pt , đối chiếu ĐK tìm nghiệm
DẠNG 2: f(x) = g x( )
2
( )
g x
g(x) 0 f(x) =
DẠNG 3:
2 a
f (x) =
(với a 0)
(10)Ví dụ Giải phương trình: x2 4x x 8 (1) Giải: (1)
2
(x 2) 8 x Với điều kiện x ≤ Ta có: (1) |x – 2| = – x
– Nếu x < 2: (1) – x = – x (vô nghiệm)
– Nếu ≤ x ≤ 8: (1) x – = – x x = ; HD: Đáp số: x =
Ví dụ : Giải phương trình sau :
a) x 2 x ;
2
3 (2 7) x
x x
7 / 29 52
x
x x
Giải Pt : 4x2 – 29x + 52 = x = (nh) ; x = 13/4 (loại)
b) x2 3 3x
3 3 x
x x
5 / 3 x
x x
5 / ( 2)( 1)
x
x x
5 / 2( ); 1( )
x
x nh x l
Ví dụ 1: Giải phương trình: x 5 x 2 (2) Giải Với điều kiện x ≥ Ta có:
(2) x 3 x 5
2x (x 3)(x 2) 25 ( bình phương vế ) (x 3)(x 2) 12 x
2
2 x 12 x 12
x 25x 150
x x 144 x 24x
Vậy: phương trình cho có nghiệm x =
DẠNG 4: f(x) = g(x)
( ) 0( ( ) 0) ( ) ( )
f x hayg x f x g x
DẠNG 4.1: f(x) g(x) h x( )
DẠNG 4.2: f(x) g(x) h x( )
(11)Ví dụ Giải phương trình: x 1 x 7 12 x (3) Giải: Với điều kiện ≤ x ≤ 12 Ta có:
(3) x 1 12 x x 7
x (12 x)(x 7) ( bình phương vế ) 19x x 2 84 x
4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16 76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 = 5x2 – 84x + 352 =
2
2
84 352 42 1764 1764 352
5 x x x x
5 5 25 25
42 44
5 x 5 x x (x 8) 5x 44
5 25
x1 =
44
5 ; x2 = 8
Vậy: phương trình cho có hai nghiệm x1 =
44
5 ; x2 = 8
Ví dụ1 Giải phương trình: x x 1 x 4 x 0 (4) Giải: Với điều kiện x ≥ Ta có:
(4) x 9 x x 1 x 4
2x x(x 9) 2x (x 4)(x 1) 7 x(x 9) (x 1)(x 4)
2
49 x 9x 14 x(x 9) x 5x 4
45 + 14x + 14 x(x 9) =
Với x ≥ vế trái phương trình ln số dương phương trình vơ nghiệm
Ví dụ Giải phương trình x 2 x 1 x 10 x 1 2 x 2 x 1 (2) Giải: (2) x x 1 x 2.3 x x x 1
x 1 | x | 2.| x 1|
Đặt y = x 1 (y ≥ 0) phương trình cho trở thành:
y | y | | y 1|
– Nếu ≤ y < 1: y + + – y = – 2y y = –1 (loại)
– Nếu ≤ y ≤ 3: y + + – y = 2y – y =
DẠNG 4.3: f(x) g(x) h x( ) t x( )
(12)– Nếu y > 3: y + + y – = 2y – (vô nghiệm) Với y = x + = x =
Vậy: phương trình cho có nghiệm x = BÀI TẬP : Giải phương trình sau :
1/ 3x2 x 2 x ; KQ : S = 1 3/ 3 2x 3x ; KQ : S = 6 1 Phương pháp nâng lên lũy thừa
a) Dạng 2: f (x) g(x)
2
g(x) f (x) [g(x)]
Ví dụ Giải phương trình: x x 1 (1)
Giải: (1)
2
x x x
x x 3x
x x
Vậy: phương trình cho có nghiệm x = b) Dạng 2: f (x) g(x) h(x)
c) Dạng 3: f (x) g(x) h(x)
d) Dạng 4: f (x) g(x) h(x) k(x) 2/ x 4x 2 ; KQ : S = 7
F PHƯƠNG TRÌNH CĨ NHIỀU DẤU CĂN THỨC :
PP : Điều kiện cho Pt có nghĩa , chuyển vế cho hợp lí , bình phương hai vế , đối chiếu điều kiện chọn nghiệm
1) x1 5x1 3x 2 ; ĐK1 : x 1
_Chuyển vế ( bớt dấu - ) ,ta có : x1 5x1 3x
_ Bình phương hai vế rút gọn : – 7x = 15x213x2
Đến có hai cách giải :
Cách 1: ĐK2 : – 7x
_ Bình phương hai vế rút gọn : 11x2 – 24x + = (11x – 2)(x – 2) =
x1 = 2/11 (loại ) ; x2 = ( loại ) Vậy Pt vô nghiệm
Cách : ta có ĐK2 : – 7x x 2/7 trái với ĐK1 : x 1
Vậy Pt vô nghiệm
2) x 3 x 1 ĐK: x ; bình phương hai vế ta có KQ : S = 13
3) 15 x 3 x 6 15 x 3 x 6 ;bình phương hai vế ta có KQ : S = 1
4) x x1 x 1 chuyển vế x x1 1 x1; bình phương hai vế ta có KQ : S = 1
5) x 2x1 x 2x1 ; bình phương hai vế ta có KQ : 1/ 2 x
6) x 6x x 6x 6; bình phương hai vế ta có KQ : / 2 x
(13)7) 2x1 x 2 x1 ; ĐK : x (1)
Bình phương hai vế 2x – + x – + 2x25x2 x 2x25x2 2 x
