BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ———————o0o——————– ĐỖ THỊ THANH HOA TIẾP CẬN TỒN CỤC GIẢI BÀI TỐN BÈ CỰC ĐẠI VỚI TRỌNG SỐ DƯƠNG TRÊN CÁC CẠNH Chuyên ngành: Toán ứng dụng LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN CẢNH NAM HÀ NỘI - 2016 Mục lục Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức giải tích lồi 1.2 Hàm lồi 1.3 Dưới vi phân 1.4 Quy hoạch DC DCA 10 1.5 1.4.1 Bài toán tối ưu 10 1.4.2 Bài toán quy hoạch DC 13 1.4.3 DCA 13 Bài toán bè cực đại với trọng số dương cạnh 17 1.5.1 Đồ thị bè 17 1.5.2 Mơ hình tốn học tốn bè cực đại với trọng số dương cạnh 20 Thuật toán nhánh cận giải tốn tồn phương với biến 0-1 22 Kỹ thuật ước lượng cận DCA kết hợp với thuật tốn nhánh cận 27 3.1 Tìm cận 27 3.2 Ước lượng tìm cận 28 3.3 Chia nhánh 30 3.4 Thuật toán toàn cục 30 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 MỞ ĐẦU Bài toán quy hoạch tồn phương với biến 0-1 lớp tốn tối ưu có nhiều ứng dụng quan trọng nhiều lĩnh vực khác nhau: kinh tế, tài chính, cơng nghiệp, kỹ thuật, Bài tốn " Bè cực đại có trọng số dương cạnh" trường hợp riêng tốn quy hoạch tồn phương với biến 0-1 Đây toán sở để giải toán phân cơng, tốn quy hoạch logic Bài tốn "Bè cực đại đồ thị có trọng số dương cạnh" chứng minh tốn NP khó Luận văn trình bày cách tiếp cận tối ưu tồn cục để giải tốn kỹ thuật ước lượng cận dựa DCA kết hợp với thuật tốn nhánh cận Nội dung khóa luận gồm chương : Chương : Kiến thức chuẩn bị trình bày sơ lược số kiến thức sử dụng chương sau Phát biểu toán Bè cực đại đồ thị có trọng số dương cạnh Chương : Thuật toán nhánh cận giải toán quy hoạch tồn phương với biến 0-1 trình bày thuật tốn nhánh cận tổng quát thuật toán nhánh cận giải tốn quy hoạch tồn phương với biến 0-1 Chương : Kỹ thuật ước lượng cận DCA kết hợp với thuật tốn nhánh cận trình bày cách tiếp cận tồn cục giải tốn bè cực đại đồ thị có trọng số dương các cạnh, cụ thể kỹ thuật ước lượng cận DCA kết hợp với thuật toán nhánh cận LỜI CẢM ƠN Với tình cảm chân thành, tơi tin xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới giáo viên hướng dẫn TS.Nguyễn Cảnh Nam - Giảng viên Viện Toán ứng dụng Tin học, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Tôi xin chân thành cảm ơn tới tập thể thầy Viện Tốn ứng dụng Tin học, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội góp ý giúp đỡ tơi nhiều q trình làm luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Viện sau đại học, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội tạo môi trường tốt cho tơi q trình học tập làm luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2016 Chương Một số kiến thức chuẩn bị ‘ 1.1 Một số kiến thức giải tích lồi