ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— SẦM THỊ HẰNG GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN FOURIER LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên - Năm 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— SẦM THỊ HẰNG GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN FOURIER Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS.NGUYỄN THỊ NGÂN Thái Nguyên - Năm 2017 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc i Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới TS.Nguyễn Thị Ngân, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn cho tơi nhận xét q báu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Phòng- Ban chức trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Quý Thầy Cô giảng dạy lớp cao học K23 (2015-2017) trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Nhân dịp tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập thức luận văn Xin trân trọng cảm ơn! ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tốn tử tích phân kì dị không gian L2ρ 1.1.1 Không gian L2ρ 1.1.2 Tốn tử tích phân kì dị 1.2 Phương trình tích phân 1.2.1 Định nghĩa phương trình tích phân 1.2.2 Phương trình tích phân kì dị loại 1.3 Các đa thức Chebyshev 1.3.1 Đa thức Chebyshev loại 1.3.2 Đa thức Chebyshev loại hai 1.4 Hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính 1.5 Biến đổi Fourier hàm giảm nhanh 1.5.1 Không gian S hàm giảm nhanh 1.5.2 Biến đổi Fourier hàm giảm nhanh 1.5.3 Các tính chất biến đổi Fourier không gian S 1.6 Biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm 1.6.1 Không gian S hàm suy rộng tăng chậm 1.6.2 Biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm iii 3 3 4 6 10 11 11 12 12 12 12 13 1.6.3 Các tính chất biến đổi Fourier khơng gian S 1.6.4 Biến đổi Fourier tích chập 1.7 Các không gian 1.7.1 Không gian H s (R) s (Ω), H s (Ω) 1.7.2 Các không gian Hos (Ω), Ho,o 1.8 Các không gian Sobolev vectơ 1.9 Phiếm hàm tuyến tính liên tục 1.10 Toán tử giả vi phân vectơ 14 14 15 15 15 16 17 18 Giải gần hệ phương trình cặp tích phân Fourier 21 2.1 Tính giải hệ phương trình cặp tích phân Fourier 21 2.1.1 Phát biểu toán 21 2.1.2 Đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier 22 2.1.3 Tính giải hệ phương trình cặp tích phân Fourier (2.10) 23 2.1.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy 25 2.1.5 Đưa hệ phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính 27 2.2 Giải gần hệ phương trình cặp tích phân Fourier 30 2.2.1 Đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier dạng khơng thứ ngun 31 2.2.2 Tính gần nghiệm hệ phương trình cặp tích phân Fourier 33 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 iv Mở đầu Phương trình cặp hệ phương trình cặp xuất giải tốn hỗn hợp Vật lý toán toán khe hở, vết nứt, dị tật môi trường, tiếp xúc lý thuyết đàn hồi Trong khoảng vài thập niên gần đây, nhiều nhà Toán học giới quan tâm đến vấn đề tính giải phương trình cặp Gần Nguyễn Văn Ngọc Nguyễn Thị Ngân nghiên cứu tính giải số hệ phương trình cặp tích phân Fourier xuất giải tốn biên hỗn hợp phương trình điều hịa phương trình song điều hịa Khi nghiên cứu tính giải hệ phương trình cặp tích phân Fourier người ta biến đổi hệ phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy Lý thuyết phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy hoàn thiện nửa đầu kỉ 20 Các phương pháp giải gần bao gồm phương pháp cầu phương trực tiếp, phương pháp nội suy phương pháp Lagrange, phương pháp xếp thứ tự, phương pháp đa thức trực giao Với mong muốn giải gần hệ phương trình cặp tích phân Fourier, chúng tơi chọn đề tài "Giải