TRƯỜNG ðẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA - PHAN THANH TÂM PHƯƠNG PHÁP SỐ CÂN BẰNG CHO MƠ HÌNH DỊNG CHẢY HAI PHA BAER-NUNZIATO: TRƯỜNG HỢP ðẲNG ENTROPY Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số ngành : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP.HỒ CHÍ MINH – THÁNG NĂM 2009 TRƯỜNG ðẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA - PHAN THANH TÂM PHƯƠNG PHÁP SỐ CÂN BẰNG CHO MƠ HÌNH DÒNG CHẢY HAI PHA BAER-NUNZIATO: TRƯỜNG HỢP ðẲNG ENTROPY Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số ngành : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ Cán hướng dẫn: TS MAI ðỨC THÀNH TP.HỒ CHÍ MINH – THÁNG NĂM 2009 TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA: KHOA HỌC VÀ ỨNG DỤNG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHIÃ VIỆT NAM ðộc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc -oOo Tp HCM, ngày 30 tháng năm2009 NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: PHAN THANH TÂM Ngày, tháng, năm sinh: 29/05/1985 Giới tính: Nam Nơi sinh: ðồng Nai Chuyên ngành : Toán ứng dụng Khoá (Năm trúng tuyển) : 2008 1- TÊN ðỀ TÀI: PHƯƠNG PHÁP SỐ CÂN BẰNG CHO MƠ HÌNH DỊNG CHẢY HAI PHA BAER-NUNZIATO: TRƯỜNG HỢP ðẲNG ENTROPY 2- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : Ngày 19 tháng năm 2009 3- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : Ngày 30 tháng năm 2009 4- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : TS Mai ðức Thành 5- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ PHẢN BIỆN 1: TS Nguyễn Bá Thi 6- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ PHẢN BIỆN 2: TS Lê Thị Quỳnh Hà Nội dung ñề cương Luận văn thạc sĩ ñã ñược Hội ðồng Chuyên Ngành thông qua CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN (Họ tên chữ ký) QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH (Họ tên chữ ký) TS Mai ðức Thành PGS.TS Nguyễn ðình Huy Lời cảm ơn Đầu tiên, xin gửi đến Thầy hướng dẫn tôi, TS Mai Đức Thành, lời cảm ơn chân thành sâu sắc dìu dắt tơi suốt q trình học tập, định hướng đường nghiên cứu, thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào Tạo Sau Đại Học, đặc biệt thầy Bộ mơn Tốn Ứng Dụng – Khoa Khoa Học Ứng Dụng trường Đại Học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn đến gia đình, người thân người bạn động viên, giúp đỡ để luận văn hoàn thành Phan Thanh Tâm Giới thiệu Lĩnh vực dịng đa pha có liên quan đến ứng dụng rộng rãi công nghiệp, hệ thống làm lạnh với áp suất cao nhà máy điện nguyên tử, vận tải nhiên liệu đường ống, tượng phun sương trong máy bơm nhiên liệu v.v Các yếu tố vật lí (khối lượng, động lượng, tổng lượng v.v· · · lưu chất) nảy sinh phương trình tốn học Hệ phương trình đạo hàm riêng hyperbolic phi tuyến bậc dạng divergence gọi Hệ hyperbolic luật bảo toàn Một số mơ hình điển hình thu hút quan tâm nhiều nhà học tốn học mơ hình dịng chảy lưu chất ống dẫn, phương trình nước nơng, dịng chảy đa pha v.v· · · Mơ hình dịng chảy hai pha áp suất dạng đơn giản mơ hình dịng chảy hai pha Baer-Nunziato [1, 3], hệ có dạng hệ luật bảo tồn có nguồn Các dạng gây khó khăn cho lược đồ sai phân hữu hạn hay thể tích hữu hạn với việc rời rạc hóa trực tiếp dạng nguồn Để minh chứng cho điều này, ta ý [2] cho trường hợp luật bảo tồn vơ hướng với nguồn, tác giả rằng, cách giải trực tiếp dạng nguồn lược đồ thể tích hữu hạn cho kết khơng thỏa mãn cho việc giảm điều kiện Courant-Friedrich-Lewy (C.F.L) lẫn việc làm mịn lưới chia, thiếu xác trạng thái cân Chúng ta xây dựng lược đồ số cho hệ mà có khả trì trạng thái cân gây nguồn, phương pháp xây dựng dạng sóng mới, gọi tên sóng tĩnh, dựa tính chất khơng phụ thuộc thời gian Lược đồ số cân bảo toàn trạng thái cân bằng, nghiệm số hội tụ nghiệm xác trội so với lược đồ số cổ điển Một số mơ hình đơn giản hơn, xem [2, 7, 8, 14, 24], lược đồ cân giới thiệu thực nghiệm Giới thiệu vi Trong luận văn này, dựa vào kết tác giả M.D Thành A Izani Md Ismail [25], nghiên cứu tính hyperbolic mơ hình dòng hai pha áp