Phải x (2) Từ & ta có x = , nghiệm Pt 8) 3x15 4x17 x2 ĐK : x -
Chuyển vế , bình phương hai vế , xuất ĐK : x -2 Do x = -2 , nghiệm Pt
9) x 1 x10 x 2 x5 ; ĐK : x -
Bình phương hai vế , xuất ĐK : x -1 Nghiệm x = -1
G GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
I.Phương trình vơ tỉ bậc cao : 1)
2
3x 21x18 2 x 7x7 2 (1) ; ĐK: x2 + 7x + 0
Đặt : x27x7 y x2 + 7x + = y2
(1) 3y2 + 2y – = (y – 1)(3y + 5) = y = -5/3 (loại) ; y = (nhận)
+ x27x7 1 x2 + 7x + = (x + 1)(x + 6) = x = -1 ; x = -6
Với x = -1 ; x = -6 thỏa mãn x2 + 7x + Vậy nghiệm Pt x = -1 ; x = -6
2) 2x 3 x2 2x 2 x2 2 x2 (*) ; ĐK : x -2 Đặt 2x 3 x2 a ; 2x 2 x2 b
Ta có : a + b = 2 x2 a2 – b2 = 2 x2 Suy a – b = Từ a = 1 x2 ; b = x2(**) Từ (*) , (**) tính x nghiệm x = 2( loại giá trị x = -1) 3) 2x2 9x 4 2x1 2x221x11
Đặt : 2x2 – 9x + = a ; 2x – = b Pt a3 b a15b Bình phương hai vế rút gọn ta b = b = a Nghiệm ½; 4) X2 + 3x + = (x + 3) x21 (1)
Giải : Đặt t = x21 , t ; (1) t2 – (x + 3)t + 3x = (2)
= (x + 3)2 – 12x = (x - 3)2
Nên Pt (2) có nghiệm : t = x ; t =
+ Với t = x x21 = x , Pt vô nghiệm
+ Với t = x21 = , Pt có nghiệm x = 2
(14) x 1 | x | 2.| x 1|
Đặt y = x 1 (y ≥ 0) phương trình cho trở thành:
y | y | | y 1|
– Nếu ≤ y < 1: y + + – y = – 2y y = –1 (loại)
– Nếu ≤ y ≤ 3: y + + – y = 2y – y =
– Nếu y > 3: y + + y – = 2y – (vô nghiệm) Với y = x + = x =
Vậy: phương trình cho có nghiệm x =
II Phương pháp đưa phương trình tích
Ví dụ Giải phương trình: 2x 1 x 2 x
Giải ĐK: x ≥ Để ý thấy: (2x + 1) – (x – 2) = x + Do đó, nhân lượng liên hợp vào hai vế
phương trình: (x 3)( 2x 1 x 1) 0
x
2x x
PT vơ nghiệm
Ví dụ Giải phương trình: x 2(x 1) x 1 x x (1) Giải ĐK: | x | ≤ 1: (1) x 1 x x 1 x 1 0
x1 = 0; x2 =
24 25
Ví dụ Giải phương trình: x 1 x3 x2 x 1 x4 1 (1) Giải Chú ý: x4 – = (x – 1)(x3 + x2 + x + 1)
(1)
3
x 1 1 x x x 1 0
x =
III Phương pháp đặt ẩn phụ
a) Sử dụng ẩn phụ
Ví dụ Giải phương trình: x2 x 1 (1)
Giải: Đặt x 1 = y (y ≥ 0)
y2 = x + x = y2 – x2 = (y2 – 1)2
(2) (y2 – 1)2 + y – = y(y 1)(y2 + y 1) =
Từ suy tập nghiệm phương trình là:
1 0; 1;
2
Ví dụ Giải phương trình:
3
x 1 2 x x (1) HD: ĐK: x ≥ Đặt x 1 = y
(1)
3
x 1 x 1 0
y3 + y2 – =
(y – 1)(y2 + 2y + 2) = y = x =
Ví dụ : 3x 6 x 3x 6 x 3
Điều kiện phương trình có nghĩa
3
6
x x
3 x x
(15)Đặty 3x 6 x y0; y2 3 x 3 x 6 x 6 x 9 3 x 6 x Suy
2
3
2 y
x x
, thay vào phương trình (d), ta :
2 9 y
y
2y y 6
2 2 3 0
y y
3
1,( ) y
y loai
.
Với y3 3 x 6: 3x 6 x 3
2 3x 6 x 3
3 x 3x 6 x 6 x9 3x 6 x 0
3
6
x x
3 x x
.
b) Sử dụng hai ẩn phụ
Ví dụ Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 x3 1 (3)
Giải Đặt u = x 1 , v = x2 x 1 (ĐK: x ≥ 1, u ≥ 0, v ≥ 0) Khi đó:
u2 = x + 1, v2 = x2 – x + 1, u2v2 = x3 + (3) 2(u2 + v2) = 5uv (2u v)(u 2v) = 0
Giải ra, xác định x Kết là: x
5 37 37 ;
2
Ví dụ Giải phương trình:
2
x 5 x 1 x 7x 10 3 (1) Giải ĐK: x ≥ –2 (1) x 5 x 1 (x 5)(x 2) 3
Đặt: x 5 = u, x 2 = v (u, v ≥ 0) u2 – v2 = (1) (a – b)(1 + ab) = a2 – b2
(a – b)(1 – a + ab – b) = (a – b)(1 – a)(1 – b) =
Giải ra: x = –1 nghiệm
Ví dụ Giải phương trình: x 1 3x 2x 1 (1) Giải ĐK: x ≥ Đặt x 1 = u, 3x = v (u, v ≥ 0)
(1) b – a = a2 – b2 (a – b)(a + b + 1) =
Mà a + b + > a = b x =
1
2 nghiệm phương trình.
