ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG NGUYỄN TRẦN PHÚ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA HỘI TỤ BIẾN PHÂN CỦA SONG HÀM TRÊN MIỀN CHỮ NHẬT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành Phố Hồ Chí Minh, ngày 02 tháng 08 năm 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG NGUYỄN TRẦN PHÚ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA HỘI TỤ BIẾN PHÂN CỦA SONG HÀM TRÊN MIỀN CHỮ NHẬT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60460112 Thành Phố Hồ Chí Minh, 02 tháng 08 năm 2020 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCM Cán hướng dẫn khoa học: TS HUỲNH THỊ HỒNG DIỄM Cán chấm nhận xét 1: TS NGUYỄN BÁ THI Cán chấm nhận xét 2: PSG TS NGUYỄN HUY TUẤN Luận văn thạc sĩ bảo vệ Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày 02 tháng 08 năm 2020 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: Chủ tịch: PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY Thư ký: TS NGUYỄN TIẾN DŨNG Phản biện 1: TS NGUYỄN BÁ THI Phản biện 2: PGS TS NGUYỄN HUY TUẤN Ủy viên: TS PHAN TẤT HIỂN Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau luận văn sửa chữa (nếu có) CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY PGS TS TRƯƠNG TÍCH THIỆN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh Phúc TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: NGUYỄN TRẦN PHÚ Mã số học viên: 1670242 Ngày, tháng, năm sinh: 07/10/1993 Nơi sinh: Bến Tre Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112 I TÊN ĐỀ TÀI: CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA HỘI TỤ BIẾN PHÂN CỦA SONG HÀM TRÊN MIỀN CHỮ NHẬT II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: - Kiến thức sở - Các đặc trưng hội tụ biến phân III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 20/08/2019 IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 01/06/2020 V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS HUỲNH THỊ HỒNG DIỄM Tp HCM, Ngày tháng năm CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG (Họ tên chữ ký) (Họ tên chữ ký) TS HUỲNH THỊ HỒNG DIỄM TS NGUYỄN TIẾN DŨNG TRƯỞNG KHOA (Họ tên chữ ký) PGS TS TRƯƠNG TÍCH THIỆN LỜI CẢM ƠN Lời tơi xin gửi lời cảm ơn đến Cô hướng dẫn TS Huỳnh Thị Hồng Diễm, người nhiệt tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến bố mẹ, gia đình bạn bè mình, người ln bên cạnh động viên, tạo điều kiện tốt cho suốt thời gian học tập, nghiên cứu Tôi xin gửi lời cảm ơn thầy, cô Bộ mơn Tốn Ứng Dụng, khoa Khoa học ứng dụng, Trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành luận văn Cuối cùng, trình thực luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý tất thầy cơ, bạn đồng nghiệp Tp Hồ Chí Minh, ngày 02 tháng 08 năm 2020 Tác giả Nguyễn Trần Phú i TÓM TẮT LUẬN VĂN Trong luận văn này, nghiên cứu vấn đề sau: Hội tụ biến phân hàm thành phần mối quan hệ loại hội tụ giải tích hình học Hội tụ biến phân song hàm miền chữ nhật Các đặc trưng hội tụ biến phân Cách tiếp cận chúng tơi trình bày cách có hệ thống toàn diện loại hội tụ biến phân từ hội tụ biến phân hàm thành phần hội tụ epi, hội tụ hypo loại hội tụ học môn học học bậc đại học cao học, đến hội tụ biến phân song hàm miền chữ nhật hội tụ epi/hypo hội tụ lopside Các tính chất quan trọng có ứng dụng nhiều tối ưu mà cụ thể xấp xỉ nghiệm cho toán liên quan tối ưu: toán cân bằng, toán tối ưu đa mục tiêu, toán cân Nash, bất đẳng thức Ky Fan, ii THESIS SUMARY In this thesis, we study the following inssues: Epi/Hypo Convergence of one-component function and relationship between converging types of both analytic and geometric Epi/Hypo Convergence of Finite-Valued Bifunctions on the rectangular domain Criteria for Epi/Hypo Convergence Our approach is to systematically and comprehensively present the types of epi convergence, hypo convergence and the types of convergence learned in subjects learned in undergraduate and graduate school, to convergence The Epi/hypo convergence of Finite-Valued