ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CAO THỊ NGỌC THU VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ DƯƠNG CÓ CHẬM LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH, NĂM 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CAO THỊ NGỌC THU VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ DƯƠNG CĨ CHẬM CHUN NGÀNH: TỐN ỨNG DỤNG MÃ SỐ CHUYÊN NGÀNH: 604636 LUẬN VĂN THẠC SĨ CN BỘ MÔN QL CHUYÊN NGÀNH CÁN BỘ HƯỚNG DẪN PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY PGS.TS PHẠM HỮU ANH NGỌC TP HỒ CHÍ MINH, NĂM 2014 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA –ĐHQG -HCM Cán hướng dẫn khoa học : PGS TS Phạm Hữu Anh Ngọc Cán chấm nhận xét : Cán chấm nhận xét : Luận văn thạc sĩ bảo vệ Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày 31 tháng 07 năm 2014 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ) Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau luận văn sửa chữa (nếu có) CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HÕA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: CAO THỊ NGỌC THU MSHV: 12240587 Ngày, tháng, năm sinh: 16/09/1986 Nơi sinh: TP Hồ Chí Minh Chun ngành: Tốn Ứng Dụng Mã số : 604636 I TÊN ĐỀ TÀI: VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ DƯƠNG CÓ CHẬM II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:  Trình bày chứng minh tiêu chuẩn tường minh cho tính dương lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian có chậm  Trình bày chứng minh số điều kiện đủ cho tính ổn định mũ số lớp phương trình vi phân tuyến tính có chậm (khơng thiết dương)  Tìm ví dụ minh họa cho kết đạt III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 02/2014 IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 06/2014 V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : PGS TS Phạm Hữu Anh Ngọc Tp HCM, ngày tháng năm 20 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN (Họ tên chữ ký) CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO (Họ tên chữ ký) TRƯỞNG KHOA….……… (Họ tên chữ ký) LỜI CẢM ƠN Lời cảm ơn đầu tiên, xin chân thành gửi tới PGS TS Phạm Hữu Anh Ngọc, Thầy tận tụy, nhiệt tình hướng dẫn, giảng dạy, tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình thực hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn NCS Cao Thanh Tình, NCS Lê Trung Hiếu nhiệt tình giúp đỡ, động viên tơi q trình thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn Thầy, Cơ Bộ mơn Tốn Ứng Dụng, khoa Khoa học ứng dụng, Trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh hết lịng giảng dạy, truyền thụ kiến thức tạo điều kiện tốt để hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn anh chị, bạn lớp Cao học ngành Toán Ứng Dụng khóa 2012 động viên, giúp đỡ tơi suốt trình học trình thực luận văn Tôi xin gởi lời cảm ơn đến gia đình bạn bè mình, người ln bên cạnh động viên, tạo điều kiện tốt cho suốt thời gian học tập Cuối cùng, q trình thực