ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TỐN CƠ TIN TRẦN THỊ HỒI TUYẾN TÍNH HĨA CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ HUY TIỄN Hà Nội - Năm 2014 Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Thang thời gian 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Hàm mũ 1.1.3 Một số kí hiệu 1.1.4 Đạo hàm thang thời gian 1.2 1.3 1 Nhị phân mũ Nguyên lí điểm bất động 11 Tuyến tính hóa thang thời gian 2.1 2.2 ii iii 12 Giới thiệu toán 12 Định lí tuyến tính hóa 16 Tuyến tính hóa hệ tuần hoàn thang thời gian 29 3.1 Thang thời gian tuần hoàn 29 3.2 Tuyến tính hóa trường hợp tuần hồn 30 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 i Lời cảm ơn Để hoàn thành chương trình đào tạo hồn thiện luận văn này, thời gian vừa qua nhận nhiều giúp đỡ quí báu gia đình, thầy bạn bè Vì vậy, này, muốn gửi lời cảm ơn tới người Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Tiễn, thầy nhiệt tình hướng dẫn bảo tơi q trình hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất thầy cô khoa, người trực tiếp truyền thụ kiến thức, giảng dạy tơi q trình học cao học Tơi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Tốn - Cơ - Tin học, phòng Sau Đại Học trường Đại học Khoa học Tự nhiên tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thiện thủ tục bảo vệ luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn cha mẹ tôi, người yêu thương ủng hộ tơi vơ điều kiện ii Lời nói đầu Gần đây, lí thuyết phương trình động lực thang thời gian phát triển cách có hệ thống nhằm hợp suy rộng lí thuyết phương trình vi phân phương trình sai phân Luận văn trình bày lí thuyết phương trình động lực thang thời gian với tốn tuyến tính hóa Xét hệ phương trình tuyến tính x∆ = A(t)x, (1) hệ phương trình nửa tuyến tính x∆ = A(t)x + f (t, x) (2) đó, t ∈ T, A ∈ Crd (T, L(X)) Bằng việc giới thiệu khái niệm hàm tương đương tôpô nghiên cứu mối quan hệ hệ phương trình tuyến tính (1) hệ phương trình nửa tuyến tính (2) Trong luận văn, chúng tơi giới thiệu vài điều kiện đủ đảm bảo cho tồn hàm tương đương H (t, x) biến nghiệm (c, d) - tựa bị chặn hệ phương trình nửa tuyến tính (2) lên hệ phương trình tuyến tính (1) Chúng tơi mở rộng định lí tuyến tính hóa Palmer phương trình hệ động lực thang thời gian Ở đây, chúng tơi trình bày phương pháp giải tích để nghiên cứu tốn tương đương tơpơ thang thời gian Kết trường hợp T = R Để đưa cách đầy đủ phương pháp khác nghiên cứu tốn tương đương tơpơ, chúng tơi xem xét kết khác từ cơng trình nghiên cứu Higler Hơn nữa, chứng minh hàm tương đương H (t, x) ω - tuần hoàn hệ ω tuần hồn Nội dung luận văn định lí tuyến tính hóa thang thời gian chứng minh tương đương tơpơ hệ phương trình nửa tuyến tính (2) hệ phương trình tuyến tính (1) Chìa khóa để giải vấn đề khái niệm nhị phân mũ, xây dựng hàm tương đương tôpô H (t, x) Nội dung luận văn trình bày kết báo " A new analytical method for the linearization of dynamic equation on measure chains" Yonghui Xia, Jinde Cao Maoan Han Luận văn chia thành ba chương iii Chương 1: trình bày khái niệm thang thời gian kí hiệu, khái niệm nhị phân mũ phương trình vi phân, phương trình sai phân khái niệm nhị phân mũ thang thời gian Chương 2: chứng minh tồn hàm tương đương tơpơ hệ phương trình nửa tuyến tính hệ phương trình tuyến tính Đây mục đích luận văn Chương 3: chứng minh hàm tương đương ω - tuần hoàn hệ tuyến tính ω - tuần hồn thang thời gian Do thời gian lực có hạn, luận văn cịn sai sót Tác giả mong muốn nhận góp ý thầy, cô bạn đồng nghiệp Hà nội, tháng 12 năm 2014 Trần Thị Hoài iv Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Thang thời gian 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Thang thời gian tập đóng, khác rỗng tùy ý tập số thực R Kí hiệu thang thời gian T Các tập R, Z, N, [0, 1] ∪ [2, 3] ví dụ thang thời gian Sau ta định nghĩa toán tử nhảy tiến, toán tử nhảy lui hàm graininess thang thời gian Định nghĩa 1.2 Cố định t ∈ T Toán tử σ : T −→ T xác định σ (t) := inf {s ∈ T : s > t} gọi toán tử nhảy tiến thang thời gian T Ví dụ: Nếu T = Z σ (n) = n + Nếu T = R σ (t) = t Định nghĩa 1.3 Cố định t ∈ T Toán tử ρ : T −→ T xác định ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t} gọi toán tử nhảy lui thang thời gian T Ví dụ: Nếu T = Z ρ(n) = n − Nếu T = R ρ(t) = t Ta giới thiệu khái niệm điểm rời rạc trái, rời rạc phải, trù mật trái, trù mật phải, điểm bị cô lập điểm trù mật sau Nếu σ (t) > t, ta nói t rời rạc phải Nếu ρ(t) < t, ta nói t rời rạc trái Nếu ρ(t) < t < σ (t), ta nói t bị lập Nếu σ (t) = t, ta nói t trù mật phải Nếu ρ(t) = t, ta nói t trù mật trái Nếu ρ(t) = t = σ (t), ta nói t trù mật Định nghĩa 1.4 Hàm µ : T −→ [0, ∞) xác định µ(t) := σ (t) − t gọi hàm graininess Ví dụ: Nếu T = Z, ta có µ(n) = Nếu T = R, ta có µ(t) = Ta định nghĩa tập Tκ = T \ (ρ (supT) , supT) supT < ∞ T supT = ∞ Sau ta giới thiệu số khái niệm liên quan đến hàm mũ thang thời gian 1.1.2 Hàm mũ Ta kí hiệu tập tất hàm regressive rd - liên tục f : T −→ R R = R(T) = R(T, R) Định nghĩa 1.5 Giả sử p ∈ R, ta định nghĩa hàm mũ tổng quát thang thời gian sau t ep (t, s) = exp ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ s đó, ξµ(τ ) (p(τ )) = Log (1 + µ(τ )p(τ )) µ (τ ) , t, s ∈ T Bổ đề 1.1 Với p ∈ R, ta có ep (t, τ )ep (τ, s) = ep (t, s), τ, s, t ∈ T Chứng minh Giả sử p ∈ R với τ, s, t ∈ T, ta có t ep (t, τ )ep (τ, s) = exp τ ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ exp ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ τ s t = exp τ ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ + τ ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ s t = exp ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ s = ep (t, s) Bổ đề chứng minh Chúng ta giới thiệu số tính chất hàm mũ định lí sau Định lý 1.1 Giả sử hàm p, q ∈ R Khi ta có (i) e0 (t, s) ≡ ep (t, t) ≡ 1; (ii)ep (σ (t), s) = (1 + µ(t)p(t))ep (t, s); = e p (t, s); (iii) ep (t, s) (iv) ep (t, s) = = e p (s, t); ep (s, t) (v) ep (t, s)eq (t, s) = ep⊕q (t, s); ep (t, s) (vi) = ep q (t, s) eq (t, s) Chứng minh Xem [ ] Bây ta giới thiệu số kí hiệu dùng luận văn 1.1.3 Một số kí hiệu Giả sử T thang thời gian tùy ý với hàm bị chặn graininess µ X khơng gian Banach thực phức