Ví dụ Giải phương trình:
4
x x 2x
x x x (1)
Giải Đặt
1 x
x
= u,
5 2x
x
= v (u, v ≥ 0)
(1)
1 5
x 2x x 2x
x x x x
u – (v2 – u2) – v =
(u – v)(1 + u + v) = Vì + u + b > nên: u = v Giải ta được: x =
c) Sử dụng ba ẩn phụ
Ví dụ : Giải phương trình: x2 3x 2 x 3 x 2 x2 2x 3 (1)
Giải ĐK: x ≥ (1) (x 1)(x 2) x 3 x 2 (x x)(x 3)
(16) ab + c = b + ac (a – 1)(b – c) =
a = b = c Thay ngược trở lại ta x = nghiệm phương trình
Ví dụ Giải phương trình : x x x x x x x Giải Đặt : u x ; v x ; t x (u ; v ; t ≥ 0)
x = − u2 = − v2 = − t2 = uv + vt + tu
Từ ta có hệ:
(u v)(u t) (1) (v u)(v t) (2) (t u)(t v) (3)
Nhân vế (1), (2), (3) ta có : [ (u + v)(v + t)(t + u) ]2 = 30
Vì u ; v ; t ≥ nên: (u v)(v t)(t u) 30 (4) Kết hợp (4) với (1) ; (2) ; (3) dẫn đến:
30 v t (5)
2 30
u t (6)
30 u v (7)
5
Cộng vế (5) ; (6) ; (7) ta có:
31 30 31 30
2(u v t) u v t
30 60
(8) Kết hợp (8) với (5) ; (6) ; (7) ta có:
2
30 u
60
11 30 30 239
v x
60 60 120
19 30 t 60 d)
Sử dụng ẩn phụ đưa hệ phương trình
Ví dụ Giải phương trình x 1 2x 5
+ Cách 1: Giải tương tự Ta x = + Cách 2: Đặt x u 0 2x v
Ta có hệ: 2 u v v 2u
u u 12
x = 5.
Ví dụ : Giải phương trình: 8 x 5 x 5
Giải ĐK: ≤ x ≤ 25 Đặt 8 x = u , 5 x v (u, v ≥ 0):
2
u v u v 13
u u=3 v v v=2
(17)Giải ĐK: –3 ≤ x ≤ 3: Đặt 25 x = u, x = v (u, v ≥ 0)
2
u v u v 16
u v u u v v
Thế ngược trở lại: x = nghiệm nhất. Ví dụ Giải phương trình: x x 3
Giải ĐK: – ≤ x ≤ Đặt x u ; x v (u, v ≥ 0)
2
u v u v
x x
Ví dụ Giải phương trình: x x x 2
Giải ĐK: –2 ≤ x ≤ 2: Đặt x u, x v (u, v ≥ 0)
2
(u v) 2uv (u v) uv
Giải ta được: (a, b) = {(0 ; 2), (2 ; 0)} Từ ngược trở lại: x = ±2 6) Giải và biện luận phương trình vơ ti
Ví dụ Giải biện luận phương trình: x2 x m
Giải Ta có: x2 x m 2 2
x m x m
x x 4xm m 2mx (m 4)
– Nếu m = 0: phương trình vơ nghiệm – Nếu m ≠ 0:
2 m x 2m
Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m
2
m 2m
≥ m + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2 m2 ≤ m 2
+ Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2 m2 ≥ m ≤ –2
Tóm lại:
– Nếu m ≤ –2 < m ≤ 2: phương trình có nghiệm
2 m x 2m – Nếu –2 < m ≤ m > 2: phương trình vơ nghiệm
Ví dụ Giải biện luận phương trình với m tham số: √x2−3=x − m
(Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 1999 – 2000)
Ta có:
2
2 2
x m x m
x x m
x x m 2mx 2mx (m 3)
– Nếu m = 0: phương trình vơ nghiệm – Nếu m ≠ 0:
2 m x 2m
Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m
2 m m 2m
+ Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2 m2 ≤ m + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2 m2 ≥ m ≤ Tóm lại:
– Nếu m m Phương trình có nghiệm:
2 m x 2m
– Nếu m 0 m 3: phương trình vơ nghiệm
Ví dụ Giải biện luận theo tham số m phương trình: x x m m
(18)– Nếu m < 0: phương trình vơ nghiệm
– Nếu m = 0: phương trình trở thành x ( x 1) 0 có hai nghiệm: x1 = 0, x2 =
– Nếu m > 0: phương trình cho tương đương với ( x m)( x m 1) 0
x m
x m
+ Nếu < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 =
2
(1 m) + Nếu m > 1: phương trình có nghiệm: x = m
IV Phương trình chứa thức bậc ba :
1) 2x 1 x 1 (1)
Giải : Cách :áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
Lập phương hai vế , áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
2x + + x + 33 x x(2 1).( 23 x 1 x) 1 (2)
Thay 32x 1 x 1 vào Pt (2) có 3 x x(2 1) x x (2x + 1) = -x3
x(2x + + x2 ) = x(x + 1)2 = x = ; x = -1
Thử lại : x = thỏa mãn ; x = -1 không thỏa mãn Vậy S = 0 Cách 2: Đặt ẩn phụ
3 2x 1 x 1
Đặt : 3 2x 1 a ; 3 x b , tìm a , b
Thì 2x + = a3 ; x = b3 nên a3 – b3 = 2x + – 2x = 1
Cần tìm a , biết a + b = a3 – b3 = a3 – 2(1 – a)3 = a3 –1- 2(1 – a)3 = 0
(a – )[ a2 + a + 1) + (a – 1)2 ] =
Dễ thấy ( a2 + a + 1) + (a + 1)2 > nên a = , suy b = Vậy S = 0 I/ 3 A + B = C3 3 _ nâng lũy thừa hai vế.