hiện, luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý quý Thầy Cô bạn đọc để bổ sung hoàn thiện đề tài tốt Xin chân thành cảm ơn MỤC LỤC Danh mục ký hiệu Phần mở đầu Chương I Kiến thức bổ trợ Chương II Tiêu chuẩn hệ phương trình vi phân có chậm tuyến tính dương 12 Chương III Tiêu chuẩn ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có chậm 18 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 DANH MỤC KÝ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa Z Vành số nguyên Z+ Tập hợp số nguyên không âm m m := {1, 2, 3, , m}, với m ∈ Z+ m0 m0 := {0, 1, 2, , m} với m ∈ Z+ R Trường số thực R+ Tập hợp số thực không âm Rn Không gian véctơ thực n-chiều Rl×q Vành ma trận thực, cỡ l × q C Trường số phức K K = R K = C Rez Phần thực số phức z C+ {z = a + bi ∈ C, Rez = a ≥ 0} det(A) Định thức ma trận A A−1 Nghịch đảo ma trận vuông A |x| |x| := (|x1 |, |x2 |, , |xn |) với x = (x1 , x2 , , xn )T ∈ Rn |A| |A| := (|aij |) với A = (aij ) ∈ Rl×q x Chuẩn vectơ x A Chuẩn ma trận A In Ma trận đơn vị cấp n Số không/ vectơ không/ ma trận không (với cỡ phù hợp) x≥y xi ≥ yi (∀i ∈ n), với x = (x1 , x2 , , xn )T ∈ Rn y = (y1 , y2 , , yn )T ∈ Rn x y xi > yi (∀i ∈ n), với x = (x1 , x2 , , xn )T ∈ Rn y = (y1 , y2 , , yn )T ∈ Rn A≥B aij ≥ bij (∀i ∈ l, j ∈ q), với A = (aij ) ∈ Rl×q B = (bij ) ∈ Rl×q A B aij > bij (∀i ∈ l, j ∈ q), với A = (aij ) ∈ Rl×q B = (bij ) ∈ Rl×q σ(A) Phổ ma trận A, σ(A) = {λ ∈ C : det(λIn − A) = 0} µ(A) Hồnh độ phổ ma trận A, µ(A) = max{Rλ : λ ∈ σ(A)} ρ(A) Bán kính phổ ma trận A, ρ(A) = max{|λ| : λ ∈ σ(A)} M (A) Metzler hóa ma trận A := (aij ) ∈  Rn , tức  |aij | i = j n×n M (A) := (mij ) ∈ R với mij =  aij i = j C([αβ], Rn ) Không gian Banach gồm tất ánh xạ liên tục từ [α, β] vào Rn PHẦN MỞ ĐẦU Một hệ động lực gọi hệ dương biến trạng thái hệ không âm thời điểm Hiện tượng bắt gặp thường xuyên hệ thống Sinh học, Kinh tế, Kỹ thuật, Chẳng hạn “dân số” loài động vật hay thực vật, số lượng hàng hóa kho bãi, lượng hóa chất phản ứng hóa học, , tất hệ động lực dương Một số mơ hình thực tế hệ dương kể như: Hệ thống mạng lưới nguồn, Hệ thống lò phản ứng hóa học, trao đổi nhiệt, cốt chưng cất, Hệ thống lưu trữ, Hệ phân cấp, (xem [8], [22], [24]) Các hệ phương trình vi phân có chậm lớp hệ có nhiều ứng dụng khoa học kỹ thuật, xem [8], [9], [24] Chúng sử dụng mơ hình cho loạt tượng Vật lý, Sinh học, Kinh tế học, v.v Trong hệ phương trình vi phân có chậm, lớp hệ phương trình vi phân dương có chậm (gọi tắt hệ dương) đóng vai trị quan trọng có nhiều ứng dụng tốn thực tế, xem [8], [22] Được thúc đẩy nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau, toán điều khiển hệ dương trở thành vấn đề quan trọng lý thuyết phương trình vi phân hệ động lực Trong suốt nhiều thập kỉ qua, toán loại thu hút quan tâm ý nhiều nhà nghiên cứu khắp nơi giới (Mĩ, Nhật Bản, Đức, Anh, Trung Quốc, Nga, Việt nam, ) Một toán chung mà nhà nghiên cứu hệ dương quan tâm là: Tìm tiêu chuẩn cho hệ động lực dương