ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ THẢO MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẶC TRƯNG CỦA PHÂN PHỐI MŨ HAI CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội, Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ THẢO MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẶC TRƯNG CỦA PHÂN PHỐI MŨ HAI CHIỀU Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS ĐÀO HỮU HỒ Hà Nội, Năm 2014 LỜI NÓI ĐẦU Khi nghiên cứu biến ngẫu nhiên đó, thơng tin đầy đủ nhất, quan trọng mà ta mong muốn có ta xác định xem quy luật phân phối biến ngẫu nhiên phân phối Chính từ thập niên 50 - 60 - 70 kỷ trước toán đặc trưng phân phối xác suất phát triển mạnh mẽ Tuyển tập kết theo hướng ba nhà khoa học lớn giới: Linnik Yu.V, Kagan A.M Rao C.R tổng kết lại "Characterization Problems in Mathematical Statistics" xuất năm 1972 Một tính chất S gọi tính chất đặc trưng cho họ phân phối F = {F (x, θ), θ ∈ O} X ≈ F ∈ F ta có tính chất S ngược lại, có tính chất S ta suy X có phân phối thuộc họ F Trong chuyên khảo nhiều tính chất đặc trưng cho họ phân phối xác suất quen thuộc Song kết chủ yếu tập trung vào biến ngẫu nhiên chiều Trên thực tế phân phối nhiều chiều quen thuộc phân phối chuẩn phân phối đa thức Vì xây dựng phân phối nhiều chiều khác tính chất đặc trưng chúng tốn mở, thu hút nhiều quan tâm nhà khoa học giới Luân văn ” Một số toán đặc trưng phân phối mũ hai chiều ” theo hướng nghiên cứu họ phân phối mũ Ngoài phần mở đầu, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương: Chương 1: Một số kết cần dùng Chương giới thiệu khái niệm phân phối nhiều chiều, phân phối có điều kiện, phân phối biên duyên, phân phối tổng, phân phối đuôi, phân phối i X , tính trí nhớ, hàm sống sót, tương ứng với phân phối mũ Chương 2: Phân phối mũ hai chiều Trong chương luận văn giới thiệu số dạng khác phân phối mũ hai chiều, theo quan điểm dựa phân phối biên duyên, tốc độ thất bại, thời gian chờ đợi, dựa đặc tính vật lý, tính trí nhớ, lý thuyết độ tin cậy Chương 3: Đặc trưng phân phối mũ hai chiều Chương trình bày kết qủa đặc trưng phân phối mũ hai chiều dạng Gumbel Các kết trình bày chương chương luận văn dựa luân án tiến sỹ tác giả Muraleedharan Nair K.R thuộc trường Đại học Khoa học Kỹ thuật Cochin - Ấn độ ii LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS ĐÀO HỮU HỒ người tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo Khoa Tốn - Cơ - Tin, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy tham gia giảng dạy khóa cao học khóa 2011 - 2013 Nhân dịp tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên, giúp đỡ để hồn thành nhiệm vụ Hà Nội, tháng 11 năm 2013 iii Mục lục Lời nói đầu i Lời cảm ơn iii Một số kết cần dùng 1.1 Phân phối nhiều chiều liên tục 1.1.1 Vectơ ngẫu nhiên 1.1.2 Hàm mật độ đồng thời vectơ ngẫu nhiên 1.1.3 Hàm phân phối đồng thời vectơ ngẫu nhiên 1.1.4 Phân phối biên duyên 1.1.5 Phân phối có điều kiện 1.2 Một số khái niệm liên quan đến phân phối mũ chiều 1.3 Phân phối tổng