II/ 3 A ± B = k3 . ∘ Đặt {u=
3
√A v=3
√B suy hệ đối xứng theo u v
(19)2) x 1 7 x 2 + Cách :lập phương vế , biến đổi đưa Pt tích +Cách : Đặt 3 x 1 a ; 37 x b
Ta có : a + b = a3 + b3 = 3a2 – 6a = KQ : -1 ; 7
3) x 3 6 x 1 +Cách : Đặt 3 x 3 a ; 36 x b
Ta có : a – b = a3 + b3 = (b – 1)(2b2 + 5b + 8) = b = 1
Nghiệm x =
+ Cách : Đổi dấu 3 x 3 x 6 1 , giải tương tự 4)
3 x 1 x 2 x 3 0
Cách 1: Đặt 3x + = y y3 = x + , vào chuyển vế ta có :
3
3 y 13 y 1 y
, lập phương vế có y3 = y.3 y61
* Với y = , có nghiệm x = -2
* Với y , có y2= 3 y61 lập phương vế , vô ngh
Cách 2 : x = -2 nghiệm Pt
Với x < -2 ; x > -2 Pt vô nghiệm Xem bảng sau :
Ví dụ Giải phương trình:
4 497 x x 5
(1)
Giải : Đặt 497 x = u, 4 x = v (u, v ≥ 0)
(1)
4
u v u u x 81
v v x 16
u v 97
Ví dụ Giải phương trình:3x 3 2x 3 312(x 1) Giải Đặt x u, 2x 33 v (1)
3 3 3
3
u v 4(u v ) u v 3uv(u v) 4(u v )
2 2 u v
3.(u v).(u 2uv v ) 3.(u v).(u v)
u v
kết quả
)
3
2 2
3 (x1) (x 1) x 1 1
+ Đặt : 3x + 1= a 9) x24 312 x 6
7) x 2 x 1 3 X x 1
(20)PHƯƠNG TRÌNH KHÁC
1) 2 3 2 3 4
x x
2) 20 2 x 2x
ĐK : – 2x x 3 /
Pt trở thành 20 2 x 3 2x
2 x 17 2 x 17 (17 )
x
x x
17 / 2 35 143
x
x x
Giải Pt đươc : x = - 13/2 (nhận ) ; x = -11 ( loại)
c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm sớ (tìm nghiệm, chứng minh nghiệm đó là nhất) Ví dụ Giải phương trình:
2
x
8 2x 2x x
Giải: điều kiện x ≥
Dễ thấy x = nghiệm phương trình
– Nếu
x
2 : VT =
6
1 8
x
Mà: VP > 8
– Nếu x > 2: VP = 2x2 + 2x 1 > 2.22 + 3 = 8 3 VT < 8
x x
6
1
x
Vậy: phương trình cho có nghiệm x =
Ví dụ Giải phương trình: 3x2 7x 3 x2 2 3x2 5x 1 x2 3x 4
Giải: Thử với x = Ta có:
2 2
3.4 7.2 2 3.2 5.2 3.2
1
(1)
2 2
(3x 5x 1) 2(x 2) (x 2) 3(x 2) 3x 5x 1 x Nếu x > 2: VT < VP
Nếu x < 2: VT > VP
Vậy: x = nghiệm phương trình
Ví dụ Giải phương trình:
6
(21)Giải : ĐK: x < Bằng cách thử, ta thấy x =
2 nghiệm phương trình Ta cần chứng minh là
nghiệm Thật vậy: Với x < 2:
6 x
8 x
6
6 x x .
Tương tự với
2 < x < 2:
6
6 x x
Ví dụ Giải phương trình: 3x(2 9x2 3) (4x 2)(1 x x ) 0 (1)
Giải : (1)
2
3x (3x) (2x 1) (2x 1)
3x (3x) (2x 1) (2x 1)
Nếu 3x = –(2x + 1) x =
1
biểu thức hai vế Vậy x =
một nghiệm phương trình Hơn nghiệm (1) nằm khoảng
;
Ta chứng minh
đó nghiệm Với
1
x
2
: 3x < –2x – <
(3x)2 > (2x + 1)2
2
2 (3x) 3 2 (2x 1) 3
Suy ra:
2
3x 2 (3x) 3 (2x 1) 2 (2x 1) 3 0
(1) nghiệm khoảng
này Chứng minh tương tự, ta đến kết luận (1) khơng có nghiệm
1
x
2
d) Sử dụng điều kiện xảy dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt Ví dụ Giải phương trình
x 4x
2 x
4x
Giải: điều kiện x
4
Áp dụng bất đẳng thức a b
2
b a với ab > 0 Với điều kiện
1
x x 4x
Nên:
x 4x
2 x
4x
Dấu “=” xảy x 4x 1 x2 4x 0
2
x 4x 0 (x 2) 3 x 2 3 x 2
BÀI TẬP
1 Phương trình chứa √A A
∘ Đặt t=√A(t ≥0) suy phương trình bậc hai theo t Phương trình chứa nhiều thức
∘ Đặt điều kiện để thức có nghĩa
(22)∘ Giải phương trình so với điều kiện suy nghiệm Dùng ẩn số phụ