nghiên cứu tính chất nghiệm tính ổn định nghiệm (với nhiều loại ổn định khác nhau), dáng điệu nghiệm, nghiệm tuần hoàn, suy biến nghiệm, v.v Trong lịch sử vấn đề, có nhiều cách tiếp cận khác toán ổn định hệ phương trinh vi phân có chậm như: phương pháp hàm Liapunov biến dạng nó; Bất đẳng thức Halanay dạng tương đương, Tuy nhiên kết thu dựa cách tiếp cận thường phức tạp khó sử dụng Do việc tìm hiểu, áp dụng phương pháp tiếp cận để tìm tiêu chuẩn tường minh cho tính ổn định hệ dương có chậm vấn đề quan trọng Trong luận văn này, trước tiên chứng minh tiêu chuẩn tường minh cho tính dương lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian có chậm Tiếp theo, chúng tơi trình bày số điều kiện đủ cho tính ổn định mũ số lớp phương trình vi phân tuyến tính có chậm (khơng thiết dương) Điều thú vị luận văn tiêu chuẩn ổn định mũ trình bày “bản sao” tiêu chuẩn hội tụ chuỗi số lý thuyết chuỗi giải tích cổ điển (Chi tiết, xin xem Định lý 3.1.5, Định lý 3.2.1, Định lý 3.2.2, Định lý 3.2.5) Một số ví dụ cho nhằm minh họa kết thu Luận văn gồm lời nói đầu, ba chương danh mục tài liệu tham khảo Cấu trúc luận văn trình bày sau: Lời nói đầu Chương 1: Kiến thức bổ trợ Chương 2: Tiêu chuẩn hệ phương trình vi phân có chậm tuyến tính dương Chương 3: Tiêu chuẩn ổn định mũ hệ phương trình vi phân tuyến tính có chậm Kết luận Tài liệu tham khảo Một cách cụ thể hơn, Chương dành để trình bày số kiến Chúng ta rằng: x (t) := x (t, φ) ≤ u (t) ∀t > Giả sử ngược lại tồn t0 > cho x (t0 ) ≤ u (t0 ) Đặt t1 := inf {t > 0, x (t) ≤ u (t)} Do tính chất liên tục, t1 > tồn i0 ∈ n thỏa mãn điều kiện:   x (t) ≤ u (t) , ∀t ∈ [0, t1 ) , xi (t1 ) = ui (t1 ) , 0  xi0 (t) > ui0 (t) ∀t ∈ (t1 , t1 + ε) , (3.12) ε > đủ nhỏ Mặt khác, với i ∈ n ta có: n (0) aij x i (t) = m n (k) aij xj (t)+ j=1 n xj (t − hk (t)) + k=1 j=1 bij (s) xj (t + s) ds, j=1 −h(t) (0) (k) Ak := (aij ) , k ∈ m; A0 = (aij ); B (·) := (bij (·)) Do A0 ma trận Metzler Ak ≥ 0, k ∈ m B (s) ≥ 0, s ∈ [−h, 0], sử dụng (3.12), ta suy ra: n x i0 (t1 ) ≤ (0) ai0 j m −βt1 Ke n j=1 (k) ai0 j Ke−βt1 αj eβh + αj + k=1 j=1 n bi0 j (s) Ke−βt1 αj e−βs ds j=1 −h 27  n = Ke−βt1  m (0) n (k)  bi0 j (s) αj e−βs ds ai0 j αj ehβ + ai0 j αj + j=1 −h k=1 j=1 j=1 n (3.11) < Ke−βt1 (−βαi0 ) = ui0 (t1 ) Tuy nhiên điều mâu thuẫn với (3.12) Vì vậy, ta có: ≤ x (t, φ) ≤ Ke−βt p, ∀t ≥ 0, với φ ∈ C ([−h, 0] , Rn ) , φ ≤ 1, φ ≥ Do tính chất đơn điệu chuẩn vectơ, ta có: x (t, φ) ≤ K1 e−βt , ∀t ≥ 0, ∀φ ∈ C ([−h, 0] , Rn ) , φ ≤ 1, φ ≥ 0, với số K1 > Do tính tuyến tính (3.8), ta suy x (t, φ) ≤ K1 e−βt φ , ∀t ≥ 0, ∀φ ∈ C ([−h, 0] , Rn ) , φ ≥ Với φ ∈ C ([−h, 0] , Rn ) cho trước, ta có: φ = φ+ − φ− , với φ+ , φ− ∈ C ([−h, 0] , Rn ) , φ+ ≥ 0, φ− ≥ Do tính tuyến tính (3.8), ta suy x (t, φ) ≤ K2 e−βt φ , ∀t ≥ 0, ∀φ ∈ C ([−h, 0] , Rn ) , với số K2 > Từ (3.8) ổn định mũ Ngược lại, (3.8) ổn định với h (.) , hk (·) thỏa (3.9) Khi đó, đặc biệt (3.8) ổn định với h(t) = hk (t) := h, t ≥ 0, k ∈ m