gần hệ phương trình cặp tích phân Fourier" Luận văn phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo gồm có hai chương nội dung Chương trình bày tổng quan số kiến thức tốn tử tích phân, phương trình tích phân, đa thức Chebyshev, hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính, biến đổi Fourier hàm giảm nhanh, biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm, không gian Sobolev, không gian Sobolev vectơ, phiếm hàm tuyến tính liên tục, tốn tử giả vi phân vectơ Chương hai trình bày tính giải hệ phương trình cặp tích phân với phép biến đổi Fourier giải gần hệ phương trình cặp tích phân Fourier Mục 2.1 trình bày tính giải hệ phương trình cặp tích phân với phép biến đổi Fourier xuất giải tốn biên hỗn hợp phương trình điều hịa, Định lí 2.1.1, Định lý 2.1.3 trình bày tính tồn nghiệm hệ phương trình cặp tích phân Fourier, đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier hệ phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy, sau đưa hệ phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Mục 2.2 thực giải gần hệ phương trình cặp tích phân Fourier với bước: Đưa hệ phương trình tích phân Fourier dạng khơng thứ ngun; tính gần ma trận hạch hệ phương trình tích phân Fourier; thực giải gần hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính chặt cụt đến N=6, sau tìm nghiệm gần hệ phương trình tích phân Fourier Luận văn hồn thành trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thị Ngân Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Tốn tử tích phân kì dị không gian L2ρ Không gian L2ρ Định nghĩa 1.1.1 [3] Với a < x < b xét hàm trọng ρ(x) = (x − a)α (b − x)β , α, β > −1 Kí hiệu L2ρ (a, b) tập tất hàm u(x) bình phương khả tích với trọng ρ, nghĩa b ρ(x)|u(x)|2 dx < ∞ (1.1) ||u|| := a Tích vơ hướng L2ρ (a, b) xác định công thức b (u, v)ρ := ρ(x)u(x)v(x)dx (1.2) a Rõ ràng với chuẩn (1.1) tích vơ hướng (1.2) L2ρ (a, b) khơng gian Hilbert 1.1.2 Tốn tử tích phân kì dị Trong khơng gian L2ρ (a, b), xét toán tử b SJ [u](x) = iπ u(y)dy , x ∈ J := (a, b), y−x a (1.3) tích phân hiểu theo giá trị Cauchy Định lý 1.1.2 [3].Với ρ(x) = (x − a)α (b − x)β , −1 < α, β < 1, −∞ < a < b < ∞ tốn tử SJ bị chặn, liên tục L2ρ (a, b) 1.2 1.2.1 Phương trình tích phân Định nghĩa phương trình tích phân Định nghĩa 1.2.1 Phương trình tích phân phương trình mà ẩn hàm chưa biết nằm dấu tích phân Ví dụ Với a ≤ s, t ≤ b ta có phương trình tích phân: b f (t) = λ K(t, s)g(s)ds, (1.4) K(t, s)g(s)ds, (1.5) a b g(t) = λ a b (K(t, s))2 ds, g(t) = λ (1.6) a b g(t) = f (t) + λ K(t, s)g(s)ds (1.7) a Thấy rằng: + Hàm ẩn g(t) phải tìm nằm dấu tích phân nằm ngồi dấu tích phân + Một phương trình tích phân gọi tuyến tính hàm phải tìm bậc (ví dụ phương trình (1.4) (1.5) tuyến tính cịn (1.6) khơng phải) + Bằng biến đổi thích hợp, phương trình tích phân đưa dạng (A − λI)g = f, A tốn tử tích phân, A tốn tử tuyến tính phương trình tích phân tuyến tính (2) αj,k (1) = π π = π βj,k = (2) βj,k −1 −1 −1 (2) χj (y)Tk (y), − y2 (2.77) − y γj1 (y)Uk (y), (2.78) − y γj2 (y)Uk (y) , k = 0, 1, , N − (2.79) Sử dụng (2.72), (2.73), (2.74) (2.75) ta có N −1 N N (1) (1) Aj χj (y) (1) (1) (2.80) (2) (2) (2.81) (1) (1) (2.82) (2) (2) (2.83) Aj αj,k Tk (y), = k=0 j=1 j=1 N −1 N N (2) (2) Aj χj (y) Aj αj,k Tk (y), = k=0 j=1 j=1 N −1 N N (1) (1) Aj γj (y) = j=1 Aj βj,k Uk (y), k=0 j=1 N −1 N N (2) (2) Aj γj (y) j=1 = Aj βj,k Uk (y) k=0 j=1 Từ (2.59), (2.60), (2.80), (2.81), (2.82) (2.83) ta thu  N N −1 N   (1) (1) (1)   − A T (y) + A j+1  j j αj,k Tk (y)    j=1 k=0 j=1    N −1 N N −1   (2) (2) ∗(1)   + Aj αj,k Tk (y) = fk Tk (y),   k=0 j=1 k=0 (2.84) N −1 N N   (2) (1) (1)   − Aj Uj−1 (y) + Aj βj,k Uk (y)     j=1 k=o j=1   N −1 N N −1    (2) (2) ∗(2)   fk Uk (y), + Aj βj,k Uk (y) =   k=0 j=1 k=0 (1) (2) Từ (2.84) ta có hệ phương trình đại số tuyến tính xác định hệ số Aj , Aj 41 v1∗ (τ ) v2∗ (τ )  N N   (1) (1) (1) (2) (2) ∗(1)  −A1 + Aj αj,0 + Aj αj,0 = f0 ,     j=1 j=1         N N   (1) (1) (1) (2) (2) ∗(1)   −AN + Aj αj,N −1 + Aj αj,N −1 = fN −1 ,     j=1 j=1    N N   (2) (1) (1) (2) (2) ∗(2)   −A1 + Aj βj,0 + Aj βj,0 = f0 ,     j=1 j=1         N N   (2) (1) (1) (2) (2) ∗(2)   −A + A β + A β = f  j j N j,N −1 j,N −1 N −1  j=1 (2.85) j=1 Ta giải hệ phương trình (2.85) với N=0 Sử dụng (2.63) (2.64) với N=6 ta thu hệ phương trình sau  6  8a0 + 4a2 + 3a4  (1) (1) (1) (2) (2)  + −A A α + A α = ,  j j,0 j j,0    j=1 j=1    6   8a1 + 6a3 + 5a5 (1) (1) (1) (2) (2)   , −A2 + Aj αj,1 + Aj αj,1 =     j=1 j=1    6   a2 + a4 (1) (1) (1) (2) (2)   + −A A α + , A α =  j j,2 j j,2    j=1 j=1    6  4a3 + 5a5  (1) (1) (2) (2) (1)   Aj αj,3 + Aj αj,3 = −A4 + ,   16 j=1 j=1                                       (1) −A5 (1) (1) Aj αj,4 + j=1 (1) (2) (2) + Aj αj,4 = j=1 (1) (1) −A6 + (2) (2) Aj αj,5 + j=1 (2) Aj αj,5 = j=1 (1) (1) −A1 + (2) (2) Aj βj,0 + j=1 (2) Aj βj,0 = j=1 (1) (1) −A2 + (2) (2) Aj βj,1 + j=1 Aj βj,1 = j=1 42 a4 , a5 , 16 8b0 + 2b2 + b4 , 16b1 + 8b3 + 5b5 , 32   (2)   −A3 +          (2)   −A4 +     (2)   −A5 +          (2)    −A6 + 6 (1) (1) Aj βj,2 (2) (1) + j=1 Aj βj,2 = j=1 (1) (1) (2) (2) Aj βj,3 + j=1 Aj βj,3 = j=1 (1) (1) (2) (2) Aj βj,4 + j=1 Aj βj,4 j=1 (1) (1) (2) (2) Aj βj,5 + j=1 (1) (2) (1) b3 + b5 , b4 = , 16 Aj βj,5 = j=1 4b2 + 3b4 , 16 (2.86) b5 32 (2) Bây giờ, ta tính hệ số αj,k , αj,k , βj,k βj,k Đặt (1) Jj (y) = −1 (2) Jj (y) = −1 (1) Ij (y) = −1 (2) −1 Trường hợp λ = ∗ K12 (y − τ )Tj (τ ) √ dτ , − τ2 Ij (y) = ∗ K11 (y − τ )Uj (τ ) − τ dτ, ∗ K21 (y − τ )Uj (τ ) − τ dτ, ∗ K22 (y − τ )Tj (τ ) √ dτ − τ2 (2.87) (2.88) (2.89) (2.90) ta tính 10 (1) J0 (y) = 0.0286505 sin(0.0322548y) + 0.00603007 sin(0.174576y) +0.0000405821 sin(0.453662y) + 4.00432 × 10−9 sin(0.939507y), (1) J1 (y) = −0.000462078 cos(0.0322548y) − 0.000527023 cos(0.174576y (1) J2 (y) = −3.72614 × 10−6 sin(0.0322548y) − 0.00002302 sin(0.174576y) −1.05764 × 10−6 sin(0.453662y) − 4.67712 × 10−10 sin(0.939507y), (1) J3 (y) = 2.00312 × 10−8 cos(0.0322548y) + 6.69929 × 10−7 cos(0.174576y) +8.01748 × 10−8 cos(0.453662y) + 7.40597 × 10−11 cos(0.939507y), (1) J4 (y) = 2.41579 × 10−20 cos(0.0322548y) +4.83157 × 10−20 cos(0.174576y) − 7.54933 × 10−22 cos(0.453662y) 43 +8.07636 × 10−11 sin(0.0322548y) + 1.46229 × 10−8 sin(0.174576y) +4.55436 × 10−9 sin(0.453662y) + 8.76225 × 10−12 sin(0.939507y), (1) J5 (y) = −2.60503 × 10−13 cos(0.0322548y) −2.55328 × 10−10 cos(0.174576y) − 2.06867 × 10−10 cos(0.453662y) −8.27585 × 10−13 cos(0.939507y), (1) J6 (y) = 1.94988 × 10−19 cos(0.0322548y) +1.48398 × 10−19 cos(0.174576y) + 7.50404 × 10−25 cos(0.939507y) −7.26596 × 10−16 sin(0.0322548y) − 3.71501 × 10−12 sin(0.174576y) −7.82786 × 10−12 sin(0.453662y) − 6.50506 × 10−14 sin(0.939507y), (2) J0 (y) = −2.44967 sin(0.0322548y) − 0.394315 sin(0.174576y) −0.0162713 sin(0.453662y) − 0.0000907843 × 10−9 sin(0.939507y), (2) J1 (y) = 0.0395119 cos(0.0322548y) + 0.0345508 cos(0.174576y) +0.00378916 cos(0.453662y) − 0.0000481677 cos(0.939507y), (2) J2 (y) = 0.000318626 sin(0.0322548y) + 0.00150985 sin(0.174576y) +0.000433483 sin(0.453662y) + 0.000011754 sin(0.939507y), (2) J3 (y) = −1.71291 cos(0.0322548y) − 0.000439587 cos(0.174576y) −0.0000329173 cos(0.453662y) − 1.87536 × 10−6 cos(0.939507y), (2) J4 (y) = 3.86526 × 10−18 