∘ Đặt t thức, suy phương trình bậc 2, bậc 3,…theo t
∘ Hoặc đặt u v thức, suy hệ phương trình theo u v I.2 Các ví dụ minh họa
Ví dụ Giải phương trình: √3x2−9x+1=x −2 Đs: x=3
Ví dụ Giải phương trình: √x2−2x −4=√2− x Đs: x=−2
Ví dụ Giải phương trình:
√x+1+√3 x+2+√3x+3=0 Đs: x=−2
Ví dụ Giải phương trình: x2
+√x+1=1 Đs: x=0, x=−1, x=1−√5
2
Ví dụ Giải phương trình: √2x+3+√x+1=3x+2√2x2+5x+3−16 Đs: x=3
Ví dụ Giải phương trình:
√2− x=1−√x −1 Đs: x=1, x=2, x=10
Ví dụ Giải phương trình: √x −1+x −3=√2(x −3)2+2(x −1) Đs: x=5
I.3 Bài tập
Bài Giải phương trình: √x+√x −5=√5 Đs: x=5
Bài Giải phương trình: √x+9=5−√2x+4 Đs: x=0
Bài Giải phương trình: x
2
√3x −2−√3x −2=1− x
Đs: x=1
Bài Giải phương trình: √16− x+√9+x=7 Đs: x=0, x=7
Bài Giải phương trình: √x+2√x −1+√x −2√x −1=x+3
2
Đs: x=1, x=5
Bài Giải phương trình: √x2−3x+3
+√x2−3x+6=3 Đs: x=1, x=2
Bài Giải phương trình: √2− x2
+√2−
x2=4−(x+
1
x) Đs: x=1
Bài Giải phương trình: √x+√2x −1+√x −√2x −1=√2 Đs:
2≤ x ≤1
Bài Giải phương trình: x2
+√x2+11=31 Đs: x=±5
Bài 10 Giải phương trình: √5x −1−√3x −2−√x −1=0 Đs: x=2
Bài 11 Giải phương trình: (x+5)(2− x)=3√x2+3x Đs: x=1, x=−4
(23)Đs: x=8
Bài 13 Giải phương trình: √x −1+2√x −2−√x −1−2√x −2=1 Đs: x=9
4
Bài 14 Giải phương trình: √x+√x+1−√x2+x=1 Đs: x=0, x=1
Bài 15 Giải phương trình: √2x2
+8x+6+√x2−1=2x+2 Đs: x=±1
Bài 16 Giải phương trình: √4x+1−√3x −2=x+3
5
Đs: x=2
Bài 17 Giải phương trình: x+√4− x2=2+3x√4− x2 Đs: x=0, x=2, x=−2−√14
3
Bài 18 Giải phương trình: √x+1+√4− x+√(x+1) (4− x)=5 Đs: x=0, x=3
Bài 19 Giải phương trình: x2
+3x+1=(x+3)√x2+1 Đs: x=±2√2
Bài 20 Giải phương trình: 3(2+√x −2)=2x+√x+6 Đs: x=3, x=11−3√5
2
Bài 21 Giải phương trình: √x −2−√x+2=2√x2−4−2x+2 Đs: x=2
Bài 22 Giải phương trình: √x+2+√5− x+√(x+2)(5− x)=4 Đs: x=3±3√5
2
Bài 23 Giải phương trình:
√x+7=1+√x Đs: x=1
Bài 24 Giải phương trình: x2−√4− x2+2=0 Đs: x=0
Bài 25 Giải phương trình: √x+4+√x −4=2x −12+2√x2−16 Đs: x=5
Bài 26 Giải phương trình:
√2x+1+√32x+2+√32x+3=0 Đs: x=−1
Bài 27 Giải phương trình: √3
2+x+√
2− x=1
Đs: x=±1
2, x=− 17
2
Bài 28 Giải phương trình: √x+3−√2x −1=√3x −2 Đs: x=1
Bài 29 Giải phương trình: √(x+1) (2− x)=1+2x −2x2 Đs: x=1
2
Bài 30 Giải phương trình: (x+3)√10− x2=x2− x −12 Đs: x=−3
(24)Bài 32 Giải phương trình: √− x2
+4x+2=2x Đs: x=2
Bài 33 Giải phương trình: √x2−2x+5+√x −1=2 Đs: x=1
Bài 34 Giải phương trình: √x+4√x −4+x+√x −4=6 Đs: x=4
Bài 35 Giải phương trình: 1+2
3√x − x
2
=√x+√1− x Đs: x=0, x=1
Bài 36 Giải phương trình: √x(x −1)+√x(x+2)=2√x2 Đs: x=0, x=9
8
Bài 37 Giải phương trình: √3 (2− x)2+√3 (7+x)2−√3(7+x)(2− x)=3 Đs: x=1, x=−6
Bài 38 Giải phương trình: √4 x −√x2−1
+√4x+√x2−1=2
Đs: x=1
Bài 39 Giải phương trình: √x −3−2√x −4+√x −2√x −1=1 Đs: x=5
Bài 40 Giải phương trình: x3
√35− x3(x+√335− x3)=30
Đs: x=2, x=3
Bài 41 Giải phương trình: x −2√x −1−(x −1)√x+√x2− x=0 .