Phân phối mũ hai chiều 2.1 Phân phối mũ hai chiều Gumbel 2.2 Phân phối Freund 12 2.3 Phân phối Marshall Olkin 13 2.4 Phân phối Moran 15 2.5 Phân phối Downton 15 2.6 Phân phối Paulson 17 iv 2.7 Phân phối Block Basu 18 2.8 Mơ hình Raftery 22 2.9 Mơ hình tổng qt Sarkar 23 Đặc trưng phân phối mũ hai chiều 3.1 26 Phân phối Gumbel sửa đổi 26 3.1.1 Phân phối biên duyên phân phối có điều kiện 27 3.1.2 Tính trí nhớ địa phương 28 3.1.3 Các mômen 28 3.1.4 Các mômen bị chặt cụt 30 3.1.5 Các mômen riêng 30 3.1.6 Phân phối biến cực đại cực tiểu 31 3.2 Bài toán đặc trưng 32 3.3 Các đặc trưng dựa mômen bị chặt cụt (xem [26]) 32 3.3.1 Các tính chất mômem bị chặt cụt 38 3.4 Các đặc trưng dựa phức hợp hình học 45 3.5 Đặc trưng phân bố có điều kiện 50 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 v Chương Một số kết cần dùng 1.1 1.1.1 Phân phối nhiều chiều liên tục Vectơ ngẫu nhiên Giả sử X = (X1 , X2 , , Xn ) Xi , i = 1, 2, , n biến ngẫu nhiên chiều, X gọi vectơ ngẫu nhiên n chiều 1.1.2 Hàm mật độ đồng thời vectơ ngẫu nhiên Hàm mật độ đồng thời vectơ ngẫu nhiên X = (X1 , X2 , , Xn ) hàm f : Rn → R thỏa hai điều kiện: (i) f (x1 , x2 , xn ) ≥ (ii) f (x1 , x2 , xn ) dx1 dx2 dxn = Rn 1.1.3 Hàm phân phối đồng thời vectơ ngẫu nhiên Định nghĩa: Hàm F (x1 , x2 , xn ) = P {X1 < x1 , X2 < x2 , , Xn < xn } = x1 x2 = xn f (t1 , t2 , , tn )dt1 dt2 dtn −∞ −∞ −∞ gọi hàm phân phối đồng thời (X1 , X2 , , Xn ) với f (x1 , x2 , , xn ) hàm mật độ đồng thời (X1 , X2 , , Xn ) Tính chất: (1) Liên tục bên trái biến (2) Không giảm biến số (3) lim x →+∞ xn →+∞ F (x1 , , xn ) = F (x1 , , xn ) → có xi → −∞ ∂ nF (4) Ta có f (x1 , , xn ) = ∂x1 , , ∂xn (5) Xác suất để biến ngẫu nhiên (X, Y ) nhận giá trị hình chữ nhật giới hạn đường thẳng x = x1 , x = x2 (x1 < x2 ); y = y1 , y = y2 (y1 < y2 ) là: P (x1 < X < x2 , y1 < Y < y2 ) = F (x2 , y2 ) + F (x1 , y1 ) − F (x1 , y2 ) − F (x2 , y1 ) 1.1.4 Phân phối biên duyên Giả sử X = (X1 , X2 , Xn ) vectơ ngẫu nhiên liên tục n chiều có hàm mật độ đồng thời f (x1 , x2 , xn ) Ta gọi hàm: xj1 Fj1 jm (xj1 , xj2 , , xjm ) = xjm +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ f (x1 , , xn )dx1 dxn −∞ hàm phân phối biên duyên m chiều vectơ X Nói cách khác, ta lấy nhóm m(m < n) biến bất kỳ, chẳng hạn xj1 , xj2 , , xjm (1 ≤ j1 < j2 < < jm ≤ n) cho (n − m) biến cịn lại dần tới +∞ Khi F (x1 , x2 , xn ) dần tới hàm phân phối theo biến xj1 , xj2 , , xjm Hàm phân phối biên duyên m chiều vectơ X Đó hàm phân phối vectơ m chiều (Xj1 , Xj2 , , Xjm ) Khi m = 1, đặt j1 = i ta có hàm phân phối biên duyên vectơ ngẫu nhiên X hay hàm phân phối Xi : xi +∞ Fi (xi ) = +∞ −∞ −∞ f (x1 , , xn )dx1 dxn = F (+∞, , xi , , +∞) −∞ Trường hợp hai chiều: Giả sử vectơ ngẫu nhiên (X1 , X2 ) có hàm mật độ f (x1 , x2 ), ta có phân phối biên dun phân phối thành phần thứ X1 phân phối thành phần thứ hai X2 : x1 +∞ F1 (x1 ) = f (t1 , t2 )dt1 dt2 = F (x1 , +∞) −∞ −∞ x2 +∞ F2 (x2 ) = f (t1 , t2 )dt1 dt2 = F (+∞, x2 ) −∞ −∞ Tương ứng với hàm phân phối biên duyên, có hàm mật độ biên duyên Trong trường hợp hai chiều hai mật độ biên duyên là: +∞ f1 (x1 ) = f (x1 , x2 )dx2 −∞ +∞ f2 (x2 ) = f (x1 , x2 )dx1 −∞ 1.1.5 Phân phối có điều kiện Trong luận văn dừng lại phân phối hai chiều, để đơn giản nhắc lại định nghĩa phân phối có điều kiện trường hợp hai chiều Giả sử vectơ ngẫu nhiên (X, Y ) có hàm mật độ f (x, y) Hàm mật độ có điều kiện X Y định nghĩa bởi: f (x|y) = f (x, y) f2 (y) N SjN = XJk N biến ngẫu nhiên tuân theo luật hình học (3.82) k=1 độc lập với Xjk , thoả mãn với số thực x > t1 , t2 ≥ Xk có phân phối mũ hai chiều (3.1) với αj = [mj (o)]−1 Chứng minh: Logic chứng minh giống trường hợp đơn biến, điều chỉnh cách thích hợp sang tình hai biến (xem [5]) Khi Xk biến ngẫu nhiên có phân phối mũ hai chiều hàm mật độ X1k với điều kiện X2k > t2 cho f (x| X2k > t2 ) = (α1 + θt2 ) exp [− (α1 + θt2 ) x] , x > với hàm đặc trưng A(s, t2 ) = [1 − is(α1 + θt2 )]−1 (3.86) Bây B(s, t2 ) hàm đặc trưng SjN với điều kiện X2k > t2 cho với ≤ k ≤ N , ta có ∞ B(s, t2 ) = ∞ = P (N = n)[A(ps, t2 )]n n=1 p(1 − p)n−1 [A(ps, t2 )]n (3.87) n=1 = pA (ps, t2 ) [1 − (1 − p) A(ps, t2 )]−1 Thay (3.86) vào (3.87) tìm A (s, t2 ) = B (s, t2 ) với s, t2 ≥ (3.88) Điều chứng minh (3.85) với j = Chứng minh cho j = suy tính đối xứng Ngược lại (3.85) thỏa mãn với j = 1, (3.88) từ (3.87) A(s, t2 ) = pn A (pn s, t2 ) [1 − (1 − pn ) A (pn s, t2 )]−1 (3.89) với n = 1, 2, Theo chứng minh trường hợp đơn biến đưa Azlarov 53 Volodin (xem [5]) viết (3.89) dạng [1 − A(s, t2 )] A(s, t2 )−1 = [1 − A (pn s, t2 )] p−n [A (pn s, t2 )]−1 Lấy giới hạn n → ∞ ta có − A(pn s, t2 ) A (pn s, t2 ) − 1 − A(s, t2 ) = nlim n = − lim p s→0 p sA (pn s, t2 ) pn s→0 A (pn s, t2 ) A(s, t2 ) pn s = −A (0, t2 ) , (vì A (0, t2 ) = 1) = im1 (t2 ) Như A(s, t2 ) = [1 − ism1 (t2 )]−1 , từ hàm mật độ X1k với điều kiện X2k > x2 cho là: f (x1 |X2k > x2 ) = [m1 (x2 )]−1 exp −[m1 (x2 )]−1 x1 (3.90) Nếu xét hệ thức (3.85) với j = 2, lập luận tương tự trên, dẫn đến f (x2 |X1k > x1 ) = [m2 (x1 )]−1 exp −[m2 (x1 )]−1 x2 (3.91) Cho x1 dần (3.91) P (X2k > x2 ) = exp [−α2 x2 ] Theo ∞ R (x1 , x2 ) = [m1 (x2 )]−1 exp [−m1 (x2 )]−1 x1 exp [−α2 x2 ] dx1 x1 −1 = exp −α2 x2 − [m1 (x2 )] (3.92) x2 Tương tự R (x1 , x2 ) = exp −α1 x1 − [m2 (x1 )]−1 x1 (3.93) Từ hai hệ thức dẫn đến phương trình hàm (α1 x1 − α2 x2 ) m1 (x2 ) m2 (x1 ) = x1 m2 (x1 ) − x2 m1 (x2 ) 54 (3.94) Trong điều kiện đặt hàm m định lý, tiến hành Định lý 3.1 dạng nghiệm (3.94) mj (x3−j ) = (αj + θx3−j )−1 , j = 1, (3.95) Sử dụng (3.95) (3.92) (3.93) có dạng mong muốn phân phối mũ hai chiều Kết Định lý 3.8 liên quan đến tổng hình học thành phần (Xk ) mà chúng độc lập, phân phối thỏa mãn điều kiện (3.85) Câu hỏi đặt nói phân phối (Xk ) có hai tổng hình học riêng phân phối ? Câu trả lời vấn đề Xk có phân phối mũ hai chiều dạng Gumbel Câu trả lời ta thiết lập định lý sau Định lý 3.9 Nếu (Xk ) dãy biến ngẫu nhiên Định lý 3.8, điều kiện: P p1 SjN1 > xj |X3−j,k > t3−j ; ≤ k ≤ N1 (3.96) = P p2 SjN2 > xj |X3−j,k > t3−j ; ≤ k ≤ N2 ; j = 1, thỏa mãn với tj , xj > phân phối chung (Xk ) phân phối mũ hai chiều dạng (3.1), Nj , j = 1, biến hình học độc lập với Xjk P [Nj = nj ] = pj (1 − pj )nj −1 , nj = 1, 2, (3.97) Chứng minh: Để chứng minh điều kiện cần, theo kí hiệu chứng minh Định lý 3.8, hàm đặc trưng A(s, t2 ) X1k với điều kiện X2k > t2 cho, Xk có phân phối (3.1) biểu thức (3.86): A(s, t2 ) = [1 − i (α1 + θt2 ) s]−1 55 Hàm đặc trưng B1 (s, t2 ) p1 S1N cho (X2k > t2 ) với ≤ k ≤ N , cho (3.87) B1 (s, t2 ) = p1 A (p1 s, t2 ) [1 − (1 − p1 )A (p1 s, t2 )]−1 Chúng ta thấy B1 (s, t2 ) = A (s, t2 ) với t2 Hơn nữa, hàm đặc trưng p2 S1N2 cho (X2k > t2 )là B(s, t2 ), rút gọn lại A(s, t2 ), chứng minh (3.96 ) cho j = Bởi chứng minh cho j = tương tự, điều kiện cần suy Ngược lại điều kiện (3.96) suy với j = B1 (s, t2 ) = B2 (s, t2 ) Nghĩa p1 A (p1 s, t2 ) [1 − (1 − p1 )A (p1 s, t2 )]−1 = p2 A (p2 s, t2 ) [1 − (1 − p2 )A (p2 s, t2 )]−1 p1 sA (p1 s, t2 ) p2 sA (p2 s, t2 ) = − (1 − p1 )A (p1 s, t2 ) − (1 − p2 )A (p2 s, t2 ) Phương trình (3.98) xếp lại 1 1 − = − ip2 s ip2 sA (p2 s, t2 ) ip1 s ip1 sA (p1 s, t2 ) với < p1 , p2 t1 |X2k > t2 ] = exp (−k1 (t2 ) t1 ) (3.99) P [X1k > t1 ] = exp (−α1 t1 ) α1 = k1 (o) Tương tự cho j = P [X2k > t2 |X1k > t1 ] = exp (−k2 (t1 ) t2 ) (3.100) P [X2k > t2 ] = exp (−α2 t2 ) , α2 = k2 (o) Chứng minh phần lại tương tự định lí trước kết thiết lập Trong hai định lí cuối, lấy tổng hình học biến ngẫu nhiên, tham số giới hạn giá trị cố định khoảng (0, 1) Bây xem xét khả nới lỏng giả thiết cách cho phép p giá trị biến ngẫu nhiên (0, 1) phân phối Xk tuân theo phân phối (3.1) Định lí 3.10 Giả sử dãy (Xk ) biến ngẫu nhiên N Định lí 3.8 Nếu p biến ngẫu nhiên với hàm phân phối G(p) (0, 1), biến ngẫu nhiên Xjk pSjN có phân phối (Xk ) tuân theo phân phối mũ hai chiều (3.1) Chứng minh: Giả sử Xk có phân phối mũ hai chiều, theo kí hiệu sử dụng 57 Định lí 3.8: B(s, t2 ) = = = 3.5 pA (ps, t2 ) [1 − (1 − p) A (ps, t2 )]−1 dG (p) p[1 − ips (α1 + θt2 )]−1 dG (p) − (1 − p) [1 − ips (α1 + θt2 )]−1 dG (p) = A (s, t2 ) − is (α1 + θt2 ) Đặc trưng phân bố có điều kiện Ta biết phân phối hai chiều không xác định phân phối biên duyên Minh họa tốt cho điều cung cấp mơ hình mũ hai chiều, nghiên cứu chương trước Nhưng, dạng phân phối biên duyên lấy sở việc xây dựng phiên hai chiều thấy cơng trình Morgenstern năm 1956 (xem [25]) Farlie năm 1960 (xem [13]) Tuy nhiên chuyển ý từ biên duyên sang phân phối có điều kiện, có khả xác định mơ hình hai chiều với mật độ có điều kiện xác định Abrahams Thomas năm 1984 (xem [3]) mật độ có điều kiện f1 (x|y) f2 (y|x) xác định hàm mật độ hai chiều f (x, y) g (x) f1 (x|y) = f2 (x|y) h (y) (3.101) g(.) h(.) hàm khả tích không âm với biên duyên Trong trường hợp phân phối (3.1) thấy rằng: f1 (x1 |x2 ) [(α1 + θx2 ) (α2 + θx1 ) − θ] exp [− (α1 + θx2 ) x1 ] exp (−α1 x1 ) = = f2 (x2 |x1 ) [(α1 + θx2 ) (α2 + θx1 ) − θ] exp [− (α2 + θx1 ) x2 ] exp (−α2 x2 ) (3.102) với số hạng vế phải thoả mãn