Theo Định lí 3.1.3, (iii) Định lí 3.1.3 28 Định lí sau cho ta mở rộng Định lí 3.1.2 Định lí 3.2.1 cho hệ khơng thiết dương (0) Định lý 3.2.2 Giả sử A0 := (0) (0) ∈ Rn×n aij (0) (0) (0) (0) + A0 − diag a11 , a22 , , ann M := diag a11 , a22 , , ann + m |Ak | + k=1 |B (s)| ds −h Nếu M thỏa điều kiện (i) – (v) Định lí 1.7 (3.8) ổn định mũ cho h (.) , hk (.) thỏa điều kiện (3.7) Chứng minh Chứng minh định lý tương tự chứng minh Định lí 3.2.1 Do M ma trận Metzler, điều kiện (i)−(v) Định lí 1.7 tương đương Tương tự chứng minh Định lí 3.2.1, tồn p 0, β > 0, p := (α1 , , αn )T ∈ Rn+ , cho: (0) (0) (0) diag a11 , a22 , , ann (0) (0) (0) + A0 − diag a11 , a22 , , ann + m e−βs |B (s)| dsp eβh |Ak | + k=1 −h −β(α1 , , αn )T Với φ ∈ C ([−h, 0] , Rn ), φ ≤ 1, tồn K > thỏa mãn điều kiện: |φ (t)| Ke−βt p, ∀t ∈ [−h, 0], ∀φ ∈ C ([−h, 0] , Rn ), φ ≤ Đặt u (t) := Ke−βt p, t ∈ [−h, ∞] x (t) := x (t, φ) , t ∈ R+ Rõ ràng ta có |x (t)| u (t) , t ∈ [ − h, 0] Chúng ta chứng minh rằng: |x (t)| ≤ u (t), ∀t ≥ Giả sử ngược lại ∃t0 > thỏa |x(t0 )| ≤ u(t0 ) Đặt t1 := inf {t > 0, |x(t)| ≤ u(t)} Do 29 tính chất liên tục, t1 > tồn i0 ∈ n thỏa mãn điều kiện:   |x (t) | ≤ u (t) , ∀t ∈ [0, t1 ) , |xi (t1 ) | = ui (t1 ) , 0  |x (t)| > u (t) ∀t ∈ (t , t + ε) , i0 i0 (3.13) ε > đủ nhỏ Với i ∈ n, ta có: d |xi (t)| = sgn (xi (t)) xi (t) dt ≤ (0) aii n |xi (t)| + m (0) aij n (k) aij |xj (t − hk (t))| |xj (t)| + k=1 j=1 j=1,j=i n |bij (s)| |xj (t + s)| ds + j=1 −h hầu khắp t ∈ R+ Vì D+ |xi (t)| = lim+ sup h→0 |xi (t + h)| − |xi (t)| h t+h = lim+ sup h→0 h d |xi (s)| ds ds t ≤ (0) aii n |xi (t)| + (0) aij m |xj (t)| + (k) aij |xj (t − hk (t))| k=1 j=1 j=1,j=i n n |bij (s)| |xj (t + s)| ds, ∀t ≥ + j=1 −h Ở đây, D+ đạo hàm Dini bên phải Bằng lập luân tương tự chứng minh Định lí 3.2.1, đến: D+ |xi0 (t1 )| < D+ ui0 (t1 ) 30 Tuy nhiên điều mâu thuẫn với (3.13) Phần lại chứng minh định lí hồn tồn tương tự chứng minh Định lí 3.2.1 bỏ qua Ví dụ 3.2.3 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính với thời gian có chậm R2 cho x (t) = A0 x (t) + A1 x (t − h1 (t)) + B (τ )x (t + τ ) dτ, t ≥ 0, (3.14) −h(t) A0 = −3 − 12 , A1 = −2 s , B (s) = −3 0 h1 (.) , h (.) : R+ → R+ hàm liên tục, h > Đặt 0 ;s ≤ −2s s |B (s)| ds M := diag (−3, −3) + |A0 − diag (−3, 3)| + |A1 | + −h −3 0 −3 + + 0 2 + 0 h 2 h h2 = −3 + h2 h2 −3 + h2 √ 10 µ (M ) = h + h − 2 Vì (3.14) ổn định mũ nên µ (M ) < 0, < h1 (t) ≤ h, < h (t) ≤ h, √ ∀t ≥ Tương đương < h < √ 34− 10 ∀t ≥ (theo Định lí 3.2.2) 31 , < h1 (t) ≤ h < h (t) ≤ h , B Tiêu chuẩn ổn định hệ tuyến tính phụ thuộc thời gian có chậm Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian có chậm m x (t) = A0 (t)x(t) + Ak (t) x(t-hk (t))+ k=1 B (t, s) x (t + s) ds, t ≥ σ ≥ (3.15) −h(t) Trong đó: (i) hk (·) , h (·) : R+ → R+ , k ∈ m hàm liên tục cho ≤ hk (t) ≤ hk , < h (t) ≤ h, h ≥ hk , ∀k ∈ m; (ii) Ak ( · ) : R+ → Rn×n , (k = 0, 1, 2, , m) hàm liên tục cho trước; (iii) B (·, ·) : R+ × [−h, 