Cho hai điểm x1 x2 Tập tất điểm có dạng x = λx1 + (1 − λ) x2 = x2 + λ x1 − x2 với ≤ λ ≤ gọi đoạn thẳng nối x1 x2 , kí hiệu x1 , x2 Tập M ⊆ Rn gọi tập lồi chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm thuộc nó, tức với x1 , x2 ∈ M ≤ λ ≤ ta có λx1 + (1 − λ) x2 ∈ M Ngược lại, M không thỏa mãn tính chất M tập khơng lồi Định lý 1.1[7] Giao hai tập lồi tập lồi Chứng minh: Giả sử M, M’ hai tập lồi Lấy điểm x1 , x2 ∈ M ∩ M’ Khi đoạn thẳng x1 , x2 vừa nằm trọn M vừa nằm trọn M’ Do đoạn thẳng x1 , x2 nằm trọn M∩M’ hay M∩M’ tập lồi Hệ 1.1 Giao họ tập lồi tập lồi Cho k điểm x1 , x2 , , xn ∈ Rn Ta gọi điểm x ∈ Rn có dạng x = n n i i=1 λi x với λi ≥ 0, ∀i = 1, n i=1 λi = tổ hợp lồi điểm n x , x , , x Mệnh đề 1.1 Một tập M ⊂ Rn lồi chứa tất tổ hợp lồi phần tử thuộc Mệnh đề 1.2 (i) Nếu M tập lồi α ∈ R αM = {y | y = αx, x ∈ M} tập lồi (ii) Nếu M1 , M2 hai tập lồi M1 + M2 = {x | x = x1 + x2 , x1 ∈ M1 , x2 ∈ M2 } tập lồi Bao lồi tập D ⊂ Rn giao tất tập lồi chứa D kí hiệu convD Đó tập lồi nhỏ chứa D Mệnh đề 1.3 Bao lồi tập D ⊂ Rn chứa tất tổ hợp lồi phần tử thuộc 1.2 Hàm lồi Cho hàm f xác định tập lồi X ⊆ Rn Ta gọi f hàm lồi f λx1 + (1 − λ) x2 ≤ λf x1 + (1 − λ) f x2 với x1 , x2 ∈ X số thực λ ∈ [0, 1] Hàm f gọi hàm lồi chặt f λx1 + (1 − λ) x2 < λf x1 + (1 − λ) f x2 với x1 , x2 ∈ X , x1 = x2 < λ < Miền xác định hữu hiệu hàm f , kí hiệu dom f , định nghĩa là: dom f := {x ∈ X | f (x) < +∞} Hàm f gọi hàm lõm (hàm lõm chặt) tập lồi X −f hàm lồi (hàm lồi chặt) Cho hàm lồi f1 xác định tập lồi X1 ⊆ Rn , hàm lồi f2 xác định tập lồi X2 ⊆ Rn số thực λ ≥ Các phép toán λf1 , f1 +f2 , max {f1 , f2 } định nghĩa sau (λf1 ) (x) := λf1 (x) (f1 + f2 ) (x) := f1 (x) + f2 (x) max {f1 , f2 } (x) := max {f1 (x) , f2 (x)} Nhận xét: Cho f1 hàm lồi X1 , f2 hàm lồi X2 số thực α > 0, β > Khi hàm αf1 + βf2 max {f1 , f2 } lồi X ∩ X2 Ma trận vuông, cấp n, đối xứng Q gọi xác định dương (nửa xác định dương) xT Qx > với ∀x = 0, x ∈ Rn ( xT Qx ≥ với ∀x ∈ Rn ) Ma trận nửa xác định dương Q kí hiệu Q Ma trận Q gọi xác định âm (nửa xác định âm) −Q ma trận xác định dương (nửa xác định dương) Ta nhận thấy phần tử đường chéo ma trận xác định dương (nửa xác định dương) dương (không âm) Các giá trị riêng ma trận xác định dương (nửa xác định dương) dương (không âm) Nếu f hàm lồi xác định tập lồi mở X ⊆ Rn f liên tục tập X Cho hàm f xác định Rn véc tơ d ∈ Rn \ {0} Giới hạn f (x0 +td)−f (x0 ) t t→0 lim+ tồn (hữu hạn vô cùng), gọi đạo hàm theo hướng d hàm f điểm x0 ∈ Rn kí hiệu f x0 , d T Nếu véc tơ d = ei , ei = 0, , , , i ∂f (x0 ) ∂xi f (x0 +tei )−f (x0 ) t t→0 = lim+ = f x0 , ei Nhận xét: Cho hàm f xác định Rn điểm x0 ∈ Rn Nếu f khả vi x0 f x0 , d = ∇f