Bài Giải Toán Không Chuyên Thi Vào Phổ Thông Năng Khiếu 2018 – 2019

b) Một khu đất hình chữ nhật ABCD (AB < AD) có chu vi 240 mét được chia thành hai phần gồn khu đất hình chữ nhật ABNM làm chuồng trại và phần còn lại làm vườn thả để nuôi gà (M, N [r]

Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng ĐỀ THI TỐN KHƠNG CHUYÊN VÀO TRƯỜNG

PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU NĂM 2018 – 2019 Bài (1 điểm) Biết 0 x y

   

        

2

5

2

x y x y y x

x y x y x y x x y y x y

      

    

         

   

 

Tính x y Bài (2 điểm)

a) Giải phương trình 27   7

x x

x x x



 



b) Giải hệ phương trình      

  2  2

3

1

x x y x

x y y y

    

 

    



Bài (2 điểm). Cho phương trình 3 11 1 

x  x m 

a) Với giá trị m phương trình  1 có nghiệm kép? Tìm nghiệm kép ? b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x1, cho

1

2017x 2018x 2019

Bài (2 điểm)

a) Đầu tháng năm 2018, vào vụ thu hoạch, giá dưa hấu bất ngờ giảm Mạnh Nơng dân A cho biết sợ dưa hỏng nên phải bán 30% số dưa thu hoạch với giá 1500 đồng kilogam (1500 đ/kg), sau nhờ phong trào giải cứu dưa hấu nên may mắn bán hết số dưa lại với giá 3500 đ/kg, trừ tiền đầu tư lãi triệu đồng (khơng kể cơng chăm sóc hai tháng nhà) Cũng theo ông A, sào đầu tư (hạt giống, phân bón,…) hết triệu đồng thu hoạch dưa hấu Hỏi ông A trồng sào dư hấu ?

Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng Bài (3 điểm). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (T) tâm O, bán kính R, 450

CAD , AC vng góc với BD cắt BD I, AD > BC Dựng CK vng góc với AD

KAD , CK cắt BD H cắt (T) E (EC)

a) Tính số đo COD Chứng minh điểm C, I, K, D thuộc đường tròn AC = BD

b) Chứng minh A tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác BHE Tính IK theo R c) IK cắt AB F Chứng minh O trực tâm tam giác AIK CK.CB =CF.CD

Gợi ý giải

Bài (1 điểm) Biết 0 x y

   

        

2

5

2

x y x y y x

x y x y x y x x y y x y

      

    

         

   

 

Tính x y Giải

   

    

   

 

2

2 2

2 3

2

x y x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y

    

  

   

   

         

x y x xy y

y y x x x xy y

y x

xy

x x y y x y xy x y xy x y

  

  

   

   

Ta có:

 2

2 2 0 0

3

x xy y

x xy y xy x xy y x y x y

xy

 

              

Vậy x y  Bài (2 điểm)

a) Giải phương trình 27   7

x x

x x x



 

Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng b) Giải hệ phương trình      

  2  2

3

1

x x y x

x y y y

             Giải

a) 27   7 x x x x x   

 Điều kiện: 3   x x

Phương trình  

   

7

3

3

x n

x

x x x l

x x x                    

Giải 2

0

3 3

1

3

4 x

x

x x x

x x x x                   

  (nhận)

Vậy phương trình cho có nghiệm : x0;x 1

b)        

     2

3

1 2

x x y x

x y y y

    

 

    



Điều kiện: 5 8 0

y  y  thỏa với x (Vì

2

2 5 8 0

2

y  y y     x

  ℝ )

Từ (1)

1 x x y         

Thay x 3 vào phương trình (2) ta có: 4 y25y 8 y22 (vô nghiệm) Thay x  1 y vào (2) ta có:

   

2

2

2

5

y

y y y y

y y y

                 

Với y  2 x

Giải   2 2 2

5

4

5

y y

y y y y x

y

y y y

Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng Vậy hệ cho có hai nghiệm x y;     1;2 , 3;4

Bài (2 điểm). Cho phương trình 3 11 1 

x  x m 

a) Với giá trị m phương trình  1 có nghiệm kép? Tìm nghiệm kép ? b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x1, cho

1

2017x 2018x 2019

Giải

a)  2  

1 3m 11 45 12m

      

Phương trình (1) có nghiệm kép 45 12 15

m m

    

Khi nghiệm kép

1 x x 

b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 45 12 15

m m

    

Khi ta có: x1x2 1; x x1 3m11

Ta có hệ:

1 2

1

2017 2018 2019

x x x

x x x

   

 



    

 

 

1 11 11

x x  m    m m (thỏa điều kiện) Vậy m3

Bài (2 điểm)

Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng (hạt giống, phân bón,…) hết triệu đồng thu hoạch dưa hấu Hỏi ông A trồng sào dư hấu ?