Bifunctions on the rectangular domain are epi/hypo convergence and lopside convergence These important properties have many applications in optimization, namely, the solution approximation to the optimal related problems: the equilibrium problem, the target optimization problem, the Nash equilibrium problem, and the inequality problem Fy Fan, iii LỜI CAM ĐOAN Tôi tên Nguyễn Trần Phú, mã học viên: 1670267, học viên cao học chuyên ngành Toán Ứng Dụng trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh khóa 2016 - 2018 Tơi xin cam đoan ngoại trừ kết tham khảo từ cơng trình khác ghi rõ luận văn, cơng việc trình bày luận văn tơi thực hướng dẫn TS Huỳnh Thị Hồng Diễm tơi hồn tồn chịu trách nhiệm tính trung thực đề tài nghiên cứu Tp Hồ Chí Minh, ngày 02 tháng 08 năm 2020 Học viên thực Nguyễn Trần Phú iv DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa N Tập số tự nhiên R ¯ = R ∪ {±∞} R Tập số thực Rn Không gian Euclide n chiều ∅ Tập rỗng Φ:X ×Y →R Song hàm khơng gian tích clC Bao đóng tập C intC Phần tập C d(x, C) Khoảng cách từ điểm x đến tập hợp C epif Trên đồ thị hàm f hypof Dưới đồ thị hàm f gphf Đồ thị hàm f domf Miền xác định hàm f lev≤α (f ) Tập mức hàm f B(x, r) Hình cầu mở tâm x bán kính r P −K Cn −→ C Tập số thực mở rộng Dãy Cn hội tụ Painlevé-Kuratowski đến C e Dãy {f k }k hội tụ epi đến hàm f h Dãy {f k }k hội tụ hypo đến hàm f f k −→ f f k −→ f fv-biv(Rn × Rm ) Lớp song hàm có giá trị hữu hạn khơng gian tích Rn × R biv(Rn × Rm ) e/h Lớp song hàm xác định khơng gian tích Rn × Rm Φk −→ Φ Dãy {Φk }k hội tụ epi/hypo đến Φ Ls Giới hạn theo nghĩa Painlevé-Kuratowski Li Giới hạn theo nghĩa Painlevé-Kuratowski ls lim sup li lim inf v Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ tốn khơng thỏa khơng có tính hội tụ e/h hội tụ lop song hàm có tính lồi-lõm Để giải thích tính hình học đặc trưng nói đến Định lý 3.1.1 cho hội tụ biến phân, Định lý kế tiếp, tính hình học bốn giới hạn song hàm định nghĩa Định nghĩa 3.1.1 nói rõ từ lớp tương đương hội tụ e/h hội tụ lop nói đến Định lý 3.1.1 (Quan sát từ tính chất e đơn giản hội tụ epi:f k → − f epif k → epi f ) Định lý 3.1.3 (Tính hình học lớp tương đương) Cho Φk ∈ fv-biv(Rn × Rm ) với (x, y), ta có (i) epi(le Φk )(·, y) = ∩{yk ∈Dk →y} Liminf k epiΦk (·, yk ); (ii) hypo(lh Φk )(x, ·) = ∩{xk ∈C k →x} Liminf k hypoΦk (xk , ·); (iii) epi(le Φk )(·, y) = Liminf k ∩{yk ∈Dk →y} epiΦk (·, yk ); (iv) hypo (lh Φk )(x, ·) = Liminf k ∩{xk ∈Ck →x} hypoΦk (xk , ·) Chứng minh (i) Chọn (x, α) từ vế phải (i) ta có ∀y k ∈ Dk → y, ∀ε > 0, ∃k0 ∈ N, ∀k ≥ k0 , (C k ∩ B(x, ε)) × (−∞, α + ε) ∩ epiΦk (·, yk ) = ∅ (3.4) 3.4 Ta có tồn xk ∈ C k ∩ B(x, ε) cho Φk (xk , y k ) < α + ε Khi ta có phương trình sau sup inf {y k ∈Dk →y} {xk ∈C k →x} lim sup Φk (xk , y k ) ≤ α (3.5) k Vậy (le Φk )(x, y) ≤ α với (x, α) ∈ epi(le Φk )(·, y) (iii) Ta có chuổi tương đương sau (x, α) ∈epi(le Φk )(., y) ⇔ inf sup lim sup Φk (xk , y k ) ≤ α, {xk ∈C k →x} {y k ∈Dk →y} ⇔ ⇔ k ∀ > 0, ∃xk ∈ C k ∩ B(x, ), ∃k0 ∈ N, ∀k ≥ k0 , ∀y k ∈ Dk → y, Φk (xk , y k ) < α + ∀ > 0, ∃x0 ∈ N, ∀k ≥ k0 , ∀y k ∈ Dk → y, (C k ∩ B(x, ε)) × (−∞, α + ε)∩epiΦk (., y k ) = ∅ ⇔ (x, α) ∈Liminfk ∩yk ∈Dk →y epiΦk (·, y k ) (ii) (iv) chứng minh tương tự Ví dụ sau minh họa lớp tương đương giới hạn e/h giới hạn lop maxinf tương tự, chúng khác thấy song hàm lớp tương đương khác điểm góc, tức là, điểm (x, y) với x ∈ / riC y ∈ / riD Ví dụ cung cấp số hiểu biết khác hội tụ song hàm Nguyễn Trần Phú 19 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Ví dụ 3.1.1 Cho Rn = Rm = R Φk (x, y) = y x đoạn [0, 1]2 với k ∈ N, với quy ước 00 = Khi đó, tập điểm (x, y) nằm đoạn [0, 1]2 Xét hội tụ e/h hội tụ lop, kiểm tra điểm (0, 0), với điểm (x, y) khác thuộc [0, 1]2 ta có,∀xk ∈ C k → x, ∀y k ∈ Dk → y, Φk (xk , y k ) → y x Chúng tơi có (le Φk )(0, 0) = (lh Φk )(0, 0) = 0, le Φk (0, 0) = (lh Φk )(0, 0) = Do đó, lớp tương đương giới hạn e/h Φa (x, y) = y x (x, y) ∈ [0, 1]2 \ {(0, 0)}, a (x, y) = (0, 0), a thuộc [0, 1] Giới hạn minsup-lop maxinf-lop khác (bằng Φ1 Φ0 , tương ứng) Quan sát với Φk Φa , ≤ a ≤ 1, lồi lõm (mặc dù điều kiện đủ Mệnh đề 3.1.2 không thỏa) Nhưng, liên quan đến tính liên tục, chúng tơi thấy song hàm không lsc-usc đoạn [0, 1]2 Ta nhắc lại song hàm có giá trị hữu hạn gọi lsc-usc, lsc theo biến x với y usc theo biến y với x) Thực vậy, Φk usc theo y điểm lsc theo x (0, 0) chúng tơi thấy ví dụ này, tất giới hạn e/h giới hạn lop lồi lõm (tức là, tính lồi - lõm bảo toàn cho hội tụ lop hội tụ e/h, giả định Mệnh đề 3.1.2 không thõa) Tuy nhiên, với vài a đó, giới hạn e/h Φa khơng kế thừa tính liên tục Chính là, Φa (0, ·) khơng usc (0, 0) a < Φa (·, 0) không lsc (0, 0) a > Thật vậy, Định lý 3.1.3 nói le Φk lsc theo biến x với y cố định lh Φk usc theo biến y với x cố định Khi giới hạn minsup-lop nhận giá trị (0, 0), usc theo y khơng lsc theo x (0, 0) Tương tự, giới hạn maxinf-lop nhận giá trị (0, 0) lsc không usc (0, 0) Từ ví dụ này, ta nên ý chúng tơi phải đề cập đến tính khơng đồng giới hạn dãy song hàm bàn luận hội tụ, đặc biệt mối quan hệ loại hội tụ khác Chằng hạn, hàm ý Chú ý 3.2, ứng dụng Mệnh đề 5.1, 5.2 [13] trường hợp C k × Dk → C × D: e/h lop [Φk −−→ Φ Φ lồi - lõm] ⇒ [Φk −→ Φ] e/h Không đầy đủ Thật vậy, Φk −−→ Φ1/2 song hàm lồi - lõm, chúng chúng không hội tụ minsup-lop không hội tụ maxinf-lop đến Φ1/2 Tuy nhiên chúng tơi có tính trùng hội tụ e/h, minsup-lop maxinf-lop Φk hội tụ liên tục,( trích dẫn [12]) Định nghĩa phần mở rộng hội tụ liên tục thông thường miền cố định Cụ thể, f k : Rn → R gọi hội tụ liên tục đến f : R → R với C k → C nếu, với xk → x cho xk ∈ C k với k ∈ N, ta có f k (xk ) → f (x) Một ví dụ đơn giản hội tụ liên tục là: Lớp hyperbolic Paraboloid cổ điển có phương trình Φk (x, y) = y − x2 [−1 − 1/k, + 1/k]2 với k ∈ N hội tụ liên tục đến Φ(x, y) = y − x2 [−1, 1]2 với [−1 − 1/k, + 1/k]2 dần [−1, 1]2 Lưu ý rõ ràng hội tụ liên tục song hàm (liên quan đến hội tụ dãy tập) ta suy tất hội tụ e/h, minsup-lop, maxinf-lop Nguyễn Trần Phú 20 Toán ứng dụng 3.2 Luận văn Thạc sĩ Đặc trưng dạng song hàm thường Định lý 3.2.1 Cho Φ, Φk , k ∈ N, fv-biv(Rn × Nm ) Khi đó, Φk hội tụ e/h đến Φ ηΦk hội tụ e/h đến ηΦ Chứng minh Chúng sử dụng công thức ηe/h chứng minh này, ký hiệu đơn giản η (axt ) → (a) Định nghĩa 2.2.2 Giả sử y ∈ D =domy (ηΦ) xk ∈ C k → x Khi đó, (axt ) Định nghĩa 2.2.2 y k ∈ Rm → y cho lim inf (ηΦk )(xk , y k ) ≥ (ηΦ)(x, y) k (3.6) / Dkt Khi đó, (ηΦkt )(xkt , y kt ) ≡ Đầu tiên ta xét x ∈ C Giả sử tồn dãy y kt ∈ −∞, mâu thuẩn với 3.6 Do đó, y k ∈ Dk với k đủ lớn 3.6 nghĩa liminfk Φk (xk , y k ) ≥ Φ(x, y) thỏa (a) Bây cho x ∈ / C, đó, (ηΦ)(x, y) = +∞ 3.6 hàm ý (ηΦk )(xk , y k ) → +∞ Lặp lại, dãy y kt ∈ / Dkt ta có (ηΦkt )(xkt , y kt ) ≡ −∞, k k k k k mâu thuẩn với 3.6 Do đó, Φ (x , y ) ≡ (ηΦ )(x , y k ) → +∞ thỏa (a) (a)→ (axt ) Cho y ∈ domy (ηΦ) = D xk → x ∈ Rn Nếu x ∈ C ta có dãy xkt ∈ C kt , (a) từ y kt ∈ Dkt → y cho lim inf (ηΦkt )(xkt , y kt ) = lim inf (Φkt )(xkt , y kt ) ≥ (ηΦ)(x, y) k k (3.7) Chúng tơi hình thành dãy y k cách thêm vào, k với xk ∈ / C k , y k ∈ Dk để k k k k k k cho tồn hội tụ: y → y Thì với k mà x ∈ / C , (ηΦ )(x , y ) ≡ +∞ không ảnh hưởng đến liminf biểu thức 3.7 Do đó, ta có biểu thức 3.6 Trong đó, xk ∈ / Ck k k k k k với k đủ lớn, chúng tơi chọn y ∈ D → y để (ηΦ )(x , y ) ≡ +∞ Nếu x ∈ / C, y ∈ D ta có (ηΦ)(x, y) = +∞ Nếu, cho dãy {x}kx∈N , xk ∈ / C k với k đủ lớn, chọn y k ∈ Dk → y ta có (ηΦk )(xk , y k ) ≡ +∞ Mặt khác, Cho dãy xkt ∈ C kt Khi đó, (a) ta có dãy y kt ∈ Dkt → y cho Φkt (xkt , y kt ) → +∞ Thêm vào k với xk ∈ / Φk , thêm {y kt } điểm y k ∈ Dk ta có hội k tụ chặt: y → y Vì, thêm vào k, (ηΦk )(xk , y k ) ≡ +∞, chúng tơi có hội tụ chặt Φk (xk , y k ) → +∞ (bxt ) → (b) Cho x ∈ C y k ∈ Dk → y Điều kiện (bxt ) cho ta dãy xk → x cho lim sup(ηΦk )(xk , y k ) ≤ (ηΦ)(x, y) (3.8) k Nếu y ∈ D ta có dãy xkt ∈ / C kt , (ηΦkt )(xkt , y kt ) ≡ +∞ mâu thuẩn với 3.8 Do đó, với k đủ lớn, xk ∈ C k điểu kiện (b) Nếu xk ∈ C k với k đủ lớn, 3.8 trở thành lim sup(Φk )(xk , y k ) ≤ (Φ)(x, y) (3.9) k Thỏa (b) Nếu y ∈ / D, (ηΦ), (x, y) = −∞ Khi đó, chúng tơi có mâu thuẩn có kt k dãy x ∈ / C Vì vậy, với k đủ lớn, xk ∈ C k thỏa (b) (b) → (bxt ) Cho x ∈domx (ηΦ) = C y k → y ∈ Rm Nếu, k đủ lớn, y k ∈ / Dk , k k k (ηΦ )(·, y ) ≡ −∞ chúng tơi chọn x → x ta có 3.8 Cách khác, Ta có dãy y kt ∈ Dkt Khi đó, từ (b) ta có xkt ∈ C kt → x cho lim sup(ηΦkt )(xkt , y kt ) = lim sup(Φkt )(xkt , y kt ) ≤ (ηΦ)(x, y) k Nguyễn Trần Phú k 21 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Nếu y ∈ D Chọn k cho y k ∈ / Dk , (ηΦk )(·, y k ) ≡ −∞, chúng tơi có xk tùy ý hội tụ chặt x thỏa 3.8 Bây giờ, giả sử y ∈ / D đó, (ηΦ)(x, y) = −∞ Nếu, k đủ lớn, y k ∈ / Dk , (ηΦk )(·, y k ) ≡ −∞ 3.8 rõ ràng chứng minh Mặt khác, chúng tơi có dãy y kt ∈ Dkt , từ (b) ta có xkt ∈ C kt → x cho (ηΦkt )(xkt , y kt ) = (Φkt )(xkt , y kt ) → −∞ Cho k với y k ∈ / Dk , ta có(ηΦk )(·, y k ) ≡ −∞ ta có xk hội tụ x Ta có 3.8 biểu diễn sau lim sup(ηΦk )(xk , y k ) = −∞ = (ηΦ)(x, y) k 3.3 Đặc trưng dạng lát cắt (slice) Mệnh đề 3.3.1 (Đặc trưng hội tụ e/h lát cắt) (i) Điều kiện (a) hội tụ e/h ⇔ ∀xk ∈ C k → x, hliΦk (xk , ·) ≥ Φ(x, ·) với Φk (xk , ·) xác định C k Φ(x, ·) C, ∀xk ∈ C k → x ∈ / C, ∃y k ∈ Dk , Φk (xk , y k ) → +∞ ⇔ ∀xk ∈ C k → x, ta có h điều kiện (b) Φk (xk , ·) → Φ(x, ·) với miền hữu hiệu xác định trên, ∀xk ∈ C k → x ∈ / C, ∃y k ∈ Dk , Φk (xk , y k ) → +∞ (ii) Điều kiện (b) hội tụ e/h ⇔ ∀y k ∈ Dk → y, elsΦk (·, y k ) ≤ Φ(·, y) với Φk (·, y k ) xác định C k Φ(·, y) xác định C, ∀y k ∈ Dk → y ∈ / D, ∃xk ∈ C k , e k k k k k k Φ (x , y ) → −∞ ⇔ ∀y ∈ D → y, ta có điều kiện (a) Φ (·, y k ) → Φ(·, y) với miền hữu hiệu xác định , ∀y k ∈ Dk → y ∈ / D, ∃xk ∈ C k , k k k Φ (x , y ) → −∞ Chứng minh (i) Xét tương đương đầu tiên, theo Định nghĩa hliΦk (xk , y), (về bất đẳng thức li) tức hliΦk (xk , ·) ≤ Φ(x, ·) với Φk (xk , ·) xác định Dk Φ(x, ·) xác định D Về phần điều kiện vô điều kiện (a) tương tự kết luận biểu thức Xét dấu tương đương thứ 2, từ Định nghĩa hội tụ hypo, phần điều kiện (b) Φk (xk , ·), phần điều kiện trừ vơ kết luận mệnh đề (ii) Ta chứng minh tương tự suy luận dựa vào tính đối xứng hội tụ epi/hypo Mệnh đề 3.3.2 ( Đặc trưng hội tụ misup-lopside lát cắt) (i) Điều kiện ⇔ ∀xk ∈ C k → x, hliΦk (xk , ·) ≥ Φ(x, ·) với Φk (xk , ·) xác định C k Φ(x, ·) C, ∀xk ∈ C k → x ∈ / C, ∃y k ∈ Dk , Φk (xk , y k ) → ∞ ⇔ h ∀xk ∈ C k → x, ta có điều kiện (b) Φk (xk , ·) → Φ(x, ·) với miền hữu hiệu xác định trên, ∀xk ∈ C k → x ∈ / A, ∃y k ∈ Dk , Φk (xk , y k ) → +∞ (ii) Điều kiện ⇔ ∀x ∈ C, ∃xk ∈ C k → x cho hlsΦk ≤ Φ(xk , ·) xác định D min{yk →y} limk Φk (xk , y k ) = −∞ y ∈ / D Nguyễn Trần Phú 22 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Chứng minh (i) Chứng minh tương tự (i) Mệnh đề (ii) Điều kiện (b) Định nghĩa ∀x ∈ C, ∃xk ∈ C k → x, ∀y k ∈ Dk → y, lsk Φk (xk , y k ) ≤ Φ(x, y) y ∈ D Φk (xk , y k ) → −∞ y ∈ D kết hợp với định nghĩa giới hạn hội tụ hypo ta có điều phải chứng minh mins Bổ đề 3.3.1 Cho Φk → Φ Ta có h (i) tồn xk ∈ C k → x ∈ C cho Φ(xk , ·) → Φ(x, ·) D max{yk ∈Dk →y∈D} limk Φ(xk , y k ) = +∞ với xk ∈ C k → x ∈ / C; e h (ii) Khi Φk không phụ thuộc vào y (x, tương ứng), Φ(xk , ·) → Φ(x, ·) (Φ(·, y k ) → Φ(·, y), tương ứng) Chú ý 4: (i) Ta có đặc trưng hội tụ maxinf-lopside lát cắt phát biểu maxi sau: Cho Φk → Φ Ta có e (a) Tồn y k ∈ Dk → y ∈ D cho Φ(·, y k ) → Φ(·, y) C min{ xk ∈ C k → x ∈ C}limk Φ(xk , y k ) = −∞ với y k ∈ Dk ∈ / y ∈ D; h (b) Khi Φk không phụ thuộc vào x ( vào y, tương ứng), Φ(·, y k ) → Φ(·, y) e (Φ(xk , ·) → Φ(x, ·), tương ứng) (ii) Phát biểu tương ứng với (i) Hê ta nên ý vai trò x, y, hội tụ epi hội tụ hypo Hơn nữa, khơng có mối quan hệ trực tiếp hội tụ lopside h e Φk đến Φ Φ(·, y) → Φ(·, y) với y Φ(x, ·) → Φ(x, ·) với x Nếu Φk độc lập biến từ (ii) Hệ điều kiện đủ cho hội tụ lopside đến Φ 3.4 Đặc trưng Legendre-Fenchel riêng phần: Trong phần này, chúng tơi xét song hàm