x0 , d ∀d ∈ Rn \ {0} Nhận xét: Nếu f : X → R ∪ +∞ hàm lồi xác định tập lồi X ⊆ Rn có đạo hàm theo hướng d ∈ Rn \ {0} điểm x0 ∈ f f x0 , d ≤ f x0 , d − f x0 Nhận xét Nếu f hàm lồi khả vi xác định tập lồi mở X f có đạo hàm theo hướng d ∈ Rn \ {0} điểm x0 ∈ dom f f x0 , d = f x0 , d ≤ f x0 , d − f x0 Định lý 1.2[7] Cho f hàm lồi khả vi tập lồi mở X ⊆ Rn Khi đó: i) Hàm f hàm lồi X khi: f (y) − f (x) ≥ f (x) , y − x ∀x, y ∈ X ii) Hàm f hàm lõm X khi: f (y) − f (x) ≤ f (x) , y − x ∀x, y ∈ X Định lý 1.3[7] Cho f hàm khả vi hai lần tập lồi mở X ⊆ Rn Khi đó: i) Hàm f hàm khả vi X ma trận Hessian nửa xác định dương X , tức với x ∈ X ta có yT 2 f (x) xác định dương X , f (x) y > ∀y ∈ Rn \ {0} ii) Hàm f hàm lõm X ma trận Hessian nửa xác định âm X , tức với x ∈ X ta có yT 2 f (x) f (x) y ≤ ∀y ∈ Rn Hàm f hàm lõm chặt X với x ∈ X yT f (x) f (x) y ≥ ∀y ∈ Rn Hàm f hàm lồi chặt X tức với x ∈ X ta có yT 2 f (x) xác định âm X , tức f (x) y < ∀y ∈ Rn \ {0} Hệ 1.3 Cho hàm toàn phương: f (x) = x, Qx + x, a + α Q ma trận đối xứng cấp n × n đó: i) f hàm lồi (lồi chặt) Rn Q nửa ma trận xác định dương (xác định dương) ii) f hàm lõm (lõm chặt) Rn Q ma trận nửa xác định âm (xác định âm) Ví dụ 1.1: Cho f (x1 , x2 ) = 6x21 + 5x1 x2 + 4x22 ∇f (x) = ∇2 f (x) = fx1 fx2 = fx”1 x1 fx”1 x2 fx”2 x1 fx”2 x2 12x1 +5x1 5x2 +4x2 = 12 Vì ma trận Hessian ∇2 f (x) xác định dương nên hàm f cho hàm lồi chặt Rn Hàm DC Cho tập lồi Ω ⊂ X không gian Euclide hữu hạn chiều Một hàm f gọi hàm DC Ω f (x) = f1 (x) − f2 (x) với f1 , f2 hàm lồi Ω Định lý 1.5[3] Mọi hàm lồi hay lõm hàm DC Định lý 1.6[3] Dạng tồn phương f (x) = x, Qx hàm DC Định lý 1.7[3] Nếu fi , i = 1, 2, 3, , m hàm DC Ω hàm sau hàm DC: (a) m i=1 αi fi (x) với α ∈ R (b) g (x) = max {f1 (x) , , fm (x)} (c) g (x) = {f1 (x) , , fm (x)} 1.3 Dưới vi phân Cho hàm f xác định tập mở X ⊆ Rn Giả sử tồn x0 ∈ X , tồn đạo hàm riêng hàm f theo biến Khi đó, véc tơ Hình 1.6: Ví dụ đồ thị có trọng số cạnh Bè cực đại đồ thị có trọng số dương cạnh Tập C ⊂ S gọi bè đồ thị G đồ thị G (C) đồ thị đầy đủ Hình 1.7: Đồ thị hình (b) bè đồ thị hình (a) Một bè C đồ thị vô hướng G(V, E) gọi bè cực đại khơng thuộc bè khác, hay nói cách khác thêm đỉnh G vào C để tạo thành bè có số đỉnh lớn 19 Hình 1.8: Đồ thị hình (b) bè cực đại với trọng số dương đồ thị hình (a) 1.5.2 Mơ hình tốn học tốn bè cực đại với trọng số dương cạnh Bài tốn bè có trọng số dương cực đại phát biểu sau: Cho G = (V, E) đồ thị đầy đủ với V tập đỉnh E tập cạnh đồ thị Với vi ∈ V ta gán trọng số dương qi , cạnh eij (vi , vj ) ∈ E ta gán trọng số dương qij Với xi ∈ {0, 1} ta quy ước xi = xi = đỉnh i không thuộc bè ngược lại Khi ta nhận thấy tốn Bè cực đại với trọng số dương cạnh mơ hình hóa sau max n i=1 xi qi v.