với chuẩn · Gọi L (X1 , X2 ) khơng gian tuyến tính ánh xạ tuyến tính liên tục với chuẩn xác định T := sup T x , ∀T ∈ L (X1 , X2 ) x =1 Gọi GL (X1 , X2 ) tập đẳng cấu tuyến tính hai không gian X1 , X2 X IX1 ánh xạ đồng X1 L (X) := L (X, X) N (T ) = T −1 ({0}) không gian nhân R (T ) := TX khoảng biến thiên T ∈ L (X) Một vài kí hiệu đặc trưng cho phép tốn thang thời gian T+ τ := {t ∈ T : t ≥ τ }, ∀τ ∈ T T− τ := {t ∈ T : t ≤ τ }, ∀τ ∈ T Ta dùng kí hiệu ρ+ để tốn tử nhảy tiến, tức ρ+ (t) = σ (t), ∀t ∈ T Tập J ⊆ T gọi khơng bị chặn (tương ứng dưới) tập {µ (t, τ ) ∈ R : t ∈ J, ∀τ ∈ T} không bị chặn (tương ứng dưới) Đạo hàm riêng cấp ánh xạ Φ : T × T −→ X, kí hiệu ∆1 Φ Crd (Tκ , X) tập ánh xạ rd - liên tục từ Tκ đến X Crd R+ (Tκ , R) khơng gian tuyến tính hàm regressive với phép toán đại số (a ⊕ b)(t) := a(t) + b(t) + µ(t)a(t)b(t), a(t) − b(t) , (a b)(t) := + µ(t)b(t) (1 + ha(t))α − (α a)(t) := lim , t ∈ Tκ , h h µ(t) a, b ∈ Crd R+ (Tκ , R) , α ∈ R Crd R+ (Tκ , R) := {a ∈ Crd (Tκ , R) : + µ (t) a (t) > 0, t ∈ Tκ } Nếu T = R (a ⊕ b)(t) := a(t) + b(t), (a b)(t) := a(t) − b(t) Nếu T = Z (a ⊕ b)(t) := a(t) + b(t) + a(t)b(t), a(t) − b(t) (a b)(t) := + b(t) Với τ ∈ T cố định c, d ∈ Crd R+ (Tκ , R) ta định nghĩa + Bτ,c (X) := {λ ∈ Crd T+ τ , X : sup λ(t) e c (t, τ ) < ∞}, τ t − Bτ,d (X) := {λ ∈ ± Bτ,c,d (X) := Crd T− τ ,X : sup λ(t) e d (t, τ ) < ∞}, t τ λ ∈ Crd (Tκ , X) |∃τ ∈ T : sup λ(t) e c (t, τ ) < ∞, τ t sup λ(t) e d (t, τ ) < ∞ t τ khơng gian tuyến tính ánh xạ c+ - tựa bị chặn d− - tựa bị chặn Các không gian không gian Banach với chuẩn λ λ + τ,c := sup λ(t) e c (t, τ ), ± τ,c,d λ τ t := max{ λ|T+τ + τ,c , λ|T−τ − τ,d := sup λ(t) e d (t, τ ), t τ − τ,d } ec (t, τ ) hàm mũ thực T Có thể dễ dàng thấy λ(t) ≤ λ + τ,c ec (t, τ ), ∀t λ(τ ) ≤ λ + τ,c ≤ λ ∈ T+ τ , λ(t) ≤ λ ± τ,c,d , λ(τ ) ≤ λ − τ,d ed (t, τ ), ∀t ∈ − ± τ,d ≤ λ τ,c,d T− τ , Một số kí hiệu viết tắt b − a := infκ {b(t) − a(t)}, t∈T a ✁ b :⇔ < b − a , a ✂ b :⇔ ≤ b − a hai hàm regressive a, b ∈ Crd R+ (Tκ , R) kí hiệu bậc tăng sup µ(t)a(t) < ∞ sup µ(t)b(t) < ∞ t∈Tκ t∈Tκ Khi ta thu giới hạn sau lim ea b (t, τ ) = 0, lim eb a (t, τ ) = t→∞ t→−∞ với bậc tăng a ✁ b không bị chặn (tương ứng dưới) thang thời gian Khái niệm khả vi delta thang thời gian giới thiệu Tương tự f (s, X (s, σ, η )) + τ,c ≤ ec (s, τ ) f (., X (., σ, η )) Mặt khác, ± τ,c,d f (., X (., σ, η )) := max{ f (., X (., σ, η )) |T+τ + τ,c, , f (., X (., σ, η )) |T−τ − τ,d, } Khi ta có τ h(t, (σ, η )) ≤ +∞ ea (t, ρ+ (s))ed (s, τ )∆s + K2 K1 −∞ +∞ + K2 eb (t, ρ+ (s))ec (s, τ )∆s t eb (t, ρ+ (s))ec (s, τ )∆s f (., X (., σ, η )) t ≤ ≤ K1 K2 − d−a c−a C ( c) + K1 d−a ± τ,c,d ea (t, τ ) + C1 (c)ec (t, τ ) µ ec (t, τ ) − K2 ea (t, τ ) µ, ∀τ < t c−a (2.12) Nhân hai vế (2.12) với e c (t, τ ) ta có h(t, (σ, η )) e c (t, τ ) ≤ C ( c) + K1 d−a − K2 ea c (t, τ ) µ c−a ≤ µC2 (c, d), ∀τ < t (2.13) Tương tự, xét (2.11) T− τ ta có h(t, (σ, η )) h(t, (σ, η )) e d (t, τ ) ≤ C1 (d) + K2 b−c ed (t, τ ) − ≤ C1 (d) + K2 b−c − ≤ K1 eb (t, τ ) µ, ∀τ > t b−d K1 eb b−d µC2 (c, d), ∀τ > t Chú ý (2.13) (2.14) với t = τ Từ (2.13) (2.14) lấy cận ta có h(., (σ, η )) ± τ,c,d ≤ µC2 (c, d), ∀t ∈ T Mệnh đề chứng minh 20 d (t, τ ) µ, (2.14) Mệnh đề 2.2 Giả sử (σ, η ) cố định Khi hệ z ∆ = A(t)z + f (t, Y (t, σ, η ) + z ) (2.15) có nghiệm (c, d) - tựa bị chặn g (t, (σ, η )) thỏa mãn g (., (σ, η )) ± τ,c,d ≤ µC2 (c, d) Khi T = R Mệnh đề 2.2 phát biểu sau Hệ 2.3 Giả sử (σ, η ) cố định Khi hệ z = A(t)z + f (t, Y (t, σ, η ) + z ) có nghiệm g (t, (σ, η )) thỏa mãn g (., (σ, η )) ≤µ 3K α Sau ta chứng minh Mệnh đề 2.2 Chứng minh Đặt B = {z (t) | z (t) nghiệm (c, d) − tựa bị chặn với z ± τ,c,d ≤ µC2 (c, d)} Với z ∈ B , ta định nghĩa ánh xạ T sau t T z (t) = ΦA (t, ρ+ (s))P (ρ+ (s))f (s, Y (s, σ, η ) + z (s))∆s −∞ (2.16) +∞ ΦA (t, ρ+ (s)) [IX − P (ρ+ (s))] f (s, Y (s, σ, η ) + z (s))∆s − t Tương tự chứng minh Mệnh đề 2.1 ta có T (z ) nghiệm (c, d) - tựa bị chặn với Tz ± τ,c,d ≤ µC2 (c, d), ∀t ∈ T Do T z ∈ B Xét ánh xạ T : B −→ B Ta chứng minh T ánh xạ co 21 Thật vậy, với z1 (t), z2 (t) ∈ B ta có T z1 (t) − T z2 (t) t = ΦA (t, ρ+ (s))P (ρ+ (s)) −∞ × [f (s, Y (s, σ, η ) + z1 (s)) − f (s, Y (s, σ, η ) + z2 (s))] ∆s +∞ ΦA (t, ρ+ (s)) [IX − P (ρ+ (s))] − t × [f (s, Y (s, σ, η ) + z1 (s)) − f (s, Y (s, σ, η ) + z1 (s))] ∆s t ≤ ea (t, ρ+ (s)) f (s, Y (s, σ, η ) + z1 (s)) − f (s, Y (s, σ, η ) + z2 (s)) ∆s K1 −∞ +∞ + K2 eb (t, ρ+ (s)) f (s, Y (s, σ, η ) + z1 (s)) − f (s, Y (s, σ, η ) + z2 (s)) ∆s t (do điều kiện(H1 )) t ≤ ea (t, ρ+ (s))γ z1 (s) − z2 (s) ∆s K1 −∞ +∞ + K2 eb (t, ρ+ (s))γ z1 (s) − z2 (s) ∆s (do điều kiện(H2 )) (2.17) t Tương tự chứng minh Mệnh đề 2.1 Áp dụng phép tốn (2.13) (2.14) cho (2.17) ta có T z1 − T z2 ± τ,c,d ≤ γC2 (c, d) z1 − z2 ± τ,c,d , ∀t ∈ T Bởi điều kiện (H3 ) ta có γC2 (c, d) < Do T ánh xạ co Theo nguyên lí ánh xạ co, T có điểm bất động Giả sử nghiệm z0 (t) Khi nghiệm z0 (t) thỏa mãn t z0 (t) = ΦA (t, ρ+ (s))P (ρ+ (s))f (s, Y (s, σ, η ) + z0 (s))∆s −∞ (2.18) +∞ ΦA (t, ρ+ (s)) [IX − P (ρ+ (s))] f (s, Y (s, σ, η ) + z0 (s))∆s − t Bằng phép lấy đạo hàm, ta dễ dàng z0 (t) nghiệm (2.15) Hơn nữa, z0 (t) nghiệm (c, d) - tựa bị chặn (2.15) thỏa mãn z0 ± τ,c,d ≤ µC2 (c, d) 22 Bây ta chứng minh nghiệm (c, d) tựa bị chặn z0 Giả sử có nghiệm bị chặn z1 (t) (2.15) thỏa mãn t z1 (t) = ΦA (t, ρ+ (s))P (ρ+ (s))f (s, Y (s, σ, η ) + z1 (s))∆s −∞ (2.19) +∞ ΦA (t, ρ+ (s)) [IX − P (ρ+ (s))] f (s, Y (s, σ, η ) + z1 (s))∆s − t Tương tự cách chứng minh T ánh xạ co ta có t z1 (t) − z0 (t) ≤ K1 ea (t, ρ+ (s))γ −∞ +∞ + K2 z1 (s) − z0 (s) ∆s eb (t, ρ+ (s))γ z1 (s) − z0 (s) ∆s t Do đó, z1 − z0 ± τ,c,d ≤ γC2 (c, d) z1 − z0 ± τ,c,d Do γC2 (c, d) < nên z1 (t) = z0 (t) Vậy nghiệm (c, d) - tựa bị chặn (2.15) Nghiệm phụ thuộc vào (σ, η ) Ta kí hiệu nghiệm g (t, (σ, η )) Từ chứng minh ta có g (., (σ, η )) ± τ,c,d ≤ µC2 (c, d) Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 2.3 Giả sử x(t) nghiệm hệ x∆ = A(t)x + f (t, x) (2.20) z ∆ = A(t)z + f (t, x(t) + z ) − f (t, x(t) (2.21) Khi hệ có nghiệm (c, d) - tựa bị chặn z ≡ Khi T = R Mệnh đề 2.3 phát biểu sau Hệ 2.4 Giả sử x(t) nghiệm hệ x = A(t)x + f (t, x) 23 Khi hệ z = A(t)z + f (t, x(t) + z ) − f (t, x(t)) có nghiệm bị chặn z ≡ Chứng minh Hiển nhiên, z ≡ nghiệm (c, d) - tựa bị chặn (2.21) Bây ta nghiệm (c, d) - tựa bị chặn (2.21) Giả sử (2.21)có nghiệm (c, d) - tựa bị chặn z1 (t) z1 (t) cho t z1 (t) = ΦA (t, ρ+ (s))P (ρ+ (s)) [f (s, x(s) + z1 (s)) − f (s, x(s))] ∆s −∞ +∞ ΦA (t, ρ+ (s)) [IX − P (ρ+ (s))] [f (s, x(s) + z1 (s)) − f (s, x(s))] ∆s − t Bởi điều kiện (H1 ) (H2 ) ta có t z1 (t) ≤ K1 ea (t, ρ+ (s))γ −∞ +∞ + K2 z1 (s) ∆s (2.22) eb (t, ρ+ (s))γ z1 (s) ∆s t Tương tự tính toán (2.13) (2.14), áp dụng cho (2.22) ta có z1 ± τ,c,d ≤ γC2 (c, d) z1 ± τ,c,d , ∀t ∈ T Do γC2 (c, d) < nên z1 (t) ≡ Mệnh đề chứng minh Ta giới thiệu hai hàm sau H (t, x) = x + h(t, (t, x)), (2.23) G(t, y ) = y + g (t, (t, y )) (2.24) Ta H (t, x) hàm tương đương tơpơ cần tìm Trong Mệnh đề 2.4, 2.5, 2.6, 2.7 ta H biến nghiệm (2.5) thành nghiệm (2.6) G biến nghiệm (2.6) thành nghiệm (2.5) G nghịch ảnh H Mệnh đề 2.4 Giả sử (t0 , x0 ) cố định Khi H (t, X (t, t0 , x0 )) nghiệm hệ tuyến tính (2.5) 24 Chứng minh Thay (σ, η ) (2.9) (t, X (t, t0 , x0 )) Mệnh đề 2.1.Do hệ (2.9) khơng đổi nên hệ (2.9)có nghiệm (c, d) - tựa bị chặn Khi nghiệm h(t, (σ, η )) = h(t, (t, X (t, t0 , x0 ))) = h(t, (t0 , x0 )) Từ (2.23) ta có H (t, X (t, t0 , x0 )) = X (t, t0 , x0 ) + h(t, (t, X (t, t0 , x0 ))) = X (t, t0 , x0 ) + h(t, (t0 , x0 )) (2.25) Lấy đạo hàm hai vế (2.25), ý X (t, t0 , x0 ) nghiệm (2.6) h(t, (t0 , x0 )) nghiệm (2.9) ta có ∆ [H (t, X (t, t0 , x0 ))] = [X (t, t0 , x0 ) + h(t, (t0 , x0 ))] ∆ ∆ = [X (t, t0 , x0 )] + [h(t, (t0 , x0 ))] ∆ = A(t)X (t, (t0 , x0 )) + f (t, X (t, t0 , x0 )) + A(t)h(t, (t0 , x0 )) − f (t, X (t, t0 , x0 )) = A(t) [X (t, t0 , x0 ) + h(t, (t0 , x0 ))] = A(t)H (t, X (t, t0 , x0 )) Do H (t, X (t, t0 , x0 )) nghiệm hệ tuyến tính (2.5) Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 2.5 Giả sử (t0 , y0 ) cố định Khi G(t, Y (t, t0 , y0 )) nghiệm hệ nửa tuyến tính (2.6) Chứng minh Thay (σ, η ) (2.15) (t, Y (t, t0 , y0 )) Mệnh đề 2.2 Do hệ (2.15) không đổi nên hệ (2.15) có nghiệm (c, d) - tựa bị chặn Khi nghiệm g (t, (σ, η )) = g (t, (t, Y (t, t0 , y0 ))) = g (t, (t0 , y0 )) Từ (2.24) ta có G(t, Y (t, t0 , y0 )) = Y (t, t0 , y0 ) + g (t, (t, Y (t, t0 , y0 ))) = Y (t, t0 , y0 ) + g (t, (t0 , y0 )) 25 (2.26) Lấy đạo hàm hai vế (2.26), ý Y (t, t0 , y0 ) nghiệm (2.5) g (t, (t0 , y0 )) nghiệm (2.15) ta có ∆ ∆ [G(t, X (t, t0 , y0 ))] = [Y (t, t0 , y0 ) + g (t, (t0 , y0 ))] ∆ ∆ = [Y (t, t0 , y0 )] + [g (t, (t0 , y0 ))] = A(t)Y (t, t0 , y0 ) + A(t)g (t, (t0 , y0 )) + f (t, Y (t, t0 , y0 ) + g (t, (t0 , y0 ))) = A(t) [Y (t, t0 , y0 ) + g (t, (t0 , y0 ))] + f (t, G(t, Y (t, t0 , y0 ))) = A(t)G(t, Y (t, t0 , y0 )) + f (t, G(t, Y (t, t0 , y0 ))) Do G(t, Y (t, t0 , y0 )) nghiệm hệ tuyến tính (2.6) Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 2.6 Giả sử t ∈ T cố định, y ∈ X Khi ta có H (t, G(t, y )) = y Chứng minh Cho y (t) nghiệm hệ tuyến tính (2.5) Từ Mệnh đề 2.5, ta có G(t, y (t)) nghiệm hệ nửa tuyến tính (2.6) Hơn nữa, Mệnh đề 2.4 ta có H (t, G(t, y (t))) nghiệm hệ tuyến tính (2.5) Đặt y (t) = H (t, G(t, y (t))) Kí