Tröôøng hôïp chung, heä toaï ñoä cuïc boä khoâng truøng vôùi heä toaï ñoä chung, do vaäy keát quaû tính cuûa [k (e) ] vaø {F (e) } phaûi ñöôïc chuyeån veà trong heä toaï ñoä chung tr[r]
(1)6 Những phần tử thường dùng
6.1 Phần tử chịu tải dọc trục BAR TRUSS 2D Chuyển vị dọc trục hai nút dầm
{δ} = [ u1 u2 ]T (a)
phương trình chuyển vị:
u(x) = a1 + a2 x = [1 x ] = P.a (b)
⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧
2
a a
chuyển vị nút tính:
{δ} = [ ]{ } (c)
1
2
a C a
a
L ⎭⎬=
⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡
từ đó: {a} = [C] -1 {δ} (d) Hình Phần tử BAR
Phương trình chuyển vị có dạng:
u =[P] [C] -1{δ} = [N] {δ} (e)
Hàm N phụ thuộc vào x, gọi hàm hình dáng Sau triển khai hàm N(x) có dạng: N(x) =[1 x]
⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎢ ⎣ ⎡ −
L L
1
0
= [ - L x ,
L
x ] (f)
Trong phạm vi lý thuyết đàn hồi, biến dạng hiểu là: εx = du
dx = d
dx [N] {δ} (g)
Ứng suất phần tử xác định từ định luật Hooke:
σx = E εx (h)
Công biến daïng U = ∫L ε
x σx Ax dx
Sau thay giá trị tương ứng từ (g), (h), (f) được: U=
2 {δ}
T [N’ ] L
∫ T EA [N’] dx {δ} (i)
trong [N’] = d dx [N],
(2)U = {δ}
T [k] {δ} (j)
từ đó: [k] = [N’ ]
0 L
∫ T EA [N’ ] dx = EA
L
1
1
− − ⎡ ⎣
⎢ ⎤
⎦
⎥ (k)
Vector lực áp dụng cho trường hợp dầm chịu tải trọng phân bố đều: {F} = p[N]
0 L
∫ T dx = pL (l)
pL
/ /
2
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
Dưới tác động lực tập trung đặt nút cách nút đoạn ξ:
{F} = p δ(ξ-x) [N]
L
∫ T dx =
P L L P
L
( − )
⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪
⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪
ξ
ξ (m)
Những hàm viết ngơn ngữ Matlab phục vụ tính thành phần ma trận cứng phần tử ma trận chuyển {T} dùng cho phần tử thông dụng khoa Cơ học kết cấu Cơ học vật rắn trường đại học Lund soạn dùng thuận tiện nghiên cứu, học tập Chương trình viết Matlab sau trích từ tài liệu dạy phương pháp PTHH “CALFEM - A finite element toolbox to MATLAB” 1999
Chương trình tính [k] hệ tọa độ riêng, ký hiệu Ke, ma trận chuyển ký hiệu G với tên gọi Bar2e:
function [Ke]=bar2e(ex,ey,ep)
% Ke=bar2e(ex,ey,ep) E=ep(1); A=ep(2);
b=[ ex(2)-ex(1); ey(2)-ey(1) ]; L=sqrt(b'*b);
Kle=E*A/L*[ -1; -1 1];
n=b'/L; G=[ n zeros(size(n)); zeros(size(n)) n ]; Ke=G'*Kle*G;
Ví dụ sử dụng phần tử dầm chịu kéo, nén (Truss element) giải khung sau: Chiều dài thanh, qui đổi đơn vị l = l23 = 3m:
l l
l l l
l ; 23
24 23
(3)α β
1
4
2 P
2
Hình Phần tử số
[ ]
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣ ⎡ −
− =
0 0
0 1
0 0
0 1
3 ,
) (
l AE k
Ma trận chuyển [T]
[ ]
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
− −
= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
− −
=
3
1 3
1
2
30 cos 30
sin
30 sin 30
cos 30
cos 30
sin
30 sin 30
cos
) (
O
O O
O T
o o
o o
o o
o o
Ma trận [k(1)] hệ tọa độ chung tính theo biểu thức [T(1)][k(1)][T(1)]T:
[ ] ⎥
⎦ ⎤ ⎢
⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣ ⎡
− −
− −
− −
− − =
22 21
12 11 )
1 (
1
3
3
3
1
3
3
3
16 3
k k
k k l
AE k
Phần tử số 2:
[ ] ⎥
⎦ ⎤ ⎢
⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣ ⎡ −
− =
22 23
32 33 )
2 (
0 0
0 1
0 0
0 1
k k
k k l
AE k
(4)[ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 0 0 1 0 0 1 2 , ) ( l AE k
Ma trận chuyển tính cho phần tử số
[ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − − = 1 1 1 1 ) 45 cos( ) 45 sin( ) 45 sin( ) 45 cos( ) 45 cos( ) 45 sin( ) 45 sin( ) 45 cos( ) ( O O O O T o o o o o o o o
Ma trận [k(1)] hệ tọa độ chung tính theo biểu thức [T(3)][k(3)][T(3)]T:
[ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − = 22 24 42 44 ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k k l AE k
Ma trận cứng toàn hệ thống [K] = ∑k(e) dược thành lập dạng sau:
[ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + = ) ( 44 ) ( 42 ) ( 33 ) ( 32 ) ( 24 ) ( 23 ) ( 23 ) ( 22 ) ( 22 ) ( 21 ) ( 12 ) ( 11 k k k k k k k k k k k k K
Kết tính theo cơng thức cuối ma trận cứng cỡ 8x8 Vec tơ chuyển vị vector lực hệ bậc Hệ phương trình cân có dạng:
{K}8x8 {δ}8x1 = {P}8x1
Điều kiện biên toán: u1 = v1 = u3 = v3 = u4 = v4 = Sau xử lý
điều kiện biên, hệ phương trình cân có dạng:
⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ P u l AE v 855 , 032 , 032 , 505 , 2
Giải hệ phương trình nhận được:
AE Pl u ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧− = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ 170 , 015 , v2
(5){ }
⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫
⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧− = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫
⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ =
0 743 ,
0 743 , 0
0
] ][ [
2 ) ( ) ( ) (
P u T k F
v
Phần tử số 2:
{ }
⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫
⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫
⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ =
0 015 ,
0 015 , 0
0
] [
2 ) ( ) (
P u k F
v
Phần tử số 3:
{ }
⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫
⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫
⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ =
0 889 ,
0 889 , 0
0
] ][ [
2 ) ( ) ( ) (
P u T k F
v
6.2 Phần tử BAR không gian 3D
Chuyển vị nút phần tử hai nút, xét hệ tọa độ cục gắn liền phần tử hiểu cách trình bày:
{δ}cục_bộ = [ u1 v1 w1 | u2 v2 w2 ]T
Trong hệ tọa độ chung vector có dạng: {δ}chung = [ U1 V1 W1 | U2 V2 W2 ]T
Quan hệ hai vector thể biểu thức: [ ]
⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧
W V U R w u
v
trong ma trận chuyển [R] hiểu sau: [ ] (( )) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =
Z z Y
z X
z
Z y Y
y X
y
Z x Y
x X
x R
, cos ,
cos ,
cos
, cos ,
cos ,
cos
, cos ,
cos ,
cos
(6)( ) ( ) ⎭⎬⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − =
⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ −
−
+
1
3
1
6
6 12
1
y z
y y
z v Lf
L L
L L
EI
θ φ
φ
trong
AG k L
EI y
z y
12
=
φ với hệ số ky = 0,3 áp dụng cho cấu hình cụ thể Ký
hiệu dùng miêu tả dầm Timoshenko có dạng μ ≡ φy ks thay vào ky
Thay giá trị số A = 0,444 m2, Mo men quán tính mặt cắt 0,0628 m4, f y =
-5x106 N/m; m
x = -4,07x106 Nm / m, E = 2x1011 N / m2, G = 0,77x1011 N / m2
có thể tính J = 0,0041 m4, nhận kết quả:
v = -0,0166m = -0,0127 khơng tính ảnh hưởng xoắn θx = -0,103 rad; θz = -0,0042 rad
Mz = ( )[ Lv ( )L ] f L x Nm L
EI
y z y y
z
10 40 12
6
6
2
3 +φ − + −φ θ + =−
Tại y = 0,5m tính ứng suất uốn gây:
MPa y
I M
z z
x =− =318,5
σ
Trong phần trước tài liệu đề cập cách tính kết tính ma trận cứng [k(e)] vector lực {F(e)}cho phần tử hệ tọa độ cục gắn liền với phần tử
Trường hợp chung, hệ toạ độ cục không trùng với hệ toạ độ chung, kết tính [k(e)] {F(e)} phải chuyển hệ toạ độ chung trước tập họp
thành ma trận [K] vector {P} tồn hệ Các phép tính chuyển thực qua ma trận chuyển [T]
Với phần tử BEAM 3D, 12 bậc tự do, chuyển vị hai nút ghi nhận hệ toạ độ cục {δ} = ( δ1 δ2 δ3 δ4 δ12) Trong hệ toạ độ chung đại
lượng ghi nhận {Δ} = {Δa Δb Δc Δd Δm} Phép chuyển từ {δ} sang {Δ}
thực sau:
{δ}cục_bô = [T]{ δ}chung
Ngược lại tính chuyển từ hệ tọa độ chung sang hệ tọa độ riêng phép tính cần thực là:
{δ}chung = [T]T{ δ}cục_bộ
Nếu ký hiệu [k]cục_bộ ma trận cứng xác định hệ tọa độ gắn liền với
phần tử, [k]chung – ma trận cứng phần tử giành cho phần tử song chuyển
sang hệ tọa độ chung, công thức chuyển đổi là:
(7){p}chung = [T]T{ p}cục_bộ
Matrận chuyển [ T ], độ lớn 12x12 có dạng:
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣ ⎡
Ο Ο Ο
Ο Ο
Ο
Ο Ο Ο
Ο Ο Ο =
R R R R
T
Trong matrận [R], độ lớn 3x3 miêu tả quan hệ hướng hệ toạ độ cục hệ tọa độ chung
[ ]
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =
z z z
y y y
x x x
n m l
n m l
n m l R
0 0
0 0
0 0
vaø [ ]
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = Ο
0 0
0 0
0 0
l0x =
L x xj − i
, m0x =
L y yj − i
, n0x =
L z zj − i