đ.k + n i=1 xi n i=1 = b, xi ∈ {0, 1}n n j=1 xi xj qij (P) Bài tốn (P) viết lại dạng f (x) = 21 xT Qx + q T x eT x = b, v.đ.k xi ∈ {0, 1}n (EWCP) Dễ nhận thấy toán (PEWCP) trường hợp riêng lớp tốn quy hoạch tồn phương với biến nhị phân 12 xT Qx + q T x 20 v.đ.k Ax ≤ b, xi ∈ {0, 1}n Bài toán (P) chứng minh tốn NP khó Trong chương tiếp theo, nghiên cứu hướng giải kết hợp thuật toán nhánh cận DCA 21 Chương Thuật tốn nhánh cận giải tốn tồn phương với biến 0-1 Bài toán quy hoạch nguyên ( Integer- Programming – IP) phát biểu sau: f (x) = f (x1 , x2 , xn ) v.đ.k x = (x1 , x2 xn ) ∈ D D ⊂ Rn tập véc tơ x = (x1 , x2 xn )T mà số tất thành phần x nhận giá trị nguyên Thông thường, D ⊂ Rn xác định hệ phương trình bất phương trình với điều kiện bổ sung tính nguyên biến số: gi (x) = 0, i = 1, 2, m1 gi (x) ≤ 0, i = m1 + 1, m xj nguyên, j = 1, 2, n1 Nếu n1 = n ( tất biến ngun) tốn 1.1-1.4 tốn quy hoạch ngun hồn tồn Nếu n1 < n ta gọi tốn 1.1-1.4 tốn quy hoạch nguyên phận Nếu hàm f (x) , gi (x),I = 1, 2, m tuyến tính tốn quy hoạch ngun Một số khái niệm a) Một họ P chứa hữu hạn tập D, P := {Di ⊆ D | i ∈ I}, 22 I tập hữu hạn số, gọi phân hoạch D nếu: D= i∈I Di vDi ∩ Dj = ø∀i = j Nói ta phân hoạch tập D tập Di , i ∈ I nghĩa ta có {Di ⊆ D | i ∈ I} phân hoạch D Phân hoạch P := Dj ⊆ D | j ∈ I gọi mịn phân hoạch P := {Di ⊆ D | i ∈ I} nếu: i) Với i ∈ I tồn j ∈ I cho Dj ⊆ Di ii) Tồn io ∈ I, jo ∈ I cho Djo ⊂ Dio b) Bài toán max f (x) v.đ.k x ∈ Di (IPi ) Với Di ⊆ D gọi toán toán quy hoạch nguyên (IP) c) Số thực α ∈ R gọi cận toán (IP) α ≤ fopt Hiển nhiên tìm phương án chấp nhận x ¯∈D f (¯ x) ≤ fopt , tức f (¯ x) cận tốn (IP) Khi x¯ gọi kỉ lục f (¯ x) gọi giá trị kỉ lục d) Số thực β ∈ R gọi cận toán (IP) fopt ≤ β Bài tốn quy hoạch tồn phương với biến - phát biểu sau: f (x) = 12 xT Qx + cT x Ax ≤ b v.đ.k x ∈ {0, 1}n (BQP) Thuật toán nhánh cận Xét tốn tối ưu khơng lồi sau: f (x) (P0 ) x∈D0 Giả sử α giá trị tối ưu toán (P0 ), nghĩa α = {f (x) | x ∈ D} Trong nhiều trường hợp, việc giải trực tiếp toán (P0 ) thực nhiều thời gian Để giải toán (P0 ) ta tìm cận γ β thỏa mãn γ ≤ α ≤ β 23 Việc tìm γ β thường đơn giản Nếu ta tìm γ β với γ = β ta có giá trị α Thuật toán nhánh cận dựa tư tưởng "chia để trị" Trong thuật toán nhánh cận ta xây dựng dãy cận β k giảm dãy cận γ k tăng, thỏa mãn γk ≤ α ≤ βk Thuật toán kết thúc γ k = β k Giả sử tập D0 phân hoạch thành tập rời D1 D2 Ta có hai tốn toán (P0 ): f (x) (P1 ) f (x) (P2 ) x∈D1 x∈D2 Giả sử α1 α2 giá trị tối ưu toán (P1 ) (P2 ), nghĩa là: α1 = {f (x) | x ∈ D1 }, α2 = {f (x) | x ∈ D2 } Ta có α = min{α1 , α2 } Như vậy, ta giải tốn (P1 ) (P2 ) thay giải tốn ban đầu (P0 ) Q trình đua tốn ban đầu (P0 ) việc giải hai toán (P1 ) (P2 ) gọi phân nhánh Nhận xét: Trong trường hợp tổng qt, ta phân tốn thành nhiều toán tùy theo cấu trúc toán ban đầu Giả sử, thời điểm đó, tốn ban đầu (P0 ) phân hoạch thành m toán (P1 ),(P2 ), ,(Pm ) với αi = {f (x) | x ∈ Di } Với i = 1, m Ta có 24 (Pi ) α = {αi } i=1,m Ký hiệu γi cận αi (i = 1, m), nghĩa là: γi ≤ βi ( i = 1, m ) Ta có {γi } ≤ {αi } = α i=1,m i=1,m Khi đặt γ = {γi } ta thu cận γ α i=1,m Thông thường, cận γi (i = 1, m) tìm cách giải tốn nới lỏng toán (Pi )i = 1, m, kí hiệu (Ri )i = 1, m Q trình đươc gọi ước lượng cận Việc tìm cận β thường đơn giản Giả sử, bước khởi tạo thuật tốn, ta tìm x ˜ ∈ D0 , ta gán β = f (˜ x) Nếu khơng ta khởi tạo β = +∞ Cận β cập nhập liên tục thuật toán gọi giá trị kỷ lục, giá trị x ˜ ứng với β gọi kỷ lục Trong q trình giải tốn nới lỏng tốn (Pi ) ta tìm ˜ x˜ ∈ D0 cho f x˜˜ < β Khi đó, cập nhập giá trị kỷ lục β = f x˜˜ kỷ lục tương ứng Hiệu thuật toán nhánh cận phụ thuộc nhiều vào việc ước lượng cận γi , hay cách xây dựng toán nới lỏng (Ri ) tốn (Pi ) Vì q trình ta bỏ bớt tốn mà khơng có nghiệm tối ưu Xét tốn tối ưu (Pi ) α˜i = minf (x) (P˜i ) x∈D˜i Giả sử ước lượng γ˜i ≤ α˜i thỏa mãn điều kiện γ˜i > β Khi α˜i > β ta loại bỏ tốn (P˜i ) khỏi tập toán xét 25 Nhận xét: Việc xây dựng toán nới lỏng (Ri ) để ước lượng γi thường dựa vào cấu trúc toán (Pi ) Sơ đồ thuật toán nhánh cận Khởi tạo Xây dựng toán nới lỏng (R0 ) toán (P0 ) Giải toán nới lỏng (R0 ) thu cận γ0 Đặt γ = γ0 Nếu tìm x ˜ ∈ D0 gán β = f (˜ x) x∗ = x˜, ngược lại, gán β = +∞ đặt S = {(P0 )}, S tập cac toán Bước lặp k(k ≥ 0) Chọn toán (Pk ) ∈ S cho γk = γ Chia toán (Pk ) thành hai toán (Pk0 ) (Pk1 ) Xây dựng toán nới lỏng (Rk0 ) (Rk1 ) tương ứng với toán (Pk0 ) (Pk1 ) Giải toán nới lỏng (Rk0 ) (Rk1 ) thu γk0 γk1 Cập nhật tập toán S = S ∪ {(Pk0 ) , (Pk1 )} \ {(Pk )} Cập nhật cận γ = {γi | (Pi ) ∈ S} Giả sử tìm x ˜ ∈ D0 cho f (˜ x) < β Cập nhật cận β = f (˜ x), ∗ gán x = x ˜ Loại tất toán (Pi ) S γi ≥ β Nếu S = ∅ thuật toán kết thúc Kết luận x∗ nghiệm tối ưu, f (x∗ ) giá trị tối ưu 26 Chương Kỹ thuật ước lượng cận DCA kết hợp với thuật toán nhánh cận Trong chương này, ta trình bày thuật tốn nhánh cận với kĩ thuật ước lượng cận DCA để giải toán Bè cực đại với trọng số dương cạnh Như trình bày chương 2, thuật toán nhánh cận bao gồm ba thủ tục: - Tìm cận - Ước lượng cận - Phân nhánh Sau tã trình bày ba thủ tục Lưu ý toán xét dạng tốn 3.1 Tìm cận Cận toán giá trị x ¯ ∈ {0, 1}n thỏa mãn eT x¯ = b Ta áp dụng DCA để tìm véc tơ x ¯ Theo kết [3], tồn t > cho toán (P) tương đương với toán sau 27 12 xT Qx + q T x + t (P.EWCP) eT x = b, v.