hiệu I (t) = y (t) − y (t) Lấy đạo hàm I (t), ta có I ∆ (t) = y ∆ (t) − y ∆ = A(t)y (t) − A(t)y (t) = A(t)I (t) Do đó, I (t) nghiệm hệ tuyến tính (2.5) Bên cạnh đó, từ (2.23), (2.24), Mệnh đề 2.1 Mệnh đề 2.2, ta có I (t) = y (t) − y (t) = H (t, G(t, y (t))) − y (t) ≤ H (t, G(t, y (t))) − G(t, y (t)) = h(t, (t, G(t, y (t)))) + G(t, y (t)) − y (t) + g (t, (t, y (t))) (bởi (2.23) (2.24)) Do đó, I ± τ,c,d ≤ h(., (., G(., y (.)))) ± τ,c,d + g (., (., y (.))) ≤ 2µC2 (c, d) + 2µC2 (c, d) ± τ,c,d (bởi Mệnh đề 2.1 Mệnh đề 2.2) = 4µC2 (c, d) 26 Suy ra, I (t) nghiệm (c, d) - tựa bị chặn hệ tuyến tính x∆ = A(t)x hệ tuyến tính x∆ = A(t)x khơng có nghiệm khơng tầm thường (c, d) - tựa bị chặn T (theo Bổ đề 1.1) Do đó, I (t) ≡ 0, nghĩa y (t) = y (t) hay H (t, G(t, y (t))) = y (t) Vì y (t) nghiệm hệ tuyến tính (2.5) nên Mệnh đề 2.6 chứng minh Mệnh đề 2.7 Giả sử t ∈ T cố định, x ∈ X Khi ta có G(t, H (t, x)) = x Chứng minh Cho x(t) nghiệm hệ tuyến tính (2.6) Từ Mệnh đề 2.4, ta có H (t, x(t)) nghiệm hệ nửa tuyến tính (2.5) Hơn nữa, Mệnh đề 2.5 ta có G(t, H (t, x(t))) nghiệm hệ tuyến tính (2.6) Đặt x(t) = G(t, H (t, x(t))) Kí hiệu J (t) = x(t) − x(t) Lấy đạo hàm J (t), ta có J ∆ (t) = x∆ (t) − x∆ = A(t)x(t) + f (t, x(t)) − (A(t)x(t) − f (t, x(t))) = A(t)J (t) + f (t, x(t)) − f (t, x(t)) = A(t)J (t) + f (t, x(t) + J (t)) − f (t, x(t)) Do đó, J (t) nghiệm hệ tuyến tính (2.21) Bên cạnh đó, từ (2.23), (2.24), Mệnh đề 2.1 Mệnh đề 2.2, ta có J (t) = x(t) − x(t) = G(t, H (t, x(t))) − x(t) ≤ G(t, H (t, x(t))) − H (t, x(t)) = g (t, (t, H (t, x(t)))) + H (t, x(t)) − x(t) + h(t, (t, x(t))) (bởi (2.23) (2.24)) Do đó, J ± τ,c,d ≤ g (., (., H (., x(.)))) ± τ,c,d ≤ 2µC2 (c, d) + 2µC2 (c, d) + h(., (., x(.))) ± τ,c,d (bởi Mệnh đề 2.1 Mệnh đề 2.2) = 4µC2 (c, d) Suy ra, J (t) nghiệm (c, d) - tựa bị chặn hệ (2.21) Mặt khác, Mệnh đề 1.3 ta có hệ (2.21)có nghiệm (c, d) - tựa bị 27 chặn z (t) ≡ Do đó, J (t) ≡ 0, nghĩa x(t) = x(t) hay G(t, H (t, x(t))) = x(t) Vì x(t) nghiệm hệ tuyến tính (2.6) nên Mệnh đề 2.7 chứng minh Tiếp theo ta chứng minh định lí tuyến tính hóa thang thời gian định lí luận văn Chứng minh Chứng minh Định lí 2.5 Để chứng minh H (t, x) hàm tương đương hệ tuyến tính (2.5) hệ nửa tuyến tính (2.6), ta H (t, x) thỏa mãn bốn điều kiện Định nghĩa 2.8 i) Cố định t ∈ T, từ Mệnh đề 2.6 Mệnh đề 2.7 ta có H (t, ) song ánh từ X −→ X H −1 (t, ) = G(t, ) ii) Xét ± τ,c,d H (t, x) − x = h(t, (t, x)) ± τ,c,d ≤ µC2 (c, d) Do đó, H (t, x) iii) Từ (2.24) ta có ± τ,c,d G(t, y ) − y −→ ∞ ± τ,c,d = theo Mệnh đề 2.1 x ± τ,c,d g (t, (t, y )) ± τ,c,d ≤ µC2 (c, d) theo(2.23) −→ ∞, ∀t theo Mệnh đề 2.2 Do đó, G(t, y ) ± y ± τ,c,d −→ ∞ τ,c,d −→ ∞, ∀t iv) Từ Mệnh đề 2.4 Mệnh đề 2.5 ta dễ dàng chứng minh điều kiện iv) thỏa mãn Định lí chứng minh 28 Chương Tuyến tính hóa hệ tuần hồn thang thời gian 3.1 Thang thời gian tuần hoàn Trong chương ta chứng minh hàm tương đương H (t, x) ω tuần hoàn hệ ω - tuần hồn Hilger chưa xét đến tính chất quan trọng hàm tương đương H (t, x) Định nghĩa 3.1 Giả sử ω ∈ R Hàm song ánh σ : T −→ T gọi phép dịch chuyển µ(σω (t), t) ≡ ω, ∀t ∈ T Định nghĩa 3.2 Ánh xạ Φ : T −→ X gọi ω - tuần hoàn Φ(σω (t)) ≡ Φ(t), ∀t ∈ T Xét hệ tuần hoàn x∆ = ϕ(t, x) (3.1) đó, ϕ(σω (t), x) = ϕ(t, x) Cho X (t, t0 , x0 ) nghiệm (3.1) với điều kiện ban đầu X (t0 ) = x0 Tính tuần hồn tốn tử giải kế thừa từ tính tuần hồn hệ thang thời gian tuần hồn Ta có mệnh đề sau Mệnh đề 3.1 Giả sử t, s ∈ T, x ∈ X, nghiệm X (t, s, x) (3.1)có tính chất: X (σω (t), σω (s), x) = X (t, s, x) 29 Chứng minh Từ t X (t, s, x) = x + ϕ(u, X (u, s, x))∆u, s ta có σω (t) X (σω (t), σω (s), x) = x + ϕ(u, X (u, σω (s), x))∆u (3.2) σω (s) Đặt u = σω (u), sử dụng tính tuần hồn ϕ(t, x), áp dụng cho (3.2)ta có t X (σω (t), σω (s), x) = x + ϕ(σω (u1 ), X (σω (u1 ), σω (s), x))∆u1 s t =x+ ϕ(u1 , X (σω (u1 ), σω (s), x))∆u1 s Do đó, X (σω (t), σω (s), x) nghiệm (3.1) Hơn nữa, X (σω (s), σω (s), x) = x X (s, s, x) = x Bởi tính chất kết hợp với tính nghiệm tốn giá trị ban đầu, ta có đồng thức X (σω (t), σω (s), x) = X (t, s, x), t, s ∈ T, s ≤ t, x ∈ X Mệnh đề chứng minh Dưới ta giới thiệu định lí tuyến tính hóa hệ tuần hồn thang thời gian 3.2 Tuyến tính hóa trường hợp tuần hồn Định lý 3.1 Giả sử A(σω (t)) = A(t), f (σω (t), x) = f (t, x) hệ nửa tuyến tính (2.6) Khi đó, hàm tương đương H (t, x) (trong Định lí 2.5) ω - tuần hồn theo t Mệnh đề 3.2 Giả sử hệ tuyến tính tuần hồn x∆ = A(t)x (A(σω (t)) = A(t)) có nhị phân mũ, nghĩa toán tử giải ΦA (t, t0 ) thỏa mãn ΦA (t, s)P (s) ≤ K1 ea (t, s), s ≤ t, s, t ∈ T, ΦA (t, s) [IX − P (s)] ≤ K2 eb (t, s), s ≥ t, s, t ∈ T Khi với t, s ∈ T bất kì, ta có đẳng thức sau ΦA (σω (t), σω (s))P (σω (s)) = ΦA (t, s)P (s), ΦA (σω (t), σω (s)) [IX − P (σω (s))] = ΦA (t, s) [IX − P (s)] 30 Chứng minh Ta dễ dàng kiểm tra ΦA (σω (t), t0 ) ma trân Khi tồn ma trận khả nghịch C cho ΦA (σω (t), t0 ) = ΦA (t, t0 )C Lấy C = eB (σω (t0 ), t0 ), B ma trận Đặt −1 L(t) = ΦA (t, t0 )eB (t, t0 ) ΦA (t, t0 ) = L(t)eB (t, t0 ) Khi ta có L(σω (t)) = ΦA (σω (t), t0 )e−1 B (σω (t), t0 ) −1 = ΦA (σω (t), t0 ) [eB (σω (t), σω (t0 ))eB (σω (t0 ), t0 )] −1 = ΦA (t, t0 )Ce−1 B (σω (t0 ), t0 )eB (σω (t), σω (t0 )) = ΦA (t, t0 )CC −1 e−1 B (t, t0 ) = ΦA (t, t0 )e−1 B (t, t0 ) = L(t) Tương tự, ta có L−1 (σω (t)) = L−1 (t) Khi ta có ΦA (σω (t), σω (s)) = ΦA (t, s) Thật vậy, ΦA (σω (t), σω (s)) = ΦA (σω (t), t0 )ΦA (t0 , σω (s)) = L(σω (t))eB (σω (t), t0 ) [ΦA (σω (s), t0 )] −1 = L(σω (t))eB (σω (t), t0 ) [L(σω (s))eB (σω (s), t0 )] −1 −1 = L(σω (t))eB (σω (t), t0 )e−1 B (σω (s), t0 )L (σω (s)) −1 −1 = L(t)eB (σω (t), σω (t0 ))eB (σω (t0 ), t0 )e−1 B (σω (t0 ), t0 )eB (σω (s), σω (t0 ))L (s) −1 = L(t)eB (t, t0 )e−1 B (s, t0 )L (s) = ΦA (t, t0 )Φ−1 A (s, t0 ) = ΦA (t, s) Do đó, theo cơng thức nhị phân mũ ta có ΦA (σω (t), σω (s))P (σω (s)) ≤ K1 ea (σω (t), σω (s)), s ≤ t, s, t ∈ T Suy ra, ΦA (t, s)P (σω (s)) ≤ K1 ea (t, s), s ≤ t, s, t ∈ T Điều kéo theo P (σω (s)) phép chiếu bất biến Từ Mệnh đề 1.1 ta có P (σω (s)) = P (s) Vì vậy, ta có ΦA (σω (t), σω (s))P (σω (s)) = ΦA (t, s)P (s) Đẳng thức thứ hai chứng minh tương tự 31 Bây giờ, ta chứng minh định lí tuyến tính hệ tuần hoàn thang thời