lồi lõm fv-biv(Rn × Rm ) Trong [[16],[17]], đối ngẫu Legendre-Fenchel đối ngẫu xiên giới thiệu phát triển cho song hàm lồi - lõm có giá trị thực mở rộng Tính song liên tục toán tử cho song hàm có giá trị thực mở rộng nghiên cứu [[2],[3],[22]] Trong phần này, chúng tơi thiết lập tính song liên tục cho song hàm giá trị thực hữu hạn Trước hết chúng tơi tóm tắt vài ký hiệu tương đương minimax tính đóng cho song hàm lồi lõm giá trị thực hữu hạn Những khái niệm nói đến [[16],[17],[18]] cho song hàm có giá trị thực mở rộng chúng tơi xác định đối ngẫu xiên cho Legendre-Fenchel cho song hàm lồi - lõm Φ fv-biv(Rn × Rm ) sau Cho x ∈ C k ∈ Rm lấy đối ngẫu xiên hàm lồi Φ(x, ·): Fˆ (x, k) := sup{Φ(x, y) + k, y } y∈D Khi đó, Fˆ hàm lồi đóng Miền hữu hiệu domFˆ = {(x, k)|x ∈ C, Fˆ (x, k) < +∞} lồi gọi F := Fˆ |domFˆ họ hàm lồi Φ (F hàm thành Nguyễn Trần Phú 23 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ phần fv-fcn(Rn+m ) với miền hữu hiệu domF =domFˆ ), khơng phần tử fvbiv(Rn × Rm ) Tương tự, cho y ∈ D, lấy đối ngẫu xiên hàm Φ(· · · , y) ∈ fv-fcn(Rn ), với u ∈ Rn , ˆ y) := inf {Φ(x, y) − x, u } G(u, x∈C ˆ ˆ Và xác định họ lõm Φ G := G| ˆ với miền hữu hiệu domG =domG Song domG n m hàm lồi - lõm Φ Φ fv-biv (R × R ) gọi tương đương minimax chúng có họ lồi lõm Khi đó, chúng tơi có lớp tương đương minimax Φ, lớp mà có dạng khoảng [Φ, Φ] song hàm Φ Φ gọi phần tử dưới, tương ứng Hơn nữa, lớp tương đương minimax hoàn toàn xác định phần cốt lõi Φ hàm lồi Φ(· · · , y) với y ∈ D cl2 Φ xác định dãy hàm lõm Φ(x, · · · ), Tại đây, nhân Φ hiểu giới hạn Φ riC × riD Gọi cl1 Φ hàm có từ tập đóng Φ hàm lồi Φ(·, y) với y ∈ D cl2 Φ định nghĩa tương tự, dùng tập lõm Φ(x, ·) chúng tơi nói Φ đóng Φ tương đương minimax cho cl1 Φ cl2 Φ Chú ý phải tạo khác biệt tương đương minimax tương đương e/h với tập đóng hàm thành phần song hàm Do khái niệm tương đương minimax có ý nghĩa, chúng tơi liệt kê số tính chất Mệnh đề 3.4.1 Khi cần khái quát định nghĩa đối ngẫu đối ngẫu xiên [[16],[17]] Điều đáng ý có song hàm đơn lớp tương đương minimax Cho song hàm lồi - lõm Φ ∈fv-biv(Rn × Rm ), lớp tương đương minimax đối ngẫu, chứa phần tử tập song hàm lồi - lõm, khoản song hàm với thành phần sau L(u, v) := sup inf { x, u + y, v − Φ(x, y)}, x∈C y∈D L(u, v) := inf sup{ x, u + y, v − Φ(x, y)} y∈D x∈C Và lớp tương đương minimax đối ngẫu xiên, chứa phần tử song hàm lồi - lõm, khoản song hàm với thành phàn sau J(u, v) := sup inf {Φ(x, y) − x, u + y, v }, x∈C y∈D J(u, v) := inf sup{Φ(x, y) − x, u + y, v } y∈D x∈C Mệnh đề 3.4.1 Cho E tập hợp song hàm lồi - lõm đóng fv-biv(Rn × Rm ) Khi đó, tính chất sau tương đương (i) E lớp tương đương minimax; (ii) Mọi Φ ∈ E đối ngẫu (thuộc lớp tương đương minimax); (iii) Mọi Φ ∈ E đối ngẫu xiên (thuộc lớp tương đương minimax); (iv) Mọi Φ ∈ E cl1 Φ cl2 Φ; (v) Mọi Φ ∈ E có miền xác định C × D giá trị, ngoại trừ điểm góc (x, y) ∈ C × D với x ∈ / riC y ∈ / riD; (vi) Mọi Φ ∈ E giá trị phân biệt ∂Φ(x, y) miền xác định (biết ∂Φ(x, y) ∈ / ∅ x ∈ riC y ∈ riD) Nguyễn Trần Phú 24 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Chú ý song hàm lồi - lõm tương đương minimax điểm yên ngựa giá trị Một song hàm lồi - lõm đóng chúng lồi-lõm đối ngẫu xiên Với Φ ∈ [Φ, Φ], cl1 Φ = Φ; cl2 Φ = Φ Theo định lý [17] ηΦ với Φ ∈fv-biv(Rn × Rm ) η hiểu ηe/h ηh/e theo định nghĩa Khi song hàm tương đương minimax ηΦ miền xác định C × D Khơng khó để có mối quan hệ tương ứng sau Mệnh đề 3.4.2 Một phép tương ứng hàm lồi - lõm đóng có giá trị thực hữu hạn F fv-fcn(Rn+m ), hàm lồi - lõm có giá trị thực hữu hạn G fvfcn(Rn+m ), (thuộc lớp tương đương minimax) tập song hàm lồi - lõm đóng Φ fv-biv(Rn × Rm ) (thuộc lớp tương đương minimax) tập song hàm lồi - lõm đóng H fv-biv(Rn × Rm ) Mối quan hệ F G đối ngẫu xiên Φ H đối ngẫu xiên tương ứng Thành phần lớp tương đương minimax Φ tương ứng với F G sau Φ(x, y) = {G(u, y) + x, u }, sup u∈domG(·,y) Φ(x, y) = inf {F (x, v) − y, v } v∈domF(x,·) (3.10) (3.11) Và Φ, Φ miền xác định song hàm fv-biv(Rn × Rm ) Khái niệm sau hội tụ e/h mở rộng đối trọng khái niệm nhăc đến [4] cho song hàm có giá trị thực mở rộng Định nghĩa 3.4.1 Cho Φk , Φ ∈fv-biv(Rn × Rm ) với k ∈ N Φk gọi hội tụ epi/hypo mở rộng Φ cl1 le Φk ≤ ηΦ ≤cl2 (lh Φk ) Chúng cần khái niệm thiết lập bổ đề sau để lập tính song liên tục biến đổi Legendre-Fenchel riêng phần Một dãy {f k }k∈N fv-fcn(Rn ) gọi biến đổi [1] tồn dãy giới hạn {xk }k∈N cho xk ∈ C k lsk f k (xk ) < +∞ Tính chất dễ dàng chấp nhận Giả sử, {f k }k∈N hội tụ epi, đó, điều kiện (b) Định nghĩa 1.2.2, dãy biến đổi Nhắc lại vài định nghĩa sau Cho song hàm lồi lõm Φ ∈fv-biv(R ×R ), đối ngẫu lớp tương đương minimax, chứa song hàm lồi lõm khoảng song hàm với cận cận sau đây: L(u, v) := sup inf { x, u + y, v − Φ(x, y)} x∈C y∈D L(u, v) := inf sup{ x, u + y, v − Φ(x, y)} y∈D x∈C Và đối ngẫu xiên lớp tương đương minimax chứa song hàm lồi lõm khoảng với cận cận sau J(u, v) := sup inf {Φ(x, y) − x, u + y, v } x∈C y∈D J(u, v) := inf sup{Φ(x, y) − x, u + y, v } y∈D c∈C Ta ý tất song hàm lồi lõm tương đương minimax có điểm yên ngựa giá trị yên ngựa Một song hàm lồi lõm đóng họ lồi lõm đối ngẫu xiên với nhau, với Φ ∈ [Φ, Φ],ta có cl1 Φ = Φ cl2 Φ = Φ Nguyễn Trần Phú 25 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Áp dụng định lý [17] cho ηΦ với Φ ∈fv-biv(Rn × Rm ) η ηe/h ηh/e định nghĩa phần Chương mục 2.2, tất song hàm tương đương minimax với ηΦ có miền hữu hiệu C × D, khơng khó để đạt mối quan hệ tương ứng quan trọng sau Mệnh đề 3.4.3 Có tương ứng 1-1 hàm lồi - đóng giá trị thực hữu hạn F fv-fcn(Rn+m ), hàm lõm đóng giá trị thực hữu hạn G fv-fcn(Rn+m ) (lớp tương đương minimax) cuả song hàm lồi lõm đóng Φ fv-biv(Rn × Rm ) (lớp tương đương minimax của) song hàm lồi lõm đóng H fv-biv(Rn × Rm ), mối quan hệ tương đương Φ G đối ngẫu xiên với Φ H đối ngẫu xiên với nhau, F G họ Φ H, phần tử lớp tương đương minimax Φ tương ứng với F G Φ(x, y) = sup {G(u, y) + x, u } u∈domG(·,y) Φ(x, y) = inf {F (x, v) − y, v } v∈domF(x,·) (3.12) hạn chế Φ Φ với miền chúng để có song hàm fv-biv(Rn × Rm ) Ký hiệu sau hội tụ epi/hypo mở rộng tương tự cho fv-biv(Rn × Rm ) ký hiệu giới thiệu [4] cho song hàm giá trị thực mở rộng Định nghĩa 3.4.2 Cho Φk , Φ ∈fv-biv(Rn × Rm ),k ∈ N, Φk gọi epi/hypo hội tụ theo nghĩa mở rộng đến Φ nếu: cl1 Φk ≤ ηΦ ≤cl2 (lh Φk ) Quan sát ký hiệu yếu hội tụ e/h, hội tụ thông thường khoảng giới hạn e/h mở rộng lớn giới hạn e/h Chúng cần ký hiệu hệ sau việc thiết lập tính song liên tục biến đổi Legendre-Fenchel riêng phần Cho dãy {f k }, k ∈ N fv-fcn(Rn ) gọi hiệu chỉnh [1] tồn dãy bị chặn {xk }, k ∈ N cho {xk ∈ C k } lim sup f k (xk ) < +∞ Tính chất dễ thỏa, lấy ví dụ, {f k }, k ∈ N hội tụ epi theo điều kiện (b) định nghĩa hội tụ epi dãy hiệu chỉnh Bổ đề 3.4.1 (Định lý 3.7 [1]) Nếu dãy {f k }k∈N thuộc tập lồi đóng fv-fcv(Rn ) biến đổi (e-lik f k )*=e-lsk (f k )* Định lý 3.4.4 (Tính song liên tục biến đổi Legendre-Fenchel riêng phần) Cho Φk , Φ ∈fv-biv(Rn × Rm ) bị đóng, tập lồi - lõm F k , F tập lồi Cho dãy {F k }k∈N hoặc{(F k )∗ }k∈N bị biến đổi trên, tính chất sau tương đương (i) F k hội tụ epi F; (ii) Φk hội tụ epi/hypo mở rộng Φ; với Φk Φ lớp tương đương k minimax chúng với Φk ∈ [Φk , Φ ], ∀Φ ∈ [Φ, Φ] bao gồm điểm (x, y) cho Nguyễn Trần Phú 26 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ cl1 (le Φk )(x, y) ≤ (ηΦ)(x, y) ≤cl2 (lh Φk )(x, y) Chứng minh (i)→(ii) Trước hết chứng minh vế trái (ii) Quan sát rằng, xét điểm x liên quan, Fˆ (x, v) := sup {(ηΦ)(x, y) + v, y } y∈Rm Ta có 3.11, (ηΦ)(x, y) = infm {Fˆ (x, v) − y, v } = v∈R inf {F (x, v) − y, v } v∈domF(x,·) (3.13) Do theo (x, y) cho (ηΦ)(x, y) < α, với α ∈ (−∞, +∞], (khi (ηΦ)(x, y) ∈ [−∞, +∞)) Theo 3.13, tồn v ∈ domF(x, ·) cho F (x, y) − y, v < α Với e y k ∈ Dk → y β ∈ R với β ∈ R cho F (x, v) < β,với F k → − F , tồn (xk , v k ) ∈ domFk → (x, v)(với xk ∈ C k ) cho lim supk F k (xk , v k ) < β Do đó, k cơng thức Φ tương ứng với 3.11, ta có k