đ.k xi ∈ {0, 1}n n i=1 {xi , − xi } Xét hàm 12 xT Qx + q T x, ta có: ρ T T T T x Qx + q x = x (Q + ρIn ) x + q x − x Bằng cách chọn λ1 (Q) + ρ ≥ (λ1 (Q) giá trị riêng nhỏ Q) ta có hàm 12 xT (Q + ρIn ) x + q T x hàm lồi Vì hàm t ni=1 {xi , − xi } hàm lõm, tốn (PEWCP) trở thành toán quy hoạch DC với: g (x) = 21 xT (Q + ρIn ) x + q T x h (x) = ρ2 x − t ni=1 {xi , − xi } Áp dụng DCA giải tốn (EWCP) dẫn tới việc tìm k }, {y k } cho: y k ∈ ∂h xk xk+1 ∈ ∂g ∗ y k Theo định nghĩa ∂h xk = ρxk − tu ui = −1 x ≤ 0, x > 0,5 Việc tìm xk tương đương với việc giải tốn quy hoạch tồn phương lồi g (x) − x, y k | eT x = b, x ∈ [0, 1]n 3.2 Ước lượng tìm cận Để tìm cận ta giải tốn nới lỏng toán (EWCP) Giữ nguyên hàm mục tiêu, ta nới lỏng miền ràng buộc: 28 eT x = b x ∈ {0, 1}n B e 2, r ⊂ x ∈ [0, 1]n ⊂ x ∈ B 1 T , , , , 2 hình cầu tâm e 2, r √ bán kính n Hình 3.1: Miền ràng buộc nới lỏng trường hợp n = 3, b = Xét toán nới lỏng 21 xT Qx + q T x v.đ.k x ∈ B (REWCP) e 2, r tốn khơng lồi, nhiên, theo [2] DCA giải toán(REWCP) cho nghiệm tối ưu toàn cục Hơn nữa: T x Qx + q T x = 21 ρ x − T 2x (ρIn − Q) x − q T x Do đó, cách chọn ρ ≥ λn (Q) (λn (Q) giá trị riêng lớn ma trận Q) ta phân hoạch DC hàm mục tiêu với: g (x) = ρ2 x h (x) = 21 xT (ρIn − Q) x − q T x Với phân hoạch DC này, việc áp dụng DCA giải toán (REWCP) đưa dãy phép chiếu Thật vậy, áp dụng DCA giải toán (REWCP) dẫn tới 29 y k ∈ ∂h xk xk ∈ ∂g xk Theo định nghĩa y k = (ρIn − Q) x − q Việc tìm xk tương đương với việc giải toán ρ2 x − x, y k v.đ.k x ∈ B 2e , r Bài toán tương đương với toán 12 ρ x − v.đ.k x ∈ B yk ρ e 2, r k Nghiệm tồn cục tốn hình chiếu ye lên hình cầu B 2e , r Phép tốn dễ dàng tính tốn tường minh 3.3 Chia nhánh Giả sử x∗ nghiệm tối ưu toán nới lỏng thời điểm thuật tốn Vì nghiệm tối ưu toán (EWCP) nhị phân nên ta chọn thành phần "nghi ngờ" cuả x∗ để chia nhánh Cụ thể thành phần j chọn để chia nhánh j o = x∗j − 0, j 3.4 Thuật tốn tồn cục Khởi tạo Xây dựng toán nới lỏng (REWCP) toán (P) Giải toán nới lỏng (REWCP) DCA thu nghiệm tương ứng x ˜i cận γ0 Đặt γ = γ0 eT x˜ = b Nếu x ˜ ∈ D: kết thúc thuật toán x˜ ∈ {0, 1}n 30 Gán β = f (˜ x) x∗ = x˜ Ngược lại, gán β = +∞ Áp dụng DCA giải toán (P.EWCP) với x ˜ điểm xuất phát ta thu eT xˆ = b Nếu x ˆ ∈ D: ) f (ˆ x) < β gán f (ˆ x) = β , x∗ = xˆ n xˆ ∈ {0, 1} Đặt S = {(Pi )}, S tập toán Bước lặp k(k ≥ 0) Chọn toán (Pk ) ∈ S cho γk = γ Chia toán (Pk ) thành hai toán (Pki ) (i=0, 1) Xây dựng toán nới lỏng (REW CPk0 ) (REW CPk1 ) tương ứng với toán (Pk0 ) (Pk1 ) Giải toán nới lỏng (REW CPk0 ) (REW CPk1 ) thu nghiệm tương ứng xk0 xk1 , cận duới γk0 γk1 eT xˆ = b Nếu xk0 ∈ D (hoặc xk1 ∈ D : , f (xk0 ) < β gán xˆ ∈ {0, 1}n f (xk0 ) = β , x∗ = xk0 Áp dụng DCA giải toán (P.EWCP) với xk0 điểm xuất phát ta thu x ˆ eT xˆ = b Nếu x ˆ ∈ D: ) f (ˆ x) < β gán f (ˆ x) = β , x∗ = xˆ n xˆ ∈ {0, 1} Cập nhật tập toán S = S ∪ {(Pk0 ) , (Pk1 )} \ {(Pk )} Cập nhật cận γ = {γi | (Pi ) ∈ S} Giả sử tìm x ˜ ∈ D cho f (˜ x) < β Cập nhật cận β = f (˜ x), ∗ gán x = x ˜ Loại tất toán (Pi ) S γi ≥ β Nếu S = ∅ thuật toán kết thúc Kết luận x∗ nghiệm tối ưu, f (x∗ ) giá trị tối ưu 31 KẾT LUẬN CHUNG Luận văn trình bày lại số kiến thức lý thuyết tối ưu thuật toán nhánh cận giải tốn tồn phương với biến nhị phận Đồng thời trình bày kỹ thuật ước lượng cận DCA kết hợp với thuật toán nhánh cận giải tốn bè cực đại có trọng số dương Do nhiều hạn chế, luận văn chưa hoàn thành việc chạy thử nghiệm thuật tốn ví dụ cụ thể Mặc dù cố gắng nhiều hạn chế thời gian, kiến thức kinh nghiệm nên luận văn khơng tránh khỏi nhiều sai sót Tác giả mong nhận quan tâm, đóng góp thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Dijkhuizen, G ,Faigle,U (1993), " A cutting-plane approach to the edge-weighted maximal clique problem", European Journal of Operational Research 69, 121 - 130 [2] P D.Tao, L T H An, Dc optimization algorithms for solving the trust region subproblem, SIAM Journal of Optimization (2) (1998) 476–505 [3] L T H An, P D Tao, L D Muu, Exact penalty in dc programming, Vietnam J Math 27 (1999) 1216–1231 [4] Nguyễn Đức Nghĩa - Nguyễn Tơ Thành, Tốn rời rạc, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2003 (In lần thứ 3) [5] G Kochenberger anh F Glover, Diversity Data Mining, Working paper series, HCES-03-09 [6] Phạm Đinh Tao, Nguyen Canh Nam and Le Thi Hoai An, An eficient combined DCA anh BB using DC/SDP relaxation for globally solving binary quadratic programs, Journal Of Global Opitimization, Volume 48, Number 4, 595-632, DOI: 10.1007/s10898-009-9507-y,2010.N [7] Nguyễn Thị Bạch Kim, Giáo trình Các phương pháp tối ưu Lý thuyết Thuật toán, NXB Bách Khoa Hà Nội, 2014 [8] Panos M Pardalos and Jue Xue, The maximum clique Problem, The maximum Clique Problem 33 ... tốn bè cực đại với trọng số dương cạnh Bài tốn bè có trọng số dương cực đại phát biểu sau: Cho G = (V, E) đồ thị đầy đủ với V tập đỉnh E tập cạnh đồ thị Với vi ∈ V ta gán trọng số dương qi , cạnh. .. hình toán học toán bè cực đại với trọng số dương cạnh 20 Thuật toán nhánh cận giải toán toàn phương với biến 0-1 22 Kỹ thuật ước lượng cận DCA kết hợp với thuật tốn nhánh cận 27... quy hoạch toàn phương với biến 0-1 Chương : Kỹ thuật ước lượng cận DCA kết hợp với thuật tốn nhánh cận trình bày cách tiếp cận tồn cục giải tốn bè cực đại đồ thị có trọng số dương các cạnh, cụ