gian Chứng minh Chứng minh Định lí 3.1 Từ (2.23) Mệnh đề 2.1 ta có H (t, x) = x + h(t, x) t =x− ΦA (t, ρ+ (s))P (ρ+ (s))f (s, X (s, t, x))∆s −∞ +∞ + ΦA (t, ρ+ (s)) [IX − P (ρ+ (s))] f (s, X (s, t, x))∆s (3.3) t Khi đó, Mệnh đề 3.1 3.2 sử dụng tính tuần hồn hàm f (t, x) (3.3) H (σω (t), x) σω (t) =x− ΦA (σω (t), ρ+ (s))P (ρ+ (s))f (s, X (s, σω (t), x))∆s −∞ +∞ + ΦA (σω (t), ρ+ (s)) [IX − P (ρ+ (s))] f (s, X (s, σω (t), x))∆s σω (t) t =x− ΦA (σω (t), ρ+ (σω (s1 )))P (ρ+ (σω (s1 )))f (σω (s1 ), X (σω (s1 ), σω (t), x))∆s1 −∞ +∞ + ΦA (σω (t), ρ+ (σω (s))) [IX − P (ρ+ (σω (s)))] f (σω (s1 ), X (σω (s1 ), σω (t), x))∆s1 t t =x− ΦA (t, ρ+ (s))P (ρ+ (s))f (s1 , X (s1 , t, x))∆s1 −∞ +∞ + ΦA (t, ρ+ (s)) [IX − P (ρ+ (s))] f (s, X (s, t, x))∆s1 t = H (t, x) Điều chứng tỏ H (t, x) ω - tuần hoàn Định lí chứng minh 32 Kết luận Trong luận văn này, sử dụng khái niệm hàm tương đương tôpô để chứng minh tương đương tôpô hệ tuyến tính hệ nửa tuyến tính Ngồi giả thiết thơng thường tính nhị phân mũ hệ phương trình tuyến tính x = A(t)x phần phi tuyến Lipschitz đặt thêm điều kiện tính bị chặn mũ f (t, x) Chúng ta cho phép số Lipschitz khơng thiết bé định lí Hartman - Grobman cho phương trình vi phân, phương trình sai phân Phương pháp chứng minh mới, dựa theo việc chứng minh tồn nghiệm (c, d) - tựa bị chặn việc xây dựng đồng phôi 33 Tài liệu tham khảo [1] Martin Bohner, Allan Peterson, Dynamic Equations on Time Scales, May 4, 2001 [2] Martin Bohner, Allan Peterson, Advances in dynamic Equations on Time Scales, 2003 [3] Yonghui Xia, Jinde Cao, Maoan Han, A new analytical method for the linearization of dynamic equation on measure chains, Scince Direct, 235 (2007) 527 - 543 [4] C Potzsche, Exponential Dichotomies for Dynamic Equations on Measure Chains, Nonlinear Analysis 47 (2001) 873 - 884 [5] C Potzsche, Langsame Faserbundel Dynamischer Gleichungen auf MaBketten, PhD thesis, Logos Verlag, Berlin, 2002 [6] C Potzsche, Exponential dichotomies of linear dynamic equations on measure chain under slowly varying coefficients, J Math Anal Appl 289 (2004) 317 - 335 [7] C Potzsche, Exponential dichotomies for linear dynamic equations, Nonlinear Anal 47 (2001) 873 - 884 [8] K.J Palmer, A generalization of Hartman’s linearization theorem, J Math Anal Appl 41 (1973) 753 - 758 [9] J Shi, J Zhang, Classification of the Differential Equations, Science Press, BeiJing, 2003 [10] Andrzej Granas, James Dugundji, Fixed point theory, Springer Press, 2003 34 ... thuyết phương trình động lực thang thời gian phát triển cách có hệ thống nhằm hợp suy rộng lí thuyết phương trình vi phân phương trình sai phân Luận văn trình bày lí thuyết phương trình động lực... phương trình nửa tuyến tính (2) lên hệ phương trình tuyến tính (1) Chúng tơi mở rộng định lí tuyến tính hóa Palmer phương trình hệ động lực thang thời gian Ở đây, chúng tơi trình bày phương pháp giải. .. phân mũ phương trình động lực thang thời gian Xét phương trình động lực tuyến tính x∆ = A(t)x, (1.4) với A ∈ Crd (Tκ , L(X)) toán tử dịch chuyển ΦA (t, τ ) ∈ L(X) nghĩa toán tử giải toán giá