Đs: x=2
Bài 42 √2x −3+√5−2x − x2+4x −6=0 . Đs: x=2
Bài 43 Giải phương trình: √3 2x
x+1+
3 √1
2+ 2x=2
Đs: x=1
Bài 44 Giải phương trình: 2(1− x)√x2+2x −1=x2−2x −1 Đs: x=−1±√6
Bài 45 Giải phương trình: √3− x − x2−
√2+x − x2=1 Đs: x=1±√5
2
Bài 46 Giải phương trình: √2x2+5x+2−2√2x2+5x −6=1 Đs: x=1, x=−7
2
Bài 47 Giải phương trình: √x+2√x −1−√x −2√x −1=2 Đs: x ≥2
Bài 48 Giải phương trình:
√8− x+√489+x=5 Đs: x=−8, x=−73
Bài 49 Giải phương trình: x+√17− x2+x√17− x2=9 Đs: x=1, x=4
Bài 50 Giải phương trình: 7x2+7x=√4x+9
28 (x>0)
Đs: x=−6+5√2
14
Bài 51 Giải phương trình: x
2
+7x+4
(25)Đs: x=1, x=4
Bài 52 Giải phương trình: √4x −1+√4x2−1=1 Đs: x=1
2
Bài 53 Giải phương trình: x2
+√x+7=7
Đs: x=2, x=1−√29
2
Bài 54 Giải phương trình: √x+6√x −9+√x −6√x −9=x+23
6
(26)II Định m để phương trình chứa thức có nghiệm, có nghiệm nhất, giải biện luận phương trình
II.1 Kiến thức cần nhớ
Định m để phương trình có nghiệm F(x ,m)=0 (1)
∘ Đặt ẩn số phụ: t=ϕ(x) , tìm điều kiện cho ẩn số phụ t ∘ Chuyển điều kiện x∈D thành t∈T
∘ Biến đổi phương trình (1) thành phương trình
f(t)=m (2) với t∈T
∘ Để phương trình (1) có nghiệm x∈D⇔ phương trình (2) có nghiệm t∈T ⇔ Đường thẳng y=m có điểm chung với đồ thị y=f(t) T
∘ Từ bảng biến thiên ⇒ điều kiện m
Cách khác: (nếu tham số m bậc hai)
∘ Phương trình (1) có nghiệm x∈D⇔ phương trình (2) có nghiệm t∈T
⇔ (2) có hai nghiệm thuộc T (2) có hai nghiệm thuộc T Định m để phương trình có nghiệm
F(x ,m)=0 (1)
Điều kiện cần:
∘ Giả sử phương trình có nghiệm x0 Dựa vào tính đối xứng, hàm số chẵn…suy x1 nghiệm phương trình
∘ Do phương trình có nghiệm x0=x1
∘ Thay vào phương trình ⇒m
Điều kiện đủ:
∘ Thay giá trị m vừa tìm vào phương trình, giải phương trình ⇒ có nghiệm Vậy phương trình có nghiệm
Cách khác:
∘ Đặt ẩn số phụ t=ϕ(x) ∘ Tìm điều kiện x∈D⇔t∈T
∘ Biến đổi (1) dạng f(t)=m (2) ∘ Tính f'(t) , lập bảng biến thiên T
(2) có nghiệm T⇔ đường thẳng y=m có điểm chung với
y=f(t)⇒m
GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH F(x ,m)=0 (1) ∘ Đặt ẩn số phụ t=ϕ(x)
∘ Biến đổi (1) thành phương trình đại số theo t ∘ Tìm điều kiện ẩn số phụ t
∘ Biện luận phương trình (2) theo t (phương pháp đại số phương pháp đồ thị)
II.2 Ví dụ minh họa
Ví dụ Định m để phương trình: √x+1+√8− x+√(x+1)(8− x)=m có nghiệm Đs: 3≤m ≤9+6√2
2
Ví dụ Tìm m để phương trình: √2x2
+mx−3=x − m có nghiệm Đs: m≤1
Ví dụ Tìm m để phương trình: √1− x2
+2√31− x2=m có nghiệm Đs: m=3
(27)Đs: Nếu m>1 phương trình vơ nghiệm
Nếu m=1 phương trình có nghiệm x=1 Nếu 0<m<1 phương trình có nghiệm x=(m
2
+1
2m )
2
Ví dụ Giải biện luận phương trình: √x4+4x+m+√4 x4+4x+m=6 Đs: Nếu m<19 phương trình có nghiệm
Nếu m=19 phương trình có nghiệm
Nếu m>19 phương trình vô nghiệm
II.3 Bài tập
Bài Cho phương trình: √x+1+√3− x −√(x+1) (3− x)=m a) Giải phương trình với m=2
b) Tìm m để phương trình có nghiệm Đs:
¿
a=−1, x=3¿b¿2√2−2≤m ≤2¿
Bài Cho phương trình: √x+√9− x=√− x2+9x+m a) Giải phương trình với m=9
b) Tìm m để phương trình có nghiệm Đs:
¿
a=0, x=9, x=9±√65
2 ¿b¿−
9
4≤ m ≤10¿
Bài Tìm m để phương trình: √7− x+√2+x −√(7− x) (2+x)=m có nghiệm Đs: −9+6√2
2 ≤ m≤3
Bài Tìm m để phương trình: √4− x2
=mx− x+2 có nghiệm Đs: m≤ −4
3;m ≥0
Bài Tìm m để phương trình:
√1− x+√31+x=m có nghiệm Đs: 0<m ≤2
Bài Tìm m để phương trình: √x −1+√3− x −√(x −1) (3− x)=m có nghiệm Đs: 1≤ m≤√2
Bài Tìm m để phương trình:
√x+4
√2− x=m có nghiệm Đs: m=2
Bài Tìm m để phương trình: √x2− x=m − x có nghiệm.