cos(0.0322548y) −3.86526 × 10−18 cos(0.174576y) + 3.77467 × 10−21 cos(0.939507y) −6.90627 × 10−9 sin(0.0322548y) − 9.59632 × 10−7 sin(0.174576y) −1.87149 × 10−6 sin(0.453662y) − 2.22715 × 10−7 sin(0.939507y), (2) J5 (y) = 2.22763 × 10−11 cos(0.0322548y) +1.67571 × 10−8 cos(0.174576y) + 8.50483 × 10−8 cos(0.453662y) +2.10801 × 10−8 cos(0.939507y) − 5.12423 × 10−16 sin(0.0322548y) +3.86526 × 10−18 sin(0.453662y), (2) J6 (y) = 7.86856 × 10−18 cos(0.0322548y) +7.86856 × 10−18 cos(0.174576y) + 4.83157 × 10−19 cos(0.453662y) −1.53683 × 10−20 cos(0.939507y) + 4.83562 × 10−14 sin(0.0322548y) +2.43826 × 10−10 sin(0.174576y) + 3.21921 × 10−9 sin(0.453662y) +1.65916 × 10−9 sin(0.939507), (1) I0 (y) = −0.00127587 sin(0.0322548y) − 0.00603223 sin(0.174576y) −0.00171901 sin(0.453662y) − 0.0000452544 sin(0.939507y), (1) I1 (y) = 0.0000205773 cos(0.0322548y) + 0.000527212 cos y(0.174576) +0.000393311 cos(0.453662y) + 0.0000220861 cos(0.939507y), (1) I2 (y) = 1.65933 × 10−7 sin(0.0322548y) + 0.0000230243 sin(0.174576y) +0.0000448002 sin(0.453662y) + 5.28581 × 10−6 sin(0.939507y), 44 (1) I3 (y) = −8.9203 × 10−10 cos(0.0322548y) − 6.7017 × 10−7 cos(0.174576y) −3.39611 × 10−6 cos(0.453662y) − 8.36979 × 10−7 cos(0.939507y), (1) I4 (y) = −1.93263 × 10−20 cos(0.453662y) +2.41579 × 10−21 cos(0.939507y) − 3.59658 × 10−12 sin(0.0322548y) −1.46282 × 10−8 sin(0.174576y) − 1.92917 × 10−7 sin(0.453662y) −9.90257 × 10−8 sin(0.939507y), (1) I5 (y) = 1.16008 × 10−14 cos(0.0322548y) +2.55419 × 10−10 cos(0.174576y) + 8.76265 × 10−9 cos(0.453662y) +9.35287 × 10−9 cos(0.939507y), (1) I6 (y) = −1.29417 × 10−21 cos(0.0322548y) −1.15958 × 10−19 cos(0.174576y) + 3.86526 × 10−20 cos(0.453662y) −1.20789 × 10−21 cos(0.939507y) + 3.11622 × 10−17 sin(0.0322548y) +3.71634 × 10−12 sin(0.174576y) + 3.31578 × 10−10 sin(0.453662y) +7.35163 × 10−10 sin(0.939507y), (2) I0 (y) = −0.0572935 sin(0.0322548y) − 0.0120141 sin(0.174576y) −0.0000790546 sin(0.453662y) − 7.09061 × 10−9 sin(0.939507y), (2) I1 (y) = 0.000924115 cos(0.0322548y) + 0.00105271 cos(0.174576y) +0.0000184098 × 10−6 cos(0.453662y) + 3.76209 × 10−9 cos(0.939507y), (2) I2 (y) = 7.45211 × 10−6 sin(0.0322548y) + 0.0000460028 sin(0.174576y) +2.10609 × 10−6 sin(0.453662y) + 9.1803 × 10−10 sin(0.939507y), (2) I3 (y) = −4.00619 × 10−8 cos(0.0322548y) −1.33935 × 10−6 cos(0.174576y) − 1.5993 × 10−7 cos(0.453662y) −1.46473 × 10−10 cos(0.939507y), (2) I4 (y) = 9.66314 × 10−20 cos(0.174576y) −7.63569 × 10−25 cos 0.939507y − 1.61526 × 10−10 sin(0.0322548y) −2.92384 × 10−8 sin(0.174576y) − 9.09269 × 10−9 sin(0.453662y) −1.73949 × 10−11 sin(0.939507y), (2) I5 (y) = 5.21003 × 10−13 cos(0.0322548y) +5.10563 × 10−10 cos(0.174576y) + 4.1321 × 10−10 cos(0.453662y) +1.64644 × 10−12 cos(0.939507y) + 1.28106 × 10−17 sin(0.0322548y) −1.5798 × 10−24 sin(0.939507y), (2) I6 (y) = −5.86691 × 10−19 cos(0.0322548y) −7.83405 × 10−19 cos(0.174576y) + 1.56379 × 10−21 cos(0.453662y) −3.6862 × 10−25 cos(0.939507y) + 1.17759 × 10−15 sin(0.0322548y) +7.42897 × 10−12 sin(0.174576y) + 1.56407 × 10−11 sin(0.453662y) +1.29587 × 10−13 sin(0.939507) 45 Để tính tích phân (1) αj,k (2) αj,k = (1) = π −1 π −1 (1) βj,k = π (2) βj,k = π (2) (1) Tk (y)Jj (y)dy, − y2 (2.91) (2) Tk (y)Jj (y)dy, − y2 (2.92) −1 −1 (1) (2.93) (2) (2.94) − y Uk (y)Ij (y)dy, − y Uk (y)Ij (y)dy (1) (2) Ta thay Jj (y), Jj (y), Ij (y) Ij (y) vừa tính vào (2.91),(2.92), (2.93) (2.94) ta nhận (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) α0,0 = 0, α0,1 = 0.00199064, α0,2 = 0, α0,3 = −1.5303 × 10−6 , (1) (1) α0,4 = 0, α0,5 = 9.133 × 10−10 , α0,6 = 0, α1,0 = −0.00198758, (1) α1,1 = 0, α1,2 = 4.59549 × 10−6 , α1,3 = 0, (1) (1) (1) α1,4 = −4.58332 × 10−9 , α1,5 = 0, α1,6 = 4.19084 × 10−12 , (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) α2,0 = 0, α2,1 = −4.59089 × 10−6 , α2,2 = 0, α2,3 = 9.17508 × 10−9 , α2,4 = 0, α2,5 = −1.2608 × 10−11 , α2,6 = 0, (1) (1) (1) α3,0 = 1.52204 × 10−6 , α3,1 = 0, α3,2 = −9.16664 × 10−9 , (1) (1) (1) (1) α3,3 = 0, α3,4 = 2.10298 × 10−11 , α3,5 = 0, α3,6 = −3.30772 × 10−14 , (1) (1) (1) α4,0 = 1.42766 × 10−19 , α4,1 = 4.5665 × 10−9 , α4,2 = −3.35312 × 10−22 , (1) (1) α4,3 = −2.10133 × 10−11 , α4,4 = 9.87374 × 10−26 , (1) (1) α4,5 = 4.9645 × 10−14 , α4,6 = −1.64562 × 10−26 , (1) (1) (1) α5,0 = −9.01322 × 10−10 , α5,1 = 0, α5,2 = 1.25725 × 10−11 , (1) (1) (1) (1) α5,3 = 0, α5,4 = −4.96157 × 10−14 , α5,5 = 0, α5,6 = 1.01945 × 10−16 , (1) (1) (1) (1) (1) α6,0 = 6.84415 × 10−19 , α6,1 = −4.16135 × 10−12 , α6,2 = −1.17867 × 10−21 , α6,3 = 3.30116 × 10−14 , α6,4 = 7.20796 × 10−25 , (1) (1) α6,5 = −1.0189 × 10−16 , α6,6 = 1.92847 × 10−28 , (2) (2) (2) (2) α0,0 = 0, α0,1 = −0.154773, α0,2 = 0, α0,3 = 0.000153164, 46 (2) (2) (2) α0,4 = 0, α0,5 = −1.94761 × 10−7 , α0,6 = 0, (2) (2) (2) α1,0 = −0.00330998, α1,1 = 0, α1,2 = −0.000454628, (2) (2) (2) (2) (2) (2) α1,3 = 0, α1,4 = 8.07492 × 10−7 , α1,5 = 0, α1,6 = −7.25752 × 10−11 , (2) α2,0 = 0, α2,1 = 0.000474364, α2,2 = 0, (2) (2) (2) (2) α2,3 = −2.38356 × 10−6 , α2,4 = 0, α2,5 = 8.74759 × 10−9 , α2,6 = 0, (2) (2) (2) α3,0 = −3.42587, α3,1 = 0, α3,2 = 0.000450867, (2) (2) (2) (2) α3,3 = 0, α3,4 = −2.62469 × 10−8 , α3,5 = 0, α3,6 = 6.72389 × 10−11 , (2) (2) (2) α4,0 = 6.26804 × 10−20 , α4,1 = −1.18147 × 10−6 , α4,2 = 2.76022 × 10−20 , (2) (2) (2) α4,3 = 1.46801 × 10−8 , α4,4 = −8.42559 × 10−24 , α4,5 = −1.00485 × 10−10 , (2) (2) (2) α4,6 = 0, α5,0 = 2.28118 × 10−7 , α5,1 = −1.48172 × 10−17 , (2) (2) (2) α5,2 = −8.74757 × 10−9 , α5,3 = −1.41297 × 10−20 , α5,4 = 1.00485 × 10−10 , (2) (2) (2) (2) α5,5 = 3.79152 × 10−23 , α5,6 = −6.41603 × 10−13 , (2) α6,0 = 3.22434 × 10−17 , α6,1 = 2.8586 × 10−9 , α6,2 = −8.31337 × 10−20 , (2) (2) α6,3 = −6.66531 × 10−11 , α6,4 = 8.38939 × 10−23 , (2) (2) α6,5 = 6.41603 × 10−13 , α6,6 = 2.46844 × 10−25 , (1) (1) (1) (1) (1) β0,0 = 0, β0,1 = −0.000948798, β0,2 = 0, β0,3 = 0, β0,4 = 0, (1) (1) β0,5 = −1.71518 × 10−8 , β0,6 = 0, (1) (1) (1) β1,0 = 0.000948797, β1,1 = 0, β1,2 = −0.0000143016, (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) β1,3 = 0, β1,4 = 8.74765 × 10−8 , β1,5 = 0, β1,6 = −3.94888 × 10−10 , (1) (1) β2,0 = 0, β2,1 = 0.0000143016, β2,2 = 0, β2,3 = −1.76163 × 10−7 , (1) β2,4 = 0, β2,5 = 1.19977 × 10−9 , β2,6 = 0, (1) (1) (1) β3,0 = −4.72597 × 10−6 , β3,1 = 0, β3,2 = 1.76163 × 10−7 , (1) (1) (1) (1) β3,3 = 0, β3,4 = −2.00973 × 10−9 , β3,5 = 0, β3,6 = 1.27896 × 10−11 , (1) (1) β4,0 = −2.54078 × 10−9 , β4,1 = −8.62029 × 10−8 , (1) (1) (1) β4,2 = 2.40129 × 10−22 , β4,3 = 2.00811 × 10−9 , β4,4 = 2.1064 × 10−24 , (1) (1) β4,5 = −1.92477 × 10−11 , β4,6 = 1.0532 × 10−24 , (1) (1) (1) β5,0 = 1.71518 × 10−8 , β5,1 = 0, β5,2 = −1.19977 × 10−9 , (1) (1) (1) (1) β5,3 = 0, β5,4 = 1.92483 × 10−11 , β5,5 = 0, β5,6 = −1.37427 × 10−13 , 47 (1) (1) (1) β6,0 = 6.45494 × 10−13 , β6,1 = 3.94564 × 10−10 , β6,2 = −4.14483 × 10−22 , (1) (1) β6,3 = −1.27892 × 10−11 , β6,4 = 1.5798 × 10−24 , (1) (1) β6,5 = 1.37427 × 10−13 , β6,6 = 1.23422 × 10−26 , (2) (2) (2) (2) (2) β0,0 = 0, β0,1 = −0.0103028, β0,2 = 0, β0,3 = 1.8825 × 10−6 , β0,4 = 0, (2) (2) β0,5 = −9.05992 × 10−10 , β0,6 = 0, (2) (2) (2) β1,0 = 0.0019727, β1,1 = 0, β1,2 = −4.12334 × 10−6 , (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) β1,3 = 0, β1,4 = 2.55307 × 10−9 , β1,5 = 0, β1,6 = −7.00721 × 10−13 , β2,0 = 0, β2,1 = 4.59546 × 10−6 , β2,2 = 0, β2,3 = −9.16647 × 10−9 , (2) β2,4 = 0, β2,5 = 1.25721 × 10−11 , β2,6 = 0, (2) (2) (2) β3,0 = −3.52268 × 10−6 , β3,1 = 0, β3,2 = 1.67796 × 10−8 , (2) (2) (2) (2) β3,3 = 0, β3,4 = −2.58441 × 10−11 , β3,5 = 0, β3,6 = 3.42379 × 10−14 , (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) β4,0 = −1.40423 × 10−11 , β4,1 = −4.57565 × 10−9 , β4,2 = −3.67303 × 10−22 , β4,3 = 2.07416 × 10−11 , β4,4 = 2.30387 × 10−25 , β4,5 = −4.64012 × 10−14 , β4,6 = 3.29125 × 10−26 , β5,0 = 9.13283 × 10−10 , (2) (2) (2) β5,1 = 2.06583 × 10−19 , β5,2 = −1.26075 × 10−11 , β5,3 = −8.91928 × 10−24 , (2) (2) (2) β5,4 = 4.9643 × 10−14 , β5,5 = 0, β5,6 = −1.01886 × 10−16 , (2) (2) (2) β6,0 = 1.80359 × 10−12 , β6,1 = 5.65174 × 10−14 , β6,2 = 1.72176 × 10−12 , (2) (2) β6,3 = −2.14179 × 10−15 , β6,4 = −8.05194 × 10−14 , (2) (2) β6,5 = 2.39336 × 10−17 , β6,6 = 1.29782 × 10−15 , (1) (2) (1) (2) Thay αj,k , αj,k , βj,k βj,k tính vào hệ phương trình (2.86) (j) (j) ta thu hệ phương trình đại số tuyến tính với ẩn A1 A2 với j = 1, , Giải hệ phương trình ta tìm nghiệm sau:  (1)  A1 = −0.997964a0 − 6.13198 × 10−20 a1 − 0.498983a2      −2.09338 × 10−12 a3 − 0.374237a4 − 2.61659 × 10−12 a5    +0.00329565b + 9.97968 × 10−18 b + 0.856372b −15  −5.77984 × 10 b3 + 0.641455b4 + 1.78357 × 10−13 b5 ,    (1)   A2 = 1.29354 × 10−24 a0 − 0.999995a1 + 6.31881 × 10−25 a2    −0.749997a3 + 4.70224 × 10−25 a4 − 0.624997a5 48                                                                                                                                                                +3.36455 × 10−26 b0 − 0.000237182b1 − 1.09115 × 10−24 b2 −0.000118443b3 + 9.26064 × 10−19 b4 − 0.0000739718b5 , (1) A3 = −4.16125 × 10−6 a0 − 9.45306 × 10−21 a1 − 0.500002a2 −2.89358 × 10−13 a3 − 0.500002a4 − 3.61679 × 10−13 a5 +0.000455542b0 + 1.37944 × 10−18 b1 + 0.000118618b2 −7.98923 × 10−16 b3 − 0.0000249216b4 − 7.96996 × 10−16 b5 , (1) A4 = 1.23359 × 10−27 a0 − 9.14095 × 10−9 a1 + 6.02596 × 10−28 a2 −0.25a3 + 4.48432 × 10−28 a4 − 0.3125a5 +3.20862 × 10−29 b0 + 1.19178 × 10−6 b1 − 1.04058 × 10−27 b2 +5.94057 × 10−7 b3 + 8.83145 × 10−22 b4 + 3.70599 × 10−7 b5 , (1) A5 = 3.80827 × 10−9 a0 + 1.67883 × 10−23 a1 + 1.89553 × 10−9 a2 +5.13937 × 10−16 a3 − 0.125a4 + 6.42388 × 10−16 a5 −8.09101 × 10−7 b0 − 2.45006 × 10−21 b1 − 4.0125 × 10−7 b2 +1.41898 × 10−18 b3 − 9.86683 × 10−8 b4 + 1.37455 × 10−18 b5 , (1) A6 = −3.3102 × 10−30 a0 + 1.24828 × 10−11 a1 − 1.617 × 10−30 a2 +9.34989 × 10−12 a3 − 1.20332 × 10−30 a4 − 0.0625a5 −8.60998 × 10−32 b0 − 4.37381 × 10−9 b1 + 2.79229 × 10−30 b2 −2.17435 × 10−9 b3 − 2.36982 × 10−24 b4 − 1.35428 × 10−9 b5 , (2) A1 = −0.000948737a0 + 2.07902 × 10−17 a1 − 0.000472001a2 +6.36449 × 10−10 a3 − 0.000353411a4 + 7.9552 × 10−10 a5 −1.00197b0 − 3.0341 × 10−15 b1 − 0.500173b2 +1.75724 × 10−12 b3 − 0.124637b4 + 1.70151 × 10−12 b5 , (2) A2 = −1.80165 × 10−26 a0 − 0.0000143016a1 − 8.80086 × 10−27 a2 −0.0000107046a3 − 6.5493 × 10−27 a4 − 8.91159 × 10−6 a5 −4.68616 × 10−28 b0 − 0.500002b1 + 1.51976 × 10−26 b2 −0.250001b3 − 1.28982 × 10−20 b4 − 0.156251b5 , (2) A3 = −0.0000142686a0 − 2.15231 × 10−21 a1 − 7.22239 × 10−6 a2 −2.65429 × 10−15 a3 − 5.43866 × 10−6 a4 − 3.31769 × 10−15 a5 +4.17869 × 10−6 b0 + 1.26423 × 10−20 b1 − 0.249986b2 −7.32846 × 10−18 b3 − 0.18749b4 − 5.38095 × 10−14 b5 , (2) A4 = 5.50955 × 10−31 a0 + 1.76162 × 10−7 a1 + 2.69136 × 10−31 a2 +1.3162 × 10−7 a3 + 2.00282 × 10−31 a4 + 1.09475 × 10−7 a5 +1.43306 × 10−32 b0 + 4.62504 × 10−9 b1 − 4.64752 × 10−31 b2 −0.125b3 + 3.94436 × 10−25 b4 − 0.125b5 , (2) A5 = −8.73009 × 10−8 a0 + 9.66521 × 10−23 a1 − 4.26456 × 10−8 a2 +1.44243 × 10−18 a3 − 3.17354 × 10−8 a4 + 1.80291 × 10−18 a5 49   −2.27073 × 10−9 b0 − 6.34699 × 10−24 b1 + 7.36417 × 10−8 b2     +3.9826 × 10−21 b3 − 0.0624999b4 + 2.51625 × 10−15 b5 ,     (2) A6 = 1.5517 × 10−33 a0 − 1.19976 × 10−9 a1 + 7.5799 × 10−34 a2  −8.95012 × 10−10 a3 + 5.6407 × 10−34 a4 − 7.43847 × 10−10 a5     +4.03604 × 10−35 b0 − 6.57067 × 10−12 b1 − 1.30892 × 10−33 b2     −3.27936 × 10−12 b + 1.11088 × 10−27 b − 0.03125b (2.95) Bây ta tìm nghiệm gần hệ phương trình (2.39) với N = Ta có N ∗ v1,6 (τ ) = 1− (1) τ2 Aj Uj (τ ), j=0 ∗ v2,6 (τ ) (1) =√ − τ2 N (2) Aj Tj (τ ), j=0 (2) đó, Aj Aj tính (2.95) Uj (τ ), Tj (τ ) đa thức Chebyshev loại loại hai Rút gọn ta  √ ∗ (−A(1) + A(1) − A(1) ) + (2A(1) − 4A(1) + 6A(1) )τ  − τ (τ ) = v  1,6   √  (1) (1) (1) (1) (1)   + − τ (4A2 − 12A4 + 24A6 )τ + (8A3 − 32A5 )τ    √  (1) (1) (1) (1)   + − τ (16A4 − 80A6 )τ + 32A5 τ + 64A6 τ ,   (2) (2) (2) (2) (2) (2) ∗ v2,6 (τ ) = √ (−A2 + A4 − A6 ) + (A1 − 3A3 + 5A5 )τ   1−τ    (2) (2) (2) (2) (2)   +√ (2A2 − 8A4 + 18A6 )τ + (4A3 − 20A5 )τ    1−τ    (2) (2) (2) (2)   +√ (8A4 − 48A6 )τ + 16A5 τ + (32A6 )τ 1−τ Bây ta tính u1,6 u2,6 : Do (b − a)τ + b + a ), (b − a)τ + b + a v2∗ (τ ) = v2 ( ), (b − a)τ + b + a t= , v1∗ (τ ) = v1 ( 50 nên ta có v1∗ (τ ) = v1 (t), v2∗ (τ ) = v2 (t) Mặt khác ta có    b−a b−a   u∗1,6 (y) = v1∗ (τ )sign [ (y − τ )] dτ    2   −1   y     b − a b − a   = v1∗ (τ )dτ − v1∗ (τ )dτ, y ∈ (−1, 1),   4  −1 −y −1 −y   b−a b−a    v2∗ (τ )sign [ (y − τ )] dτ u∗2,6 (y) =   2    −1   y    b − a b − a   v2∗ (τ )dτ, y ∈ (−1, 1) = v2∗ (τ )dτ −    4 Tính rút gọn tích phân ta  a−b (1) (1) (1)  ∗  (1 − y )3 70A1 − 28A3 + 18A5 (y) = u  1,6  210    a−b  )3 (105A(1) − 105A(1) + 105A(1) )y  + (1 − y   210    (1) (1)  +(168A3 − 288A5 )y     a−b (1) (1) (1) (1) + (1 − y )3 (280A4 − 700A6 )y + 480A5 y + 840A6 )y , 210    a−b (2) (2) (2)   (1 − y ) 15A1 − 5A3 + 3A5 u∗2,6 (y) =    30   a − b (2) (2) (2) (2) (2)   + (1 − y ) (15A2 − 15A4 + 15A6 )y + (20A3 − 36A5 )y    30   a   + − b (1 − y ) (30A(2) − 80A(2) )y + 48A(2) y + 80A(2) y 6 30 (2.96) Ta có 2x − b − a ) với j = 1, b−a Ta tính nghiệm gần hệ phương trình cặp tích phân Fourier uj,6 (x) = u∗j,6 ( 51 (2.10) là:    −32 (x − a)(b − x) −105(2x − a − b)   u1,6 (x) =    105 b−a b−a    105(2x − a − b) (1)  (1)   A2 +70A +   b − a     168(2x − a − b)2 (1)   + − 28 A3    (b − a)      280(2x − a − b)3 (1)   A4 +    (b − a)     10080(2x − a − b)2 16800(2x − a − b)4  (1)  + 18 − + A5    (b − a) (b − a)      3675(2x − a − b) 24500(2x − a − b)3 29400(2x − a − b)5  (1)  + − A6 +    b−a (b − a) (b − a)     15(a + b) (2)  (2) (2)  + A2 − 5A3 (x − a)(b − x) 15A u (x) = −  2,6   15 a−b     20(a + b) (2) 15(a + b) (2) 30(a + b)3 (2) (2)   + A4 +  A3 − A4 + 3A5  a−b  (a − b) (a − b) 36(a + b) (2) 48(a + b) (2) 15(a + b) (2) 80(a + b)3 (2)  A6 − −  A5 + A5 + A6   a − b (a − b) (a − b) (a − b)     30 80(a + b)5 (2) 80(a + b) (2) 30 (2)  (2)  + − + A − + A A A    a−b a−b a−b (a − b)     180(a + b)2 (2) 144(a + b) (2) 384(a + b)3 (2)    −  A4 + A5 − A5  (a − b) (a − b) (a − b)      30 (2) 480(a + b)2 (2) 800(a + b)4 (2)   − x A6 +  A6 − A6  a − b  (a − b) (a − b)      80 360(a + b) (2) 144 1152(a + b)2 (2) (2) (2)   + A5  A3 + A4 − A5 +   (a − b) (a − b) (a − b) (a − b)      960(a + b) (2) 3200(a + b)3 (2) −240 (2)   − A + A x +  6 A4   (a − b) (a − b) (a − b)      1536(a + b) (2) 640 6400(a + b)2 (2) (2)   − A6 x  A5 + A6 −   (a − b) (a − b) (a − b)      768 6400(a + b)2 (2) 2560 (2)   + A + A x − x ,   (a − b) (a − b) (a − b)5 (1) (2) với Aj , Aj , j = 1, cho công thức (2.95) 52 , Kết luận Luận văn trình bày số kết sau đây: Trình bày tổng quan số kiến thức toán tử tích phân kì dị khơng gian L2ρ , phương trình tích phân, đa thức Chebyshev, hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính, biến đổi Fourier hàm giảm nhanh, biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm, không gian Sobolev, không gian Sobolev vevtơ, phiếm hàm tuyến tính liên tục, tốn tử giả vi phân vevtơ Trình bày tính giải hệ phương trình cặp tích phân Fourier Thực việc giải gần hệ phương trình cặp tích phân Fourier gặp tốn biên hỗn hợp phương trình điều hòa với bước sau đây: + Đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier dạng khơng thứ ngun + Thực giải gần hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính "chặt cụt" đến N = sau tìm nghiệm gần hệ phương trình tích phân kì dị 53 Tài liệu tham khảo Tài liệu Tiếng Việt [1] Lê Thị Tuyết Nhung, (2016), "Tính giải hệ phương trình cặp tích phân Fourier" Luận văn thạc sĩ Tài liệu Tiếng Anh [2] Brychkov U A and Prudnikov A P (1997), Generalized Integral Tranformations, Nauka, Moscow [3] Duduchava R (1979), Intergral Equations with Fixed Singlarites, Teubner Verlagsgesellscohaft, Leipzig [4] Eskin G.I (1973), Boundary Value Problems for Elliptic Pseudodifferential Equations, Nauka, Moscow, (in Russia) [5] Kantorovich L.V Krylov Yu.A (1962), Approximate Methods in Higher Analysis, Fizmatgiz, Moscow, (in Russia) [6] Krylov V.I (2006), Approximate Calculation of Integrals, Dover Publi cation INC [7] Lions J.L Magens E (1968), Problems aux limites non homogenes et applications, Volume 1, Dunod - Pris [8] Ngoc N.V (1988), "On the solvability of dual Integral equations involving Fourier Transforms", Acta Math Vietnamica, 13(2), pp 21-23 [9] Ngoc N.V (2009), "Dual Integral equations involving Fourier tranformations with increasing symbol" Acta Math Vietnamica, 24(3), pp 305 318 54 [10] Ngan N.T and Minh N.T (2012), "Solvability of a system of dual Integral equations of mixed boundary value problem for the Laplace equation", Journal of Science and Technology, Thai Nguyen University, 93(5), pp 117 - 122 [11] Ngoc N.V and Ngan N.T (2009), "On some systems of dual Integral equations involving Fourier Transforms", Algebraic Structures in Partial Differential Equations Related to Complex and Clifford Analysis, Ho Chi Minh City University of Education Press, pp 225 - 248, (Based on the selected lectures of the 17t h International Conference on Finite and Infinite Dimensional Complex Analysis and Applications, Ho Chi Minh City, August 1-3, 2009) [12] Popov G Ia (1982), Comtact Problems for a Linearly Deformed Base, Víhcha Shkola, Kiev (in Russia) [13] Vladimirov V.S (1979), Generalized Functions in Mathematical Physics, Moscow, Mir (in Russia) [14] Volevich L.R and Panekh B.P (1965), "Some spaces of generalized functions and imbedding theroem" Uspekhii Matt Nauk, 20(1), pp 3-74 (in Russia) 55 ... hệ phương trình cặp tích phân Fourier 22 2.1.3 Tính giải hệ phương trình cặp tích phân Fourier (2.10) 23 2.1.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier hệ phương trình. .. vi phân vectơ Chương hai trình bày tính giải hệ phương trình cặp tích phân với phép biến đổi Fourier giải gần hệ phương trình cặp tích phân Fourier Mục 2.1 trình bày tính giải hệ phương trình cặp. .. (2.36) hệ tựa hồn tồn quy 2.2 Giải gần hệ phương trình cặp tích phân Fourier Trong mục thực giải gần hệ phương cặp tích phân Fourier xét mục 2.1 30 2.2.1 Đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier