Phòng giáo dục đào tạo Huyện Hoằng hóa đề thi học sinh giỏi - năm học 2011-2012 Môn toán - líp Thêi gian lµm bµi : 120 phó t( không kể thời gian giao đề) Bài 1( 4.0 ®iÓm): a) Cho biÓu thøc : M = a + 2ab b Tính giá trị M với a = 1,5 ; b = 0,75 b) Xác định dÊu cđa c, biÕt r»ng 2a 3bc tr¸i dÊu víi − 3a b c Bµi 2( 4.0 điểm): x y y z a) Tìm số x, y, z biÕt r»ng: = ; = vµ 2x – 3y + z = b) Cho d·y tØ sè b»ng : 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d = = = a b c d a+b b+c c+d d +a M = + + + Tính giá trị biểu thøc M, víi c+d d +a a+b b+c Bµi 3( 3.0 điểm): Cho hàm số y = f(x) = – x2 a) H·y tÝnh : f(0) ; f( − ) b) Chøng minh : f(x – 1) = f(1 x) Bài 4( 4.0 điểm): Cho tam giác ABC vuông A, đờng trung tuyến AM Qua A kẻ đờng thẳng d vuông góc với AM Qua M kẻ đờng thẳng vuông góc với AB AC, chúng cắt d theo thứ tự D E Chøng minh r»ng: a) BD // CE b) DE = BD + CE Bài 5( 3.0 điểm): Tìm tỉ sè cđa A vµ B, biÕt r»ng: 1 1 + + + + + 1.1981 2.1982 n.(1980 + n) 25.2005 1 1 B= + + + + + 1.26 2.27 m.(25 + m) 1980.2005 A= Trong A có 25 số hạng B có 1980 số hạng Bài 6( 2.0 điểm): Cho tam giác ABC cân Trên cạnh đáy BC · lÊy ®iĨm · BAD < CAD D cho: CD = BD Chøng minh r»ng: Hết Phòng giáo dục đào tạo Hớng dẫn chấm toán lơp Hoằng hóa Câu HD chấm Điểm 0.5đ a.(2.5đ) Ta có: a = 1,5 ⇒ a = 1,5 a = −1,5 1.0đ Với a = 1,5 b = -0,75 M = a + 2ab − b = 1,5 + 2.1,5.(- 0,75) = 1.0đ Với a = - 1,5 b = - 0,75 M = a + 2ab − b = Câu b (1.5đ) Do 2a 3bc − 3a 5b c trái dấu nên : a ≠ 0; b ≠ 0; c ≠ (4,0đ) 2a 3bc ( − 3a b c ) < 0.5đ 8 ⇔ −6a b c < ⇔ a b c > 0.5đ ⇔ c > ⇔ c > ( a b > với a ≠ 0; b ≠ ) 0.25đ Vậy c > tức mang dấu dương 0.25đ Câu (4,0 đ) a( 2.0đ) x y x y y z y z = ⇒ = ; = ⇒ = 12 12 20 x y z 2x 3y z ⇒ = = ⇒ = = 12 20 18 36 20 0.5đ 0.5đ Theo tính chất dãy tỉ số ta có: 2x 3y z 2x − y + z = = = = =3 18 36 20 18 − 36 + 20 0.5đ 0.5đ Suy x = 27; y = 36; z = 60 b.(2đ) Từ giả thiết suy 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d −1 = −1 = −1 = −1 a b c d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d ⇒ = = = a b c d 0.25đ 0.25đ * Nếu a + b + c + d = a + b = - (c + d); b + c = - (d + a); c + d = - ( a + b); d + a = - ( b + c) Khi M = (- 1) + (- 1) +(- 1) +(- 1) = - 0.25đ 0.5đ * Nếu a + b + c + d ≠ 1 1 = = = nên a = b = c = d a b c d Khi M = + + +1 = 0.25đ 0.5đ Câu (3,0 đ) 1.0đ 1.0đ a.(2.0đ) f(0) = – 02 = 2; 2 f( − ) = – (− ) = 0.25 đ 0.25 đ b.(1.0đ) f(x – 1) = – ( x – )2; f(1 – x ) = – ( – x )2 (x – 1) (1 – x) hai số đối nên bình phương Vậy – ( x – )2 = – ( – x )2 hay f(x – 1) = f(1 – x) 0.5đ Câu (4,0 đ) Câu (3,0 đ) a (2,5đ) Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông: MA = MB Gọi H giao điểm MD AB Tam giác cân AMB có MH đường cao ứng với đáy A nên đường trung trực, suy : DA = DB D Chứng minh ∆MBD = ∆MAD(c.c.c) suy góc MBD = góc MAD = 900; H DB ⊥ BC M B Tương tự ta có : EC ⊥ BC Vậy BD // CE (vì vng góc với BC), đpcm b (1,5đ) Theo câu a, DB = DA Tương tự, EC = EA Suy DE = DA + AE = BD + CE Ta có : 1 1 = ( − ) n(1980 + n) 1980 n 1980 + n 1 1 = ( − ) m(25 + m) 25 m 25 + m d 0.5đ E 0.5đ 0.25đ C 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ Áp dụng tính A B ta được: 1 1 1 ( − + − + + − ) 1980 1981 1982 25 2005 1 1 1 = [( + + + ) − ( + + + )] 1980 25 1981 1982 2005 1 1 1 B= ( − + − + + − ) 25 26 27 1980 2005 1 1 1 = [( + + + )−( + + + )] 25 1980 26 27 2005 1 1 1 = [( + + + ) − ( + + + )] 25 25 1981 1982 2005 A 1 : = Vậy = B 1980 25 396 A= 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Câu (2,0 đ) Gọi M trung điểm DC Trên tia đối tia MA lấy điểm E cho ME = MA Ta có hai tam giác AMC EMD · Vì MD = MC, MA = ME, ·AMC = EMD · Nên DE = AC, góc µA3 = DEM B Mặt khỏc , ả >B ( theo tớnh cht gúc tam giác) D A 0.25đ 23 M C 0.25đ D mà Bµ = Cµ ( tam giỏc ABC cõn, ỏy BC) ả >C suy AC > AD nên D · Từ DE > DA, suy ¶A2 > DEM ,hay ¶A2 > µA3 Vì µA3 = µA1 ( ∆ABD = ACM ) µA1 + µA3 hay 2A 1· · < CAD Suy BAD Chú ý : Học sinh làm cách khác, cho điểm tối đa Bài hình khơng vẽ hình, vẽ sai khơng chấm điểm 0.25đ E 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ ... a.(2.5đ) Ta có: a = 1,5 ⇒ a = 1,5 a = −1,5 1.0đ Với a = 1,5 b = -0 ,75 M = a + 2ab − b = 1,5 + 2.1,5.(- 0 ,75 ) = 1.0đ Với a = - 1,5 b = - 0 ,75 M = a + 2ab − b = Câu b (1.5đ) Do 2a 3bc − 3a 5b c trái dấu... ( + + + )] 1980 25 1981 1982 2005 1 1 1 B= ( − + − + + − ) 25 26 27 1980 2005 1 1 1 = [( + + + )−( + + + )] 25 1980 26 27 2005 1 1 1 = [( + + + ) − ( + + + )] 25 25 1981 1982 2005 A 1 :... tính chất dãy tỉ số ta có: 2x 3y z 2x − y + z = = = = =3 18 36 20 18 − 36 + 20 0.5đ 0.5đ Suy x = 27; y = 36; z = 60 b.(2đ) Từ giả thiết suy 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c