lsk Φ ≤ lsk {F k (xk , v k ) − y k , v k } ≤ β − y, v Với β F ( x, v), ta có k lsk Φ (xk , y k ) ≤ F (x, v) − y, v < α Cho α (ηΦ)(x, y), ta có k lsk Φ (xk , y k ) ≤ (ηΦ)(x, y) Nếu (ηΦ)(x, y) = +∞, rõ ràng thỏa điều kiện Do đó, k le Φ ≤ ηΦ Vì cl1 (ηΦ) = ηΦ, cho chúng tơi k cl1 (le Φk ) ≤cl1 (le Φ ) ≤cl1 (ηΦ) = ηΦ ≤ ηΦ, Ta nhận vế trái bất đẳng thức Giờ chúng tơi quan tâm phía phải (của (ii)) Ta có ˆ y) + x, u } = − inf {(Fˆ ) ∗ (u, y) − x, u } ηΦ(x, y) = sup {G(u, n u∈R u∈Rn ˆ = −(Fˆ ) ∗ Khi đó, Với G −ηΦ(x, y) = infn {F ∗ (u, y) − x, u } u∈R Áp dụng kết chứng minh trước ta có −ηΦ, −Φk (xk , y k ), (F k ) ∗ k (uk , y k ), y k , xk tương tự ηΦ, Φ (xk , y k ), F k (xk , v k ), xk , y k , thấy rằng, cho (x, y) với ηΦ(x, y) > −α ∈ [−∞, +∞) với xk ∈ C k → x, tồn y k ∈ Dk → y thỏa lim sup(−Φk (xk , y k )) ≤ −ηΦ(x, y) k Nếu ηΦ(x, y) = −∞, bất đẳng thức tương đương Do đó, lh Φk ≥ ηΦ Từ đó, ta có Nguyễn Trần Phú 27 Tốn ứng dụng Luận văn Thạc sĩ cl2 (lh Φk ) ≥cl2 (lh Φk ) ≥cl2 (ηΦ) = ηΦ ≥ ηΦ, (i)→(ii) chứng minh (ii)→(i) phải chứng minh, tất điểm liên quan e − lsk Fk ≤ ηF ≤ e − lik Fk (3.14) Chúng kiểm tra vế phải bất đẳng thức ta có, với điểm (x, v) (x, y), ηF (x, v) = sup {(ηΦ)(x, y) + y, v } ≤ sup y∈Rm {cl2 (lh Φk )(x, y) + y, v } y∈Rm (3.15) k = sup {(lh Φ )(x, y) + y, v } y∈Rm Bất đẳng thức từ (ii) đẳng thức cuối thỏa cl2 xóa lấy (supremum) Theo định nghĩa lh Φk , với y liên quan, α ∈ [−∞, +∞) với α < (lh Φk )(x, y) (khi (lh Φk )(x, y) ∈ (−∞, +∞]), xk ∈ C k → x, tồn y k ∈ Dk → y cho lik Φk (xk , y k ) + y, v ≥ α + y, v Trái lại, với (xk , v k ) ∈domF k , F k (xk , v k ) = sup {Φk (xk , y) + y, v k } y∈Dk Do đó, với v k → v với (xk , v k ) ∈domF k , lik F k (xk , v k ) ≥lik Φk (xk , y k ) + y, v Khi α (lh Φk )(x, y), ta có lik Fk (xk , vk ) ≥ (lh Φk )(x, y) + y, v (3.16) Bất đẳng thức có nghĩa (lh Φk )(x, y) = −∞ Kết hợp 3.15 3.16 ta có (ηF )(x, v) ≤(e-lik F k )(x, v) ta có vế phải 3.14 cl1 (ηΦ), điều suy k cl1 (le Φk ) ≤cl1 (le Φ ) ≤cl1 (ηΦ) = ηΦ ≤ ηΦ Ta được, vế trái bất đẳng thức thỏa Nguyễn Trần Phú 28 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ KẾT LUẬN Luận văn tổng hợp kết số báo tạp chí tốn học quốc tế nhóm Tối ưu Miền Nam hội tụ biến phân ứng dụng chúng vào việc nghiên cứu tính xấp xỉ tốn có liên quan tối ưu Trong luận văn, chúng tơi trình bày cách đầy đủ hội tụ biến phân song hàm, đặc biệt hội tụ epi/hypo song hàm xác định miền chữ nhật Bên cạnh đó, chúng tơi trình bày đặc trưng chúng nhầm nghiên cứu hai toán tối ưu toán tựa cân toán tựa tối ưu đa mục tiêu, ứng dụng điển hình việc ứng dụng tính xấp xỉ vào toán liên quan đến tối ưu Trong thời gian tới, cố gắng tiếp tục nghiên cứu ứng dụng hội tụ biến phân, đặc biệt hội tụ lop Trong luận văn này, cố gắng trình bày cách có hệ thống kết nghiên cứu tác giả Tuy nhiên khơng tránh khỏi sai sót, kính mong nhận đóng góp ý kiến Qúy Thầy, Cơ, Giáo viên hướng dẫn bạn, góp phần giúp luận văn hoàn chỉnh Nguyễn Trần Phú 29 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Tài liệu tham khảo [1] Attouch, H.: Variational Convergence for Functions and Operators Pitman, London (1984) [2] Attouch, H., Azé, D., Wets, R.J-B.: On continuity of the partial Legendre-Fenchel transform: convergence of sequences of augmented Lagrangian functions, Moreau-Yosida approximates and subdifferential operators In: Hiriart - Urruty J.-B (ed) Fermat Days 85: Mathematics for Optimization, pp 1–42, North Holland (1986) [3] Attouch, H., Azé, D., Wets, R.J.-B.: Convergence of convex-concave saddle functions: continuity properties of the Legendre–Fenchel transform with applications to convex programming and mechanics Ann.Inst H Poincaré: Analyse Nonlinéaire 5, 537–572 (1988) [4] Attouch, H., Wets, R.J-B.: A convergence theory for saddle functions Trans Am Math Soc 280, 1-41(1983) [5] Attouch, H., Wets, R.J-B.: Approximation and convergence in nonlinear optimization, In Nonlinear Programming, O Mangasarian, R Meyer and S Robinson, eds., Academic Press, New York, 4, 367-394 (1981) [6] Attouch, H., Wets, R.J-B.: Convergence des points min/sup et de points fixes, Comp Ren Acad Sci Paris, 296, 657-660 (1983) [7] Aubin,J.