điều kiện yêu cầu Như hai mật độ có điều kiện xác định mơ hình (3.1) Tuy nhiên thấy dạng 58 điều kiện khơng phải mũ khơng có khả rút gọn mơ hình tiêu chuẩn tiếng Mặt khác xem xét mật độ điều kiện f (xi |Xj > xj ) trình bày phương trình (3.9) mà hàm mũ, đặc trưng ngơn ngữ ích lợi Trong mục trình bày kết tổng quát điều kiện cần đủ phép xác định mật độ đồng thời f (x1 , x2 ) theo ngơn ngữ mật độ có điều kiện f (xi |Xj > xj ) sử dụng để đặc trưng cho (3.1) Định lý 3.11 Giả sử X = (X1 , X2 ) véctơ ngẫu nhiên có phân phối liên tục tuyệt độ đo Lebesgue miền Q = {(x1 , x2 ) | xi > 0, i = 1, 2}, t = (t1 , t2 ) véctơ số thực không âm Ri (ti |tj ) = P [Xi > ti |Xj > tj ] ; i, j = 1, 2; i = j (3.103) Hàm mật độ X xác định hàm sống sót R1 (t1 |t2 ) R2 (t2 |t1 ) điểm mà hàm khác 0, R1 (t1 |t2 ) g(t1 ) = , R2 (t2 |t1 ) h(t2 ) (3.104) g(.) h(.) hàm thực khơng âm với đạo hàm liên tục không gian Q1 = {x|x > 0} thoả mãn g(o+) = h (o+) Chứng minh: Để chứng minh điều kiện đủ ý với điều kiện định lý, có tồn hàm u v Q1 cho ∞ g (t1 ) = u (y) dy t1 ∞ h (t2 ) = v (y) dy t2 59 Phương trình (3.104) tương đương với ∞ R1 (t1 |t2 ) = R2 (t2 |t1 ) u (y) dy t1 ∞ (3.105) v (y) dy t2 Vì g(o+) = h (o+) , nên (3.105) viết lại là: ∞ ∞ R1 (t1 |t2 ) = R2 (t2 |t1 ) u (y) dy/ t1 ∞ u (y) dy ∞ v (y) dy/ t2 Nếu ta viết (3.106) v (y) dy ∞ u (y) dy S (t1 ) = t1 ∞ u (y) dy thấy S hàm không tăng, S (+∞) = S(o) = Hơn t1 +h S(t1 + h) − S (t1 ) = ∞ u (y) dy u (y) dy/ t1 S (t1+O ) = S (t1 ) Điều chứng minh tính liên tục phải S Như S hàm sống sót R1 (t1 ) biến ngẫu nhiên X1 tương tự mẫu số vế phải (3.106) hàm sống sót R2 (t2 ) X2 Vậy hàm sống sót X nhất, cho R(t1 , t2 ) = R1 (t1 |t2 ) R2 (t2 ) 60 mật độ tướng ứng f (x1 , x2 ) Điều kiện cần nhận ta viết R(t1 |t2 ) = R(t1 , t2 ) R2 (t2 ) R(t2 |t1 ) = R(t1 , t2 ) R1 (t1 ) lấy tỉ số chúng gạch bỏ số hạng chung, R1 (t1 ) R2 (t2 ) g(.) h(.) Hệ X có phân phối mũ hai chiều (3.1) phân phối có điều kiện Xi với điều kiện Xj > tj cho hàm mũ Chứng minh: Từ phương trình (3.8),ta thấy R (t1 |t2 ) exp [− (α1 + θt2 ) t1 ] exp (−α1 x1 ) g(t1 ) = = = R (t2 |t1 ) exp [− (α2 + θt1 ) t2 ] exp (−α2 x2 ) h(t2 ) g h thoả mãn điều kiện Định lý Nhận xét Định lý 3.11 tổng quát đặc trưng áp dụng cho phân phối hai chiều Nó dùng để đặc trưng cho phân phối hai chiều khác Pareto (xem [21]), Lomax (xem [20]), Burr (xem [12]) Không giống đặc trưng khác trình bày phần 3.3 3.4 mà mở rộng theo nghĩa tính chất đơn biến tướng ứng, kết phần áp dụng cho phân phối hai chiều 61 Kết luận Luận văn " Một số toán đặc trưng phân phối mũ hai chiều " giới thiệu dạng khác phân phối mũ chiều, tính chất tương ứng chúng Đó dạng phân phối mũ hai chiều Gumbel, Freund, Marshall Olkin, Moran, Downton, vv Tiếp đến luận văn trình bày tính chất đặc trưng phân phối mũ chiều dạng Gumbel thứ theo ba hướng: + Đặc trưng dựa tính chất mơmen bị chặt cụt + Đặc trưng dựa phức hợp hình học + Đặc trưng phân phối có điều kiện Do khả có hạn nên cố gắng luận văn khơng tránh khỏi thiếu