0] → Rn×n hàm liên tục cho trước Khi đó, với σ ≥ φ ∈ C ([−h, 0] , Rn ) cho trước, hệ (3.15) có nghiệm, kí hiệu x(., σ, φ), thỏa mãn điều kiện đầu: x(s + σ) = φ(s), s ∈ [−h, 0] (3.16) Định nghĩa 3.2.4 Hệ (3.15) gọi ổn định mũ tồn số dương K, β, cho với σ ∈ R+ φ ∈ C([−h, 0], Rn ), nghiệm (3.15)-(3.16) thỏa mãn điều kiện: x (t; σ, φ) ≤ Ke−β(t−σ) φ , ∀t ≥ σ Để phát biểu kết tiếp theo, giới thiệu khái niệm ma trận Metzler hóa ma trận cho trước 32 Với ma trận A := (aij ) ∈ Rn×n cho trước, xét ma trận Metzler xác định bởi: M (A) := (¯ aij ) ∈ Rn×n , a ¯ii = aii , a ¯ij = |aij |, i = j Ma trận M(A) gọi ma trận Metzler hóa ma trận A Định lý 3.2.5 Giả sử tồn ma trận A0 ∈ Rn×n , A1 , Am ∈ R+ n×n hàm liên tục B0 (.) : R+ × [−h, 0] → R+ n×n cho: M (A0 (t)) ≤ A0 , ∀t ≥ 0, (3.17) Ak (t) ≤ Ak , ∀t ≥ 0, (3.18) |B(t, s)| ≤ B0 (s), ∀t ≥ 0, ∀s ∈ [ − h, 0] (3.19) Nếu ma trận m M := A0 + Ak + k=1 B0 (s)ds (3.20) −h thỏa điều kiện (i) –(v) Định lí 1.7 (3.15) ổn định mũ Chú ý 3.2.6 Định lý 3.2.5 “phiên dịch” sau: Các điều kiện (3.17)-(3.18)-(3.19) nghĩa hệ (3.15) bị chặn hệ dương: m B0 (s) x (t + s) ds, t ≥ σ ≥ 0, Ak x(t − hk ) + x (t) = A0 x(t) + k=1 −h (3.21) Khi đó, (3.21) ổn định mũ (nếu ma trận M cho (3.20) thỏa điều kiện (i) -(v) Định lí 1.7) hệ (3.15) ổn định mũ Đây ngạc nhiên thú vị kết 33 (Định lý 3.2.5) “ sao” tiêu chuẩn hội tụ chuỗi hàm lí thuyết chuỗi Chứng minh Chứng minh Định lí 3.2.5 hồn tồn tương tự chứng minh Định lý 3.2.1, 3.2.2 bỏ qua Cuối cùng, cho vi dụ minh họa Định lý Ví dụ 3.2.7 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian có chậm R2 sau x (t) = A0 (t) x (t) + A1 (t) x (t − h1 (t)) + B (t, s) x (t + s) ds, t ≥ σ ≥ 0, (3.22) −h(t) h1 (.) , h (.) ∈ C (R, R), với < h1 (t) , h (t) ≤ h, ∀t ∈ R A0 (t) := e−t sin t −6 + t2 1−t2 1+t2 cos t −7 ; A1 (t) := 2t − 1+t 2 e−sin t , t ∈ R, B (t, s) := s e +st cos st −e sin st s , t ∈ R, s ∈ [−h, 0] Xét ma trận sau đây: A0 := −6 1 −6 ; A1 := s ; C (s) := 0 e2 s e2 , s ∈ [−h, 0] Chú ý A0 (t) A0 thỏa (3.17) |A1 (t)| ≤ A1 , ∀t ∈ R; |B (t, s)| ≤ C (s) , ∀t ∈ R, ∀s ∈ [−h, 0] 34 Dễ dàng kiểm tra M := A0 + A1 +  C (s) ds =  −h −6 − h2 2−e µ (M ) < Vì (3.22) ổn định mũ 35 2−e −6 − h2   KẾT LUẬN Luận văn trình bày vài kết hệ phương trình vi phân tuyến tính dương tiêu chuẩn ổn định mũ cho hệ phương trình vi phân tuyến tính có chậm, kể hệ phụ thuộc thời gian Các kết trích từ tài liệu tham khảo [19]: " P.H.A Ngoc, Stability of positive differential systems with delay, IEEE Transactions on Automatic Control 58 (2013), 203-209 " Đóng góp tác giả luận văn đưa tiêu chuẩn ổn định so sánh (Định lí 3.1.5) tìm ví dụ minh họa Hướng phát triển luận văn tiếp tục mở rộng kết có cho hệ phi tuyến có chậm xa lớp hệ phương trình vi tích phân khác như: phương trình vi tích phân Volterra, phương trình Lotka-Volterra, phương trình Volterra-Stieltjes áp dụng kết thu vào số mơ hình Kinh tế, kỹ thuật 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A