-P., Frankowska, H.: Set-Valued Analysis, Birkhăauser, Boston, (1990) Nguyn Trn Phỳ 30 Toỏn ứng dụng Luận văn Thạc sĩ [8] Bagh, A.: Epi/hypo-convergence: the slice topology and saddle point approximations, J Appl Anal 4, 13-39 (1996) [9] Diem, H T H., Khanh, P Q.: Criteria for Epi/Hypo Convergence of Finite-Valued Bifunctions, Vietnam J Math (2015) [10] Diem, H T H., Khanh, P Q.: Approximations of OptimizationRelated Problems in Terms of Variational Convergence, Vietnam J Math (2016) [11] Jofré, A., Wets, R.J-B.: Variational convergence of bivariate functions: lopsided convergence Math Program B 116, 275-295 (2009) [12] Jofré, A., Wets, R.J-B.: Variational convergence of bifunctions: motivating applications SIAM J Optim 24 1952-1979 (2014) [13] López, R.: Approximations of equilibrium problems SIAM J Control Optim 50, 1038-1070 (2012) [14] López, R., Vera, C.: On the set of weakly efficient minimizers for convex multiobjective programming, Oper Res Lett 36, 651-655 (2008) [15] Rockafellar, R.T., Wets, R.J-B.: Variational Analysis Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft 3rd edn., vol 317 Springer, Berlin Heidelberg New York (2009) [16] Rockafellar, R.T.: Minimax theorems and conjugate saddlefunctions Math Scand 14, 151-173 (1964) [17] Rockafellar, R.T.: A general correspondce between dual minimax problems and convex programs Pac J Math 25, 597-611 (1968) [18] Rockafellar, R.T.: Convex Analysis Princeton University Press, Princeton (1970) Nguyễn Trần Phú 31 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ [19] Soueycatt, M.: Stabilité quantitative des fonctions convexesconcaves Topologie épi/hypo-distance, Séminaire d’Anal Conv., Univ Montpelier II, 20, 2.1-2.54 (1990) [20] Soueycatt, M.: Analyse épi/hypo-graphique des problemes de points-selles, PhD thesis, Univ Montpelier, 21, 13.1-13.49 (1991) [21] Volle, M.: Contributions la Dualité en Optimisation et l’Epiconvergence, PhD thesis, Univ Pau, France, (1986) [22] Wright, S.E.: Consistency of primal-dual approximations for convex optimal control problems SIAM J.Control Optim 33, 1489–1509 (1995) [23] Walkup, D.W., Wets, R.J-B.: Continuity of some convex-conevalued mappings, Proc Amer Math Soc., 18, 229-235 (1967) [24] Wijsman, R.A.: Convergence of sequences of convex sets, cones and functions, Bull Amer Math Soc.70, 186-188 (1964) [25] Wijsman, R.A.: Convergence of sequences of convex sets, cones and functions II, Trans Amer Math Soc 123, 32-45 (1966) Nguyễn Trần Phú 32 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ LÝ LỊCH TRÍCH NGANG I Sơ lược cá nhân: Họ tên: NGUYỄN TRẦN PHÚ Ngày, tháng, năm sinh: 07/10/1993 Nơi sinh: Bến Tre Địa liên lạc: 15 Hồ Xuân Hương, Phường 14, Quận Bình Thạnh, TP.HCM II Quá trình đào tạo: Thời gian Tên trường Chuyên ngành Hình thức đào tạo Giảng dạy mơn Đại Học Bách Khoa 2016 - đến Tốn Ứng Dụng học luận văn Tp Hồ Chí Minh thạc sĩ Đại Học Công Nghiệp 2011 - 2015 Thực Phầm Tp Hồ Tài Chính Ngân Hàng Chính Quy Chí Minh III Q trình cơng tác: Thời gian 2017 - 2019 Cơ quan Ngân Hàng TMCP Á Châu Chức vụ Nhân viên quan hệ khách hàng Cán quan Ngân Hàng TMCP Công Thương Việt 2019 - hệ khách Nam hàng Nguyễn Trần Phú 33 ... loại hội tụ biến phân từ hội tụ biến phân hàm thành phần hội tụ epi, hội tụ hypo loại hội tụ học môn học học bậc đại học cao học, đến hội tụ biến phân song hàm miền chữ nhật hội tụ epi/hypo hội tụ. .. vấn đề sau: Hội tụ biến phân hàm thành phần mối quan hệ loại hội tụ giải tích hình học Hội tụ biến phân song hàm miền chữ nhật Các đặc trưng hội tụ biến phân Cách tiếp cận trình bày cách có hệ... 1.2.1 Hội tụ epi tính chất biến phân 1.2.2 Hội tụ hypo tính chất biến phân 1.3 Quan hệ hội tụ epi, hypo hội tụ cổ điển Chương HỘI TỤ BIẾN PHÂN CỦA SONG HÀM TRÊN MIỀN CHỮ NHẬT