Đs: 0≤ m<1
2 m≥1
Bài Tìm m để phương trình: √x2
+x+1−√x2− x+1=m có nghiệm Đs: −1<m<1
Bài 10 Tìm m để phương trình: 3x
2
−1
√2x −1=√2x −1+mx có nghiệm
Đs: m∈R
Bài 11 Tìm m để phương trình: √x2
+m√1− x2=1 có nghiệm Đs: Khơng có giá trị m thỏa mãn điều kiện tốn
Bài 12 Tìm m để phương trình: √x+4√x −4+x+√x −4=m có nghiệm Đs: m≥6
Bài 13 Tìm m để phương trình: √x4
(28)Bài 14 Giải biện luận phương trình: √x+1+√x −1=m Đs: Nếu m≤0, m>2 phương trình vơ nghiệm
Nếu √2≤ m≤2 phương trình có nghiệm
Bài 15 Giải biện luận phương trình: √x −m+√x+m=m Đs: Nếu m<0,0<m<2 phương trình vơ nghiệm
Nếu m=0 phương trình có nghiệm x=0 Nếu m≥2 phương trình có nghiệm x=m2+4
2
Bài 16 Giải biện luận phương trình: m−√x2−3x+2=x Đs: Nếu 1≤ m<3
2, m≥2 phương trình có nghiệm x=m
2
−2
2m −3
Nếu m<1,3
2≤ m<2 phương trình vơ nghiệm
Bài 17 Giải biện luận phương trình: √x+m=
√x −1+√x −1
Đs: Nếu m>1 phương trình có nghiệm x= m
m−1
Nếu m≤1 phương trình vơ nghiệm Bài 18 Giải biện luận phương trình:
√x+1+
1
√x −1=
m(x −1) √x Đs: Nếu m<0 phương trình vơ nghiệm
Nếu m>0 phương trình có nghiệm: x=m+1±√2m+1 m
BÀI TẬP
III- Dùng ẩn phụ để giải ph ơng trình vơ tỷ (Hệ ph ơng trình)
1 Chun hƯ ph ơng trình vô tỷ hệ ph ơng trình hữu tỷ Bài 1: Giải phơng trình : x2x+5=5 (1)
Giải: ĐK x+50x 5
§Ỉt: y=√x+5; y ≥0
Từ phơng trình (1) chuyển thành hệ phơng trình
¿
x2− y=6(2) y2− x=5(3)
¿{
¿
Trừ vế (2) (3) ta đợc: x2− y2
+x − y=0
⇔(x − y) (x+y+1)=0 , X¶y trêng hỵp
a) x − y=0 hay x=y ≥0 , thay vào (2) ta có: x2− x −5=0 Giải ta đợc
1
1 21
x
(NhËn) ;
1
1 21
x
(Loại) y=x<0 b) x+y+1=0 hay y=− x2−1≥0 , thay vµo (2) ta cã: x2+x −4=0
Giải ta đợc:
1
1 27
(29)Vậy phơng trình cho có nghiệm: x1=1
2(1+√21) vµ x2=−12(1+√17)
Bài 2: Giải phơng trình :
2 1000 8000 1000 1
x x x
Đặt:
√1+8000x+1=2y
; Kết hợp với (1) ta đợc hệ:
2
2000 2000
x x y
y y x
(2)
Tõ hÖ (2) suy : (x − y)(x+y −1+2000)=0¿(3)
Từ hệ (2) cách cộng ta đợc: 2001(x+y)=x
+y2>0 ⇒x+y+1999>0
Vậy từ (3) ta có x=y thay vào (1) ta đợc x2− x
=2000x
Giải phơng trình ta đợc : x1=0;x2=2001
x1=0 thay vào (Loại) ; Vậy phơng trình có nghiệm x=2001 Bài 3: Giải phơng trình :
x+335 x=5(1)
GiảI : Đặt
a=3 x b=√335− x
¿{
¿
Từ phơng trình (1) chuyển thành hệ phơng trình:
¿
a+b=5(2)
a3+b3=35(3)
¿{
¿
Biến đổi phơng trình (3) thành: (a+b)3−3 ab(a+b)=35 Kết hợp với (2) ta đợc ab=6
Gi¶i hƯ
¿
a+b=5
a −b=6
¿{
¿
ta đợc nghiệm a1=3, b1=2
a2=2, b2=3
Từ x1=27 x2=8 nghiệm phơng trình (1)
Bµi 4: Giải phơng trình : 3 x 2+x+1=3(1) ; ĐK: x 1
GiảI : Đặt
3 2
1 ( 0)
a x
b x b
Phơng trinh (1) chuyển thành hệ PT:
a+b=3(2) a3−b2=−3
(3)
¿{
(30)Từ (2) ta có: b=3− a ; thay vào (3) ta đợc
a3− a2+6a −6=0 ⇔(a −1)(a2+6)=0 ⇒a −1=0⇒a=1⇒b=2(t/m) a3− a2
+6a −6=0 ⇔(a −1)(a2+6)=0 ⇒a −1=0⇒a=1⇒b=2(t/m)
Từ ta có: x=2+a3 ¿
=3(t/m)
Bài 5: Giải phơng trình : 25 x210 x2=3(1)
Giải : ĐK: 10 x 10 ; Đặt
a=25 x2 b=√10− x2
(a , b ≥0)
¿{
Từ phơng trình (1) ta có: a −b=3
Ta cã: a2
b2=(25 x2)2(10 x2)2=15
Việc giải phơng trình (1) chuyển giải HPT hữu tỷ sau:
¿
a −b=3
a2−b2=15
¿{
¿
Giải hệ đợc
¿
a=4
b=1
¿{
¿
; Từ ta tìm đợc x1=3; x2=−3
Bài 6: Giải phơng trình ; 497 x+4 x=5(1)
Giải: ĐK: 0 x 97
§Ỉt
¿
4
√97− x=a(a , b≥0)
4
√x=b
¿{
¿
ViƯc gi¶i PT (1) chun vỊ gi¶i hƯ PT :
