Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB, các mặt phẳng (SHC), (SHD),(ABCD) đôi một vuông góc.. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật[r]
(1)TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU Môn thi : TOÁN; Khối A, B, D
Thời gian làm 180 phút không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm ) :
Câu I ( 2,0 điểm )
Cho hàm số y x 3 3x2(m 4)x m m tham số , (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =
2 Chứng minh đồ thị (1) ln cắt trục hồnh điểm A cố định với m Tìm m để đồ thị (1) cắt trục hoành ba
điểm A, B, C phân biệt cho
0,
A
B C
k
k k
k k kA, ,B Clần lượt hệ số góc tiếp tuyến đồ thị (1) A, B, C
Câu II ( 2,0 điểm)
1 Giải phương trình
1 sin 2sin
3
2sin cos
x x
x x
Giải phương trình x2 x x2 3x1 2 x1 Câu III (1,0 điểm)
Tính tích phân
1
7
3
26
3x x
I dx
x x x
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật ; tam giác SAB vuông cân S Gọi H trung điểm đoạn thẳng AB, mặt phẳng (SHC), (SHD),(ABCD) đơi vng góc Biết SC a 3, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Tính góc hợp hai mặt phẳng (SAD) (SDC)
Câu V (1,0 điểm)
Cho x,y số thực thoả mãn : x2
−xy+y2=1 Tìm giá trị lớn ,nhỏ biểu thức P=x
+y4+1 x2+y2+1 PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Thí sinh làm hai phần ( A B )
A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đường phân giác góc ABCđi qua trung điểm cạnh AD có phương trình x y 2 0; đỉnh D nằm đường thẳng có phương trình x+y-9=0 Biết điểm E(-1;2) nằm đoạn thẳng AB đỉnh B có hồnh độ âm Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật
2 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
2
:
2
x y z
d
;
2
1 1
: ; :
1 1
x y z x y z
d d
Chứng minh d2 d3 chéo Viết phương trình đường thẳng vng góc với d1,cắt d2 d3 hai điểm A, B cho AB3
Câu VII.a (1,0 điểm)
Tìm số phức z thỏa mãn z 1 z i
1
z
z số thực B Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elíp
2
( ):
9
x y
E
Gọi F F1, 2 tiêu điểm (E) Tìm tọa độ
điểm M (E) cho bán kính đường trịn nội tiếp tam giác MF F1 2 2
5 .
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P x y: 14 0z Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) qua hai điểm A(1;3;2), B(-3;1;4) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A,B cắt (S)theo đường trịn có diện tích bé
(2)Giải hệ phương trình
2 2
2
3
2012 2011
2012
3log ( 6) 2log ( 2)
y x x
y
x y x y .
ĐÁP ÁN
CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM
I 2 đ
1 1điểm
3
4
Với m ta có y x x 10 Tập xác định
20 Sự biến thiên
Giới hạn
3
3
3
3
1
lim lim lim
1
lim lim lim
x x x
x x x
y x x x
x x
y x x x
x x
Bảng biến thiên
2
' ; '
2
x
y x x y x x
x
x - + y’ + - +
y
4 +
-
30 Đồ thị
Đồ thị cắt trục hoành điểm (-1;0) (2;0) Đồ thị cắt trục tung điểm (0;4)
y’’= 6x-6; y’’= x=1 Vậy tâm đối xứng đồ thị I(1;2)