xót Tơi mong nhận góp ý q thầy cô bạn đọc 62 Tài liệu tham khảo [1] Đào Hữu Hồ, (2012 In lần thứ 13) Xác Suất thống kê, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên, (2009) Lý thuyết Xác suất, NXB giáo dục [3] Abrahams J and Thomas J.B (1984) A note on the characterization of bivariate densities by conditional densities, Commun Statist A, 13(3), 395400 [4] Arnold B.C, (1973) Some characterization of the exponential distribution by geometric compounding, SIAM.J.Appl.Maths, 24; 242-244 [5] Azlarov T.A and Vilodin N.A (1986) Characterization problems associated with the exponential distribution, Springer-Verlag [6] Basu A.P (1971) Bivariate failure rate, J.Amer statist Assoc 66, 103-104 [7] Block H W, (1973) Monotone hazard and failure rates for absolutely continuous multivariate failure distributions Department of Mathematics Research Report 73 - 20, University of Pittsburg [8] Block H W, (1974) Constant multivariate hazard rate and continuous multivariate extensions, Department of Mathematics Research Report 74-12 University of Pittsburg 63 [9] Block H W, (1977) A characterization of a bivariate exponential distribution, Ann.Statist , 5, 808-812 [10] Bloch H.W, and Basu A.P (1974) A continuous bivariate exponential extension, J.Amer Statist Assoc 69, 1031 - 1037 [11] Downton F, (1970), Bivariate exponential distributions in reliability theory, J.Roy Statist Soc., Series B,33, No.3, 408-417 [12] Durling F.C, (1975), The bivariate Burr distribution in G.P Patil, S Kotz and J.K Ord (Eds) Statistical distributions in scientific work, vol I, Models and Structures, 329-335, Dordrecht, Reidel [13] Farlie D.J.G (1960), The performance of some correlation coefficients for a general bivariate distribution, Biometrika 47, 307-323 [14] Freund J.E, (1961) A bivariate extension of the exponential distribution, J.Amer Statist Assoc ,56, 971- 977 [15] Galambos J and Kotz S (1978) Characterizations of probability distributions, Springer-Verlag [16] Gumbel E.J (1960) Bivariate exponential distributions, J Amer Statist Assoc 55, 698- 707 [17] Gupta R.C (1975) On characterization of distributions by conditional expectations, Commun Statistics A, 4, 99-103 [18] Johnson N.L and Kotz S (1972) Distributions in Statistics, Continuous univariate distribution I John Wiley [19] Johnson N.L and Kotz S (1975) A vector valued multivariate hazard rate, J.Multiv Anal 5, 53-66 64 [20] Lindley D.V and Singpurwala N.D (1986) Multivariate distributions for the life lengths of a system sharing a common environment, J Appl Prob 23, 418-431 [21] Mardia K.V (1962) Multivariate Pareto distributions, Ann.Math.Statist, 33, 1008-1015 [22] Marshall A.W, (1975) Some comments on the hazard gradient, Stoch Proc Appl 3, 293-300 [23] Marshall A.W and Olkin I (1967) A multivariate exponential distribution, J Amer Statist Assoc 62, 30-44 [24] Moran P.A.P (1967) Testing for correlation between non-negative variates, Biometrika, 54, 385- 394 [25] Morgenstern