¿
a+b=5
a4+b4=97
¿{
¿
Giải hệ ta đợc a=3;b=2
a=2; b=3
Từ suy ra: x1=81;x2=16
Bài tập t ơng tự:
Giải phơng trình sau: 1102x 2x+3=1
2 48 x2+√35− x2=4¿3¿√5 32− x2−√51− x2=4¿4¿√3 x −1+3=√482− x¿5¿√x+4√20− x=4¿6¿x3+1=2√32x −1¿
2) Dùng ẩn phụ để đ a ph ơng trình vơ tỷ ph ơng trình bậc hai: Bài 1: Giải phơng trình: 2√3x2−5√3x=3
(Đề thi vào chun tốn Lê Q Đơn - ĐN) Đặt t=√3 x ; Phơng trình cho 2t25t 3
(31)Phơng trình cã nghiƯm lµ t1=−1
2;t2=3 Do phơng trình cho có nghiệm x1=−1
8; x2=27
Bài 2: (Đề thi vào lớp chuyên KHTN - Nguyễn TrÃi - 2000) Giải phơng trình: √x+8+√2x+9=9
Giải: ĐK: x ≥4,5 ; Đặt: y=√x+8(y ≥0)⇔x=y2−8 Thay vào phơng trình ban đầu ta đợc
2
2
2
2 9
9
9
18 88 * 81 18
y y y y
y y
y y
y y y
Giải phơng trình (*) ta đợc: y=4; y=−13 (Loại) ; Với y=4 ta đợc √x+8=4⇔x=8 KL: phơng trình có nghiệm nht x=8
Bài 3: (Đề thi vào Nguyễn TrÃi-2003) Giải phơng trình ; 2x 1+x+3=2
Gii: K: x ≥1 ; đặt: √x −1=y ;(y ≥0)⇒x=y2+1
Thay vào phơng trình ban đầu ta đợc : 2y+√y2
+4=2 ⇔√y2+4=2(1− y) §K: y ≤1
2 2
0
4 4 8
( )
1
1 y
y y y y y
y l
y y
y
Víi
y=0⇒x=1
Vậy phơng trình có nghiệm x=1
Bài 4: (Đề thi vào chuyên Toán - Trần Phú) Gi¶i PT: √ 2x
1+x+√
1 2+
1 2x=2
GiảI : đk:
x
x+1>0 => x>0
¿
x<−1 ¿ ¿ ¿ ¿
; Đặt: 2x
1+x=t ; t>0
Phơng trình trở thành: t+1
t=2 ⇔t2−2t+1=0⇔t=1
Víi t=1 ta cã √ 2x
1+x=1 ; Giải phơng trình ta c x=1
(32)Bài 1: Giải phơng trình 5x2+10x+1=7(x2+2x) HD: Đặt t=5x2+10x+1 =>x2+2x=t
21
5
Bài 2: (Đề thi vào chuyên Toán - ĐH KHTN)
Giải phơng trình: 3x2+6x+7+5x2+10x+14=42x x2
Bài 3: (Đề thi chuyên Toán - ĐH KHTN)
Giải phơng trình: 4x2+12x1+x=27(1+x)
3 Dựng n phụ để giải tốn khác
Khi khơng thể đặt ẩn phụ đa hệ phơng trình hữu tỷ phơng trình bậc hai ta làm nào? Câu trả lời là: ta thử kết hợp phơng pháp xem có giải đợc vần đề khơng !
VÝ dơ 1: (§Ị thi hs giái tØnh 2002)
¿
√x2+x+y −0,75+√y2+x+y −0,75+x+y=4,5 √x2+x+y −0,75+√y2+x+y −0,75− x − y=1
¿{
¿
Trừ vế phơng trình ta đợc x+y=1,75
Từ hệ trở thành
¿
√x2
+1+x+√y2+1+y=4,5 √x2+1− x+√y2+1− y=1
{
Đặt:
u=√x2+1+x v=√y2+1+y
¿{
¿
; Ta cã
¿
u+v=4,5
u+v=u.v
¿{
¿
=>
u , v
nghiệm phơng trình: x
−4,5x+4,5=0
=>
u=1,5
v=3
¿{ hc
¿
u=3
v=1,5
¿{
¿
=>√x2+1=1,5− x =>x
+1=2,25+x2−3x=>x=
12 vµ y=
4
Hoặc x=
4
3 y=
5
12 ; Kl: HÖ cã nghiÖm
Ví dụ 2: ( Thi vào chuyên Toán Trần Phú - 2004) Giải phơng trình: 51+x2=2(x2+2)
GiảI : Đặt
2
1
0;
u x
u v o
v x x
Phơng trình cho trở thành: 5 uv=2(u2+v2) ; Do v>o chia hai vế cho v2 ta đợc 2(u
v)
2
−5(u
(33)Giải phơng trình bậc hai theo Èn (
u
v) ta đợc:
1 2;
2
u u
v v
Víi (u
v)=2⇔2√x
2− x+1
=√x+1
⇔ x>−1 4x2−5x+3=0
¿{
(HƯ v« nghiƯm)
2
2
1
1
2
x u
x x x
v x x
HƯ nµy cã nghiƯm: x1=5−√37
2 ; x2=
5+√37
Đối với số tốn ngồi việc ẩn phụ ta phải kết hợp với phơng pháp nhận xét đánh giá VD1: Giải phơng trình: √x −√x −√x −√x −5=5(1)
Giải: đk: x ≥5 ; đặt: √x −√x −5=t(x ≥ t ≥0) Thì phơng trình trở thành: √x −√x −5=5 (*) Nếu t<5⇒x −t>x −5≥0⇒√x − t>√x −5
⇔x√x −t<x −√x −5⇒√x −√x − t<√x −√x −5 ; Hay t<5 v« lý (*) NÕu t>5⇒0≤ x − t<x −5 ⇒√x − t<√x −5⇒x −√x − t>x −√x −5
⇒√x −√x −t>√x −√x −5 hay t>5 vô lý Vậy t=5 , ta đợc:
√x −√x −5=5⇔x −25=√x −5
⇔ x ≥25
(x −25)2=x −5
¿{
¿
⇔ x ≥25
x2−51x+630=0
¿
⇒x=30
¿{
¿
Vậy phơng trình có nghiệm x=30