4
2
-2 O
I
0,25
0,25
0.5
2 1điểm
Phương trình hồnh độ giao điểm
3 2
2
1
3 ( 4)
4 0(1)
x
x x m x m x x x m
x x m
Ta thấy đồ thị cắt trục Ox điểm A(-1;0) với giá trị m
Để đồ thị hàm số cắt trục Ox ba điểm phân biệt pt(1) phải có nghiệm phân biệt
khác -1 hay
4
5
m m
m m
Goïi
1 2
1
4 , hai nghiệm phương trình (1), theo định lý Viet ta có x x
x x
x x m
(3)
1
2
1 2
2
1 2
2
1 2
Khi x , hồnh độ B C, hệ số góc A,B,C
5; 4;
1
Theo giả thiết ta có
3 6
3 6
5
A B C
x
k m k x x m k x x m
m
x x m x x m
x x m x x m
m 2
1 2
2
0
3 6
4
5
4
4
5
5
Đối chiếu điều kiện ta có m=-6 m=-4
x x m x x m
m m m m m m m m m 0,25 0,5 II 2 điểm 1điểm
: cos ,
2
ÑK x x k k Z
2
2
1 sin 2sin
3 3sin 2sin sin2 3 cos
2sin cos
cos2 sin2 sin cos cos 3cos
3
2
cos
6
2cos 3cos
6 cos
6
x x
x x x x
x x
x x x x x x
x k x x x x , 2
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm ,
6
x k k
x k
x k k
Z Z 0,25 0,25 0,25 0,25 1điểm
:
ÑK x x
2 2
2 2
2
2
1 (1)
4 2 1 0 2 1 1 0
1 1
1
2
2
1 1 3 1 (2)
1
Ta thấy nghiệm phươ
x x x x x x x x x x
x x x
x x x x x x x x
x x
x x x x x x x x
x 2 2 2 2
ng trình (1)
1
Từ (1) (2) ta có hệ 2
1
3
2 5
2
8
4 4 1 2 3
1
Thử lại ta có nghiệm ;
2
x x x x x x x x
x x x x
x x
x
x x x x x x
(4)III. 1 ñ
1 1
7 7
1
3 3
2 3
1 1
26 26 26
1
1
3
7 2
3
1 3 3 3 3
1
26 26
2
1
7
2
1 3 3
2
26 26
3
1
3 123
2 364
26
1 1 1
2
1
1
x x x x
I dx dx dx I I
x x x x x x x x x
Tính I
d x x
x
I dx x x
x x x x
Tính I
I dx d
x x
x x
2
2
1
3 1 15
4
26 322.
91
x Vaäy I
0,25
0,25
0,25
0,25 IV.
1 ñ
G F
E H
A
B
D
C S
2 2 2 2
2
Vì
Đặt ; ta có
2
Gọi E trung điểm CD ta có
2 Mặt khác,
hay
SHC SHD
SHD ABCD SH ABCD
SHC ABCD HD HC
SHD SHC SH
x
AB x AD y SH
x
y HE x y
SH HC SC SH BH BC SC
x x
2
2 2
3
3 3 ta ;
2
1
Thể tích khối chóp (đ.v.d.t)
3
Gọi G trung điểm SE, SHE cân H nên HG SE, mà
ABCD
y a y a y a x a SH a AD a
V SH S a
SH CD C
HE CD
HG Gọi F trung điểm SA HF SA, mà
do HF
D SHE CD HG SCD
AD SH AD SAB AD HF
AD AB SAD
0,25
0,25
(5)0
2 Như góc hai mặt phẳng (SAD) (SCD) góc HG HF, ta có HFG có HF= ;
2
2
HG= ; ta thấy HGF nên góc (SAD) (SCD) 60
2
a
a GF a
0,25
V 1 ñ
Tõ gi¶ thiÕt suy ra:
1=x2−xy+y2≥2 xy−xy=xy
¿
x+y¿2−3 xy≥−3 xy
1=¿
Từ ta có −1
3≤xy≤1
Măt khác x2xy+y2=1x2+y2=1+xy
nên x4+y4= x2y2+2 xy+1 Đặt t=xy
Vy toán trở thành tìm GTLN,GTNN cña P=f(t)=− t
2
+2t+2 t+2 ;−
1 3≤ t ≤1
TÝnh
t+2¿2 ¿ ¿0⇔
¿ t=√6−2
¿ t=−√6−2(l)
¿ ¿ ¿ ¿
f '(t)=0⇔−1+6 ¿ Do hµm sè liên tục [1
3;1] nên so sánh giá trÞ cđa f( −1
3 ) , f(√6−2) , f(1) cho kÕt qu¶:
MaxP=f(√6−2)=6−2√6 , minP=f(−1
3)=
11 15
0,25
0,25 0,25
0,25
Theo chương trình bản 3 điểm
VI.a 2 ñ
1
1 ñ
2
5 E'
O B A
C D M
E
0,25
(6) 0
0
0 0
0
0 0
Gọi '( ; ) điểm đối xứng E qua phân giác ta có hệ
1 1 0
, '(0;1)
1 1 1
2
2
Gọi B(t; t+2), t < 0,do ABCD hình chữ nhật E
E x y
x y x y x
E
x y x y y
nằm đoạn AB nên E' nằm đoạn
BC BE BE' 1 t<0 hay B(-1;1)
phương trình đường thẳng BE x=-1, pt đt BE' y=1 Gọi A(-1;a),a D(d;9-d) ta có tọa độ
t t t t t
1
trung điểm AD M ;
2
1
theo giả thiết ta 2 (1)
2
1; ; 0; , AB AD nên ta có a 9 (2)
Từ (1) (2) ta có a=4 d=5
d a d
d a d a d
AD d a d BA a a d a d
hay A(-1;4) vaø D(5;4) C(5;1)
0,25 0,25
2 ñ
2 2 3
3
2 3
1 '
: , qua M 1; 1;0 có vtcp 1;2;1 ; : ' , ñi qua M 0;1;2
2 ' có vtcp 1;1;2
M M 1;2;2 ; , 3; 3;3 ;M M
x t x t
d y t d u d y t d
z t z t
u
u u u
3
1
, nên d d cheùo
Giả sử A(1+t;-1+2t;t) B(-t';1+t';2+2t') ' 1;2 ' 2; ' vtcp ,
d neân ' ' 2 ' ' , 1; 2;
u
BA t t t t t t
t t t t t t t t BA t
2 2 2
3
Mặt khác, BA=3 nên 3 18 18
1
1
Với t=0 ta có A(1;-1;0); 1; 2; Ptct :
1 2
3 Với t=-1 ta có A(0;-3;-1); 2; 2;1 Ptct :
2
t t
t t t t
t
x y z
BA
x y z
BA
1
1
1
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn tốn : ; :
1 2 2
x y z x y z
0,25
0,25
0,5
VII.a 1 ñ
2 2 2
2 2 2
2
Giả sử ta có 1 ;
Theo đề 1 ,
1 1
Mặt khác, ,
2
1 Vì số
z x y i z x y z i x y
z z i x y x y x y z x x i
x x i
z x x i x x i x x i x
z x x i x x x
z z
1
1
thực nên
2 2
1 1
Như có số phức thỏa mãn toán
2 2
x x
x
z i z i
0,25 0,25 0,25 0,25 Theo chương trình nâng cao
VI.b 2 ñ
1 ñ
2
-2 O
F1 F2
(7)Ta có F1(-2;0) F2(2;0); F1F2=4
1 2 2
1 2
1
Do M (E) nên 6, diện tích MF F (1)
2 5
1
Gọi ( ; ) ta có ( ; ) , diện tích MF F (2)
2 Từ (1) (2) ta có Như có điểm tho
MF MF MF MF F F
M x y d M Ox y y F F y
y
ûa mãn toán (0; 5) (0;M1 M2 5)
0,25 0,25 0,5
2 1đ
Vì mặt cầu (S) qua A,B tiếp xúc với mp(P) mà B nằm (P) nên (S) tiếp xúc với (P) B, tâm I mặt cầu nằm đường thẳng d qua B vuông góc với (P), d có vtcp u1;1; 3
,d có phương trình
3
1
x y z
Mặt khác, tâm I nằm mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB, mặt phẳng qua trung điểm M(-1;2;3) AB có vtpt
4;2; nên có pt laø 2 1 2 3
BA x y z x y z
Như tọa độ I nghiệm hệ
2
4
3
x y z x
x y y
y z z
Baùn kính mặt cầu R=IA= 11
Phương trình mặt cầu (x+2)2+(y-2)2+(z-1)2=11
Gọi r bán kính đường trịn ta có
2 ;( ) 11 11 ;( )
đường trịn giao tuyến có diện tích nhỏ r nhỏ hay ;( ) lớn Mặt khác, IM AB ;( ) , dấu xẩy M hình chiếu I le
r d I Q r d I Q
d I Q
d I Q IM
ân mp(Q) hay IM (Q),vaäy (Q) qua A có vtpt 1;0;2 , pt (Q) laø
1 2
IM
x z x z
0,25
0,25
0,25
0,25
VII.b 1 ñ
2 2012
2011 (1)
2012
3log ( 6) 2log ( 2) 1(2)
2
3
x
y
x y x y
y x
+) ĐK: x + 2y + > x + y + > +) Lấy logarit số 2011 đưa pt:
2 2
2011 2011
log ( 2012) log ( 2012)
x x y y
2011
1
Xét hàm số ( ) log ( 2012), '( )
2011( 2012) ( ) hàm số đòng biến (0;+ )
f t t t t f t
t f t
từ suy x2 = y2 x= y x = - y +) Với x = y vào (2) đưa pt:
3log3(x+2)=2log2(x+1)
Đặt 3t=log2(x+1) ta x=23t-1 3log3(23t+1)=6t 8t+1=9t
Đưa pt dạng
1
1
9
t t
, cm pt có nghiệm t = x = y =7
+) Với x = - y vào (2) pt: log3(y + 6) = y = - x = Vậy hệ có nghiệm (7;7); (3;-3)
0,25 0,25
0,25