Goubet Bartholoms, M Dambrine and J P Richard, Stability of perturbed systems with time-varying delays, Systems and Control Letters, Volume 31, Issue (1997) 155-163 [2] J Cao, L Wang Exponential stability and periodic oscillatory solution in BAM networks with delays, IEEE Transactions on Neural Networks 13 (2002), 457-463 [3] S Dashkovskiy and L Naujok, Lyapunov-Razumikhin and Lyapunov-Krasovskii theorems for interconnected ISS time-delay systems, Proceedings of the 19th International Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems (MTNS) 5-9 July, 2010, Budapest, Hungary, 1180-1184 [4] J Dieudonne, Foundations of modern analysis, Academic Press, 1988 [5] R.D Driver, Existence and stability of solutions of a delay differential system, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 10 (1962) 401-426 [6] E Fridman, New Lyapunov-Krasovskii functionals for stability of linear retarded and neutral type systems, Systems & Control Letters 43, (2001) 309-319 [7] E Fridman, Stability of systems with uncertain delays: A new Lyapunov-Krasovskii functional, IEEE Transactions on Automatic Control, 51 (2006) 885-890 [8] W M Haddad, V Chellaboina and Q Hui, Nonnegative and Compartmental Dynamical Systems, Princeton University Press, 2010 37 [9] J Hale and S M V Lunel, Introduction to Functional Differential Equations, Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New york, 1993 [10] L Idels and M Kipnis, Stability criteria for a nonlinear nonautonomous system with delays, Applied Mathematical Modelling 33 (2009) 2293-2297 [11] M Jiang, Y Shen, X Liao, On the global exponential stability for functional differential equations, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 10 (2005) 705-713 [12] V.B Kolmanovskii and V R Nosov, Stability of Functional Differential Equations, Academic Press 1986 [13] V.B Kolmanovskii and J.P Richard, Stability of some linear systems with delays, IEEE Transactions on Automatic Control 44 (1999) 984-989 [14] Y Kuang, Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics, in: Mathematics in Science and Engineering, vol 191, Academic Press, 1993 [15] X Liu, W Yu and L Wang, Stability analysis for continuous-time positive systems with time-varying delays, IEEE Transactions on Automatic Control, 55 (2010) 1024-1028 [16] P H A Ngoc, T Naito, J S Shin, Characterizations of Positive Linear Functional Differential Equations, Funkcialaj Ekvacioj, Vol 50 (2007), 1-17 [17] P.H.A Ngoc, On positivity and stability of linear Volterra systems with delay, SIAM Journal on Control and Optimization, 48 (2009) 1939-1960 38 [18] P.H.A Ngoc, On exponential stability of nonlinear differential systems with time-varying delay, Applied Mathematics Letters 25 (2012) 1208-1213 [19] P.H.A Ngoc, Stability of positive differential systems with delay, IEEE Transactions on Automatic Control 58 (2013), 203-209 [20] P.H.A Ngoc, Novel criteria for exponential