D (1956) Einfache Beispiele Zweidimensionalar Verteilungen Milt fur, Math Stat 8, 234-235 in Jonhnson and Kotz (1970) [26] Nair K.R.M and Nair N.U (1988 a) On characterizing the bivariate exponential and geometric distributions, Ann, Inst Statist Math.40, 267-271 [27] Paulson A.S (1973) A characterization of the exponential distributions and a bivariate exponential distribution, Sankhya A, 35, 69-78 [28] Puri P.S and Rubin H (1974) On a characterization of the family of distributions with constanob multivariate failure rates, Ann Prob 2, 738-740 [29] Raftery A.E (1984) A continuous bivariate exponential distributions, Commun Statist, Theory and Methods, 13, 947- 965 [30] Rao C.R and Rubin H (1964) On a characterization of the Poisson distributions, Sankhya A, 26, 294-298 65 [31] Renyi A (1956) A characterization of the Poisson process, selected papers of Alfred Renyi Vol.I, Akademia Kaido, Budapest [32] Sarkar K.S, (1987) A continuous bivariate exponential distributions, J.Amer Statist Assoc 82, 398, 667-675 [33] Seshadri V and Patil G.P (1964) A characterization of bivariate distributions by the marginal and conditional distributions of the same component, Am Inst Statist math 15, 215- 221 [34] Shanbhag D.N (1970) Characterizations for exponential and geometric distribution, J.Amer Statist Assoc 65, 1256-1259 [35] Zahedi H (1985) Some new classes of multivariate survival distribution functions, J Statist Plann and Inf II, 171-188 [36] Reimhardt H.E (1968) Characterizing the exponential distribu- tion,Biometrcs 24, 437-438 [37] Nagaraja H.N (1975) Characterization of some distributions by conditional moments, J.Ind Statist.Assoc 13, 57-61 [38] Mukherjee S.P and D.Roy (1986) Some characterizations of the exponential and ralated life distributions, Cal Statist Assoc Bull 189-197 [39] Gupta P.L and Gupta R.C (1983) On the moments ò residual life in reliability and some characterization results, Commun Statistics A, 12, 449461 [40] Talwalker S (1970) A characterization of the double Poisson distribution, Sankhya, A, 32, 265-270 66 [41] Patil G.P and Ratnaparkhi M.V (1975) Problems of damaged random variables and related characterizations, (in Statistical characterizations in scientific work Vol 3) Ed.G.P.Patil, S.Kotz and J.K.Ord, D-Reidel [42] Characterizations of the Gumbel’s bivariate exponential distribution, Statistical Vol 21 (1990) (Reference 39) 67 ... NHIÊN VŨ THỊ THẢO MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẶC TRƯNG CỦA PHÂN PHỐI MŨ HAI CHIỀU Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa... trí nhớ, hàm sống sót, tương ứng với phân phối mũ Chương 2: Phân phối mũ hai chiều Trong chương luận văn giới thiệu số dạng khác phân phối mũ hai chiều, theo quan điểm dựa phân phối biên duyên,... trưng chúng toán mở, thu hút nhiều quan tâm nhà khoa học giới Luân văn ” Một số toán đặc trưng phân phối mũ hai chiều ” theo hướng nghiên cứu họ phân phối mũ Ngoài phần mở đầu, phần kết luận danh