Giải

Gọi x (sào) diện tích ơng A trồng dưa hấu (x0) 1500 đ/kg = 1,5 triệu/tấn, 3500 đ/kg = 3,5 triệu/tấn + Sản lượng dưa hấu ông A thu hoạch : 2x (tấn)

+ Số tiền ông A đầu tư : 4x (triệu đồng) Số tiền ông A bán dưa hấu :

30 1,5  70  2 3,5 0,9 4,9 5,8

100 x 100 x  x x x (triệu đồng) Tiền lời ông A thu : 5,8x4x  9 x (sào)

Vậy ông A trồng sào dưa hấu

b) Một khu đất hình chữ nhật ABCD (AB < AD) có chu vi 240 mét chia thành hai phần gồn khu đất hình chữ nhật ABNM làm chuồng trại phần lại làm vườn thả để nuôi gà (M, N thuộc cạnh AD, BC) Theo qui hoạch trang trại nuôi 2400 gà, bình quân gà cần mét vng diện tích vườn thả diện tích vườn thả gấp ba lần diện tích chuồng trại Tính chu vi khu đất làm vuờn thả Giải

Gọi x m AD chiều dài khu đất ABCD  

y m  AB chiều rộng khu đất ABCD Điều kiện :0 y x

Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng Diện tích khu thả vườn: 2400

m nên diện tích khu chuồng trại 1.2400 800 2

3  m

Diện tích tồn khu đất ABCD là: 800 2400 3200 2

m

 

  40 80

3200 120 3200 120 3200

80 40

y x

xy y y y y

y x

  



          

  



Vì x y nên x80;y40

Gọi a m MD chiều dài khu vườn thả 0 a 80 Ta có: 40x2400 a 60 m

Vậy chu vi khu vườn thả : 40 60  200 m

Bài (3 điểm). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (T) tâm O, bán kính R, 450

CAD , AC vng góc với BD cắt BD I, AD > BC Dựng CK vng góc với AD

KAD , CK cắt BD H cắt (T) E (EC)

a) Tính số đo COD Chứng minh điểm C, I, K, D thuộc đường tròn AC = BD

Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng

a) 2 900

COD CAD

Vì 900

CIDCKD nên I, K thuộc đường trịn đường kính CD hay C, I, K, D thuộc đường trịn đường kính CD

Tam giác IBC vng I có 450

DBC CAD nên tam giác IBC vuông cân I

0

45 ICB

 

0

45 / /

ICB IAD CB AD

     tứ giác ABCD hình thang

Mà tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (T) nên tứ giác ABCD hình thang cân AC BD

 

b)

Ta có : ABCD hình thang cân CDAB hay sd ABsd CD900

0

45 IDK BDA

  

Vì tứ giác CIKD nội tiếp (câu a)) nên 450

ICK IDK 

0

45 BCI ICK

   hay CI phân giác BCH

Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng AB AH

 

Cũng 450

BCI ICK AB AE

    

AB AH AE A

    tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHE +ODC vuông cân O DCR

+ Tam giác AKC vuông cân K nên AC AK

+AIK đồng dạng

2

IK AK AK ADC

DC AC AK

    

2

2

DC R

IK R

   

c) Vì 900

COD C thuộc đường trịn đường kính CD

Theo câu a) ta có điểm C, I, O, K, D thuộc đường tròn đường kính CD Tứ giác CIOD nội tiếp 450

AIO ODC

  

Do 450 450 900

AIOIAD   IOAD Tương tự : tứ giác OKDC nội tiếp 450

AKO OCD

  

Do 450 450 900

AKOIAD   OK AC

Ta có OI, OK hai đường cao tam giác AIK nên O trực tâm tam giác AIK Vì AC trung trực BH (chứng minh trên) nên BACCAH

Vì tứ giác AIHK nội tiếp (hai góc đối vng) nên CAH IKH BAC IKH

   tứ giác AFCK nội tiếp

Mà 900 900

AKC AFC

Ta có BCF đồng dạng DCK CB CD CK CB CF CD

CF CK

    