stability of functional differential equations, Proceedings of the American Mathematical Society 141 (2013), 3083-3091 [21] P.H.A Ngoc, C.T Tinh, Novel criteria for exponential stability of linear time-varying differential systems with delay, Taiwanese Journal of Mathematics, 2014, to appear [22] S Rinaldi and L Farina, Positive Linear Systems; Theory and Applications, J Wiley, New York, 2000 [23] H Sadaka, B Shafai, R Sipahi, J Chen, An alternative characterization of robust stability and stability radius for linear time delay systems, Proceedings of the 46th IEEE Conference on Decision and Control, 2007, 2112 - 2116 [24] Hal Smith, An Introduction to Delay Differential Equations with Sciences Applications to the Life, in: Texts in Applied Mathematics, vol 57, Springer, New York, Dordrecht, Heidelberg, London, 2011 [25] N.K Son and D Hinrichsen, Robust stability of positive continuoustime systems, Numer Funct Anal Optim 17 (1996), 649-659 [26] N K Son, P H A Ngoc, Robust stability of positive linear delay systems under affine parameter perturbations Acta Mathematica Vietnamica 24 (1999), 353-372 39 [27] S Xueli and P Jigen, A novel approach to exponential stability of nonlinear systems with time-varying delays, Journal of Computational and Applied Mathematics 235 (2011) 1700-1705 [28] F Wang, Exponential asymptotic stability for nonlinear neutral systems with multiple delays, Nonlinear Analysis: Real World Applications (2007) 312-322 [29] B Zhang, J Lam, S Xu and Z Shu, Absolute exponential stability criteria for a class of nonlinear time-delay systems, Nonlinear Analysis: Real World Applications 11 (2010) 1963-1976 [30] J Zhang, Globally exponential stability of neural networks with variable delays, IEEE Transactions on Circuits and Systems-I: Fundamental Theory and Applications 50 (2003), 288-290 40 PHẦN LÝ LỊCH TRÍCH NGANG Họ tên: CAO THỊ NGỌC THU Ngày, tháng, năm sinh: 16/ 09/ 2014 Nơi sinh: TP Hồ Chí Minh Địa liên lạc: Số đường 10, khu phố 4, phường Linh Chiểu, quận Thủ Đức, thành phố Hồ Chí Minh Q TRÌNH ĐÀO TẠO  2004 – 2008: học khoa toán trường Đại học Sư Phạm tpHCM  2012 – 2014: học viên cao học trường Đại học Bách Khoa tpHCM Q TRÌNH CƠNG TÁC  2008 đến nay: giáo viên trường THPT Nguyễn Hữu Huân tpHCM ... (3.5) Định lý 3.1.5 (Tiêu chuẩn ổn định so sánh) Giả sử hệ (3.3) (3.4) hệ dương hệ (3.3) bị chặn (3.4) Khi đó: (i) Nếu hệ (3.4) ổn định mũ hệ (3.3) ổn định mũ; (ii) Nếu hệ (3.3) khơng ổn định mũ hệ. .. 17 (2.3) CHƯƠNG III TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CĨ CHẬM 3.1 Tiêu chuẩn ổn định hệ dương Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính có chậm m Ai x (t − hi ) + x (t)... TÀI: VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ DƯƠNG CĨ CHẬM II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:  Trình bày chứng minh tiêu chuẩn tường minh cho tính dương lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian có chậm