suất, cách xây dựng lược đồ sô cân bằng, áp dụng lược đồ số Lax–Friedrichs, Lax– Wendroff cho hai trường hợp lược đồ số cổ điển lược đồ số Kết thực nghiệm chứng minh rằng, lược đồ số cân cho kết trội lược đồ số cổ điển Luận văn ý nghiệm xấp xỉ cho lược đồ Lax–Wendroff thường gây nhiễu điểm sốc, điều phù hợp với ta biết lược đồ Luận văn trình bày sau: Chương 1: Trình bày kiến thức tổng quan hệ luật bảo toàn, sóng hệ luật bảo tồn chiều, lý thuyết phương pháp số cho hệ luật bảo tồn Chương 2: Giới thiệu mơ hình tốn học mơ hình dịng hai pha áp suất, tính hyperbolic hệ, khái niệm sóng tĩnh tính chất, phương pháp xây dựng lược đồ số cân cho toán Chương 3: Các kết tính tốn thực nghiệm kết luận tương ứng Mục lục Lời cảm ơn iv Giới thiệu v Mục lục 1 Kiến thức tổng quan 1.1 1.2 1.3 Hệ luật bảo toàn 1.1.1 Tính Hyperbolic thí dụ 1.1.2 Nghiệm yếu hệ luật bảo toàn 1.1.3 Hệ thức Rankine-Hugoniot 10 1.1.4 Nghiệm entropy 13 Hệ luật bảo toàn chiều 15 1.2.1 Hệ tuyến tính với hệ số 15 1.2.2 Hệ phi tuyến 17 1.2.3 Sóng giãn đường cong tích phân 19 1.2.4 Sóng sốc gián đoạn tiếp xúc 21 1.2.5 Đường đặc trưng điều kiện entropy 22 1.2.6 Nghiệm toán Riemann 26 Phương pháp số cho hệ luật bảo toàn chiều 29 1.3.1 Tổng quan phương pháp sai phân hữu hạn 29 1.3.2 Một số lược đồ sai phân hữu hạn ví dụ 31 MỤC LỤC 2 Mơ hình tốn lược đồ số cân 35 2.1 Mơ hình dịng hai pha áp suất chiều 36 2.2 Tính hyperbolic 36 2.2.1 Phương trình đặc trưng 36 2.2.2 Giải pháp toán cho đa thức đặc trưng 40 2.2.3 Biễu diễn hình học 41 2.2.4 Kết luận 48 Lược đồ số cân cho mơ hình 49 2.3.1 Sóng tĩnh 49 2.3.2 Xây dựng lược đồ số cân 56 2.3 Kết thực nghiệm kết luận 58 3.1 Các thực nghiệm số 58 3.2 Thực nghiệm 59 3.3 Thực nghiệm 68 3.3.1 Trường hợp 68 3.3.2 Trường hợp 71 3.3.3 Trường hợp 74 3.3.4 Trường hợp 77 Kết luận 80 3.4 Kết luận hướng phát triển 81 Tài liệu tham khảo 82 Hình vẽ 85 Phụ lục 87 A Chương trình lược đồ ví dụ 87 A.1 Ví dụ 87 A.2 Ví dụ 90 MỤC LỤC B Điều kiện hyperbolic 94 C Chương trình lược đồ thực nghiệm 97 C.1 Chương trình 97 C.2 Chương trình 103 C.2.1 Chương trình cho lược đồ số cổ điển 103 C.2.2 Chương trình cho lược đồ số cân 106 D Chương trình lược đồ thực nghiệm 111 Chương Kiến thức tổng quan Chương chia làm ba phần Phần đầu đưa khái niệm ví dụ hệ luật bảo tồn tổng quát Phần thứ hai đưa khái niệm loại sóng hệ luật bảo tồn chiều Phần cuối bao gồm phương pháp sai phân hữu hạn, lược đồ số ví dụ 1.1 1.1.1 Hệ luật bảo tồn Tính Hyperbolic thí dụ Cho Ω ⊂ IRP tập mở Giả sử Ω xác định d hàm khả vi liên tục với giá trị vectơ fi : Ω → IRp , j d Dạng tổng quát hệ luật bảo tồn nhiều biến khơng gian ∂u + ∂t d j=1 ∂ fj (u) = 0, ∂xj x = (x1 , x2 , , xd ) ∈ IRd , t>0 (1.1) C.2 Chương trình 106 end; %−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− function w = utow(u) global nuy nx=size(u,1); w = zeros(nx,4); for i=1:nx w(i,1) = u(i,1); w(i,2)= u(i,2)/u(i,1); w(i,3)= u(i,3)/u(i,2); w(i,4)= u(i,4)/((1−u(i,1))*nuy); end; %−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− C.2.2 Chương trình cho lược đồ số cân function [x,w]=input1(N) %% TEST UL = [0.3, 0.5, 1, 1]; UR = [0.362272850517834, 0.372463472934059, 1.111659496416635, 1.097648109490711]; %% h = 2/N; x = −1:h:1; w = zeros(N+1,4); for i=1:N+1 if x(i)1e−10 r = r − F/dF; a=abs(u0^2−2*k*gamma*(r^(gamma−1)−r0^(gamma−1))/(gamma−1)); F=sign(u0)*sqrt(a)*r−a0*r0*u0/a1; dF=sign(u0)*(a−k*gamma*r^(gamma−1))/sqrt(a); end rho=r; end %−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− function w = utow_n(u) global nuy nx=size(u,1); for i=1:nx w(i,1)= u(i,1); w(i,2)= u(i,2)/u(i,1); w(i,3)= u(i,3)/u(i,2); w(i,4)= (u(i,4)−u(i,3))/((1−u(i,1))*nuy); end; %−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 110 Phụ lục D Chương trình lược đồ thực nghiệm Lược đồ số cân tăng số điểm chia function [x, u, w]=WELLscheme global gamma k nuy UL=[0.4,0.1,1,1]; UR=[0.5,0.2,1.5,1.2]; nuy = 0.5; gamma = 1.4; k = 0.4; CFL=0.7; N = 2000; h = 2/N; x = −1:h:1; w = zeros(N+1,4); for i=1:N+1 if x(i)